CN102142054B - 一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法，该方法包括下列步骤：步骤一、多道次划分方程的建立；步骤二、多道次划分方法的建立。该方法可用于指导实际复杂蒙皮多道次拉伸成形工艺设计，达到减少道次划分数和避免缺陷发生的功效。本发明提出的多道次划分理论和建立的多道次划分方法可用于指导实际复杂蒙皮多道次拉伸成形工艺设计，达到减少道次划分数和避免缺陷发生的功效。

Description

一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法

技术领域

本发明涉及一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法。属于材料加工工程领域。

背景技术

蒙皮零件是构成飞机气动外形的关键零件，其成形质量直接影响着飞机的气动性能和使用寿命。蒙皮的生产工艺通常是拉伸成形，简称拉形。部分变形量要求小的镜面蒙皮可以在T态(淬火态)下成形。其它蒙皮一般是退火状态的板料在新淬火状态下拉形。(对于变形铝合金，它的软化是通过退火，而它的强化是通过固溶热处理和时效硬化来实现。自然时效开始阶段，强度硬度基本不变，这段时间称为孕育期。在孕育期内，材料仍然具有接近甚至优于退火态的良好塑性，材料的这种状态称为新淬火状态)对于有些形状复杂的蒙皮零件，新淬火状态下一道次拉形超过材料的成形极限，会发生破裂，一般需要几道次成形。另外一些蒙皮零件，新淬火状态一道次拉形回弹量太大，常采用多道次成形来减少最后零件内部的残余应力，进而减少回弹量。

当前工厂在多道次工艺设计时主要依靠工艺人员的经验，往往导致划分的道次数太多，使得生产时间和成本上升，同时由于每道次变形量设计不合理而出现了粗晶、桔皮等缺陷。工艺设计中如何设计才能使得总道次数最少，而且每道次变形量不达到缺陷临界变形量，这是一个值得研究的问题。

发明内容

本发明所要针对解决的技术问题是：针对铝合金蒙皮拉伸成形工艺，建立多道次划分理论，之后与有限元数值模拟结合，提出一种基于有限元模拟的铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法。

本发明的技术方案为：一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法，该方法包括下列步骤：

步骤一、多道次划分方程的建立

多道次拉伸成形过程中，通常利用中间热处理使材料发生塑性回复。通过多道次单向拉伸试验研究预应变和不同中间热处理组合对铝合金最大均匀应变和应变强化的影响，可建立多道次拉伸成形最大均匀等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}={\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\α}}_{\left(j\right)}---\left(1\right)$

其中ε_ult(n)是第n道次中材料的最大均匀等效应变，α_(j)是第j次中间热处理的影响系数，ε_(i)是第i道发生的等效应变。

中间热处理过程中，除了材料的塑性回复，还会有粗晶、桔皮等缺陷的发生。根据多道次单向拉伸试验可以建立多道次拉伸成形过程中桔皮临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\γ}}_{\left(j\right)}---\left(2\right)$

其中

是第n道次中材料的桔皮临界等效应变，γ_(j)是第j次中间热处理的影响系数。

同上可以建立多道次拉伸成形过程中粗晶临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\β}}_{\left(j\right)}---\left(3\right)$

其中

是第n道次中材料的粗晶临界等效应变，β_(j)是第j次中间热处理的影响系数。

拉伸成形过程可以简化为是一简单加载过程，则应变累加方程如下：

${\mathrm{\ϵ}}_e=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}---\left(4\right)$

其中ε_e是不考虑材料缺陷发生的前提下，零件一道次拉伸成形合格时的等效应变。

任意道次缺陷发生的等概率方程建立如下：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}=...=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{(n-1)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}(n-1)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}---\left(5\right)$

方程(5)给出了每道次等效应变量的分配原则，即每道次等效应变量与该道次最大均匀等效应变量的比是一常数，目的是使各道次等效应变量分配尽量均匀。

步骤二、多道次划分方法的建立

基于方程(1)～(5)，给出的拉伸成形多道次划分方法如下：

1.基于有限元仿真确定出不考虑材料缺陷发生，零件一道次拉伸成形贴模时的等效应变ε_e；

2.道次从1道向n道逐渐尝试；

3.道次i时，采用由式(1)～(5)组成的道次分配方程组计算每道次的等效应变；

4.递增尝试道次，直到下列条件同时满足：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(i\right)}}\≤\frac{1}{1+s};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}\≤\frac{1}{1+s};$ i＝1，...，n-1    (6)

