CN102662327A - 液压驱动六自由度并联机构模态空间控制器解析设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种液压驱动六自由度并联机构模态空间控制器解析设计方法，通过系统结构参数直接计算出模态矩阵，通过模态矩阵变换将六自由度强耦合多输入多输出系统转换为模态空间内六个解耦的单输入单输出系统，并结合液压动压反馈技术，设计出模态空间动压反馈控制器的各参数，不仅解决了系统的耦合问题，而且使得解耦后的各模态空间通道达到了最优的控制性能。本发明设计方法只与系统结构参数相关，使得模态解耦控制器适用范围大大增加。

Description

液压驱动六自由度并联机构模态空间控制器解析设计方法

技术领域

本发明涉及机电及液压伺服控制领域，具体是一种基于动压反馈的液压驱动六自由度并联机构模态空间控制器解析设计方法。

背景技术

六自由度并联机构由于具有刚度高，承载能力大，精度高的特点，使其在航空航天、汽车测试及工业生产等领域得到了广泛的应用。六自由度液压并联机构是由6个直线液压缸、一个运动平台及一个固定平台构成的封闭多链式结构。其主要实现单自由度及多自由度空间中各种给定信号的精确控制，由于系统的强非线性动力学特性，使得系统在物理空间内各自由度之间存在强耦合性，这种强耦合性使传统的铰点空间单通道PID控制方法的控制品质严重降低。目前国内外学者在研究系统耦合特性的基础上，提出了多种解耦控制方法，如模态解耦控制、基于模型的控制、完整动力学前馈控制及近似反馈线性化控制等。模态解耦控制由于其物理意义明确，能有效的将多输入多输出(MIMO)耦合系统转换为无耦合的单输入单输出(SISO)系统而受到广泛的关注，文献“Decoupled Control ofFlexure-Jointed Hexapods using Estimated Joint-Space Mass-InertiaMatrix，IEEE Transactions on Control Systems Technology，12(3)，2004，pp413-421”，提供了一种通过关节空间逆质量阵计算模态变换矩阵(简称模态矩阵)U从而实现模态解耦控制的方法。但由于模态矩阵与并联机构结构参数有关，且在大范围运动时计算机实时计算的模态矩阵会发生模态空间切换，严重时甚至造成系统的振荡。这些问题使得模态解耦控制在工程实现上受到了严重限制，远远未能发挥出其潜在的提高系统控制特性的能力。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种模态空间动压反馈控制器及该控制器的控制参数整定算法。

本发明采用以下技术方案予以实现：

步骤1：液压驱动六自由度并联机构的设定信号x_dex经过运动学反解模块后生成六个液压缸的设定长度信号阵l_com，与六个液压缸的实际长度信号阵l作差运算，生成偏差矩阵e，e＝l_com-l

步骤2：将偏差矩阵e及六个液压缸的工作压力信号矩阵P_L进行模态空间变换，生成模态偏差矩阵e_d及模态工作压力信号矩阵P_d，e_d＝U^Te，P_d＝U^TP_L，此步骤是模态控制的关键所在，通过模态空间变换后，强耦合MIMO控制系统转化为模态空间中6个无耦合SISO系统，即工程人员可运用熟悉的古典控制理论对系统进行校正。

步骤3：在模态空间内进行比例及动压反馈控制，控制律为：

$i_d=K_a{e}_d+K_{\mathrm{dp}}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c}s}{{\mathrm{\τ}}_{c}s+1}{P}_d$

步骤4：将模态电流信号矩阵i_d经过模态空间变换转化为实际伺服阀电流给定信号矩阵i输出六个伺服阀，i＝Ui_d。各个伺服阀驱动相应的液压缸进行伸出或缩回动作，完成控制。

其完整的模态控制器结构为：

$i_u=\mathrm{U\; diag}\left({\left[\begin{array}{cccc}{k}_{a,1}& k_{a,2}& \·\·\·& k_{a,6}\end{array}\right]}^T\right)U^{T}e$

