CN102252633A - 一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法，属于轨道交通、铁路养护与维修领域。本发明的特征在于：首先使用安装惯性传感器小车测量数据；之后建立参照坐标系；再计算0点位置处测量点坐标；接着计算1点位置处测量点坐标；继而从2点位置后开始循环计算测量区间内诸位置的测量点坐标，实现对整个测量轨的曲线描点；根据得到的描点曲线计算不平顺度值。有益效果：本发明通过对测量轨建立二维坐标和几何计算来获得轨道方向和水平不平顺，消除了现有相对测量法轨道方向和水平不平顺度计算方法的累计误差，提高了测量精度，具有很好的适应性，可以广泛应用于使用惯性元件测量的轨道不平顺检测设备。

Description

一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法

技术领域

本发明涉及一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法，属于轨道交通、铁路养护与维修领域。

背景技术

轨道是机车、客\货运车厢等大型有轨交通工具运行的承载面，由路基、枕木、钢轨、扣件等器件构成。理想的轨道应当是平顺的，但是由于钢轨存在的初始弯曲、磨耗、损伤，轨枕间距不均、质量不均等问题的影响，并受到道床的级配和强度不均、松动、脏污、板结，路基下沉不均匀、刚度变化等因素的综合作用，导致轨道的平顺程度呈现随机特征。当轨道不平顺程度(简称不平顺度)超出一定范围，会造成在其上运行的轨道交通车辆发生颠簸、晃动，严重时甚至会导致出轨等重大交通事故的发生。因此，在日常的轨道安装、维护过程中，必须对轨道的不平顺度进行测量和及时校正。行业内统一认为，轨道不平顺主要分为4大类，即：水平不平顺、垂向不平顺、方向不平顺和轨距不平顺，量化这些不平顺的具体指标有：轨距、轨道方向、高低、水平、三角坑、轨距变化率等多项轨道几何形位参数，其中轨道方向(以下简称：轨向)和轨道水平(以下简称：水平)分别用于衡量轨道在垂直和水平方向的不平顺度，是最为重要的两项平顺度指标。

轨道不平顺检测方法有绝对测量与相对测量两大类。绝对测量主要是采用人工拉弦实测，虽准确性较高，但存在实施过程复杂、测量效率低、耗费人力等缺陷，因此目前广泛应用的是相对测量法。相对测量法利用轨道检查仪(轨检小车、轨检车等)在轨道上滑行，按一定的里程间隔顺序测量并记录，再通过专门设计的算法推算出整个测量轨道相对于基准轨的不平顺度，从而实现测量。相对测量法较人工拉弦的绝对测量而言，更加快速、高效，且节约人力。相对测量又分弦测法、惯性基准法、惯性元件测量法等不同方法，其中惯性元件测量法测量轨向、高低不平顺时，可以使用陀螺仪等高精度惯性测量元件检测轨道不平顺变化，测量精度非常高。

受到元件敏感参数的限制，按照惯性元件测量法设计的轨道检查仪，目前还不能直接测量出轨向和水平，因此必须对测量数据进行计算才能得到结果值。在计算轨向和水平时，现行算法采用以小推大(用小弦长不平顺度推算大弦长不平顺度)、里程代替弦长(用里程输出代替实际拉弦长度)的方法具有较大的累计误差，且该误差随测量轨道的长度增加而增加，影响相对测量法结果的准确性，有待改进。

发明内容

要解决的技术问题

为了消除现有相对测量法轨道方向和轨道水平不平顺度计算方法的累计误差，提高轨道监测精度，本发明提出一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法，在对测量轨建立二维坐标的基础上通过几何计算来获得轨道方向和水平不平顺度，可以消除累计误差，从而提高测量精度。

技术方案

本发明的基本思想是：在轨检小车上安装高精度陀螺仪(以轨向为例安装位置如图1)；测量时驱动轨检小车沿轨道前进并按照微量步长间隔记录陀螺仪输出角度(如图2)，该角度为因轨道不平顺而引起陀螺仪在水平方向产生的摆角(如图3中0点位置到1点位置将产生摆角α，这里约定α顺时针为正，逆时针为负)或垂直方向产生的俯仰角；利用测量值建立二维直角坐标系，逐次计算出测量点的坐标，进而实现测量轨道的曲线拟合；利用所拟合曲线，按照不平顺度值的弦长要求，通过算法实现拉弦，再利用点到直线的距离公式计算轨道的不平顺度值。

