CN102938003A - 一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，采用气动弹性特征值法，通过计算气动弹性系统特征值预测叶轮机械考虑错频的气弹稳定性，共有七大步骤。该方法采用单向耦合技术，先对孤立叶片做固有模态分析，之后把叶片模态位移传递给流体网格。流场计算分为定常和非定常分析，非定常分析中指定叶片按照其固有模态振动，应用影响系数法处理所得非定常气动力，最后通过改变叶片广义刚度引入错频，求解含有气动载荷的叶片运动方程，得到气动弹性系统特征值，由特征值实部的符号判断系统是否发生颤振。它在叶轮机械气动弹性领域具有良好的实用价值和广阔的应用前景。

Description

一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法

技术领域

本发明属于叶轮机械模拟技术领域，具体涉及基于特征值法的一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法。 

背景技术

随着对叶轮机械叶片颤振的深入研究，应用错频技术提高叶轮机械叶片的气动弹性稳定性已经成为一种有效抑制颤振的手段，并广泛应用于航空发动机上，获得了良好的效果。 

早期的设计研究中，通常将叶盘转子视为协调的，即同一级转子上的各叶片之间完全相同，当然也就具有相同的振动特性，然而，在实际工作中，由于制造公差以及服役期间不同程度的磨损，所有的叶盘结构都有一定程度的错频量。 

特征值法是从叶片的运动方程出发，记及气动载荷项，利用一些假设条件将气动载荷表示为叶片位移及速度的线性函数，得到气动刚度矩阵和气动阻尼矩阵，进而将颤振问题转化为特征值问题，以求得特征值的实部为零作为系统颤振的判据，其正负分别代表系统颤振或稳定。特征值法将弹性叶片及其上气流的作用统一在一个方程组中，体现了叶片和周围气流所构成的振动系统，有助于对振频、振型、相位等动力响应的理解。与能量法相比，特征值法的优点在于可考虑错频效应，并且能够只通过一次非定常流场计算便可求得所有叶间相位角下的气动阻尼，这两点是能量法无能为力的。 

无论采用能量法还是特征值法进行颤振预估都需要计算叶片上的气动载荷，颤振研究的核心就是如何处理振动叶片上的气动力。本发明采用基于线性化假设的影响系数法处理计算得到的非定常气动力，在叶片小幅振荡的亚跨音状态下，影响系数法的有效性已经得到了实验和数值模拟的广泛验证。 

对于叶轮机械叶片气动弹性这样的流固耦合问题，有必要发展和完善适用于工程设计需求的气动弹性稳定性数值预测方法，并考虑错频的影响。其中最大的困难是如何求解包含气动耦合项的运动方程。目前还没有一项较为成熟的技术来预测计入错频的叶轮机械叶片气动弹性稳定性。 

发明内容

本发明的目的是提供一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，它解决了现有技术的不足。 

本发明一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，其具体步骤如下：

步骤一：建立叶片有限元模型； 

针对给定的实体模型在CAE前处理软件中建立叶片有限元模型； 

步骤二：对建立的有限元模型进行含预应力的模态分析； 

首先，将建立的有限元模型导入到有限元软件ANSYS中，定义相应的材料参数，并给定转速以及位移约束条件，通过静力分析得到离心力引起的预应力； 

然后，采用质量归一化的模态分析，并计入离心力引起的预应力，获得叶片的固有振动特性，提取叶片振动固有频率以及模态振型，得到固体域叶片表面的节点位移； 

步骤三：建立计算流体力学模型； 

首先，通过给定的叶轮机械叶型数据，在计算流体力学仿真工具CFX的TurboGrid模块中建立叶栅的单通道流场模型，其中叶片表面附近为O型网格，其它区域为H型网格； 

然后，将建立的单扇区流场模型导入到ICEM CFD中，通过绕旋转轴旋转、复制N-1(N代表叶片数量)份网格得到全环叶栅模型，并输出流体域网格点和实体单元信息以及流体域各叶片表面网格点和表面单元信息； 

