CN102495914A - 一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，包括以下步骤：步骤1：以预期频带的上下限分别作为两个单自由度悬臂梁的固有频率初值，确定两个单自由度悬臂梁的弹性系数k₁、k₂以及两个单自由度悬臂梁压电振子的质量m₁、m₂；步骤2：根据对二自由度振子的一阶和二阶谐振频率的预期比值确定连接弹簧的弹性系数k₃的初值；步骤3：基于上述参数，建立二自由度压电振子的有限元模型，在频带和结构尺寸及材料特性的共同约束下，以输出功率最大为目标，调整振子的压电层厚、悬臂梁厚、质量块大小和连接弹簧的弹性系数这4种参数。本方法能在保持高效率能量转换的前提下，实现二自由度压电振子的宽频响应。

Description

一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法

技术领域

本发明属于面向能量补给的压电式环境振动能量采集技术领域，涉及一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，用于提高压电振子对宽频振动激励的响应率的结构参数优化设计。

背景技术

随着无线传感器网络、嵌入式智能结构等功耗低、独立工作系统的迅速发展，对长寿命的独立电源供应技术的需求越来越强烈。目前，电池仍然是这类系统的首选电源，但电池的容量毕竟有限，需要定期更换，对上述系统的应用带来很大的不便。同时，大量使用电池也容易对环境造成危害。近些年来，环境能量采集作为一项新的技术理念，得到越来越多的关注，利用环境能量采集技术为无线传感器网络及其他便携式电子器件提供能量补给，逐步成为目前研究的一项前沿课题。环境中可采集利用的能量有机械振动能、光能、热能等。机械振动能是环境中广泛存在的能源之一，自然生活与工作环境中的振动几乎无处不在，且不像太阳能、热能等受到自然条件制约，直接从环境中采集振动能量，为低功耗电子器件供能具有广阔的应用前景。

根据能量转换机理的不同，将振动能转换为电能的有效方法主要有电磁式、静电式和压电式等3类，与前两种振动能量采集方式的技术原理比较，压电方式具备体积小、结构简单、能量密度高，无电磁干扰、寿命长、易于实现微型化、集成化以及与MEMS加工工艺兼容等诸多优点，且能满足此类微小型低耗能产品的供能需求，已成为目前研究的热点。

通过向压电元件施加预定频率的驱动信号(激励)而振动的振动体称为压电振子。压电振子是振动能量采集装置的核心元件，它的材料特性、几何参数、振动模式、支撑方式等直接影响着振动能量采集的效率。当外部环境的激振频率等于压电振子固有频率，即发生谐振时，压电振子的输出功率达到最大。如果外部振源已知，可以通过调整结构参数设计出与之频率匹配的压电振子。但现实中振动源的频率往往存在变化，难以保持在一个稳定频点上。为提高输出功率必须尽可能使振子对外部激励的响应处于谐振状态下。目前环境振动能量采集技术研究的压电振子大多采用单自由度悬臂梁结构，其谐振频带宽度窄；例如单自由度悬臂梁压电振子的谐振频率中心为20Hz，阻尼比为0.02时，其谐振带宽不到1Hz，若激振频率偏离谐振频率中心0.5Hz以上，则压电振子对振动激励的响应率将会显著下降。因此，谐振响应频率范围宽的压电振子才具有较大的适用性和实用性，如何扩展压电振子的谐振带宽也是环境振动能量采集技术研究的一个关键点。

在现有环境振动能量采集技术研究中，提出了利用频率控制技术扩展压电振子谐振工作带宽的方法，在该方法中设计有一个控制装置，当外部振动频率发生变化时，通过控制装置自动调整压电振子固有频率，使之与外部振动频率匹配。目前国外学者分别通过预加轴向应力与利用电容载荷变化微控制的频率控制技术，设计出了较宽频带压电振子，但这种结构较复杂，成本较高，且能量转换效率低。

目前对压电振子的结构还缺乏系统的设计方法，压电振子的设计通常是单一地考虑对宽频响应的需求(例如配置谐振频点不同且独立的多个单自由度振子合成一组，即阵列型式，来适应不同频率的振动激励)，或者是对输出功率的需求，没有同时兼顾这两个方面的要求，同时对压电振子结构稳定性缺乏考虑。

总结现有压电振子设计方法可发现，常规方法设计的单自由度结构压电振子谐振工作频带较窄，不利于压电式环境振动能量采集技术的实际应用；而目前见诸报道的基于频率控制方法设计的宽频带压电振子，结构复杂，在结构稳定性方面欠考虑，能量转换效率低，实用性差。虽然目前在输出功率、宽频响应等问题上提出了许多设计方法，但大多局限于解决其中某一问题，缺乏系统的指导方法。

单自由度系统的谐振响应频带宽度为2ξf₀(其中f₀为单自由度系统的固有频率，ξ为阻尼比)，因此，当二自由度系统的谐振响应频带宽度大于单自由度系统的2倍时，可称为宽频响应。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，本方法能在保持高效率能量转换的前提下，实现二自由度压电振子的宽频响应。