公式推导过程如下：

将被测轨道视为许多个半径相当大(大于1000米)的圆曲线段拼接而成的长曲线段。将小车至于被测轨道上，这时所处位置记为小车0点位置，如图4所示，点A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾分别为小车A轮、B轮接触点，A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾之间的轨道构成圆曲线弧

并认为

是大圆

的一段。小车纵梁上A轮、B轮之间的长度为l，即线段

假设

的中心点为C⁽⁰⁾，以线段

的中点o⁽⁰⁾和圆心R⁽⁰⁾做直线作为直角坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的x⁽⁰⁾轴，线段

所处直线为y⁽⁰⁾轴，坐标原点为o⁽⁰⁾。推动小车沿轨道前进行程Δx，至1点位置(如图5所示)，小车A轮、B轮分别接触轨道于A⁽¹⁾、B⁽¹⁾。由圆心R⁽⁰⁾做的垂线，交

于o⁽¹⁾点，交圆弧

于C⁽¹⁾点，显然

o⁽¹⁾为

的中点。

在图5上，分别过C⁽⁰⁾、C⁽¹⁾做圆弧

的切线

和两线相交于K，

交y⁽⁰⁾轴于点I，并有

平行于

平行于得到图6。由图3可知，测量轨检小车沿轨道行进时因为轨道不平顺引起的水平方向的摆角为

和

的夹角，即∠y⁽⁰⁾IJ＝α₁。根据几何关系可知，∠C⁽¹⁾R⁽⁰⁾C⁽⁰⁾＝∠y⁽⁰⁾IJ＝α₁，因此可由公式(1)计算圆弧

的半径r⁽⁰⁾：

r⁽⁰⁾＝180·Δx/(α₁·π)        (1)

Δx即为轨检小车的里程计所记录的小车从0点位置到1点位置在轨道上的行程。

由此可以计算C⁽⁰⁾、C⁽¹⁾在x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的坐标

分别如(2)、(3)式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=0\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\end{array}\right.---\left(2\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=r^{\left(0\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.---\left(3\right)$

再求o⁽¹⁾的坐标，如公式(3)：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.---\left(4\right)$

以o⁽¹⁾为直角坐标系原点，为x⁽¹⁾轴，

为y⁽¹⁾轴，建立新坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾。再沿圆弧

推进Δx距离，进入与

相接的圆弧(考虑到r⁽⁰⁾、r⁽¹⁾都非常大，且摆角是平滑渐变的，因此这里可以认为弧

与

在A⁽¹⁾与B⁽¹⁾之间是重合的)，产生摆角α₂，如图7或图8所示(图7为α₂为非负时的情况，图8为α₂为负时的情况)，可以利用公式(1)(2)(3)，计算出点o⁽²⁾、C⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

按照坐标转换公式可以得到o⁽¹⁾、C⁽²⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的坐标

如公式(5)、(6)：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.---\left(6\right)$

以此类推，可以以Δx为步长，依次计算出测量轨上后续小车纵梁所搭轨道圆弧的中点相对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的坐标，若Δx足够小，则点集合{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}构成测量轨的曲线拟合。

不失一般性可将公式(5)表示为公式(7)、公式(6)表示为公式(8)：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}=o_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+o_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(i-1)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}=o_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})-o_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(i-1)}\end{array}\right.i\≥2---\left(7\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}=C_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+C_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(i-1)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}=C_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})-C_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{i-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(i-1)}\end{array}\right.i\≥2---\left(8\right)$

利用上述诸点得到的拟合曲线，可以计算该段轨道k米弦长的不平顺度。计算方法为：依次从C⁽⁰⁾拉弦直到距离C⁽ⁿ⁾为k处点C^(x)结束，C^(x)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，x为非负整数，逐个计算对应不平顺度值。以计算C⁽ⁱ⁾处测量的不平顺度值为例：先找到距离C⁽ⁱ⁾距离为k的弦末端点C^(end)，再找到测量轨的距离中点C^(middle)，将C^(middle)到弦的距离d_i作为C^(middle)的不平顺度值，见公式(9)：

