CN102509024B - 一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及海洋深水浮筒平台的研究方法，具体涉及一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法。该方法提出了深水浮筒平台的自激振荡概念，并建立了深水浮筒平台自激振荡的分析模型，从而解决了深水浮筒平台自激振荡理论分析和数值模拟研究的方法问题，完善了深水浮筒平台流致振荡的理论和研究方法。

Description

一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法

技术领域

本发明涉及海洋深水浮筒平台的研究方法，具体涉及一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法。

背景技术

深水浮筒平台(Spar)的硬舱外壁焊有控制涡激运动的螺旋板，造成了浮筒平台横截面的几何形状不对称，且直径较大。当平台发生横流向运动(涡激运动或波浪引起的横流向运动)时，流体与平台的相对速度不再垂直于平台的运动方向，产生了攻角，从而引起横流向的升力，该升力是攻角的函数，当流速为常量时，攻角随平台横流向速度的变化而变化，因此，由攻角的形成而产生的升力和拖曳力是交变的流体力，这就造成平台运动的加剧，这种由平台自身运动而引发的往复运动被称为自激振荡。目前，浮筒平台的自激振荡没有被普遍认识，浮筒平台的流致振荡仅仅被解释为涡激运动(Vortex Induced Motion，缩写为VIM)。

自激振动是结构由于自身的初始扰动而从外界吸收能量并持续振动的一种运动形式。目前的理论认为，浮筒平台的横流向运动仅仅是涡旋脱落引起的，因此，称之为“涡激运动”。但是，采用涡激振动的理论和方法计算浮筒平台的横流向运动与试验室模型试验结果相差较大。因此，目前浮筒平台的横流向运动只能采用模型试验来研究。但是，由于试验条件的限制，即便是采用试验手段也不能得到满意的结果。因为，目前最深的试验水池只有10米深，那么，3000米水深的平台只能作300∶1的模型试验，这样大比例的流体试验将造成严重失真，因为，找不到能够满足相似关系的试验介质。通常水池试验只能采用水，这就造成试验介质的密度超出应满足的相似关系的27000000倍，且系泊系统如果缩尺1/300，也没有可用的材料来替代。因此，浮筒平台的流致振荡数值模拟研究仍是个没有解决的问题。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的缺陷，提出浮筒平台的自激振荡理论，并基于结构的自激振动理论建立浮筒平台的自激振荡分析方法。

本发明的技术方案如下：一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法，建立的自激振荡分析模型如下：

$(m+m_a)\stackrel{..}{u}+c\stackrel{.}{u}+\mathrm{ku}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-\stackrel{.}{u})[(U-\stackrel{.}{u}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)+|U-\stackrel{.}{u}\left|C_D^{\′}\right]$

$(m+m_a)\stackrel{..}{v}+(c+c_a)\stackrel{.}{v}+\mathrm{kv}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{.}{u})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量；

c--系泊系统阻尼；

c_a--附加阻尼；

k--系泊系统刚度；

u--平台顺流向运动位移；

--平台顺流向运动速度；

--平台顺流向运动加速度；

v--平台横流向运动位移；

--平台横流向运动速度；

--平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

分别为自激阻力系数和自激升力系数，计算公式如下：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}\tan \mathrm{\α}+C_D^{\′}]\sec \mathrm{\α}$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan \mathrm{\α}]\sec \mathrm{\α}$

式中，C′_L--升力系数；

C′_D--拖曳力系数；

α--攻角；

采用迭代方法，计算规定时长内平台自激振荡的位移、速度和加速度。

进一步，如上所述的深水浮筒平台的自激振荡分析方法，其中，所述的采用迭代方法进行计算的具体步骤如下：

1)给定计算时间、平台顺流向和横流向速度和位移的初值：

$t_j=t_0=0,{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,u_j^{\left(i\right)}=u_0^{\left(0\right)}=0,{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,{v_j^{\left(i\right)}=v}_j^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算攻角

${\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}=\frac{{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}}{U}$

式中：--第j时间步内第i次迭代的攻角；

--第j时间步内第i次迭代的平台横流向运动速度；

U--流速；

3)将步骤2)得到的攻角代入下面公式计算自激阻力系数和自激升力系数：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}+C_D^{\′}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

式中，C′_L--升力系数；

C′_D--拖曳力系数；

4)将步骤3)得到的自激阻力系数和自激升力系数代入下面公式：

$(m+m_a){\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{ku}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})[(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)+|U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}|C_D^{\′}]$

$(m+m_a){\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}+(c+c_a){\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{kv}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量；

c--系泊系统阻尼；

c_a--附加阻尼；

k--系泊系统刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动加速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

计算第j时间步内第i+1次迭代的平台自激振荡位移速度和加速度

5)如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ}$ 或 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ},$ ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{(j+1)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤2)～5)的计算；

