CN102226840B - 大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法 - Google Patents

大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,对舰船目标的三维几何模型划分后近似为基本散射体,提取各个基本散射体的几何信息计算其雷达散射截面,结合基本散射体的高度,计算出舰船目标在不同高度上的雷达散射截面值的变化关系,根据大气波导的电磁波传播因子,计算舰船目标的散射功率强度。本发明提供的大气波导范围内舰船目标RCS散射特性的分层计算方法,大大减少了计算量及对计算设备的要求,可实现实时计算,且充分考虑了起伏海面对电磁波传播的影响,计算结果更加合理、有效,对于微波超视距雷达的技术发展、装备更新和作战运用具有重要的军事意义。

Description

大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法
技术领域
本发明涉及雷达散射截面的计算方法,具体是一种大气波导内目标物体雷达散射截面分层计算方法。
背景技术
雷达作为远程探测装备,目前已成为我军战场监视和信息获取的重要手段。但是地球的曲率严重限制了地面雷达的视距探测范围,要探测视距以外的远距离目标就需要研制和装备具有超视距探测能力的雷达系统。对于海面舰船目标的远程探测,依靠大气波导条件的微波超视距雷达具有明显的优势,已成为对海超视距雷达装备的重要发展方向。而大气波导内舰船目标散射特性的研究对微波超视距雷达效能的发挥起着十分重要的作用。综合国内外现状,目前可以获得大气波导内舰船目标RCS(Radar Cross-Section,雷达散射截面)的散射特性的方法主要有实验测量和建模仿真两大类。其中实验测量方法由于是对舰船目标进行超视距电磁特性的测量,所需要的测量场地和平台是非常大的,其中必然会受到各种杂波、干扰的影响,使得测量精度得不到保证。而普通的微波暗室又难以测量出目标在大气波导条件下的电磁特性,因此建模仿真就成为获取和分析大气波导内舰船目标RCS电磁散射特性的主要方法。
目前,对于雷达目标电磁特性的建模和仿真绝大部分都是在远场均匀平面波照射的条件下进行计算的。但是对于微波超视距雷达,上述建模计算方法都不再适用,因为微波超视距雷达探测目标时电磁波不再是直线传播,目标处入射波的强度与高度有关,如图1所示,入射波强度是分层变化的。因此必须要得到与之相对应的目标RCS分层变化关系才能获得目标对电磁波的散射功率。对于这种大气波导内舰船目标RCS散射特性的分层计算目前还没有可行的方法。
发明内容
本发明的目的在于解决微波超视距雷达的技术发展、装备更新和作战运用中遇到的RCS散射特性的分层计算问题,提供有效的大气波导范围内舰船目标RCS散射特性的分层计算方法。
本发明的目的是这样实现的:
一种大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,依次执行以下步骤,步骤一:建立该舰船目标的三维几何模型;步骤二:对舰船目标的三维几何模型进行划分,使划分后的各部件满足随机摆动条件下非相干叠加条件;步骤三:对划分后的各部件按照与其最接近的几何形状近似为基本散射体;步骤四:提取各个基本散射体的几何信息;步骤五:计算各个基本散射体的雷达散射截面;步骤六:计算各部件的等效雷达散射截面值;步骤七:结合舰船目标各部件的高度,计算出舰船各部件在不同高度上的雷达散射截面值的变化关系。
进一步地,在步骤一中,先对舰船目标上各个部件单独建立三维几何模型,再对所有部件进行三维空间的拼接,组合成舰船目标的三维几何模型。
在步骤二中,在模型空间中划分舰船目标的三维几何模型时,步长划分时的步长l满足klγ0>>1,其中γ0为舰船目标随机摆动的角度,k=2π/λ=2πf/c为电磁波波数,λ为电磁波波长,f为电磁波的频率。
在步骤三中,将划分后的各个部件按照其几何形状与球形或椭球形、矩形、圆柱形、二面角等基本形状的近似度,选取其最接近的基本形状近似为基本散射体。
在步骤三完成后进行遮挡面判别,先做自遮挡面判别,将基本散射体的法线方向朝向雷达视点方向的面判别为可见面,然后做互遮挡面判别,将各个基本散射体之间互投影平面上每一点所对应的面元深度进行比较,取最近面元为可见面。
在步骤四中提取舰船目标模型的几何信息,式在3DS Max三维建模软件中选择ASCII场景导出ASE文件,对ASE文件的结构进行解析,导出网格模型中每个点的三维坐标值、法向量坐标及纹理坐标;每个网格面的拓扑结构信息;网格面的编号、面上点的索引、面上点的纹理索引及面的法向量坐标信息中的一个或多个。
在步骤五中,先根据提取得到的各基本散射体的几何信息,计算基本散射体雷达散射截面,然后计算出随机摆动条件下各基本散射体的平均雷达散射截面值。
其中,上述步骤五中,计算基本散射体的雷达散射截面公式为:
Figure BDA0000051552750000031
进一步地,在步骤五中,计算各个基本散射体的雷达散射截面后,进一步计算出随机摆动条件下各基本散射体的平均雷达散射截面值;摆动条件下各基本散射形状的平均雷达散射截面计算表达式为:
σ ‾ = ∫ - γ 0 γ 0 ∫ - θ 0 θ 0 σ ( θ , γ ) W ( θ , γ ) dθdγ
式中,σ(θ,γ)为基本散射形状随角度变化的RCS,W(θ,γ)是摇摆角、颠簸角的二维概率密度函数。
进一步地,在步骤六中,计算海面影响下各部件的等效雷达散射截面值公式为:
Figure BDA0000051552750000042
