CN102890449B - 基于有限时间鲁棒稳定的风电机组变桨距控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种有限时间内鲁棒稳定的风电机组变桨距控制方法：利用模糊T-S模型近似表示风电机组变桨距系统的连续时间非线性模型；根据获得的模糊T-S模型，利用单点模糊化、乘积推理、重心解模糊化得到动态模糊模型；根据获得的动态模糊模型以及有限时间稳定涵义，设计风电机组变桨距状态反馈控制器，并利用得到的控制器对风电机组的桨距角、风力发电机转速和风电机组输出电流进行控制。

Description

基于有限时间鲁棒稳定的风电机组变桨距控制器设计方法

技术领域

本发明涉及风电机组变桨距的控制，尤其是一种基于有限时间鲁棒稳定的控制方法。

背景技术

由于风能是随机性能源，当风速发生变化时，风力机轴上输出的功率也随之发生变化。因此，如何调节风力机的输出功率对并网运行的风力发电机而言是十分重要的关键技术之一。目前，水平轴风力机功率调节方式主要分为两种，即定桨距失速调节和变桨距功率调节两种。

定桨距失速功率调节的基本原理是：利用桨叶本身的气动特性，即在额定风速以内，叶片的升力系数较高，风能的利用系数C_p也较高，而风速超过额定值时，叶片进入失速状态，只是升力不再增加，风轮转速将不再随着风速的增加而增加，从而达到限制风力机输出功率的目的。概括地说，失速功率调节既是利用叶片的气动失速功率调节，又是利用叶片的气动失速特性限制风力机叶片吸收风能，达到防止风力机的输出功率过大，从而达到维持风力机转速恒定。这种调节方式的优点是变桨距调节机构简单，运行可靠性较高，但存在风能损失大，风力机的起动性能较差，叶片上所承受的气动推力较大等缺点。

变桨距功率调节方式的基本原理是：当风力变化使风力机的风轮转速偏离了额定转速时，在规定的时间内，借助于叶片桨距调节控制器的控制，改变风力机风轮叶片的桨距角，维持风力机的转速恒定，从而调整风力机的输出功率。目前常见的控制算法有以下几种：

(1)基于鲁棒控制算法的变桨距控制技术，可实现在有建模不确定性条件下的最大风能捕获，在基本保证最大风能捕获的情况下，能使转子轴上转矩变化的幅值减小一个数量级。鲁棒控制还可以解决偏航问题，以及通过控制驱动链中的转矩实现风能转换系统中疲劳负载控制器的设计。

(2)基于模糊算法的智能变桨距控制器技术，能够有效适应非线性系统，变桨距模糊控制采用改变桨距角以改变空气动力转矩的方法来调节风力机风轮的功率系数，进而控制风力机的输出功率。

(3)基于模糊RBF神经网络的风电机组变桨距控制，采用神经网络实现模糊映射过程，根据输入-输出训练数据自动地提取控制规则，确定前件和后件参数。该控制器基于实时数据进行计算，能够不断优化其内部参数使系统可以克服非线性及时变性，满足了系统的动态特性和稳态性能。

发明内容

本发明对现有技术进行改进，旨在使风电机组变桨距控制系统在有限时间内鲁棒稳定。本发明的技术方案为：

一种基于有限时间鲁棒稳定的风电机组变桨距控制方法，包括以下步骤：

第一步：对于风电机组变桨距系统，建立连续时间非线性模型并由如下模糊T-S模型近似表示：

被控对象模型规则i(i＝1，2，...，r)

如果※θ₁(t)为N_i1，θ₂(t)为N_i2θ₃(t)为N_i3

那么 $\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=A_{i}x\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)$

其中，θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)分别表示风速、风力发电机转速和输出功率；N_i1、N_i2和N_i3分别为第i条规则中θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)对应的语言变量；x(t)为由桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流构成的向量；u(t)表示期望的桨距角指令输入；(A_i，B_i)表示第i条被控对象模型规则对应的状态方程系数；r为控制规则数(本发明取值为9或16)；

第二步：对上述模糊T-S模型进行乘积推理、重心解模糊化处理，得到如下动态模糊模型：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)[A_{i}x\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)]$