$\·\·\·+\mathrm{U\; diag}\left({\left[\begin{array}{cccc}{k}_{\mathrm{dp},1}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,1}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,1}s+1}& k_{\mathrm{dp},2}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,2}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,2}s+1}& \·\·\·& k_{\mathrm{dp},6}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,6}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,6}s+1}\end{array}\right]}^T\right)U^T{P}_L---\left(1\right)$

式(1)中

K_a＝diag[k_a，1 k_a，2 k_a，3 k_a，4 k_a，5 k_a，6]

K_dp＝diag[k_dp，1 k_dp，2 k_dp，3 k_dp，4 k_dp，5 k_dp，6]

τ_c＝diag [τ_c，1 τ_c，2 τ_c，3 τ_c，4 τ_c，5 τ_c，6]

控制器中U，τ_c，K_dp，K_a为需设计参数，可通过以下算法得到。

a：载入系统参数，系统参数包括三组：

1.六自由度并联机构结构参数r_a，r_b，α，β，h，H，m，I_xx，I_yy，I_zz。

r_a为上铰圆半径r_b为下铰圆半径，h为质心高度，H为上下平台高度，α、β分别为上下平台相邻铰点短边半中心角，m为负载质量，I_xx为负载绕X轴的转动惯量；I_yy为负载绕Y轴的转动惯量；I_zz为负载绕Z轴的转动惯量。

2.液压执行器的特性参数β_e，L，D，d。

β_e为等效体积弹性模数，L为液压缸完全缩回状态时长度，D为活塞直径，d为活塞杆直径。

3.伺服阀特性参数K_aa，K_q。

K_aa为伺服阀电流放大增益系数，K_q为伺服阀流量增益系数。

b：根据六自由度并联机构结构参数r_a，r_b，α，β，h，m，I_xx，I_yy，I_zz，运用本发明给出的解析公式计算出模态矩阵U，逆模态质量阵

根据液压执行器的特性参数β_e，L，D，d计算出液压刚度阵K。

U的解析表达式如下：

式(2)中：

$\cos \mathrm{\ψ}=\frac{t_1}{\sqrt{t_1^2+1}},$ $\sin \mathrm{\ψ}=\frac{1}{\sqrt{t_1^2+1}}$

$t_1=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{1/2})}{-\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}+l_{n1x}{l}_{n1y}}$

$t_2=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2)}^2-4\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{(l_{n1x}{v}_{1x}+l_{n1y}{v}_{1y})}^2)}^{1/2})}{\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y}}$

v_1x＝l_n1za_1y-l_n1ya_1z

v_1y＝l_n1xa_1z-l_n1za_1x

v_1z＝l_n1ya_1x-l_n1xa_1y

$l_{n,1}={\left[\begin{array}{ccc}{l}_{n1x}& l_{n1y}& l_{n1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}-r_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& r_a\sin \mathrm{\α}-r_b\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& -H\end{array}\right]}^T/L_{\mathrm{act}}$

$L_{\mathrm{act}}=\sqrt{r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β})+H^2}$

a₁＝[a_1x a_1y a_1z]^T＝[r_acosα-r_asinα h]^T

逆模态质量

的解析表达式如下：

$M_d^{-1}=\mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\λ}}_1& {\mathrm{\λ}}_2& {\mathrm{\λ}}_3& {\mathrm{\λ}}_4& {\mathrm{\λ}}_5& {\mathrm{\λ}}_6\end{array}\right]---\left(3\right)$

式(3)中：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{6v_{n1z}^2}{I_{\mathrm{zz}}}$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2-{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_3=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_4=\frac{6l_{n1z}^2}{m}$

${\mathrm{\λ}}_5=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2-{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_6=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