式中,Vav为海面的平均影响系数,是由海面存在时对电磁波传播产生的多径效应,根据海面参数可计算出海面的平均影响系数为
V av = 1 + 4 ( ζ s 2 + ζ d 2 ) + ( ζ s 2 + ζ d 2 ) 2 - 4 ζ s cos ( 4 π h 0 h λ R 0 ) exp ( - 2 k 2 μ 2 sin 2 β )
+ 2 ζ s 2 cos ( 8 π h 0 h λ R 0 ) exp ( - 8 k 2 μ 2 sin 2 β ) - 4 ζ s 3 cos ( 4 π h 0 h λ R 0 ) exp ( - 2 k 2 μ 2 sin 2 β )
其中的参数有镜面反射系数ζs,漫反射系数ζd,目标和雷达天线的高度h、h0,以及海面瑞利参数
Figure BDA0000051552750000045
瑞利参数中的λ为电磁波波长,β为入射波的掠射角,μ为海面起伏的波高均方根值。进一步,镜面反射系数和漫反射系数也是由瑞利参数所决定的,它们之间的关系为:
&zeta; s = exp [ - 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 ] 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.812537 1 + 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.3
&zeta; d = 3.75 &mu; &lambda; sin &theta; 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.4625 - 0.875 &mu; &lambda; sin &theta; 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.5 0.025 &mu; &lambda; sin &theta; > 0.5 .
本发明计算方法给出了大气波导内舰船目标RCS散射特性随高度的变化关系的计算方法上,其特点和优势为:
1.用非相干叠加的方法计算舰船目标RCS,所用的基本散射形状数量远小于传统的面元法所用面元的数量,大大减少了计算量及对计算设备的要求,可以实现实时计算。
2.非相干叠加方法计算舰船目标RCS与大气波导环境的非均匀性相结合,充分考虑了起伏海面对电磁波传播的影响,更加合理、有效,计算结果精度高。
3.对舰船目标建立合理的几何模型并进行相关电磁计算,有助于雷达目标数据库的建立及完备。
该方法填补了国内在大气波导内雷达目标散射特性计算的空白,具有显著的理论意义和军事应用价值。
附图说明
图1为大气波导内电磁波传播损耗;
图1中表示雷达为X波段9GHz,天线架高12m,大气温度3.4C°海水表面温度为10.2C°,相对湿度为50%,风速为12m/s,条件下的传播损耗曲线,X轴表示传播损耗,单位为dB,Y轴表示目标各部件的高度,单位为m,其中×××表示波束宽度10°的传播损耗曲线,-表示宽度为1°的传播损耗曲线,…表示波束宽度0.5°的传播损耗曲线,---表示波束宽度0.3°的传播损耗曲线,-·-表示波束宽度0.25°的传播损耗曲线。
图2为大气波导内舰船目标RCS计算流程图;
图3为舰船目标RCS随高度的分布图;
图3中,X轴为舰船目标各基本散射体部件平均RCS值,单位是平方米,Y轴舰船目标各基本散射体部件高度,单位是米。
图4为局部散射叠加示意图;
图5为两相干型局部散射源平均RCS与klγ0的关系曲线。
图5中,X轴为参数klγ0,单位弧度,Y轴为两相干型局部散射源相对于一个散射源的归一化RCS比值,无量纲。
具体实施方式
以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步的详细描述:
图1所示的大气波导内电磁波传播损耗随着目标物体高度变化曲线在背景技术里已作叙述,此处不再赘述。
参阅2所示的大气波导内舰船目标RCS计算流程图,本发明大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,首先对舰船目标的三维几何模型划分后近似为基本散射体,提取各个基本散射体的几何信息计算其雷达散射截面,然后结合基本散射体的高度,计算出舰船目标在不同高度上的雷达散射截面值的变化关系,根据大气波导的电磁波传播因子,计算舰船目标的散射功率强度。
其具体详细的方法是在计算机中依次执行以下步骤:
步骤一:建立三维几何模型,根据舰船目标的尺寸和结构,建立该舰船目标的三维几何模型;
步骤二:划分几何模型,以舰船目标满足非相干条件为依据,在模型空间中将建立的舰船三维几何模型进行划分,使划分后的各部件满足随机摆动条件下非相干叠加条件;
步骤三:近似处理几何模型,将划分后的各个部件按照其几何形状与球形或椭球形、矩形、圆柱形、二面角等基本形状的近似度,选取其最接近的基本形状近似为基本散射体;
步骤四:提取舰船目标模型的几何信息,在3DS Max三维建模软件中选择ASCII场景导出ASE文件,对ASE文件的结构进行解析,导出网格模型中每个点的三维坐标值、法向量坐标及纹理坐标;每个网格面的拓扑结构信息;网格面的编号、面上点的索引、面上点的纹理索引及面的法向量坐标信息中的一个或多个;
步骤五:计算各基本散射形状的雷达散射截面,根据提取得到的各基本散射形状的几何信息,计算其雷达散射截面,进一步计算出随机摆动条件下各基本散射体的平均雷达散射截面值;
步骤六:计算海平面影响下各部件的等效雷达散射截面值;
