CN102305612A - 一种位移/挠度测量系统与方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种位移/挠度测量系统，其包括：倾角传感器，布置于待测的结构或构件上采集所在测点的倾角值，且第一个布置的倾角传感器所在的测点作为基准点；数据采集装置，采集各倾角传感器量测的各测点的倾角值，并对采集的倾角值进行调理；数据发送装置，将调理后的倾角值发送给数据分析装置；数据分析装置，根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的位置信息，计算位移函数，获得位移/挠度情况。本发明还公开了一种位移/挠度测量方法。本发明对测量范围内梁式结构边界条件没有任何限制，且可精确的测量出被测结构或构件的位移/挠度。

Description

一种位移/挠度测量系统与方法

技术领域

本发明属于土木工程结构性态检测与监测技术领域，涉及一种位移/挠度测量系统与方法。

背景技术

位移测试对土木工程结构的性态检测与监测具有重大意义。位移是反映结构力学性态的重要参数，也是有关规范和标准为结构安全考虑制定限值的一个关键指标。例如，桥梁结构中可以通过对主梁挠度的测量来判断桥梁主体结构的安全状况；管道结构中可以通过对管体位移的测量来评估管道的服役性能；房屋结构中可以通过对梁板挠度、柱倾斜度的测量来分析构件或结构的力学性态进而评估其安全性能等等。

传统的位移测试方法主要包括百分表法(千分表)、位移计法、全站仪法、激光法、连通管法及GPS法。

(1)百分表法(千分表)可以实现对结构位移/挠度值的直接测量，测量结果精度高、可靠性好，但是该方法在应用时通常都需要配合使用磁性表座有时也需要搭设脚架，这些准备工作十分耗时，并且数据的读取和记录都需要人工操作，很难应用在监测领域。

(2)位移计法虽然测量结果精度较高，但是该方法在测量时通常需要有一个基准面，以测量测点与基准面之间的相对位移，然而这个基准面在实际中很难满足，即使能满足，在测点的选择上也可能增添很多限制。

(3)全站仪法是工程中经常采用的一种变形测试方法，该方法测量结果可靠度好，精度高，但是由于该方法的应用都需要人为的操作，测量一次周期长，尤其对于测量段长、测点较多的情况，耗时耗力。

(4)激光法是一种利用激光良好方向性的位移测试方法，该方法在应用中的一个很大缺陷就是在激光源与测点之间不能有障碍物，这对传感器在测点的布置、选择上增添了限制条件。

(5)连通管法主要是利用物理学上“连通器中处于水平平面上的静止液体的压强相同”的原理，在应用时选材方便，只需软管、水、卷尺即可，但是测量结果的精度较低，并且软管中液体容易受温度影响。

(6)GPS法测量结果精度较高，但是采用该方法进行监测时成本很高，比较适用于测点较少的情况。

此外，上述位移测试方法通常只适用于定期的人工检测，而要发展成为有效、便捷的实时监测手段将面临诸多技术和经济上的困难。因此，开发一种测点布置便捷、测试速度快、测量精度高的位移/挠度测量手段具有重要的工程应用价值。

发明内容

本发明的目的在于提供一种位移/挠度测量系统与方法，通过多点倾角测量，获得结构或构件整个测试区域内的位移/挠度值，特别适用于边界条件不确定及外部荷载未知情况下的结构或构件位移/挠度识别。

为达到以上目的，本发明所采用的解决方案是：

一种位移/挠度测量系统，其包括：

倾角传感器，布置于待测的结构或构件上采集所在测点的倾角值，且第一个布置的倾角传感器所在的测点作为基准点；

数据采集装置，采集各倾角传感器量测的各测点的倾角值，并对采集的倾角值进行调理；

数据发送装置，将调理后的倾角值发送给数据分析装置；

数据分析装置，根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的位置信息，计算位移函数，获得位移/挠度情况。

