CN103530654A - 一种二维图形的对称轴的检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字图像处理、模式识别技术领域，特别涉及一种二维图形的对称轴的检测方法。该方法的搜索过程可以在(k，b)空间或(α，b)或(α，b’)空间进行，先在搜索空间内确定包含对称轴所对应点的一个搜索区域，然后在这个区域内，求出该二维图形与其相对于搜索空间内各点所对应的直线的对称图形并集的面积函数值，求取区域内面积函数的极小值点，将各极小值点对应的直线作为对称轴的备选线，并最终确定一条(或几条)直线为对称轴，若对称轴存在且唯一，则最小值点对应的直线即为该二维图形的对称轴。本发明的方法能精确检测局部对称或准对称二维图形的对称轴。

Description

一种二维图形的对称轴的检测方法

技术领域

本发明涉及数字图像处理、模式识别技术领域，特别是涉及一种二维图形的对称轴的检测方法。

背景技术

对称是自然界及人类社会中的物体普遍存在的一种形状特征。在人工视觉尤其是目标识别领域，对平面图形对称轴的识别通常是坐标轴重新标定及对象识别的基础。在车辆及建筑物识别、人脸识别、指纹识别、印章识别、脑部CT图像分析等领域，对称轴检测都是必需的基础环节。

二维图形的对称可分为以下三种情况：

1.严格对称：设P={(x_i，y_i)|i∈[1，N]}为二维图形，L为同一平面内直线。若

α′∈P，aa′⊥L，且|ao|=|oa′|，其中o为线段aa′与L的交点，则称P关于直线L严格对称。

2.局部对称：设P={(x_i，y_i)|i∈[1，N]}为二维图形，S={(x_j，y_j)|j∈[1，M]}为P的边界，L为同一平面内直线，若

S₁关于直线L严格对称，且

其关于L的镜像点

称P关于直线L局部对称。

3.准对称：若二维图形P对称度较高，但其边界S对称度较低，称P为准对称平面图形。其中，

定义准对称的P与S的对称度阈值应根据实际情况确定。

二维图形对称轴的检测方法很多，一个严格轴对称的二维图形可以在空间域内用多种方法求取其对称轴的解析解，目前常用的有以下三种方法：

1.最小二乘法

该方法实际上是简单一元线性回归法，其原理为：轴对称二维图形(或其边界)可表示为点集P={(x_i，y_i)|i∈[1，N]}，其对称轴可表示为直线y=kx+b，则

$\left\{\begin{array}{c}k=\frac{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2}=\frac{N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i-\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)}{N\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^2-{\left(\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\right)}^2}\\ b=\stackrel{\‾}{Y}-k\·\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i-\frac{k}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\end{array}\right.$

其中： $\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i.$

2.转动惯量法：

提及该方法的文献有：龚建伟、黄文宇、陆际联发表于《计量技术》2001年6期3-5页的文章“轴对称曲线对称轴的数值计算方法”。

该方法的原理为：轴对称二维图形(或其边界)可表示为点集P={(x_i，y_i)|i∈[1，N]}。将任一点(x_i，y_i)视为质量为1的质点，赋予了质量意义的图像目标相对于任一面内直线y=kx+b的转动惯量为：可以证明，若P为严格轴对称图形，当选取对称轴为旋转轴时，J取得极值。求取J(k，b)的极值点，有：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-G\±\sqrt{G^2+4F^2}}{2F}\\ b=\stackrel{\‾}{Y}-k\stackrel{\‾}{Y}\end{array}\right.$

其中： $\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i,F=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y}),G=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2-{(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}^2]$

结合目标的其他信息选取k₁、k₂中的一个或两个为与对称轴对应的k值(二维图形有可能有两个对称轴)。

3.主元分析法：

提及该方法的文献有：卢春雨，张长水，闻芳等发表于《电子学报》1999年第27卷第5期25-28页的文章“基于主元分析的对称性检测”。

该方法的原理为：轴对称二维图形(或其边界)可表示为点集P={(x_i，y_i)|i∈[1，N]}。

设：X=(x₁，x₂，......，x_N)^T；Y=(y₁，y₂，......，y_N)^T；

(X，Y)的协方差矩阵为 $\mathrm{\Σ}=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\σ}}_x^2& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yx}}& {\mathrm{\σ}}_y^2\end{array}\right)$

其中 ${\mathrm{\σ}}_x^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\stackrel{\‾}{X})}^2,{\mathrm{\σ}}_y^2=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(y_i-\stackrel{\‾}{Y})}^2$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yx}}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left[(x_i-\stackrel{\‾}{X})(y_i-\stackrel{\‾}{Y})\right],\stackrel{\‾}{X}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i,\stackrel{\‾}{Y}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i$

