CN102914718A - 基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，主要分为以下具体步骤：选取待分析振荡数据；辨识响应成分和振荡特性；首先是负阻尼振荡的判定，若是负阻尼振荡，结束，反之进入共振振荡的判定；在共振振荡的判定中如果将振荡判定为共振，转入正阻尼共振的判定和零阻尼共振的判定；反之转入正阻尼自由振荡的判定，若不是正阻尼自由振荡，进入零阻尼等幅自由振荡的判定，若没有判定为零阻尼等幅自由振荡，进入零阻尼拍频振荡的判定，若没有判定为零阻尼拍频振荡，进入正阻尼拍频振荡的判定，结束。本发明的有益效果：原理简单清晰、判别精细、判据完备。

Description

基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法

技术领域

本发明涉及电力系统及其自动化技术领域，尤其涉及一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法。

背景技术

近年来，国内外电网发生了多起低频功率振荡事件，严重威胁着电网的安全、稳定运行，制约着电网的输电能力。低频振荡主要有两种机理解释或两种类型：负阻尼机理的自由振荡和共振机理的强迫振荡。两种振荡在振荡机理、起因、波形和控制措施方面都有明显的不同。

自由振荡产生的原因主要是，高放大倍数的快速励磁系统、弱互联电网间的远距离大功率送电等导致系统振荡模式的阻尼比较弱或为负值。虽然在实际中，自由振荡往往由电网故障或负荷投切等激发，但是自由振荡与扰动的形式无关，仅由系统自身的运行条件决定。强迫振荡则是在周期性振荡源（如原动机压力脉动【韩志勇,贺仁睦,徐衍会.汽轮机压力脉动引发电力系统低振荡的共振机理分析[J].中国电机工程学报,2008,28(1):47-51.韩志勇,徐衍会,辛建波,等.水轮机组与电网耦合对电网动态稳定的影响[J].电工技术学报,2009,24(9):165-170,177.】、周期性负荷扰动【Van Ness J E.Response of large power systems to cyclicload variations[J].IEEE Trans on Power Apparatus and Systems,1966,PAS-85(7):723-727.Rao KR,Jenkins L.Studies on power systems that subjected to cyclic loads[J].IEEE Trans on PowerSystems,1988,3(1):31-37.韩志勇,贺仁睦,马进,等.电力系统强迫功率振荡扰动源的对比分析[J].电力系统自动化,2009,33(3):16-19.】等）的作用下，当扰动频率接近系统固有振荡频率接近时发生的振荡。其具有起振快、起振后保持等幅同步振荡和失去振荡源后振荡很快衰减等特点【王铁强,贺仁睦,王卫国,等.电力系统低频振荡机理的研究[J].中国电机工程学报,2002,22(2):21-25.】。强迫振荡的发生是由振荡源主导的。

抑制两种类型的低频振荡所需要采取的措施也是不同的。电网在发生弱阻尼或负阻尼自由振荡后，需要降低励磁系统的放大倍数或远距离输电关键断面上的功率水平，增强系统阻尼水平以逐渐平息振荡。对于强迫振荡，只有消除振荡源，才能从根本上平息振荡。因此，在及时、准确地定位出扰动源【王铁强,贺仁睦,王卫国,等.电力系统低频振荡机理的研究[J].中国电机工程学报,2002,22(2):21-25.汤涌.电力系统强迫功率振荡的基础理论[J].电网技术,2006,30(10):29-33.】后，正确、有效地判别振荡类型，进而采取针对性的控制措施，才能从根本上消除和平息振荡。

对于振荡类型判别问题的研究，目前研究成果尚不多见。文献【刘增煌,贾文双,李莹,等.基于二次差分法判断负阻尼振荡与强迫振荡的系统和方法:中国,201210103545.6[P].2012-04-10.】提出了一种利用二次差分来识别起振阶段振荡响应包络线形状，进而判别强迫振荡、负阻尼和等幅自由振荡的方法。在不同扰动源频率情况下，强迫振荡表现为共振和拍频振荡。在拍频振荡的一个“拍”内包络线的下降阶段，该方法可能将拍频振荡误判为负阻尼自由振荡。此外，文献【时伯年,吴小辰,吴京涛,等.基于围绕信号振荡模式辨识的电力系统低频振荡机理分析方法:中国,201010581010.0[P].2010-12-09.】提出了一种通过比较振荡事故发生前后系统振荡频率和阻尼比的变化情况以判别强迫振荡和负阻尼振荡的方法。其将振荡频率和阻尼比变化较大且事故后阻尼比接近于零的情况判定为强迫振荡。然而，在实际运行中，强迫振荡发生之前系统中并没有大的扰动发生或明显的运行方式改变。模式的频率和阻尼比在振荡前后几乎不变。因此，该判别原理的合理性有待商榷。

