CN102129737A - 一种排队等待时间的获取方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明适用于控制技术领域，提供了一种排队等待时间的获取方法及系统，所述方法包括下述步骤：获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合顾客状态转移方程；解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示。在本发明实施例中，获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率；根据顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，顾客状态转移信息符合顾客状态转移方程；解析计算顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示，为顾客提供准确的排队等待时间，提高顾客的满意度。

Description

一种排队等待时间的获取方法及系统

技术领域

本发明属于控制技术领域，尤其涉及一种排队等待时间的获取方法及系统。

背景技术

绝大多数的服务系统(例如：银行、电信、移动或政府营业厅)只拥有有限的服务资源，以银行为例，在银行服务资源释放之前，排队队列中的顾客不能马上获得服务。通常，顾客无法知道他们在获得服务之前所需要等待的时间，在这种情况下如果顾客需要等待一段较长的时间，那么顾客肯定会对银行的服务感到不满或者提前离开队列放弃服务，使银行流失顾客资源。银行为了消除顾客的不满，可以增加服务资源即柜台数量，但在某些办理服务的低峰期，很多银行柜台会处于空闲状态，造成服务资源的浪费，增加了银行的人力资源成本。

为了给顾客提供有关在列队中等待时间的信息，现有的一些服务系统会记录等待顾客在队列中的位置信息，告知顾客在他之前还有多少未办理业务的顾客人数。但是，由于顾客办理的业务不同，顾客自身的等级不同，仅仅只有位置信息顾客是无法知道在获得服务之前他还需要等待多少时间。顾客本身也无法测定有柜台正在提供服务，也不知道服务者每完成一笔业务的速度，不能从根本上使顾客满意。

发明内容

本发明实施例的目的在于提供一种排队等待时间的获取方法，旨在解决现有技术中无法为顾客提供准确的排队等待时间，导致顾客不满或流失的问题。

本发明实施例是这样实现的，一种排队等待时间的获取方法，所述方法包括下述步骤：

获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；

根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率，c表示服务台数；

解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示。

本发明实施例的另一目的在于提供一种排队等待时间的获取系统，所述系统包括：

第一获取模块，用于获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；

顾客状态转移信息获取模块，用于根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率，c表示服务台数；

顾客等待时间获取模块，用于解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间；以及

第一输出显示模块，用于输出显示所述顾客等待时间获取模块获取得到的顾客等待时间。

本发明实施例的另一目的在于提供一种排队等待时间的获取方法，所述方法包括下述步骤：

获取顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i,$ μ、和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别；

根据所述顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1};$

根据计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$

根据计算得到的第一类顾客的等待时间和第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为： $E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n；

输出显示计算得到的各类顾客的等待时间。

本发明实施例的另一目的在于提供一种排队等待时间的获取系统，所述系统包括：

第二获取模块，用于获取顾客的平均到达率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i$ 和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别；

第一类顾客的等待时间计算模块，用于根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1};$

第二类顾客的等待时间计算模块，用于根据所述第一类顾客的等待时间计算模块计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$

第j顾客的等待时间计算模块，用于根据所述第一类顾客的等待时间计算模块计算得到的第一类顾客的等待时间和所述第二类顾客的等待时间计算模块计算得到的第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为： $E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n；以及

第二输出显示模块，用于输出显示所述第j类顾客的等待时间计算模块计算得到的各类顾客的等待时间。

在本发明实施例中，获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率；根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程；解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示，为顾客提供准确的排队等待时间，提高顾客的满意度。

附图说明

图1是第一实施例提供的排队等待时间的获取方法的实现流程图；

图2是本发明实施例提供的根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息的实现流程图；

图3是本发明实施例提供的解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间的实现流程图；

图4是本发明第二实施例提供的排队等待时间的获取方法的实现流程图；

图5是本发明实施例提供的根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间的实现流程图；

图6是本发明第一实施例提供的排队等待时间的获取方法的系统结构框图；

图7是本发明实施例提供的顾客等待时间获取模块的结构框图；

图8是本发明第二实施例提供的排队等待时间的获取系统的结构框图；

图9是本发明实施例提供的第一类顾客的等待时间计算模块的结构框图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

在本发明实施例中，获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率；根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程；解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示。