$d_i=\frac{|(C_y^{\left(i\right)}-C_y^{\left(\mathrm{end}\right)})\·C_x^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_x^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_x^{\left(i\right)})\·C_y^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_x^{\left(i\right)}\·C_y^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_x^{\left(\mathrm{end}\right)}\·C_y^{\left(i\right)})|}{\sqrt{{(C_y^{\left(i\right)}-C_y^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2+{(C_x^{\left(i\right)}-C_x^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2}}---\left(9\right)$

分别为C⁽ⁱ⁾在直角坐标系中的横、纵坐标。

分别为C^(end)在直角坐标系中的横、纵坐标。

分别为C^(middle)在直角坐标系中的横、纵坐标

下面进行误差分析：

利用描点法得到每点在标准坐标系(起点沿轨道切线方向所在的坐标系)中的坐标为(8)式，经过计算，得到每一点的坐标误差如下：

$\mathrm{\Δ}{C}_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}\≈(\frac{l}{2}\·\cos \frac{{\mathrm{\α}}_1}{2}-\frac{1}{2}\×l\·\cos ({\mathrm{\α}}_1-\frac{{\mathrm{\α}}_2}{2})-...-\frac{2i-3}{2}\×l\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+...-\frac{{\mathrm{\α}}_i}{2}))\·\mathrm{\Δ\α}$

$\mathrm{\Δ}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}\≈(-\frac{0.125}{2}\·\sin \frac{{\mathrm{\α}}_1}{2}-\frac{1}{2}\×0.125\·\sin ({\mathrm{\α}}_1-\frac{{\mathrm{\α}}_2}{2})-...-\frac{2i-3}{2}\×0.125\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+...-\frac{{\mathrm{\α}}_i}{2}))\·\mathrm{\Δ\α}$

进一步推导正矢计算中距离计算公式(9)的误差。根据已知两点(x₁，y₁)、(x₂，y₂)确定的直线，求第三点(x₃，y₃)到该直线的距离公式：

$d=\frac{|(y_1-y_2)\·x_3+(x_2-x_1)\·y_3+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)|}{\sqrt{{(y_1-y_2)}^2+{(x_2-x_1)}^2}}---\left(10\right)$

推导计算公式如下(以绝对值取正号为例，并假设A为该式分子，B为该式分母)：

$\mathrm{\Δd}=\frac{\∂d}{\∂x_1}\·\mathrm{\Δ}{x}_1+\frac{\∂d}{\∂x_2}\·\mathrm{\Δ}{x}_2+\frac{\∂d}{\∂x_2}\·\mathrm{\Δ}{x}_3+\frac{\∂d}{\∂y_1}\·\mathrm{\Δ}{y}_1+\frac{\∂d}{\∂y_2}\·\mathrm{\Δ}{y}_2+\frac{\∂d}{\∂y_3}\·\mathrm{\Δ}{y}_3$

其中， $\frac{\∂d}{\∂x_1}=(y_2-y_3)\·B^{-1}+A\·B^{-3}\·(x_2-x_1),$

$\frac{\∂d}{\∂x_2}=(y_3-y_1)\·B^{-1}-A\·B^{-3}\·(x_2-x_1)$

$\frac{\∂d}{\∂x_3}=(y_1-y_2)\·B^{-1}$

$\frac{\∂d}{\∂y_1}=(x_3-x_2)\·B^{-1}-A\·B^{-3}\·(y_1-y_2)$

$\frac{\∂d}{\∂y_2}=(x_1-x_3)\·B^{-1}+A\·B^{-3}\·(y_1-y_2)$

$\frac{\∂d}{\∂y_3}=(x_2-x_1)\·B^{-1}$

故而可知，误差完全符合工程测量要求。

轨向和水平的物理意义除了其所处的平面有所区别，其余完全相同。

本发明的技术特征在于下步骤(如图9)：

步骤1.安装小车到测量轨上：将轨检车安装于被测轨道上，以此时小车所处的位置为0点位置，小车刚性纵梁上行进方向的后轮为A轮、前轮为B轮，A轮、B轮与测量轨接触的点为A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾，连接A⁽⁰⁾和B⁽⁰⁾的直线段为

l为小车A轮和B轮的距离，线段

的中点为o⁽⁰⁾，沿轨道连接A⁽⁰⁾和B⁽⁰⁾构成圆弧

中点为C⁽⁰⁾；

步骤2.推动小车进行摆角测量：向前推动小车沿轨道行进进行数据测量，小车总行程距离为dis，dis为正数，测量步长为Δx，Δx＞0；每行进到距离0点位置为i·Δx处的i点位置，i为整数，且0≤i≤n，