其将振荡事故发生前后频率和阻尼比的变化量较小的情况认定为负阻尼机理的低频振荡。然而，实际上正是远距离输电断面的功率水平过大或者电网故障导致网架结构变弱，使系统由故障前的正阻尼比变为故障后的零阻尼或负阻尼，导致低频功率振荡的发生。此外，在系统发生强迫振荡前后，强迫振荡发生之前系统中并没有大的扰动发生或明显的运行方式改变。模式的频率和阻尼比在振荡前后几乎不变。由此可知，专利【时伯年,吴小辰,吴京涛,等.基于围绕信号振荡模式辨识的电力系统低频振荡机理分析方法:中国,201010581010.0[P].2010-12-09.】判别原理的合理性有待商榷。

发明内容

本发明的目的就是为了解决上述问题，提供一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，它具有原理简单清晰、判别精细、判据完备的优点。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，主要分为以下具体步骤：

步骤（1）、开始，选取待分析振荡数据：选取同时包含起振和稳态阶段、振幅较小的低频振荡响应曲线；

步骤（2）、辨识响应成分和振荡特性：利用Prony算法，提取振荡的响应成分和振荡特征（频率和阻尼比）；

步骤（3）、负阻尼振荡的判定：如果存在第s个振荡模式，其阻尼比ζ_s小于-ζ_th，则判定为负阻尼振荡，结束；其中，ζ_th为振荡阻尼比的门槛值，为取值很小的正实数，例如可取为0.005；

步骤（4）、共振振荡的判定：如果存在两个振荡模式，假设分别为第s个振荡模式和第t个振荡模式，它们之间的频率差的绝对值|f_s-f_t|小于f_th，则认为它们的频率差f_s＝f_t，则该振荡判定为共振，并转入步骤（5）；反之转入步骤（7）；其中，f_s为第s个振荡模式的频率；f_t为第t个振荡模式的频率；f_th为振荡频率的门槛值，为正实数，可取为0.03Hz；

步骤（5）、正阻尼共振的判定：对于共振振荡，如果其中一个模式的阻尼比的绝对值|ζ_s|小于ζ_th，则认为ζ_s≈0，且另一个模式的阻尼比大于ζ_th，则判定为正阻尼共振，结束；反之进入步骤（6）；步骤（6）、零阻尼共振的判定：如果两个模式的阻尼比绝对值均小于ζ_th，即ζ_s≈ζ_t≈0，则判定为零阻尼共振，结束；其中，ζ_t为第t个振荡模式的阻尼比；

步骤（7）、正阻尼自由振荡的判定：若｜f_s-f_t|＞f_th，且对于任意的模式，假设为第s个振荡模式，其阻尼比ζ_s大于ζ_th，则判定为正阻尼自由振荡，结束；反之进入步骤（8）；

步骤（8）、零阻尼等幅自由振荡的判定：若|f_s-f_t|＞f_th，且存在第s模式，其阻尼比的绝对值|ζ_s|小于ζ_th，则需要计算其能量比η_s，以判别是否为主导振荡模式：

${\mathrm{\η}}_s=\frac{A_s^2}{\underset{k}{\mathrm{\Σ}}{A}_k^2}---\left(37\right)$

式中，η_s为第s个振荡模式的能量比，A_s为第s个振荡模式的振幅A_k为第k个振荡模式的振幅，k＝1,2，...,N，N为振荡模式的个数。

若步骤8成立，则第s个振荡模式为唯一的主导模式，并判定为零阻尼等幅自由振荡，结束；其中，η_th为主导模式能量比门槛值，例如可取为0.8；

步骤（9）、零阻尼拍频振荡的判定：若η_s<η_th、η_t<η_th、η_s+η_t>η_th、|f_s-f_t|<min(f_s,f_t)，则判定为拍频振荡，其中，η_s为第s个振荡模式的能量比，η_t为第s个振荡模式的能量比；若存在第t个模式的阻尼比的绝对值|ζ_t|小于ζ_th，则进一步地判定为零阻尼拍频振荡，结束；反之进入步骤（10）；

步骤（10）、正阻尼拍频振荡的判定：若第t个模式的阻尼比的绝对值|ζ_t|大于ζ_th，则判定为正阻尼拍频振荡，结束。

本发明的有益效果

1、原理简单清晰：本发明透过外在的振荡响应，把握振荡的内在特性，从原理上建立判别强迫振荡和自由振荡的判据。即在起振阶段，强迫振荡响应必定含有两个频率相等或相近的分量，而自由振荡响应仅由振荡模式的单一分量组成。因此，利用响应成分的不同，就很容易就区分和判别强迫振荡和自由振荡。进一步地，可以根据响应成分的振荡特征对它们的类型进行细化。