步骤四：采用CFX进行全环流场定常分析； 

步骤五：以定常分析结果作为初始条件，采用CFX中Junction Box模块进行全环流场非定常分析，非定常分析中指定参考叶片按照其固有模态随时间做简谐振动，振动周期同叶片固有振动周期，叶片最大振幅人为指定，通常取0.5mm至3mm之间； 

流场定常分析中入口边界条件给定总温总压，出口给定平均静压，轮缘、轮毂和叶片表面给定光滑、无滑移、绝热壁面边界条件；非定常分析中叶片表面给定动网格壁面边界条件，进出口、轮缘、轮毂边界条件同定常分析，以定常分析结果作为非定常分析的初始条件，在每一个时间步上求解采用k-ε湍流模 型封闭的Reynolds平均Navier-Stokes方程，并写出每一个时间步的瞬时结果文件； 

步骤六：提取稳定振荡的一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力，计算各叶片气动力影响系数，求得气动力影响系数矩阵，为判断不同节径数下是否发生颤振，可将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由气动力影响系数虚部的正负判断在相应的节径数下气动弹性失稳或稳定； 

步骤七：计算协调系统气动弹性特征值，由特征值实部正负判断系统是否发生颤振；对于错频系统，可通过改变叶片广义刚度引入错频，求得错频系统气动弹性特征值，进而由特征值实部正负判断系统是否发生颤振。 

其中，步骤六中所述的求得气动力影响系数矩阵，其计算过程如下： 

（1）流场非定常计算收敛后，提取流场参数稳定振荡时一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力； 

（2）由于叶片随时间做简谐振动，因而流场参数也随时间简谐变化，应用最小二乘法拟合各叶片表面节点气动力，得到各节点气动力幅值和相位角; 

（3）利用公式 

计算各叶片气动力影响系数，其中A_k代表第k号叶片的气动力影响系数， 为叶片振型矩阵的转置，f_k代表第k号叶片复数气动力向量，U₀为指定的叶片最大振幅，A_k和f_k的具体形式如下 

$f_k={\left[\begin{array}{cccc}{f}_{k_1}& f_{k_2}& ......& f_{k_n}\end{array}\right]}^T$

式中n为k号叶片节点数，由第（2）步求得的第k号叶片第i节点气动力幅值和相位角为 

和 

则 

的实部和虚部表达形式如下 

$\mathrm{Re}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\cos \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

$\mathrm{Im}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\sin \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

（4）气动力影响系数矩阵A表示如下，下标为叶片编号，N代表叶片数量； 

（5）为判断各叶间相位角下系统是否发生颤振，可将气动力影响系数转换 到行波坐标系下，由a_n虚部的正负可判断节径数为n时发生颤振或稳定， 

e为自然对数的底，n为节径数，i为虚数单位。 

其中，步骤七中所述的求得错频系统气动弹性特征值，其求解过程如下： 

（1）模态坐标下忽略机械阻尼的叶片组件运动方程为 

为叶片振幅向量，λ为气动弹性系统特征值，λ的求解为标准特征值问题，λ实部为正代表系统气动弹性失稳，反之则气动弹性稳定； 

（2）对于协调系统，即各叶片结构动力属性完全相同，通过求解气动弹性系统特征值可直接判断是否发生颤振；对于错频系统，可通过改变运动方程中的刚度矩阵对角线元素（当采用质量归一化时，刚度矩阵对角线元素为各叶片固有振动圆频率的平方）来引入错频，求解此时的系统特征值便可判断在相应的错频模式下系统是否气动弹性失稳。在忽略结构耦合情况下，刚度矩阵k的表达式如下 

ω_i为第i号叶片的固有振动圆频率。通过改变各叶片固有频率即可实现错频，求解错频系统的特征值问题即可判断错频对于系统气动弹性稳定性的影响。 

本发明的优点在于： 

（1）基于特征值法的流固耦合数值预测方法将弹性叶片及其上气流的作用统一在一个方程组中，体现了叶片和周围气流所构成的振动系统，有助于对振频、振型、相位等动力响应的理解； 

