CN102724761A - 一种用于ofdma系统中的动态资源分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法，包括：(1)参数初始化步骤；(2)子载波调度步骤；(3)功率分配步骤。本发明的方法无需大量逐步逼近搜索即可求解出最优功率，有效地降低了计算复杂度。当频谱效率达到系统要求后，此时能效作为主要考虑因素，通过本发明的方法可以求解出传输单位比特所耗能量最小，并能很好的取得频谱效率与能量效率的平衡折中，进一步提高能源利用率，使得通信更为节能环保。

Description

一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法

技术领域

本发明属于无线与移动通信技术领域，具体涉及OFDMA系统中的动态资源分配方法。

背景技术

随着数据业务的广泛兴起以及移动互联网的迅猛发展，未来的无线通信技术将会有更高的数据传输速率，以满足更多用户的需求。在当前众多无线解决方案中，正交频分复用（OFDM）以其高频谱利用率以及强抗干扰能力的优点受到了广泛重视。但是，在传统的OFDMA系统中，系统的性能却要受到最差子信道的限制。为了减少这种限制，以便更充分的利用系统资源(带宽和功率)，可以采用动态自适应技术。现有资源分配方法基本上只关注频谱效率的提高，而忽视能量效率，且已有的OFDM能效与谱效折中的方法复杂度过高，需要不断逐步迭代逼近搜索以求得最优功率分配。Greedy算法是最早提出的用于功率受限下最大化频谱效率的算法，该算法思想简单，通过每次分配一个比特给增加这一个比特所需功率增量最小的子载波使得该算法的性能达到最优，但是该算法复杂度过高，且没有考虑能量效率的问题；X.Cong等人提出了一种利用区间搜索的JIDO算法，该算法虽然可以在能够很好地处理频谱效率与能量效率有效折中，但是由于需要在很大范围内查找最优功率分配，在实际的信道条件下复杂度仍然过高。具体可参见文献X.Cong,G.Y.Li,Z.Shunqing,C.Yan,and X.Shugong,"Energy and Spectral-Efficiency Tradeoff in DownlinkOFDMA Networks,"Wireless Communications,IEEE Transactions on,vol.10,pp.3874-3886,2011.

发明内容

本发明的目的是解决上行OFDMA系统中现有的资源分配方法存在的上述问题，提出了一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法，包括：(1)参数初始化步骤；(2)子载波调度步骤；(3)功率分配步骤；其中，

所述参数初始化步骤具体包括初始化如下参数：

系统带宽B，子载波数目N，用户数目K，各用户要求的最小速率各用户在各子信道的信道增益h_k，n，其中，k=1,2,…,K;n=1,2,…,N，噪声功率σ²，目标误比特率P_k，e’各用户允许的最大传输功率P_k，max，各用户电路功率P_k，ckt，信噪比差额Γ，单个子载波带宽W，各用户在各信道的信道增益噪声比γ_k,n；

所述子载波调度步骤对所有子载波进行分配，分配给不同的用户，具体包括如下分步骤：

(21).把每个用户已分配的子载波集合N_k设为空集未分配子载波集合为全集S={1,2,…,N}，各用户已分配的子载波数目m_k=0，未分配子载波的用户集合记为K_E，临时用户集合为D={1,2,…,K}；

(22).选取每个用户最差的子信道，计算出各用户采用最大功率发射时所能达到的最大传输速率，记为并将该传输速率作为参考速率；

(23).选取临时用户集合D中所有用户在子载波集合S中信道质量最好的子载波序号，记为n_k，并计算各用户最大传输功率发射所能达到的最大传输速率

(24).计算所有用户的速率增量

从临时用户集合D中选取速率增量最大的用户序号

选取步骤(23)中对应的子载波

分给用户

更新该用户已分配的子载波集合、各用户已分配的子载波数目、参考速率、未分配子载波集合、未分配子载波的用户集合；当剩余未分配子载波数目等于集合K_E中用户数目时，D=K_E；

(25).重复步骤（23）至（24），直至所有子载波都分配完毕；

所述功率分配步骤根据已分配的子载波集合，进行各用户功率分配，具体包括如下步骤：

(31).计算各个用户在已分配子载波集合发送最小速率时所需的最小功率P_k，min；

(32).计算出各个用户在已分配子载波集合上无功率限制要求及无速率约束条件下的功率

(33).计算出各个用户满足频谱效率要求下的最优能效时的功率P_k，opt(N_k)： $P_{k,\mathrm{opt}}\left(N_k\right)=\min (\max (P_k^{*},P_{k,\min }),P_{k,\max }).$

