CN102222335A - 一种彩色图像的四元数匹配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种彩色图像的四元数匹配方法，本发明针对彩色图像的平移、旋转和尺度变换下的匹配问题，提出了一种四元数Fourier-Mellin变换下的匹配方法；方法中采用了四元数表示图像的各色彩分量，避免在传统Fourier-Mellin变换中转换为灰度图像时颜色信息的丢失；根据四元数相位相关的彩色图像间平移的计算方法，结合传统相位相关技术，提出了计算彩色图像平移、旋转和尺度变换参数的完整流程；分析和实验证明该方法相比传统Fourier-Mellin变换方法够能更有效的估计两彩色图像间的平移、旋转和尺度变换参数。

Description

一种彩色图像的四元数匹配方法

技术领域

本方法涉及一种估计两幅彩色图像间旋转、平移和尺度变换参数的方法，具体涉及一种四元数Fourier-Mellin变换的彩色图像匹配方法。

技术背景

彩色图像为数字图像系统提供了更全面的信息，也为图像处理和识别提供了更好效果的可能。传统图像处理理论和方法大部分部是基于灰度信息数据进行的，处理彩色图像时部需将彩色多维信息转换为单维的标量数据。四元数理论在1943被爱尔兰学者哈密尔顿Hamilton提出来之后，近年来逐渐应用到多维的彩色图像处方法中，例如彩色边缘检测、消除噪音、图像质量评价和运动估计等方面，并取得了一定成果。其中Sangwine和Ell等人首先提出四元数左、右卷积下的彩色图像边缘检测方法，之后又提出四元数傅里叶变换方法和其分解方法，为四元数的彩色图像处理提供了部分新的理论，参见：Sangwine S J.Colour image edge detector based on quaternion convolution[J].Electronics Letters，1998，34(10)：969-971。江淑红等人在此基础上，提出减少四元数傅里叶变换计算量的一种形式，同时应用到彩色图像的目标跟踪和数字水印的技术中，参见：江淑红，郝明非，张建秋等.快速超复数傅氏变换和超复数相关的新方法及应用[J].电子学报，2009.36(1)：100-105.

Chen和Reddy根据图像间相位相关的方法，提出的傅里叶-梅林变换(Fouerier-Mellin Transform，简称FMT)方法，解决了灰度图像的平移、旋转和尺度变换(简称RST变换)下的匹配问题，该方法在噪音、光照和遮挡下且具有一定的鲁棒性，参见：Reddy B S，Chatterji B N.An FFT-based technique for translation，rotation，and scale-inva riant image registration[J].IEEETransaction on Image Processing，1996，5(8)：1266-1271。Ell等人提出了彩色图像匹配的四元数相位相关方法，并提出灰度图像与彩色图像之间的匹配方法，参见：Ell T A，Sangwine S J.Hypercomplex fourier transforms of color images[J].IEEE Trans Signal Processing，2007，16(1)：22-35。冯巍等人使用四元数相位相关的方法用于彩色图像间亚像素精度的平移参数的估计，参见：冯巍，胡波.基于超复数相位相关的彩色图像配准方法[J].系统工程与电子技术，2010，32(1)：183-187。但以上方法均较难应用到真实彩色图片的匹配过程中，其未考虑图像间旋转与尺度的变换。

发明内容

本发明根据四元数理论及四元数左、右傅里叶变换方法，给出彩色图像的四元数表示下相位相关平移参数的估计方法，并同时设计了在旋转、平移和尺度变换下的彩色图像完整匹配方法，简称为四元数Fourier-Mellin变换方法。

本发明提供的一种彩色图像的四元数匹配方法步骤如下：

(1)对彩色图像像g_a和g_b采用四元数方式表示；

(2)对四元数表示下的g_a和g_b进行四元数傅里叶左(右)变换，得到频域函数G_a、G_b；

(3)

转为对数极坐标表示，并计算得幅值函数

和

(4)对和采用传统相位相关方法计算之间的相位差(d，φ_o)；

(5)根据(d，φ_o)和对数极坐标转换关系获得g_b相对g_a的尺度和旋转变换参数(s，φ_o)，将待匹配的图像gb根据旋转和尺度参数(s，φ_o)变换后为g_b1，或根据(s，φ_o+π)变换后为g_b1；

(6)对g_b1和g_b2做四元数傅里叶变换得

计算与G_a与

G_a与

的四元数相位相关的脉冲函数δ₁(Δx，Δy)和δ₂(Δx，Δy)，其中(Δx1，Δy1)和(Δx2，Δy2)为各自脉冲函数的最大值坐标；

(7)若δ₁(Δx1，Δy1)＞δ₂(Δx2，Δy2)，则输出作为彩色图像g_b相对于g_a变换参数(s，φ_o，Δx1，Δy1)；否则输出(s，φ_o+π，Δx2，Δy2)。