步骤七:计算舰船目标分层的雷达散射截面信息,结合舰船目标各部件的高度信息,按高度值对各部件的雷达散射截面值进行非相干叠加,计算出舰船目标在不同高度上的雷达散射截面值的变化关系。
在步骤一中,建立舰船目标三维几何模型时先对舰船目标上各个部件单独建立三维几何模型,再对所有部件进行三维空间的拼接,组合成舰船目标的三维几何模型。
在步骤二中,在模型空间中划分舰船目标的三维几何模型时,步长划分时的步长l满足klγ0>>1,其中γ0为舰船目标随机摆动的角度,k=2π/λ=2πf/c为电磁波波数,λ为电磁波波长,f为电磁波的频率,其中,步长l满足klγ0大于3。
该步骤完成后进行遮挡面判别。由于物理光学法认为只有对入射光线可见的面片上才会产生感应电流,而那些照射不到的区域感应电流为零,因此复杂目标经过模块化建模和基本散射形状近似后,还要对部件可见面进行判别。可见面的判别即是遮挡问题,遮挡可分为部件的自遮挡和部件间的互遮挡,对遮挡面的判别可分两步:
(1)预处理。即后向面的判别,就是认为只有法线方向朝向视点(雷达)方向的面是可见的,而其余的面是不可见的。设某多边形的外法向矢量为
Figure BDA0000051552750000081
视点所在的矢量为
Figure BDA0000051552750000082
若:
Figure BDA0000051552750000083
则该多边形为前向面,该面元可见;若:
Figure BDA0000051552750000084
则该多边形为后向面,该面元不可见。
(2)深度缓冲器法(Depth-Buffer Method)。深度缓冲器算法的基本思想是将投影平面上每一点所对应的面元深度进行比较,然后取最近面元为可见面。它需要两个缓冲器,一个保存像素的属性值,另一个保存观察平面上每个像素所对应的可见面的深度。算法采用快速增值算法来扫描场景中的每一个面来计算面元深度,一旦所有面元处理结束,缓冲器也被刷新完毕先做自遮挡面判别,将基本散射体的法线方向朝向雷达视点方向的面判别为可见面,然后做互遮挡面判别,将各个基本散射体之间互投影平面上每一点所对应的面元深度进行比较,取最近面元为可见面。
上述步骤五中,计算基本散射体的雷达散射截面公式为:
Figure BDA0000051552750000091
摆动条件下各基本散射形状的平均雷达散射截面计算表达式为:
&sigma; &OverBar; = &Integral; - &gamma; 0 &gamma; 0 &Integral; - &theta; 0 &theta; 0 &sigma; ( &theta; , &gamma; ) W ( &theta; , &gamma; ) d&theta;d&gamma;
式中,σ(θ,γ)为基本散射形状随角度变化的RCS,W(θ,γ)是摇摆角、颠簸角的二维概率密度函数。
在步骤六中,计算海面影响下各部件的等效雷达散射截面值公式为:
Figure BDA0000051552750000093
式中,Vav为海面的平均影响系数,是由海面存在时对电磁波传播产生的多径效应,根据海面参数可计算出海面的平均影响系数为
V av = 1 + 4 ( &zeta; s 2 + &zeta; d 2 ) + ( &zeta; s 2 + &zeta; d 2 ) 2 - 4 &zeta; s cos ( 4 &pi; h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 2 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; )
+ 2 &zeta; s 2 cos ( 8 &pi; h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 8 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; ) - 4 &zeta; s 3 cos ( 4 &pi; h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 2 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; )
其中的参数有镜面反射系数ζs,漫反射系数ζd,目标和雷达天线的高度h、h0,以及海面瑞利参数
Figure BDA0000051552750000096
瑞利参数中的λ为电磁波波长,β为入射波的掠射角,μ为海面起伏的波高均方根值。进一步,镜面反射系数和漫反射系数也是由瑞利参数所决定的,它们之间的关系为:
&zeta; s = exp [ - 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 ] 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.812537 1 + 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.3
&zeta; d = 3.75 &mu; &lambda; sin &theta; 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.4625 - 0.875 &mu; &lambda; sin &theta; 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.5 0.025 &mu; &lambda; sin &theta; > 0.5 .