发明的技术解决方案如下：

一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，该二自由度压电振子包括两个单自由度悬臂梁压电振子，两个单自由度悬臂梁压电振子上下平行且固定于同一基座，每一个单自由度悬臂梁压电振子的自由端设有一个质量块，用弹簧连接两个质量块，实现2个单自由度悬臂梁压电振子的耦合，所述的设计方法包括以下步骤：

步骤1：以预期频带的上下限分别作为两个单自由度悬臂梁的固有频率初值，确定两个单自由度悬臂梁的弹性系数k₁、k₂以及两个单自由度悬臂梁压电振子的质量m₁、m₂；

步骤2：根据对二自由度振子的一阶和二阶谐振频率的预期比值确定连接弹簧的弹性系数k₃的初值；

步骤3：基于上述参数，建立二自由度压电振子的有限元模型，在频带和结构尺寸及材料特性的共同约束下，以输出功率最大为目标，调整振子的压电层厚、悬臂梁厚、质量块大小和连接弹簧的弹性系数这4种参数。

步骤1的具体步骤为：

两个悬臂梁的弹性系数k₁、k₂通过

计算，其中E为弹性模量，b为固定端宽度，k为弹性系数；h_P为悬臂梁基板厚度；L为悬臂梁长度；

两个质量块的质量通过

确定，其中m_i0为质量块的质量，m_i’为悬臂梁自身的质量，m_i0+0.23m_i’＝m_i为振子质量。【0.23为悬臂梁的自身质量折算到系统总质量中的等效系数，可根据材料力学理论推导得出。】

步骤2的具体步骤为：

根据公式以保持二自由度系统的一阶谐振频率ω₁和二阶谐振频率ω₂的预期比值为0.9【对频带的预期宽度大，则在0.9～1之间选择一个相对小的值】为目标，确定连接两个单自由度振子质量块的弹簧的弹性系数k₃，式中，X＝m₁×m₂；Y＝(k₁+k₃)×m₂+(k₂+k₃)×m₁；Z＝k₁×k₂+k₁×k₃+k₂×k₃。

步骤3中，建立使用ANSYS软件进行仿真分析的二自由度压电振子有限元模型的过程为：

在ANSYS中，首先建立对应所述二自由度压电振子的(如图2)动力学模型： $\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{..}{y}}_1+(k_1+k_3)y_1-k_2{y}_2=0\\ m_2{\stackrel{..}{y}}_2=(k_2+k_3)y_2-k_2{y}_1=0\end{array}\right.$ (忽略了阻尼c)，【悬臂梁结构压电振子几何模型，如图(4)所示；】在此基础上，对悬臂梁的金属基板设置2mm的网格精度并采用SOLID45单元进行网格划分，对压电层设置0.2mm网格精度并采用耦合场单元SOLID5进行网格划分，从而建立二自由度压电振子的网格模型；再将该网格模型中的固定端界面上各网格节点的位移、扰度和转角都设为零，将振子两个自由端的运动约束设置为垂直于悬臂梁表面的上下位移运动，最后得到加载了边界条件和自由度及压电耦合约束的振子的有限元物理模型；

约束条件包括：ω₁≥ω_min，ω₂≤ω_max，T_p≤[T_p]，T_pe≤[T_pe]，ω_min和ω_max分别是根据设计任务要求对压电振子系统谐振频率下限和上限的设定值；以及对应于所选材料及最大外形尺寸的参数取值范围(参见表1)；

其中金属基板最大允许应力[T_p]以及压电层最大允许应力[T_pe]是所选金属材料和压电材料的特性参数值；

目标函数为OBJ：maxP(V)，其中V＝[h_P1，h_pe1，h_P2，h_pe2，m₁，m₂，k₃]^T是参数变量， $P\left(V\right)=P_1\left(V\right)+P_2\left(V\right),P_i\left(V\right)=\frac{\mathrm{\πf}}{192}\frac{E_m^2{g}_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}{(r^2-2r)}^2{h}_{\mathrm{pei}}^6{b}^2{y}_0^2{m}_i}{[2r-r^2(1-a)][h_{\mathrm{pei}}{S}_{11}^D{E}_m(g_{31}^2+S_{11}^D{\mathrm{\β}}_{33}^T)-6g_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}]{{\mathrm{\η}}_i}^2{L}^6{J}^3},i=1$

或2。

式中，π是圆周率，f为振源频率，E_m为材料的弹性模量，g₃₁为压电电压常数，r为压电材料上的电极层覆盖率(0＜r＜1，实施例中取r＝0.83)，b为悬臂梁固定端宽，a为悬臂梁自由端与固定端的宽度比(0＜a＜1，实施例中选取a＝0.3)，y₀为压电振子固定端的输入激励振幅，

为压电材料沿悬臂梁长度方向上的柔度系数，

是垂直两表面方向的介电隔离率，η_i为振子悬臂梁结构的阻尼系数，J为一个与a相关的正数，J＝0.5(3a²-4a+1-2a² lna)(1-a)^-3，【实施例中a＝0.3时，J＝0.418。】，i＝1指第一振子，i＝2指第二振子；由ANSYS软件优化得出的结果为：