2、判别精细：本发明中所用的判据均建立在理论分析的基础上，从理论出发，一步一步过渡到实际，最终形成本发明中的判别方法，体现了精确这一特点。另外，充分考虑了实际情况，细腻把握每一个微小的理论点，例如为了提高辨识的准确性，最初被选取待分析的数据应同时包含振荡的起振和稳态阶段；由于阻尼比的辨识会存在一定误差，对阻尼比均进行了取绝对值操作；设计了振荡频率、阻尼比和初相位的门槛值、主导模式能量比门槛值等。

3、判据完备：本发明可以判别出各种类型的强迫振荡和自由振荡，包括负阻尼振荡、正阻尼共振、零阻尼共振、正阻尼自由振荡、零阻尼等幅自由振荡、零阻尼拍频振荡以及正阻尼拍频振荡，几乎涵盖了所有类型的强迫振荡和自由振荡，说明了这种判别方法是完备的。

附图说明

图1为振荡类型判别的流程图；

图2为负阻尼振荡示意图；

图3为正阻尼自由振荡示意图；

图4为零阻尼共振示意图；

图5为正阻尼共振示意图；

图6为正阻尼拍频示意图；

图7为零阻尼拍频示意图。

具体实施方式

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，图1为振荡类型判别的流程图；利用流程图使发明内容中的振荡类型判别步骤更加清晰直观，便于理解和分析，而且图1中左侧的标号①~⑩与发明内容中的步骤（1）~步骤（10）一一对应，对于图1中的内容可以参考步骤（1）~步骤（10），这里不再详细说明。

如图2~图7所示，横轴表示时间t，单位为秒（s），纵轴表示发电机的电磁功率P_e，为标幺值，单位为p.u.；虚线表示实际测量到的各振荡类型的结果，而实线表示利用本发明中的方法拟合后得到的结果。

为了实现上述步骤（3）~步骤（10），需要掌握自由振荡和强迫振荡的特性。众所周知，到目前为止，自由振荡的特性研究的已经比较透彻，其响应中只含有振荡模式的单一分量。因此，下面重点推导系统在受到周期性扰动后，强迫功率振荡响应的表达式，进而分析其中所包含的响应成分及其振荡特征。

包含n台发电机的电力系统线性化状态方程为：

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{.}{x}\left(t\right)=\mathrm{A\&Delta;x}\left(t\right)+B\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，x(t)为系统状态变量形成的列向量，其中的每个元素都是时间t的函数；Δx(t)为系统状态x(t)的偏差；

为Δx(t)对时间t的导数；A为系统状态矩阵，B(t)为时间t的函数，表示m台机组受到的机械功率扰动向量，第l个机械功率扰动可以表示为b_l(t)=ΔP_mlsinω_lt，ΔP_ml为第l个机械功率扰动的幅值，ω_l为第l个机械扰动的振荡频率，l＝1,…,m。

假定初始时刻为t₀，系统的初始状态为x(t₀)，而系统初始状态的偏差为Δx(t₀)。利用矩阵微分方程的初值问题定理，可得系统状态的解析表达式为：

$\mathrm{\&Delta;x}\left(t\right)=\mathrm{\&Delta;}{x}_1\left(t\right)+\mathrm{\&Delta;}{x}_2\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}\mathrm{\&Delta;x}\left(t_0\right)+{\&Integral;}_{t_0}^t{e}^{-A(\mathrm{\&tau;}-t)}B\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(2\right)$

其中，Δx(t)为系统状态x(t)的偏差；e为指数标示符；Δx₁(t)为系统的零输入响应；Δx₂(t)为系统的零状态响应，也即系统受到扰动后的强迫振荡响应；τ为定积分中用到的变量，一旦计算出定积分，τ会消去；B(τ)是变量τ的函数，表示m台机组受到的机械功率扰动向量。

