CN102749584A - 基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，涉及基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法。它为了解决现有预测方法选择合适的网络拓扑困难，训练时需训练网络的全部的权值，计算时容易陷入局部最优的问题。本发明在训练阶段，建立Kalman滤波的ESN涡轮发动机的数学模型，根据已知的输入单元u(n)和已知的输出单元y(n-1)，以及内部处理单元更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out；在测试阶段，将传感器测量获得涡轮发动机的24维数据作为输入单元数据集，带入训练后的数学模型输出单元的方程求得待测ESN的涡轮发动机剩余寿命预测值。本发明适用于涡轮发动机等领域。

Description

基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法

技术领域

本法明涉及预测方法，具体涉及基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法。

背景技术

随着现实系统越来越复杂，预测与健康管理（Prognostics and Health Management，PHM）技术成为当前一个热门的话题。对于复杂系统一般由很多组件组成，例如飞机发动机，涡轮发电机等。通过完全了解系统的动态特性进而建立系统模型的模型驱动方法，不仅成本高，费时而且也许是不可能实现的。而使用数据驱动的方法是很合理的，它只需要依靠收集到的系统状态数据而不需要知道系统的先验知识。典型的基于数据驱动的故障预测方法有：人工神经网络(artificial neural networks,ANN)、模糊系统(fuzzy systems)和其他计算智能方法，神经网络是一类在故障预测方法和应用研究中最多的一种方法。理论上讲，递归神经网络更适合预测剩余寿命。Yam et al.使用递归神经网路跟踪变速箱的退化速度，当变速箱的预测状态降到预先设定的危险阈值时发出报警。Felix O.Heimes使用由扩展Kalman滤波训练的RNN预测在PHM08会议上首次提出的数据集，并在比赛中获得了二等奖。Yam and Tse提出一种有效的轴承系统的智能诊断程序用于状态监测和寿命预测。这些结果都可以作为设备管理系统的输入去事先计划设备的维修工作Jie Liu andAbhinav Saxena中提出一种自适应的递归神经网络用于系统的动态状态预测。在递归神经网络的基础上建立改进的ARNN，使用recursive Levenberg-Marquardt(RLM)方法训练权值，并通过预测锂电池的剩余寿命来验证方法的有效性。

虽然从理论上讲RNN可以以任意精度逼近任意动态系统，但是理论和实际上的困难限制了RNN的使用。数据由输入层输入(由u(n)表示)，输出层表示网络的输出或响应（由y(n)表示），隐含层包含n个内部神经单元。RNN存在以下问题：

(1)很难选择合适的网络拓扑，包括RNN的隐层数以及每个隐层中含有的神经元个数；

(2)RNN要训练网络的全部的权值即Wⁱⁿ,W，W^out，W^back；

(3)使用梯度法训练权值，容易陷入局部最优。

发明内容

本发明是为了解决现有预测方法选择合适的网络拓扑困难，训练时需训练网络的全部的权值，并且计算时容易陷入局部最优的问题，从而提出了基于卡尔曼(Kalman)滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法。

基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，它包括下述步骤：

步骤一、训练阶段，建立Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型，根据已知的输入单元u(n)和已知的输出单元y(n-1)，采用Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out，

输入单元u(n)为ESN的涡轮发动机的数学模型的一组数据集，该组数据集包含100个涡轮发动机的数据单元，所述的100个涡轮发动机均属于同一生产批次，且100个涡轮发动机在开始试验之前的初始剩余寿命不同，

每一个数据单元中的一个元素对应24维数据，该24维数据中的3维数据表示涡轮发动机操作条件数据，剩余的21维表示传感器采集的涡轮发动机状态数据，

步骤二、在测试阶段，被测涡轮发动机在正常运行时，通过传感器测量获得涡轮发动机的24维数据作为输入单元的数据集；结合步骤一训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元和输出权值矩阵W^out，采用训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元的方程求得待测ESN的涡轮发动机的剩余寿命预测值。

本发明通过使用随机建立的大规模稀疏连接权（叫做储备池）作为信息处理单元代替RNN的隐层；将低维的输入空间映射到高维的状态空间；随机建立输入权值，反馈权值和神经元内部连接权值；通过线性回归的方法训练输出权值，得到全局最优权值。

附图说明

图1为基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的方法流程图；

图2为储备池规模和谱半径对ESN输出结果的影响示意图，图中误差表示ESN的输出值和真实剩余寿命的差值；

图3为输入单元位移和输入单元尺度对ESN输出结果的影响示意图，图中误差表示ESN的输出值和真实剩余寿命的差值；

图4为Kalman滤波的激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R的初值对ESN输出结果的影响示意图，图中误差表示ESN的输出值和真实剩余寿命的差值；