否则开始下一个时间步的计算，令：

$t_j=t_{j+1}=t_j+\mathrm{\Δt},u_j^{\left(i\right)}=u_{j+1}^{\left(0\right)}=u_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{\left(m\right)}$

$v_j^{\left(i\right)}=v_{j+1}^{\left(0\right)}=v_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{\left(m\right)}$

Δt为时间增量，m为第j时间步的最大迭代次数；

重复步骤2)～5)的计算，直至计算时长满足需要。

本发明的有益效果如下：本发明提出了深水浮筒平台的自激振荡概念，并建立了深水浮筒平台自激振荡的分析方法，从而解决了深水浮筒平台自激振荡理论分析和数值模拟研究的方法问题，完善了深水浮筒平台流致振荡的理论和研究方法。

附图说明

图1为本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细描述。

自激振动是结构由于自身的初始扰动而从外界吸收能量并持续振动的一种运动形式，浮筒平台在定常流场中，由于某种扰动而发生垂直流体流动方向的运动，导致流速与平台的运动方向不垂直，形成了攻角，从而引起横流向的升力。由于攻角随平台横流向运动速度的变化而变化，因此，形成了交变的升力。平台在该交变升力作用下将发生横流向的往复运动，这就是浮筒平台的自激振荡。本发明基于自激振动和跳跃振动理论，同时考虑自激阻力和自激升力，提出了基于下述模型的浮筒平台自激振荡分析方法。

本发明建立的自激振荡分析模型如下：

$(m+m_a)\stackrel{..}{u}+c\stackrel{.}{u}+\mathrm{ku}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-\stackrel{.}{u})[(U-\stackrel{.}{u}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)+|U-\stackrel{.}{u}\left|C_D^{\′}\right]---\left(1\right)$

$(m+m_a)\stackrel{..}{v}+(c+c_a)\stackrel{.}{v}+\mathrm{kv}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{.}{u})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)---\left(2\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量，采用切片法计算(公知技术)；

c--系泊系统阻尼，采用瑞雷阻尼(公知技术)；

c_a--附加阻尼，采用切片法计算(公知技术)；

k--系泊系统刚度；

u--平台顺流向运动位移；

--平台顺流向运动速度；

--平台顺流向运动加速度；

v--平台横流向运动位移；

--平台横流向运动速度；

--平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

分别为自激阻力系数和自激升力系数，计算公式如下：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}\tan \mathrm{\α}+C_D^{\′}]\sec \mathrm{\α}---\left(3\right)$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan \mathrm{\α}]\sec \mathrm{\α}---\left(4\right)$

式中，C′_L--升力系数，取值范围0.7～1.0；

C′_D--拖曳力系数，取值范围0.7～1.2；

α--攻角， $\mathrm{\α}=\frac{\stackrel{.}{v}}{U}.$

由于公式(3)和公式(4)包含攻角，而攻角计算需要知道平台的横流向速度。从而公式(1)和公式(2)包含平台的顺流向和横流向速度，因此，必须采用迭代方法计算，具体计算步骤如下：

1)给定计算时间、平台顺流向和横流向速度和位移的初值(公知技术)：

$t_j=t_0=0,{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,u_j^{\left(i\right)}=u_0^{\left(0\right)}=0,{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,{v_j^{\left(i\right)}=v}_j^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算攻角(公知技术)

${\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}=\frac{{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}}{U}$

式中：--第j时间步内第i次迭代的攻角；

--第j时间步内第i次迭代的平台横流向运动速度；

U--流速；

3)将步骤2)得到的攻角代入下面公式计算自激阻力系数和自激升力系数：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}+C_D^{\′}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

式中，C′_L--升力系数；

C′_D--拖曳力系数；

4)将步骤3)得到的自激阻力系数和自激升力系数代入下面公式：

$(m+m_a){\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{ku}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})[(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)+|U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}|C_D^{\′}]$

$(m+m_a){\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}+(c+c_a){\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{kv}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量；

c--系泊系统阻尼；

c_a--附加阻尼；

k--系泊系统刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动加速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

计算第j时间步内第i+1次迭代的平台自激振荡位移速度和加速度公式的求解可采用Newmark-β或Wilson-θ法(公知技术)。

5)如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ}$ 或 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ},$ ε为预先设定的计算精度(根据需要设定，如ε＝1×10^-5)，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{(j+1)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤2)～5)的计算；

如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}\≤\mathrm{\ϵ}$ 和 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}\≤\mathrm{\ϵ},$ 则开始下一个时间步的计算，令：

$t_j=t_{j+1}=t_j+\mathrm{\Δt},u_j^{\left(i\right)}=u_{j+1}^{\left(0\right)}=u_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{\left(m\right)}$

