CN102692204B - 一种回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及曲面检测技术领域，公开了一种回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统，包括：将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；根据检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。本发明实现了测量探头沿回转曲面的法向方向进给，从而将由测量探头的半径补偿引起的系统误差降到最低，保证了测量结果的准确性。

Description

一种回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统

技术领域

本发明涉及曲面检测技术领域，主要适用于回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统。

背景技术

随着企业转型升级和跨越式发展的需要，科研型号产品正呈多元化发展的态势，产品研制节点日益紧张、零件形状日益复杂、设计精度日益提高，使产品的尺寸检测环节面临突出问题：对于空间回转曲面类零件，如主要包括渐开线、阿基米德螺旋线、抛物线以及高次曲线回转面等，对特征曲线进行检测时，由于检测路径不是沿着曲面点的法向方向靠近，其测头补偿带来的误差对结果影响较大，不能实现高精度高效率的测量。

空间回转曲面类零件一般使用三坐标测量机检测。触发式三坐标测量机是以探头中心点接触采集测量点，这样就必须要考虑探头的半径补偿。理论上，要单独对曲面一点进行补偿，必须要知道补偿的方向矢量，也就是接触点的方向矢量。而实际上在测量规律曲面时，由于手动选取测量点，机器探头运动方向不能与被测点的切向严格垂直，测量点就和实际点造成了一个误差δ（见图1）。这样就达不到高精度检测的需要，要消除这个误差，就必须通过某种技术手段将机器运动路径自动规划为沿法向方向进给，使得测量数据准确，具有极其重要的现实意义。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统，它实现了测量探头沿回转曲面的法向方向进给，从而将由测量探头的半径补偿引起的系统误差降到最低，保证了测量结果的准确性。

为解决上述技术问题，本发明提供了一种回转曲面的检测方法，包括：

将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；

根据检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。

上述方案中，所述检测点的选取包括：

设回转曲面的曲线函数为f(x)，插值多项式为L_n(x)；在函数区间[a，b]上用L_n(x)近似f(x)，则截断误差R_n(x)为

R_n(x)=f(x)-L_n(x)

其中，R_n(x)也被称为插值多项式的余项或插值余项；那么检测n个检测点的数据根据拉格朗日插值余项的计算定理：

$R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-L_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}{\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(x\right)$

其中，ξ∈(a,b)且依赖于x,而ω_n+1(x)＝(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)；

截断误差R_n(x)的绝对值应小于零件技术要求的误差e，即

$\left|R_n\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-L_n\left(x\right)|=|\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)|\≤e,$

等步距取点的情况(x-x₀)、(x-x₁)、...(x-x_n)可看作间距h或者间距h的倍数；通过上式可算出间距h，再用函数区间[a，b]的取值范围除以间距h得到选取的测量点的个数的最小值。

上述方案中，所述将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径包括：

将回转曲面的参数方程中的X或Y代入Z的方程中；

对Z进行求导得到切线方程，对所述切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

将所述法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

将所述检测点的坐标依次代入所述最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径。

上述方案中，还包括：

在通过所述检测路径得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为（x1，y1），测量点的坐标为（x2,y2），则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$

本发明还提供了一种回转曲面的检测系统，包括：

检测路径获取模块，将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；

检测模块，根据所述检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。

上述方案中，所述检测路径获取模块包括：

第一计算单元，将回转曲面的参数方程中的X或Y代入Z的方程中，对Z进行求导得到切线方程，对所述切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

第二计算单元，将所述法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

第三计算单元，将所述检测点的坐标依次代入所述最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径。

上述方案中，还包括：检测点选取模块，所述检测点选取模块根据拉格朗日插值余项的计算定理来选取检测点。

上述方案中，还包括：

误差评定模块，在通过所述检测路径得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为（x1，y1），测量点的坐标为（x2,y2），则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$

本发明的有益效果在于：

本发明实现了测量探头沿回转曲面的法向方向进给，从而将由测量探头的半径补偿引起的系统误差降到最低，保证了测量结果的准确性。

附图说明

图1为测量探头的半径补偿的示意图。

图2为本发明提供的回转曲面的检测方法的流程图。

图3为本发明提供的回转曲面的检测系统的工作流程图。

具体实施方式

为进一步阐述本发明为达成预定发明目的所采取的技术手段及功效，以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提出的回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统的具体实施方式及原理进行详细说明。