在完成这些步骤之后,根据测量的大气波导特征参数得出目标处随高度变换的曲线即电磁波传播因子,再将目标雷达散射截面值随高度分布曲线带入即可计算出舰船目标的散射功率强度。
本发明所述的方法的理论依据为非相干原理:
处在光学区的雷达目标在电磁波的照射下其后向散射表现为目标某些局部位置上电磁散射的合成,这些局部性的散射源就称为等效多散射中心。在稳定、静态和远场的条件下,从一个大型目标上各个部分反射回来的回波相互之间具有很强的相干性,然而对于一个处于随机扰动状态下的舰船目标,其各个结构部件上对应回波的相干性将减弱,此时雷达散射截面将会由舰船全部散射中心的相干和近似为由局部散射源散射的非相干叠加合成。
如图4所示,设两个局部散射体相距为l,R1和R2分别为两个局部散射体与发射中心的距离,γ为目标的摆动角度。
由于目标处于随机摇摆状态,此时考虑摆动角度(-γ0,γ0)范围内的平均值更有意义,此时接收场可由下面的表达式表示:
EE - &OverBar; = 1 2 &gamma; 0 &Integral; - &gamma; 0 &gamma; 0 ( E 1 2 + E 2 2 ) d&gamma; + 1 &gamma; 0 &Integral; - &gamma; 0 &gamma; 0 E 1 E 2 cos [ k ( R 1 - R 2 ) + ( &phi; 1 - &phi; 2 ) ] d&gamma;
= E 1 2 &OverBar; + E 2 2 &OverBar; + 2 E 1 E 2 &OverBar; &CenterDot; sin ( kl &gamma; 0 ) / kl &gamma; 0 - - - ( 1 )
当γ0<<1时,有k(R1-R2)=kl sin γ0≈klγ0成立。当klγ0足够大时,则有sin(klγ0)/klγ0→0。
按照式(1)作出两个局部散射源反射场的平均强度的关系曲线见图5。这条曲线表明,随着参数klγ0的增大,两个局部散射源总的平均散射强度趋近于它们各自的平均散射强度之和。即,只要满足下式关系:
klγ0>>1θ,γ)    (2)
即可保证两个局部散射源具有可加性条件。同理,对N个局部散射体而言,可以得到同样的结论。
具体实施例
假设针对某一型舰船目标,首先利用3DSMAX三维建模软件对其进行几何建模,设定雷达观测频率为9GHz,舰船在海面上的随机摆动角度为3度,则目标几何模型的划分步长可选择为l=1m(此时klγ0≈9>>1满足非相干条件)。对划分后的每一个部件进行简单几何体的近似,接下来进行目标遮挡面的判定,对没有遮挡的部件利用3DSMAX软件导出,以舰艇几何模型中某个二面角(名字为:twoanglerl 13)为例,其导出的ASE文件具体格式为:
Figure BDA0000051552750000113
Figure BDA0000051552750000121
对导出的各个部件分别计算其RCS值,此时若对各个部件按照高度进行非相干叠加,如在高度上选择以1米为单位,按照高度进行非相干叠加后平均RCS随高度的分布拟合曲线。进一步,将各个部件乘上对应的海面影响系数,得出考虑界面影响条件下各个部件的等效RCS值,此时再按照高度进行非相干叠加后即可得出如图3所示的在高度上分层的RCS变化曲线。
本发明提出的大气波导范围内舰船目标RCS散射特性的分层计算方法,对于微波超视距雷达的技术发展、装备更新和作战运用具有重要的军事意义。

Claims (10)

1.一种大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,依次执行以下步骤,步骤一:建立该舰船目标的三维几何模型;步骤二:对舰船目标的三维几何模型进行划分,使划分后的各部件满足随机摆动条件下非相干叠加条件;步骤三:对划分后的各部件按照与其最接近的几何形状近似为基本散射体;步骤四:提取各个基本散射体的几何信息;步骤五:计算各个基本散射体的雷达散射截面;步骤六:计算各部件的等效雷达散射截面值;步骤七:结合舰船目标各部件的高度,计算出舰船各部件在不同高度上的雷达散射截面值的变化关系。
2.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤一中,先对舰船目标上各个部件单独建立三维几何模型,再对所有部件进行三维空间的拼接,组合成舰船目标的三维几何模型。
3.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤二中,在模型空间中划分舰船目标的三维几何模型时,步长划分时的步长l满足klγ0>>1,其中γ0为舰船目标随机摆动的角度,k=2π/λ=2πf/c为电磁波波数,λ为电磁波波长,f为电磁波的频率。
4.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤三中,将划分后的各个部件按照其几何形状与球形或椭球形、矩形、圆柱形、二面角这些基本形状的近似度,选取其最接近的基本形状近似为基本散射体。