本发明实施例提供的是先到先服务(First-Come-First-Served，FCFS)的规则，即先到达的顾客，优先得到服务；对于有顾客优先级的情况，相同级别的顾客同样遵循先到先服务的原则。对多台服务窗口的情况，通常顾客到达后总是排在最短的队列后面，所以我们可以认为每个服务台的队伍是趋于一样长的，例如目前许多银行设立了排队机，这种情况也是一致的。为了说明问题，下述以一种无损等待制为例进行说明，即顾客到达后服务窗口无空闲时就进入队列排队，并没从系统中流失，队列没有无故损失。

顾客流量是指单位时间内到达到服务系统办理业务的顾客数，顾客到达的方式通常是一个一个到达的，当然也有成批到达的，但顾客的到达总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到达规律可以用概率来描述，即顾客的到达或到达时间间隔符合一定的概率分布，通常假设为相互独立且遵从同一概率分布的随机变量。下述以顾客以泊松分布到达为例进行说明，在此也可以是其他分布函数，在此不用以限制本发明，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾客的到达无关，其中，泊松分布函数为：

P{X＝k}＝λ^ke^-λ/k！，λ为常数，k＝0，1，2，....；

即在时间T内有k位顾客到达的概率为：P＝(λT)^ke^-λT/k！；其中，λT是在时间T内到达的平均顾客数。

顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的服务时间长短不一。将服务时间看作随机变量，那么它们是相互独立且遵循同一分布的。因此，顾客接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的。常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和爱尔朗分布。一般来说，简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布，其分布函数为：

F(t)＝1-e^-μt，t≥0。

在本发明实施例中，下述分别以先来先服务的排队模型和优先级服务模式位实施例进行描述，在此不用以限制本发明。

图1示出了本发明第一实施例提供的排队等待时间的获取方法的实现流程，其具体的实现如下所述：

在步骤S101中，获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ。

在本发明实施例中，根据银行或其他运营商系统的历史统计数据，可以计算出顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，例如：

在m天中，每天到达的顾客数分别为n₁，n₂，…，n_m，那么在该m天中顾客的平均到达率为： ${\mathrm{\λ}}_m=\frac{n_1+n_2+\·\·\·+n_m}{m};$

同样地，可以计算出服务台的平均服务速率： $\mathrm{\μ}=\frac{{\mathrm{\μ}}_1+{\mathrm{\μ}}_2+\·\·\·+{\mathrm{\μ}}_n}{C};$ 其中，整个系统的平均服务率为：Cμ＝μ₁+μ₂+…+μ_n，c表示服务台数。

在步骤S102中，根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率。

在本发明实施例中，上述顾客状态是本发明实施例提供的一种平衡状态，下述有详细的实施描述，在此不再赘述，但不用以限制本发明。

在步骤S103中，解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间。

在本发明实施例中，对上述顾客状态转移方程进行求解，得到排队队列长，从而根据 $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}$ 计算得到顾客等待时间，下述有详细的描述，在此不再赘述，但不用以限制本发明。

在步骤S104中，输出显示获取得到的顾客等待时间。

在本发明实施例中，当计算得到顾客等待时间之后，将计算得到的顾客等待时间通过相应的电子设备输出显示，其中输出方式可以是屏幕显示输出，也可以是语音播放，在此仅为本发明的一个实施例，不用以限制本发明。

在本发明实施例中，不妨预设一平衡状态，即假设有无穷多个房间，标号为0，1，2，...，其分别代表系统中有0，1，2，...个顾客的状态，并且假设只要在系统中有n个顾客，就指示某顾客进入房间n。也就是说，如果在系统中有2个顾客，他将进行房间2；而若另一个顾客正要到达系统，则他将离开房间2进行房间3；类似地，若一个服务已经结束，则他将离开房间2进入房间1，因为系统中只有一个顾客了。

现在假设顾客以每小时10次进入房间1，则该顾客必须以同样的每小时10次的速率离开房间1。因为该顾客进入房间1的总次数必须等于他离开房间1的总次数。因此，对于每个n≥0的状态，过程进入状态n的速率等于它离开状态n的速率。

上述仅为本发明的一个实施例，在此不用以限制本发明。

作为本发明的另一个实施例，图2示出了本发明实施例提供的根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息的实现流程，其具体的实现如下：