由图2可知，本发明提出的回转曲面的检测方法包括：

将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；

根据检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。

优选的，检测点的选取包括：

设回转曲面的曲线函数为f(x)，插值多项式为L_n(x)；在函数区间[a，b]上用L_n(x)近似f(x)，则截断误差R_n(x)为

R_n(x)=f(x)-L_n(x)

其中，R_n(x)也被称为插值多项式的余项或插值余项；那么检测n个检测点的数据根据拉格朗日插值余项的计算定理：

$R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-L_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}{\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(x\right)$

其中，ξ∈(a,b)且依赖于x,而ω_n+1(x)＝(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)；

截断误差R_n(x)的绝对值应小于零件技术要求的误差e，即

$\left|R_n\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-L_n\left(x\right)|=|\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)|\≤e,$

等步距取点的情况(x-x₀)、(x-x₁)、...(x-x_n)可看作间距h或者间距h的倍数；通过上式可算出间距h，再用函数区间[a，b]的取值范围除以间距h得到选取的测量点的个数的最小值。

再优选的，将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径包括：

将回转曲面的参数方程中的X或Y代入Z的方程中；

对Z进行求导得到切线方程，对切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

将法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

将检测点的坐标依次代入最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径。

具体的，设回转曲面的参数方程为:

$\left\{\begin{array}{c}X=\mathrm{at}\\ Y=0\\ Z=b{t}^3+c{t}^2+\mathrm{dt}+e\end{array}\right.---\left(1\right)$

将X＝at代入Z,有以下表达式：

$Z=b\×{\left(\frac{X}{a}\right)}^3+c\×{\left(\frac{X}{a}\right)}^2+d\×\left(\frac{X}{a}\right)+e$ (2)

$=\frac{b{X}^3}{a^3}+\frac{c{X}^2}{a^2}+\frac{\mathrm{dX}}{a}+e$

对Z求导数,求导的表达式即为切线方程式：

$\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dx}}=\frac{3b}{a^3}{X}^2+\frac{2c}{a^2}X+\frac{d}{a}---\left(3\right)$

曲线在X＝X₀处的切线斜率为：

$K=\frac{3b}{a^3}{X}_0^2+\frac{2c}{a^2}{X}_0+\frac{d}{a}---\left(4\right)$

因为法向斜率与切向斜率相乘为-1,由此算出此点的法向斜率方程：

$K^{\′}=\frac{-1}{K}=-\frac{a^3}{3b{X}_0^2+2\mathrm{ac}{X}_0+a^{2}d}---\left(5\right)$

曲线方程的法向矢量表达式为：

$\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{1+{\left(k^{\′}\right)}^2}}& \frac{k^{\′}}{\sqrt{1+{\left(k^{\′}\right)}^2}}& 0\end{array}\right)---\left(6\right)$

将(5)式代入（6）式，得到以下结果：

$\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3b{X}_0^2+2\mathrm{ac}{X}_0+a^{2}d}{\sqrt{{(3b{x}_0^2+2\mathrm{ac}{X}_0+a^{2}d)}^2+a^6}}& \frac{-a^3}{\sqrt{{(3b{X}_0^2+2\mathrm{ac}{X}_0+a^{2}d)}^2+a^6}}& 0\end{array}\right)---\left(7\right)$

将X₀＝at₀代入(7)式有：

$\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3a^{2}b{t}_0^2+2a^{2}c{t}_0+a^{2}d}{\sqrt{{(3a^{2}b{t}_0^2+2a^{2}c{t}_0+a^{2}d)}^2+a^6}}& \frac{-a^3}{\sqrt{{(3a^{2}b{t}_0^2+2a^{2}c{t}_0+a^{2}d)}^2+a^6}}& 0\end{array}\right)---\left(8\right)$

$=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3b{t}_0^2+2c{t}_0+d}{\sqrt{{(3b{t}_0^2+2c{t}_0+d)}^2+a^2}}& \frac{-a}{\sqrt{{(3b{t}_0^2+2c{t}_0+d)}^2+a^2}}& 0\end{array}\right)$

（去掉分母为0的特殊情况，也就是去掉法向方向与X、Y轴同向的特殊情况）同理，由以下参数方程：

$\left\{\begin{array}{c}X=\mathrm{at}\\ Y=0\\ Z=b{t}^2+\mathrm{ct}+d\end{array}\right.---\left(9\right)$

可以得到相应的曲线各点法向方向向量方程表达式为：

$\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2b{t}_0+c}{\sqrt{{(2b{t}_0+c)}^2+a^2}}& \frac{-a}{\sqrt{{(2b{t}_0+c)}^2+a^2}}& 0\end{array}\right)---\left(10\right)$