图5为100个涡轮发动机单元的Kalman滤波的ESN预测值和剩余寿命真实值比较曲线图；

图6为100个涡轮发动机单元的预测误差曲线图。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1具体说明本实施方式，本实施方式所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，它包括下述步骤：

步骤一、训练阶段，建立Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型，根据已知的输入单元u(n)和已知的输出单元y(n-1)，采用Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out，

输入单元u(n)为ESN的涡轮发动机的数学模型的一组数据集，该组数据集包含100个涡轮发动机的数据单元，所述的100个涡轮发动机均属于同一生产批次，且100个涡轮发动机在开始试验之前的初始剩余寿命不同，

每一个数据单元中的一个元素对应24维数据，该24维数据中的3维数据表示涡轮发动机操作条件数据，剩余的21维表示传感器采集的涡轮发动机状态数据，该24维数据中的3维数据表示涡轮发动机操作条件数据包括:高度、马赫数和油门角度，剩余的21维表示传感器采集的涡轮发动机状态数据包括：不同点的温度、压力和速度；如表1所示，表1表示其中一个实例的多维时间序列。

表1

步骤二、在测试阶段，被测涡轮发动机在正常运行时，通过传感器测量获得涡轮发动机的24维数据作为输入单元的数据集；结合步骤一训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元和输出权值矩阵W^out，采用训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元的方程求得待测ESN的涡轮发动机的剩余寿命预测值。

具体实施方式二、本实施方式与具体实施方式一所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的区别在于，步骤一所述的ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程为：

x(n)=f(Wⁱⁿu(n)+Wx(n-1)+W^backy(n-1))                                （1）

其中，n=0，…t₀...，t，n表示时刻，t₀表示初始截断时刻；t表示涡轮发动机失效的前一时刻；f＝(f₁,…，f_L)是内部处理单元的激活函数，该激活函数为双曲正切tanh函数；

是N×L维的输入权值矩阵；W=(w_ij)是N×N维的内部连接权值矩阵；

是N×M维的反馈权值矩阵，且W^back=0；i表示第i行、j表示第j列；内部处理单元x(n)为N维矩阵；输入单元u(n)为L维向量，表示涡轮发动机的状态监测数据；输出单元y(n-1)为M维向量，表示已知的涡轮发动机的剩余寿命。

具体实施方式三、本实施方式与具体实施方式二所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的区别在于，步骤二采用ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out的具体过程为：

在k时刻输入单元u(k)=(u₁(k),…,u_L(k)),内部处理单元x(k)=(x₁(k),…,x_N(k)),输出单元y(k)=(y₁(k),…,y_M(k))，

W₁=W/|λ_max|，其中λ_max是W的谱半径，W₁表示谱半径为1时的内部连接权值矩阵；

内部处理单元x(n)的内部神经元通过权值连接组成储备池，储备池的参数有：储备池规模N、谱半径λ_max、输入单元缩放IS和输入单元移位IF；

初始化内部处理单元x(n)的参数；

初始化在0时刻的M×(L+N+M)维输出权值矩阵W^out(0)的转置矩阵(W^out(0))^T、0时刻的误差协方差P(0)、激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R，根据已知的输入单元u(n)和输出单元y(n-1)，当时间大于或等于初始截断时间t₀时，通过交叉验证算法选择使得Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型性能最好的一组参数，确定内部处理单元x(n)的参数、观测噪声协方差矩阵R和激励噪声协方差矩阵Q，

根据Kalman滤波的时间更新方程计算出k时刻的M×(L+N+M)维先验估计输出权值转置矩阵的(W^out(k))^T-和k时刻的先验估计误差协方差P^-(k)，