两个悬臂梁的基板厚度h_P1，h_P2，压电层厚度h_pe1，h_pe2，第一振子和第二振子的质量m₁、m₂，连接弹簧的弹性系数k₃；

根据h_P1，h_P2和所选悬臂梁材料的弹性模量E、材料密度ρ以及长度L、宽度b和h_Pi，分别得到

两个质量块的质量m₁₀＝m₁-0.23ρLbh_P1，m₂₀＝m₂-0.23ρLbh_P2；ANSYS模态分析得到振子的一阶谐振频率ω₁与二阶谐振频率ω₂。

本发明的技术方案构思：将两个附着集中质量块的悬臂梁结构的单自由度压电振子通过连接自由端的弹簧耦合形成一个两自由度振动系统，该系统具有两个谐振频率。通过调整这个二自由度振动系统的结构参数，使得两个谐振频率点接近，从而当外部环境振动激励频率位于这两个谐振点附近的较宽频率区域时，该振动系统都将处于或接近高响应率的谐振工作状态，从而实现谐振工作频带的扩展。

有益效果：

常用的压电振子谐振响应频率带宽过窄，而目前对宽频谐振响应压电振子缺乏系统的设计方法指导，对结构稳定性、谐振响应带宽以及输出功率等多方面的要求难以兼顾，本发明提出了一种实现宽频响应的二自由度压电振子设计及优化方法，在保持高效率能量转换的前提下，实现宽频响应。

根据本发明方法设计的二自由度压电振子，具有两个频率相近的谐振点，从而当外部环境振动激励频率处在一阶与二阶谐振频率附近较宽的频率范围内或在该区域内变化时，压电振子都将处于或接近谐振工作状态，使压电振子的谐振工作带宽得到了扩展。与普遍采用的单自由度压电振子相比，根据本发明方法设计的二自由度压电振子谐振工作带宽为后者两倍多。

本发明提出的一种实现宽频响应的二自由度压电振子设计及优化方法，在实现压电振子宽频响应设计的条件下，兼顾了结构稳定性(两个单自由度悬臂梁的自由端通过弹簧连接后，增强了单一振子的承载能力)、输出功率等的要求，因此根据本发明方法设计的二自由度压电振子具有谐振响应频带宽、结构稳定、使用寿命长和输出功率高等优点，实用性很强。同时本发明方法可用于其它结构的宽频响应设计，如磁电式与静电式振子的宽频结构设计，因而该设计方法具有普适性。

附图说明

图1为本发明二自由度压电振子结构框图；

图2为本发明二自由度压电振子的等效“M-K-C”模型

图3为本发明二自由度压电振子设计方法流程图；

图4为本发明二自由度压电振子有限元模型图；

图5为加载了自由度约束与电压耦合约束后二自由度压电振子有限元模型图；

图6(A)为本发明二自由度压电振子一阶振型示意图(图a-e分别表示原始位置、四分之一振动周期、四分之二振动周期、四分之三振动周期、一个周期时的状态。)；

图6(B)为本发明二自由度压电振子二阶振型示意图(图a-e分别表示原始位置、四分之一振动周期、四分之二振动周期、四分之三振动周期、一个周期时的状态。)；

图7为本发明二自由度压电振子谐振响应在ANSYS仿真图；

图8为本发明二自由度压电振子与阵列式双压电振子功率频谱图；

标号说明：1-第一质量块，2-第二质量块，3-弹簧，4-基座，5-第一压电振子，6-第二压电振子。

具体实施方式

以下将结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明：

本发明的技术方案实现：本发明在充分研究压电振子工作原理的基础上，基于悬臂梁结构的振动系统原理，给出压电振子工作的数学模型和初步结构设计，基于该模型利用有限元分析软件ANSYS对二自由度压电振子进行结构参数优化设计，优化设计约束条件为：(1)满足工作状态下压电材料与基板材料许用应力要求，保证振动结构稳定性；(2)将模态分析得到的两个谐振频率约束在目标频率范围内，使得振动系统一阶与二阶谐振频率相邻。优化设计目标函数设定为二自由度压电振子输出功率，从而使得二自由度压电振子具有高输出功率与能量转换效率。具体实现步骤如下：

(1)根据对压电式环境能量采集器的结构尺寸和目标频带要求，先以预期频带上下限或临近的频率分别作为二自由度压电振子的两个附着集中质量的单自由度梁的谐振频率，根据所选悬臂梁材料的特性参数(弹性模量和允许应力)和最小厚度，按单自由度振动系统模型确定两个方截面悬臂梁的结构尺寸和参数(弹性系数k₁、k₂，附着质量m₁、m₂)初值；基于如图2所示二自由度振子的等效动力学模型，以保持二自由度系统的一阶谐振频率(ω₁)和二阶谐振频率(ω₂)的预期比值为0.9(对频带的预期宽度大，则应在0.9～1之间选择一个相对小的值)为目标，按式(1)确定连接两个质量块的弹簧的弹性系数k₃。