进一步，所述倾角传感器可采用无线倾角传感器，包括液体摆式倾角传感器、振弦式倾角传感器或电容式倾角传感器。

所述倾角传感器的最佳设置数量为7个。

所述基准点选在位移为零或受外部荷载扰动较小的测点。

所述计算位移函数，具体包括以下步骤：

1)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的坐标信息，以基准点处为坐标零点，得到各测点数据(x_0，θ₀)、(x₁，θ₁)、...、(x_i，θ_i)、...、(x_n，θ_n)，其中，x为测点的位置坐标值，θ为测点的倾角值，i(0≤i≤n)表示数据点在总体数据的位置；

2)采用具有二阶连续的三次样条函数来进行倾角函数的插值计算，假设(x_i-1，θ_i-1)、(x_i，θ_i)两测点之间的插值函数为S_i(x)，插值函数S(x)在整个测量区间内连续，且满足一阶、二阶导数连续，同时在测点处的插值等于测点值，计算出插值函数S(x)；

3)以基准点的位移值为已知条件，对插值函数S(x)积分得出位移函数y(x)。

一种位移/挠度测量方法，其包括以下步骤：

1)倾角传感器采集其所在测点的倾角值，且第一个布置的倾角传感器所在的测点作为基准点；

2)采集各倾角传感器量测的各测点的倾角值，并对采集的倾角值进行调理；

3)将调理后的倾角值发送给数据分析装置；

4)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的位置信息，计算位移函数，获得位移/挠度情况。

进一步，所述倾角传感器可采用无线倾角传感器，包括液体摆式倾角传感器、振弦式倾角传感器或电容式倾角传感器。

所述倾角传感器的最佳设置数量为7个。

所述基准点选在位移为零或受外部荷载扰动较小的测点。

所述计算位移函数，具体包括以下步骤：

1)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的坐标信息，以基准点处为坐标零点，得到各测点数据(x₀，θ₀)、(x₁，θ₁)、...、(x_i，θ_i)、...、(x_n，θ_n)，其中，x为测点的位置坐标值，θ为测点的倾角值，i(0≤i≤n)表示数据点在总体数据的位置；

2)采用具有二阶连续的三次样条函数来进行倾角函数的插值计算，假设(x_i-1，θ_i-1)、(x_i，θ_i)两测点之间的插值函数为S_i(x)，插值函数S(x)在整个测量区间内连续，且满足一阶、二阶导数连续，同时在测点处的插值等于测点值，计算出插值函数S(x)；

3)以基准点的位移值为已知条件，对插值函数S(x)积分得出位移函数y(x)。

由于采用了上述方案，本发明具有以下特点：

(1)测量数据能够实现数字化采集。与传统位移测试需要人工进行数据读取和记录不同，采用无线倾角传感器测量时可以实现数据的数字化采集，这为数据的传输做好了准备，同时也避免了人工操作的麻烦和可能引入的测量误差。

(2)传感器节点能够自由组成无线传感器网络，实现数据的长距离无线传输。单个传感器节点的无线传输距离实际是有限的，但是如果将多个传感器节点进行相关联，就可以组成一个无线传感器网络，这就使得传感器数据的无线长距离传输成为了可能。

(3)增减传感器节点对无线传感网络没有影响。在使用过程中任意增加或是撤除传感器节点对无线传感网络不会造成影响，传感器节点会自动重新组合网络，保证的数据的有效传输。

(4)该方法对测量范围内梁式结构边界条件没有任何限制，这为测量段的选择提供了很大的自由性，只需在所关心的区域进行测试即可。

(5)该方法可以在仅已知传感器之间的相对位置时实施，这个特点为传感器在现场的布置提供很大的便利。

附图说明

图1是本发明计算位移函数的流程图。

图2是本发明装置的结构示意图。

具体实施方式

以下结合附图所示实施例对本发明作进一步的说明。

基本原理说明：

由静力学关系可知，梁的绕曲线的曲率表达式为：

$\frac{d^{2}y}{{\mathrm{dx}}^2}=-\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}}---\left(1.1\right)$

式中：x为梁上点的位置坐标值；y为梁上每一点的位移值；M(x)为坐标x处的弯矩值；E为梁材料的弹性模量；I为梁截面的惯性矩。

通过对上述公式进行积分得到倾角函数

为：

$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\∫-\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}}\mathrm{dx}---\left(1.2\right)$

