CN102663256B - 确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式的一种方法 - Google Patents

Abstract

确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式的一种方法，属于市政工程技术领域。根据重现期P，暴雨强度i，历时t的关系值，首先，采用高斯-牛顿法确定各单一重现期分公式的参数；其次，通过回归计算选配暴雨衰减指数n与重现期P为半对数型或幂函数型相关关系式，并取其相关指数R²较大者作为采用的n与P的关系式，同时，回归计算雨力A与重现期P关系式中的参数，并将上述求得的各个参数值作为各重现期总公式中相应参数的初值，对于参数b，取各单一重现期的平均值作为总公式中b的初值；然后，采用高斯-牛顿法确定暴雨衰减指数n为函数型的总公式的参数，进而得暴雨强度公式。该公式是城市排水工程设计中确定雨水设计流量的基本依据。

Description

确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式的一种方法

一、技术领域

本发明属于市政工程技术领域。暴雨强度公式是城市排水工程设计中确定雨水设计流量的基本依据之一，该公式的合理性与精度直接影响城市排水工程的规模。 

二、背景技术

目前，我国城市暴雨强度公式的一般形式为： 

单一重现期的分公式 $i=\frac{A}{{(t+b)}^n}---\left(1\right)$

各重现期的总公式 $i=\frac{A_1(1+\mathrm{ClgP})}{{(t+b)}^n}---\left(2\right)$

式中i为暴雨强度，简称雨强，mm/min；P为重现期，a；t为降雨历时，min。而A，A₁，C，b，n是与地方暴雨特性有关的参数，其中A为雨力，即t+b＝1时的雨强，mm/min；A₁为重现期为1a的设计降雨的雨力，mm/min；C为雨力变动参数，b为降雨历时修正参数，min；n为暴雨衰减指数。 

单一重现期的分公式对降雨历时t，雨强i的关系值(t，i)的拟合精度较高，但只能应用于一个重现期的情况，故目前我国常用式(2)形式的成果，且其参数n，b采用固定值。 

文献[1]提出了采用高斯-牛顿法确定式(2)公式中的参数。 

高斯牛顿法^[2]： 

设一般的非线性方程为 

y＝f(X，θ)+ε 

式中f为一般函数；X可以是单个自变量，也可以是r个自变量X＝(x₁，x₂，…，x_r)；θ为P维参数向量，即θ＝(θ₁，θ₂，…，θp)′；ε为随机误差项，且∈N(0，σ²)。设y和X具有m组观察值(x_1i，x_2i，…，x_ri；y_i)，i＝1～m。求非线性模型参数的“最小二乘”估计，就是求θ的待估计值 

使残差平方和 

$Q\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-f(X_i,\mathrm{\θ})]}^2---\left(3\right)$

为最小。 

对于非线性模型，无法直接求参数的“最小二乘”解。高斯-牛顿法将f(X，θ)在参数初值 θ₍₀₎＝(θ₁₍₀₎，θ₂₍₀₎，…，θ_p(0))′处展开成只包含一次项的泰勒级数，从而使非线性模型线性化。为方便起见，用记号f_i(θ)代替f(x_i，θ)，可导出满足式(3)Q(θ)为最小的参数递推公式，并写成矩阵形式为^[2]

θ_(k+1)＝θ_(k)+[J′(θ_(k))J(θ_(k))]^-1 J′(θ_(k))[(y-f(θ_(k))]    (4) 