通过以上理论推导，三次和二次方程回转面上各点的方向向量表达式都可以成立，因此，只要根据研究对象的实际方程式，将回转面上各点的方向向量表达式写入DMIS测量方程式中，就可以得到所需的探头法向探测方向向量，进而得到检测路径。

为了提高本发明提供的回转曲面的检测方法的检测结果的准确性，还包括：

在通过检测路径得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为（x1，y1），测量点的坐标为（x2,y2），则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$

本发明还提出了一种回转曲面的检测系统，包括：检测装置、显示器；检测装置的输出端与显示器的输入端连接。

检测装置包括：

检测点选取模块，根据拉格朗日插值余项的计算定理在回转曲面上选取检测点；

检测路径获取模块，将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；

检测模块，根据得到的检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。

优选的，检测点选取模块，根据拉格朗日插值余项的计算定理来选取检测点。包括：

设回转曲面的曲线函数为f(x)，插值多项式为L_n(x)；在函数区间[a，b]上用L_n(x)近似f(x)，则截断误差R_n(x)为

R_n(x)=f(x)-L_n(x)

其中，R_n(x)也被称为插值多项式的余项或插值余项；那么检测n个检测点的数据根据拉格朗日插值余项的计算定理：

$R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-L_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}{\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(x\right)$

其中，ξ∈(a,b)且依赖于x,而ω_n+1(x)＝(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)；

截断误差R_n(x)的绝对值应小于零件技术要求的误差e，即

$\left|R_n\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-L_n\left(x\right)|=|\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)|\≤e,$

等步距取点的情况(x-x₀)、(x-x₁)、...(x-x_n)可看作间距h或者间距h的倍数；通过上式可算出间距h，再用函数区间[a，b]的取值范围除以间距h得到选取的测量点的个数的最小值。

检测路径获取模块包括：

第一计算单元，将回转曲面的参数方程f(x)中的X或Y代入Z的方程中，对Z进行求导得到切线方程，对切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

第二计算单元，将得到的法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

第三计算单元，将通过检测点选取模块选取的检测点的坐标依次代入最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径。

为了提高本发明提供的回转曲面的检测系统的检测结果的准确性，检测装置还包括：

误差评定模块，在通过检测模块利用检测路径获取模块得到的检测路径测量得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为（x1，y1），测量点的坐标为（x2,y2），则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$

需要说明的是，本发明提供的回转曲面的检测方法虽然找到了解决规律回转曲面测量的理论依据和实现方法，但由于检测装置不能直接执行高级DMIS语句，因此必须对DMIS语句进行后置处理研究，将高级语句转换成测量装置目前易于识别的通用DMIS语句格式，以实现测量的可行性。通过DMIS语句的软件编程将带宏变量的高级语句转换为带参变量的中间文件，再利用PC-DMIS4.2软件对带参变量的中间文件做后置处理，转换成为检测装置可执行的点位代码。在具体使用时，使用者只要将检测点数量，起点位置和终点位置等参数输入，就可以自动计算出各检测点的空间坐标，建立坐标系并得到检测路径，检测装置中的测量探头能按照得到的检测路径对回转曲面进行测量作业。最后对测量到的结果数据进行误差评定，可得到结果误差并在显示器上显示。

本实施例中，检测装置为三坐标测量机。

由图3可知，本发明提供的回转曲面的检测系统在工作时，首先将检测点数量，起点位置、终点位置、三坐标测量机的回退距离、搜索距离和测针的旋转角度等参数输入到三坐标测量机中，三坐标测量机中的检测路径获取模块得到参数并依据技术要求建立坐标系，检测路径获取模块根据建立起的坐标系通过程序运算得到检测路径。内嵌在检测模块中的DMIS语句的软件编程将带宏变量的检测路径高级语句转换为带参变量的中间文件，再由内嵌在检测模块中的PC-DMIS4.2软件对带参变量的中间文件做后置处理，转换成为在三坐标测量机中的检测模块中可执行的点位代码；从而使三坐标测量机中的检测模块中的检测程序被执行，即控制三坐标测量机的测量探头工作。此时测量探头延着得到的检测路径对检测点进行测量作业，即测量探头延检测点的法向方向给进，进行曲面测量作业，得到结果数据并在显示器上显示出来。

需要说明的是，内嵌在误差评定模块中的公差评定语句对测量结果进行误差评定，误差评定的结果也在显示器上显示出来，从而可以将由测量探头的半径补偿引起的系统误差降到最低，并保证了测量结果的准确性。

