CN102521834A - 采用极对数坐标表示的分数阶傅里叶变换的图像配准方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用极对数坐标表示的分数阶傅里叶变换(FRFT)的时频域图像配准算法，本发明将信号在分数阶Fourier域上的表示，同时融合了信号在时域和频域的信息，采用相位相关技术，将基准图像和待配准图像作FRFT变换，确定其平移参数，并通过对数-极坐标变换得到旋转、缩放等配准参数。本发明能够全面反映信号随时间变化的频率特征。

Description

采用极对数坐标表示的分数阶傅里叶变换的图像配准方法

技术领域

本发明涉及一种图像分析技术，具体涉及采用分数阶傅里叶变换的图像配准方法。

背景技术

基于傅里叶(Fourier)变换的图像自动配准方法，由于不需要寻找控制点和传感器参数进行图像自动配准的优点，被广泛应用于数字图像的实时处理中。

大多数信号的频率成分是随时间变化的，即非平稳信号。而傅里叶变换只能从整体上指出信号中曾经出现过的频率成分，不能展示信号的频率是如何随时间变化的。图像的二维傅里叶变换幅值在其零频率的较小邻域上呈现有较大的波动尖峰状，仅仅采用傅里叶变换已不能准确给出低频段上的近似值，这将大大降低该配准算法的稳定性，不利于频域配准方法进一步向存在平移、旋转和尺度的多谱段、多传感器图像配准问题扩展。

作为Fourier变换的一种广义形式，分数阶傅里叶变换(FRFT)可以解释为信号在时频平面内坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶傅里叶域上的表示方式。如果信号的Fourier变换可看成将其在时间轴上逆时针旋转π/2到频率轴上的表示，则FRFT可以看成将信号在时间轴上逆时针旋转任意角度α到u轴上的表示(u轴被称为分数阶傅里叶域)。从本质上讲，信号在分数阶傅里叶域上的表示，同时融合了信号在时域和频域的信息，因此被认为是一种时频分析方法。

发明内容

本发明的目的在于将分数阶傅里叶变换(FRFT)引入到图像配准领域，提出了基于对数极坐标分数阶傅里叶变换的时频域配准算法。非平稳信号分析的时频联合分布可以将一维的时域信号映射到二维的时频域平面，全面反映信号随时间变化的频率特征。

为达到上述目的，本发明采用如下的技术方案：

一种采用极对数坐标表示的分数阶傅里叶变换的图像配准方法，该方法包括如下具体步骤：

(1)求出尺度因子和旋转角度

针对二维的情况，若基准图像I₁和待配准图像I₂具有平移、旋转和尺度关系

I₁[s(xcosθ₀+ysinθ₀)+Δx，s(-xsinθ₀+ycosθ₀)+Δy]＝I₂(x，y)

其中θ₀为旋转角，s为尺度因子，(Δx，Δy)为平移参数；

设I₁和I₂的FRFT变换为

和

上式的FRFT变换在尺度坐标r，旋转角度θ构成的极坐标系(r，θ)下表示为

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{e}^{\mathrm{j\π}{u}^2\cot \mathrm{\α}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\α}})}{e}^{\mathrm{j\π}{v}^2\cot \mathrm{\β}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\β}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\β}})}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}{\mathrm{\Δx}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}$

$\·e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}{\mathrm{\Δy}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}{\hat{I}}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)={\hat{I}}_2(r,\mathrm{\θ})$

上式中(u，v)为频域坐标，u＝rcosθ，v＝rsinθ，α，β为二维分数傅立叶变换的分数阶参数，

α′＝arctan(s²tanα)，β′＝arctan(s²tanβ)，

和

的幅值M₁和M₂满足

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})$

对上式r坐标轴取对数得到

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\log \frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}+\log r-\log s,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})$

采用上式和相位相关技术，在(logr，θ)坐标系下，先求出尺度因子s和旋转角度θ₀；

(2)对图像做校正

对待配准图像做尺度因子s和旋转角度θ₀的校正得到图像

(3)求出平移参数

设基准图像I₁和待配准图像I₂满足

I₁(x+Δx，y+Δy)＝I₂(x，y)

I₁和I₂的FRFT变换为

和

它们之间的关系为

${\hat{I}}_1(u-\mathrm{\Δ}x\cos \mathrm{\α},v-\mathrm{\Δ}y\cos \mathrm{\β})e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}={\hat{I}}_2(u,v)$

对

和

利用相位相关算出平移参数Δx和Δy。

和

的互功率谱S_xy(w)满足

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y){\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)}{\left|{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|\left|{\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|}=e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}$

式中*代表复共轭，对互功率谱S_xy(w)逆分数阶傅里叶变换可得到I₁和I₂的相位相关矩阵R_xy(x，y)，相关矩阵峰值所对应的位置即为平移参数(Δx，Δy)。

由于自然界的大多数信号是非平稳信号，图像的功率谱幅值在其零频率的较小邻域上呈现有较大的波动尖峰状。采用分数傅立叶变换的配准方法，在时频平面内，将配准信号的相位相关映射到任意分数阶的时频域轴上。通过分数阶时频轴在时频域平面内的任意旋转，同时考虑了信号在频域和时间域的相关性，是一种时频分析方法。该方法可以准确的给出低频段上的近似值，从而提高配准算法的稳定性。