测量水平不平顺时采集一个陀螺仪在垂直方向摆角，测量方向不平顺时采集一个陀螺仪在水平方向摆角，该摆角为α_i，α_i单位为度，这时小车A轮、B轮与测量轨道接触点为A⁽ⁱ⁾、B⁽ⁱ⁾，连接A⁽ⁱ⁾和B⁽ⁱ⁾的直线段为

的中点为o⁽ⁱ⁾，沿轨道连接A⁽ⁱ⁾和B⁽ⁱ⁾构成圆弧为

中点为C⁽ⁱ⁾；将小车推行过程中采集到的摆角按照采集顺序构成摆角集合{α₁，…，α_i，…α_n}；

步骤3.建立参照坐标系：将小车的

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽⁰⁾正方向，y⁽⁰⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽⁰⁾的正方向，x⁽⁰⁾与y⁽⁰⁾相交于点o⁽⁰⁾，o⁽⁰⁾的坐标设为(0，0)，建立参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾；

步骤4.计算0点位置处测量点坐标：计算小车0点位置处，测量点C⁽⁰⁾和o⁽¹⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，将数据Δx、α₁带入下式计算圆弧

的半径r⁽⁰⁾：

r⁽⁰⁾＝180·Δx/(α₁·π)

利用下式计算点C⁽⁰⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=0\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\end{array}\right.$

利用下式计算点C⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=r^{\left(0\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.$

利用下式计算点o⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.$

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

步骤5.计算1点位置处测量点坐标：计算小车1点位置处，测量点C⁽¹⁾和o⁽²⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，以o⁽¹⁾为直角坐标系原点，

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽¹⁾正方向，y⁽¹⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽¹⁾的正方向，从而建立坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾；将数据Δx、α₂带入下式计算圆弧

的半径r⁽¹⁾；

r⁽¹⁾＝180·Δx/(α₂·π)

将数据Δx、r⁽¹⁾带入下式，计算点C⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=r^{\left(1\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_2\\ C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(1\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\end{array}\right.$

将数据α₁、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.$

将数据α₂、r⁽¹⁾带入下式，计算点o⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_2\\ o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\end{array}\right.$

把数据α₁、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.$

步骤6.设定计算点位置为2：取正整数j，n≥j≥2，令j＝2；

步骤7.计算区间内j点位置处测量点坐标：计算小车j点位置处，测量点C^(j)和o^(j+1)对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，n≥j≥2，以o^(j)为直角坐标系原点，

方向为二维平面直角坐标系纵轴y^(j)正方向，y^(j)的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x^(j)的正方向，从而建立坐标系x^(j)o^(j)y^(j)；将数据Δx、α_j带入下式计算圆弧

的半径r^(j)；

r^(j)＝180·Δx/(α_j·π)

将数据Δx、r^(j)带入下式，计算点C^(j)在坐标系x^(j)o^(j)y^(j)的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(1\right)}}^{(j+1)}=r^{\left(j\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_j\\ C_{x^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\sqrt{{\left(r^{(j-1)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(j\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_j\end{array}\right.$

将数据{α₁，…，α_j}，

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(j\right)}=C_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+C_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(j\right)}=C_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})-C_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\end{array}\right.i\≥2$

将数据α_j+1、r^(j)带入下式，计算点o^(j+1)在坐标系x^(j)o^(j)y^(j)的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_{j+1}\\ o_{x^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_{j+1}\end{array}\right.$

将数据{α₁，…，α_j}、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{(j+1)}=o_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{(j+1)}=o_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})-o_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\end{array}\right.i\≥2$

步骤8.判断测量点计算是否结束：令j＝j+1，若j＞n，则认为测量点计算已经结束，得到轨道上点集{C⁰，…，Cⁱ，…，Cⁿ}内各点在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的坐标，完成曲线拟合，执行步骤9；否则，认为测量点计算未结束返回步骤7；

