CN102156802B - 一种均匀分布的波动数据预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种均匀分布的波动数据预测方法，它有六大步骤：步骤一、去均值；步骤二、找大数；步骤三、趋势处理；步骤四、灰色GM(1，1)预测；步骤五、还原数据；步骤六、误差评估。本发明是建立在灰色GM(1，1)模型基础上，通过对输入数据做均值、三角变换处理，使其具有光滑性增长特点，然后再利用GM(1，1)进行预测，最后还原即可得到预测数据。本发明构思科学，计算简单，工作量小，预测精度高。它在系统可靠性分析技术领域里具有较好的实用价值和广阔的应用前景。

Description

一种均匀分布的波动数据预测方法

(一)技术领域：

本发明涉及一种数据预测方法，尤其涉及一种均匀分布的波动数据预测方法。它用于业界均匀分布的波动数据预测，属于系统可靠性分析技术领域。

(二)背景技术：

在日常的生产生活中，我们碰到的很多数据具有均匀分布、呈现波动形式的情况，例如内燃机缸盖振动信号即为波动数据，该振荡数据可以有效反映内燃机运行状况。若能对此类数据提前预估，为尽早发现问题提供依据对我们的生产、生活都具有重要意义。

目前在数据预测方面虽然方法有很多，但是适合均匀分布的波动数据预测却是一片空白。例如曲线拟合方法虽然原理简单、实施方便，但预测误差通常较大，而且很难找到一条与此类数据相吻合的曲线。时间序列模型其预测方法是建立在平稳随机过程假设的基础上的，对于实际运行设备的状态参数，一股得不到线性平稳的时间序列，尤其故障发生时更是如此，因而时间序列模型的应用范围受到很大的限制。卡尔曼(Kalman)滤波器有其局限性，只能用于线性系统。人工神经网络模型的隐蔽单元数目难以确定，且学习速度较慢，容易陷入局部极小点，迭代次数多，学习时间长，使得人工神经网络的实际应用受到限制。模糊模型虽适用于对复杂系统的预测，但由于模糊预测系统还处于研究阶段，有些问题还需着重解决，如静态知识库无法反映设备的失效过程，没有实时控制的特性，从而削弱了实用性。

灰色模型是一种近年发展起来的预测方法，由我国邓聚龙教授于上世纪80年代提出，该模型具有所需样本少、预测精度高、运算量小等特点。但是灰色模型在运用中也有局限，若数据本身呈一定的增长或下降趋势，其预测精度一股较高，若数据本身具有一定的光滑性，预测精度会更好。而直接将灰色模型运用到均匀分布的波动数据预测，效果并不是很好，因此我们需要寻找一种计算简单，预测精度高的算法来处理均匀分布的波动数据预测。

(三)发明内容：

1、目的：针对以上均匀分布的波动数据预测中存在的问题，本发明的目的是提供了一种均匀分布的波动数据预测方法，它是基于灰色GM(1，1)模型的改进算法，构造了一个可以用于解决此类问题的预测器，从而，克服了现有技术的不足。

2、技术方案：本发明是建立在灰色GM(1，1)模型基础上，通过对输入数据做均值、三角变换处理，使其具有光滑性增长特点，然后再利用GM(1，1)进行预测，最后还原即可得到预测数据。本方法中包含数学运算，因此直接编写计算机程序来实现，编程语言、版本均不限，C、C++、Java、Matlab等均可。

本发明是一种均匀分布的波动数据预测方法，该方法具体步骤如下：

设原始的n个均匀分布波动数据组成的序列为X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，用其预测m个数据，得到Y⁽⁰⁾＝{y⁽⁰⁾(1)，…y⁽⁰⁾(n)，y⁽⁰⁾(n+1)，…，y⁽⁰⁾(n+m)}，式中x⁽⁰⁾(k)、y⁽⁰⁾(k)分别表示序列X⁽⁰⁾、Y⁽⁰⁾中第k个数据。并且还可以用{y⁽⁰⁾(1)，y⁽⁰⁾(2)，…y⁽⁰⁾(n)}检测预测误差，{y⁽⁰⁾(n+1)，…，y⁽⁰⁾(n+m)}即为预测m数据。

