CN102662848A - 一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具，测试方法针对离散型和连续型两种软件，构造了基于减函数法的先验分布函数，在此基础上构造单层有先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法，再对先验分布函数中的超参数构建先验分布函数，构造多层无先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法。本发明计算机辅助工具包括先验数据收集管理模块、失效数据导入模块、先验信息计算模块、验证测试方案生成模块、录入验证测试失效数据模块及结果输出模块，实现基于减函数法的单层先验分布的贝叶斯软件可靠性验证测试。本发明更加适用于高可靠软件的可靠性验证测试，提高了验证测试的效率。

Description

一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具

技术领域

本发明属于软件可靠性工程领域，尤其涉及软件可靠性测试领域，具体地说，是指一种基于减函数法的多层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具。

背景技术

软件可靠性验证测试是用户在接收软件时，确定软件当前的可靠性水平是否满足软件开发合同、任务书或需求规格说明书中规定的用户要求而进行的测试，其对于软件尤其是安全关键软件的可靠性保证具有非常重要的意义。软件可靠性验证测试方案是软件可靠性验证测试方法的核心组成部分，其决定了软件可靠性验证测试的执行方式以及可靠性指标的验收标准。目前，国内外针对安全关键软件的可靠性验证测试方案的研究成果已有很多。已经授权的中国专利201010161608.4号公开了“一种基于测试框架的软件测试方法”，其通过针对一系列软件构建一个基础测试框架，完成同一系列软件的测试问题，通过测试过程中对框架的实例化和框架复用，解决了软件测试领域中测试质量受资源限制明显的问题。已经授权的中国专利200910147769.5号公开了“一种实时嵌入式软件自动化闭环测试方法”，其利用基于编程语言实时扩展的实时嵌入式软件测试描述语言的灵活特性，及其执行引擎的可嵌入性、移植性和实时运行特性，可完成实时测试运行中测试人员与被测系统的实时反馈处理，实现实时嵌入式软件的自动化闭环测试。但是这些验证测试方案应用于具有高可靠指标要求的安全关键软件(以下简称高可靠软件)时，仍然会呈现出很多的局限性，例如所需要的测试用例数量庞大、验证测试时间冗长，导致在有限的测试资源下，某些高可靠软件的可靠性验证测试很难开展。因此，如何改进现有的针对高可靠软件的可靠性验证测试方案，降低验证测试所需的测试用例或测试时间，是目前国内外软件可靠性工程领域的研究热点和难点之一。

基于贝叶斯理论的软件可靠性验证测试方法是迄今为止最为成熟且最为有效的针对高可靠软件的可靠性验证测试方法之一。此类验证测试方法的核心是软件可靠性参数(失效概率或失效率)的先验分布函数构造问题。有研究表明，若能够获得有效的先验信息，从而准确地估计出先验函数的参数，则基于贝叶斯理论的软件可靠性验证测试方法可以在保证验证结果置信度的前提下，有效地降低测试用例量、缩短测试时间。

现有的贝叶斯方案中，通常选用共轭分布函数来确定软件可靠性参数的先验分布。之所以选取共轭分布函数来构建先验分布函数，是为了简化后验分布函数的推导过程，但并没有考虑高可靠软件的可靠性参数的特点，所以由共轭分布法构造的先验分布函数未必适合描述高可靠软件的可靠性参数的先验分布情况。

减函数法是一种新的先验分布构造方法，其核心思想是选取可靠性参数的减函数作为先验分布函数的核函数，这符合高可靠软件失效概率(或失效率)取较大值的可能性小、取较小值的可能性大的特点，因此适用于构造高可靠软件可靠性参数的先验分布函数。

目前，现有技术中还没有给出如何利用减函数法进行高可靠软件可靠性参数的多层先验分布函数的构造来确定贝叶斯方案，并且应用于有失效和无失效数据情况的软件可靠性验证测试领域中。

发明内容

本发明为了解决现有的高可靠软件可靠性验证测试效率低的问题，在基于贝叶斯理论的软件可靠性验证测试方法的基础上，提出一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具。本发明构造了基于减函数法的先验分布密度函数，该先验分布密度函数更加符合高可靠软件可靠性参数(失效概率或失效率)的特点，基于先验分布密度函数提出了基于减函数法的单层有先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法。另外，本发明还针对所构造的先验分布密度函数中的超参数构建先验分布函数，从而提出基于减函数法的多层无先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法。

本发明提供的一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体通过以下步骤实现：

步骤一、收集测试数据，并判断被测软件为离散型软件还是连续型软件，若是连续型软件，执行步骤二；若是离散型软件，转步骤五执行。

步骤二、调入用户给定的验证指标，并选择是进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯方法，执行步骤三，若选择多层贝叶斯方法，执行步骤四。

步骤三、对于连续型软件，如果选择的是单层贝叶斯方案，采用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效率λ的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用软件可靠性增长测试过程后期收集的测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并确定后验分布密度函数，最后确定测试所需的连续执行时间。

步骤四、对于连续型软件，如果选择的是多层贝叶斯方案，采用基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效率的一个减函数构造第一层先验分布密度函数，再为第一层先验分布密度函数的超参数选择先验分布密度函数，得到多层先验分布密度函数，然后求解多层后验分布密度函数，并最终确定测试所需的连续执行时间。

步骤五：调入用户给定的验证指标，并选择进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤六，若选择多层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤七。

步骤六、对于离散型软件，如果选择的是单层贝叶斯方案，采用基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行测试验证。首先选取失效概率的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用软件可靠性增长测试过程后期的测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并求解后验分布密度函数，最后确定单层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方案，也就是测试所需的测试用例数量。

步骤七、对于离散型软件，如果选择的是多层贝叶斯方案，采用基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试。首先选取失效概率的一个减函数构造第一层先验分布密度函数，再为第一层先验分布密度函数的超参数选择先验分布密度函数，得到多层先验分布密度函数，然后求解多层后验分布密度函数，并最终确定多层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方案，也就是确定测试所需的测试用例数量。

步骤八、根据被测软件特点和可靠性测试要求搭建可靠性测试环境，构造操作剖面，并根据测试所需的连续执行时间或者测试用例数量，生成相应数量的可靠性测试用例。

步骤九、执行步骤八中生成的测试用例，并收集失效数据。

步骤十、结合验证测试方案和步骤九中收集的失效数据，得到接收或拒收结论，并停止测试。根据执行结果，判断当前被测软件是否满足可靠性验证的要求，若不满足，则得出拒收结论，若满足，则得出接收结论。

本发明步骤三中提供的基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法具体通过以下步骤实现：

步骤3.1、先验分布密度函数的选取。

假设连续型软件的失效率λ是一个随机变量，依据减函数法，选取λ的一个典型减函数e^-aλ作为其先验分布密度函数的核，其中a是待估计的超参数。本发明中以泊松分布为例进行了方法的阐述，其它分布可参照本发明中给出的步骤自行推导。

因此，λ的先验分布密度函数的具体形式为：

f(λ)＝Ae^-aλ                                                       (1)

根据分布密度函数的性质可知：进而推导出A＝a。

假设连续型软件在时间间隔(0，t]内的失效次数x等于k的概率，是失效率λ的条件概率，且服从参数为λt的泊松分布，则有

k为正整数。结合式(1)，即可得到失效次数x及失效率λ的联合分布为：

$g(x=k,\mathrm{\λ})=a\frac{{\left(\mathrm{\λt}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\λ}(a+t)}---\left(2\right)$