步骤9.计算不平顺度：给定弦长k，k≥l，求轨向不平顺度值，依次以轨道上的C⁽⁰⁾、C⁽¹⁾、…、C^(x)为起点拉长为k的弦，弦的终点搭在小车行进方向的轨道曲线上，C^(x)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，x为非负整数，C^(x)距离C⁽ⁿ⁾为k；计算任意点C⁽ⁱ⁾处拉弦得到的轨向不平顺度值，

分别是点C⁽ⁱ⁾在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标，先找到小车行进方向距离C⁽ⁱ⁾最接近k的轨道曲线点C^(end)，end为整数，C^(end)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，C^(end)满足下式：

$\underset{\mathrm{end}=i}{\overset{n}{\min }}(\sqrt{{(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})}^2+{(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})}^2}-k)$

分别是点C^(end)在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标；接着，找到点C^(middle)，C^(middle)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，middle为整数，i＜middle＜end，C^(middle)满足下式：

$\underset{\mathrm{middle}=i}{\overset{\mathrm{end}}{\min }}|(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})/2-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}|$

分别是点C^(middle)在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标；然后，将C^(middle)到线段

的距离d_i作为弦长为k时轨道曲线上C^(middle)的不平顺度值，计算公式如下：

$d_i=\frac{|(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})\·C_{x^{\left(o\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})\·C_{y^{\left(o\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}\·C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}\·C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})|}{\sqrt{{(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2+{(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2}}$

计算出所有d_i，得到不平顺度值的集合D，D＝{d₀，…，d_x}。

有益效果

本发明提出一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法，通过对测量轨建立二维坐标和几何计算来获得轨道方向和水平不平顺度，消除了现有相对测量法轨道方向和水平不平顺度计算方法的累计误差，提高了测量精度。

附图说明

图1：在轨检小车上安装轨向高精度测量陀螺仪的位置示意图

图2：轨检小车沿轨道推行前进示意图

图3：0点位置到1点位置陀螺仪产生摆角α的示意图

图4：轨检小车位于0点位置示意图

图5：轨检小车推至1点位置示意图

图6：计算圆弧

的半径r⁽⁰⁾示意图

图7：小车在新坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾中推进Δx距离产生偏转角α₁示意图(α₁≥0)图8：小车在新坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾中推进Δx距离产生偏转角α₁示意图(α₁＜0)

图9：本发明算法流程图

具体实施方式

现结合附图对本发明作进一步描述：

本发明采用一段长度为500米的轨道作为测试轨，即dis＝500000毫米，前进方向右侧轨道为基准轨，左侧轨道为测量轨，采用XK120型单轴开环光纤陀螺仪作为摆角敏感元件；用于实施本发明计算的硬件环境是：P43.0Ghz双核CPU、内存2.0G、硬盘80G；Windows XP Professional操作系统、NTFS文件系统；数据处理程序采用VC++6.0实现。

步骤1.安装小车到测量轨上：将轨检车正确安装于被测轨道上，加电工作，记小车刚性纵梁上A轮、B轮与轨道接触点为A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾，这时称小车所处的位置为：小车0点位置，记连接A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾的直线为

线段

毫米，线段

的中点为o⁽⁰⁾，沿轨道连接A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾构成圆弧记为

中点为C⁽⁰⁾；

步骤2.推动小车进行摆角测量：向前推动小车沿轨道行进设定的测量步长距离Δx＝125毫米，采集到陀螺仪水平方向摆角α₁＝0.001723°，这时小车所处的位置称为：小车1点位置，小车A轮、B轮与轨道接触点记为A⁽¹⁾、B⁽¹⁾，记连接A⁽¹⁾、B⁽¹⁾的直线为线段

毫米，线段

的中点为o⁽¹⁾，沿轨道连接A⁽¹⁾、B⁽¹⁾构成圆弧记为

中点为C⁽¹⁾；以此类推，以125毫米为单位，每推行小车沿轨道行进一个125毫米，采集一个陀螺仪水平方向摆角；推行小车车轮直到行程达到测量长度500000毫米处停止测量；将小车采集到的摆角按照采集顺序构成集合{0.001723°，-0.000021°…，-0.009107°}，共计采集n＝4000个摆角数据；将轨检车测量数据{0.001723°，-0.000021°…，-0.009107°}导入数据处理计算机内存；