继续对倾角函数进行积分便能够得出结构/构件的位移函数值：

$y\left(x\right)=\∫\∫-\frac{M\left(x\right)}{\mathrm{EI}}\mathrm{dxdx}---\left(1.3\right)$

因此如果在知道倾角函数值的情况下，通过对倾角函数的积分便能够得出位移/挠度值。而结构/构件在常见荷载作下倾角函数都具有一定的规律，下面给出说明：

对于某一测量段，可能受的荷载形式有全长均布荷载、端部弯矩荷载、集中力荷载、局部线荷载、三角形荷载、支座移动，如果将测量段看作一简支梁进行计算时，真实的受力情况只有可能是上述六种荷载情况的组合。

很容易通过计算可以发现，简支梁在全长均布荷载作用下，倾角函数最高为三次多项式；在端部弯矩荷载作用下，倾角函数最高为二次多项式；在集中力荷载作用下，倾角函数为分段形式，最高为二次多项式；在局部线荷载作用下，倾角函数为分段形式，最高为三次多项式；在三角形荷载作用下，倾角函数为四次多项式；在支座位移荷载作用下，倾角函数为一常数。

因此，从上述六种荷载作用下的简支梁倾角函数可以发现，倾角函数均为低次多项式，但是有可能是分段函数的形式，而且在整个测量段上倾角函数连续，它的一阶导数也连续。并且由于考虑了端部的弯矩荷载和支座位移荷载，所以该方法对支座的边界条件实际没有要求。

通过在测量段上设置的倾角传感器可以实现对个别点处倾角值的测量，要想通过这些个别点倾角值获得整个长度范围内倾角值的分布情况则需要采用插值计算方法。但是采取常用的多项式插值时可能会引起“龙格效应”，因此根据上述倾角函数的规律，可以采用具有二阶连续的分段低次插值进行计算，即选择具有二阶连续的三次样条函数。

具有二阶连续的三次样条函数定义如下：

对于给定函数表

其中a＝x₀＜x₁＜…＜x_n＝b，若函数S(x)满足条件：

①在每个子区间[x_i-1，x_i](i＝1，2，...，n)上是不高于三次的多项式；

②S(x)，S’(x)，S”(x)在[a，b]上连续；

③满足插值条件S(x_i)＝y_i(i＝1，2，...，n)则称S(x)为函数关于节点x₀，x₁…x_n的三次样条插值。

事实上，单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。由条件①可知，三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式，若用S(x)表示它在第i个子区间[x_i-1，x_i]上的表达式，则形如：

                S(x)＝a_i0+a_i1x+a_i2x²+a_i3x³，x∈[x_i-1，x_i]

表达式中有四个待定系数a_ij(j＝0，1，2，3)。子区间共有n个，确定S(x)需要确定4n个待定系数。

另一方面，要求分段三次多项式S(x)及其导数S’(x)，S”(x)在整个插值区间[a，b]上连续，只要在各子区间的端点x_i(i＝1，2，...，n-1)连续即可。

所以由条件②、③可得待定系数应满足的4n-2个方程为：

由此可以看出，要确定待定系数还缺少两个条件，这两个条件通常在插值区间[a，b]的边界点a，b处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：

(1)给定一阶导数值S’(x₀)＝y’₀，S’(x_n)＝y’_n

(2)给定二阶导数值S”(x₀)＝y”₀，S”(x_n)＝y”_n

当f(x)是周期为b-a的函数时，则要求S(x)及其导数都是以b-a为周期的函数，相应的边界条件为：

                    S’(x₀+0)＝S’(x₀-0)；S”(x₀+0)＝S”(x₀-0)

但是本发明在边界条件的选取上，采取规定与第一个断点相连的多项式和后面相邻的多项式的三阶导数相同，与最后一个断点相连的多项式和前面相邻的多项式的三阶导数相同。这一规定物理意义在于规定在最前面两个测区内荷载的大小相同，在最后两个测区内荷载的大小也相同，这样的规定在实际应用是很容易实现的，相比其它的限制条件这个规定更实际。