其中，表示被控对象模型符合第i条规则的程度；h_i1(θ₁(t))、h_i2(θ₂(t))和h_i3(θ₃(t))分别为θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)的隶属度函数，当θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)取为具体数值时，其对应的隶属度函数取值分别为h_i1(θ₁(t))、h_i2(θ₂(t))和h_i3(θ₃(t))；

第三步：根据有限时间稳定的涵义以及上述被控对象模型，设计由如下模糊T-S模型表示的控制器模型，其中，每个被控对象模型规则对应一个控制器模型规则：

控制器模型规则j(j＝1，2，...，r)

如果θ₁(t)为N_j1，θ₂(t)为N_j2θ₃(t)为N_j3

那么u(t)＝K_jx(t)

其中，K_j为增益矩阵；

对上述控制器模型进行乘积推理、重心解模糊化，整理得到如下控制器：

$u\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)K_{j}x\left(t\right)$

其中，N_jk(j＝1，2，...，r，k＝1，2，3)与第一步中的N_ik(i＝1，2，...，r，k＝1，2，3)一致，h_j(θ(t))(j＝1，2，...，)与第二步中的h_j(θ(t))(i＝1，2，...，)一致；

第四步：利用第三步得到的桨距角指令输入u(t)，对桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流进行控制。

具体实施方式

【风电机组的变桨距调节原理】

由风能利用系数C_p＝2P/ρv³A知，风力机吸收风能产生的输出功率为P＝Cp_ρv³A/2；风力机将产生的能量转变为机械能传递给负载，机械能表达式：

P_m＝Tw(1)

式中：P_m-机械能；T-风力机扭矩；ω-风力机角速度，这里的扭矩T由负载决定，这样由式(1)可得到：

ω＝ρπC_pR²v³/2T

当风力机处于一定的风速下，对于一定的负载，ρ、π、R亦为常量，那么转速就取决于风能利用系数的大小，则有ω∝C_p。根据叶素特性理论分析风轮起动后以某种速度稳定旋转时叶片的受力情况，从而得出理想情况下气流与叶片各角的关系：

I＝i+β

tgI＝v/wr＝1/λ

式中：I-倾角；i-攻角；β-桨距角；λ-尖速比。

根据力的平衡关系，叶片的扭矩为：

T＝C_mρv²AR/2

$W_r=\frac{v}{\sin I}$

$C_m=\frac{C_L(\sin I-\frac{1}{C_L/C_D}\cos I)}{{\sin }^{2}I}$

式中：C_m-扭矩系数；A-风轮的迎风面积；R-风轮半径；W_r-叶片的相对风速。

对于在一定转速下运转的风力机，当风速和风向一定时，W_r和I为定值。如果增大攻角(减小桨距角)，升力系数将增大，升阻比也将增大，扭矩系数也会增大，反之亦然。所以通过改变风力机桨距角β，就可以改变风力机的转速，这就是风力机变桨距调节原理。通常是以风速和风力机的转速作为叶片桨距角控制器动作的信号。

【有限时间鲁棒稳定】

由李亚普诺夫的渐进稳定理论开始，稳定性理论被人们广泛的研究。在研究过程中，一般定义了一个无限的时间区间，即当时间趋于无穷时，控制系统误差稳定在一领域内。而在实际应用中，往往不考虑时间趋于无穷的稳定情况，而仅考虑在设定时间范围内的稳定情况，由此引入有限时间稳定的概念，通过稳定要求的弱化，带来控制系统的动态性能提升。鲁棒稳定是指反馈控制系统中的对象模型发生摄动时，该系统仍然能保持稳定的状态。

定义1：对于被控对象闭环控制系统被称为[0，T]内有限时间稳定是指：存在参数(c₁，c₂，T，R_c)满足 $\∀t\∈(0,R]$ 都有 $x^T\left(0\right)R_{C}x\left(0\right)\≤c_1\⇒x^T\left(t\right)R_{C}x\left(t\right)\≤c_2,$ 其中0＜c₁＜c₂，T∈R₊以及R_c＞0。

定义2：本发明考虑的鲁棒控制系统如下：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)h_j\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)[(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)K_j]x\left(t\right)$