假设所有发电机均采用经典2阶模型，则矩阵A含有反映机电振荡模式的n-1对共轭复特征值，其中第r对共轭特征值可以表示为（λ_r，λ_r ^*），r表示第r个振荡模态，r=1，...,n-1，n为发电机的台数。所有特征值形成的对角阵为Λ，其相应的右、左特征向量矩阵分别为 $\mathrm{\&Phi;}=[{\mathrm{\&Phi;}}_1,{\mathrm{\&Phi;}}_2,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&Phi;}}_{n-1},{\mathrm{\&Phi;}}_1^{*},{\mathrm{\&Phi;}}_2^{*},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&Phi;}}_{n-1}^{*}],$ $\mathrm{\&Psi;}={\mathrm{\&Phi;}}^{-1}={[{\mathrm{\&Psi;}}_1^T,{\mathrm{\&Psi;}}_2^T,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&Psi;}}_{n-1}^T,{\mathrm{\&Psi;}}_1^{*T},{\mathrm{\&Psi;}}_2^{*T},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\mathrm{\&Psi;}}_{n-1}^{*T}]}^T.$ 利用Φ和Ψ，Δx₂(t)可转化为：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_2\left(t\right)=\mathrm{\&Phi;}{e}^{\mathrm{\&Lambda;t}}{\&Integral;}_{t_0}^t{e}^{-\mathrm{\&Lambda;\&tau;}}\mathrm{\&Psi;B}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}---\left(3\right)$

Δx₂(t)第i个分量为：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_{r}t}{\&Integral;}_{t_0}^t{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_r\mathrm{\&tau;}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}\sin {\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&tau;d\&tau;}+{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}t}{\&Integral;}_{t_0}^t{e}^{-{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}\mathrm{\&tau;}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}\sin {\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&tau;d\&tau;}---\left(4\right)$

式中，φ_ir为右特征向量矩阵Φ中第i行第r列的元素，ψ_rl为左特征向量矩阵Ψ中第r行第l列的元素；而φ^* _ir和ψ^* _rl分别为φ_ir和ψ_rl的共轭向量；r表示第r个振荡模态，r=1,2,…,n－1，n为发电机的台数；l表示第l个机械扰动，l=1,2,…,m，m为机械扰动的个数。

假设t₀=0，则式（4）可进一步转化为：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}[(-{\mathrm{\&lambda;}}_r\sin {\mathrm{\&omega;}}_{l}t-{\mathrm{\&omega;}}_l\cos {\mathrm{\&omega;}}_{l}t)+{\mathrm{\&omega;}}_l{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_{r}t}]}{{\mathrm{\&lambda;}}_r^2+{\mathrm{\&omega;}}_l^2}$

$+\frac{{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}[(-{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}\sin {\mathrm{\&omega;}}_{l}t-{\mathrm{\&omega;}}_l\cos {\mathrm{\&omega;}}_{l}t)+{\mathrm{\&omega;}}_l{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}t}}{{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}+{\mathrm{\&omega;}}_l^2}$

$=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{({\mathrm{\&lambda;}}_r^2+{\mathrm{\&omega;}}_l^2)({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}+{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}\{-[({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}{\mathrm{\&lambda;}}_r+({\mathrm{\&lambda;}}_r^2+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}]\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}\sin {\mathrm{\&omega;}}_{l}t---\left(5\right)$

$-[({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}+({\mathrm{\&lambda;}}_r^2+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}]{\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}\cos {\mathrm{\&omega;}}_{l}t$

$+[({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_{r}t}+({\mathrm{\&lambda;}}_r^2+{\mathrm{\&omega;}}_l^2){\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}{e}^{{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}t}]{\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}\}$

定义第r阶振荡模式的无阻尼自然振荡频率为ω_nr＝|λ_r|，第r阶振荡模式的阻尼比为ζ_r，第r阶振荡模式的系统阻尼为－ζ_rω_nr，系统的自然振荡（固有）频率

则λ_r＝ω_nr∠θ_r，θ_r=arccos(-ζ_r)，其中，θ_r为特征值λ_r的相角。设φ_ir＝|φ_ir|∠γ_ir，ψ_rl＝|ψ_rl|∠σ_rl，则φ^* _ir＝|φ_ir|∠(-γ_ir)，ψ^* _rl＝|ψ_rl|∠(-σ_rl)，其中，γ_ir和σ_rl分别为复数φ_ir和ψ_rl的相角，|φ_ir|和|ψ_rl|分别为复数φ_ir和ψ_rl的幅值。那么，式（5）可整理为：

式中，

$a=-[({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}+{\mathrm{\&lambda;}}_r{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}){\mathrm{\&lambda;}}_r{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}+({\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}{\mathrm{\&lambda;}}_r+{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}{\mathrm{\&lambda;}}_r^{*}){\mathrm{\&omega;}}_l^2]$

（7）

$=-2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|[\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}-{\mathrm{\&theta;}}_r){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2+\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}+{\mathrm{\&theta;}}_r){\mathrm{\&omega;}}_l^2]$

$b=-[({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}+{\mathrm{\&lambda;}}_r^2{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}){\mathrm{\&omega;}}_l+({\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}+{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}){\mathrm{\&omega;}}_l^3]$

（8）

$=-2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|[\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}-2{\mathrm{\&theta;}}_r){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2+\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}){\mathrm{\&omega;}}_l^2]$