根据式(2)即可得到失效次数x的边缘分布为：

$g(x=k)=\underset{0}{\overset{+\∞}{\∫}}g(x=k,\mathrm{\λ})\mathrm{d\λ}=\underset{0}{\overset{+\∞}{\∫}}a\frac{{\left(\mathrm{\λt}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\λ}(a+t)}\mathrm{d\λ}=\frac{{\mathrm{at}}^k}{k!}\underset{0}{\overset{+\∞}{\∫}}{\mathrm{\λ}}^k{e}^{-(a+t)\mathrm{\λ}}\mathrm{d\λ}=\frac{{\mathrm{at}}^k}{k!}\·\frac{\mathrm{\Γ}(k+1)}{{(a+t)}^{k+1}}---\left(3\right)$

其中，Γ(k+1)表示伽玛函数，定义式为 $\mathrm{\Γ}\left(a\right)=\underset{0}{\overset{+\∞}{\∫}}{x}^{a-1}{e}^{-x}\mathrm{da},\mathrm{\Γ}(k+1)=k!.$

进一步化简式(3)，得到：

$g(x=k)=\frac{{\mathrm{at}}^k}{{(a+t)}^{k+1}}---\left(4\right)$

步骤3.2、先验分布密度函数超参数的估计。

通常在高可靠软件验收之前，都会经历较长时间的软件可靠性增长测试，选取增长测试阶段后期收集到的若干失效间隔时间数据作为先验信息数据，以保证尽量准确地获得失效率λ的先验分布密度函数(如式(8)所示)中超参数a的估计值。根据失效信息数据来确定超参数a的具体方法如下所示：

$E\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}r\·g(x=r)=\underset{r=0}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{art}}^r}{{(a+t)}^{r+1}}=\frac{t}{a}---\left(5\right)$

其中，E(x)表示失效次数的数学期望。

软件在可靠性增长测试阶段的测试记录可以表示为失效间隔时间序列T₁，T₂，…，T_n，假设时刻

为一个较大的时间数值(相对于失效间隔序列T₁，T₂，…，T_n来说，是一个较大的时间点)，则T_i在时间

内对应的失效数样本值s_i为

从而将T₁，T₂，…，T_n转化为如下的失效数样本序列：

n表示失效间隔时间的个数。根据式(5)和式(6)可得

对该式进行求解即可得到超参数a的先验估计值为：

$a=\frac{t_{\mathrm{\φ}}}{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i}---\left(7\right)$

将式(6)代入式(7)中，化简可得超参数a的先验估计值为：

$a=\frac{n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{T_i}}---\left(8\right)$

由式(8)可知，时刻

的取值对超参数a的估计结果并无影响。

步骤3.3、求解后验分布密度函数。

将超参数a的先验估计值代入式(1)得到失效率λ的先验分布密度函数为f(λ)＝ae^-aλ，假定软件持续运行时间为t，期间观察到r次失效，则软件失效率λ的后验分布密度函数为：

$f\left(\mathrm{\λ}\right|r,t,a)=\frac{g(x=r,\mathrm{\λ})}{g(x=r)}=\frac{{(a+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\λ}}^r{e}^{-\mathrm{\λ}(a+t)}---\left(9\right)$

步骤3.4、给出基于减函数法的单层先验分布函数的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方案，即所需要的验证测试时间。

根据式(9)可得，对于给定的验证方案参数(λ₀，c，r)，所需要的验证测试时间T为满足下式中t的最小值：

$P(\mathrm{\λ}\≤{\mathrm{\λ}}_0)={\∫}_0^{{\mathrm{\λ}}_0}f\left(\mathrm{\λ}\right|r,t,a)\mathrm{d\λ}={\∫}_0^{{\mathrm{\λ}}_0}\frac{{(\hat{a}+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\λ}}^r{e}^{-\mathrm{\λ}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\λ}\≥c---\left(10\right)$

其中，λ₀为失效率的指标值，c为置信度水平，r为验证测试过程中的允许失效数。特别地，当允许失效数r＝0时，求解下式得到无失效验证方案所需的测试时间T：

$P(\mathrm{\λ}\≤{\mathrm{\λ}}_0)={\∫}_0^{{\mathrm{\λ}}_0}f\left(\mathrm{\λ}\right|r,t,a)\mathrm{d\λ}={\∫}_0^{{\mathrm{\λ}}_0}{\mathrm{\λ}}^r{e}^{-\mathrm{\λ}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\λ}\≥c---\left(11\right)$

本发明步骤四中提供的基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体通过以下步骤实现：

步骤4.1、先验分布密度函数的选取。

选取失效率λ的减函数构造第一层先验分布密度函数，而第二层先验分布密度函数(即第一层先验分布密度函数中的超参数)则定为均匀分布。本发明中以伽玛分布、均匀分布为例进行了方法的阐述，其它分布可参照本发明中给出的步骤自行推导。

经典连续型贝叶斯验证测试方案中，失效率λ的先验分布密度函数为伽玛分布函数，符号表示为Gamma(a，b)。本发明在此基础上，结合基于减函数的多层先验分布函数构造法，提出改进后的多层先验分布验证方案。

$\mathrm{\π}\left(\mathrm{\λ}\right|a,b)=\mathrm{Gamma}(a,b)=\frac{b^a}{\mathrm{\Γ}\left(a\right)}\·{\mathrm{\λ}}^{a-1}{e}^{-\mathrm{b\λ}}---\left(12\right)$

对于Gamma函数，当且仅当0＜a＜1，b＞0时其为减函数。鉴于对参数b的信息掌握甚少，这里取b为定值0，则失效率λ第一层先验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}(0<a<1)---\left(13\right)$

对于超参数a，结合减函数多层先验分布构造法，取[0，1]上的先验分布h(a)＝1为第二层先验分布密度函数。

步骤4.2、确定多层先验分布密度函数。

结合上面提出的失效率λ的第一层及第二层先验分布密度函数，可得到失效率λ的多层先验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)\&CenterDot;h\left(a\right)\mathrm{da}=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(14\right)$

步骤4.3、求多层后验分布密度函数。

软件连续运行t时间后发生的失效数x服从泊松过程，即：则结合式(14)得到(x，λ)的联合分布函数如下：

$p(x=k,\mathrm{\&lambda;})=p(x=k|\mathrm{\&lambda;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(15\right)$

由式(15)，可得失效数x的边缘分布函数为：

$p(x=k)=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}p(x=k,\mathrm{\&lambda;})\mathrm{d\&lambda;}=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}(\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da})\mathrm{d\&lambda;}---\left(16\right)$

结合式(15)和式(16)，可得失效率λ的多层后验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=k)=\frac{p(x=k,\mathrm{\&lambda;})}{p(x=k)}=\frac{\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}---\left(17\right)$

$=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\left(\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{a+k-1}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\mathrm{d\&lambda;}\right)\mathrm{da}}=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+k)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}$

其中，Γ(a)表示伽玛函数。

步骤4.4、给出基于减函数法的多层先验分布函数的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方案，也就是测试所需的连续执行时间。根据所给定的验证测试方案参数(λ₀，c，r)：失效率指标λ₀，置信度c及允许的失效数r，求解式(18)所得到t的最小值就是连续型多层贝叶斯方案所需的连续执行时间：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0|r)=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(18\right)$

本发明方法步骤六中所述的基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法具体通过以下步骤实现：

步骤6.1、先验分布密度函数的选取。本发明中以伯努利分布为例进行了方法的阐述，其它分布可参照本发明中给出的步骤自行推导。

依据减函数法的先验分布函数构造思想，选取失效概率p的一个典型的减函数(1-p)^a作为先验分布密度函数的核，即失效概率p的先验分布密度函数f(p)为：

f(p)＝A(1-p)^a                                                  (19)