液压刚度阵K的解析表达式如下：

$K=\frac{{\mathrm{\β}}_e{(1+\sqrt{n})}^2{A}_1}{L}{E}_{6\×6}---\left(4\right)$

式(4)中：

$n=\frac{D^2-d^2}{D^2},$ $A_1=\frac{\mathrm{\π}}{4}{D}^2$

E_6×6为6阶单位矩阵

c：根据逆模态质量阵

及液压刚度阵K计算出模态频率阵ω_h。

式(5)中：

${\mathrm{\ω}}_{h,i}=\sqrt{\frac{K_i}{M_{d,i}}},i=1\·\·\·6$

d：根据模态频率阵ω_h确定动压反馈时间常数阵τ_c。

$3{\mathrm{\ω}}_h^{-1}\≤{\mathrm{\τ}}_c\≤10{\mathrm{\ω}}_h^{-1}---\left(6\right)$

e：结合目标阻尼阵ζ_s确定动压反馈放大系数阵K_dp。

K_dp＝diag[K_dp，1 K_dp，2 K_dp，3 K_dp，4 K_dp，5 K_dp，6](7)

$K_{\mathrm{dp},i}=\frac{2A_1^2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}}{K_q{\mathrm{\ω}}_{h,i}{M}_{d,i}},i=i\·\·\·6$

f：确定增益系数阵K_a。

K_a＝diag[K_a，1 K_a，2 K_a，3 K_a，4 K_a，5 K_a，6](8)

式(8)中

$K_{a,i}\≤\frac{2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}{\mathrm{\ω}}_{h,i}{A}_1}{K_{\mathrm{aa}}{K}_q},i=1\·\·\·6$

g：将设计出的控制器参数带入传递函数G_i(s)中，利用公知的matlab自动控制工具箱对其进行开环频域及闭环时域校核，观察6个模态空间通道的频域指标(穿越频率、幅值裕量、相位裕量)及阶跃响应条件下时域各指标(超调量、调整时间、上升时间、延迟时间、振荡次数)是否均满足要求，若不满足，则重新设定目标阻尼阵ζ_s进行步骤e，f，直至满足要求为止。

$G_i\left(s\right)=\frac{k_{a,i}}{s(\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{h,i}^2}{s}^2+\frac{2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}}{{\mathrm{\ω}}_{h,i}}s+1)},i=1\·\·\·6---\left(9\right)$

h：取出控制器参数U，τ_c，K_dp，K_a，控制器设计完成。

本发明的优点是：

本发明给出了只与系统结构参数相关的全解析模态矩阵表达式，使得本发明适用范围大大增加，通过模态矩阵变换将强耦合MIMO系统转换为SISO系统，从而转化为古典控制领域系统校正问题。通过系统结构参数直接设计出模态空间动压反馈控制器的各参数，不仅解决了系统的耦合问题，而且使得解耦后的各模态空间通道达到了最优的控制性能。

附图说明

图1为六自由度液压并联机构组成图；

其中1、运动平台，2、固定平台，3、上连接铰，4、下连接铰，5、液压缸活塞杆，6、液压缸缸筒。

图2为六自由度液压并联机构结构示意图；

图3为模态空间动压反馈控制器控制结构图；

图4为控制器参数设计算法流程图；

图5为频域特性曲线图；

图6为时域特性曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明：

六自由度液压并联机构组成如图1所示，

图2a为六自由度液压并联机构结构的XY平面示意图，下平台6个铰点分布在半径为r_b的圆上，6个铰点分为三组，b₁ b₂为一组，b₃ b₄为一组，b₅ b₆为一组，各组铰点相差120°。

上平台6个铰点分布在半径为r_a的圆上，6个铰点分为三组，a₂ a₃为一组，a₄ a₅为一组，a₆ a₇为一组，a₈ a₁为一组，各组铰点相差90°。

上铰点与下铰点之间相差180°。六条支腿分别为a₁b₁，a₂b₂，a₃b₃，a₄b₄，a₅b₅，a₆b₆。r_a为上铰圆半径，r_b为下铰圆半径，α、β分别为上下平台相邻铰点短边半中心角。

图2b为六自由度液压并联机构结构的XZ平面示意图，h为质心高度，H为上下平台高度。

图3为模态空间动压反馈控制器的控制结构图，图中x_dex为位姿设定信号，为一包含六个自由度信号的六维列向量，x_des＝[x，y，z，φ，θ，ψ]^T，其经过运动学反解模块后生成设定长度信号阵l_com，其与六个液压缸的实际长度信号阵l的偏差矩阵e及六个液压缸的工作压力信号矩阵P_L通过模态矩阵转换到模态空间，生成模态偏差矩阵e_d及模态工作压力信号矩阵P_d，在模态空间内进行比例及动压反馈控制，生成模态电流信号矩阵i_d，经过模态空间变换转化为实际伺服阀电流给定信号矩阵i，输出给六个伺服阀，驱动相应的液压缸进行伸出或缩回动作，完成控制。