式中k为递推次数。 

$J\left({\mathrm{\θ}}_{\left(k\right)}\right)={\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\∂f}_1\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& \frac{{\∂f}_1\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}& ...& \frac{{\∂f}_1\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_p}\\ \frac{{\∂f}_2\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& \frac{{\∂f}_2\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}& ...& \frac{{\∂f}_2\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_p}\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ \frac{{\∂f}_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_1}& \frac{{\∂f}_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂\mathrm{\θ}}_2}& ...& \frac{{\∂f}_m\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂{\mathrm{\θ}}_p}\end{array}\right]}_{\mathrm{\θ}={\mathrm{\θ}}_{\left(k\right)}}$

y＝(y₁，y₂，…，y_m)′，f(θ_(k))＝[f₁(θ_(k))，f₂(θ_(k))，…，f_m(θ_(k))]。 

利用式(4)从参数初值θ₍₀₎开始，一步步递推下去，直到θ_(k)收敛稳定，即|θ_(k+1)-θ_(k)|小于或等于预先指定的小正数δ，从而得到θ的估计值。 

对于暴雨强度公式的拟合精度，GB50014-2006《室外排水设计规范》^[3](2011版)附录A第A.0.10条指出：“计算抽样误差和暴雨强度公式均方差。宜按绝对均方差计算，也可辅以相对均方差计算。计算重现期在2年～20年时，在一般强度的地方，平均绝对均方差不宜大于0.05mm/min(注：原文为“平均绝对方差不宜大于0.05mm/min”。显然是错误的，均方差才与暴雨强度具有相同量纲)。在较大强度的地方，平均相对均方差不宜大于5％”。 

一些地区的计算成果表明，即使采用非线性最小二乘法或其他最优化方法求解式(2)的拟合参数，某些重现期或总公式的平均绝对均方差(即标准差)仍超过0.05mm/min^[4，5]，特别是参数n随重现期变化较为显著的地区，这种现象尤为突出。文献[4]指出：为了更密切的吻合当地多年统计的降雨强度子样点分布规律，提高精度，总公式的形式也可采用(第931页)： 

文献[4]还指出：暴雨衰减指数n值精确与否对公式的均方差有很大的影响(第929页)。 

因此，从既不使公式过于复杂，又提高拟合精度的角度，可采用暴雨衰减指数n为函数型的暴雨强度公式： 

$i=\frac{A_1(1+\mathrm{ClgP})}{{(t+b)}^{n\left(P\right)}}=\frac{A_1+C_1\mathrm{lgP}}{{(t+b)}^{n\left(P\right)}}---\left(6\right)$

式中C₁＝A₁×C。 

文献[4]给出了n与P的关系式为n＝n₁+n₂lgP时确定式(6)中参数的手工算法(第932-939页)。到目前为止，尚无采用解析法确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式，即总公式式(6)的方法。 

三、发明内容

为了克服手工算法确定式(6)中暴雨衰减指数的函数形式及式(6)中参数效率低、所求参数具有一定的任意性、拟合精度不如解析法高的缺陷，本发明采用高斯-牛顿法确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式，即总公式式(6)。 

本发明采用的技术方案是：根据重现期P，暴雨强度i，历时t的关系值，首先，采用高斯-牛顿法确定各单一重现期分公式(1)的参数A，b，n；其次，通过回归计算选配暴雨衰减指数n与重现期P为半对数型或幂函数型的相关关系式，并取其相关指数R²较大者作为采用的n与P的关系式，同时，回归计算雨力A与重现期P关系式A＝A₁+C₁lgP中的参数，并将上述求得的各个参数值作为总公式中相应参数的初值，对于参数b，取各单一重现期的平均值作为总公式中b的初值；然后，采用高斯-牛顿法确定暴雨衰减指数n为函数型的总公式(6)的参数，进而得暴雨强度公式。 

本项发明的有益效果是，计算效率高、拟合精度高，使所求参数为最佳拟合参数，且暴雨衰减指数n的函数形式的确定科学合理。本项发明已利用我国有关城市的暴雨特征值资料进行了验证，效果很好。 