这里s是破裂缺陷安全裕度系数，具体定义如下：

板料成形中一般采用成形极限图来判断破裂的产生，成形极限图一般通过计算或实验方法来建立。实验确定成形极限图的方法是采用标准的实验装置，通过改变试件宽度和润滑条件，基于网格应变分析技术，获得表面极限应变量(ε₁，ε₂)或工程应变(e₁，e₂)，然后把这些点标注到表面应变坐标系中，根据表面极限应变量在坐标系中的分布特征，将他们连成适当的曲线，就是该材料的成形极限曲线(FLC，Forming Limit Curve)，如图1所示。

由于板料性能、试验条件波动以及人为因素的影响，测出的实验数据点往往会分散在应变平面内，呈带状分布。一般通过拟合数据点分布带上限得到成形极限曲线(FLC)。

考虑到上述实验数据点的分散性，润滑、压边力、毛坯定位、设备精度等生产条件以及材料性能产生的波动对毛坯变形的影响，实际生产中会在其变形极限上留出一定的安全裕度来限制毛坯的最大变形，从而保证冲压生产的稳定进行。常用的方法是根据极限应变点的分布带给定破裂区、安全区和临界区三个区域(见图1)，若应变点在破裂区，零件将发生破裂；在安全区，零件是安全的；在临界区内为“关键零件”。

在商用有限元软件后置处理模块中，通常是用一个系数来表示安全裕度，叫做安全裕度系数，记为s。其定义如下(见图1)：在应变平面内，对于任一面内较小主应变ε₁，

$s=\frac{{\mathrm{\Δ\ϵ}}_2}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}=\frac{({\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}-{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{saf}})}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}---\left(7\right)$

是指破裂成形极限应变，

是指安全成形极限应变，见图1；

s^*是桔皮缺陷安全裕度系数，s^*是粗晶缺陷安全裕度系数，定义参考式(7)。

5.在求解出每道次等效应变的前提下，通过有限元仿真确定出每道次的加载轨迹参数。

当第i-1道次成形结束后，进行中间退火或淬火热处理，然后进行第i道次成形。为了简化计算，在上述有限元仿真中忽略了中间热处理模拟，采用如下方法进行两道次之间的数据转换：进行第i道次模拟时将第i-1道次终了的结果导入，将单元应变和应力置为0，并将本构模型修改为第i道次的。

本发明一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法，其优点及功效：

本发明提出的多道次划分理论和建立的多道次划分方法可用于指导实际复杂蒙皮多道次拉伸成形工艺设计，达到减少道次划分数和避免缺陷发生的功效。

附图说明

图1为本发明成形极限图

图2a、b、c所示为本发明实施例一异向双曲度马鞍形蒙皮零件二维图

图3a、b、c所示为本发明实施例二翼身融合下蒙皮二维图

具体实施方式

一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法，该方法包括下列步骤：

步骤一、多道次划分方程的建立

多道次拉伸成形过程中，通常利用中间热处理使材料发生塑性回复。通过多道次单向拉伸试验研究预应变和不同中间热处理组合对铝合金最大均匀应变和应变强化的影响，可建立多道次拉伸成形最大均匀等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}={\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\α}}_{\left(j\right)}---\left(1\right)$

其中ε_ult(n)是第n道次中材料的最大均匀等效应变，α_(j)是第j次中间热处理的影响系数，ε_(i)是第i道发生的等效应变。

中间热处理过程中，除了材料的塑性回复，还会有粗晶、桔皮等缺陷的发生。根据多道次单向拉伸试验可以建立多道次拉伸成形过程中桔皮临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\γ}}_{\left(j\right)}---\left(2\right)$

其中

是第n道次中材料的桔皮临界等效应变，γ_(j)是第j次中间热处理的影响系数。

同上可以建立多道次拉伸成形过程中粗晶临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\β}}_{\left(j\right)}---\left(3\right)$