图4为控制器设计算法流程图，下面结合具体实施例对其进行说明。

实施例：

a：载入系统参数，系统参数包括三组：

六自由度并联机构结构参数

r_a＝0.56m，r_b＝1.2m，α＝13.4°，β＝10.8°，h＝0.163m，H＝1.64m，

m＝178.6kg，I_xx＝13.6kg·m²，I_yy＝13.6kg·m²，I_zz＝23.9kg·m²

液压执行器的特性参数

β_e＝7×10⁸Pa，L＝0.7m，D＝0.063m，d＝0.045m。

伺服阀特性参数

K_aa＝40mA/V，K_q＝1.1225×10^-4(m³/s)A。

b：根据六自由度并联机构结构参数r_a，r_b，α，β，h，m，I_xx，I_yy，I_zz，运用本发明给出的解析公式计算出模态矩阵U，逆模态质量阵

根据液压执行器的特性参数β_e，L，D，d计算出液压刚度阵K。

U的计算结果如下：

$U=\left[\begin{array}{cccccc}0.4082& -0.5353& 0.2162& 0.4082& 0.2162& -0.5353\\ -0.4082& -0.0804& 0.5717& 0.4082& -0.5717& 0.0804\\ 0.4082& 0.4549& 0.3555& 0.4082& 0.3555& 0.4549\\ -0.4082& -0.4549& -0.3555& 0.4082& 0.3555& 0.4549\\ 0.4082& 0.0804& -0.5717& 0.4082& -0.5717& 0.0804\\ -0.4082& 0.5353& -0.2162& 0.4082& 0.2162& -0.5353\end{array}\right]$

逆模态质量

的计算结果如下：

$M_d^{-1}=\mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccccc}0.0155& 0.0033& 0.0556& 0.0269& 0.0033& 0.0556\end{array}\right]$

液压刚度阵K的计算结果如下：

K＝9.0073×10⁶E_6×6

c：根据逆模态质量阵及液压刚度阵K计算出模态频率阵ω_h。

ω_h＝diag[373.7 172.5 708.0 492.6 172.5 708.0]

d：根据模态频率阵ω_h确定动压反馈时间常数阵τ_c。

τ_c＝diag[0.0268 0.0580 0.0141 0.0203 0.0580 0.0141]

e：结合目标阻尼阵ζ_s确定动压反馈放大系数阵K_dp。

K_dp＝10^-5×diag[0.3233 0.1824 0.8165 0.3788 0.1658 0.6804]

目标阻尼阵取值为ζ_s＝diag[0.45 0.55 0.6 0.4 0.5 0.5]

f：确定增益系数阵K_a。

K_a＝diag[46.7 26.3 118.0 54.7 24.0 98.3]

g：将设计出的控制器参数带入传递函数G_i(s)中，利用公知的matlab自动控制工具箱对其进行开环频域及闭环时域校核，频域特性曲线如附图5所示，时域特性曲线如附图6所示。

h：取出控制器参数U，τ_c，K_dp，K_a，控制器设计完成。

Claims (1)

1.一种液压驱动六自由度并联机构模态空间控制器解析设计方法，其特征在于：方法如下：

步骤1：六自由度液压并联机构的设定信号x_dex经过运动学反解模块后生成六个液压缸的设定长度信号阵l_com，与六个液压缸的实际长度信号阵l作差运算，生成偏差矩阵e，e＝l_com-l；

步骤2：将偏差矩阵e及六个液压缸的工作压力信号矩阵P_L进行模态空间变换，生成模态偏差矩阵e_d及模态工作压力信号矩阵P_d，e_d＝U^Te，P_d＝U^TP_L，通过模态空间变换后，强耦合MIMO控制系统转化为模态空间中6个无耦合SISO系统；