步骤一：去均值：对于给定原始数据序列X⁽⁰⁾，先计算其均值u，再用序列X⁽⁰⁾中的每一个数减去均值u，即通过计算r⁽⁰⁾(k)＝x⁽⁰⁾(k)-u(k＝1，…，n)得到序列R⁽⁰⁾＝{r⁽⁰⁾(1)，r⁽⁰⁾(2)，…，r⁽⁰⁾(n)}；

步骤二：找大数：在序列R⁽⁰⁾中找出绝对值最大的数，记为r⁽⁰⁾ _max；

步骤三：趋势处理：通过三角变换，即计算

将序列R⁽⁰⁾处理成具有增长趋势的序列R⁽¹⁾＝{r⁽¹⁾(1)，r⁽¹⁾2，…，r⁽¹⁾(n)}，式中arcsin为反正弦函数，π为圆周率，取π≈3.14；

步骤四：灰色GM(1，1)预测：利用GM(1，1)模型对序列R⁽¹⁾进行预测，得到序列R⁽²⁾＝{r⁽²⁾(1)，r⁽²⁾(2)，…，r⁽²⁾(m+n)}。其具体实施过程如下：

①累加：对序列R⁽¹⁾进行累加，得到序列R⁽¹¹⁾＝{r⁽¹¹⁾(1)，r⁽¹¹⁾(2)，…，r⁽¹¹⁾(n)}，其中

②计算紧邻均值：设Z⁽¹⁾＝{z⁽¹⁾(2)，…，z⁽¹⁾(n)}为R⁽¹¹⁾的紧邻均值生成序列，其中然后再根据紧邻均值序列Z⁽¹⁾与序列R⁽¹⁾计算：

$B=\left(\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\γ}}_N=\left(\begin{array}{c}{r}^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ r^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ r^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right);$

③估计参数：用最小二乘法计算GM(1，1)模型r⁽¹⁾(k)+a·z⁽¹⁾(k)＝b中参数a，b的值，即计算

④计算拟合累加值：根据GM(1，1)模型及估计参数值计算预测的累加值R⁽¹²⁾＝{r⁽¹²⁾(1)，r⁽¹²⁾(2)，…，r⁽¹²⁾(n+m)}，其中r⁽¹²⁾(1)＝r⁽¹⁾(1)，式中e为自然对数底数，取e≈2.718；

⑤累减还原：对计算出的拟合累加值进行累减还原，得到序列R⁽²⁾，其中r⁽²⁾(1)＝r⁽¹²⁾(1)，r⁽²⁾(k)＝r⁽¹²⁾(k)-r⁽¹²⁾(k-1)(k＝2，3，…，m+n)，完成GM(1，1)模型预测过程。

步骤五：还原数据：根据得到的序列R⁽²⁾，最后再还原到预测数据Y⁽⁰⁾。其中式中sin是正弦函数。

步骤六：误差评估：定义误差率序列为ER，其中比较最大的误差率er_max，若|er_max|≤15％预测效果较高，否则预测效欠佳。

其中，在步骤一中所述“去均值”的计算流程见图1；

其中，在步骤二中所述“找大数”的计算流程见图2；

其中，在步骤三中所述“趋势处理”的计算流程见图3；

其中，在步骤四的第①小步中所述“累加”的计算流程见图4；

其中，在步骤四的第②小步中所述“计算紧邻均值”的计算流程见图5；

其中，在步骤四的第③小步中所述“估计参数”的计算流程见图6；

其中，在步骤四的第④小步中所述“计算拟合累加值”的计算流程见图7；

其中，在步骤四的第⑤小步中所述“累减还原”的计算流程见图8；

其中，在步骤五中所述“还原数据”的计算流程见图9；

其中，在步骤六中所述“误差评估”的计算流程见图10；

其中，步骤一、二、三、五是本发明的创新点，步骤四、六是已存在的算法。

3、优点及功效：

(1)本发明是基于灰色GM(1，1)模型所做的预测，因此具有它本身算法简单，运算量小等优点。

(2)本发明的创新之处在于对原始波动数据的均值变换、三角变换处理，使处理后的数据具有光滑性增长趋势，满足了灰色GM(1，1)模型对数据的要求，在很大程度上提高了预测精度，并且保证了预测出的数据仍然具有波动性。