附图说明

以下结合附图和具体实施方式来进一步说明本发明。

图1为分数傅立叶时频域坐标示意图。

图2为相位相关检测示意图。

图3为极对数坐标示意图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体图示，进一步阐述本发明。

傅里叶域方法的基本思想是相位相关法的平移检测特性。图像在对数极坐标频域中，旋转和尺度关系转化为平移关系，可通过相位相关检测。鉴于傅里叶变换和分数阶傅里叶变换的关系，本发明提出将用于检测旋转和缩放的频域表示变为分数阶傅里叶变换。

本发明的方法主要包括以下几个步骤(参见图1至图3)：

1.利用FRFT求出尺度因子和旋转角度

将基准图像I₁和待配准图像I₂做FRFT的极坐标变换得到

和

利用互功率谱得到它们的幅值M₁(r，θ)和M₂(r，θ)，对r取对数，求出尺度因子s和旋转角度θ₀。

定义：从线性积分变换的角度，u′域的函数f(u′)的p阶分数阶傅里叶变换可以定义为一个线性积分运算：

$f_p\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{K}_p(u,u^{\′})f\left(u^{\′}\right){\mathrm{du}}^{\′}---\left(1\right)$

其中K_p(u，u′)≡A_αexp[jπ(u²cotα-2uu′cscα+u′²cotα)]，称为分数阶傅里叶变换的核函数， $A_{\mathrm{\α}}\≡\sqrt{1-j\cot \mathrm{\α}},$ $\mathrm{\α}=\frac{\mathrm{p\π}}{2},$ p≠2n，n是整数。

式(1)中α仅出现在三角函数的参数位置上，因此，以p(或α)为参数的定义是以4(或2π)为周期的，因此只需考察区间p∈[-2，2](或α∈[-π，π])即可。定义函数的零阶变换等于该函数本身，±2阶变换等于f(-u)，并且核函数K_p(u，u′)在所有的p取值上连续。

假设基准图像I₁和待配准图像I₂具有平移、旋转和尺度关系

I₁[s(xcosθ₀+ysinθ₀)+Δx，s(-xsinθ₀+ycosθ₀)+Δy]＝I₂(x，y)        (2)

其中θ_0为旋转角，s为尺度因子，(Δx，Δy)为平移参数。

(2)式在极坐标下的FRFT变换为

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{e}^{\mathrm{j\π}{u}^2\cot \mathrm{\α}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\α}})}{e}^{\mathrm{j\π}{v}^2\cot \mathrm{\β}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\β}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\β}})}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}{\mathrm{\Δx}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}$

$\·e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}{\mathrm{\Δy}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}{\hat{I}}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)={\hat{I}}_2(r,\mathrm{\θ})---\left(3\right)$

上式中u＝rcosθ，v＝rsinθ，p₁、p₂为分数阶，

α′＝arctan(s²tanα)，β′＝arctan(s²tanβ)，

和

的幅值M₁和M₂满足

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})---\left(4\right)$

对上式中r坐标轴取对数

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\log \frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}+\log r-\log s,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})---\left(5\right)$

采用(5)式和相位相关技术，相位相关技术，与平移检测的方法相同，即对互功率谱求逆分数傅立叶变换，计算相位相关矩阵，通过检测相位相关矩阵的峰值，得到s和θ₀可以求出尺度因子s和旋转角度θ₀。

2.对图像做校正

对待配准图像做尺度因子s和旋转角θ₀的校正得到图像

3.求出平移参数

用相位相关法求出I₁和

的相关矩阵R_xy(x，y)的峰值，其对应的θ角即为旋转角θ₀，并得到平移关系(Δx，Δy)。

假设图像I₁和I₂满足

I₁(x+Δx，y+Δy)＝I₂(x，y)                        (6)

I₁和I₂的FRFT变换为

和它们之间的关系为

${\hat{I}}_1(u-\mathrm{\Δ}x\cos \mathrm{\α},v-\mathrm{\Δ}y\cos \mathrm{\β})e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}={\hat{I}}_2(u,v)---\left(7\right)$

对

和利用相位相关算出平移参数Δx和Δy。

和

的互功率谱S_xy(w)满足

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y){\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)}{\left|{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|\left|{\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|}=e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}---\left(8\right)$

式中*代表复共轭，对互功率谱S_xy(w)逆分数阶傅里叶变换可得到I₁和I₂的相位相关矩阵R_xy(x，y)，相关矩阵峰值所对应的位置即为平移参数(Δx，Δy)；

根据式(7)用相位相关法计算I₁和

的相关矩阵，并取峰值对应的θ角作为旋转角，并得到平移关系(Δx，Δy)。

本发明可以解决非平稳信号图像配准中，传统的傅里叶变换配准方法只能从整体上指出信号中曾经出现过的频率成分、无法准确给出低频段近似值的缺陷。采用分数傅里叶变换的图像配准方法，在时频平面内，将配准信号的相位相关映射到任意分数阶的时频域轴上。通过分数阶时频轴在时频域平面内的任意旋转，同时融合了信号在时域和频域的信息，从而提高低频段信号的配准稳定性。