步骤3：在模态空间内进行比例及动压反馈控制，控制律为：

$i_d=K_a{e}_d+K_{\mathrm{dp}}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c}s}{{\mathrm{\τ}}_{c}s+1}{P}_d;$

步骤4：将模态电流信号矩阵i_d经过模态空间变换转化为实际伺服阀电流给定信号矩阵i输出六个伺服阀，i＝Ui_d，各个伺服阀驱动相应的液压缸进行伸出或缩回动作，完成控制；

其完整的模态控制器结构为：

$i_u=\mathrm{U\; diag}\left({\left[\begin{array}{cccc}{k}_{a,1}& k_{a,2}& \·\·\·& k_{a,6}\end{array}\right]}^T\right)U^{T}e$

$\·\·\·+\mathrm{U\; diag}\left({\left[\begin{array}{cccc}{k}_{\mathrm{dp},1}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,1}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,1}s+1}& k_{\mathrm{dp},2}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,2}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,2}s+1}& \·\·\·& k_{\mathrm{dp},6}\frac{{\mathrm{\τ}}_{c,6}s}{{\mathrm{\τ}}_{c,6}s+1}\end{array}\right]}^T\right)U^T{P}_L---\left(1\right)$

式(1)中

K_a＝diag[k_a，1 k_a，2 k_a，3 k_a，4 k_a，5 k_a，6]

K_dp＝diag[k_dp，1 k_dp，2 k_dp，3 k_dp，4 k_dp，5 k_dp，6]

τ_c＝diag[τ_c，1 τ_c，2 τ_c，3 τ_c，4 τ_c，5 τ_c，6]

控制器中U，τ_c，K_dp，K_a为需设计参数，通过以下算法得到：

a：载入系统参数，系统参数包括三组：

1.六自由度并联机构结构参数r_a，r_b，α，β，h，H，m，I_xx，I_yy，I_zz；

r_a为上铰圆半径，r_b为下铰圆半径，h为质心高度，H为上下平台高度，α、β分别为上下平台相邻铰点短边半中心角，m为负载质量，I_xx为负载绕X轴的转动惯量，I_yy为负载绕Y轴的转动惯量，I_zz为负载绕Z轴的转动惯量；

2.液压执行器的特性参数β_e，L，D，d；

β_e为等效体积弹性模数，L为液压缸完全缩回状态时长度，D为活塞直径，d为

v_1x＝l_n1za_1y-l_n1ya_1z

v_1y＝l_n1xa_1z-l_n1za_1x

v_1z＝l_n1ya_1x-l_n1xa_1y

$l_{n,1}={\left[\begin{array}{ccc}{l}_{n1x}& l_{n1y}& l_{n1z}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{r}_a\cos \mathrm{\α}-r_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& r_a\sin \mathrm{\α}-r_b\sin (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\β})& -H\end{array}\right]}^T/L_{\mathrm{act}}.$

$L_{\mathrm{act}}=\sqrt{r_a^2+r_b^2-2r_a{r}_b\cos (\frac{\mathrm{\π}}{3}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β})+H^2}$

a₁＝[a_1x a_1y a_1z]^T＝[r_acosα-r_asinα h]^T

逆模态质量的解析表达式如下：

$M_d^{-1}=\mathrm{diag}\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\λ}}_1& {\mathrm{\λ}}_2& {\mathrm{\λ}}_3& {\mathrm{\λ}}_4& {\mathrm{\λ}}_5& {\mathrm{\λ}}_6\end{array}\right]---\left(3\right)$

式(3)中：

${\mathrm{\λ}}_1=\frac{6v_{n1z}^2}{I_{\mathrm{zz}}}$

${\mathrm{\λ}}_2=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2-{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_3=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_4=\frac{6l_{n1z}^2}{m}$

${\mathrm{\λ}}_5=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2-{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

${\mathrm{\λ}}_6=\frac{3}{2m}(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{\frac{1}{2}})$