(2)设置压电振子的其他参数，包括压电层和电极层的结构尺寸初值及约束范围以及电极层覆盖率和所选压电材料的压电系数。压电振子悬臂梁采用梯形薄板，悬臂梁自由端宽度小于固定端宽度，两者比值即形状系数为c；同时压电材料上所覆盖电极层从固定端开始，以小于1.0的覆盖率覆盖在压电层上。

(3)根据步骤(1)、(2)的材料及结构参数，建立采用ANSYS进行仿真分析的两自由度压电振子的参数化的几何模型，如图4所示。

(4)根据步骤(2)、(3)所建立的设置材料参数后的几何模型，在ANSYS中选择映射网格划分方式，为金属基板和压电层分别设定网格划分精度值，进行网格划分。

(5)根据步骤(4)所建立的网格模型，在ANSYS中加载边界条件，对固定端进行自由度约束，得到加载载荷后的有限元模型如图5所示。

(6)根据步骤(5)所建立的加载载荷后的有限元模型，利用在ANSYS中进行模态分析，得到一阶谐振频率ω₁与二阶谐振频率ω₂，同时生成优化分析文件。

(7)提取步骤(6)所生成的优化分析文件，在在ANSYS中定义设计变量、状态变量以及目标函数。

定义设计变量包括指定结构设计的自变量参数和规定变量范围，为了简化ANSYS优化运算处理过程，避免因为自变量参数过多导致运算无法收敛，选择模态分析中灵敏度系数较高的压电层厚度h_pe、金属基板层厚度h_P、振子质量大小m、弹簧弹性系数k作为自变量参数，同时根据设计尺寸要求规定这些变量的上、下限。

定义状态变量即指定整个系统性能的约束条件，选择一阶谐振频率ω₁、二阶谐振频率ω₂、金属基板层最大应力T_P以及压电层上最大应力T_pe作为状态变量，其中一阶谐振频率ω₁和二阶谐振频率ω₂从模态分析结果中提取，金属基板层最大应力T_P以及压电层上最大应力T_pe由理论计算得到：

$T_P=\frac{y_0{h}_{P}E}{1.92L^2}$

$T_{\mathrm{pe}}=\frac{y_0(h_P+2h_{\mathrm{pe}})}{1.92s_{11}^D{L}^2}$

式中

为压电材料沿悬臂梁长度方向上的柔度系数，E_m为金属基板材料弹性模量，y₀为外部环境激励振幅，L为压电振子悬臂梁长。

同时定义状态变量范围：

ω₁≥2(1-ξ)ω₀

ω₂≤2(1+ξ)ω₀

T_P≤[T_P]

其中ω₀为所要设计宽频响应带宽的中心频率，ξ为压电振子结构阻尼比(机械加电阻尼，一般约0.02)，[T_P]与[T_pe]分别为金属基板材料与压电材料许用应力。

定义目标函数即指定整个优化方案的评价指标，选取压电层厚度h_pe1、h_pe2，金属基板层厚度h_P1、h_P2，振子质量大小m₁、m₂，弹簧弹性系数k₃为优化参数，以压电振子的输出功率最大化为目标函数，获得相同约束条件下的最佳性能。

(8)选择优化分析方法(如零阶方法)，指定以循环达到设定迭代次数即终止循环的控制方式，完成分析，输出最优结果。

如图1所示为本发明二自由度压电振子结构框图，二自由度压电振子核心结构部分为压电振子(P₁、P₂)，基座(4)为压电振子提供固定支撑的作用，弹簧(3)将上下两个压电振子连接，构成一个耦合的二自由度振动系统，通过响应环境中的振动激励，将机械能转换为电能。

如图2所示为本发明二自由度压电振子的等效系统(质量-弹簧-阻尼，M-K-C)模型。压电振子P₁、P₂都等效为一个单自由度的M-K-C系统，其对应参数分别为m₁、k₁、c₁，m₂、k₂、c₂，(m为振子质量，k为弹性系数，c₁、c₂为阻尼)这两个单自由度的M-K-C系统由中间弹簧(参数为k₃、c₃)连接，构成一个耦合的二自由度M-K-C系统。

如图3所示，本发明二自由度压电振子设计及优化方法具体步骤如下：

步骤1，根据具体要求确定二自由度压电振子的初步结构设计及初始参数。

首先，根据对压电式环境能量采集器的频率带宽和预期结构尺寸要求，假设外部环境振动激励的频率在(19Hz，21.5Hz)之间，同时，将压电振子的方截面悬臂梁长度设为L(本例为3cm)、固定端宽度设为b(本例为2cm)，基板层材料在本例中为磷青铜，其特性参数为：密度ρ_m＝8.92×10³kg/m³、弹性模量E_m＝1.06×10¹¹Pa、泊松比μ＝0.35；选择压电振子的悬臂梁基板厚度(h_P1、h_P2)、压电层厚度(h_pe1、h_pe2)、质量(m₁，m₂)、连接弹簧(k₃)作为设计变量，初设h_P1＝0.02cm、h_P2＝0.03cm。