$B_{1\mathrm{il}}^r=\sqrt{a^2+b^2},$

$c=({\mathrm{\&lambda;}}_r^{*2}{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}{e}^{j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t}+{\mathrm{\&lambda;}}_r^2{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}{e}^{-j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t}){\mathrm{\&omega;}}_l+({\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}{e}^{j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t}+{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}^{*}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}^{*}{e}^{-j{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t}){\mathrm{\&omega;}}_l^3$

（10）

$=2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|[\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}-2{\mathrm{\&theta;}}_r){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2+\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}}){\mathrm{\&omega;}}_l^2]$

其中，参数a、b、c、B^r _1il和是为了表示方便而引入的，分别用于指代各式子等号右边的部分；若将参数a和b作为某个直角三角形二条直角边的长度，则B^r _1il为斜边的长度，即参数a和b平方和的根，为该直角三角形中，长度为b的边所对应角的大小。

式(6)即为发电机受到周期性机械功率扰动后，多机电力系统强迫振荡响应的解析表达式。

由式(6)可直接总结得到多机系统强迫振荡响应的特征如下：

(1)系统强迫振荡的零状态响应，由外施扰动源决定的强制（稳态）分量和由系统各阶振荡模式决定的自由（瞬态）分量组成；

(2)当系统各阶振荡模式的阻尼为正时，无论扰动源的频率与系统振荡模式的频率相等与否，自由分量最终衰减为零，只剩下等幅振荡的强制分量，如图3中所示，对比图2，不难发现负阻尼振荡和正阻尼振荡有着明显的区别。这表明，只有从包含自由分量的强迫振荡起振（瞬态）阶段的响应中，才有可能提取得到系统振荡模式对应的阻尼；

下面利用共振和拍频振荡发生的条件，分别对实数a，b，c以及式（6）作进一步处理和简化，以得到共振和拍频振荡的表达式，进而分析它们的特征。

（一）共振

系统发生共振型强迫振荡的条件为扰动的振荡频率ω_l和系统的自然振荡（固有）频率ω_dr相等，即

${\mathrm{\&omega;}}_l={\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}=\sqrt{1-{\mathrm{\&zeta;}}_r^2}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}---\left(11\right)$

由于第r阶振荡模式的阻尼比ζ_r<<1，故

ω_l≈ω_nr。于是，式（7）~（10）可进一步处理和简化为：

$a\&ap;4{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^3\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(12\right)$

$b\&ap;4{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^3\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\sin ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(13\right)$

$c\&ap;-4{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^3\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(15\right)$

式中，上标3表示相应变量的三次方。

将上述各式代入式（6）中，则Δx_2i(t)可进一步整理为：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{4{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^3\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{(4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2-3{\mathrm{\&zeta;}}_r^4){\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^4}(1-e^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t})\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})$

（16）

$\&ap;\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}}(1-e^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t})\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})$

式中，上标2、3、4分别代表相应变量的二次方、三次方和四次方。

除了第2节中列出的特征外，由式（16）还可进一步总结得到共振情况下强迫振荡响应的特征如下：

(1)在起振时刻（t＝0），强迫振荡响应的自由分量和强制分量的幅值近似相等，相位大致相反，如图4和图5所示；

(2)第r阶振荡模式的阻尼比ζ_r和频率ω_nr越小，强迫振荡的幅值越大。

当第r阶振荡模式的阻尼比ζ_r趋近于0时，

的等价无穷小为-ζ_rω_nrt。因此，当ζ_r等于零时，式（16）变为：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)\&ap;\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}t\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(17\right)$

由式（17）可知，共振以及ζ_r为零情况下，强迫振荡响应的幅值随时间t线性地增大，如图4中所示。

（二）拍频振荡

令

$A=\frac{\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}{B}_{1\mathrm{il}}^r}{{({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}^2+4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\mathrm{\&omega;}}_l^2}---\left(18\right)$

$B=\frac{2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}{e}^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t}}{{({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}^2+4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\mathrm{\&omega;}}_l^2}---\left(19\right)$

$C=\frac{2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|{\mathrm{\&omega;}}_l^2\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}{e}^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t}}{{({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}^2+4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\mathrm{\&omega;}}_l^2}---\left(20\right)$

式中，参数A、B、C是为了表示方便而引入的，分别用于指代等号右边的式子。式（18）、式（19）、式（20）、式（21）、式（22）、式（24）、式（31）、式（32）和式（33）中出现的参数A、B、C的含义相同。

于是，式(6)可简写为：

为不失一般性，假设系统的自然振荡（固有）频率ω_dr大于扰动的振荡频率ω_l，即ω_dr>ω_l令ω_ar＝(ω_dr+ω_l)/2，ω_br＝(ω_dr-ω_l)/2，其中，ω_ar和ω_br这两个符号只是为了后面表示方便而采用的，分别用于表示ω_dr与ω_l之和的一半以及它们之差的一半。