步骤3.建立参照坐标系：开始轨道曲线拟合计算，将小车的

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽⁰⁾正方向，y⁽⁰⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽⁰⁾的正方向，x⁽⁰⁾与y⁽⁰⁾相交于点o⁽⁰⁾，o⁽⁰⁾的坐标设为(0，0)，从而建立参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾；

步骤4.计算0点位置处测量点坐标：计算小车0点位置处，点C⁽⁰⁾、点o⁽¹⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值：将数据Δx＝125毫米、α₁＝0.001723°带入下式计算圆弧

的半径，记为r⁽⁰⁾：

r⁽⁰⁾＝180·Δx/(α₁·π)＝180×125/(0.001723·π)＝4156687.428401213毫米

利用下式计算点C⁽⁰⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=0\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=\sqrt{{\left(4156687.428401213\right)}^2-{(1250/2)}^2}-4156687.428401213=-0.046987536\end{array}\right.$ 单位：毫米

利用下式计算点C⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=r^{\left(0\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1=4156687.428401213\×\sin 0.001723=124.999999981\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1=0.045108035\end{array}\right.$ 单位：毫米

利用下式计算点o⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_1=124.999998568\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_1=0.001879501\end{array}\right.$ 单位：毫米

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

步骤5.计算1点位置处测量点坐标：计算小车1点位置处，点C⁽¹⁾、点o⁽²⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值：以o⁽¹⁾为直角坐标系原点，

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽¹⁾正方向，y⁽¹⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽¹⁾的正方向，从而建立坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾；将数据Δx＝1250豪米、α₂＝-0.000021°带入下式计算圆弧

的半径，该半径记为r⁽¹⁾；

r⁽¹⁾＝180·Δx/(α₂·π)＝341046306.625490005毫米

将数据Δx、r⁽¹⁾带入下式，计算点C⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=r^{\left(1\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_2=-125.000000000\\ C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(1\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_2=-5.497787144\end{array}\right.$ 单位：毫米

将数据α₁、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=-0.003759003-124.999999943+124.999998568=-0.003760378\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=-5.497787142+0.000165330+0.001879501=-5.497456482\end{array}\right.$

单位：毫米

将数据α₂、r⁽¹⁾带入下式，计算点o⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_2=125.000000000\\ o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_2=0.000022907\end{array}\right.$ 单位：毫米

将数据α₁、带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=0.003759003+124.999999943+124.999998568=250.003757514\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=0.000022907-0.000000001+0.001879501=0.001902407\end{array}\right.$

单位：毫米

步骤6.设定计算点位置为2：取正整数j，n≥j≥2，令j＝2；

步骤7.计算区间内j点位置处测量点坐标：计算小车j点位置处，点C^(j)、点o^(j+1)对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，n≥j≥2：以o^(j)为直角坐标系原点，

方向为二维平面直角坐标系纵轴y^(j)正方向，y^(j)的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x^(j)的正方向，从而建立坐标系x^(j)o^(j)y^(j)；

步骤8.判断测量点计算是否结束：令j＝j+1，若j＞n，则认为测量点计算已经结束并执行步骤10)，否则，认为测量点计算未结束返回步骤8)；

步骤9.计算不平顺度：给定弦长k＝10000毫米，求轨向不平顺度值；依次从C⁽⁰⁾拉弦直到距离C⁽⁴⁰⁰⁰⁾为10000毫米处的点C⁽³⁹⁰²⁾结束；以计算点C⁽⁴⁰⁰⁾处拉弦的轨向不平顺为例，首先，找到行进方向距离C⁽⁴⁰⁰⁾最接近的点C^(end)，C^(end)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽⁴⁰⁰⁰⁾}，end为整数，即C^(end)满足下式：

$\underset{\mathrm{end}=400}{\overset{4000}{\min }}\left(\sqrt{{(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(400\right)})}^2+{(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(400\right)})}^2}10000\right)$

求得end＝472；接着，找到点C^(middle)，C^(middle)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽⁴⁰⁰⁰⁾}，middle为整数，i＜middle＜end，C^(middle)满足下式：

$\underset{\mathrm{middle}=400}{\overset{472}{\min }}|(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(472\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(400\right)})/2-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}|$