其次，取二自由度压电振子中的两个单自由度悬臂梁的谐振频率分别为ω₀₁＝19Hz、ω₀₂＝21.5Hz，按附着集中质量块的单自由度矩形悬臂梁振动系统的M-K-C模型，有公式(2)、(3)用来分别确定两个悬臂梁的弹性系数k₁、k₂，附着质量m₁₀、m₂₀；

$k=\frac{\mathrm{Eb}{h}_P^3}{4L^3}---\left(2\right)$

${\mathrm{\ω}}_n=\sqrt{\frac{k}{m_i}}=\sqrt{\frac{k}{(m_{i0}+0.23{m_{i0}}^{\′})}}---\left(3\right)$

式(3)中，m_i0’为悬臂梁自身的质量，m_i0为质量块的质量，两者之和为单个振子的质量。

最后，基于如图2所示的二自由度振子的等效动力学模型，再以保持二自由度系统的一阶谐振频率(ω₁)和二阶谐振频率(ω₂)的预期比值为0.9(对频带的预期宽度大，则应在0.9～1之间选择一个相对小的值)为目标，按式(1)【即

$\frac{{\mathrm{\ω}}_1}{{\mathrm{\ω}}_2}=\sqrt{\frac{Y-\sqrt{Y^2-4\mathrm{XZ}}}{Y+\sqrt{Y^2-4\mathrm{XZ}}}}---\left(1\right)$

式中，X＝m₁×m₂；Y＝(k₁+k₃)×m₂+(k₂+k₃)×m₁；Z＝k₁×k₂+k₁×k₃+k₂×k₃】确定连接两个单自由度振子质量块的弹簧的弹性系数k₃；从而确定二自由度压电振子初步结构设计尺寸。

步骤2，确定压电振子的其他参数。压电振子悬臂梁采用梯形薄板，悬臂梁自由端宽度小于固定端宽度，两者比值即形状系数c在本例中为0.3；同时压电材料上所覆盖电极层从固定端开始，以0.83覆盖率覆盖在压电层上。压电层材料采用PVDF(聚偏氟乙烯)，其材料参数：密度ρ_P＝1780×10³kg/m³，介电常数矩阵[ε]、压电常数矩阵[e]和压电弹性系数矩阵[c]为：

$\left[\mathrm{\ϵ}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1.06& 0& 0\\ 0& 1.06& 0\\ 0& 0& 1.06\end{array}\right]\×{10}^{-10}(F/m)$

$\left[e\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0.0104& -0.0104& -0.065\\ 0& 0& 0\\ -0.0388& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right](C/m^2)$

$\left[c\right]=\left[\begin{array}{cccccc}8.1& 4.84& 4.84& 0& 0& 0\\ 4.84& 6.92& 4.38& 0& 0& 0\\ 4.84& 4.38& 6.92& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1.38& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1.38& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1.38\end{array}\right]\×{10}^9\mathrm{Pa}$

步骤3，根据步骤1、2的材料及结构参数，在ANSYS中建立两自由度压电振子的几何模型如图4所示。

步骤4，选择映射网格划分方式、设置网格划分精度，进行网格划分，建立两自由度压电振子的网格模型。对金属基板层采用SOLID45单元进行网格划分，对压电层采用耦合场单元SOLID5进行网格划分，采用映射方式网格划分，目的是保证形成的网格单元都是高精度的六面体单元；网格划分中对金属基板层的网格精度设置0.5mm，而压电层的网格精度设置为0.1mm，对金属基板层与压电层设置不同网格精度的目的在于保证计算精度同时减少不必要的运算。

步骤5，加载边界条件，进行自由度和压电耦合约束，在振子固定端界面上的各节点的位移、挠度与转角都设为零，该约束用ANSYS命令流简化描述为：

nsel，s，loc，x，0

d，all，ux，0，，，，uy，uz

压电振子应变时产生电荷，由于压电层上存在极薄的电极面，产生的电荷重新分布形成等势面，属于电压耦合过程，用ANSYS命令流简化描述为：

nsel，s，loc，z，Hm

nsel，r，loc，z，0，L*b

cp，1，volt，all

图5所示为加载了自由度约束与电压耦合约束后二自由度压电振子有限元分析的物理模型图。

步骤6，进行模态分析，得到一阶谐振频率ω₁与二阶谐振频率ω₂，同时生成优化分析文件。

步骤7，提取步骤(6)的优化分析文件，定义优化变量，即指定设计变量、状态变量以及目标函数。

二自由度压电振子优化设计方案的数学模型可表示为：

OBJ：maxP(V)

V＝[h_P1，h_P2，h_pe1，h_pe2，m₁，m₂，k₃]^T

其中P(V)＝P₁(V)+P₂(V)

$P_i\left(V\right)=\frac{\mathrm{\πf}}{192}\frac{E_m^2{g}_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}{(r^2-2r)}^2{h}_{\mathrm{pei}}^6{b}^2{y}_0^2{m}_i}{[2r-r^2(1-a)][h_{\mathrm{pei}}{S}_{11}^D{E}_m(g_{31}^2+S_{11}^D{\mathrm{\β}}_{33}^T)-6g_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}]{{\mathrm{\η}}_i}^2{L}^6{J}^3}$ (i＝1或2)

