CN102255769A - 基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法 - Google Patents

Abstract

一种基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法，包括：(1)二项式级联，设定每一层保持原始尺度不变，对每个分割出来的区间再进行同样的分割，直到第N层；(2)乘数分布估计，给定第N层的数据i＝1＝1，...，2^N，时间分辨率为2^-N，第(N-1)层的数据通过聚合第N层连续非重合的相邻两个数据得到；对聚合的每一层数据进行乘数分布估计，得出乘数分布参数；(3)从初始值开始，在第j层，产生服从S(α，β，γ，δ)分布的随机数，用聚合的数据乘以随机乘数得到网络流量多分形模型。本发明提供一种有效表述流量多尺度行为、简化计算复杂度的基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法。

Description

基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法

技术领域

本发明涉及网络流量数据建模领域，尤其是一种基于级联过程的网络流量多分形模型的建立方法。

背景技术

随着网络业务的飞速发展和网络带宽的迅速增加，网络变得越来越复杂，呈现非高斯、非平稳、多尺度和重尾分布等诸多特性。研究人员发现，实际网络流量序列具有自相似特性。为了能更好地管理和维护网络，就需要用有效的措施提取网络性能参数，从而对网络性能进行分析理解，优化网络配置，发现潜在的威胁。网络流量模型是进行网络性能评价，认识和分析网络行为及其变化规律的基础。各种基于自相似长相关理论和单分形理论的网络流量模型已得到充分研究，比较经典的模型有，ON/OFF模型、分形布朗运动(FBM)、分形高斯噪声(FGN)模型、分形自回归(FARIMA)模型以及alpha-stable模型等。

现有模型也能够较好地拟合测量所得网络流量的长相关性和突发性。但流量过程在小时间尺度上呈现出明显不同的局部奇异特性，无法用长相关性来描述。而Willinger等人的研究表明，宽带网络流量数据存在更加复杂的多分形尺度行为，从而使得单分形模型不能够充分描述宽带网络流量。

多分形乘数级联作为一种可行的多分形分析方法而被提出，利用乘数级联过程建立网络流量模型是一项相对比较新的领域。Riedi等人的多分形小波模型(MWM)，以及Krishna等人提出的可变方差高斯乘数(V.V.G.M)模型就是基于乘数级联过程的宽带流量多分形模型。乘数级联过程具有很好的网络物理意义、分析简单，但基于小波分析的MWM模型计算量大、复杂，而V.V.G.M对于非高斯(特别是重尾信号)信号的描述无法达到要求。

发明内容

为了克服已有网络流量多分形模型的无法充分表述流量复杂的尺度行为、计算复杂的不足，本发明提供一种有效表述流量多尺度行为、简化计算复杂度的基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法，所述建立方法包括：

(1)二项式级联，设定每一层保持原始尺度不变，对每个分割出来的区间再进行同样的分割，直到第N层，第j层的随机乘数r_ji，j＝1，...，N，i＝1，...，2^j是服从概率分布0≤r_j≤1的随机变量，若

是关于

对称的，那么r_ji和1-r_ji具有相同的概率分布，

(i＝1，...，2^N)表示级联结构的第N层序列，

的每一个点表示为几个随机变量的乘积μ_i＝m₁m₂...m_N，这里m_j，(j＝1，...，N)表示第j层的随机乘数；

(2)乘数分布估计，给定第N层的数据i＝1，...，2^N，时间分辨率为2^-N，第(N-1)层的数据通过聚合第N层连续非重合的相邻两个数据得到；同样地，给定第(N-j)层的数据

i＝1，...，2^N-j，叠加第(N-j)层非重合相邻两个数据得到(N-j-1)层的数据，表示为，

$X_i^{N-j-1}=X_{2i-1}^{N-j}+X_{2i}^{N-j},i=1,...,2^{N-j-1}---\left(1\right)$

当聚合成一个最粗糙尺度的点时，停止聚合步骤；

从j层到j+1层的乘数估计由下式得到，

${{\hat{r}}_j}^{\left(i\right)}=\frac{X_{2i-1}^{N-j}}{X_i^{N-j-1}}---\left(2\right)$