5.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,步骤三完成后进行遮挡面判别,先做自遮挡面判别,将基本散射体的法线方向朝向雷达视点方向的面判别为可见面,然后做互遮挡面判别,将各个基本散射体之间互投影平面上每一点所对应的面元深度进行比较,取最近面元为可见面。
6.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,步骤四中提取舰船目标模型的几何信息,是在3DS Max三维建模软件中选择ASCII场景导出ASE文件,对ASE文件的结构进行解析,导出网格模型中每个点的三维坐标值、法向量坐标及纹理坐标;每个网格面的拓扑结构信息;网格面的编号、面上点的索引、面上点的纹理索引及面的法向量坐标信息中的一个或多个。
7.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤五中,先根据提取得到的各基本散射体的几何信息,计算基本散射体雷达散射截面,然后计算出随机摆动条件下各基本散射体的平均雷达散射截面值。
8.根据权利要求1或7所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤五中,计算基本散射体的雷达散射截面公式为:
Figure FDA0000315903531
所述λ为电磁波波长。
9.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤五中,计算各个基本散射体的雷达散射截面后,进一步计算出随机摆动条件下各基本散射体的平均雷达散射截面值;摆动条件下各基本散射形状的平均雷达散射截面计算表达式为:
&sigma; &OverBar; = &Integral; - &gamma; 0 &gamma; 0 &Integral; - &theta; 0 &theta; 0 &sigma; ( &theta; , &gamma; ) W ( &theta; , &gamma; ) d&theta;d&gamma;
式中,σ(θ,γ)为基本散射形状随角度变化的RCS,W(θ,γ)是摇摆角、颠簸角的二维概率密度函数。
10.根据权利要求1所述的大气波导内舰船目标雷达散射截面分层计算方法,其特征在于,在步骤六中,计算海面影响下各部件的等效雷达散射截面值公式为: 
式中,Vav为海面的平均影响系数,是由海面存在时对电磁波传播产生的多径效应,根据海面参数可计算出海面的平均影响系数为
V av = 1 + 4 ( &zeta; s 2 + &zeta; d 2 ) + ( &zeta; s 2 + &zeta; d 2 ) 2 - 4 &zeta; s cos ( 4 &pi;h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 2 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; ) + 2 &zeta; s 2 cos ( 8 &pi; h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 8 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; ) - 4 &zeta; s 3 cos ( 4 &pi; h 0 h &lambda; R 0 ) exp ( - 2 k 2 &mu; 2 sin 2 &beta; )
其中的参数有镜面反射系数ζs,漫反射系数ζd,目标和雷达天线的高度h、h0,以及海面瑞利参数
Figure FDA0000315903535
,瑞利参数中的λ为电磁波波长,β为入射波的掠射角,μ为海面起伏的波高均方根值,k为电磁波波数;进一步,镜面反射系数和漫反射系数也是由瑞利参数所决定的,它们之间的关系为:
&zeta; s = exp [ - 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 ] 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.812537 1 + 2 ( 2 &pi; &mu; &lambda; sin &theta; ) 2 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.3
&zeta; d = 3.75 &mu; &lambda; sin &theta; 0 &le; &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.1 0.4625 - 0.875 &mu; &lambda; sin &theta; 0.1 < &mu; &lambda; sin &theta; &le; 0.5 0.025 &mu; &lambda; sin &theta; > 0.5
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