已知失效概率p的取值范围为[0，1]，由

成立，可知A＝a+1，进而得到p的先验分布密度函数为：

f(p)＝(a+1)(1-p)^a                                              (20)

假设离散型软件在执行n个测试用例后的失效次数r服从伯努利试验过程，则有概率分布函数为

再结合式(20)的p的先验分布密度函数，可得失效次数r及失效概率p的联合分布如下：

$g(r,n,p)=P(r,n|p)\&CenterDot;f\left(p\right)=(a+1)C_n^r{p}^r{(1-p)}^{a+n-r}---\left(21\right)$

进而得到失效概率p的边缘分布为：

$g\left(p\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}g(r,n,p)\mathrm{dp}=(a+1)C_n^{r}B(r+1,a+1+n-r)---\left(22\right)$

步骤6.2、先验分布密度函数超参数的估计。由式(22)可获得软件运行n次，出现的失效次数x的期望E(x)如下：

$E\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{rg}(x=r)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}r\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}(a+1)C_n^r{p}^r{(1-p)}^{a+n-r}\mathrm{dp}$

$=(a+1)\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{(1-p)}^a\left\{\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}r{C}_n^r{p}^r{(1-p)}^{n-r}\right\}\mathrm{dp}---\left(23\right)$

$=(a+1)\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{np}{(1-p)}^a\mathrm{dp}=n(a+1)B(2,a+1)=\frac{n}{a+2}$

在软件可靠性增长测试过程的末期抽取m组测试用例的测试记录作为先验信息。假定每组有d个测试用例，每组用例中导致软件发生失效的测试用例数分别记为s₁，s₂，…，s_m，令

$n=d,\hat{s}=\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i}{m}---\left(24\right)$

表示每组测试用例中导致软件发生失效的测试用例数的平均值，等同于每组中的失效次数的平均值。结合

由式(23)和式(24)，求解下式即可得到超参数a的估计值

$a=\frac{d}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i/m}-2---\left(25\right)$

步骤6.3、求解后验分布密度函数。假设被测软件顺序执行完n个测试用例，过程中出现了r个失效，此时对应失效概率p的后验分布密度函数为：

$f\left(p\right|r,n,a)=\frac{g(r,n,p)}{g(r,n)}=\frac{p^r{(1-p)}^{a+n-r}}{B(r+1,a+1+n-r)}=\mathrm{Beta}(r+1,a+1+n-r)---\left(26\right)$

其中，B(r+1，a+1+n-r)表示贝塔函数，定义式为

Beta(r+1，a+1+n-r)表示贝塔分布，定义形式可参见式(29)。

步骤6.4、给出基于减函数法的单层先验分布函数的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方案。假设给定验证方案参数为(p₀，c)，验证测试过程中允许的失效数为r，则基于减函数法的单层先验分布函数的离散型贝叶斯验证测试方案需要的测试用例数N为满足下式中n的最小整数：

$P(p\&le;p_0)={\&Integral;}_0^{p_0}f\left(p\right|r,n)\mathrm{dp}={\&Integral;}_0^{p_0}\frac{p^r{(1-p)}^{a+n-r}}{B(r+1,a+1+n-r)}\&GreaterEqual;c---\left(27\right)$

特别地，当r＝0时，求解满足下式的最小整数n，即得到无失效情况下，基于减函数法的单层先验分布函数的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方案所需要的测试用例数为：

$P(p\&le;p_0)={\&Integral;}_0^{p_0}f\left(p\right|0,n)\mathrm{dp}={\&Integral;}_0^{p_0}\frac{{(1-p)}^{a+n}}{B(1,a+1+n)}\&GreaterEqual;c---\left(28\right)$

其中，p₀为失效概率指标，c为置信度水平。

本发明方法步骤七中提供的基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体通过以下步骤实现：

步骤7.1、先验分布函数的选取。

对于离散型软件的失效概率p，取失效概率p的减函数作为第一层先验分布密度函数，而第二层先验分布密度函数则取为第一层先验分布密度函数超参数的均匀分布函数。

经典离散型贝叶斯验证测试方案中，失效概率p的先验分布密度函数为贝塔(Beta)分布，如式(29)。本发明依据多层先验分布的构造法，提出基于减函数的离散型多层贝叶斯验证方案。

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right|a,b)=\frac{p^{a-1}{(1-p)}^{b-1}}{B(a,b)}---\left(29\right)$

由于0＜a＜1，b＞1时，贝塔函数为减函数，此即为参数a，b的先验信息。鉴于对参数b的信息有限，选取参数b＝1。则失效概率p的第一层先验分布函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right|a,b)=\frac{p^{a-1}}{B(a,1)}(0<a<1)---\left(30\right)$

对于超参数a，此时其为随机变量，依据贝叶斯先验分布构造法，取[0，1]上的均匀分布函数h(a)＝1为其先验分布函数。

步骤7.2、求多层先验分布函数。失效概率p的多层先验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}(p,a)\&CenterDot;h\left(a\right)\mathrm{da}=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{\mathrm{ap}}^{a-1}\mathrm{da}---\left(31\right)$

步骤7.3、求多层后验分布函数。

离散型软件运行n次发生的失效数x服从伯努利试验过程，即结合式(31)得到(x，p)的联合分布函数：

$P(x=k,p)=C_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)---\left(32\right)$

进而失效概率p的后验分布密度函数为：

$f\left(p\right|x=k)=\frac{P(x=k,p)}{P(x=k)}=\frac{C_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{C}_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)\mathrm{dp}}$

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)\mathrm{dp}}$ (33)

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}a\left(\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{p}^{a+k-1}{(1-p)}^{n-k}\mathrm{dp}\right)\mathrm{da}}$

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}a\&CenterDot;B(a+k,n-k+1)\mathrm{da}}$

其中，B(a+k，n-k+1)表示为贝塔函数，定义式为

步骤7.4、给出基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方案。

给定允许失效数r，失效率指标p₀，置信度c，结合式(33)求解满足式(34)的最小整数值，即为离散型多层贝叶斯方案所需的验证测试用例数n。

$P(p\&le;p_0|x=r)=\underset{0}{\overset{p_0}{\&Integral;}}f\left(p\right|x=r)\mathrm{dp}\&GreaterEqual;c---\left(34\right)$

本发明还提供了一种计算机辅助工具，它是本发明中基于减函数法的单层先验分布的贝叶斯软件可靠性验证测试方法的实现装置，包括：先验数据收集管理模块、失效数据导入模块、先验信息计算模块、验证测试方案生成模块、录入验证测试失效数据模块、及结果输出模块。

先验数据收集管理模块用于收集被测软件在软件可靠性增长测试中后期的测试数据。失效数据导入模块用于读入测试数据的数据文件以及验证方案参数，并进行数据类型的转换处理；所述的验证方案参数包括可靠性指标、置信度水平以及验证测试过程中允许的失效数。先验信息计算模块根据被测软件的类型，利用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法或者基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法确定后验分布密度函数；单层有先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法具体过程都是：首先选取失效率或失效概率的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并确定后验分布密度函数。验证测试方案生成模块根据先验信息计算模块确定的先验分布密度函数，验证方案参数，确定基于减函数法的贝叶斯软件可靠性验证测试所需的连续执行时间或者测试用例数。录入验证测试失效数据模块用于录入根据验证测试方案生成模块确定的连续执行时间或者测试用例数进行测试得到的失效数据。结果输出模块根据验证测试方案生成模块确定的连续执行时间或者测试用例数，结合录入验证测试失效数据模块录入的失效数据，给出可靠性验证结果，输出接收或拒收该软件的结论。