进一步的，所述参数初始化步骤还包括初始化功率放大器效率倒数α，及各个用户电路功率的静态功率P_k，s，k=1,2,…,K。

上述的具体计算过程如下：

求解单个用户的能效表达式u_k,EE，并对注水线μ_k，un进行求导，令导数为零，具体为:

$u_{k,\mathrm{EE}}=\frac{R_{k,\mathrm{un}}}{\mathrm{\α}{P}_{k,\mathrm{un}}+P_{k,\mathrm{ckt}}}$

其中，R_k，un、P_k，un分别表示用户k无最小速率要求及功率限制时所能达到的速率、功率；然后对能效进行求导，

$\frac{{\∂u}_{k,\mathrm{EE}}}{\∂{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{un}}}=0$

即可求解出用户k在已分配子载波集合上无功率限制且无速率约束的功率

${\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)=\exp \left\{W_0\right[(\frac{P_{k,s}}{n^{\′}\mathrm{\α}}-\frac{1}{n^{\′}}\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}){\left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)}^{1/n^{\′}}{e}^{-1}]+1-\frac{1}{n^{\′}}\ln \left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)\}$

其中，W₀(·)为Lambert函数，e为自然常数，n′为用户k已分配子载波集合中分配功率大于零的子载波数目，

为按照降序排列后的信道增益噪声比，n′满足如下条件

其中，

表示正实数集，|N_k|表示用户k已分配的子载波数目，求解满足条件的n′，此时无最大传输功率限制及速率约束条件下的总传输功率为：

$P_k^{*}=\underset{n\∈N_k}{\mathrm{\Σ}}{p}_{k,n}=n^{\′}{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)-\underset{n\∈N_k}{\overset{n^{\′}}{\underset{n=1}{\mathrm{\Σ}}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}.$

本发明的有益效果：本发明的方法通过分析频谱效率与能量效率的关系以及各用用户最大传输功率受限的约束条件，提出了一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法，利用OFDMA系统频谱效率与能量效率的关系，即能量效率为关于频谱效率的凸函数，当子载波调度确定后能效函数为分段可导连续函数，可以求解出无约束条件下最优值，并与最小功率及最大功率进行比较，从而得出满足约束条件下的最优功率闭式解。子载波调度步骤中可以保证每个用户至少能够分配到一个子载波，从而可以保证一定的公平性，避免用户业务传输中断。该方法与现有方法相比，无需大量逐步逼近搜索即可求解出最优功率，有效地降低了计算复杂度。当频谱效率达到系统要求后，此时能效作为主要考虑因素，通过本发明的方法可以求解出传输单位比特所耗能量最小，并能很好的取得频谱效率与能量效率的平衡折中，进一步提高能源利用率，使得通信更为节能环保，降低了终端设备能耗，延长终端设备续航时间。

附图说明

图1是本发明的用于OFDMA系统中的动态资源分配方法的流程示意图。

图2是本发明的用于OFDMA系统中的动态资源分配方法的子载波调度步骤的流程示意图。

图3是本发明的用于OFDMA系统中的动态资源分配方法的功率分配步骤的流程示意图。

具体实施方式

下面将结合附图，给出本发明的具体实施例。

在阐述具体实施方式之前，首先介绍其中所用的数学模型：

本发明方法所使用的数学模型为：以最大化各用户能效(EE)和问题作为例子，假设基站可以准确获取各用户在各个子信道的信道状态信息(CSI)，信道是频率选择性衰落信道，最优化问题的数学模型可描述为：

$\underset{N_k\∈N,P_k}{\max }U=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{u}_k=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\frac{R_k}{\mathrm{\α}{P}_k+P_{k,\mathrm{ckt}}}$

s.t.

$\underset{k=1}{\overset{K}{\∪}}{N}_k=\{\mathrm{1,2},...,N\}$

$P_k\≤P_{k,\max },\∀k\∈K$

各参数物理意义同步骤（1），电路功率包括固定功率和动态功率两部分，动态功率与传输速率成正比，P_k，ckt=P_k,s+ξR_k,(ξ≥0)。

其中，第一个约束条件表示任意子载波只能分配给一个用户，第二个约束条件表示所有的子载波都要分配给用户使用，第三个约束条件表示各用户须满足最低传输速率要求，最后一个约束条件表示各用户总传输功率受限。