求取∑的特征向量，则平面图性对象对称轴的方向是特征向量方向的子集。

一般假设对称轴通过对象形心

结合方向向量及二维图形的实际情况可以确定其对称轴直线方程。

4.对称Hough变换法：

提及该方法的文献有：①Lei Y W和Wong k C发表在《模式识别通讯》1999年20卷第1期41-47页的文章“基于对称性的椭圆检测”(Lei Y W,Wong k C.Ellipse Detection Based onSymmetry.Pattem Recognition Letters，1999，20(1)：41-47)；②李俊、杨新、王峥等2001年3月发表于《模式识别与人工智能》第14卷第1期95-98页的文章“基于对称Hough变换的印章倾斜校正方法”。该方法的原理是：对图像目标边界点集P做对称Hough变换，若(s，θ)空间中存在明显峰值，则峰值一般对应于图形的对称轴。

最小二乘法不具有旋转不变性，即当P在坐标系内发生旋转时，用最小二乘法求得的直线与P的位置关系将发生改变，由于其误差较大且无法控制，只能用于对称轴的粗定位。

转动惯量法、主元分析法和对称Hough变换法理论上都具有旋转不变性，但转动惯量法和主元分析法当对称轴与x轴的夹角接近90°时，对称轴的检测误差显著增大。

转动惯量法和主元分析法在二维图形对称质量较高时能获得较好的检测结果，但当二维图形为部分对称(例如有明显的异常突起或缺损)或准对称时检测误差较大。之所以产生这种情况，是因为对于部分对称及准对称二维图形而言，其对称轴只是一种局部性质，而转动惯量法和主元分析法都是全局化的方法，二维图形的非对称部分在计算中会对结果产生无法消除的干扰。随着二维图形的整体对称程度的降低，距离方差极值法的计算精度迅速下降到较低的水平。其实，只要我们注意到即使是边界完全不对称的二维图形仍然可以用转动惯量法以及主元分析法分别求出两条“对称轴备选线”，就能理解这两种方法对于确定局部对称或准对称二维图形的对称轴既非充分条件也非必要条件。转动惯量法和主元分析法的应用范围虽然在精确检测二维图形对称轴的工作中受到很大限制，但其对于对称轴的快速粗定位仍然是很重要的方法。

对称Hough变换法可对局部对称的二维图形的对称轴进行检测。对称Hough变换可视为一种基于穷举法的累加器，不可避免地会产生大量的计算资源浪费。即使对于一些对称特征明显的二维图形，在保证识别率及识别精度的情况下对对称Hough变换做减少运算量的改进都是难以实现的，这使其一般很难进行实时性应用。另外，对称Hough变换法对二维图形边界的对称部分的对称度要求较高，无法用其检测准对称二维图形的对称轴。

在工程实践中，对称轴不具有识别难度的严格对称的二维图形很少见；多数二维图形为部分对称或准对称；即使部分对称的二维图形，其对称部分边界也经常对称程度不高，呈一定程度的准对称形态。通过以上对各对称轴检测方法的分析可知，目前没有对准对称二维图形的对称轴进行精确检测的方法，尤其是没有对局部对称与准对称二维图形的对称轴都能进行精确检测的通用方法。

发明内容

为了克服上述现有技术无法对局部对称及准对称二维图形的对称轴都能进行精确检测的不足，本发明提供了一种二维图形的对称轴的检测方法，该方法能精确检测局部对称或准对称二维图形的对称轴。

为实现上述目的，本发明的方案是：一种二维图形的对称轴的检测方法，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=kx+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=k₀x+b₀，确定P的对称轴在(k，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(k₀，b₀)的区域Ω；

(2)求出函数C(k，b)在区域Ω内各点处的函数值，其中，C(k，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)=P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

(3)求C(k，b)在Ω内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(k，b)在Ω内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

本发明还提供了另外一种二维图形的对称轴的检测方法，该方法在(α，b)空间中进行检测，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，确定P的对称轴在(α，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(α₀，b₀)的区域Ω″；

(2)求出函数C(α，b)在区域Ω″内各点处的函数值，其中，C(α，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)＝P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

(3)求C(α，b)在Ω″内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b)在Ω″内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

本发明还提供了第三种二维图形的对称轴的检测方法，该方法将大量翻转运算转化为平移运算，可大幅度提高运算速度，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，确定P的对称轴在(αb，)空间内的对应点的搜索区域为包含(α₀，b₀')的区域Ω′，其中，若(x₀，y₀)为后续旋转运算的旋转中心，b₀′＝(1-cOSα₀)·y₀+b₀·cOSα₀+sinα₀·x₀；