其中

是第n道次中材料的粗晶临界等效应变，β_(j)是第j次中间热处理的影响系数。

拉伸成形过程可以简化为是一简单加载过程，则应变累加方程如下：

${\mathrm{\ϵ}}_e=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}---\left(4\right)$

其中ε_e是不考虑材料缺陷发生的前提下，零件一道次拉伸成形合格时的等效应变。

任意道次缺陷发生的等概率方程建立如下：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}=...=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{(n-1)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}(n-1)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}---\left(5\right)$

方程(5)给出了每道次等效应变量的分配原则，即每道次等效应变量与该道次最大均匀等效应变量的比是一常数，目的是使各道次等效应变量分配尽量均匀。

步骤二、多道次划分方法的建立

基于方程(1)～(5)，给出的拉伸成形多道次划分方法如下：

1.基于有限元仿真确定出不考虑材料缺陷发生，零件一道次拉伸成形贴模时的等效应变ε_e；

2.道次从1道向n道逐渐尝试；

3.道次i时，采用由式(1)～(5)组成的道次分配方程组计算每道次的等效应变；

4.递增尝试道次，直到下列条件同时满足：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(i\right)}}\≤\frac{1}{1+s};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};$ $\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}\≤\frac{1}{1+s};$ i＝1，...，n-1      (6)

这里s是破裂缺陷安全裕度系数，具体定义如下：

板料成形中一般采用成形极限图来判断破裂的产生，成形极限图一般通过计算或实验方法来建立。实验确定成形极限图的方法是采用标准的实验装置，通过改变试件宽度和润滑条件，基于网格应变分析技术，获得表面极限应变量(ε₁，ε₂)或工程应变(e₁，e₂)，然后把这些点标注到表面应变坐标系中，根据表面极限应变量在坐标系中的分布特征，将他们连成适当的曲线，就是该材料的成形极限曲线(FLC，Forming Limit Curve)，如图1所示。

由于板料性能、试验条件波动以及人为因素的影响，测出的实验数据点往往会分散在应变平面内，呈带状分布。一般通过拟合数据点分布带上限得到成形极限曲线(FLC)。

考虑到上述实验数据点的分散性，润滑、压边力、毛坯定位、设备精度等生产条件以及材料性能产生的波动对毛坯变形的影响，实际生产中会在其变形极限上留出一定的安全裕度来限制毛坯的最大变形，从而保证冲压生产的稳定进行。常用的方法是根据极限应变点的分布带给定破裂区、安全区和临界区三个区域(见图1)，若应变点在破裂区，零件将发生破裂；在安全区，零件是安全的；在临界区内为“关键零件”。

在商用有限元软件后置处理模块中，通常是用一个系数来表示安全裕度，叫做安全裕度系数，记为s。其定义如下(见图1)：在应变平面内，对于任一面内较小主应变ε₁，

$s=\frac{{\mathrm{\Δ\ϵ}}_2}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}=\frac{({\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}-{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{saf}})}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}---\left(7\right)$

是指破裂成形极限应变，是指安全成形极限应变，见图1；

s^*是桔皮缺陷安全裕度系数，s^*是粗晶缺陷安全裕度系数。

5.在求解出每道次等效应变的前提下，通过有限元仿真确定出每道次的加载轨迹参数。

当第i-1道次成形结束后，进行中间退火或淬火热处理，然后进行第i道次成形。为了简化计算，在上述有限元仿真中忽略了中间热处理模拟，采用如下方法进行两道次之间的数据转换：进行第i道次模拟时将第i-1道次终了的结果导入，将单元应变和应力置为0，并将本构模型修改为第i道次的。

下面以实施例具体说明本发明的技术方案。

实施例1：典型异向双曲度马鞍形蒙皮零件，其二维模型见图2。零件材料2B06，最终使用状态T3，厚度0.8mm。毛料拉伸方向垂直于材料轧制方向。通过试验可得：第1道次材料最大均匀等效应变ε_ult(1)＝0.175；第1道次材料桔皮临界等效应变