各用户在已分配子载波上均采用注水算法，则各子载波分配功率为：

$p_{k,n}={[{\mathrm{\μ}}_k-\frac{1}{g_{k,n}}]}^{+}$

其中，μ_k为功率注水线，g_k，n＝γ_k，n/Γ，γ_k,n＝|h_k,n|²/σ²为用户k在子信道n上的信道增益噪声比(CNR)，信噪比差额Γ是由调制方式和误比特率所决定，假设各子载波都使用M-QAM调制，不考虑信道编码，Γ与误比特率P_k,e之间关系为：

假设各子信道的噪声功率均相等，此时，用户k在子载波集合N_k上的传输速率为：

$R_k=W\underset{n\∈N_k}{\mathrm{\Σ}}{\log }_2(1+p_{k,n}{g}_{k,n})=\underset{\tilde{n}\∈N_k,{\mathrm{\μ}}_k>\frac{1}{g_{k,\tilde{n}}}}{\mathrm{\Σ}}W{\log }_2\left({\mathrm{\μ}}_k{g}_{k,\tilde{n}}\right)$

下面对一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法的过程进行说明，具体流程示意图如图1所示，包括：(1)参数初始化步骤；(2)子载波调度步骤；(3)功率分配步骤；其中，

这里的步骤(1)参数初始化步骤具体包括初始化如下参数：系统带宽B，子载波数目N，用户数目K，各用户要求的最小速率

各用户在各子信道的信道增益h_k，n，其中，k=1,2,…,K;n=1,2,…,N，噪声功率σ²，目标误比特率P_k，e，各用户允许的最大传输功率P_k，max，各用户电路功率P_k，c，信噪比差额Γ，单个子载波带宽W，各子信道信道增益噪声比γ_k,n；

这里，可以根据误比特率计算出实际调制方式下的信噪比差额Γ；可以根据系统带宽和子载波数目计算出等分后的单个子载波带宽W=B/N；可以根据信道增益及噪声功率计算出各子信道信道增益噪声比g_k，n＝γ_k，n/Γ，γ_k,n＝|h_k,n|²/σ²。

这里的步骤(2)子载波调度步骤对所有子载波进行分配，分配给不同的用户，具体包括如下分步骤：

(21).把每个用户已分配的子载波集合N_k设为空集

未分配子载波集合为全集S={1,2,…,N}，各用户已分配的子载波数目m_k=0，未分配子载波用户集合为K_E,临时用户集合为D={1,2,…,K}；

(22).选取每个用户最差的子信道，

计算出各用户采用最大功率发射时的传输速率

并将该传输速率作为参考速率；

(23).选取临时用户集合D中所有用户在子载波集合S中信道质量最好的子载波序号，记为n_k，并计算各用户最大传输功率发射所能达到的最大传输速率

找出各用户在集合S中信道质量最好的子载波，

并计算最大发射功率时的传输速率

通过功率关系可得下式：

$P_{k,\max }=\underset{n\∈S_k}{\mathrm{\Σ}}{p}_{k,n}=n^{\′}{\widehat{\mathrm{\μ}}}_k-\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{g_{k,n}}$

其中，

为分配当前子载波集合S_k时的最大功率发射时的注水线，n为采用注水法功率分配时子载波上功率大于零的数目。

${\widehat{\mathrm{\μ}}}_k=\frac{P_{k,\max }}{n^{\′}}+\frac{1}{n^{\′}}\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}},$ ${\widehat{\mathrm{\μ}}}_k>1/{\tilde{g}}_{{k,n}^{\′}},$ ${\widehat{\mathrm{\μ}}}_k\≤1/{\tilde{g}}_{{k,n}^{\′}+1}$

为g_k，n,n∈S_k按照降序排列后的数值，可通过二分查找法求解n，此时速率为：

${\tilde{R}}_k=f(P_{k,\max },S_k)=n^{\′}{\log }_2\left({\widehat{\mathrm{\μ}}}_k\right)+{\log }_2\left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)$

(24).计算所有用户的速率增量

从用户集合D中选取速率增量最大的用户序号

将步骤(23)中对应的子载波

分给用户

更新该用户已分配子载波集合、各用户已分配的子载波数目、参考速率、未分配子载波集合、未分配子载波的用户集合。

这里，未分配子载波的用户集合

这里，“\”运算表示从集合中去除某个元素，比如

表示从K_E中去除掉元素

当剩余子载波数目等于未分配子载波用户数目时，即|S|=|K_E|，此时D=K_E。这样做的目的是基于如下考虑：

在分配过程中，有可能会导致某些用户从始自终都没分配到任何子载波，即带宽，那么这些没有分配到子载波的用户因为得不到资源有可能会被迫中断服务，为了解决这个问题，就在分配过程中剩下的子载波数目等于这些没有分配到任何子载波用户数目时，剩下的子载波将在这些用户中进行分配。