(四)附图说明：

图1是“去均值”的计算流程图；

图2是“找大数”的计算流程图；

图3是“趋势处理”的计算流程图；

图4是GM(1，1)预测中“累加”的计算流程图；

图5是GM(1，1)预测中“计算紧邻均值”的计算流程图；

图6是GM(1，1)预测中“估计参数”的计算流程图；

图7是GM(1，1)预测中“计算拟合累加值”的计算流程图；

图8是GM(1，1)预测中“累减还原”的计算流程图；

图9是“还原数据”的计算流程图；

图10是“误差评估”的计算流程图；

图11是某些波动数据的预测效果图；

图12是本发明流程框图。

图中标号及符号说明如下：

X⁽⁰⁾表示原始波动数据，即X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，x⁽⁰⁾(i)表示序列X⁽⁰⁾中第i个数；

n表示序列X⁽⁰⁾中数据个数；

sum表示临时变量，用来计算序列X⁽⁰⁾的和；

u表示序列X⁽⁰⁾的算术平均值；

R⁽⁰⁾表示序列X⁽⁰⁾去均值后的新序列，r⁽⁰⁾(i)表示该序列中第i个数；

r⁽⁰⁾ _max表示序列R⁽⁰⁾中绝对值最大的数；

*表示乘法；

/表示除法；

arcsin表示反正弦函数；

π表示圆周率，取π≈3.141592；

R⁽¹⁾表示由序列R⁽⁰⁾趋势处理后的新序列，r⁽¹⁾(i)表示该序列中第i个数；

R⁽¹¹⁾表示由序列R⁽¹⁾累加后的新序列，r⁽¹¹⁾(i)表示该序列中第i个数；

B表示一个n-1行2列的矩阵，由序列R⁽¹¹⁾的紧邻均值生成；

γ_N表示一个n-1维的列向量，由序列R⁽¹⁾生成

D表示一个2行2列的矩阵，D＝B^TB；

C表示一个2维列向量，C＝B^Tγ_N；

P表示一个2行2列的矩阵，P＝D^-1＝(B^TB)^-1；

表示模型r⁽¹⁾(k)+a·z⁽¹⁾(k)＝b中a、b的拟合值；

e表示自然对数底数，e≈2.718；

R⁽¹²⁾表示由序列R⁽⁰⁾拟合的累加值序列，r⁽¹²⁾(i)表示该序列中第i个数；

m表示要预测的数据个数；

R⁽²⁾表示由序列R⁽⁰⁾预测的新序列，r⁽²⁾(i)表示该序列中第i个数；

sin表示正弦函数；

Y⁽⁰⁾表示由原始序列X⁽⁰⁾预测的新序列，y⁽⁰⁾(i)表示该序列中第i个数；

ER表示预测Y⁽⁰⁾前n数的相对误差序列，er(i)表示该序列中第i个数，er_max表示最大的相对误差。

o表示原数据点；

*表示新方法预测的数据点。

(五)具体实施方式：

参见图12，本发明一种均匀分布的波动数据预测方法，该方法具体步骤如下：

设原始的n个均匀分布波动数据组成的序列为X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1)，x⁽⁰⁾(2)，…，x⁽⁰⁾(n)}，用其预测m个数据，得到Y⁽⁰⁾＝{y⁽⁰⁾(1)，…y⁽⁰⁾(n)，y⁽⁰⁾(n+1)，…，y⁽⁰⁾(n+m)}，式中x⁽⁰⁾(k)、y⁽⁰⁾(k)分别表示序列X⁽⁰⁾、Y⁽⁰⁾中第k个数据。并且还可以用{y⁽⁰⁾(1)，y⁽⁰⁾(2)，…y⁽⁰⁾(n)}检测预测误差，{y⁽⁰⁾(n+1)，…，y⁽⁰⁾(n+m)}即为预测m数据

步骤一：去均值：对于给定原始数据序列X⁽⁰⁾，先计算其均值u，再用序列X⁽⁰⁾中的每一个数减去均值u，即通过计算r⁽⁰⁾(k)＝x⁽⁰⁾(k)-u(k＝1，…，n)得到序列R⁽⁰⁾＝{r⁽⁰⁾(1)，r⁽⁰⁾(2)，…，r⁽⁰⁾(n)}；

步骤二：找大数：在序列R⁽⁰⁾中找出绝对值最大的数，记为r⁽⁰⁾ _max；

步骤三：趋势处理：通过三角变换，即计算将序列R⁽⁰⁾处理成具有增长趋势的序列R⁽¹⁾＝{r⁽¹⁾(1)，r⁽¹⁾2，…，r⁽¹⁾(n)}，式中arcsin为反正弦函数，π为圆周率，取π≈3.14；