将ω_ar和ω_br代入式（21），可得：

式中，将Δx_2i(t)展开式中的两项分别定义为Δx_a(t)和Δx_b(t)，并把这两项的和定义为Δx_e(t)，方便后续使用。

考虑到拍频振荡时，外施扰动的频率ω_l接近于第r阶模式的自然振荡频率ω_dr，二者之差小于min(ω_l,ω_dr)=ω_l，即ω_dr-ω_l<ω_l。于是，有：

$\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}}=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}+{\mathrm{\&omega;}}_l}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}-{\mathrm{\&omega;}}_l}=1+\frac{2}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}/{\mathrm{\&omega;}}_l-1}>3---\left(23\right)$

由此可知，Δx_e(t)的包络线Δx_ee(t)为：

（24）

由于系统振荡模式的阻尼比ζ_r<<1，则：

${\mathrm{\&theta;}}_r\&ap;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}---\left(25\right)$

将式（25）代入式（7）~（10），可得：

$a=-2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\sin ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(26\right)$

$b=2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\cos ({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(27\right)$

$B_{1\mathrm{il}}^r=2\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\sqrt{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\sin }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+{\mathrm{\&omega;}}_l^2{\cos }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})}---\left(28\right)$

$c=-2{\mathrm{\&omega;}}_l\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{dr}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})---\left(30\right)$

将式（25）、（28）、（29）分别代入式（18）、（22）、（24）中，可得：

$A=\frac{2\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{{({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}^2+4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\mathrm{\&omega;}}_l^2}\sqrt{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\sin }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+{\mathrm{\&omega;}}_l^2{\cos }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})}---\left(31\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}[A\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})-(B-C)\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)---\left(32\right)$

$+[A\sin {(\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+(B-C)\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ee}}^2\left(t\right)=A^2+B^2+C^2-2\mathrm{BC}-2A(B-C)\cos \left(2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t\right)---\left(33\right)$

式中，Δx_ee(t)为包络线，

表示包络线的平方。

综合考虑ω_dr>ω_l和ω_dr<ω_l这2种情况，由式（33）可知，包络线Δx_ee(t)的振荡频率为|ω_dr－ω_l|，最大幅值为A+|B-C|，最小幅值为A-|B-C|。

由于ζ_r<<1，故

此外，由于ω_l≈ω_dr，故ω_l≈ω_nr。于是，式（31）中，

$\sqrt{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\sin }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+{\mathrm{\&omega;}}_l^2{\cos }^2({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})}\&ap;{\mathrm{\&omega;}}_l\&ap;{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}---\left(34\right)$

将式（34）带入式（31），然后与式（19）、（20）一起代入（32）中，可得：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)\&ap;\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{2\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}{\mathrm{\&omega;}}_l}{{({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2)}^2+4{\mathrm{\&zeta;}}_r^2{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2{\mathrm{\&omega;}}_l^2}\{$

$[\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})-e^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t}\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)---\left(35\right)$

$+[\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+e^{-{\mathrm{\&zeta;}}_r{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}t}\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)\}$

式（35）即为第r阶模式的阻尼比ζ_r大于零时，拍频振荡响应的表达式，其表现形式如图6所示

当第r阶振荡模式的阻尼ζ_r等于零时，考虑到ω_l≈(ω_dr+ω_l)/2=ω_ar，则式（35）可进一步整理得：

$\mathrm{\&Delta;}{x}_{2i}\left(t\right)=\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{2\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|{\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2}\{$

$[\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})-\cos ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)$

$+[\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t-{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})+\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})]\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t\right)\}---\left(36\right)$

$\&ap;\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{4\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|{\mathrm{\&omega;}}_l\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nr}}^2-{\mathrm{\&omega;}}_l^2}\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t\right)\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})$

$\&ap;\underset{r=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{l=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{\left|{\mathrm{\&phi;}}_{\mathrm{ir}}\right|\left|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{rl}}\right|\mathrm{\&Delta;}{P}_{\mathrm{ml}}}{{\mathrm{\&omega;}}_b}\sin \left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{br}}t\right)\sin ({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ar}}t+{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{ir}}+{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{rl}})$

式（36）即为第r阶模式的阻尼ζ_r等于零时，拍频振荡响应的表达式。除了第2节中列出的强迫振荡响应的特征外，由式（36）还可以总结得到拍频情况下的特征为：在外施扰动的激励下，强制分量和自由分量的阻尼均为零，二者的合成响应呈现为不衰减的拍频振荡，如图7所示，拍频振荡的幅值（包络线）的振荡频率为ω_br。