式中，π是圆周率，f为振源频率，E_m为材料的弹性模量，g₃₁为压电电压常数，r为电极覆盖率(r＝0.83)，b为悬臂梁固定端宽，a为悬臂梁自由端与固定端的宽度比(0＜a＜1，实施例中选取a＝0.3)，y₀为压电振子固定端(基础)的输入激励振幅，

为压电材料沿悬臂梁长度方向上的柔度系数，

是垂直于梁表面方向的介电隔离率，η_i为振子悬臂梁结构的阻尼系数(本例中取η_i＝0.04m_iω_i)，J为一个与a相关的正数，J＝0.5(3a²-4a+1-2a²lna)(1-a)^-3【实施例中a＝0.3时，J＝0.418。】，i＝1指振子1，i＝2指振子2。

DVs：S∈[S]

SVS：ω₁≥ω_min，ω₂≤ω_max，T_p≤[T_p]，T_pe≤[T_pe]

目标函数(OBJ)为参数优化评估标准，定义为压电振子的输出功率P(V)，V为压电振子的待优化的参数集，包括：压电层厚度h_pe1、h_pe2，金属基板层厚度h_P1、h_P2，质量块大小m₁、m₂，弹簧弹性系数k₃。因为压电振子的结构尺寸有一定限制，要在实际应用基础上进行设计，所以每一个优化参数都处于有限范围内，优化的

目的是寻找一组优化参数值，使得压电振子的输出功率最大。

目标函数(OBJ)定义的ANSYS命令流为：

OPVAR，X，OBJ，，，，

S表示设计变量(DVs)参数矩阵，[S]表示各项参数的取值范围，只有确定适当的设计变量，才可能得到有效解，但为了避免因为结构参数变量过多导致运算无法收敛，同时也为了简化ANSYS优化运算处理过程，应当尽量减少设计变量。本发明实例中选择模态分析中灵敏度系数较高的压电层厚度h_pe、金属基板层厚度h_P、质量块大小m₁与m₂、弹簧弹性系数k₃作为自变量参数。设计变量(DVs)的ANSYS命令流为：

OPVAR，DVs，DV，DVs min，DVs max

其中DVs min与DVs max分别为设计变量的下限与上限。

本发明实例中变量取值范围如下表1所示。

表1.优化过程中的变量参数取值范围与约束

状态变量(SVs)为整个系统性能的约束条件，选择一阶谐振频率ω₁、二阶谐振频率ω₂、金属基板层最大应力T_p以及压电层上最大应力T_pe作为状态变量，其中一阶谐振频率ω₁和二阶谐振频率ω₂从模态分析结果中提取，金属基板层最大应力T_p以及压电层上最大应力T_pe由理论计算得到：

$T_p=\frac{y_0{h}_{P}E}{1.92L^2}$

$T_{\mathrm{pe}}=\frac{y_0(h_P+2h_{\mathrm{pe}})}{1.92s_{11}^D{L}^2}$

式中

为压电材料x方向上的柔度系数，E为金属基板材料弹性模量，y₀为外部环境激励振幅，L为压电振子悬臂梁长。

同时定义状态变量范围：

ω₁≥2(1-ξ)ω₀

ω₂≤2(1+ξ)ω₀

其中ω₀为所要设计宽频响应带宽的中心频率，ξ为压电振子结构阻尼比(本列设为0.02)，[T_p]与[T_pe]分别为金属基板材料与压电材料许用应力。

状态变量(SVs)定义的ANSYS命令流为：

OPVAR，SVs，SV，[SVsmin]，[SVsmax]

其中[SVsmin]与[SVsmax]分别为状态变量的下限与上限。

本实例中所设计宽频响应带宽的中心频率约为20Hz，用于制作压电振子的压电材料和金属基板材料的许用应力如下表2所示。

表2.悬臂梁金属基板和压电材料的许用应力

材料	PVDF	磷青铜
			许用应力(MPa)	15	86.4

步骤8，选择优化分析方法，本实例中采用零阶方法(直接法)，指定优化循环控制方式，当优化循环达到设定的迭代次数时循环终止，最后完成分析，输出最优结果。下表为本实例所得到最优结果：

表3.二自由度振子的零部件结构尺寸和参数的优化结果

上表中振子的长度和宽度是根据允许外形尺寸预先确定数值的参数，属于自由设定的参数；其余带*号的参数中，形状系数、覆盖率可以设定(前者为0.8～0.2，后者为0.67～1.0)，也可以和其它不带*号的参数一起通过优化确定。不带*号的参数的取值范围和约束如表1所示。

优化分析完成之后，利用所得最优结果，再建立有限元模型进行谐振响应分析，图6(A)与图6(B)所示分别为本发明二自由度压电振子一阶振型示意图与二阶振型示意图，无论是处于一阶或二阶振动响应，悬臂梁压电振子(P₁、P₂)都沿垂直方向振动，从而压电振子在一阶或二阶振动时都能处于正常工作状态。当压电振子处于一阶振动响应时，其振动在同相位；而当压电振子处于二阶振动响应时，其振动相位相差半个周期。