ΔA_i和ΔB_i(i＝1，2，…，r)有两种形式。

形式一：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_i=M_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}\\ \mathrm{\Δ}{B}_i=M_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}\end{array}\right.$

形式二：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_i=A_i{M}_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}\\ \mathrm{\Δ}{B}_i=B_i{M}_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_i=M_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}{A}_i\\ \mathrm{\Δ}{B}_i=M_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}{B}_i\end{array}\right.$

其中，M_A，t，M_B，t，N_A，t’N_B，t为已知矩阵，时变矩阵F_A，i(t)、F_B，i(t)为待求解的连续函数且满足

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{A,i}^T\left(t\right)F_{A,i}\left(t\right)\≤I\\ F_{B,i}^T\left(t\right)F_{B,i}\left(t\right)\≤I\end{array}\right.t\≥0,$

r代表规则数，θ(t)表示与状态x(t)相关的参数[θ₁(t)，θ₂(t)，…，θ_p(t)]^T，p为状态数，h_i(θ(t))表示状态对应第i条规则的隶属度函数，h_j(θ(t))表示输入对应第j条规则的隶属度函数，(Ai，Bi)表示第i条规则的状态方程系数，Kj表示第j条规则的状态反馈控制系数，ΔA_i和ΔB_i(i＝1，2，…，r)表示第i条规则的状态方程系数的摄动值。

【变桨距控制方法】

利用模糊T-S模型近似表示风电机组变桨距系统的连续时间非线性模型；根据获得的模糊T-S模型，利用单点模糊化、乘积推理、重心解模糊化得到动态模糊模型；根据获得的动态模糊模型以及有限时间稳定涵义，设计风电机组变桨距状态反馈控制器，并利用得到的控制器对风电机组的桨距角、风力发电机转速和风电机组输出电流进行控制，具体步骤如下：

第一步：对于风电机组变桨距系统，建立连续时间非线性模型并由如下模糊T-S模型近似表示：

被控对象模型规则i(i＝1，2，...，r)

如果θ₁(t)为N_i1，θ₂(t)为N_i2θ₃(t)为N_i3

那么 $\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=A_{i}x\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)$

其中，θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)分别表示风速、风力发电机转速和输出功率；N_i1、N_i2和N_i3分别为第i条规则中θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)对应的语言变量；x(t)为由桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流构成的向量；u(t)表示期望的桨距角指令输入；(A_i，B_i)表示第i条被控对象模型规则对应的状态方程系数；r为控制规则数(本发明取值为9或16)；

第二步：对上述模糊T-S模型进行乘积推理、重心解模糊化处理，得到如下动态模糊模型：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)[A_{i}x\left(t\right)+B_{i}u\left(t\right)]$

其中，表示被控对象模型符合第i条规则的程度；h_i1(θ₁(t))、h_i2(θ₂(t))和h_i3(θ₃(t))分别为θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)的隶属度函数，当θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)取为具体数值时，其对应的隶属度函数取值分别为h_i1(θ₁(t))、h_i2(θ₂(t))和h_i3(θ₃(t))；

第三步：根据有限时间稳定的涵义以及上述被控对象模型，设计由如下模糊T-S模型表示的控制器模型，其中，每个被控对象模型规则对应一个控制器模型规则：

控制器模型规则j(j＝1，2，...，r)

如果θ₁(t)为N_j1，θ₂(t)为N_j2θ₃(t)为N_j3

那么u(t)＝K_jx(t)

其中，K_j为增益矩阵；

对上述控制器模型进行乘积推理、重心解模糊化，整理得到如下控制器：

$u\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(\mathrm{\θ}\left(t\right)\right)K_{j}x\left(t\right)$

其中，N_jk(j＝1，2，...，r，k＝1，2，3)与第一步中的H_ik(i＝1，2，...，r，k＝1，2，3)一致，h_i(θ(t))(j＝1，2，...，r)与第二步中的h_i(θ(t))(i＝1，2，...，r)一致；

第四步：利用第三步得到的桨距角指令输入u(t)，对桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流进行控制。