四、具体实施方式

已知某城市重现期P、降雨强度i和降雨历时t的m组关系值(P_j，t_j；i_j)，j＝1～m，其中各个单一重现期有m₁组观察值。 

1.确定式(6)中暴雨衰减指数n与重现期P的关系式以及式(6)中各参数的初值。 

(1)用高斯-牛顿法确定各单一重现期分公式(1)的参数A，b，n 

1)对式(1)参数A，b，n分别求偏导数 

$\∂i/\∂A=1/{(t+b)}^n---\left(7\right)$

$\∂i/\∂b=-\mathrm{An}/{(t+b)}^{n+1}---\left(8\right)$

$\∂i/\∂n=-A\ln (t+b)/{\left((t+b\right)}^n---\left(9\right)$

2)确定各单一重现期分公式(1)的参数A，b，n的初值。具体方法可参考文献[1]，并将求得的三参数的初值表示为：θ₍₀₎＝(A₍₀₎，b₍₀₎，n₍₀₎)′。 

3)应用式(7)～式(9)、θ₍₀₎以及每一重现期相应的m₁组观察值(t_j，i_j)，j＝1～m₁，计算偏导数矩阵J(θ₍₀₎)以及矩阵f(θ₍₀₎)。 

4)根据式(4)计算θ₍₁₎。 

5)再以θ₍₁₎作为参数的初始值θ₍₀₎，重复步骤3)，步骤4)，根据给定的δ值(例如，δ＝0.0005)，经若干次递推迭代，可求得各单一重现期分公式(1)参数的估计值θ＝(A，b，n)′。 

(2)根据参数n与重现期P的关系值(P，n)，通过回归计算选配n＝n₁+n₂lgP或 

关系式，并取其相关指数R²较大者作为采用的n与P的关系式。将此环节求得的n₁，n₂作为式(6)相应参数的初值。 

(3)根据参数A与重现期P的关系值，确定A＝A₁+C₁lgP关系式中参数A₁、C₁，并分别将其作为式(6)中参数A₁、C₁的初值。 

(4)将各单一重现期的参数b，取平均值作为式(6)中参数b的初值。 

至此，得暴雨衰减指数采用n＝n₁+n₂lgP或 

时总公式(6)参数的初值θ₍₀₎＝(A₁₍₀₎，C₁₍₀₎，b₍₀₎，n₁₍₀₎，n₂₍₀₎)。 

2.用高斯-牛顿法确定总公式(6)的参数。 

当n-P关系采用n＝n₁+n₂lgP形式时，总公式式(6)为： 

$i=\frac{A_1+C_1\mathrm{lgP}}{{(t+b)}^{n_1+n_2\mathrm{lgP}}}---\left(10\right)$

1)对式(10)中的参数A₁，C₁，b，n₁，n₂分别求偏导数： 

$\∂i/\∂A_1=1/{(t+b)}^{n_1+n_2\mathrm{lgP}}---\left(11\right)$

$\∂i/\∂C_1=\mathrm{lgP}/{(t+b)}^{n_1+n_2\mathrm{lgP}}---\left(12\right)$

$\∂i/\∂b=-(A_1+C_1*\mathrm{lgP})(n_1+n_2\mathrm{lgP}){(t+b)}^{-(n_1+n_2\mathrm{lgP})-1}---\left(13\right)$

$\∂i/\∂n_1=-(A_1+C_1*\mathrm{lgP}){(t+b)}^{-(n_1+n_2\mathrm{lgP})}\ln (t+b)---\left(14\right)$

$\∂i/\∂n_2=-(A_1+C_1*\mathrm{lgP})\left[{(t+b)}^{-(n_1+n_2\mathrm{lgP})}\right]\ln (t+b)\mathrm{lgP}---\left(15\right)$

2)由前述确定的总公式参数的初值θ₍₀₎＝(A₁₍₀₎，C₁₍₀₎，b₍₀₎，n₁₍₀₎，n₂₍₀₎)′、式(11)～式(15)以及全部重现期的m组观察值(P_j，t_j；i_j)，j＝1～m，计算偏导数矩阵J(θ₍₀₎)以及矩阵f(θ₍₀₎)。 