本发明与现有技术相比，具有明显的优势和有益效果：

(1)Littlewood提出的贝叶斯软件可靠性验证测试方案从共轭分布的角度出发选取伽玛分布函数或贝塔分布函数作为失效率或失效概率的先验分布函数。后续的贝叶斯软件可靠性验证测试方案的研究成果均没有对先验分布函数的形式展开任何形式的扩展性研究。而本发明则提出一种更加符合高可靠软件可靠性参数(失效率或失效概率)特点的基于减函数法的先验分布函数，在此基础上提出基于减函数法的贝叶斯软件可靠性验证测试方法，能够更加适用于高可靠软件的可靠性验证测试，提高了验证测试的效率。

(2)本发明还针对先验分布函数中的超参数构建先验分布函数，即从多层先验分布函数的角度去构建软件可靠性验证测试方案，首次从可靠性参数先验分布函数构造的角度出发，对高可靠软件的验证测试方案进行改进，丰富并扩展了现有的验证测试方案的研究思路。

(3)通过实例应用，展示了本发明具有较好的测试效率的提升效果，本发明在保证验证测试方案参数和置信度相同的前提下，可以更为有效地降低测试用例量或缩短测试持续时间，且方法直观、意义明确，便于工程人员的理解和实际操作。

附图说明

图1为本发明的多层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方法的流程示意图；

图2为本发明中的计算机辅助工具的模块结构图。

其中：

1-先验数据收集管理模块；2-先验数据导入模块；3-先验信息计算模块；

4-验证测试方案生成模块；5-录入验证测试失效数据模块；6-结果输出模块。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明进行详细说明，应当理解，此处所描述的实施例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提供一种基于减函数法的多层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方法及其计算机辅助工具，分别针对离散型软件和连续型软件，并分别针对单层、有先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方案和多层、无先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方案两个层次展开，即具体提供以下4种方法：1)基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法；2)基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法；3)基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法；4)基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法。

本发明提供的基于减函数法的单层有先验的连续型或离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法的原理为：

先验分布函数的确定是贝叶斯方案开展的基础，对于贝叶斯方案的具体内容和有效性具有决定性的作用。本发明提出一种新的先验分布构造方法，即减函数法。该方法在充分考虑高可靠软件可靠性参数的特性的基础上，提出如下的构造可靠性参数先验分布函数的减函数原则。

首先引入分布密度的核的概念。

定义：设f(x)是随机变量X的分布密度函数，x表示随机变量X的取值范围或具体取值，若f(x)＝eg(x)，e是与x无关的常数，g(x)是与x有关的部分，则称g(x)为f(x)的核，记为f(x)∝g(x)。

减函数法的核心思想是：选取可靠性参数θ(失效率或失效概率)的减函数，作为θ的先验密度的核，从而满足高可靠软件可靠性参数θ取大值的可能性小、取小值的可能性大的特点。

由于高可靠软件在可靠性验证测试之前往往已经过较为充分的软件可靠性增长测试，因此，此时软件的失效率或失效概率的值应当比较小。因此，减函数的思想更适用于构造高可靠软件的可靠性参数的先验分布函数，这也是本发明实现的基础性前提。

本发明提供的基于减函数法的多层先验分布的连续型或者离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法的原理为：

当先验分布密度函数中含有超参数时，可对超参数再构造一个先验分布。使用多步完成先验分布密度函数的构造比一次完成先验分布密度函数的构造更加稳妥。其基本思路是：根据贝叶斯理论，由多层先验分布密度函数得到对应的多层后验分布密度函数，再依据多层后验分布密度函数进行后续的推理分析。

软件运行中出现的失效数X～f(x；θ)，θ∈Θ，f(x；θ)为先验分布密度函数，θ为待验证的可靠性参数(连续型软件的θ为失效率，离散型软件的θ为失效概率)，x表示随机变量X的取值范围或具体取值。假设θ的先验分布函数为П(θ)，先验分布密度函数为π(θ)，π(θ)含有超参数a₀，a₁，…a_m，假设a₀，a₁，…a_m为m个互相独立的随机变量，对应的先验分布密度函数为h₀(a₀)，h₁(a₁)，…，h_m(a_m)。由此可得到(θ，a₀，a₁，…a_m)的联合分布为：

f(θ，a₀，a₁，...a_m)＝π(θ|a₀，a₁，...a_m)*h₀(a₀)*h₁(a₁)*…*h_m(a_m)        (1)

进而可得到可靠性参数θ的多层先验分布密度函数为：

π(θ)＝∫…∫f(θ，a₀，a₁，…a_m)da₀…da_m                                 (2)

由式(2)可以得到(x，θ)的联合密度函数为：

f(x，θ)＝f(x|θ)·π(θ)                                                 (3)

进而，可得到失效数x的边缘分布为：

$g\left(x\right)=\underset{\mathrm{\&Theta;}}{\&Integral;}f(x,\mathrm{\&theta;})\mathrm{d\&theta;}=\underset{\mathrm{\&Theta;}}{\&Integral;}f\left(x\right|\mathrm{\&theta;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\mathrm{d\&theta;}---\left(4\right)$

依据贝叶斯公式，在给定x的条件下，θ的条件密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right|x)=\frac{f(x,\mathrm{\&theta;})}{g\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right|\mathrm{\&theta;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)}{\underset{\mathrm{\&Theta;}}{\&Integral;}f\left(x\right|\mathrm{\&theta;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right)\mathrm{d\&theta;}}---\left(5\right)$

其中，π(θ|x)记为θ的后验密度函数。

若给定可靠性验证方案指标(θ₀，c，r)，其中，θ₀为失效率或失效概率的指标值，c为置信度水平，r为验证测试过程中的允许失效数，则由式(5)，可以分别得到多层先验分布函数下的连续型和离散型软件可靠性验证测试方案如下：

连续型软件可靠性验证测试所需的验证测试时间T为满足下式的时间t的最小值：

$P(\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&theta;}}_0}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right|r,t)\mathrm{d\&theta;}\&GreaterEqual;c---\left(6\right)$

离散型软件可靠性验证测试所需的验证测试用例数N为满足下式的测试用例量n的最小值。

$P(\mathrm{\&theta;}\&le;{\mathrm{\&theta;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&theta;}}_0}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&theta;}\right|r,t)\mathrm{d\&theta;}\&GreaterEqual;c---\left(7\right)$

本发明实施例中重点以连续型软件为代表，分别进行基于减函数的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法和多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法的说明。本发明方法，重点以连续型软件为代表进行说明，如图1所示，具体步骤如下：

步骤一、收集测试数据，并判断被测软件为离散型软件还是连续型软件，若是连续型软件，执行步骤二；若是离散型软件，转步骤五执行。

通过软件可靠性增长测试，收集测试数据

T_i为失效间隔时间，n_i为累计失效数，i＝1，…，n，n为收集到的失效数据的数目。

步骤二、调入用户给定的验证指标，并选择是进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯方法，执行步骤三，若选择多层贝叶斯方法，执行步骤四。

步骤三、对于连续型软件，如果选择的是单层贝叶斯方案，采用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试。

此处单层先验分布函数的形式如下式所示：

软件失效率λ的先验分布密度函数为：f(λ)＝ae^-aλ，软件在持续运行时间为t，期间失效r次，则软件失效率λ的后验分布密度函数为： $f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)=\frac{g(x=r,\mathrm{\&lambda;})}{g(x=r)}=\frac{{(a+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(a+t)}.$

步骤四、对于连续型软件，如果选择的是多层贝叶斯方案，采用基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试。