因此通过上述的三次样条函数便能够计算出相应的倾角分布，以参考传感器位置值为零或是某一固定值作为已知条件，通过积分计算便能够得出在整个测量范围内的位移/挠度情况。

本发明提出了一种通过无线倾角传感器技术来获得结构或构件，特别是边界条件不确定及外部荷载未知情况下的结构或构件位移/挠度测量方法。该方法由倾角传感器、传感器数据采集(调理)发送模块以及数据处理系统三部分组成，系统硬件结构示意图见图2。具体步骤说明如下：

(1)传感器选择与布置：在需要测量的结构/构件上布置传感器。传感器的选择可以是任何常规的或新型的倾角传感器都可以采用，如液体摆式倾角传感器、振弦式倾角传感器、电容式倾角传感器等等(建议还是用无线倾角传感器)。考虑计算结果的误差，传感器的设置数量最优为7个，传感器的间距可以不是等间距。

由于计算需要测量段位移的一个基准点，基准点一般选为第一个传感器的布置点，基准点最好选在位移为零或是受外部荷载扰动较小的测点。

(2)传感器数据采集(调理)、发送模块：安装的倾角传感器可以通过数据采集器实现数据的数字化采集和调理，每个传感器节点可以配合无线发射装置，将多个传感器组成无线传感网络，每个传感器的数据都可以通过无线传感网络进行长距离传输。通过无线接受装置可以实现数据的接收，数据存储在数据库(通常采用计算机)中。

(3)数据分析：接收到测点处的倾角值后，配合测点的坐标信息(以基准点处为坐标零点)，可以得到一组数据(x₀，θ₀)、(x₁，θ₁)、...、(x_i，θ_i)、...、(x_n，θ_n)，x为数据点的位置坐标值，也就是传感器的安装坐标，它的数值可以在安装完毕后通过测量获得，θ为倾角值，i(0≤i≤n)表示数据点在总体数据的位置。具体数据处理流程图见图1，采用具有二阶连续的三次样条函数来进行倾角函数的插值计算，假设(x_i-1，θ_i-1)、(x_i，θ_i)两测点之间的插值函数为S_i(x)，插值函数S(x)在整个测量区间内连续，且满足一阶、二阶导数连续，同时在测点处的插值等于测点值，将上述限制条件写成公式如下：

要解出方程还需要另外两个条件：S₁”’(x)＝S₂”’(x)，S_n-1”’(x)＝S_n”’(x)。

在解上述方程组时，可以采用假设在节点x_i处的二阶导数为：

                         S″(x_i)＝M_i  (i＝0，1，2，...，n)    (1.5)

M_i为一常数，它表示坐标为x_i处插值函数的二次导数值。因为S(x)为三次多项式，在子区间[x_i-1，x_i]上的二阶导数为线性函数，那么则有如下公式：

$\begin{array}{cc}{s}^{\′\′}\left(x\right)=M_{i-1}\frac{x-x_i}{x_{i-1}-x_i}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}& x\∈[x_{i-1},x_i]\end{array}---\left(1.6\right)$

记h_i＝x_i-x_i-1，则有：

$\begin{array}{cc}{s}_i^{\′\′}\left(x\right)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{h_i}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{h_i}& x\∈[x_{i-1},x_i]\end{array}---(1.7)$

上式中S_i(x)表示S(x)在第i段内(即[x_i-1，x_i]范围内)的表达式形式；

对式1.7进行积分可以得到：

$\begin{array}{cc}{s}_i\left(x\right)=M_{i-1}\frac{{(x_i-x)}^2}{{6h}_i}+M_i\frac{{\left({x-x}_{i-1}\right)}^2}{{6h}_i}+A_i(x-x_{i-1})+B_i& x\∈[x_{i-1},x_i]\end{array}---\left(1.8\right)$

其中A_i，B_i为积分常数。利用插值条件S_i(x_i-1)＝θ_i-1，S_i(x_i)＝θ_i，可以求得：

$A_i=\frac{{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_{i-1}}{h_i}-\frac{1}{6}(M_i-M_{i-1})h_i---\left(1.9\right)$