Kalman滤波的时间更新方程由公式（2）和公式（3）组成，

(W^out(k))^T-=A(W^out(k-1))^T                                            （2）

P^-(k)=AP(k-1)A^T+Q                                                    （3）

其中，k表示时刻，k为整数且k≧1；A为(L+N)维的单位矩阵；上角标^T代表的转置；Q为激励噪声协方差矩阵，

Kalman滤波的时间更新方程将当前状态变量作为先验估计投射到Kalman滤波的测量更新方程，

根据Kalman滤波的测量更新方程计算出k时刻的M×(L+N+M)维输出权值转置矩阵的(W^out(k))^T、k时刻的误差协方差P(k)，

Kalman滤波的测量更新方程将先验估计好新的测量变量结合以构造后验估计，测量更新方程由公式（4）、公式（5）和公式（6）组成，

K(k)=P^-(k)H^T(HP^-(k)H^T+R)^-1                                      （4）

(W^out(k))^T=(W^out(k))^T-+K(k)(y(k)^T-x(k+1)^T(W^out(k))^T-)           （5）

P(k)=(I-K(k)H)P^-(k)                                             （6）

其中，K(k)表示k时刻的卡尔曼增益，H(k)是k时刻的ESN的涡轮发电机的数学模型的内部处理单元x(k)矩阵的转置；R表示测量噪声协方差矩阵；y(k)为M维向量，表示k时刻已知的涡轮发动机的剩余寿命，故y(k)^T＝y(k)，y(k)^T表示k时刻已知的涡轮发动机的剩余寿命，x(k+1)^T表示k+1时刻内部处理单元的转置矩阵，I表示单位矩阵；

计算完一次Kalman滤波的测量更新方程后，将公式（5）计算得到的(W^out(k))^T代入公式（2），将公式（6）计算得到的P(k)代入公式（3）再次重复计算，直到训练完所有数据。

具体实施方式四、本实施方式与具体实施方式三所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的区别在于，其特征在于，所述的k时刻的激励噪声协方差矩阵为：

p(w)~N(0,Q),Q=E(w(k)w(k)^T)                                      （7）

其中，w(k)表示k时刻的过程噪声。

具体实施方式五、本实施方式与具体实施方式三所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的区别在于，所述的k时刻的ESN的涡轮发电机的数学模型的内部处理单元x(k)矩阵的转置H(k)为：

H(k)=(x(k))^T                                                    （8）。

具体实施方式六、本实施方式与具体实施方式一所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法的区别在于，步骤二所述的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元的方程为：

y'(n)=f_out(W^outx(n))                                                （9）

其中：n=0，…t₀...t，n表示时刻，t₀表示初始截断时刻；t表示涡轮发动机失效时的时刻，输出单元y'(n)为M维向量，表示待测涡轮发动机的剩余寿命，f_out=(f_out ¹,…，f_out ^M)为输出单元的输出函数，

是M×(L+N+M)维输出权值矩阵，内部处理单元x(n)为N维矩阵。

本发明采用Kalman滤波算法计算回声状态网络的输出权值。过程激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R对结果有很大影响。本算法具体推到过程如下：

Kalman滤波解决了由线性随机差分方程表示的离散时间控制过程的状态

的估计。

n×n维矩阵A是状态转移矩阵，它将k-1时刻的状态转移到k时刻的状态。n×l维矩阵B是输入矩阵，w(k-1)代表过程噪声。假设它是均匀分布的白噪声。

p(w)~N(0,Q),Q=E(w(k)w(k)^T)                                          （11）

我们使用Kalman滤波算法训练ESN的输出权值，所以，表示k时刻的输出权值矩阵，因此，方程(8)可以表示为：

(W^out(k))^T=(W^out(k-1))^T+w(k-1)                                      （12）

(W^out(k))^T是k时刻输出权值矩阵的转置。A是(L+N)维的单位矩阵。

在Kalman滤波中，观测值ψ(k)∈R^m可以通过式(11)计算：

观测方程中的m×n维矩阵H是观测矩阵，将观测状态和观测值联系起来。v(k)代表观测噪声，和w(k)同分布。

p(v)~N(0,R)，R=E(v(k)v(k)^T)                                         （14）

假设f_out=1,公式（9）可以转化为：

y(k)^T=(x(k))^T(W^out)^T                                                （15）

和公式（12）对比，H(K)是输入单元和储备池的状态组成的矩阵的转置H(k)=(n(k),x(k))^T,ψ(k)是ESN输出变量的转置，

等于输出权值的转置

Kalman滤波使用反馈控制估计一个过程。滤波器估计一段时间的过程状态，然后获得测量值作为反馈。结果，Kalman滤波方程有两部：时间更新方程和测量更新方程。

定义“super minus”是k时刻的先验估计。

${\mathrm{\ξ}}^{-}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{{\left(W^{\mathrm{out}}\left(k\right)\right)}^T}-{\left(W^{\mathrm{out}}\left(k\right)\right)}^{T-}---\left(16\right)$

$\mathrm{\ξ}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{{\left(W^{\mathrm{out}}\left(k\right)\right)}^T}-{\left(W^{\mathrm{out}}\left(k\right)\right)}^T---\left(17\right)$