步骤四：灰色GM(1，1)预测：利用GM(1，1)模型对序列R⁽¹⁾进行预测，得到序列R⁽²⁾＝{r⁽²⁾(1)，r⁽²⁾(2)，…，r⁽²⁾(m+n)}。其具体实施过程如下：

①累加：对序列R⁽¹⁾进行累加，得到序列R⁽¹¹⁾＝{r⁽¹¹⁾(1)，r⁽¹¹⁾(2)，…，r⁽¹¹⁾(n)}，其中

②计算紧邻均值：设Z⁽¹⁾＝{z⁽¹⁾(2)，…，z⁽¹⁾(n)}为R⁽¹¹⁾的紧邻均值生成序列，其中然后再根据紧邻均值序列Z⁽¹⁾与序列R⁽¹⁾

计算：

$B=\left(\begin{array}{cc}{-z}^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {-z}^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\γ}}_N=\left(\begin{array}{c}{r}^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ r^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ .\\ .\\ .\\ r^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right);$

③估计参数：用最小二乘法计算GM(1，1)模型r⁽¹⁾(k)+a·z⁽¹⁾(k)＝b中参数a，b的值，即计算

④计算拟合累加值：根据GM(1，1)模型及估计参数值计算预测的累加值R⁽¹²⁾＝{r⁽¹²⁾(1)，r⁽¹²⁾(2)，…，r⁽¹²⁾(n+m)}，其中r⁽¹²⁾(1)＝r⁽¹⁾(1)，式中e为自然对数底数，取e≈2.718；

⑤累减还原：对计算出的拟合累加值进行累减还原，得到序列R⁽²⁾，其中r⁽²⁾(1)＝r⁽¹²⁾(1)，r⁽²⁾(k)＝r⁽¹²⁾(k)-r⁽¹²⁾(k-1)(k＝2，3，…，m+n)，完成GM(1，1)模型预测过程。

步骤五：还原数据：根据得到的序列R⁽²⁾，最后再还原到预测数据Y⁽⁰⁾。其中式中sin是正弦函数。

步骤六：误差评估：定义误差率序列为ER，其中比较最大的误差率er_max，若|er_max|≤15％预测效果较高，否则预测效欠佳。

该预测方法是用来解决均匀分布的波动数据的预测问题，接下来将结合一个实例，详细的阐述该方法的具体实施方式：

数据准备：首先准备一组波动数据，该数据是围绕某一值均匀分布的。可以通过采集，也可通过计算机随机生成。本实例采用的20数据如下：

3.78314.19264.12733.90684.08744.05504.14564.23023.98723.8689

3.87653.87484.19523.92463.94074.22363.95864.12534.12823.9913

利用该组数据，预测其后10个数据。

数据预测：

(1)去均值：由序列知n＝20，首先计算得该序列的均值u＝4.0311，再计算r⁽⁰⁾(k)＝x⁽⁰⁾(k)-u(k＝1，…，20)，得到R⁽⁰⁾序列：

-0.24810.16150.0962-0.12440.05630.02380.11440.1990-0.0439-0.1623

-0.1547-0.15640.1641-0.1065-0.09040.1924-0.07250.09420.0970-0.0398

这一步骤可以通过两个简单循环操作完成，具体过程参见图1；

(2)找大数：在序列R⁽⁰⁾中找到得绝对值最大的数为r⁽⁰⁾ _max＝-0.2481，这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图2；