$B_i={\mathrm{\θ}}_{i-1}-\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2---\left(1.10\right)$

带入上式1.8可得：

$s_i\left(x\right)=M_{i-1}\frac{{(x_i-x)}^2}{{6h}_i}+M_i\frac{{(x-x_{i-1})}^2}{{6h}_i}+({\mathrm{\θ}}_{i-1}-\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2)\frac{x_i-x}{h_i}+({\mathrm{\θ}}_i$

$\begin{array}{cc}-\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2)\frac{x-x_i}{h_i}& x\∈[x_{i-1},x_i]\end{array}---\left(1.11\right)$

综上所述，只要确定M_i(i＝0，1，...，n)，这n+1个值，就可以定出所有的样条函数插值。

由于S_i’(x_i-0)＝S’_i+1(x_i+0)，得出：

$s_i^{\′}\left(x\right)=-M_{i-1}\frac{{(x_i-x)}^2}{{2h}_i}+M_i\frac{{(x-x_{i-1})}^2}{{2h}_i}+A_i\left(x\right)---\left(1.12\right)$

所以：

$s_i^{\′}(x_i-0)=\frac{{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_{i-1}}{h_i}+\frac{1}{6}{h}_i{M}_{i-1}+\frac{1}{3}{h}_i{M}_i---\left(1.13\right)$

$s_{i+1}^{\′}(x_i+0)=\frac{{\mathrm{\θ}}_{i+1}-{\mathrm{\θ}}_i}{h_{i+1}}-\frac{1}{6}{h}_{i+1}{M}_{i+1}-\frac{1}{3}{h}_{i+1}{M}_i---\left(1.14\right)$

整理后可以得到：

$\frac{1}{6}{h}_i{M}_{i-1}+\frac{1}{3}(h_i+h_{i+1})M_i+\frac{1}{6}{h}_{i+1}{M}_{i+1}=\frac{{\mathrm{\θ}}_{i+1}-{\mathrm{\θ}}_i}{h_{i+1}}-\frac{{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_{i-1}}{h_i}---\left(1.15\right)$

等式两边同乘以得到方程组：

$\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}{m}_{i-1}+2M_i+\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}{M}_{i+1}=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}(\frac{{\mathrm{\θ}}_{i+1}-{\mathrm{\θ}}_i}{h_{i+1}}-\frac{{\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_{i-1}}{h_i})$ (i

＝1，2，...，n-1)(1.16)

记：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\μ}}_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}},{\mathrm{\λ}}_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-{\mathrm{\μ}}_i\\ g_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f\right[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i\left]\right)\\ i=\mathrm{1,2},...,n-1\end{array}\right.---\left(1.17\right)$

那么上述方程组可以简写成：

                μ_iM_i-1+2M_i+λ_iM_i+1＝g_i  (i＝1，2，...，n-1)    (1.18)

上述方程组含有n+1个未知数，但是只有n-1个方程，在加入上述额外的两个条件为：S₁”’(x)＝S₂”’(x)，S_n-1”’(x)＝S_n”’(x)

因为S_i”’(x)为常数，所以上式可以写成：

λ₁M₀-M₁+μ₁M₂＝0，λ_n-1M_n-2-M_n-1+μ_n-1M_n＝0    (1.19)

将上述所有方程组写成矩阵形式为：

通过方程组1.20能够解出M₀、M₁、...、M_n，带入公式111就能解出插值函数S(x)。

通过该插值函数可以知道倾角值在整个测量长度方向上的分布，以基准点的位移值为已知条件，对S(x)积分就能得出位移函数y(x)，具体表述如下：

$y\left(x\right)={\∫}_0^{x}s\left(x\right)\mathrm{dx}+y\left(0\right)---\left(1.21\right)$