3)根据式(4)计算θ₍₁₎。 

4)再以θ₍₁₎作为参数的初始值θ₍₀₎，重复步骤2)，步骤3)，根据给定的δ值(例如，δ＝0.0005)，经若干次递推迭代，可求得总公式(10)中参数的估计值θ＝(A₁，C₁，b，n₁，n₂)′。 

当n-P关系采用 

形式时，总公式式(6)为： 

$i=\frac{A_1+C_1\mathrm{lgP}}{{(t+b)}^{n_1{P}^{n_2}}}---\left(16\right)$

1)对式(16)中的参数A₁，C₁，b，n₁，n₂分别求偏导数： 

$\∂i/\∂A_1=1/{(t+b)}^{n_1{P}^{n_2}}---\left(17\right)$

$\∂i/\∂C_1=\mathrm{lgP}/{(t+b)}^{n_1{P}^{n_2}}---\left(18\right)$

$\∂i/\∂b=-(A_1+C_1*\mathrm{lgP})\left({-n}_1{P}^{n_2}\right){(t+b)}^{-\left(n_1{P}^{n_2}\right)-1}---\left(19\right)$

$\∂i/\∂n_1=(A_1+C_1*\mathrm{lgP}){(t+b)}^{-n_1{P}^{n_2}}\ln (t+b)\left({-P}^{n_2}\right)---\left(20\right)$

$\∂i/\∂n_2=-(A_1+C_1*\mathrm{lgP})n_1\ln {(t+b)(t+b)}^{-n_1{P}^{n_2}}{P}^{n_2}\ln P---\left(21\right)$

第2)步～第4)步与推求公式(10)中参数的方法类似，不再赘述。 

有关文献 

[1]张子贤.用高斯-牛顿法确定暴雨公式参数[J].河海大学学报，1995，23(5)：106-111. 

[2]方开泰.实用回归分析[M].北京：科学出版社，1988.168-172. 

[3]GB50014-2006.室外排水设计规范(2011版)[s]. 

[4]北京市市政工程设计研究总院.给水排水设计手册，第5册，城镇排水，第二版[M].北京：中国建筑工业出版社，2002.921-975. 

[5]樊建军，王峰，陈鹏飞.利用MATLAB推导城市暴雨强度公式[J].中国给水排水，2010，26(11)：114-115。 

Claims (1)

1.确定暴雨衰减指数为函数型的暴雨强度公式的一种方法，根据各重现期P，暴雨强度i，历时t的关系值，确定各重现期的总公式 

式中i为暴雨强度，简称雨强，mm／min；P为重现期，a；t为降雨历时，min；而A₁，C，b，n是与地方暴雨特性有关的参数，其中A₁为重现期为1a的设计降雨的雨力，mm／min；C为雨力变动参数，b为降雨历时修正参数，min；n为暴雨衰减指数；而C₁=A₁×C；

其特征之一是：首先，根据各单一重现期的暴雨强度i，历时t的关系值，采用高斯-牛顿法确定各单一重现期分公式 

中的参数A，b，n，其中A为雨力，即t+b=1时的雨强，mm／min；b为降雨历时修正参数，min；n为暴雨衰减指数；

其次，通过回归计算选配暴雨衰减指数n与重现期P的关系为n=n₁+n₂lgP或相关关系式，并取其相关指数R²较大者作为采用的n与P的关系式，同时，回归计算A=A₁+C₁lgP中的参数；然后，将上述求得的各个参数值作为总公式中相应参数的初值，对于参数b，取各单一重现期的平均值作为总公式中b的初值；

至此，得暴雨衰减指数采用n=n₁+n₂lgP或

时总公式参数的初值θ₍₀₎=(A₁₍₀₎，C₁₍₀₎，b₍₀₎，n₁₍₀₎，n₂₍₀₎)；

其特征之二是：采用高斯-牛顿法及其公式 

确定暴雨衰减指数n为函数型的总公式 

中的参数，或采用高斯-牛顿法确定暴雨衰减指数n为函数型的总公式 

中的参数。