通过本发明提出的回转曲面的检测方法对回转曲面进行测量时，以某产品聚能壳体内回转面为例。仅需测量XOZ坐标系第一象限内的曲线就可以达到测量要求。对第一象限内的曲线进行分析，从X=0至X=32.19处是一段圆弧，半径为95.359mm，圆心在XOZ坐标系坐标为（0，-20.359），原始方程为：

${\left(\frac{X}{95.359}\right)}^2+{\left(\frac{Z+20.359}{95.359}\right)}^2=1---\left(11\right)$

x∈(0，31.29)

进行参数转换，转换后的参数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}X=95.359\cos \mathrm{\θ}\\ Y=0\\ Z=-20.359+95.359\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(12\right)$

θ∈(70.2713°，90°)

此段方程符合拉格朗日线性插值，其截断误差为：

$R_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{f}^{\′\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)---\left(13\right)$

设此段零件技术要求的精度为0.05mm，故|R₁(x)|≤0.05，

其中(x-x₀)(x-x₁)分别为测量间距h，可得：

$\left|R_1\left(x\right)\right|=\left|\frac{1}{2}{f}^{\′\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)\right|=\frac{1}{2}\frac{1}{95.359}{h}^2\≤0.05$

可得：h≤3.088

测量点的最小数量n为：当h=3.088时，n=10.42，故至少在此段圆弧上选取11个测量点。

  从X=82至X=155又是一段圆弧，半径为767.7371mm，圆心在XOZ坐标系坐标为（-174.85，-670.61），原始方程为：

${\left(\frac{X+174.85}{767.7371}\right)}^2+{\left(\frac{Z+670.61}{767.7371}\right)}^2=1---\left(14\right)$

x∈(82，155)

进行参数转换，转换后的参数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}X=767.7371\cos \mathrm{\θ}-174.85\\ Y=0\\ Z=767.7371\sin \mathrm{\θ}-670.61\end{array}\right.---\left(15\right)$

θ∈(64.5553°，70.45454°)

此段方程符合拉格朗日线性插值，其截断误差为：

$R_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{f}^{\′\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)$

设此段零件技术要求的精度也为0.05mm，故|R₁(x)|≤0.05，

其中(x-x₀)(x-x₁)分别为测量间距h，可得：

$\left|R_1\left(x\right)\right|=\left|\frac{1}{2}{f}^{\′\′}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)\right|=\frac{1}{2}\frac{1}{767.7371}{h}^2\≤0.05$

可得：h≤8.7642

测量点的最小数量n为：当h=8.7642时，n=8.33，故至少在此段圆弧上选取9个测量点。

然后对从X=32.19至X=82曲线段的原始方程：

Z＝0.000002232X³-0.00116X²-0.2389X+78.344

                                               （16）

(32.19≤X≤82)

进行参数转换，转换后的参数方程为：

$\left\{\begin{array}{c}X=200t\\ Y=0\\ Z=17.85t^3-46.40t^2-47.78t+78.344\end{array}\right.---\left(17\right)$

t∈(0.16095,0.41)

此段方程符合拉格朗日二次插值，其截断误差为：

$R_2\left(x\right)=\frac{1}{6}{f}^{\left(3\right)}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)---(18$

设此段零件的技术要求精度为0.01mm，故R₂（x）≤0.01，且（x-x₀）、（x-x₁）、（x-x₂）有两个为测量间距h，一个为测量间距h的两倍。此时变量x即使为t。

$\left|R_2\left(x\right)\right|=\left|\frac{1}{6}{f}^{\left(3\right)}\left(\mathrm{\ξ}\right)(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\right|=\frac{1}{6}\×6\×17.85\×2h^3\≤0.01---(19$

可得：h≤0.0654

测量点的最小数量n为：当h=0.0654时，n=3.8，故至少在此段圆弧上选取4个测量点。

将各检测点对应的t值代入公式（17），则可求出每点的理论正确的检测路径矢量，从而得到检测路径。将高级语句转换成三坐标测量机目前易于识别的通用DMIS语句格式，再通过三坐标测量机的测量探头按照检测路径，对回转曲面上的各检测点进行测量。最后，对测得的结果数据进行误差评定，可得到结果误差。