式中y(0)为基准点的位移值，由于一般基准点取在位移较小点处、或是支座处，可以近似认为y(0)为零。

从位移数据中找到位移绝对值最大的点ymax，当ymax超过预设的位移限值max时则发出报警，同时输出位移最大点的坐标。

上述的对实施例的描述是为便于该技术领域的普通技术人员能理解和应用本发明。熟悉本领域技术的人员显然可以容易地对这些实施例做出各种修改，并把在此说明的一般原理应用到其他实施例中而不必经过创造性的劳动。因此，本发明不限于这里的实施例，本领域技术人员根据本发明的揭示，不脱离本发明的范畴所做出的改进和修改都应该在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种位移/挠度测量系统，其特征在于：其包括：

倾角传感器，布置于待测的结构或构件上采集所在测点的倾角值，且第一个布置的倾角传感器所在的测点作为基准点；

数据采集装置，采集各倾角传感器量测的各测点的倾角值，并对采集的倾角值进行调理；

数据发送装置，将调理后的倾角值发送给数据分析装置；

数据分析装置，根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的位置信息，计算位移函数，获得位移/挠度情况。

2.如权利要求1所述的位移/挠度测量系统，其特征在于：所述倾角传感器采用无线倾角传感器，包括液体摆式倾角传感器、振弦式倾角传感器或电容式倾角传感器。

3.如权利要求1所述的位移/挠度测量系统，其特征在于：所述倾角传感器的最佳设置数量为7个。

4.如权利要求1所述的位移/挠度测量系统，其特征在于：所述基准点选在位移为零或受外部荷载扰动较小的测点。

5.如权利要求1所述的位移/挠度测量系统，其特征在于：所述计算位移函数，具体包括以下步骤：

1)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的坐标信息，以基准点处为坐标零点，得到各测点数据(x₀，θ₀)、(x₁，θ₁)、...、(x_i，θ_i)、...、(x_n，θ_n)，其中，x为测点的位置坐标值，θ为测点的倾角值，i表示数据点在总体数据的位置，0≤i≤n；

2)采用具有二阶连续的三次样条函数来进行倾角函数的插值计算，假设(x_i-1，θ_i-1)、(x_i，θ_i)两测点之间的插值函数为S_i(x)，插值函数S(x)在整个测量区间内连续，且满足一阶、二阶导数连续，同时在测点处的插值等于测点值，计算出插值函数S(x)；

3)以基准点的位移值为已知条件，对插值函数S(x)积分得出位移函数y(x)。

6.一种位移/挠度测量方法，其特征在于：其包括以下步骤：

1)倾角传感器采集其所在测点的倾角值，且第一个布置的倾角传感器所在的测点作为基准点；

2)采集各倾角传感器量测的各测点的倾角值，并对采集的倾角值进行调理；

3)将调理后的倾角值发送给数据分析装置；

4)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的位置信息，计算位移函数，获得位移/挠度情况。

7.如权利要求6所述的位移/挠度测量方法，其特征在于：所述倾角传感器采用无线倾角传感器，包括液体摆式倾角传感器、振弦式倾角传感器或电容式倾角传感器。

8.如权利要求6所述的位移/挠度测量方法，其特征在于：所述倾角传感器的最佳设置数量为7个。

9.如权利要求6所述的位移/挠度测量方法，其特征在于：所述基准点选在位移为零或受外部荷载扰动较小的测点。

10.如权利要求6所述的位移/挠度测量方法，其特征在于：所述计算位移函数，具体包括以下步骤：

1)根据接收到的倾角值，并配合各测点相对于基准点的坐标信息，以基准点处为坐标零点，得到各测点数据(x₀，θ₀)、(x₁，θ₁)、...、(x_i，θ_i)、...、(x_n，θ_n)，其中，x为测点的位置坐标值，θ为测点的倾角值，i表示数据点在总体数据的位置，0≤i≤n；

2)采用具有二阶连续的三次样条函数来进行倾角函数的插值计算，假设(x_i-1，θ_i-1)、(x_i，θ_i)两测点之间的插值函数为S_i(x)，插值函数S(x)在整个测量区间内连续，且满足一阶、二阶导数连续，同时在测点处的插值等于测点值，计算出插值函数S(x)；

3)以基准点的位移值为已知条件，对插值函数S(x)积分得出位移函数y(x)。

Images