(2)求函数C(α，b′)在区域Ω′内各点处的函数值，其中，C(α，b′)=Card(MSS(P₁(α)，L′(b′)))，MSS(P₁(α)，L′(b′)＝P₁(α)∪Mi(P₁(α)，L′(b′))，P₁(α)为将P以某定点(x₀，y₀)为中心顺时针旋转角度α得到的二维图形，Mi(P₁(α)，L′(b′))表示P1(α)关于直线L′(b′)：y＝b′的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算，Mi(P₁(α)，L′(b′))只需将Mi(P₁(α)，L′(b₀′))作平移运算得到；

(3)求C(α，b′)在Ω′内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b′)在 ′内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴，(α，b′）空间中的点(α^*，b′^*)对应的直线方程为L^*：y=tan(α^*)x+b^*，其中，b^*=(y₀-tanα^*·x₀)+(b′^*-y₀)secα^*。

本发明达到的有益效果：

(1)本发明的方法先把对称轴确定在一个较小的区域内，在这个区域内检测对称轴，大大缩减了工作量，提高了工作效率，而且本发明的方法是完全旋转不变的，即使对称轴与y轴平行也能顺利识别且不影响识别精度；

(2)本发明的方法对图形对称度在相当大的分布范围内的局部对称或准对称二维图形都可实现对称轴的高精度检测，当图像质量较高时可基本实现对称轴的无误差检测，即本方法具有极强的鲁棒性；

(3)转动惯量法和主元分析法只能检测单对称轴或双对称轴的情况，本发明的方法则可以对多对称轴图形进行检测，只需扩大筛选范围，在(k，b)或(α，b)空间或(α，b’)空间内选择满足某阈值条件的所有极小值点，并逐一加以验证，就能检测出所有的局部对称轴。

附图说明

图1为本发明B_L ^#的求解图示；

图2为旋转运算前后二维图形及面内直线的对应关系图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进一步详细说明。

本发明在(k，b)空间的检测方法实施例：

该方法的具体步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=kx+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=k₀x+b₀，确定P的对称轴在(k，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(k₀，b₀)的区域Ω；

(2)求出函数C(k，b)在区域Ω内各点处的函数值，其中，C(k，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)=P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

如图1所示，将二维图形P相对于L进行镜像翻转，得到P关于L的镜像对称图形P′=Mi(P，L)，将P与P′做或运算得到B_L ^#，即B_L ^#=MSS(P，L)=P∪P′，C(k，b)=Card(B_L ^#)为B_L ^#的面积或其点集的点数。

(3)求C(k，b)在Ω内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(k，b)在Ω内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

本发明在(α，b)空间检测的方法实施例：

该方法的具体步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，确定P的对称轴在(α，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(α₀，b₀)的区域Ω″；

(2)求出函数C(α，b)在区域Ω″内各点处的函数值，其中，C(α，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)=P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

如图1所示，将二维图形P相对于L进行镜像翻转，得到P关于L的镜像对称图形P′=Mi(P，L)，将P与P′做或运算得到B_L ^#，即B_L ^#=MSS(P，L)=P∪P′，C(α，b)=Card(B_L ^#)为B_L ^#的面积或其点集的点数。

(3)求C(α，b)在Ω″内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b)在Ω″内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

本发明在(α，b’)空间检测的方法实施例：

该方法的具体步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，该直线对应的(α，b)空间内的点为(α₀，b₀)。

(2)指定搜索范围为Ω′={(α，b′)|α∈(α₁，α₂)，b′∈(b₁′，b₂′)}。为简化计算，各参数可设定如下：α₁＝α₀-Δα；α₂=α₀+Δα；b₁′=b₀′-Δb；b₂′=b₀′+Δb，其中Δα、Δb为常数，b₀′=y₀+sinα₀·xx+(b₀-y₀)cOsα₀，(x₀，y₀)为步骤(3)所述旋运算的旋转中心。

(3)求函数C(α，b′)在区域Ω′内各点处的函数值，其中，C(α，b′)＝Card(MSS(P₁(α)，L′(b′)))，MSS(P₁(α)，L′(b′)=P₁(α)∪Mi(P₁(α)，L′(b′))，P₁(α)为将P以某定点(x₀，y₀)为中心顺时针旋转角度α得到的二维图形，Mi(P₁(α)，L′(b′))表示P₁(α)关于直线L′(b′)：y＝b′的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算，Mi(P₁(α)，L′(b′))只需将Mi(P₁(α)，L′(b₀′))作平移运算得到。