（2）仅通过一次非定常流场计算便可求得所有节径下的气动阻尼，与能量法相比大大节省了计算量； 

（3）可方便的在模型中引入错频，快速判断所引入错频对于系统气动弹性稳定性的影响。 

附图说明

图1本发明一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法流程图； 

图2是现有叶片二维叶栅平面图； 

图3是现有叶片有限元模型示意图； 

图4是现有叶片第一阶弯曲模态示意图； 

图5是现有叶片全环叶栅流场模型示意图； 

图6是本发明各叶片气动力影响系数幅值图； 

图7是本发明各叶片气动力影响系数相位角图； 

图8是本发明模态坐标下无量纲阻尼系数分布图； 

图9是本发明行波坐标下无量纲阻尼系数分布图； 

图10是本发明错频系统与协调系统无量纲阻尼系数对比图； 

图中符号说明如下： 

图2中叶栅上面数字代表叶片编号，其中0号叶片为参考叶片，字母ω代表叶栅转速，箭头代表旋转方向； 

图8中横坐标为模态坐标下无量纲阻尼系数，纵坐标为经叶片固有频率无量纲化的特征值虚部，方框中数字为特征值序号； 

图9中横坐标为节径数，纵坐标为行波坐标下无量纲阻尼系数； 

图10中横坐标为模态坐标下无量纲阻尼系数，纵坐标为经叶片固有频率无量纲化的特征值虚部； 

具体实施方式

本发明一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，其具体步骤如下：

步骤一：建立叶片有限元模型； 

针对给定的实体模型在CAE前处理软件中建立叶片有限元模型； 

步骤二：对建立的有限元模型进行含预应力的模态分析； 

首先，将建立的有限元模型导入到有限元软件ANSYS中，定义相应的材料参数，并给定转速以及位移约束条件，通过静力分析得到离心力引起的预应力； 

然后，采用质量归一化的模态分析，并计入离心力引起的预应力，获得叶片的固有振动特性，提取叶片振动固有频率以及模态振型，得到固体域叶片表面的节点位移； 

步骤三：建立计算流体力学模型； 

首先，通过给定的叶轮机械叶型数据，在计算流体力学仿真工具CFX的TurboGrid模块中建立叶栅的单通道流场模型，其中叶片表面附近为O型网格，其它区域为H型网格； 

然后，将建立的单扇区流场模型导入到ICEM CFD中，通过绕旋转轴旋转、复制N-1(N代表叶片数量)份网格得到全环叶栅模型，并输出流体域网格点和实体单元信息以及流体域各叶片表面网格点和表面单元信息； 

步骤四：采用CFX进行全环流场定常分析； 

步骤五：以定常分析结果作为初始条件，采用CFX中Junction Box模块进行全环流场非定常分析，非定常分析中指定参考叶片按照其固有模态随时间做简谐振动，振动周期同叶片固有振动周期，叶片最大振幅人为指定，通常取0.5mm至3mm之间； 

流场定常分析中入口边界条件给定总温总压，出口给定平均静压，轮缘、轮毂和叶片表面给定光滑、无滑移、绝热壁面边界条件；非定常分析中叶片表面给定动网格壁面边界条件，进出口、轮缘、轮毂边界条件同定常分析，以定常分析结果作为非定常分析的初始条件，在每一个时间步上求解采用k-ε湍流模型封闭的Reynolds平均Navier-Stokes方程，并写出每一个时间步的瞬时结果文件； 

步骤六：提取稳定振荡的一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力，计算各叶片气动力影响系数，求得气动力影响系数矩阵，为判断不同节径数下是否发生颤振，可将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由气动力影响系数虚部的正负判断在相应的节径数下气动弹性失稳或稳定； 

步骤七：计算协调系统气动弹性特征值，由特征值实部正负判断系统是否发生颤振；对于错频系统，可通过改变叶片广义刚度引入错频，求得错频系统气动弹性特征值，进而由特征值实部正负判断系统是否发生颤振。 