求的middle＝437；然后，将C⁽⁴³⁷⁾到线段的距离d₄₀₀作为弦长为10000毫米时轨道曲线上C⁽⁴³⁷⁾的不平顺度，计算公式如下：

计算出所有的d_i，汇聚成集合D，D＝{0.012，…，0.008，…0.007}；输出D即为弦长为10000毫米的测量轨轨向数据集。

Claims (1)

1.一种基于描点的轨道方向及水平不平顺测量方法，其特征在于步骤如下：

步骤1.安装小车到测量轨上：将轨检车安装于被测轨道上，以此时小车所处的位置为0点位置，小车刚性纵梁上行进方向的后轮为A轮、前轮为B轮，A轮、B轮与测量轨接触的点为A⁽⁰⁾、B⁽⁰⁾，连接A⁽⁰⁾和B⁽⁰⁾的直线段为

l为小车A轮和B轮的距离，线段

的中点为o⁽⁰⁾，沿轨道连接A⁽⁰⁾和B⁽⁰⁾构成圆弧

中点为C⁽⁰⁾；

步骤2.推动小车进行摆角测量：向前推动小车沿轨道行进进行数据测量，小车总行程距离为dis，dis为正数，测量步长为Δx，Δx＞0；每行进到距离0点位置为i·Δx处的i点位置，i为整数，且0≤i≤n，

测量水平不平顺时采集一个陀螺仪在垂直方向摆角，测量方向不平顺时采集一个陀螺仪在水平方向摆角，该摆角为α_i，α_i单位为度，这时小车A轮、B轮与测量轨道接触点为A⁽ⁱ⁾、B⁽ⁱ⁾，连接A⁽ⁱ⁾和B⁽ⁱ⁾的直线段为

的中点为o⁽ⁱ⁾，沿轨道连接A⁽ⁱ⁾和B⁽ⁱ⁾构成圆弧为

中点为C⁽ⁱ⁾；将小车推行过程中采集到的摆角按照采集顺序构成摆角集合{α₁，…，α_i，…α_n}；

步骤3.建立参照坐标系：将小车的

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽⁰⁾正方向，y⁽⁰⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽⁰⁾的正方向，x⁽⁰⁾与y⁽⁰⁾相交于点o⁽⁰⁾，o⁽⁰⁾的坐标设为(0，0)，建立参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾；

步骤4.计算0点位置处测量点坐标：计算小车0点位置处，测量点C⁽⁰⁾和o⁽¹⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，将数据Δx、α₁带入下式计算圆弧

的半径r⁽⁰⁾：

r⁽⁰⁾＝180·Δx/(α₁·π)

利用下式计算点C⁽⁰⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=0\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(0\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\end{array}\right.$

利用下式计算点C⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=r^{\left(0\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(0\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.$

利用下式计算点o⁽¹⁾在坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_1\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(0\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right.$

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

步骤5.计算1点位置处测量点坐标：计算小车1点位置处，测量点C⁽¹⁾和o⁽²⁾对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，以o⁽¹⁾为直角坐标系原点，

方向为二维平面直角坐标系纵轴y⁽¹⁾正方向，y⁽¹⁾的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x⁽¹⁾的正方向，从而建立坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾；将数据Δx、α₂带入下式计算圆弧

的半径r⁽¹⁾；

r⁽¹⁾＝180·Δx/（α₂·π)

将数据Δx、r⁽¹⁾带入下式，计算点C⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=r^{\left(1\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_2\\ C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(1\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\end{array}\right.$

将数据α₁、带入下式，从而将转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+C_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-C_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.$

将数据α₂、r⁽¹⁾带入下式，计算点o⁽²⁾在坐标系x⁽¹⁾o⁽¹⁾y⁽¹⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_2\\ o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}=\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(1\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\end{array}\right.$

把数据α₁、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1+o_{y^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(2\right)}=o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_1-o_{x^{\left(1\right)}}^{\left(2\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_1+o_{x^{\left(0\right)}}^{\left(1\right)}\end{array}\right.$

步骤6.设定计算点位置为2：取正整数j，n≥j≥2，令j＝2；

步骤7.计算区间内j点位置处测量点坐标：计算小车j点位置处，测量点C^(j)和o^(j+1)对于坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标值，n≥j≥2，以o^(j)为直角坐标系原点，方向为二维平面直角坐标系纵轴y^(j)正方向，y^(j)的右侧垂线为二维平面直角坐标系横轴x^(j)的正方向，从而建立坐标系x^(j)o^(j)y^(j)；将数据Δx、α_j带入下式计算圆弧