把

看做乘数分布

在第j层的采样，j层上的乘数分布从

的概率分布图中得到；

对聚合的每一层数据进行乘数分布估计，得出乘数分布参数；

(3)alpha-stable分布是一个四个参数的分布，它的特征函数表示为S(α，β，γ，δ)，其中，β＝0.00，γ＝0.05，δ＝0.50，特征指数α每一层都是变化的，特征指数α与层数j之间的变化规律形成拟合曲线；

从初始值开始，在第j层，产生服从S(α，β，γ，δ)分布的随机数，用聚合的数据乘以随机乘数得到网络流量多分形模型。

本发明的有益效果主要表现在：有效表述流量多尺度行为、简化计算复杂度。

附图说明

图1为本发明的二项式级联过程图。

图2为本发明的第2和3层之间的原始数据乘数分布图。

图3为本发明的第3和4层之间的原始数据乘数分布图。

图4为本发明的第2和3层之间的乘数分布拟合图。

图5为本发明的第3和4层之间的乘数分布拟合图。

图6为本发明所估计的alpha-stable的特征指数图。

图7为本发明用对数提取的流量数据0224的分割函数图。

图8为本发明流量数据0224的多分形频谱图。

图9为本发明用对数提取的聚合数据的分割函数图。

图10为本发明的原始数据和聚合数据的τ(q)图。

图11为本发明的原始数据和聚合数据的多分形频谱图。

图12为本发明原始数据和聚合数据的的一阶矩图。

图13为本发明原始数据和聚合数据的的二阶矩图。

图14为本发明原始数据和聚合数据的的三阶矩图。

图15为本发明原始数据和聚合数据的的四阶矩图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图15，一种基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法分为二项式级联的建立以及乘数分布的估计：

(1)二项式级联，其构建是个分割过程。假定有一个单位尺度[0，1]，将其用来自一个给定分布的r₁₁，1-r₁₁∈[0，1]随机乘数分割成两部分。第二层，用来自另一个给定分布的r₂₁，1-r₂₁∈[0，1]和r₂₂，1-r₂₂∈[0，1]随机乘数分别对第一层分割的两个子区间进行同样的分割。假设每一层保持原始尺度不变，对每个分割出来的区间再进行同样的分割，直到第N层。第j层的随机乘数r_ji，j＝1，...，N，i＝1，...，2^j是服从概率分布

0≤r_j≤1的随机变量。若

是关于

对称的，那么r_ji和1-r_ji具有相同的概率分布。让

(i＝1，...，2^N)表示级联结构的第N层序列，

的每一个点可以表示为几个随机变量的乘积μ_i＝m₁m₂...m_N，这里m_j，(j＝1，...，N)表示第j层的随机乘数。分割过程如附图1所示。

(2)乘数分布估计。给定第N层的数据，

(1＝1，...，2^N)(时间分辨率为2^-N)，那么第(N-1)层的数据可以通过聚合第N层连续非重合的相邻两个数据得到。同样地，给定第(N-j)层的数据，

(1＝1，...，2^N-j)，我们可以分别叠加第(N-j)层非重合相邻两个数据得到(N-j-1)层的数据(具有更低的分辨率2^-(N-j-1))，表示为，

$X_i^{N-j-1}=X_{2i-1}^{N-j}+X_{2i}^{N-j},i=1,...,2^{N-j-1}---\left(1\right)$

当聚合成一个最粗糙尺度(分辨率最低)的点时，停止聚合步骤。从j层到j+1层的乘数估计可以由下式得到，

${{\hat{r}}_j}^{\left(i\right)}=\frac{X_{2i-1}^{N-j}}{X_i^{N-j-1}}---\left(2\right)$

我们把

看做乘数分布

在第j层的采样。j层上的乘数分布可以从

的概率分布图中得到。以下是对德雷克赛尔大学于2003年2月24日采集的流量数据(名为0224，以500毫秒为时间单位的到达报流量，取前2¹⁶个时间单位)的乘数估计。