【控制参数设计】

根据以上定义1～2，当标量α≥0且ε＞0，对称正定阵Q∈R^nxn以及矩阵W_j，M_A，j，N_A，j，M_B，j，N_B，j(1≤i，j≤r)满足一定的关系式时，所述控制系数K_j取为以满足控制系统在考察的时间范围[0，T]内有限时间鲁棒稳定，

(1)对于 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{A}_i=M_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}\\ \mathrm{\Δ}{B}_i=M_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}\end{array}\right.,$ 所述关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_i\tilde{Q}+\tilde{Q}{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T-\mathrm{\&alpha;}\tilde{Q}& M_{A,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{A,i}\tilde{Q}\right)}^T& M_{B,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{B,i}{W}_j\right)}^T\\ {M_{A,i}}^T& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{A,i}\tilde{Q}\right)& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0\\ {M_{B,i}}^T& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{B,i}{W}_j\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<01\&le;i,j\&le;r\end{array}\right.\\ \frac{c_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right)}<\frac{c_2{e}^{-\mathrm{\&alpha;T}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(Q\right)}\end{array}\right.$

其中 $\tilde{Q}=R_C^{-1/2}Q{R}_C^{-1/2}.$

(2)对于 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{A}_i=M_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}\\ \mathrm{\&Delta;}{B}_i=M_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}\end{array}\right.,$ 所述关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_i\tilde{Q}+\tilde{Q}{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T-\mathrm{\&alpha;}\tilde{Q}& {A_{i}M}_{A,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{A,i}\tilde{Q}\right)}^T& B_i{M}_{B,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{B,i}\tilde{Q}\right)}^T\\ {\left({A_{i}M}_{A,i}\right)}^T& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{A,i}\tilde{Q}\right)& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0\\ {\left({B_{i}M}_{B,i}\right)}^T& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{B,i}\tilde{Q}\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<01\&le;i,j\&le;r\end{array}\right.\\ \frac{c_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right)}<\frac{c_2{e}^{-\mathrm{\&alpha;T}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(Q\right)}\end{array}\right.$

其中 $\tilde{Q}=R_C^{-1/2}Q{R}_C^{-1/2}.$

(3)对于 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{A}_i=M_{A,i}{F}_{A,i}\left(t\right)N_{A,i}{A}_i\\ \mathrm{\&Delta;}{B}_i=M_{B,i}{F}_{B,i}\left(t\right)N_{B,i}{B}_i\end{array}\right.,$ 所述关系式为：

$\left\{\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_i\tilde{Q}+\tilde{Q}{A}_i^T+B_i{W}_j+W_j^T{B}_i^T-\mathrm{\&alpha;}\tilde{Q}& M_{A,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{A,i}{A}_i\tilde{Q}\right)}^T& M_{B,i}& \mathrm{\&epsiv;}{\left(N_{B,i}{B}_i\tilde{Q}\right)}^T\\ {M_{A,i}}^T& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{A,i}{A}_i\tilde{Q}\right)& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0& 0\\ {M_{B,i}}^T& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}& 0\\ \mathrm{\&epsiv;}\left(N_{B,i}{B}_i\tilde{Q}\right)& 0& 0& 0& -\mathrm{\&epsiv;I}\end{array}\right]<01\&le;i,j\&le;r\end{array}\right.\\ \frac{c_1}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\min }\left(Q\right)}<\frac{c_2{e}^{-\mathrm{\&alpha;T}}}{{\mathrm{\&lambda;}}_{\max }\left(Q\right)}\end{array}\right.$

其中 $\tilde{Q}=R_C^{-1/2}Q{R}_C^{-1/2}.$

上面三种情况中ΔA_i和ΔB_i(i＝1，2，…，r)表示第i条规则的状态方程系数的摄动值；参数(c₁，c₂，T，R_C)满足 $\&ForAll;t\&Element;(0,T]$ 都有 $x^T\left(0\right)R_{C}x\left(0\right)\&le;c_1\&DoubleRightArrow;x^T\left(t\right)R_{C}x\left(t\right)\&le;c_2,$ 其中，0＜c₁＜c₂，T∈R₊以及R_C＞0，并且R_C表示状态增益矩阵，c₁表示初始状态x(0)对应的x^T(0)R_Cx(0)取值上限，c₂表示在时间(0，T]内状态x(t)对应的x^T(t)R_Cx(t)取值上限；λ_min(Q)表示矩阵Q的最小特征值，λ_max(Q)表示矩阵Q的最大特征值；M_A，i，M_B，i，N_A，i，N_B，i为已知矩阵，时变矩阵F_A，i(t)、F_B，i(t)为待求解的连续函数且满足