如图7所示为本发明二自由度压电振子在加速度为2m/s²外部环境振动激励下的谐振响应曲线图，其中横坐标FREQ代表外部环境振动激励频率，单位为Hz；纵坐标DISP代表压电振子有质量块一端的振幅，单位为mm；压电振子P₁和P₂的谐振响应曲线分别用带圆形与三角形标识的线来表示，其一阶谐振频率与二阶谐振频率分别为20Hz与21.2Hz，在这两个谐振频率附近的较近较宽频率范围内(19.5Hz到21.6Hz)，压电振子P₁和P₂都可实现谐振响应，其响应宽度约为2.1Hz，而相同条件下，单自由度压电发电元件谐振响应宽度仅为0.8Hz。

本发明的优点可以通过下面的对比试验进一步说明：

现有技术中较多采用阵列式压电振子来实现频带扩展，即通过配置不同谐振频率的系列单自由度悬臂梁来实现能量采集器的频带扩展，当外界振动频率改变，其中的某个振子会处于谐振状态，但其他的则处于低响应或不响应状态。

采用阵列式单自由度双压电振子与本发明方法设计的二自由度压电振子进行比较分析，为了使对比更具有意义，双振子结构参数也已经过ANSYS结构优化设计，其约束条件与本发明方法设计的二自由度压电振子相同，其2个双压电振子谐振频率分别设定在20Hz与21Hz。优化后的阵列式双压电振子结构参数如表4所示。

表4.具有相同固有频率的阵列式单自由度双压电振子结构参数优化结果

图8所示为本发明方法设计的二自由度压电振子与阵列式双压电振子，在加速度为1m/s²的外部环境振动激励下的振子最大输出功率频谱曲线，其中横坐标FREQ代表外部环境振动激励频率，单位为Hz；纵坐标VALU表示输出功率，单位为百微瓦。从图中分析可得，阵列式双振子结构产生40微瓦以上功率的带宽约为1.8HZ(带三角形标识曲线所示)，而二自由度压电振子结构产生40微瓦以上功率的带宽约为2.6HZ(带圆形标识曲线所示)，而且对比分析谐振带宽内的输出功率谱密度，二自由度压电振子也远远高于阵列式双压电振子。从以上的对比分析进一步表明本发明方法是有效的。

关于将ANSYS有限元仿真分析工具软件应用于本发明的过程，具体说明如下：输入的参数包括两个悬臂梁的结构尺寸(长L、宽b、厚度h_P、h_pe的初始值、悬臂梁自由端与固定端宽度比系数c(取0.3)，压电材料上电极层的覆盖率r(取0.83)和材料的弹性模量E、压电常数、振子结构的阻尼系数，以及表1所示的对参数取值的约束范围。但是，对于关键命令和如何操作都属于ANSYS软件的具体操作，是按软件的常规使用方法进行的，不是请求保护的内容。ANSYS仿真所输出的结果为参数m₁，m₂，h_P1，h_P2，h_pe1，h_pe2，k₃的优化值和压电振子的一阶谐振频率ω₁、二阶谐振频率ω₂。

OBJ：maxP(V)

V＝[h_P1，h_P2，h_pe1，h_pe2，m₁，m₂，k₃]^T

其中P(V)＝P₁(V)+P₂(V)

$P_i\left(V\right)=\frac{\mathrm{\πf}}{192}\frac{E_m^2{g}_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}{(r^2-2r)}^2{h}_{\mathrm{pei}}^6{b}^2{y}_0^2{m}_i}{[2r-r^2(1-a)][h_{\mathrm{pei}}{S}_{11}^D{E}_m(g_{31}^2+S_{11}^D{\mathrm{\β}}_{33}^T)-6g_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}]{{\mathrm{\η}}_i}^2{L}^6{J}^3}$ (i＝1或2)

式中，π是圆周率，f为振源频率，E_m为材料的弹性模量，g₃₁为压电电压常数，r为电极覆盖率(r＝0.83)，b为悬臂梁固定端宽，a为悬臂梁自由端与固定端的宽度比(0＜a＜1，实施例中取a＝0.3)，y₀为压电振子固定端(基础)的输入激励振幅，

为压电材料沿悬臂梁长度方向上的柔度系数，

是垂直于梁表面方向的介电隔离率，η_i为振子悬臂梁结构的阻尼系数，J为一个与a相关的正数，J＝0.5(3a²-4a+1-2a²lna)(1-a)^-3，实施例中a＝0.3时，J＝0.418，i＝1指第一振子，i＝2指第二振子。

Claims (4)

1.一种实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，其特征在于，该二自由度压电振子包括两个单自由度悬臂梁压电振子，两个单自由度悬臂梁压电振子上下平行且固定于同一基座，每一个单自由度悬臂梁压电振子的自由端设有一个质量块，用弹簧连接两个质量块，实现2个单自由度悬臂梁压电振子的耦合，所述的设计方法包括以下步骤：