(25).重复步骤（23）至（24），直至所有子载波都分配完毕，即

时。

这里的步骤(3)功率分配步骤根据已分配的子载波集合，进行各用户功率分配，流程示意图如图3所示，具体包括如下步骤：

(31).计算各个用户在已分配子载波集合发送最小速率

时所需的最小功率P_k,min；

这里，P_k,min的计算可通过如下过程进行：

$P_{k,\min }=n^{\′}{\mathrm{\μ}}_{k,\min }-\underset{n\∈N_k}{\overset{n^{\′}}{\underset{n=1}{\mathrm{\Σ}}}}\frac{1}{g_{k,n}}$

这里的n可通过二分查找方法求解得到，从而计算出最小功率。二分查找方法属于本领域的常规技术，在此不再详细描述。

(32).计算出各个用户在已分配子载波集合上无功率限制要求及无速率约束条件下的功率

(33).计算出各个用户满足频谱效率要求下的最优能效时的功率P_k，opt(N_k)：

$P_{k,\mathrm{opt}}\left(N_k\right)=\min (\max (P_k^{*},P_{k,\min }),P_{k,\max }).$

在此，参数初始化步骤还包括初始化功率放大器效率倒数α，以及各个用户电路功率的静态功率P_k,s(k=1,2,…,K)。其中功率放大器为通信系统中常用器件，其效率定义为输出功率与输入功率的比值。

下面给出一种计算

的过程：

求解单个用户的能效表达式u_k,EE，并对注水线μ_k，un进行求导，令导数为零，具体为:

$u_{k,\mathrm{EE}}=\frac{R_{k,\mathrm{un}}}{\mathrm{\α}{P}_{k,\mathrm{un}}+P_{\mathrm{ckt}}}$

其中R_k，un，P_k，un，P_k，ckt分别表示用户k无最小速率要求及功率限制时所能达到的速率，功率，以及对应的电路功率。且电路功率包含静态电路功率和动态功率两部分，即P_K,ckt=P_k,s+ξR_k,(ξ≥0)，ξ表示单位比特所消耗的功率。然后对能效进行求导，μ_k，un为用户k所对应的功率注水线。

$\frac{{\∂u}_{k,\mathrm{EE}}}{\∂{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{un}}}=0$

即可求解出用户k在已分配子载波集合上无功率限制且无速率约束的最佳功率注水线

${\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)=\exp \left\{W_0\right[(\frac{P_{k,s}}{n^{\′}\mathrm{\α}}-\frac{1}{n^{\′}}\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}){\left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)}^{1/n^{\′}}{e}^{-1}]+1-\frac{1}{n^{\′}}\ln \left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)\}$

其中，W₀(·)为Lambert函数，e为自然常数，P_k,s为用户电路功率P_K,c中的静态功率，为信道增益噪声比，这里的W₀(·)实数分支的定义域为[-e^-1,+∞)且单调递增，其值域为[-1,+∞)。

其中，

表示正实数集，|N_k|表示用户k分配的子载波数目，求解满足条件的n′，可通过二分查找法求解满足条件的n'，此时无最大传输功率约束及速率要求下的总传输功率为：

$P_k^{*}=\underset{n\∈N_k}{\mathrm{\Σ}}{p}_{k,n}=n^{\′}{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)-\underset{n\∈N_k}{\overset{n^{\′}}{\underset{n=1}{\mathrm{\Σ}}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}.$

本发明方法不需要迭代搜索求解最优功率，可大幅度降低计算复杂度，能够很好的应用于实际系统。

采用本发明所述的OFDMA能量效率与频谱效率折中的动态资源分配方法，与背景技术中的求导区间逐步逼近方法相比，有效降低了计算复杂度。该方法利用OFDMA系统频谱效率与能量效率的关系，即能量效率为关于频谱效率的凸函数，当子载波调度确定后能效函数为分段可导连续函数，可以求解出无约束条件下最优值，并与最小功率及最大功率进行比较，从而得出满足约束条件下的最优功率闭式解。子载波调度模块中可以保证每个用户至少能够分配到一个子载波，从而可以保证一定的公平性，避免用户业务传输中断。该方法与现有方法相比，无需大量逐步逼近搜索即可求解出最优功率，有效地降低了计算复杂度。当频谱效率达到系统要求后，此时能效作为主要考虑因素，通过本方法可以求解出传输单位比特所耗能量最小，并能很好的取得频谱效率与能量效率的平衡折中，进一步提高能源利用率，使得通信更为环保，降低了终端设备能耗，延长终端设备续航时间。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的实施方法，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (3)