其中，步骤六中所述的求得气动力影响系数矩阵，其计算过程如下： 

（1）流场非定常计算收敛后，提取流场参数稳定振荡时一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力； 

（2）由于叶片随时间做简谐振动，因而流场参数也随时间简谐变化，应用最小二乘法拟合各叶片表面节点气动力，得到各节点气动力幅值和相位角; 

（3）利用公式 

计算各叶片气动力影响系数，其中A_k代表第k号叶片的气动力影响系数， 

为叶片振型矩阵的转置，f_k代表第k号叶片复数气动力向量，U₀为指定的叶片最大振幅，A_k和f_k的具体形式如下 

$f_k={\left[\begin{array}{cccc}{f}_{k_1}& f_{k_2}& ......& f_{k_n}\end{array}\right]}^T$

式中n为k号叶片节点数，由第（2）步求得的第k号叶片第i节点气动力幅值和相位角为 

和 

则 

的实部和虚部表达形式如下 

$\mathrm{Re}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\cos \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

$\mathrm{Im}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\sin \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

（4）气动力影响系数矩阵A表示如下，下标为叶片编号，N代表叶片数量； 

（5）为判断各叶间相位角下系统是否发生颤振，可将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由a_n虚部的正负可判断节径数为n时发生颤振或稳定， 

e为自然对数的底，n为节径数，i为虚数单位。 

其中，步骤七中所述的求得错频系统气动弹性特征值，其求解过程如下： 

（1）模态坐标下忽略机械阻尼的叶片组件运动方程为 

为叶片振幅向量，λ为气动弹性系统特征值，λ的求解为标准特征值问题，λ实部为正代表系统气动弹性失稳，反之则气动弹性稳定； 

（2）对于协调系统，即各叶片结构动力属性完全相同，通过求解气动弹性系统特征值可直接判断是否发生颤振；对于错频系统，可通过改变运动方程中的刚度矩阵对角线元素（当采用质量归一化时，刚度矩阵对角线元素为各叶片固有振动圆频率的平方）来引入错频，求解此时的系统特征值便可判断在相应的错频模式下系统是否气动弹性失稳。在忽略结构耦合情况下，刚度矩阵k的表达式如下 

ω_i为第i号叶片的固有振动圆频率。通过改变各叶片固有频率即可实现错频，求解错频系统的特征值问题即可判断错频对于系统气动弹性稳定性的影响。 

下面将结合附图和实例对本发明作进一步的详细说明。本发明一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，方法的流程如图1所示。选取典型风扇叶片，叶栅二维平面图如图2所示，其近设计点的基本气动参数见表1。基于给定的叶型数据建立单个叶片的有限元模型如图3，单元选取八节点六面体实体单元。 

表1  典型风扇叶片近设计点基本设计参数 

将建立的有限元模型导入到有限元软件ANSYS中进行含预应力的模态分析。其中材料选取钛合金（TC4），边界条件给定叶根固支。首先，通过静力分析得到离心力引起的预应力，然后，进行含预应力的模态分析，得到叶片的各阶动频和模态，如图4为叶片的第一阶弯曲模态。 

通过给定的叶型数据在CFX TurboGrid中建立流体域单通道模型，并通过旋转复制得到全环叶栅模型，如图5所示，模型中忽略叶尖间隙的作用。接下来对全环叶栅模型进行定常分析，进口边界条件给定标准大气，即总温288.15K，总压101325Pa，出口给定平均静压123000Pa。定常分析结束之后，对全环叶栅进行非定常分析，非定常分析中进出口边界条件与定常分析相同，利用Junction Box模块，指定全环叶栅中的0号叶片按照其第一阶模态 做随时间的简谐振动，振动周期同该叶片一阶弯曲固有振动周期，最大振幅指定为1mm。 

非定常计算收敛后，提取稳定振荡周期内各时间步下所有叶片表面节点集中力，运用最小二乘法对所有节点集中力进行拟合，得到各节点气动力幅值和相位角，运用公式 计算各叶片气动力影响系数。图6和图7给出了各叶片气动力影响系数幅值和相位角。 