示例：

为了验证本文中提出的基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，下面利用各种不同振荡类型的Prony分析结果和示意图（图2~图7）来阐述该方法的正确性。

1.负阻尼振荡

表1负阻尼振荡的Prony分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.0069	-2.8226	0.0000	0.0000	100.0000
2	0.0053	-54.5438	0.0000	180.0000	100.0000
						3	0.0017	0.1795	0.5707	144.3422	-4.9996

由表1可知，第1个和第2个分量的阻尼都为负，则可以认为是负阻尼振荡，由于这些是负阻尼振荡的Prony分析结果，所以与实际情况相符。第3个分量的阻尼为正，则认为它是正阻尼振荡，具体是哪一种类型的振荡，还需要进一步分析。

如图2所示，负阻尼振荡时，实线和虚线基本一致，二者的振幅不断增大，表明利用本方法确定的负阻尼振荡符合实际情况，进一步说明在负阻尼振荡的判定上，该方法是正确的。

2.正阻尼自由振荡

表2正阻尼自由振荡的Prony分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.0041	-1.5539	-0.0000	-0.0000	100.0000
2	0.1002	-0.0003	0.0000	0.0000	100.0000
						3	0.0730	-0.2567	0.6464	161.1651	6.3088
4	0.0559	-0.1139	1.1137	-140.2308	1.6268
						5	0.0896	-0.4506	1.3980	-52.1712	5.1233

由表2可知，这五个分量的阻尼比都大于阻尼比门槛值的相反数－ζ_th，且大于阻尼比的门槛值ζ_th；在第2、3、4和5个分量中，任意两个分量频率差的绝对值都大于振荡频率的门槛值f_th。因此，它们发生了正阻尼自由振荡，与实际情况相符，表明本文中的判别方法可以有效地判别出正阻尼只有振荡。

如图3所示，正阻尼自由振荡时，实线和虚线基本一致，只是在个别地方的幅值有所区别，两条曲线总体趋势相同，它们的振幅逐渐减小，表明利用本方法确定的正阻尼自由振荡符合实际情况，进一步说明在正阻尼自由振荡的判定上，该方法是正确的。

3.零阻尼共振

表3零阻尼共振的Prony分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.4128	0.0001	0.5983	-87.3359	-0.0029

2

0.4129

0.0006

0.6001

92.6834

-0.0167

由表3可知，第1个和第2个分量的阻尼比为负，且接近于零，它们的绝对值都小于阻尼比的门槛值ζ_th；另外，这两个分量频率差的绝对值小于振荡频率的门槛值f_th。通过以上两点，判断它们是零阻尼共振，验证了本发明中零阻尼共振的判别方法。

如图4所示，零阻尼共振时，实线和虚线基本一致，二者的振幅不断增大，表明利用本方法确定的零阻尼共振符合实际情况，进一步说明在零阻尼共振的判定上，该方法是正确的。

4.正阻尼共振

表4正阻尼共振的Prony分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.1011	-0.0056	1.1323	177.0496	0.0781
2	0.1037	-0.0857	1.1284	-2.0583	1.2084

由表4可知，第1个分量阻尼比小于阻尼比的门槛值ζ_th，而第2个分量的阻尼比大于阻尼比的门槛值ζ_th；通过比较它们的频率可知，它们的频率差小于振荡频率的门槛值f_th。这样，就可以判定它们发生了正阻尼共振，与实际情况相符。

如图5所示，正阻尼共振时，实线和虚线基本一致，二者的振幅先不断增大，然后受阻尼的影响，幅值最终保持不变，表明利用本方法确定的正阻尼共振符合实际情况，进一步说明在正阻尼共振的判定上，该方法是正确的。

5.正阻尼拍频

表5正阻尼拍频的Porny分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.0028	-0.0298	0.6116	88.0980	0.7768
2	0.0029	0.0000	0.5700	-89.8186	-0.0008

由表5可知，分量1和分量2的阻尼比都大于阻尼比门槛值的相反数－ζ_th，它们的频率接近，但是二者的频率差大于振荡频率的门槛值f_th；分量1的阻尼比大于阻尼比门槛值ζ_th，而分量2阻尼比的绝对值小于阻尼比门槛值ζ_th。这样就可以判断它们发生了正阻尼拍频，由于表5中的数据是正阻尼的Prony分析结果，说明本发明中的方法可以用来判别正阻尼拍频。

如图6所示，正阻尼拍频时，实线和虚线基本一致，二者的振幅呈现衰减的周期性振荡，表明利用本方法确定的正阻尼拍频符合实际情况，进一步说明在正阻尼拍频的判定上，该方法是正确的。