如图2所示，将二维图形P以某点(x₀，y₀)为中心顺时针旋转角度α得到二维图形P₁(α)，α∈(α₁，α₂)，使b′在区间(b₁′，b₂′)上遍历，计算C(α，b′)=Card(MSS(P₁(α)，L′(b′)))。直线L₁、L、L₂分别对应于(α，b)空间中的点(α，b₁)、(α，b₀)、(α，b₂)，直线L₁’、L’、L₂'分别对应于(α，b′)空间中的点(α，b₁′)、(α，b₀′)、(α，b₂′)，其中b_i＝(y₀-tanα·x₀)+(b_i′-y₀)secα，i=1，2。在旋转运算前后，直线L₁、L、L₂分别与直线L₁’、L’、L₂’对应。

(4)改变α值，重复步骤(3)。

(5)求C(α，b′)在Ω′内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b′)在Ω′内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

P的对称轴或局部对称轴可表示为L^*：y=tan(α^*)x+b^*，其中，b^*=(y₀-tanα^*·x₀)+(b′^*-y₀)secα^*，(α^*，b′^*)为求出的(α，b′)空间内的极小值点或最小值点，当(α^*，b′^*)为最小值点时，C(α^*，b′^*)=C(α^*，b^*)=min{Card(α，b′)|(α，b′)∈Ω′}。

Claims (6)

1.一种二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=kx+b为面内直线，将P的对称轴粗定位为直线y=k₀x+b₀，确定P的对称轴在(k，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(k₀，b₀)的区域Ω；

(2)求出函数C(k，b)在区域Ω内各点处的函数值，其中，C(k，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)=P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

(3)求C(k，b)在Ω内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(k，b)在Ω内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

2.根据权利要求1所述的二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将二维图形P的对称轴粗定位为y=k₀x+b_0。

3.一种二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，确定P的对称轴在(α，b)空间内的对应点的搜索区域为包含(α₀，b₀)的区域Ω″；

(2)求出函数C(α，b)在区域Ω″内各点处的函数值，其中，

C(α，b)=Card(MSS(P，L))，MSS(P，L)=P∪Mi(P，L)，Mi(P，L)表示P关于L的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算；

(3)求C(α，b)在Ω″内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b)在Ω″内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴。

4.根据权利要求3所述的二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将二维图形P的对称轴粗定为y＝x·tanα₀+b₀。

5.一种二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，步骤如下：

(1)设P为二维图形，L：y=x·tanα+b为面内直线，将P的对称轴粗定位为直线y=x·tanα₀+b₀，确定P的对称轴在(α，b’)空间内的对应点的搜索区域为包含(α₀，b₀’)的区域Ω′，其中，b₀′=(1-cOsα₀)·y₀+b₀·cOsα₀+sinα₀·x₀，变量b’与b的映射关系为：b′=(1-cOsα)·y₀+b·cOsα+sinα·x₀，(x₀，y₀)为后续旋转运算的旋转中心；

(2)求函数C(α，b′)在区域Ω′内各点处的函数值，其中，

C(α，b′)＝Card(MSS(P1(α)，L′(b′)))，MSS(P₁(α)，L′(b′)=P₁(α)∪Mi(P₁(α)，L′(b′))，P₁(α)为将P以某定点(x₀，y₀)为中心顺时针旋转角度α得到的二维图形，Mi(P₁(α)，L′(b′))表示P₁(α)关于直线L′(b′)：y=b′的线对称图形，Card(*)表示求取集合中元素数的运算，Mi(P₁(α)，L′(b′))只需将Mi(P₁(α)，L′(b₀′))作平移运算得到；

(3)求C(α，b′)在Ω′内所有的极小值点，将各极小值点对应的直线作为P的对称轴备选线，并根据二维图形的特征、检测的具体要求从备选线中确定P的对称轴或对应于P的某对称局部的局部对称轴；若P的对称轴或局部对称轴存在且唯一，则求取C(α，b′)在Ω′内的最小值点，该最小值点对应的直线即为P的对称轴或局部对称轴，(α，b′)空间中的点(α^*，b′^*)对应的直线方程为L^*：y=tan(α^*)x+b^*，其中，b^*=(y₀-tanα^*·x₀)+(b′^*-y₀)secα^*。

6.根据权利要求5所述的二维图形的对称轴的检测方法，其特征在于，采用转动惯量法或最小二乘法或主元分析法将二维图形P的对称轴粗定位为y=x·tanα₀+b₀。

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