(3)增长性处理：利用序列R⁽⁰⁾，计算得到具有增长趋势的序列R⁽¹⁾：

7.854011.857618.451425.657831.187137.602943.502949.334556.7266

63.544769.788176.080380.958888.408494.620899.6432107.1108112.7080

118.9786125.8249

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图3；

(4)灰色GM(1，1)预测：

①累加：利用序列R⁽¹⁾，计算得到累加的序列R⁽¹¹⁾：

7.854019.711638.163063.820895.0079132.6108176.1138225.4483

282.1749345.7196415.5077491.5880572.5468660.9552755.5760

855.2192962.33001075.03801194.01661319.8415

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图4；

②计算B矩阵与r向量：计算

(n＝20)，得到的两个向量分别为：

$B=\left(\begin{array}{cc}-13.7828& 1\\ -28.9373& 1\\ -50.9919& 1\\ -79.4144& 1\\ -113.8094& 1\\ -154.3623& 1\\ -200.7811& 1\\ -253.8116& 1\\ -313.9473& 1\\ -380.6137& 1\\ -453.5479& 1\\ -532.0674& 1\\ -616.7510& 1\\ -708.2656& 1\\ -805.3976& 1\\ -908.7746& 1\\ -1018.6840& 1\\ -1134.5273& 1\\ -1256.9291& 1\end{array}\right),$ ${\mathrm{\γ}}_N=\left(\begin{array}{c}11.8576\\ 18.4514\\ 25.6578\\ 31.1871\\ 37.6029\\ 43.5029\\ 49.3345\\ 56.7266\\ 63.5447\\ 69.7881\\ 76.0803\\ 80.9588\\ 88.4084\\ 94.6208\\ 99.6432\\ 107.1108\\ 112.7080\\ 118.9786\\ 125.8249\end{array}\right);$

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图5；

③估计参数：计算得到估计参数值： 这一步骤的实现，若是用Matlab计算可以通过调用命令inv来求逆，再计算矩阵乘法即可。若是用C等编程语言，需要用两个循环过程完成，第一个循环先计算B^Tγ_N，第二个循环计算B^TB，求逆可以直接采用伴随余子式计算，最后直接用二阶方阵的乘法定义计算参数即可，具体过程参见图6；

④计算拟合累加值：通过计算r⁽¹²⁾(1)＝r⁽¹⁾(1)，(k＝1，…，29)，得到拟合累加序列R⁽¹²⁾：

7.854033.241565.3677100.4032138.6115180.2799225.7218275.2789

329.3238388.2631452.5398522.6373599.0829682.4514773.3696

872.5214980.65231098.57541227.17761367.42591520.3751687.1751

1869.08062067.45932283.80302519.73872777.04063057.64363363.6578

3697.3845

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图7；

⑤累减还原：利用E⁽¹²⁾计算e⁽²⁾(1)＝e⁽¹²⁾(1)，e⁽²⁾(k)＝e⁽¹²⁾(k)-e⁽¹²⁾(k-1)(k＝2，3，…，m+n)，得到序列E⁽²⁾：

7.854025.387532.126235.035538.208341.668445.441949.5571

54.044958.939264.276770.097676.445683.368490.918299.1517

108.1309117.9231128.6022140.2483152.9491166.8001181.9054

198.3787216.3437235.9357257.3019280.6030306.0142333.7267

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图8；

(5)还原数据：计算得到最后预测序列Y⁽⁰⁾：

3.78313.96863.86944.14533.91024.21383.78464.19264.17893.8618

3.78503.82483.81633.78473.98484.27473.79104.27763.98113.8075

3.82394.10344.10614.14093.92864.10834.10654.24014.26883.8680

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图9；

误差评估：

计算得到误差率序列ER：

05.57％6.40％-5.91％4.39％-3.94％8.95％0.93％-4.75％0.17％2.27％

1.24％9.40％3.47％-1.09％-1.27％4.16％-3.78％3.65％4.56％

这一步骤可通过一个循环操作完成，具体过程参见图10，通过比较发现，绝对值最大的

误差率为9.40％，预测效果较好，预测效果图可参见图11。

根据上述算法，可以编制计算机程序，打包成一个预测器，用于均匀分布的波动数据的预测。以下是Matlab程序代码：

Claims (1)

1.一种均匀分布的波动数据预测方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

设原始的n个均匀分布波动数据组成的序列为X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),x⁽⁰⁾(2),…,x⁽⁰⁾(n)}，用其预测m个数据，得到Y⁽⁰⁾＝{y⁽⁰⁾(1),…y⁽⁰⁾(n),y⁽⁰⁾(n+1),…,y⁽⁰⁾(n+m)}，式中x⁽⁰⁾(k)、y⁽⁰⁾(k)分别表示序列X⁽⁰⁾、Y⁽⁰⁾中第k个数据，并且还用{y⁽⁰⁾(1),y⁽⁰⁾(2),…y⁽⁰⁾(n)}检测预测误差，{y⁽⁰⁾(n+1),…,y⁽⁰⁾(n+m)}预测得到m个数据；

步骤一：去均值：对于给定原始数据序列X⁽⁰⁾，先计算其均值u，再用序列X⁽⁰⁾中的每一个数减去均值u，即通过计算r⁽⁰⁾(k)＝x⁽⁰⁾(k)-u(k＝1,…,n)