其中，

代表输出权值的真实值，

P^-(k)=E(ξ^-(k)ξ^-(k)^T)                                          （18）

P(k)=E(ξ(k)ξ(k)^T)                                             （19）

其中：ξ^-(k)代表误差的先验估计；ξ(k)代表误差的后验估计；P^-(k)代表先验估计误差协方差；P(k)代表后验估计误差协方差；

时间更新方程负责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计值，以便为下一个时刻构造先验估计。

(W^out(k))^T-=A(W^out(k-1))^T                                        （2）

P^-(k)=AP(k-1)A^T+Q                                                （3）

测量更新方程负责反馈，将先验估计好新的测量变量结合以构造后验估计。

K(k)=P^-(k)HT(HP^-(k)H^T+R)^-1                                       （4）

(W^out(k))^T=(W^out(k))^T-+K(k)(y(k)^T-x(k+1)^T(W^out(k))^T-)            （5）

P(k)=(I-K(k)H)P^-(k)                                              （6）

ESN的输出权值的训练过程是一个线性回归过程，Kalman滤波实现输出权值的更新，保证预测的准确性。

图2和图3两个图为储备池四个参数对ESN预测结果的影响，在卡尔曼（Kalman）滤波迭代的初始阶段，图4所示，设置过程激励噪声协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵的初始值Q、R，对RUL的预测值产生很大影响，使用交叉验证的方法确定初始值，Q∈[10^-7,10⁷]，R∈[10^-7,10⁷]，每次增加一个数量级，即10^-7,10^-6,10^-5，…。最终选择使得ESN预测性能最好的参数，如表2所示。表2表示ESN和Kalman滤波参数设置

过程激励噪声协方差矩阵和观测噪声协方差矩阵在每一次迭代的过程中均保持不变。

表2

图5所示为使用传统ESN方法预测涡轮发电机的剩余寿命。图6为剩余寿命真实值和预测值之间的误差，用ε表示。

$\mathrm{\ϵ}=y_t-{\hat{y}}_t---\left(20\right)$

其中：ε代表预测误差；y_t代表剩余寿命真实值；

代表剩余寿命的预测值。

经过计算ESN的涡轮发动机的数学模型预测的RMSE=114.3384.误差绝对值小于10的单元数有13个。

图5表示第一个数据集100个测试单元的剩余寿命预测值。纵坐标代表测试数据集的每一个单元的剩余寿命预测值，横坐标是测试单元序号。有20个单元预测误差的绝对值小于10，使用RMSE评价预测精度：RMSE=63.4565.预测精度有很大的提高。但是我们必须注意的是还有80个单元的预测误差还是很大，因为复杂系统的非线性和随机性，状态数据要反映测试单元所处的外界环境、操作条件以及故障组件等综合因素作用造成的退化征兆。很显然，使用单一的ESN使得所有的测试单元的预测精度都满足要求是很难的。因此，我们希望测试数据可以根据数据特性分组，根据分组数据建立ESN子模型从而预测整个测试单元的剩余寿命。

$\mathrm{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{t=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}^2}---\left(21\right).$

Claims (6)

1.基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，它包括下述步骤：

步骤一、训练阶段，建立Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型，根据已知的输入单元u(n)和已知的输出单元y(n-1)，采用Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out，

输入单元u(k)为ESN的涡轮发动机的数学模型的一组数据集，该组数据集包含100个涡轮发动机的数据单元，所述的100个涡轮发动机均属于同一生产批次，且100个涡轮发动机在开始试验之前的初始剩余寿命不同，

每一个数据单元中的一个元素对应24维数据，该24维数据中的3维数据表示涡轮发动机操作条件数据，剩余的21维表示传感器采集的涡轮发动机状态数据，

步骤二、在测试阶段，被测涡轮发动机在正常运行时，通过传感器测量获得涡轮发动机的24维数据作为输入单元的数据集；结合步骤一训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元和输出权值矩阵W^out，采用训练后的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元的方程求得待测ESN的涡轮发动机的剩余寿命预测值。

2.根据权利要求1所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤一所述的ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程为：

x(n)=f(Wⁱⁿu(n)+Wx(n-1)+W^backy(n-1))         （1）

其中，n=0，…t₀...，t，n表示时刻，t₀表示初始截断时刻；t表示涡轮发动机失效的前一时刻；f＝(f₁,…，f_L)是内部处理单元的激活函数，该激活函数为双曲正切tanh函数；是N×L维的输入权值矩阵；W=(w_ij)是N×N维的内部连接权值矩阵；

是N×M维的反馈权值矩阵，且W^back=0；i表示第i行、j表示第j列；内部处理单元x(n)为N维矩阵；输入单元u(n)为L维向量，表示涡轮发动机的状态监测数据；输出单元y(n-1)为M维向量，表示已知的涡轮发动机的剩余寿命。