第1次中间淬火热处理影响系数α₍₁₎＝0.433。考虑零件成形的复杂程度，s设为0.45，s_*设为0.1。按如下步骤实施多道次划分：

(1)ε_e的计算

由于零件最终使用状态是T3，因此如果零件一道次成形，那么它成形前的热处理状态应该是W态。根据一道次拉形毛料贴模时等效应变分布，可得ε_e＝0.121。

(2)一道次成形尝试

将计算得出的ε_e＝0.121和ε_ult(1)＝0.175代入式(6)后，发现说明一道次不能成形该零件，需要尝试两道次。

(3)两道次成形时每道次应变分配

两道次时，只考虑桔皮缺陷的出现、塑性部分回复等因素，道次分配方程组退化为：

$\left\{\begin{array}{c}\\ s_{\mathrm{ult}\left(2\right)}=s_{\mathrm{ult}\left(1\right)}-{\mathrm{\α}}_{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}...\left(1\right)\\ {\mathrm{\ϵ}}_e={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}...\left(2\right)\\ \frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}...\left(3\right)\end{array}\right.---\left(8\right)$

将ε_ult(1)、α₍₁₎和ε_e代入上式得：

$\left\{\begin{array}{c}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}=0.175-0.433{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}...\left(1\right)\\ 0.121={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}+{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}...\left(2\right)\\ \frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{0.175}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}...\left(3\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

从中求解出ε₍₁₎＝0.066，ε₍₂₎＝0.055。

(4)两道次成形可能性判断

将计算出的ε₍₁₎、ε₍₂₎代入式(6)后，发现所有条件满足，因此两道次可以成形。

(5)加载轨迹参数计算

通过模拟确定第一道次等效应变为0.066时模具的上顶量。将第一道次结果导入后，将单元应变和应力置为0，并将本构模型修改为第二道次的，然后进行第二道次计算，得出模具上顶到贴模时的上顶量。

通过上述工艺设计和工艺仿真验证可得出加载轨迹参数示。

实施例2：翼身融合下蒙皮零件，其二维投影图见图3。可以看出其纵向外凸，横向有凸有凹，因此选择沿纵向进行拉伸成形。试验材料为0.8mm厚2B06铝合金板，初始热处理状态为O。零件最终使用状态为T3。拉形方向沿着板料轧制方向。通过试验结果可知：ε_ult(1)＝0.175；

α₍₁₎＝0.433。考虑零件成形的复杂程度，s设为0.45，s^*设为0.1。按如下步骤实施多道次划分：

(1)ε_e的计算

根据一道次拉形毛料贴模时等效应变分布，可得ε_e＝0.127，最大等效应变已发生应变集中。

(2)一道次成形尝试

将计算得出的ε_e＝0.127和ε_ult(1)＝0.175代入式(6)后，发现

说明一道次不能成形该零件，需要尝试两道次。

(3)两道次成形时每道次应变分配

将ε_ult(1)、

η₍₁₎和ε_e代入(8)得：

$\left\{\begin{array}{c}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}=0.175-0.433{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}...\left(1\right)\\ 0.127={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}+{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}...\left(2\right)\\ \frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{0.175}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}...\left(3\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

从中求解出ε₍₁₎＝0.069，ε₍₂₎＝0.058。

(4)两道次成形可能性判断

将式(10)求解出的ε₍₁₎、ε₍₂₎代入式(6)，发现：

因此两道次可以成形。

(5)加载轨迹参数计算

通过模拟确定出等效应变为0.069时左右夹钳的拉伸量。将第一道次结果导入后，将单元应变和应力置为0，并将本构模型修改为第二道次的，然后进行第二道次计算，确定出左右夹钳的拉伸量。

通过上述工艺设计和工艺仿真验证可得出加载轨迹参数。

Claims (1)

1.一种铝合金蒙皮拉伸成形道次划分方法，该方法包括下列步骤：

步骤一、多道次划分方程的建立

多道次拉伸成形过程中，利用中间热处理使材料发生塑性回复，通过多道次单向拉伸试验研究预应变和不同中间热处理组合对铝合金最大均匀应变和应变强化的影响，建立多道次拉伸成形最大均匀等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}={\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\α}}_{\left(j\right)}---\left(1\right)$