各叶片气动力影响系数得到之后，组集气动力影响系数矩阵，公式如下： 

对于协调系统，可直接求解模态空间运动方程 

对应的特征值问题，得到λ的实部和虚部，注意到公式中-λ²为矩阵[k]-[A]特征值，λ可求得两个互为相反数的解，λ的虚部对应叶片颤振圆频率，取虚部为正的解为λ最终的数值。定义无量纲阻尼系数如下 

${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{aero}}=-\frac{\mathrm{Re\λ}}{\mathrm{mIm\λ}}$

m为叶片广义质量，当对运动方程采用质量归一化处理时m=1，则系统颤振判据为：在所有的无量纲阻尼系数中至少有一个为负。图8给出了求得的无量纲阻尼系数分布，方框中数字为特征值序号，纵坐标为经叶片固有频率无量纲化的特征值虚部，其表达式如下 

$\mathrm{\η}=\frac{\mathrm{Im\λ}}{{\mathrm{\ω}}_t}$

ω_t为协调叶片固有振动圆频率。从图中可看到所有无量纲阻尼系数均为正，则系统不会发生气动弹性失稳。 

为了考查不同叶间相位角下的气动弹性稳定性，可应用公式 

将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由a_n的虚部符号判断叶片是否发生颤振。定义行波坐标系下的无量纲阻尼系数如下 

${\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{aero}}^n=-\frac{\mathrm{Im}{a}_n}{2m{\mathrm{\ω}}_t^2}$

系统颤振判据为：在所有的无量纲阻尼系数中至少有一个为负。图9给出了 行波坐标系下无量纲阻尼系数分布，横坐标代表节径数，从图中可看到各节径下无量纲阻尼系数均为正，则系统不会发生气动弹性失稳，且无量纲阻尼系数随节径数近似呈正弦分布。 

对于错频系统，仍可通过求解特征值问题得到系统的气动弹性稳定性特征。对于质量归一化的运动方程，刚度矩阵k中的对角线元素为叶片固有频率的平方，在忽略结构耦合情况下，刚度矩阵k的表达式如下 

ω_i为第i号叶片的固有振动圆频率。在本例中引入交叉错频，协调系统中各叶片频率相同，用符号ω_t表示，引入错频后系统中各叶片频率偏差z如下 

z=0.01×(-1 1 -1 1……-1 1)_N

第i号叶片的频率偏差定义如下 

$z=\frac{{\mathrm{\ω}}_i}{{\mathrm{\ω}}_t}-1$

引入上面的交叉错频后，求解特征值问题得到λ的数值，图10给出了协调系统与错频系统无量纲阻尼系数的分布，从图中可看到引入错频后系统的无量纲阻尼系数最小值显著增大，即气动弹性稳定性得到显著改善。 

Claims (3)

1.一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：建立叶片有限元模型；

针对给定的实体模型在CAE前处理软件中建立叶片有限元模型；

步骤二：对建立的有限元模型进行含预应力的模态分析；

首先，将建立的有限元模型导入到有限元软件ANSYS中，定义相应的材料参数，并给定转速以及位移约束条件，通过静力分析得到离心力引起的预应力；

然后，采用质量归一化的模态分析，并计入离心力引起的预应力，获得叶片的固有振动特性，提取叶片振动固有频率以及模态振型，得到固体域叶片表面的节点位移；

步骤三：建立计算流体力学模型；

首先，通过给定的叶轮机械叶型数据，在计算流体力学仿真工具CFX的TurboGrid模块中建立叶栅的单通道流场模型，其中叶片表面附近为O型网格，其它区域为H型网格；

然后，将建立的单扇区流场模型导入到ICEM CFD中，通过绕旋转轴旋转、复制N-1份网格得到全环叶栅模型，N代表叶片数量，并输出流体域网格点和实体单元信息以及流体域各叶片表面网格点和表面单元信息；