液压刚度阵K的解析表达式如下：

$K=\frac{{\mathrm{\β}}_e{(1+\sqrt{n})}^2{A}_1}{L}{E}_{6\×6}---\left(4\right)$

式(4)中：

$n=\frac{D^2-d^2}{D^2},$ $A_1=\frac{\mathrm{\π}}{4}{D}^2$

E_6×6为6阶单位矩阵

c：根据逆模态质量阵

及液压刚度阵K计算出模态频率阵ω_h；

ω_h＝diag[ω_h，1 ω_h，2 ω_h，3 ω_h，4 ω_h，5 ω_h，6](5)活塞杆直径；

3.伺服阀特性参数K_aa，K_q；

K_aa为伺服阀电流放大增益系数，K_q为伺服阀流量增益系数；

b：根据六自由度并联机构结构参数r_a，r_b，α，β，h，m，I_xx，I_yy，I_zz，运用本发明给出的解析公式计算出模态矩阵U，逆模态质量阵

根据液压执行器的特性参数β_e，L，D，d计算出液压刚度阵K。

U的解析表达式如下：

式(2)中：

$\cos \mathrm{\ψ}=\frac{t_1}{\sqrt{t_1^2+1}},$ $\sin \mathrm{\ψ}=\frac{1}{\sqrt{t_1^2+1}}$

$t_1=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}(v_{1y}^2-v_{1x}^2)+l_{n1x}^2-l_{n1y}^2)}^2+4{(\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y})}^2)}^{1/2})}{-\frac{m}{I_{\mathrm{xx}}}{v}_{1y}{v}_{1x}+l_{n1x}{l}_{n1y}}$

$t_2=\frac{1}{2}\frac{(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2-v_{1y}^2)+l_{n1y}^2-l_{n1x}^2+{({(\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}(v_{1x}^2+v_{1y}^2)+l_{n1y}^2+l_{n1x}^2)}^2-4\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{(l_{n1x}{v}_{1x}+l_{n1y}{v}_{1y})}^2)}^{1/2})}{\frac{m}{I_{\mathrm{yy}}}{v}_{1y}{v}_{1x}-l_{n1x}{l}_{n1y}}$

式(5)中：

${\mathrm{\ω}}_{h,i}=\sqrt{\frac{K_i}{M_{d,i}}},i=1\·\·\·6$

d：根据模态频率阵ω_h确定动压反馈时间常数阵τ_c；

$3{\mathrm{\ω}}_h^{-1}\≤{\mathrm{\τ}}_c\≤10{\mathrm{\ω}}_h^{-1}---\left(6\right)$

e：结合目标阻尼阵ζ_s确定动压反馈放大系数阵K_dp。

K_dp＝diag[K_dp，1 K_dp，2 K_dp，3 K_dp，4 K_dp，5 K_dp，6](7)

$K_{\mathrm{dp},i}=\frac{2A_1^2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}}{K_q{\mathrm{\ω}}_{h,i}{M}_{d,i}},i=i\·\·\·6$

f：确定增益系数阵K_a。

K_a＝diag[K_a，1 K_a，2 K_a，3 K_a，4 K_a，5 K_a，6](8)

式(8)中

$K_{a,i}\≤\frac{2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}{\mathrm{\ω}}_{h,i}{A}_1}{K_{\mathrm{aa}}{K}_q},i=1\·\·\·6$

g：将设计出的控制器参数带入传递函数G_i(s)中，利用公知的matlab自动控制工具箱对其进行开环频域及闭环时域校核，观察6个模态空间通道的频域指标：穿越频率、幅值裕量、相位裕量，及阶跃响应条件下时域各指标：超调量、调整时间、上升时间、延迟时间、振荡次数，是否均满足要求，若不满足，则重新设定目标阻尼阵ζ_s进行步骤e，f，直至满足要求为止；

$G_i\left(s\right)=\frac{k_{a,i}}{s(\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_{h,i}^2}{s}^2+\frac{2{\mathrm{\ζ}}_{s,i}}{{\mathrm{\ω}}_{h,i}}s+1)},i=1\·\·\·6---\left(9\right)$

h：取出控制器参数U，τ_c，K_dp，K_a，控制器设计完成。

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