1.一种用于OFDMA系统中的动态资源分配方法，包括：(1)参数初始化步骤；(2)子载波调度步骤；(3)功率分配步骤；  其中，

所述参数初始化步骤具体包括初始化如下参数：

所述参数初始化步骤具体包括初始化如下参数：

系统带宽B，子载波数目N，用户数目K，各用户要求的最小速率

各用户在各子信道的信道增益h_k，n，其中，k=1，2，…，K；n=1，2，…，N，噪声功率σ²，目标误比特率P_k，e，各用户允许的最大传输功率P_k，max，各用户电路功率P_k，ckt，信噪比差额Γ，单个子载波带宽W，各用户在各信道的信道增益噪声比γ_k，n；

所述子载波调度步骤对所有子载波进行分配，分配给不同的用户，具体包括如下分步骤：

(21).把每个用户己分配的子载波集合N_k设为空集未分配子载波集合为全集S={1，2，…，N}，各用户己分配的子载波数目m_k=0，未分配子载波的用户集合记为K_E，临时用户集合为D={1，2，…，K}；

(22).选取每个用户最差的子信道，计算出各用户采用最大功率发射时所能达到的最大传输速率，记为

并将该传输速率作为参考速率；

(23).选取临时用户集合D中所有用户在子载波集合S中信道质量最好的子载波序号，记为n_k，并计算各用户最大传输功率发射所能达到的最大传输速率

(24).计算所有用户的速率增量

从临时用户集合D中选取速率增量最大的用户序号

选取步骤(23)中对应的子载波

分给用户

更新该用户己分配的子载波集合、各用户已分配的子载波数目、参考速率、未分配子载波集合、未分配子载波的用户集合；当剩余未分配子载波数目等于集合K_E中用户数目时，D=K_E；

(25).重复步骤(23)至(24)，直至所有子载波都分配完毕；

所述功率分配步骤根据己分配的子载波集合，进行各用户功率分配，具体包括如下步骤：

(31).计算各个用户在己分配子载波集合发送最小速率

时所需的最小功率P_k，min；

(32).计算出各个用户在己分配子载波集合上无功率限制要求及无速率约束条件下的功率

(33).计算出各个用户满足频谱效率要求下的最优能效时的功率P_k，opt(N_k)：

$P_{k,\mathrm{opt}}\left(N_k\right)=\min (\max (P_k^{*},P_{k,\min }),P_{k,\max }).$

2.根据权利要求1所述的动态资源分配方法，其特征在于，所述参数初始化步骤还包括初始化功率放大器效率倒数α，及各个用户电路功率的静态功率P_k，s，k=1,2,…,K。

3.根据权利要求2所述的动态资源分配方法，其特征在于，的具体计算过程如下：求解单个用户的能效表达式u_k,EE，并对注水线μ_k，un进行求导，令导数为零，具体为:

$u_{k,\mathrm{EE}}=\frac{R_{k,\mathrm{un}}}{\mathrm{\α}{P}_{k,\mathrm{un}}+P_{k,\mathrm{ckt}}}$

其中，R_k，un、P_k，un分别表示用户k无最小速率要求及功率限制时所能达到的速率、功率；

然后对能效进行求导，

$\frac{{\∂u}_{k,\mathrm{EE}}}{\∂{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{un}}}=0$

即可求解出用户k在已分配子载波集合上无功率限制且无速率约束的功率

${\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)=\exp \left\{W_0\right[(\frac{P_{k,s}}{n^{\′}\mathrm{\α}}-\frac{1}{n^{\′}}\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}){\left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)}^{1/n^{\′}}{e}^{-1}]+1-\frac{1}{n^{\′}}\ln \left(\underset{n=1}{\overset{n^{\′}}{\mathrm{\Π}}}{\tilde{g}}_{k,n}\right)\}$

其中，W₀(·)为Lambert函数，e为自然常数，n'为用户k已分配子载波集合中分配功率大于零的子载波数目，

为按照降序排列后的信道增益噪声比，n′满足如下条件

其中，

表示正实数集，|N_k|表示用户k已分配的子载波数目，求解满足条件的n′，此时无最大传输功率限制及速率约束条件下的总传输功率为：

$P_k^{*}=\underset{n\∈N_k}{\mathrm{\Σ}}{p}_{k,n}=n^{\′}{\mathrm{\μ}}_{k,\mathrm{opt}}^{*}\left(n^{\′}\right)-\underset{n\∈N_k}{\overset{n^{\′}}{\underset{n=1}{\mathrm{\Σ}}}}\frac{1}{{\tilde{g}}_{k,n}}.$

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