其中ε_ult(n)是第n道次中材料的最大均匀等效应变，α_(j)是第j次中间热处理的影响系数，ε_(i)是第i道发生的等效应变；

中间热处理过程中，除了材料的塑性回复，还会有粗晶、桔皮缺陷的发生；根据多道次单向拉伸试验建立多道次拉伸成形过程中桔皮临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\γ}}_{\left(j\right)}---\left(2\right)$

其中

是第n道次中材料的桔皮临界等效应变，γ_(j)是第j次中间热处理的影响系数；

同上可以建立多道次拉伸成形过程中粗晶临界等效应变计算方程：

${\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}^{*}={\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}^{*}-\underset{i=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\β}}_{\left(j\right)}---\left(3\right)$

其中

是第n道次中材料的粗晶临界等效应变，β_(j)是第j次中间热处理的影响系数；

拉伸成形过程可以简化为是一简单加载过程，则应变累加方程如下：

${\mathrm{\ϵ}}_e=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}---\left(4\right)$

其中ε_e是不考虑材料缺陷发生的前提下，零件一道次拉伸成形合格时的等效应变；

任意道次缺陷发生的等概率方程建立如下：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(1\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(1\right)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(2\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(2\right)}}=...=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{(n-1)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}(n-1)}}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}---\left(5\right)$

方程(5)给出了每道次等效应变量的分配原则，即每道次等效应变量与该道次最大均匀等效应变量的比是一常数，目的是使各道次等效应变量分配尽量均匀；

步骤二、多道次划分方法的建立

基于方程(1)～(5)，给出的拉伸成形多道次划分方法如下：

(一).基于有限元仿真确定出不考虑材料缺陷发生，零件一道次拉伸成形贴模时的等效应变ε_e；

(二).道次从1道向n道逐渐尝试；

(三).道次i时，采用由式(1-5)组成的道次分配方程组计算每道次的等效应变；

(四).递增尝试道次，直到下列条件同时满足：

$\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(i\right)}}\≤\frac{1}{1+s};\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(i\right)}^{*}}\≤\frac{1}{1+s^{*}};\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{\left(n\right)}}{{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ult}\left(n\right)}}\≤\frac{1}{1+s};i=1,...,n-1---\left(6\right)$

这里s是破裂缺陷安全裕度系数，具体定义如下：

板料成形中采用成形极限图来判断破裂的产生，成形极限图实验方法来建立；实验确定成形极限图的方法是采用标准的实验装置，通过改变试件宽度和润滑条件，基于网格应变分析技术，获得表面极限应变量(ε₁，ε₂)或工程应变(e₁，e₂)，然后把这些点标注到表面应变坐标系中，根据表面极限应变量在坐标系中的分布特征，将他们连成曲线，就是该材料的成形极限曲线；

由于板料性能、试验条件波动以及人为因素的影响，测出的实验数据点往往会分散在应变平面内，呈带状分布；通过拟合数据点分布带上限得到成形极限曲线；

根据极限应变点的分布带给定破裂区、安全区和临界区三个区域，若应变点在破裂区，零件将发生破裂；在安全区，零件是安全的；在临界区内为“关键零件”；

在商用有限元软件后置处理模块中，通常是用一个系数来表示其破裂缺陷安全裕度，叫做破裂缺陷安全裕度系数，记为s；其定义如下：在应变平面内，对于任一面内较小主应变ε₁，

$s=\frac{{\mathrm{\Δ\ϵ}}_2}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}=\frac{({\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}-{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{saf}})}{{\mathrm{\ϵ}}_2^{\mathrm{flc}}}---\left(7\right)$

是指成形破裂的极限应变，

是指安全成形的极限应变；s^*是桔皮缺陷安全裕度系数，s^*是粗晶缺陷安全裕度系数，定义参考式(7)；

(五).在求解出每道次等效应变的前提下，通过有限元仿真确定出每道次的加载轨迹参数；

当第i-1道次成形结束后，进行中间退火或淬火热处理，然后进行第i道次成形；为了简化计算，在上述有限元仿真中忽略了中间热处理模拟，采用如下方法进行两道次之间的数据转换：进行第i道次模拟时将第i-1道次终了的结果导入，将单元应变和应力置为0，并将本构模型修改为第i道次的。

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