多层先验分布函数的形式如下式所示：

失效率λ的第一层先验分布密度函数为：

取[0，1]上的先验分布h(a)＝1为第二层先验分布密度函数，λ的后验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+r)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}.$

确定超参数。

如果选择单层先验分布方案，则根据测试数据进行超参数的计算，具体如下式所示：

$a=\frac{n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{T_i}}---\left(8\right)$

确定方案中所需的持续测试时间，具体如下：

如果选择单层先验分布方案，则对于给定的验证方案参数(λ₀，c，r)，所需要的验证测试时间T为满足下式中t的最小值：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)\mathrm{d\&lambda;}={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\frac{{(\hat{a}+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(9\right)$

特别地，当允许失效数r＝0时，求解下式可以得到无失效验证方案所需的测试时间T：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)\mathrm{d\&lambda;}={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\frac{{(\hat{a}+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(10\right)$

如果选择多层先验分布方案，则对于给定的验证方案参数(λ₀，c，r)，所需要的验证测试时间T为满足下式中t的最小值：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0|r)=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(11\right)$

其中，

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+r)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}---\left(12\right)$

步骤五：调入用户给定的验证指标，并选择进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤六，若选择多层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤七。

步骤六、对于离散型软件，如果选择的是单层贝叶斯方案，采用基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行测试验证。

步骤七、对于离散型软件，如果选择的是多层贝叶斯方案，采用基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试。

步骤五～步骤七是针对离散型软件所作的测试方案的确定。

步骤八、根据被测软件特点和可靠性测试要求搭建可靠性测试环境，构造操作剖面，并根据步骤四确定的验证测试方案，生成相应数量的可靠性测试用例。

步骤九、执行测试用例，并收集失效数据。

步骤十、结合验证测试方案和实验结果，得到接收或拒收结论。

实施例1：下面通过真实失效数据集“SYS1”来对本发明提供的基于减函数的多层先验分布连续贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行举例说明。首先进行基于减函数的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法的说明。

失效数据集“SYS1”是经典软件可靠性失效数据，其中最后阶段的10个失效间隔数据T₁，T₂，…，T₁₀(如表1所示)作为先验信息数据的来源，该失效数据来自某实时控制系统软件的可靠性增长测试过程，且该实时控制系统软件属于连续型软件。假设时刻为100000小时(该组数据中的最大失效间隔时间不超过10000小时，因此

相对于T₁，T₂，…，T₁₀是一个较大的数值)，则失效数据集中的T₁，T₂，…，T₁₀对应于时间

内的经验失效数序列

将经验失效数据序列也列于表1中。

表1“SYS1”的先验信息数据(时间单位：小时)

序号i	Ti	si	序号i	Ti	si
						1	1071	93	6	1045	95
2	371	269	7	648	154
						3	790	126	8	5485	18
4	6150	16	9	1160	86
						5	3321	30	10	1864	53

确定验证方案指标参数(λ₀，c，r)。本实例中的失效率λ₀定为10^-3，置信度水平c定为0.99，允许的失效数r分别设置为0，1，2，3，4，5。

基于SYS1数据集的基于减函数法的单层有先验的贝叶斯软件可靠性验证方法，具体步骤如下：

首先，根据表1中列举的SYS1先验信息数据，结合超参数估计方法，可获得先验分布密度函数中的超参数的估计值为

则可得SYS1数据下单层先验分布密度函数的具体形式为：

软件失效率λ的先验分布密度函数为：h(λ)＝1064e^-1064λ

相应地，失效率λ的后验分布密度函数的具体形式为：

$h\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,\hat{a})=\frac{{(1064+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(1064+t)}$

再根据验证方案指标参数(0.001，0.99，r)，即可获得允许失效数r＝0，1，2，3，4，5时，单层先验分布方案所需的验证测试时间，如表2所示。

表2各验证测试方案所需的验证测试时间(SYS1)(时间单位：小时)

r	传统的无先验信息的贝叶斯方案	传统的有先验信息的贝叶斯方案	本发明提供的单层先验分布方案
				0	4605.2	4258.4	3541.3
1	6638.4	6083.3	5574.5
				2	8405.9	7754.1	7342.1
3	10045.1	9334.4	8981.3
				4	11604.6	10853.2	10540.8
5	13108.5	12326.8	12044.6

根据表2的计算结果，可知：

a)对于不同的允许失效数r(r＝0，1，2，3，4，5)，本发明提出的有先验的贝叶斯软件可靠性验证方法所需的验证测试时间均显著小于传统的贝叶斯方案所需的验证测试时间，例如，当r＝0时，传统的无先验信息的贝叶斯方案与传统的有先验信息的贝叶斯方案所需的验证测试时间分别为4605.2小时与4258.4小时，而本发明方法所需的验证测试时间则仅为3541.3小时。即相对于传统方案来说，所需测试时间的下降幅度分别为1063.9小时(23％)、717小时(17％)。这表明在具有相同先验信息时，基于减函数法构造的失效率的先验分布密度函数可更加贴切地描述失效率的先验分布情况，从而导致基于减函数的连续型贝叶斯验证方案可显著降低所需验证测试时间。

b)对于不同的允许失效数r(r＝0，1，2，3，4，5)，本发明提出的有先验的贝叶斯软件可靠性验证方法和传统的有先验信息的贝叶斯方案所需的验证测试时间均显著小于传统的无先验信息的贝叶斯方案，例如当r＝0时，传统的无先验信息的贝叶斯方案所需的验证测试时间为4605.2小时，而传统的有先验信息的贝叶斯方案与本发明提出的单层先验分布函数方案所需的验证测试时间则分别为4258.4小时与3541.3小时。这表明，若能够获得有效的先验信息数据，可以显著降低所需的验证测试时间。

实施例2：下面通过真实失效数据集“SYS1”来对本发明提供的基于减函数的多层先验分布的连续贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行说明。验证方案指标为(0.001，0.99，r)(其中r＝0，1，...，5)，计算连续多层贝叶斯的软件可靠性验证方案的先验分布及所需的验证测试时间。

选取失效率λ的减函数作为第一层先验分布密度函数的核，而第二层先验分布密度函数(即第一层先验分布密度函数中的超参数)则定为均匀分布。

经典连续型贝叶斯验证测试方案中，失效率λ的先验分布密度函数为伽玛(Gamma)分布函数，其密度函数的具体形式见式(13)。

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a,b)=\mathrm{Gamma}(a,b)=\frac{b^a}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}{e}^{-\mathrm{b\&lambda;}}---\left(13\right)$

其中， $\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{x}^{a-1}{e}^{-x}\mathrm{dx}.$

对于Gamma函数，当且仅当0＜a＜1，b＞0时其为减函数。鉴于对参数b的信息掌握甚少，这里取b为定值0，则失效率λ第一层先验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}(0<a<1)---\left(14\right)$

对于超参数a，结合减函数多层先验分布构造法，取[0，1]上的先验分布h(a)＝1为第二层先验分布密度函数。

结合失效率λ的第一层及第二层先验分布密度函数，可得到失效率λ的多层先验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)\&CenterDot;h\left(a\right)\mathrm{da}=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(15\right)$

软件连续运行t时间后发生的失效数x服从泊松过程，即

则得到(x，λ)的联合分布函数如下：

$p(x=k,\mathrm{\&lambda;})=p(x=k|\mathrm{\&lambda;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(16\right)$

可得失效数x的边缘分布函数为：

$p(x=k)=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}p(x=k,\mathrm{\&lambda;})\mathrm{d\&lambda;}=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}(\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da})\mathrm{d\&lambda;}---\left(17\right)$

可得失效率λ的多层后验分布密度函数为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=k)=\frac{p(x=k,\mathrm{\&lambda;})}{p(x=k)}=\frac{\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}$