$v_j^{\left(i\right)}=v_{j+1}^{\left(0\right)}=v_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{\left(m\right)}$

Δt为时间增量，一般取0.02秒，m为第j时间步的最大迭代次数(一般取100次)；

重复步骤2)～5)的计算，直至计算时长满足需要(时长根据需要设定，如1000秒)。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (2)

1.一种深水浮筒平台的自激振荡分析方法，建立的自激振荡分析模型如下：

$(m+m_a)\stackrel{..}{u}+c\stackrel{.}{u}+\mathrm{ku}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-\stackrel{.}{u})[(U-\stackrel{.}{u}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)+|U-\stackrel{.}{u}\left|C_D^{\′}\right]$

$(m+m_a)\stackrel{..}{v}+(c+c_a)\stackrel{.}{v}+\mathrm{kv}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-\stackrel{.}{u})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量；

c--系泊系统阻尼；

c_a--附加阻尼；

k--系泊系统刚度；

u--平台顺流向运动位移；

--平台顺流向运动速度；

--平台顺流向运动加速度；

v--平台横流向运动位移；

--平台横流向运动速度；

--平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

分别为自激阻力系数和自激升力系数，计算公式如下：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}\tan \mathrm{\α}+C_D^{\′}]\sec \mathrm{\α}$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left(\mathrm{\α}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan \mathrm{\α}]\sec \mathrm{\α}$

式中，C′_L--升力系数；

C′_D--拖曳力系数；

α--攻角；

采用迭代方法，计算规定时长内平台自激振荡的位移、速度和加速度。

2.如权利要求1所述的深水浮筒平台的自激振荡分析方法，其特征在于：所述的采用迭代方法进行计算的具体步骤如下：

1)给定计算时间、平台顺流向和横流向速度和位移的初值：

$t_j=t_0=0,{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_0^{\left(0\right)}=0,u_j^{\left(i\right)}=u_0^{\left(0\right)}=0,{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_0^{\left(0\right)}=0,{v_j^{\left(i\right)}=v}_j^{\left(0\right)}=0$

式中：j--时间步数，计算开始时j＝0；

i--迭代次数，每个时间步开始时i＝0；

2)计算攻角

${\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}=\frac{{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}}{U}$

式中：--第j时间步内第i次迭代的攻角；

--第j时间步内第i次迭代的平台横流向运动速度；

U--流速；

3)将步骤2)得到的攻角代入下面公式计算自激阻力系数和自激升力系数：

${\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}+C_D^{\′}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

${\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)=[C_L^{\′}+C_D^{\′}\tan {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}]\sec {\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}$

式中，C′_L--升力系数；

C′_D--拖曳力系数；

4)将步骤3)得到的自激阻力系数和自激升力系数代入下面公式：

$(m+m_a){\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}+c{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{ku}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})[(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}){\stackrel{\‾}{C}}_D\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)+|U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}|C_D^{\′}]$

$(m+m_a){\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}+(c+c_a){\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}+{\mathrm{kv}}_j^{(i+1)}=\frac{1}{2}\mathrm{\ρD}{(U-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)})}^2{\stackrel{\‾}{C}}_L\left({\mathrm{\α}}_j^{\left(i\right)}\right)$

式中：m--浮筒平台质量；

m_a--附加质量；

c--系泊系统阻尼；

c_a--附加阻尼；

k--系泊系统刚度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台顺流向运动加速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动位移；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动速度；

--第j时间步内第i+1次迭代的平台横流向运动加速度；

ρ--流体密度；

D--平台直径；

U--流速；

计算第j时间步内第i+1次迭代的平台自激振荡位移速度和加速度

5)如果 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ}$ 或 $\max \left\{\right|{\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}|,|{\stackrel{.}{v}}_j^{(i+1)}-{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}\left|\right\}>\mathrm{\ϵ},$ ε为预先设定的计算精度，则继续进行迭代计算，令：

${\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{(i+1)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{(j+1)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{(i+1)}$

然后，重复步骤2)～5)的计算；

否则开始下一个时间步的计算，令：

$t_j=t_{j+1}=t_j+\mathrm{\Δt},u_j^{\left(i\right)}=u_{j+1}^{\left(0\right)}=u_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{u}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{u}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{u}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{u}}_j^{\left(m\right)}$

$v_j^{\left(i\right)}=v_{j+1}^{\left(0\right)}=v_j^{\left(m\right)},{\stackrel{.}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{.}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{.}{v}}_j^{\left(m\right)},{\stackrel{..}{v}}_j^{\left(i\right)}={\stackrel{..}{v}}_{j+1}^{\left(0\right)}={\stackrel{..}{v}}_j^{\left(m\right)}$

Δt为时间增量，m为第j时间步的最大迭代次数；

重复步骤2)～5)的计算，直至计算时长满足需要。