步骤1：以预期频带的上下限分别作为两个单自由度悬臂梁的固有频率初值，确定两个单自由度悬臂梁的弹性系数k₁、k₂以及两个单自由度悬臂梁压电振子的质量m₁、m₂；

步骤2：根据对二自由度振子的一阶和二阶谐振频率的预期比值确定连接弹簧的弹性系数k₃的初值；

步骤3：基于上述参数，建立二自由度压电振子的有限元模型，在频带和结构尺寸及材料特性的共同约束下，以输出功率最大为目标，调整振子的压电层厚、悬臂梁厚、质量块大小和连接弹簧的弹性系数这4种参数。

2.根据权利要求1所述的实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，其特征在于，步骤1的具体步骤为：

两个悬臂梁的弹性系数k₁、k₂通过计算，其中E为弹性模量，b为固定端宽度，k为弹性系数；h_P为悬臂梁基板厚度；L为悬臂梁长度；

两个质量块的质量通过

确定，其中m_i0为质量块的质量，m_i’为悬臂梁自身的质量，m_i0+0.23m_i’＝m_i为振子质量。

3.根据权利要求1所述的实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，其特征在于，步骤2的具体步骤为：

根据公式

以保持二自由度系统的一阶谐振频率ω₁和二阶谐振频率ω₂的预期比值为0.9为目标，确定连接两个单自由度振子质量块的弹簧的弹性系数k₃，式中，X＝m₁×m₂；Y＝(k₁+k₃)×m₂+(k₂+k₃)×m₁；Z＝k₁×k₂+k₁×k₃+k₂×k₃。

4.根据权利要求1所述的实现宽频响应的二自由度压电振子的设计方法，其特征在于，步骤3中，建立使用ANSYS软件进行仿真分析的二自由度压电振子有限元模型的过程为：

在ANSYS中，首先建立对应所述二自由度压电振子的(如图2)动力学模型： $\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{..}{y}}_1+(k_1+k_3)y_1-k_2{y}_2=0\\ m_2{\stackrel{..}{y}}_2=(k_2+k_3)y_2-k_2{y}_1=0\end{array}\right.;$ 在此基础上，对悬臂梁的金属基板设置2mm的网格精度并采用SOLID45单元进行网格划分，对压电层设置0.2mm网格精度并采用耦合场单元SOLID5进行网格划分，从而建立二自由度压电振子的网格模型；再将该网格模型中的固定端界面上各网格节点的位移、扰度和转角都设为零，将振子两个自由端的运动约束设置为垂直于悬臂梁表面的上下位移运动，最后得到加载了边界条件和自由度及压电耦合约束的振子的有限元物理模型；

约束条件包括：ω₁≥ω_min，ω₂≤ω_max，T_p≤[T_p]，T_pe≤[T_pe]，ω_min和ω_max分别是根据设计任务要求对压电振子系统谐振频率下限和上限的设定值；以及对应于所选材料及最大外形尺寸的参数取值范围；

其中金属基板最大允许应力[T_p]以及压电层最大允许应力[T_pe]是所选金属材料和压电材料的特性参数值；

目标函数为OBJ：maxP(V)，其中V＝[h_P1，h_pe1，h_P2，h_pe2，m₁，m₂，k₃]^T是参数变量，P(V)＝P₁(V)+P₂(V)， $P_i\left(V\right)=\frac{\mathrm{\πf}}{192}\frac{E_m^2{g}_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}{(r^2-2r)}^2{h}_{\mathrm{pei}}^6{b}^2{y}_0^2{m}_i}{[2r-r^2(1-a)][h_{\mathrm{pei}}{S}_{11}^D{E}_m(g_{31}^2+S_{11}^D{\mathrm{\β}}_{33}^T)-6g_{31}^2{h}_{\mathrm{Pi}}]{{\mathrm{\η}}_i}^2{L}^6{J}^3},$ i＝1或2，

式中，π是圆周率，f为振源频率，E_m为材料的弹性模量，g₃₁为压电电压常数，r为压电材料上的电极层覆盖率，b为悬臂梁固定端宽，a为悬臂梁自由端与固定端的宽度比，y₀为压电振子固定端的输入激励振幅，

为压电材料沿悬臂梁长度方向上的柔度系数，

是垂直两表面方向的介电隔离率，η_i为振子悬臂梁结构的阻尼系数，J为一个与a相关的正数，J＝0.5(3a²-4a+1-2a²lna)(1-a)^-3，i＝1指第一振子，i＝2指第二振子；由ANSYS软件优化得出的结果为：

两个悬臂梁的基板厚度h_P1，h_P2，压电层厚度h_pe1，h_pe2，第一振子和第二振子的质量m₁、m₂，连接弹簧的弹性系数k₃；

根据h_P1，h_P2和所选悬臂梁材料的弹性模量E、材料密度ρ以及长度L、宽度b和h_Pi，分别得到

两个质量块的质量m₁₀＝m₁-0.23ρLbh_P1，m₂₀＝m₂-0.23ρLbh_P2；ANSYS模态分析得到振子的一阶谐振频率ω₁与二阶谐振频率ω₂。

Images