$=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^k-e^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}---\left(18\right)$

$=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}(\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{a+k-1}-e^{-\mathrm{\&lambda;t}}\mathrm{d\&lambda;})\mathrm{da}}$

$=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+k)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}$

若给定验证测试方案参数为失效率指标λ₀，置信度c及允许的失效数r，求解不等式(19)所得到t的最小值即为连续型多层贝叶斯方案所需的验证测试时间：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0|r)=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(19\right)$

根据式(20)-式(21)，使用MATLAB软件实现连续型多层贝叶斯方案在数据集“SYS1”下，不同r值所需的验证测试时间。

对于连续型，对式(18)积分得到的值设为q，则q为：

$q={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=k)\mathrm{d\&lambda;}={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}{\&Integral;}_0^1\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}}{{\&Integral;}_0^1\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+k)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}\mathrm{d\&lambda;}$ (分母中不含λ)

$=\frac{{{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}{\&Integral;}_0^1\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{dad\&lambda;}}{{\&Integral;}_0^1\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+k)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}$ (设为)

(20)

$=\frac{q_1}{q_2}$

其中，q₁为：

$q_1={{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}{\&Integral;}_0^1\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{dad\&lambda;}$

$={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\&Integral;}_0^1{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{dad\&lambda;}$ (换积分顺序)

$={\&Integral;}_0^1{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{dad\&lambda;}$ (令y＝λt)

$={\&Integral;}_0^1{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_{0}t}{y}^k{e}^{-y}\frac{y^{a-1}}{t^{a-1}\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{\mathrm{dy}}{t}\mathrm{da}$ (21)

$={\&Integral;}_0^1\frac{\mathrm{\&Gamma;}(k+a)}{t^a\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\left[\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}(k+a)}{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_{0}t}{y}^{a+k-1}{e}^{-y}\mathrm{dy}\right]\mathrm{da}$

$={\&Integral;}_0^1\frac{\mathrm{\&Gamma;}(k+a)}{t^a\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\mathrm{gammainc}({\mathrm{\&lambda;}}_{0}t,k+a)\mathrm{da}$

其中，积分式 $\mathrm{gammainc}({\mathrm{\&lambda;}}_{0}t,k+a)=\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}(k+a)}{\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_{0}t}{y}^{a+k-1}{e}^{-y}\mathrm{dy}$ 为不完全Gamma函数，在MATLAB数值计算中，有简便的方法直接计算，而不用像普通数值积分那样，要计算步长，再按步长累加近似梯形的面积。

具体计算结果见表3所示。

表3各方案所需的验证测试时间(SYS1)(时间单位：小时)

由表3中的数据可知：

a)对于不同的允许失效数r(r＝0，1，2，3，4，5)，采用本发明提出的基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法所需的验证测试时间显著小于现有的单层贝叶斯验证测试方案。例如当r＝0时，本发明提出的多层先验分布方案所需的验证测试时间为1940小时，而传统的无先验信息的贝叶斯方案、传统的有先验信息的贝叶斯方案及本发明提出的单层先验分布方案所需的验证测试时间则分别为4605.2小时、4258.4小时与3541.3小时。即相对于传统的无先验信息的贝叶斯方案、传统的有先验信息的贝叶斯方案及本发明提出的单层先验分布方案，本发明多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法所需的验证测试时间的降低幅度分别为2665.2小时(58％)、2318.4小时(54％)及1601.3小时(45％)。这表明，本发明提出的多层先验分布方案构造的多层先验分布密度函数能够更为精确地描述失效率的先验分布情况，从而显著降低验证测试所需的测试时间。

b)另外，同样为无先验信息的贝叶斯验证测试方案，本发明提出的多层先验分布方案所需的验证测试时间显著少于传统的无先验信息的贝叶斯方案；而同样是基于减函数思想的贝叶斯方案，本发明提出的多层先验分布方案较本发明提出的单层先验分布方案也明显减少了测试时间。这也再次说明，构造合理的先验分布密度函数对于验证测试方案的影响是至关重要的。

如图2所示，本发明还提供了一种计算机辅助工具，它是本发明中基于减函数法的单层先验分布的贝叶斯软件可靠性验证测试方法的实现装置，它能够按照本发明中验证测试的流程和方法，分别提供失效结果的导入、针对离散型软件和连续型软件的基于减函数的单层先验分布函数的贝叶斯软件可靠性验证测试方案的确定、及接收或拒收结论的判定功能。计算机辅助工具具体包括：先验数据收集管理模块1、失效数据导入模块2、先验信息计算模块3、验证测试方案生成模块4、录入验证测试失效数据5、及结果输出模块6。

先验数据收集管理模块1收集被测软件在软件可靠性增长测试中后期的测试数据，该测试数据采用txt的数据文件进行保存，将所收集的测试数据传送给失效数据导入模块2。

失效数据导入模块2读入测试数据的数据文件以及验证方案参数，并进行数据类型的转换，将转换得到的数据传送给先验信息计算模块3。所述的进行数据类型的转换主要是指将不完全失效数据转换为完全失效数据。

先验信息计算模块3根据被测软件的类型(连续型软件或者离散型软件)，分别运用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法或者基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法确定先验分布密度函数，具体过程都是：首先选取失效率/失效概率的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并确定后验分布密度函数。

验证测试方案生成模块4基于先验信息计算模块3求出的先验分布密度函数，结合用户输入的可靠性指标及置信度水平等验证参数，给出基于减函数法的贝叶斯软件可靠性验证测试所需的连续执行时间或者测试用例数。

用户根据验证测试方案生成模块4得到的连续执行时间或者测试数进行测试。录入验证测试失效数据5录入测试得到的失效数据并传送给结果输出模块6。

结果输出模块6根据验证测试方案生成模块4输出的可靠性验证测试方案(即验证测试所需的连续执行时间或者测试用例数)，并结合用户在软件可靠性验证测试过程中收集到的失效信息，给出可靠性验证结果，即接收或拒收该软件的结论。

Claims (6)

1.一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：收集测试数据，并判断被测软件为离散型软件还是连续型软件，若是连续型软件，执行步骤2；若是离散型软件，转步骤5执行；

步骤2：调入用户给定的验证指标，并选择进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤3，若选择多层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤4；

步骤3：采用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效率λ的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用软件可靠性增长测试过程后期收集的测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并确定后验分布密度函数，最后确定测试所需的连续执行时间；

步骤4：采用基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效率λ的一个减函数构造第一层先验分布密度函数，再为第一层先验分布密度函数的超参数选择先验分布密度函数，得到多层先验分布密度函数，然后确定多层后验分布密度函数，并最终确定测试所需的连续执行时间；

步骤5：调入用户给定的验证指标，并选择进行单层贝叶斯可靠性验证测试还是进行多层贝叶斯可靠性验证测试，若选择单层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤6，若选择多层贝叶斯可靠性验证测试，执行步骤7；

步骤6：采用基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效概率p的减函数构造先验分布密度函数，然后利用软件可靠性增长测试过程后期的测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并求解后验分布密度函数，最后确定测试所需的测试用例数量；

步骤7：采用基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法进行可靠性验证测试，具体是：首先选取失效概率p的一个减函数构造第一层先验分布密度函数，再为第一层先验分布密度函数的超参数选择先验分布密度函数，得到多层先验分布密度函数，然后求解多层后验分布密度函数，最终确定测试所需的测试用例数量；