的半径r^(j)；

r^(j)＝180·Δx/(α_j·π)

将数据Δx、r^(j)带入下式，计算点C^(j)在坐标系x^(j)o^(j)y^(j)的坐标

为该坐标系的横坐标值，为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(1\right)}}^{(j+1)}=r^{\left(j\right)}\·\sin {\mathrm{\α}}_j\\ C_{x^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\sqrt{{\left(r^{(j-1)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-r^{\left(j\right)}\·\cos {\mathrm{\α}}_j\end{array}\right.$

将数据{α₁，…，α_j}，

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{C}_{y^{\left(0\right)}}^{\left(j\right)}=C_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+C_{y^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\\ C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(j\right)}=C_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})-C_{x^{(i-1)}}^{\left(i\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\end{array}\right.i\≥2$

将数据α_j+1、r^(j)带入下式，计算点o^(j+1)在坐标系x^(j)o^(j)y^(j)的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值：

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\left(\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\right)\·\sin {\mathrm{\α}}_{j+1}\\ o_{x^{\left(j\right)}}^{(j+1)}=\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}-(\sqrt{{\left(r^{\left(j\right)}\right)}^2-{(l/2)}^2}\·\cos {\mathrm{\α}}_{j+1}\end{array}\right.$

将数据{α₁，…，α_j}、

带入下式，从而将

转换为坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾的坐标

为该坐标系的横坐标值，

为该坐标系的纵坐标值；

$\left\{\begin{array}{c}{o}_{y^{\left(0\right)}}^{(j+1)}=o_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{y^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\\ o_{x^{\left(0\right)}}^{(j+1)}=o_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\cos ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})-o_{x^{(j-1)}}^{\left(j\right)}\·\sin ({\mathrm{\α}}_1+...+{\mathrm{\α}}_{j-1})+o_{x^{\left(0\right)}}^{(j-1)}\end{array}\right.i\≥2$

步骤8.判断测量点计算是否结束：令j＝j+1，若j＞n，则认为测量点计算已经结束，得到轨道上点集{C⁰，…，Cⁱ，…，Cⁿ}内各点在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的坐标，完成曲线拟合，执行步骤9；否则，认为测量点计算未结束返回步骤7；

步骤9.计算不平顺度：给定弦长k，k≥l，求轨向不平顺度值，依次以轨道上的C⁽⁰⁾、C⁽¹⁾、…、C^(x)为起点拉长为k的弦，弦的终点搭在小车行进方向的轨道曲线上，C^(x)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，x为非负整数，C^(x)距离C⁽ⁿ⁾为k；计算任意点C⁽ⁱ⁾处拉弦得到的轨向不平顺度值，分别是点C⁽ⁱ⁾在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标，先找到小车行进方向距离C⁽ⁱ⁾最接近k的轨道曲线点C^(end)，end为整数，C^(end)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，C^(end)满足下式：

$\underset{\mathrm{end}=i}{\overset{n}{\min }}(\sqrt{{(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})}^2+{(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})}^2}-k)$

分别是点C^(end)在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标；接着，找到点C^(middle)，C^(middle)∈{C⁽⁰⁾，…，C⁽ⁱ⁾，…C⁽ⁿ⁾}，middle为整数，i＜middle＜end，C^(middle)满足下式：

$\underset{\mathrm{middle}=i}{\overset{\mathrm{end}}{\min }}|(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})/2-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}|$

分别是点C^(middle)在参照坐标系x⁽⁰⁾o⁽⁰⁾y⁽⁰⁾中的横坐标与纵坐标；然后，将C^(middle)到线段

的距离d_i作为弦长为k时轨道曲线上C^(middle)的不平顺度值，计算公式如下：

$d_i=\frac{|(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})\·C_{x^{\left(o\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})\·C_{y^{\left(o\right)}}^{\left(\mathrm{middle}\right)}+(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}\·C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)}\·C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)})|}{\sqrt{{(C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{y^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2+{(C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(i\right)}-C_{x^{\left(0\right)}}^{\left(\mathrm{end}\right)})}^2}}$

计算出所有d_i，得到不平顺度值的集合D，D＝{d₀，…，d_x}。

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