其中彩色图像g_a和g_b的各色彩分量分别对应四元数的ijk三个虚轴。如RGB彩色图像I可表示纯虚四元数矩阵为：

I(x，y)＝r(x，y)i+g(x，y)j+b(i，j)k

r(x，y)、g(x，y)和b(x，y)各自表示坐标(x，y)对应的R、G、B分量。

方法中的四元数傅立叶左(右)变换和左(右)反变换，其形式如下：

$G^L(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}g(x,y)=F^L\left(g(x,y)\right)$

$G^{-L}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{u=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{G}^L(u,v)=F^{-L}\left(G^L(u,v)\right)$

$G^R(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{g(x,y)e}^{-\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^R\left(g(x,y)\right)$

$G^{-R}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{u=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{G}^R(u,v)e^{\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^{-R}\left(G^R(u,v)\right)$

其中G^L(u，v)和F^L(g(x，y)部表示对四元数g(x，y)函数做四元数傅立叶左变换；G^R(u，v)和F^R(g(x，y))则部表示对g(x，y)函数的四元数傅立叶左变换；而G^-L(x，y)和F^-L(G(u，v))表示对G(x，y)的进行四元数傅立叶左反变换；而G^-R(x，y)和F^-R(G(u，v))表示对G(x，y)的进行四元数傅立叶右反变换。(x，y)和(u，v)分别表示函数在空间域和频域的坐标，μ则可取满足μ²＝-1的任何单位虚向量。整个匹配方法中傅里叶变换或反变换统一采用左变换，或统一采用右变换。

方法中四元数函数G_a与

G_a与

四元数相位相关的脉冲函数δ₁和δ₂的计算公式如下：

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-R}\left(\frac{G_b^{*R}{G}_a^R}{{\left|G_a^R\right|}^2}\right)$

或

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-L}\left(\frac{G_b^{*L}{G}_a^L}{{\left|G_a^L\right|}^2}\right)$

其中

表示对G_a进行四元数傅里叶左变换后再共轭，

表示对G_b进行四元数傅里叶右变换后再共轭。

本发明的有益效果：本发明方法中采用了四元数表示图像的各色彩分量，避免在传统Fourier-Mellin变换中转换为灰度图像时颜色信息的丢失。根据四元数相位相关的彩色图像间平移的计算方法，结合传统相位相关技术，提出了计算彩色图像平移、旋转和尺度变换参数的完整流程。分析和实验证明该方法相比传统Fourier-Mellin变换方法够能更有效的估计两彩色图像间的平移、旋转和尺度变换参数。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

具体实施方式

本发明主要用于估计两幅彩色图像之间的平移、旋转和尺度变换关系，计算出其变换参数。由于传统Fourier-Mellin变换方法只能针对灰度图像，而本发明采用了四元数傅立叶变换，在保留图像的色彩信息的情况下，在四元数傅立叶频域下能识别各变换参数。

图1是本发明的一个实施实例，可看出本方法采用的首先对两幅彩色图像进行四元数傅立叶变换，在两幅图像的频域内获得各自幅值函数，然后采用传统相位相关方法估计旋转和尺度变换参数。然后将其中一幅根据获得的旋转和变换参数进行变换，然后再估计平移变换参数。如图1，本方法的某具体实施方式如下：

步骤S101：对彩色图像g_a和g_b采用四元数方式表示，其各RGB色彩分量分别对应四元数的ijk三个虚轴，如彩色图像I的表示方法：

I(x，y)＝r(x，y)i+g(x，y)j+b(i，j)k

r(x，y)、g(x，y)和b(x，y)各自表示坐标(x，y)对应的R、G、B分量；

步骤S102：对四元数表示下的ga和gb进行四元数傅里叶左(右)变换，得到频域函数G_a、G_b；

步骤S103：

转为对数极坐标表示，并计算得幅值函数和

步骤S104：把

和

作为灰度图，并采用传统相位相关方法计算之间的相位差(d，φ_o)；

步骤S105：根据(d，φ_o)获得的尺度和旋转变换参数(s，φ_o)，将待匹配的图像g_b根据旋转和尺度参数(s，φ_o)变换后为g_b1，或根据(s，φ_o+π)变换后为g_b1；

步骤S106：对g_b1和g_b2做四元数傅里叶变换得

计算与G_a与

G_a与

的四元数相位相关的脉冲函数δ₁(Δx1，Δy1)和δ₂(Δx2，Δy2)，其中(Δx1，Δy1)和(Δx2，Δy2)为各自脉冲函数的最大值处坐标；

步骤S107：若δ₁(Δx1，Δy1)＞δ₂(Δx2，Δy2)，则转入步骤S108；否则转入步骤S109；

步骤S108：输出(s，φ_o，Δx1，Δy1)作为彩色图像g_b相对于g_a变换参数，转入步骤S110；

步骤S109：输出(s，φ_o+π，Δx2，Δy2)作为彩色图像g_b相对于g_a变换参数，转入步骤S110；

步骤S110：退出本方法。

方法中四元数函数G_a与

G_a与

的四元数相位相关的脉冲函数δ₁和δ₂的计算公式如下：

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-R}\left(\frac{G_b^{*R}{G}_a^R}{{\left|G_a^R\right|}^2}\right)$