步骤8：根据被测软件特点和可靠性测试要求搭建可靠性测试环境，构造操作剖面，并根据所确定的测试所需的连续执行时间或者测试用例数量，生成相应数量的可靠性测试用例；

步骤9：执行步骤8中生成的测试用例，并收集失效数据；

步骤10：根据执行结果，判断当前被测软件是否满足可靠性验证的要求，若不满足，则得出拒收结论，若满足，则得出接收结论。

2.根据权利要求1所述的一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，其特征在于，步骤3中所述的基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，包括如下步骤：

步骤3.1：构造先验分布密度函数；假设连续型软件的失效率λ是一个随机变量，依据减函数法，选取λ的一个典型减函数e^-aλ作为其先验分布密度函数的核，a是待估计的超参数，则λ的先验分布密度函数f(λ)为：

f(λ)＝Ae^-aλ                                               (1)

根据先验分布密度函数的性质：

进而推导出参数A＝a；设连续型软件在时间间隔(0，t]内的失效次数x等于k的概率，是失效率λ的条件概率，且服从参数为λt的泊松分布，则有

结合式(1)，得到失效次数x及失效率λ的联合分布g(x＝k，λ)为：

$g(x=k,\mathrm{\&lambda;})=a\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(a+t)}---\left(2\right)$

进一步得到失效次数x的边缘分布g(x＝k)为：

$g(x=k)=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}g(x=k,\mathrm{\&lambda;})\mathrm{d\&lambda;}=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}a\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(a+t)}\mathrm{d\&lambda;}=\frac{{\mathrm{at}}^k}{k!}\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-(a+t)\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{d\&lambda;}=\frac{{\mathrm{at}}^k}{k!}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&Gamma;}(k+1)}{{(a+t)}^{k+1}}---\left(3\right)$

进一步化简式(3)，得到：

$g(x=k)=\frac{{\mathrm{at}}^k}{{(a+t)}^{k+1}}---\left(4\right)$

步骤3.2：先验分布密度函数超参数的估计；选取软件可靠性增长测试阶段后期收集到的失效间隔时间数据作为先验失效信息数据，根据先验失效信息数据来确定超参数a，具体方法是：

$E\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{+\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}r\&CenterDot;g(x=r)=\underset{r=0}{\overset{+\&infin;}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{{\mathrm{art}}^r}{{(a+t)}^{r+1}}=\frac{t}{a}---\left(5\right)$

软件在可靠性增长测试阶段的测试记录表示为失效间隔时间序列T₁，T₂，…，T_n，时间T_i在时间

内对应的失效数样本值s_i为

从而将T₁，T₂，…，T_n转化为失效数样本序列：

根据式(5)和式(6)得到：

表示超参数a的先验估计值，为：

$a=\frac{t_{\mathrm{\&phi;}}}{\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i}---\left(7\right)$

将式(6)代入式(7)中化简，得到超参数a的先验估计值为：

$a=\frac{n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{1}{T_i}}---\left(8\right)$

步骤3.3：根据超参数a的先验估计值得到失效率λ的先验分布密度函数为f(λ)＝ae^-aλ，设软件持续运行时间为t，期间观察到r次失效，则软件失效率λ的后验分布密度函数为：

$f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)=\frac{g(x=r,\mathrm{\&lambda;})}{g(x=r)}=\frac{{(a+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(a+t)}---\left(9\right)$

步骤3.4：根据给定的验证方案参数(λ₀，c，r)以及式(9)，确定测试所需的连续执行时间T，时间T为满足式(10)中t的最小值：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)\mathrm{d\&lambda;}={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}\frac{{(\hat{a}+t)}^{r+1}}{r!}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(10\right)$

当允许失效数r＝0时，测试所需的连续执行时间T由式(11)求解得到：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0)={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}f\left(\mathrm{\&lambda;}\right|r,t,a)\mathrm{d\&lambda;}={\&Integral;}_0^{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\mathrm{\&lambda;}}^r{e}^{-\mathrm{\&lambda;}(\hat{a}+t)}\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(11\right)$

其中，λ₀为失效率指标，c为置信度水平，r为验证测试过程中的允许失效数。

3.根据权利要求1所述的一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，其特征在于，步骤4中所述的基于减函数法的多层先验分布的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体是：

步骤4.1：构造先验分布密度函数；选取失效率λ的减函数构造第一层先验分布密度函数，所选择的先验分布密度函数π(λ|a，b)为伽玛分布函数，如式(12)所示：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a,b)=\mathrm{Gamma}(a,b)=\frac{b^a}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}{e}^{-\mathrm{b\&lambda;}}---\left(12\right)$

对于Gamma函数，当且仅当0＜a＜1，b＞0时其为减函数，取b为定值0，则失效率λ第一层先验分布密度函数如式(13)所示：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}(0<a<1)---\left(13\right)$

第一层先验分布密度函数中的超参数的先验分布密度函数选取为均匀分布，具体是：对于待估计的超参数a，结合减函数多层先验分布构造法，取[0，1]上的先验分布h(a)＝1为第二层先验分布密度函数；

步骤4.2、确定多层先验分布密度函数；根据步骤4.1确定的失效率λ的第一层及第二层先验分布密度函数，得到失效率λ的多层先验分布密度函数π(λ)为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|a)\&CenterDot;h\left(a\right)\mathrm{da}=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(14\right)$

步骤4.3、确定多层后验分布密度函数；连续型软件连续运行t时间后发生的失效数x服从泊松过程：则结合式(14)得到(x，λ)的联合分布函数如下：

$p(x=k,\mathrm{\&lambda;})=p(x=k|\mathrm{\&lambda;})\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da}---\left(15\right)$

k表示某个失效值，为正整数；进一步得到失效数x的边缘分布函数p(x＝k)为：

$p(x=k)=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}p(x=k,\mathrm{\&lambda;})\mathrm{d\&lambda;}=\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}(\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^{a-1}}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\mathrm{da})\mathrm{d\&lambda;}---\left(16\right)$

结合式(15)和式(16)，得到失效率λ的多层后验分布密度函数π(λ|x＝k)为：

$\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=k)=\frac{p(x=k,\mathrm{\&lambda;})}{p(x=k)}=\frac{\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k}{k!}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)\mathrm{d\&lambda;}}---\left(17\right)$

$=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\left(\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\mathrm{\&lambda;}}^{a+k-1}{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\mathrm{d\&lambda;}\right)\mathrm{da}}=\frac{{\left(\mathrm{\&lambda;t}\right)}^k{e}^{-\mathrm{\&lambda;t}}\&CenterDot;\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\frac{\mathrm{\&Gamma;}(a+k)}{\mathrm{\&Gamma;}\left(a\right)}\&CenterDot;\frac{1}{t^a}\mathrm{da}}$

步骤4.4：根据给定的验证方案参数(λ₀，c，r)，求解式(18)所得到t的最小值就是测试所需的连续执行时间：

$P(\mathrm{\&lambda;}\&le;{\mathrm{\&lambda;}}_0|r)=\underset{0}{\overset{{\mathrm{\&lambda;}}_0}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}\left(\mathrm{\&lambda;}\right|x=r)\mathrm{d\&lambda;}\&GreaterEqual;c---\left(18\right)$

其中，λ₀为失效率指标，c为置信度水平，r为验证测试过程中的允许失效数。

4.根据权利要求1所述的一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，其特征在于，步骤6中所述的基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体是：

步骤6.1：构造先验分布密度函数；选取失效概率p的一个减函数(1-p)^a作为先验分布密度函数的核，则构造的失效概率p的先验分布密度函数f(p)为：

f(p)＝A(1-p)^a                                                     (19)

由于失效概率p的取值范围为[0，1]，由

成立，得到参数A＝a+1，a是待估计的超参数，进一步p的先验分布密度函数写为：

f(p)＝(a+1)(1-p)^a                                                 (20)