依照上述方法，将数据看成是级联过程第16层的数据。对提出的数据根据二项式级联逆过程聚合得到每一层的乘数，做出原始数据的乘数分布图如图2和图3(典型的两幅乘数分布图)。观察原始数据的概率分布图形，我们选择与之图形接近的高斯分布和对称alpha-stable分布来进行拟合。

alpha-stable分布是一个四个参数的分布，它的特征函数表示为S(α，β，γ，δ)。α∈(0，2]表示特征指数，描述分布的尾特征；β∈[-1，1]表示偏斜因子，确定分布斜度的对称；γ＞0表示尺度参数，相当于高斯分布中的方差；δ∈R表示分布的位置参数。当α＝2时，alpha-stable分布与均值为δ的高斯分布相同；当α＝1，β＝0时，alpha-stable分布退化为柯西分布；当时，分布服从Levy分布。由于以上三个异常的例子，alpha-stable分布不存在闭式概率密度函数(PDF)，一般用特征函数表示，其形式如下，

$\mathrm{Eexpi\θX}=\left\{\begin{array}{ccc}\exp \{-{\mathrm{\γ}}^{\mathrm{\α}}{\left|\mathrm{\θ}\right|}^{\mathrm{\α}}(1-\mathrm{i\β}\left(\mathrm{sign\θ}\right)\tan \frac{\mathrm{\π\α}}{2}+\mathrm{i\δ\θ})\}& \mathrm{if}& \mathrm{\α}\≠1\\ \exp \{-\mathrm{\γ}|\mathrm{\θ}|(1+\mathrm{i\β}\left(\mathrm{sign\θ}\right)\ln |\mathrm{\θ}\left|\right)+\mathrm{i\δ\θ}\}& \mathrm{if}& \mathrm{\α}=1\end{array}\right.---\left(3\right)$

这里 $\mathrm{sign\&theta;}=\left\{\begin{array}{ccc}1& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}>0\\ 0& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}=0\\ -1& \mathrm{if}& \mathrm{\&theta;}<0\end{array}\right..$

用分位数法对每一层的聚合数据进行alpha-stable分布参数估计，得到参数：偏斜因子β，尺度参数γ，位置参数δ的估计值，它们的值变化细微，故取均值分别为：β＝0.00，γ＝0.05，＝0.50。β＝0.00和δ＝0.50意味着alpha-stable分布关于

对称，正符合了二项式级联的乘数分布要求。而alpha-stable分布的特征指数α每一层都是变化的，变化如图6，拟合曲线是一条直线，那么根据最小二乘法拟合，特征指数方程表示为，

α＝1.36+0.03*j(j＝1，...，16)            (4)

对(3)式做傅里叶变换可以得到概率密度函数。除了以上描述的三种情况外，很难得到封闭的alpha-stable概率分布函数，这里采用MATLAB的QUADV(量化积分)函数进行计算，画出alpha-stable概率分布函数如图4和图5。从图中可以看出相较于高斯分布，用alpha-stable分布作为乘数分布比较适合。

综上所述，我们可以从最粗糙的聚合值开始，将它与选自可变特征指数的alpha-stable分布随机数相乘，最终得到第N层的数据。

本实施例针对流量数据0224的建立过程包括：将原始数据根据二项式级联逆过程聚合直至到一个最初始的值；然后分别对聚合的每一层的数据进行乘数分布估计，得出乘数分布参数；从初始值开始，在第j层，产生服从S(1.36+0.03*j，0.00，0.05，0.50)分布的随机数，用聚合的数据乘以随机乘数最终得到乘数级联模型。

为了说明所得模型具有与原始数据相同的多分形特性，实施方式如下：

对于检验网络流量数据的多分形，一个关键参数是多分形谱f(ε)，我们使用矩估计的方法来估算。假设随机数

是乘数估计量在间隔[0，1]，尺度1/2^N上的采样。

一个中间参数为分割函数(partition function)，定义如下，

${\mathrm{\&chi;}}_m^X\left(q\right):=\underset{k=1}{\overset{N/m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\stackrel{\&OverBar;}{X_k^{\left(m\right)}}\right)}^q---\left(5\right)$

这里

m是一个固定的值。分割函数依赖于m呈现出尺度特性，如下，

${\mathrm{\&chi;}}_m^X\left(q\right)~m^{\mathrm{\&tau;}\left(q\right)}---\left(6\right)$

取对数可得，

${\log \mathrm{\&chi;}}_m^X\left(q\right)=\mathrm{\&tau;}\left(q\right)\log m+C---\left(7\right)$