基于上述方案，其具体实施如下：

1.求出尺度因子和旋转角度

假设图像I₁和I₂具有平移、旋转和尺度关系，在经过FRFT变换后的关系为

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{e}^{\mathrm{j\π}{u}^2\cot \mathrm{\α}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\α}})}{e}^{\mathrm{j\π}{v}^2\cot \mathrm{\β}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\β}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\β}})}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}{\mathrm{\Δx}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}$

$\·e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}{\mathrm{\Δy}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}{\hat{I}}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)={\hat{I}}_2(r,\mathrm{\θ})$

和

的幅值M₁和M₂满足

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\log \frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}+\log r-\log s,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})$

二维分数阶傅里叶变换中的角度α和β直接影响了变换的性质，相应的分数阶傅里叶变换的参数p₁和p₂，变换范围均为(-2，2]，本发明中将两个参数设为相同的值。

2.对图像做校正

对待配准图像做尺度s和旋转角θ₀的校正得到图像

3.求出平移参数

和的互功率谱满足

$\frac{{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y){\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)}{\left|{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|\left|{\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|}=e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}$

此时I₁和

只有平移关系，对它们分别进行分数阶傅里叶变换，并求出I₁和

I₁和的互功率谱，再进行逆分数阶傅里叶变换，取最大脉冲所对应的θ角作为旋转角，并得到平移关系(Δx，Δy)。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (1)

1.一种采用极对数坐标表示的分数阶傅里叶变换的图像配准方法，其特征在于，所述方法包括如下具体步骤：

(1)求出尺度因子和旋转角度

针对二维的情况，若基准图像I₁和待配准图像I₂具有平移、旋转和尺度关系：

I₁[s(xcos_θ0+ysinθ₀)+Δx，s(-xsinθ₀+ycosθ₀)+Δy]＝I₂(x，y)

其中θ₀为旋转角，s为尺度因子，(Δx，Δy)为平移参数；

设I₁和I₂的FRFT变换为

和

上式的FRFT变换在尺度坐标r，旋转角度θ构成的极坐标系(r，θ)下表示为

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{e}^{\mathrm{j\π}{u}^2\cot \mathrm{\α}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\α}})}{e}^{\mathrm{j\π}{v}^2\cot \mathrm{\β}(1-\frac{{\cos }^2{\mathrm{\β}}^{\′}}{{\cos }^2\mathrm{\β}})}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α}{\mathrm{\Δx}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}$

$\·e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β}{\mathrm{\Δy}}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}{\hat{I}}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)={\hat{I}}_2(r,\mathrm{\θ})$

上式中(u，v)为频域坐标，u＝rcosθ，v＝rsinθ，α，β为二维分数傅立叶变换的分数阶参数，

α′＝arctan(s²tanα)，β′＝arctan(s²tanβ)，

和

的幅值M₁和M₂满足

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}{s}^{-1}r,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})$

对上式r坐标轴取对数得到

$\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{s^2-j\cot \mathrm{\α}}}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\β}}{s^2-j\cot \mathrm{\β}}}{M}_1(\log \frac{\sin {\mathrm{\α}}^{\′}\sin {\mathrm{\β}}^{\′}}{\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}}+\log r-\log s,\mathrm{\θ}+{\mathrm{\θ}}_0)=M_2(r,\mathrm{\θ})$

采用上式和相位相关技术，在(1ogr，θ)坐标系下，先求出尺度因子s和旋转角度θ₀；

(2)对图像做校正

对待配准图像做尺度因子s和旋转角度θ₀的校正得到图像

(3)求出平移参数

设基准图像I₁和待配准图像I₂满足

I₁(x+Δx，y+Δy)＝I₂(x，y)

I₁和I₂的FRFT变换为和

它们之间的关系为

${\hat{I}}_1(u-\mathrm{\Δ}x\cos \mathrm{\α},v-\mathrm{\Δ}y\cos \mathrm{\β})e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}={\hat{I}}_2(u,v)$

对

和

利用相位相关算出平移参数Δx和Δy。和

的互功率谱S_xy(w)满足

$S_{\mathrm{xy}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y){\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)}{\left|{\hat{I}}_2({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|\left|{\hat{I}}_1^{*}({\mathrm{\ω}}_x,{\mathrm{\ω}}_y)\right|}=e^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\α\Δ}{x}^2}{e}^{j2\mathrm{\πu\Δ}x\sin \mathrm{\α}}{e}^{\mathrm{j\π}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\β\Δ}{y}^2}{e}^{j2\mathrm{\πv\Δ}y\sin \mathrm{\β}}$

式中*代表复共轭，对互功率谱S_xy(w)逆分数阶傅里叶变换可得到I₁和I₂的相位相关矩阵R_xy(x，y)，相关矩阵峰值所对应的位置即为平移参数(Δx，Δy)。

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