得到序列R⁽⁰⁾＝{r⁽⁰⁾(1),r⁽⁰⁾(2),…,r⁽⁰⁾(n)}；

步骤二：找大数：在序列R⁽⁰⁾中找出绝对值最大的数，记为r⁽⁰⁾ _max；

步骤三：趋势处理：通过三角变换，即计算 $r^{\left(1\right)}\left(k\right)=arcsin\left(\frac{r^{\left(0\right)}\left(k\right)}{{r^{\left(0\right)}}_{\max }}\right)+2k\mathrm{\π},(k=1,...,n),$ 将序列R⁽⁰⁾处理成具有增长趋势的序列R⁽¹⁾＝{r⁽¹⁾(1),r⁽¹⁾(2),…,r⁽¹⁾(n)}，式中arcsin为反正弦函数，π为圆周率，取π≈3.14；

步骤四：灰色GM(1,1)预测：利用GM(1,1)模型对序列R⁽¹⁾进行预测，得到序列R⁽²⁾＝{r⁽²⁾(1),r⁽²⁾(2),…,r⁽²⁾(m+n)}；

步骤五：还原数据：根据得到的序列R⁽²⁾，最后再还原到预测数据Y⁽⁰⁾；

其中 $y^{\left(0\right)}\left(k\right)=r_{max}^{\left(0\right)}\·sin\left(r^{\left(2\right)}\right(k\left)\right)+u,(k=1,2,...,m+n),$ 式中sin是正弦函数；

步骤六：误差评估：定义误差率序列为ER，其中比较最大的误差率er_max，若|er_max|≤15％预测效果较高，否则预测效欠佳；

其中，步骤四中所述的利用GM(1,1)模型对序列R⁽¹⁾进行预测，

得到序列R⁽²⁾＝{r⁽²⁾(1),r⁽²⁾(2),…,r⁽²⁾(m+n)}的过程包括：

①累加：对序列R⁽¹⁾进行累加，得到序列R⁽¹¹⁾＝{r⁽¹¹⁾(1),r⁽¹¹⁾(2),…,r⁽¹¹⁾(n)}，

其中 $r^{\left(11\right)}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\Σ}}{r}^{\left(1\right)}\left(i\right),(k=1,...,n);$

②计算紧邻均值：设Z⁽¹⁾＝{z⁽¹⁾(2),…,z⁽¹⁾(n)}为R⁽¹¹⁾的紧邻均值生成序列，

其中 $z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{1}{2}\left(r^{\left(11\right)}\right(k-1)+r^{\left(11\right)}(k\left)\right),(k=2,3,...,n),$ 然后再根据紧邻均值序列Z⁽¹⁾与序列R⁽¹⁾计算：

$B=\left(\begin{array}{cc}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ \·& \·\\ \·& \·\\ \·& \·\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right),{\mathrm{\γ}}_N=\left(\begin{array}{c}{r}^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ r^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ r^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\right);$

③估计参数：用最小二乘法计算GM(1,1)模型r⁽¹⁾(k)+a·z⁽¹⁾(k)＝b中参数a，b的值，即计算 $\left(\begin{array}{c}\hat{a}\\ \hat{b}\end{array}\right)={\left(B^{T}B\right)}^{-1}{B}^T{\mathrm{\γ}}_N;$

④计算拟合累加值：根据GM(1,1)模型及估计参数值计算预测的累加值R⁽¹²⁾＝{r⁽¹²⁾(1),r⁽¹²⁾(2),…,r⁽¹²⁾(n+m)}，

其中r⁽¹²⁾(1)＝r⁽¹⁾(1)， $r^{\left(12\right)}(k+1)=\left(r^{\left(1\right)}\right(1)-\frac{\hat{b}}{\hat{a}})e^{-\hat{a}k}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}},(k=1,2,...,m+n-1),$ 式中e为自然对数底数，取e≈2.718；

⑤累减还原：对计算出的拟合累加值进行累减还原，得到序列R⁽²⁾，

其中r⁽²⁾(1)＝r⁽¹²⁾(1)，r⁽²⁾(k)＝r⁽¹²⁾(k)-r⁽¹²⁾(k-1)(k＝2,3,…,m+n)，完成GM(1,1)模型预测过程。