设离散型软件在执行n个测试用例后的失效次数r服从伯努利试验过程，则有概率分布函数为

再结合式(20)所示的p的先验分布密度函数，得到失效次数r及失效概率p的联合分布g(r，n，p)为：

$g(r,n,p)=P(r,n|p)\&CenterDot;f\left(p\right)=(a+1)C_n^r{p}^r{(1-p)}^{a+n-r}---\left(21\right)$

进而得到失效概率p的边缘分布g(p)为：

$g\left(p\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}g(r,n,p)\mathrm{dp}=(a+1)C_n^{r}B(r+1,a+1+n-r)---\left(22\right)$

步骤6.2：估计先验分布密度函数超参数a；由式(22)得到软件运行n次，出现的失效次数x的期望E(x)为：

$E\left(x\right)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{rg}(x=r)=\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}r\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}(a+1)C_n^r{p}^r{(1-p)}^{a+n-r}\mathrm{dp}$

$=(a+1)\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{(1-p)}^a\left\{\underset{r=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}r{C}_n^r{p}^r{(1-p)}^{n-r}\right\}\mathrm{dp}---\left(23\right)$

$=(a+1)\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{np}{(1-p)}^a\mathrm{dp}=n(a+1)B(2,a+1)=\frac{n}{a+2}$

在软件可靠性增长测试过程的末期抽取m组测试用例的测试记录作为先验信息，设每组有d个测试用例，每组测试用例中导致软件发生失效的测试用例数分别记为s₁，s₂，…，s_m，令

$n=d,\hat{s}=\frac{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i}{m}---\left(24\right)$

表示每组测试用例中导致软件发生失效的测试用例数的平均值；

结合由式(23)和式(24)，求解式(25)得到超参数a的估计值

$a=\frac{d}{\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i/m}-2---\left(25\right)$

步骤6.3：求解后验分布密度函数；设被测软件顺序执行完n个测试用例，过程中出现了r个失效，此时对应失效概率p的后验分布密度函数f(p|r，n，a)为：

$f\left(p\right|r,n,a)=\frac{g(r,n,p)}{g(r,n)}=\frac{p^r{(1-p)}^{a+n-r}}{B(r+1,a+1+n-r)}=\mathrm{Beta}(r+1,a+1+n-r)---\left(26\right)$

步骤6.4：确定测试所需的测试用例数量；根据给定的验证方案参数为(p₀，c)，验证测试过程中允许的失效数为r，所需要的测试用例数N为满足式(27)中n的最小整数：

$P(p\&le;p_0)={\&Integral;}_0^{p_0}f\left(p\right|r,n)\mathrm{dp}={\&Integral;}_0^{p_0}\frac{p^r{(1-p)}^{a+n-r}}{B(r+1,a+1+n-r)}\&GreaterEqual;c---\left(27\right)$

当r＝0时，所需要的测试用例数N为求解满足式(28)的最小整数n：

$P(p\&le;p_0)={\&Integral;}_0^{p_0}f\left(p\right|0,n)\mathrm{dp}={\&Integral;}_0^{p_0}\frac{{(1-p)}^{a+n}}{B(1,a+1+n)}\&GreaterEqual;c---\left(28\right)$

其中，p₀为失效概率指标，c为置信度水平。

5.根据权利要求1所述的一种贝叶斯软件可靠性验证测试方法，其特征在于，步骤7中所述基于减函数法的多层先验分布的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法，具体是：

步骤7.1：对于离散型软件的失效概率p，取失效概率p的减函数构造第一层先验分布密度函数，此处取失效概率p的先验分布密度函数为贝塔分布，则第一层先验分布密度函数π(p|a，b)为：

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right|a,b)=\frac{p^{a-1}{(1-p)}^{b-1}}{B(a,b)}---\left(29\right)$

由于0＜a＜1，b＞1时，贝塔函数为减函数，选取参数b＝1，则失效概率p的第一层先验分布密度函数π(p|a，b)更新为：

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right|a,b)=\frac{p^{a-1}}{B(a,1)}(0<a<1)---\left(30\right)$

对于第一层先验分布密度函数中待估计的超参数a，取[0，1]上的均匀分布函数h(a)＝1为其先验分布函数；

步骤7.2：失效概率p的多层先验分布密度函数π(p)为：

$\mathrm{\&pi;}\left(p\right)=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}\mathrm{\&pi;}(p,a)\&CenterDot;h\left(a\right)\mathrm{da}=\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{\mathrm{ap}}^{a-1}\mathrm{da}---\left(31\right)$

步骤7.3：求多层后验分布函数；离散型软件运行n次发生的失效数X服从伯努利试验过程：

结合式(31)得到(x，p)的联合分布函数P(x＝k，p)：

$P(x=k,p)=C_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)---\left(32\right)$

进而失效概率p的后验分布密度函数f(p|x＝k)为：

$f\left(p\right|x=k)=\frac{P(x=k,p)}{P(x=k)}=\frac{C_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{C}_n^k{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)\mathrm{dp}}$

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{p}^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)\mathrm{dp}}$ (33)

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}a\left(\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}{p}^{a+k-1}{(1-p)}^{n-k}\mathrm{dp}\right)\mathrm{da}}$

$=\frac{p^k{(1-p)}^{n-k}\mathrm{\&pi;}\left(p\right)}{\underset{0}{\overset{1}{\&Integral;}}a\&CenterDot;B(a+k,n-k+1)\mathrm{da}}$

步骤7.4：根据给定的验证方案参数为(p₀，c)，验证测试过程中允许的失效数为r，结合式(33)求解满足式(34)的最小整数值，所得到的值就是所需的验证测试用例数n；

$P(p\&le;p_0|x=r)=\underset{0}{\overset{p_0}{\&Integral;}}f\left(p\right|x=r)\mathrm{dp}\&GreaterEqual;c---\left(34\right)$

其中，p₀为失效概率指标，c为置信度水平。

6.一种实现基于减函数法的单层先验分布的贝叶斯软件可靠性验证测试方法的计算机辅助工具，其特征在于，该计算机辅助工具包括：先验数据收集管理模块、失效数据导入模块、先验信息计算模块、验证测试方案生成模块、录入验证测试失效数据模块、及结果输出模块；

先验数据收集管理模块用于收集被测软件在软件可靠性增长测试中后期的测试数据；

失效数据导入模块用于读入测试数据的数据文件以及验证方案参数，并进行数据类型的转换处理；所述的验证方案参数包括可靠性指标、置信度水平以及验证测试过程中允许的失效数；

先验信息计算模块根据被测软件的类型，利用基于减函数法的单层有先验的连续型贝叶斯软件可靠性验证测试方法或者基于减函数法的单层有先验的离散型贝叶斯软件可靠性验证测试方法确定后验分布密度函数；单层有先验的贝叶斯软件可靠性验证测试方法具体过程都是：首先选取失效率或失效概率的一个减函数构造先验分布密度函数，然后利用测试数据对先验分布密度函数的超参数进行估计，并确定后验分布密度函数；

验证测试方案生成模块根据先验信息计算模块确定的先验分布密度函数，验证方案参数，确定基于减函数法的贝叶斯软件可靠性验证测试所需的连续执行时间或者测试用例数；

录入验证测试失效数据模块用于录入根据验证测试方案生成模块确定的连续执行时间或者测试用例数进行测试得到的失效数据；

结果输出模块根据验证测试方案生成模块确定的连续执行时间或者测试用例数，结合录入验证测试失效数据模块录入的失效数据，给出可靠性验证结果，输出接收或拒收该软件的结论。

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