C是常数。如果

与log m呈线性关系，那么可表明所测数据是多分形的。

τ(q)是分割函数log-log图的斜率，多分形谱f(ε)可以通过对τ(q)做勒让德变换得到，关系式如下，

$f\left(\mathrm{\&epsiv;}\right){=}_q^{\min }\{\mathrm{q\&epsiv;}-\mathrm{\&tau;}\left(q\right)\}---\left(8\right)$

ε为局部

指数。单分形过程的局部指数为一个常数，故若多分形谱中ε在较大范围内变化，可以认为是多分形的。对流量数据0224(500毫秒为时间单位的到达报流量，取前2¹⁶个时间单位)进行多分形检验，从图7和图8可看出，此数据具有多分形特征。

与图7比较，图9给出了用对数提取的聚合数据的分割函数(q＝0，...，12)。从直观上来看，所取范围内的值，原始数据

与log m呈线性关系，用alpha-stable乘数级联模型聚合的值也基本呈线性，且斜率基本与原始分割函数的斜率相同。这说明聚合的数据具有多分形特性。

图10比较了原始数据和聚合数据的τ(q)，而图11比较了多分形频谱f(ε)。从图中我们可以清楚地看到ε在较大范围内变化，由此也说明流量数据具有多分形特性。

此外，图12-15是基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的矩估计值与原始数据的矩估计值比较。从图中的比较可以看出，本发明模型数据的统计特性与原始数据的统计特性有很好的吻合，至少到4阶矩。

本实施例基于二项式乘数级联过程，采用alpha-stable分布作为乘数因子的分布。该模型通过对聚合的实际网络数据进行分析，得到乘数因子所需的参数公式，由此建立多分形模型，在模拟网络数据时有较好的效果。该方法与现有的其它多分形模型相比，分析相对较容易，且计算简单，其中的乘数因子可以根据不同的网络特性采用不同的参数或模型来估计，建立各种类型的多分形网络模型，且统计特性能较好地符合原始数据。

Claims (1)

1.一种基于级联过程的alpha-stable乘数网络流量多分形模型的建立方法，其特征在于：所述建立方法包括：

(1)二项式级联，设定每一层保持原始尺度不变，对每个分割出来的区间再进行同样的分割，直到第N层，第j层的随机乘数r_ji，j＝1，...，N，i＝1，...，2^j是服从概率分布0≤r_j≤1的随机变量，若

是关于对称的，那么r_ji和1-r_ji具有相同的概率分布，

(i＝1，...，2^N)表示级联结构的第N层序列，的每一个点表示为几个随机变量的乘积μ_i＝m₁m₂...m_N，这里m_j，(j＝1，...，N)表示第j层的随机乘数；

(2)乘数分布估计，给定第N层的数据i＝1，...，2^N，时间分辨率为2^-N，第(N-1)层的数据通过聚合第N层连续非重合的相邻两个数据得到；同样地，给定第(N-j)层的数据

i＝1，...，2^N-j，叠加第(N-j)层非重合相邻两个数据得到(N-j-1)层的数据，表示为，

$X_i^{N-j-1}=X_{2i-1}^{N-j}+X_{2i}^{N-j},i=1,...,2^{N-j-1}---\left(1\right)$

当聚合成一个最粗糙尺度的点时，停止聚合步骤；

从j层到j+1层的乘数估计由下式得到，

${{\hat{r}}_j}^{\left(i\right)}=\frac{X_{2i-1}^{N-j}}{X_i^{N-j-1}}---\left(2\right)$

把

看做乘数分布

在第j层的采样，j层上的乘数分布从

的概率分布图中得到；

对聚合的每一层数据进行乘数分布估计，得出乘数分布参数；

(3)alpha-stable分布是一个四个参数的分布，它的特征函数表示为S(α，β，γ，δ)，其中，β＝0.00，γ＝0.05，δ＝0.50，特征指数α每一层都是变化的，特征指数α与层数j之间的变化规律形成拟合曲线；

从初始值开始，在第j层，产生服从S(α，β，γ，δ)分布的随机数，用聚合的数据乘以随机乘数得到网络流量多分形模型。

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