3.根据权利要求2所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤二采用ESN的涡轮发动机的数学模型的内部处理单元的更新方程和Kalman滤波求得输出权值矩阵W^out的具体过程为：

在k时刻输入单元u(k)=(u₁(k),…,u_L(k)),内部处理单元x(k)=(x₁(k),…,x_N(k)),输出单元y(k)=(y₁(k),…,y_M(k))，

W₁=W/|λ_max|，其中λ_max是W的谱半径，W₁表示谱半径为1时的内部连接权值矩阵；

内部处理单元x(n)的内部神经元通过权值连接组成储备池，储备池的参数有：储备池规模N、谱半径λ_max、输入单元缩放IS和输入单元移位IF；

初始化内部处理单元x(n)的参数；

初始化在0时刻的M×(L+N+M)维输出权值矩阵W^out(0)的转置矩阵(W^out(0))^T、0时刻的误差协方差P(0)、激励噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R，根据已知的输入单元u(n)和输出单元y(n-1)，当时间大于或等于初始截断时间t₀时，通过交叉验证算法选择使得Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型性能最好的一组参数，确定内部处理单元x(n)的参数、观测噪声协方差矩阵R和激励噪声协方差矩阵Q，

根据Kalman滤波的时间更新方程计算出k时刻的M×(L+N+M)维先验估计输出权值转置矩阵的(W^out(k))^T-和k时刻的先验估计误差协方差P^-(k)，

Kalman滤波的时间更新方程由公式（2）和公式（3）组成，

(W^out(k))^T-=A(W^out(k-1))^T                          （2）

P^-(k)=AP(k-1)A^T+Q                                   （3）

其中，k表示时刻，k为整数且k≧1；A为(L+N)维的单位矩阵；上角标^T代表的转置；Q为激励噪声协方差矩阵，

Kalman滤波的时间更新方程将当前状态变量作为先验估计投射到Kalman滤波的测量更新方程，

根据Kalman滤波的测量更新方程计算出k时刻的M×(L+N+M)维输出权值转置矩阵的(W^out(k))^T、k时刻的误差协方差P(k)，

Kalman滤波的测量更新方程将先验估计好新的测量变量结合以构造后验估计，测量更新方程由公式（4）、公式（5）和公式（6）组成，

K(k)=P^-(k)H^T(HP^-(k)H^T+R)^-1                            （4）

(W^out(k))^T=(W^out(k))^T-+K(k)(y(k)^T-x(k+1)^T(Wout(k))^T-) （5）

P(k)=(I-K(k)H)P^-(k)                                   （6）

其中，K(k)表示k时刻的卡尔曼增益，H(k)是k时刻的ESN的涡轮发电机的数学模型的内部处理单元x(k)矩阵的转置；R表示测量噪声协方差矩阵；y(k)为M维向量，表示k时刻已知的涡轮发动机的剩余寿命，故y(k)^T＝y(k)，y(k)^T表示k时刻已知的涡轮发动机的剩余寿命，x(k+1)^T表示k+1时刻内部处理单元的转置矩阵，I表示单位矩阵；

计算完一次Kalman滤波的测量更新方程后，将公式（5）计算得到的(W^out(k))^T代入公式（2），将公式（6）计算得到的P(k)代入公式（3）再次重复计算，直到训练完所有数据。

4.根据权利要求3所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，所述的k时刻的激励噪声协方差矩阵为：

p(w)~N(0,Q),Q=E(w(k)w(k)^T)                   （7）

其中，w(k)表示k时刻的过程噪声。

5.根据权利要求3所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，所述的k时刻的ESN的涡轮发电机的数学模型的内部处理单元x(k)矩阵的转置H(k)为：

H(k)=(x(k))^T                                 （8）。

6.根据权利要求1所述的基于Kalman滤波的ESN的涡轮发电机的剩余寿命预测方法，其特征在于，步骤二所述的Kalman滤波的ESN的涡轮发动机的数学模型的输出单元的方程为：

y'(n)=f_out(W^outx(n))                         （9）

其中：n=0，…t₀...t，n表示时刻，t₀表示初始截断时刻；t表示涡轮发动机失效时的时刻，输出单元y'(n)为M维向量，表示待测涡轮发动机的剩余寿命，f_out=(f_out ¹,…，f_out ^M)为输出单元的输出函数，是M×(L+N+M)维输出权值矩阵，内部处理单元x(n)为N维矩阵。

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