或

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-L}\left(\frac{G_b^{*L}{G}_a^L}{{\left|G_a^L\right|}^2}\right)$

其中

表示对G_a进行四元数傅里叶左变换后再共轭，

表示对G_b进行四元数傅里叶右变换后再共轭。

方法中的四元数傅立叶右变换和四元数傅立叶右反变换计算形式如下：

$G^R(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{g(x,y)e}^{-\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^R\left(g(x,y)\right)$

$G^{-R}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{u=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{G}^R(u,v)e^{\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^{-R}\left(G^R(u,v)\right)$

其中G^R和F^R(g(x，y))部表示对g(x，y)的四元数傅立叶左变换，而G^-R(x，y)和F^-R(G(u，v))表示对G(x，y)的进行四元数傅立叶左反变换。(x，y)和(u，v)分别表示函数在空间域和频域的坐标，且 $\mathrm{\μ}=(i+j+k)/\sqrt{3}.$

上述实施实例是提供给本领域普通技术人员来实现或使用本发明的，本领域普通技术人员可在不脱离本发明的发明思想的情况下，对上述实施例子作出种种修改或变化，因而本发明的保护范围并不被上述实施例子所限制，而应该是符合权利要求书提到的创新性特征的最大范围。

Claims (4)

1.一种彩色图像的四元数匹配方法，其特征在于步骤如下：

(1)对彩色图像g_a和g_b采用四元数方式表示；

(2)对四元数表示的g_a和g_b进行四元数傅里叶左(右)变换，得到频域函数

和

(3)

和

进行对数极坐标转换，并计算四元数幅值函数

和

(4)对

和

采用传统相位相关方法计算之间的相位差(d，φ_o)；

(5)根据(d，φ_o)和对数极坐标转换关系获得g_b相对g_a的尺度和旋转变换参数(s，φ_o)，将待匹配的图像g_b根据旋转和尺度参数(s，φ_o)变换后为g_b1，或根据(s，φ_o+π)变换后为g_b1；

(6)对g_b1和g_b2做四元数傅里叶左(右)变换得

计算与G_a与

G_a与

四元数下相位相关的脉冲函数δ₁(Δx，Δy)和δ₂(Δx，Δy)，其中(Δx1，Δy1)和(Δx2，Δy2)为δ₁和δ₂脉冲函数最大值处坐标；

(7)若δ₁(Δx1，Δy1)＞δ₂(Δx2，Δy2)，则输出作(s，φ_o，Δx1，Δy1)为彩色图像g_b相对于g_a变换参数；否则输出(s，φ_o+π，Δx2，Δy2)。

2.根据权利要求1所述的四元数匹配方法，其特征在于：所述彩色图像g_a和g_b的各RGB色彩分量分别对应四元数的ijk三个虚轴；彩色图像I表示为：

I(x，y)＝r(x，y)i+g(x，y)j+b(i，j)k

r(x，y)、g(x，y)和b(x，y)各自表示坐标(x，y)对应的R、G、B分量。

3.根据权利要求1所述的四元数匹配方法，其特征在于：所述四元数傅立叶左(右)变换和左(右)反变换，其形式如下：

$G^L(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{-\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}g(x,y)=F^L\left(g(x,y)\right)$

$G^{-L}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{u=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{G}^L(u,v)=F^{-L}\left(G^L(u,v)\right)$

$G^R(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{g(x,y)e}^{-\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^R\left(g(x,y)\right)$

$G^{-R}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{u=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{v=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{G}^R(u,v)e^{\mathrm{\μ}2\mathrm{\π}(\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=F^{-R}\left(G^R(u,v)\right)$

其中G^L(u，v)和F^L(g(x，y))部表示对四元数g(x，y)函数做四元数傅立叶左变换；G^R(u，v)和F^R(g(x，y))则部表示对g(x，y)函数的四元数傅立叶左变换；而G^-L(x，y)和F^-L(G(u，v))表示对G(x，y)的进行四元数傅立叶左反变换；而G^-R(x，y)和F^-R(G(u，v))表示对G(x，y)的进行四元数傅立叶右反变换；(x，y)和(u，v)分别表示函数在空间域和频域的坐标，μ则可取满足μ²＝-1的任何单位虚向量；整个匹配方法中傅里叶变换或反变换统一采用左变换形式，或统一采用右变换形式。

4.根据权利要求1所述的四元数匹配方法，其特征在于：所述四元数函数G_a与

G_a与

的四元数相位相关的脉冲函数δ₁和δ₂的计算公式如下计算：

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-R}\left(\frac{G_b^{*R}{G}_a^R}{{\left|G_a^R\right|}^2}\right)$

或

$\mathrm{\σ}(x,y)=F^{-L}\left(\frac{G_b^{*L}{G}_a^L}{{\left|G_a^L\right|}^2}\right)$

其中

表示对G_a进行四元数傅里叶左变换后再共轭，

表示对G_b进行四元数傅里叶右变换后再共轭。

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