6.零阻尼拍频

表6零阻尼拍频的Prony分析结果

序号	幅值	阻尼	频率/Hz	初相位/(°)	阻尼比/%
						1	0.5000	-0.0000	0.8000	-0.0000	0.0000
2	0.4000	-0.0000	0.6500	-164.9977	0.0000

由表6可知，分量1和分量2的阻尼比等于零，则大于阻尼比门槛值的相反数－ζ_th，它们的频率接近，但二者的频率差大于振荡频率的门槛值f_th。这样就可以判断它们发生了零阻尼拍频，由于表6中的数据是零阻尼的Prony分析结果，表明本发明中的方法可以用来判别零阻尼拍频。

如图7所示，零阻尼拍频时，实线和虚线基本一致，二者的振幅呈现周期性的振荡，各周期的振幅都保持不变，表明利用本方法确定的零阻尼拍频符合实际情况，进一步说明在零阻尼拍频的判定上，该方法是正确的。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (10)

1.一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，主要分为以下具体步骤：

步骤（1）、开始，选取待分析振荡数据；

步骤（2）、辨识响应成分和振荡特性；

步骤（3）、负阻尼振荡的判定，若是负阻尼振荡，结束，反之进入步骤（4）；

步骤（4）、共振振荡的判定：如果将振荡判定为共振，并转入步骤（5）；反之转入步骤（7）；

步骤（5）、正阻尼共振的判定：如果判定为正阻尼共振，结束；反之进入步骤（6）；

步骤（6）、零阻尼共振的判定，若判定为零阻尼共振，结束；

步骤（7）、正阻尼自由振荡的判定，若判定为正阻尼自由振荡，结束；反之进入步骤（8）；

步骤（8）、零阻尼等幅自由振荡的判定，若判定为零阻尼等幅自由振荡，结束；

步骤（9）、零阻尼拍频振荡的判定，若判定为零阻尼拍频振荡，结束；反之进入步骤（10）；

步骤（10）、正阻尼拍频振荡的判定：若判定为正阻尼拍频振荡，结束。

2.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（1）中选取待分析振荡数据是指选取同时包含起振和稳态阶段、振幅较小的低频振荡响应曲线。

3.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（2）的辨识响应成分和振荡特性是指利用Prony算法，提取振荡的响应成分和振荡特征。

4.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（3）的负阻尼振荡的判定是指如果存在第s个振荡模式，其阻尼比ζ_s小于-ζ_th，则判定为负阻尼振荡，结束；其中，ζ_th为振荡阻尼比的门槛值，为取值很小的正实数。

5.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（4）的共振振荡的判定方法为如果存在两个振荡模式s和t，它们之间的频率差的绝对值|f_s-f_t|小于f_th，则认为它们的频率差f_s＝f_t，则将振荡判定为共振振荡。

6.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（5）的正阻尼共振的判定方法为：对于共振振荡，如果其中一个模式的阻尼比的绝对值|ζ_s|小于ζ_th，则认为ζ_s≈0，且另一个模式的阻尼比大于ζ_th，则判定为正阻尼共振；所述步骤（6）的零阻尼共振的判定方法为：如果两个模式的阻尼比绝对值均小于ζ_th，即ζ_s≈ζ_t≈0，则判定为零阻尼共振。

7.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（7）的正阻尼自由振荡的判定方法为：若|f_s-f_t|＞f_th，且对于任意的模式s，其阻尼比ζ_s大于ζ_th，则判定为正阻尼自由振荡。

8.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（8）的零阻尼等幅自由振荡的判定方法为：若|f_s-f_t|＞f_th，且存在模式s，其阻尼比的绝对值|ζ_s|小于ζ_th，则需要计算其能量比，以判别是否为主导振荡模式：

${\mathrm{\&eta;}}_s=\frac{A_s^2}{\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{A}_k^2}---\left(37\right)$

式中，A_s为第s个振荡模式的振幅，若步骤（8）成立，则第s个振荡模式为唯一的主导模式，并判定为零阻尼等幅自由振荡。

9.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（9）零阻尼拍频振荡的判定方法为：若η_s<η_th、η_t<η_th、η_s+η_t>η_th、|f_s-f_t|<min(f_s,f_t)，则判定为拍频振荡；若存在第t个模式的阻尼比的绝对值|ζ_t|小于ζ_th，则进一步地判定为零阻尼拍频振荡。

10.如权利要求1所述的一种基于响应成分和振荡特征辨识的低频振荡类型判别方法，其特征是，所述步骤（10）正阻尼拍频振荡的判定方法为，若第t个模式的阻尼比的绝对值|ζ_t|大于ζ_th，则判定为正阻尼拍频振荡。

Images