步骤四：采用CFX进行全环流场定常分析；

步骤五：以定常分析结果作为初始条件，采用CFX中Junction Box模块进行全环流场非定常分析，非定常分析中指定参考叶片按照其固有模态随时间做简谐振动，振动周期同叶片固有振动周期，叶片最大振幅取0.5mm至3mm之间；

流场定常分析中入口边界条件给定总温总压，出口给定平均静压，轮缘、轮毂和叶片表面给定光滑、无滑移、绝热壁面边界条件；非定常分析中叶片表面给定动网格壁面边界条件，进出口、轮缘、轮毂边界条件同定常分析，以定常分析结果作为非定常分析的初始条件，在每一个时间步上求解采用k-ε湍流模型封闭的Reynolds平均Navier-Stokes方程，并写出每一个时间步的瞬时结果文件；

步骤六：提取稳定振荡的一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力，计算各叶片气动力影响系数，求得气动力影响系数矩阵，为判断不同节径数下是否发生颤振，将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由气动力影响系数虚部的正负判断在相应的节径数下气动弹性失稳或稳定；

步骤七：计算协调系统气动弹性特征值，由特征值实部正负判断系统是否发生颤振；对于错频系统，通过改变叶片广义刚度引入错频，求得错频系统气动弹性特征值，进而由特征值实部正负判断系统是否发生颤振。

2.根据权利要求1所述的一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，其特征在于：步骤六中所述的求得气动力影响系数矩阵，其计算过程如下：

（1）流场非定常计算收敛后，提取流场参数稳定振荡时一个振动周期内各时间步下叶片表面节点集中力；

（2）由于叶片随时间做简谐振动，因而流场参数也随时间简谐变化，应用最小二乘法拟合各叶片表面节点气动力，得到各节点气动力幅值和相位角;

（3）利用公式

计算各叶片气动力影响系数，其中A_k代表第k号叶片的气动力影响系数，为叶片振型矩阵的转置，f_k代表第k号叶片复数气动力向量，U₀为指定的叶片最大振幅，A_k和f_k的具体形式如下:

$f_k={\left[\begin{array}{cccc}{f}_{k_1}& f_{k_2}& ......& f_{k_n}\end{array}\right]}^T$

式中n为k号叶片节点数，由第（2）步求得的第k号叶片第i节点气动力幅值和相位角为

和则

的实部和虚部表达形式如下:

$\mathrm{Re}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\cos \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

$\mathrm{Im}\left(f_{k_i}\right)=\left|f_{k_i}\right|\sin \left({\mathrm{\α}}_{k_i}\right)$

（4）气动力影响系数矩阵A表示如下，下标为叶片编号，N代表叶片数量；

（5）为判断各叶间相位角下系统是否发生颤振，将气动力影响系数转换到行波坐标系下，由a_n虚部的正负可判断节径数为n时发生颤振或稳定，e为自然对数的底，n为节径数，i为虚数单位。

3.根据权利要求1所述的一种叶轮机械计入错频的气动弹性稳定性数值预测方法，其特征在于：步骤七中所述的求得错频系统气动弹性特征值，其求解过程如下：

（1）模态坐标下忽略机械阻尼的叶片组件运动方程为

为叶片振幅向量，λ为气动弹性系统特征值，λ的求解为标准特征值问题，λ实部为正代表系统气动弹性失稳，反之则气动弹性稳定；

（2）对于协调系统，即各叶片结构动力属性完全相同，通过求解气动弹性系统特征值直接判断是否发生颤振；对于错频系统，通过改变运动方程中的刚度矩阵对角线元素来引入错频，当采用质量归一化时，刚度矩阵对角线元素为各叶片固有振动圆频率的平方，求解此时的系统特征值便判断在相应的错频模式下系统是否气动弹性失稳；在忽略结构耦合情况下，刚度矩阵k的表达式如下：

ω_i为第i号叶片的固有振动圆频率，通过改变各叶片固有频率即实现错频，求解错频系统的特征值问题即判断错频对于系统气动弹性稳定性的影响。

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