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{A,i}^T\left(t\right)F_{A,i}\left(t\right)\&le;I\\ F_{B,i}^T\left(t\right)F_{B,i}\left(t\right)\&le;I\end{array}\right.t\&GreaterEqual;0.$

以上关系式可以利用Matlab的LMI工具箱进行求解。

要说明的是，本发明实施例的控制方法可借助软件加必需的通用硬件平台的方式来实现。基于这样的理解，本发明实施例的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以执行本发明各个实施例所述的方法。这里所称的存储介质，如：ROM/RAM、磁盘、光盘等。综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于有限时间鲁棒稳定的风电机组变桨距控制方法，包括以下步骤：第一步：对于风电机组变桨距系统，建立连续时间非线性模型并由如下模糊T-S模型近似表示：

被控对象模型规则i，i＝1，2，...，r

如果θ₁(t)为N_i1，θ₂(t)为N_i2，θ₃(t)为N_i3

那么

其中，θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)分别表示风速、风力发电机转速和输出功率；N_i1、N_i2和N_i3分别为第i条规则中θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)对应的语言变量；x(t)为由桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流构成的向量；u(t)表示期望的桨距角指令输入；(A_i，B_i)表示第i条被控对象模型规则对应的状态方程系数；r为控制规则数，其取值为9或16；

第二步：对上述模糊T-S模型进行乘积推理、重心解模糊化处理，得到由如下动态模糊模型表示的被控对象模型：

其中，表示被控对象模型符合第i条规则的程度；h_i1(θ₁(t))、h_i2(θ₂(t))和h_i3(θ₃(t))分别为θ₁(t)、θ₂(t)和θ₃(t)的隶属度函数；

第三步：根据有限时间稳定的涵义以及所述被控对象模型，设计由如下模糊T-S模型表示的控制器模型，其中，每个被控对象模型规则对应一个控制器模型规则：

控制器模型规则j，j＝1，2，...，r

如果θ₁(t)为N_j1，θ₂(t)为N_j2，θ₃(t)为N_j3

那么u(t)＝K_jx(t)

其中，K_j为增益矩阵，也即控制系数；

对上述控制器模型进行乘积推理、重心解模糊化，整理得到如下控制器：

其中，N_j1，N_j2，N_j3，j＝1，2，...，r与第一步中的N_i1，N_i2，N_i3，i＝1，2，...，r一致，h_j(θ(t))，j＝1，2，...，r与第二步中的h_i(θ(t))，i＝1，2，...，r一致；

第四步：利用第三步得到的桨距角指令输入u(t)，对桨距角、风力发电机转速和风力发电机输出电流进行控制，其中，

当标量α≥0且ε＞0，对称正定阵Q∈R^nxn以及矩阵W_j，M_A，j，N_A，j，M_B，j，N_B，j，1≤i，j≤r满足一定的关系式时，所述控制系数K_j取为j＝1，2，…，r，以满足控制系统在考察的时间范围[0，T]内有限时间鲁棒稳定，

(1)对于所述关系式为：

其中

(2)对于所述关系式为：

其中

(3)对于所述关系式为：

其中

上面三种情况中ΔA_i和ΔB_i，i＝1，2，…，r表示第i条规则的状态方程系数的摄动值；参数(c₁，c₂，T，R_c)满足都有其中，0＜c₁＜c₂，T∈R₊以及R_C＞0，并且R_C表示状态增益矩阵，c₁表示初始状态x(0)对应的x^T(0)R_Cx(0)取值上限，c₂表示在时间(0，T]内状态x(t)对应的x^T(t)R_Cx(t)取值上限；λ_min(Q)表示矩阵Q的最小特征值，λ_max(Q)表示矩阵Q的最大特征值；M_A，i，M_B，i，N_A，i，N_B，i为已知矩阵，时变矩阵F_A，i(t)、F_B，i(t)为待求解的连续函数且满足