若结果误差在可接受范围内，则判定该产品零件加工合格，进行下一道工序；

若结果误差在可接受范围外，则停止检测作业，对测量系统进行核对、调试，确认无误后，再次执行程序。若结果误差仍在可接受范围外，判定该零件不合格，并向设计部门反馈。

使用本发明提出的回转曲面的检测方法及运用该检测方法的检测系统可以测量的参数曲线包括：规则圆弧测量、渐开线测量、阿基米德螺旋线、二次曲线测量、高次多项式曲线测量。

本发明实现了测量探头沿回转曲面的法向方向进给，从而将由测量探头的半径补偿引起的系统误差降到最低，保证了测量结果的准确性。

最后所应说明的是，以上具体实施方式仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照实例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种回转曲面的检测方法，其特征在于，包括：

将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；具体步骤包括：

将回转曲面的参数方程中的X或Y代入Z的方程中；

对Z进行求导得到切线方程，对所述切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

将所述法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

将所述检测点的坐标依次代入所述最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径；其中，所述检测点的选取包括：

设回转曲面的曲线函数为f(x)，插值多项式为L_n(x)；在函数区间[a，b]上用L_n(x)近似f(x)，则截断误差R_n(x)为

R_n(x)＝f(x)-L_n(x)

其中，R_n(x)也被称为插值多项式的余项或插值余项；那么检测n个检测点的数据根据拉格朗日插值余项的计算定理：

$R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-L_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}{\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(x\right)$

其中，ξ∈(a,b)且依赖于x,而ω_n+1(x)＝(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)；

截断误差R_n(x)的绝对值应小于零件技术要求的误差e，即

$\left|R_n\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-L_n\left(x\right)|=|\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)|\≤e,$

等步距取点的情况(x-x₀)、(x-x₁)、...(x-x_n)可看作间距h或者间距h的倍数；通过上式可算出间距h，再用函数区间[a，b]的取值范围除以间距h得到选取的测量点的个数的最小值；

其中，只要根据研究对象的实际方程式，将回转面上各点的方向向量表达式写入DMIS测量方程式中，就可以得到所需的探头法向探测方向向量，进而得到检测路径；

根据检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果。

2.如权利要求1所述的回转曲面的检测方法，其特征在于，还包括：

在通过所述检测路径得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为(x1，y1)，测量点的坐标为(x2,y2)，则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$

3.一种回转曲面的检测系统，其特征在于，包括：检测装置、显示器；检测装置的输出端与显示器的输入端连接；其中，检测装置包括：

检测路径获取模块，将在回转曲面上选取的检测点对应在曲线的参数方程中的变量代入其法向矢量表达式中，得到检测路径；具体包括：

第一计算单元，将回转曲面的参数方程中的X或Y代入Z的方程中，对Z进行求导得到切线方程，对所述切线方程求负倒数得到法向斜率方程；

第二计算单元，将所述法向斜率方程代入法向矢量表达式中，并通过赋值替代转换为最终的法向矢量表达式；

第三计算单元，将所述检测点的坐标依次代入所述最终的法向矢量表达式中，得到各检测点的坐标及法向向量，进而得到检测路径；

检测模块，根据所述检测路径对回转曲面进行测量，得到检测结果；

检测装置还包括：检测点选取模块，所述检测点选取模块根据拉格朗日插值余项的计算定理来选取检测点；包括：

设回转曲面的曲线函数为f(x)，插值多项式为L_n(x)；在函数区间[a，b]上用L_n(x)近似f(x)，则截断误差R_n(x)为

R_n(x)＝f(x)-L_n(x)；

其中，R_n(x)也被称为插值多项式的余项或插值余项；那么检测n个检测点的数据根据拉格朗日插值余项的计算定理：

$R_n\left(x\right)=f\left(x\right)-L_n\left(x\right)=\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}{\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(x\right);$

其中，ξ∈(a,b)且依赖于x,而ω_n+1(x)＝(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)；

截断误差R_n(x)的绝对值应小于零件技术要求的误差e，即

$\left|R_n\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-L_n\left(x\right)|=|\frac{f^{(n+1)}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)|\≤e,$

等步距取点的情况(x-x₀)、(x-x₁)、...(x-x_n)可看作间距h或者间距h的倍数；通过上式可算出间距h，再用函数区间[a，b]的取值范围除以间距h得到选取的测量点的个数的最小值。

4.根据权利要求3所述的检测系统，其特征在于，检测装置还包括：

误差评定模块，在通过所述检测路径得到检测结果后，还要对得到的结果数据进行误差评定；方法为：设理论点的坐标为(x1，y1)，测量点的坐标为(x2,y2)，则误差值δ的计算公式为：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{{(x2-x1)}^2+{(y2-y1)}^2}.$