在步骤S201中，获取所述顾客状态转移方程中的第一方程式，记为：μP₁＝λP。

在本发明实施例中，基于上述预设的平衡状态，在状态0时，过程只能有一个到达者离开，因为很显然当系统是空的时候不可能会有人离开。由于到达速率是λ，而过程在状态0的时间比例是P₀，由此可以推出过程离开状态0的速率是λP₀；另一方面，状态0只能由状态1经过一个离开达到，也就是说，如果在系统中只有一个顾客，而且完成了服务，那么系统就变成空的了。由于服务速率是μ，且系统中恰有1个顾客的时间比例是P₁，由此推出过程进入状态0的速率是μP₁，因此，得到状态转移方程的第一个方程：μP₁＝λP。

在步骤S202中，当顾客数小于等于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第二方程式，记为：(n+1)μP_n+1+λP_n-1＝(λ+nμ)P_n。

在本发明实施例中，对于状态1，过程离开该状态，或者通过一个到达，或者通过一个离开，因此过程将以速率λ+μ离开这个状态。由于过程在状态1的时间比例是P₁，所以过程离开状态1的速率是(λ+μ)P₁；另一方面，状态1可能由状态0经过一个到达进入，也可能由状态2经过一个离开进入。因此过程进入状态1的速率还可以是λP₀+μP₂，因此可得：λP₀+μP₂＝(λ+μ)P₁；

由于对于状态2之后的各个状态的计算推导方式类似于状态1，因此，可得顾客状态转移方程中的第二方程式，记为：(n+1)μP_n+1+λP_n-1＝(λ+nμ)P_n。

在步骤S203中，当顾客数大于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程的第三方程式，记为：cμP_c＝λP_c-1。

在本发明实施例中，当系统中的顾客数大于柜台数时，即n＞c时，与状态2类似，只是系统中始终保持c个顾客的状态，因此可以得到顾客状态转移方程的第三方程式：cμP_c＝λP_c-1。

作为本发明的另一个实施例，图3示出了本发明实施例提供的解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间的实现流程，其具体的步骤如下所述：

在步骤S301中，根据 ${\mathrm{\Σ}}_0^c{P}_n=1=P_0+P_1+\·\·\·+P_c$ 计算得到P₀和P_n，即：

$P_0={[\underset{k=0}{\overset{c-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^k+\frac{1}{c!}\·\frac{1}{1-\mathrm{\ρ}}\·{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^c]}^{-1},$ $P_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n!}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n\≤c)\\ \frac{1}{c!c^{n-c}}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n>c)\end{array}\right.,$ 其中，ρ表示服务强度。

在本发明实施例中，首先根据计算得到的顾客状态转移方程中的第一方程式μP₁＝λP计算得到 $P_1=\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}{P}_0;$

然后，根据计算得到的顾客状态转移方程中的第三方程式cμP_c＝λP_c-1计算得到：λP₀＝μP₁，λP₁＝2μP₂，...，λP_c-1＝cμP_c， $P_c=\frac{{(\mathrm{\λ}/\mathrm{\μ})}^c}{c!}{P}_0;$

然后再根据 ${\mathrm{\Σ}}_0^c{P}_n=1=P_0+P_1+\·\·\·+P_c,$ 可以计算得到：

$P_0={[\underset{k=0}{\overset{c-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^k+\frac{1}{c!}\·\frac{1}{1-\mathrm{\ρ}}\·{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^c]}^{-1},$ $P_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n!}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n\≤c)\\ \frac{1}{c!c^{n-c}}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n>c)\end{array}\right..$

在步骤S302中，计算队列队长L_q，即： $L_q=\underset{n=c+1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(n-c)P_n=\frac{{\left(\mathrm{\ρ}\right)}^c{\mathrm{\ρ}}_s}{c!{(1-{\mathrm{\ρ}}_s)}^2}{P}_0.$

在本发明实施例中，顾客等候的概率等于顾客数大于柜台数所有状态概率的集合，即： $P(n\≥c)=\underset{n=c}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{P}_n=\frac{{\mathrm{\ρ}}^c}{c!(1-\mathrm{\ρ})}{P}_0;$ 因此可得：队列队长等于顾客数大于柜台数所有状态概率与队列中等待顾客数量的乘积，即：

$L_q=\underset{n=c+1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(n-c)P_n=\frac{{\left(\mathrm{\ρ}\right)}^c{\mathrm{\ρ}}_s}{c!{(1-{\mathrm{\ρ}}_s)}^2}{P}_0.$

在步骤S303中，计算顾客等待时间，即： $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}.$

在本发明实施例中，将上述步骤计算得到的队列队长代入到 $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}$ 中即可得到顾客等待的时间。

上述详细描述了顾客无优先级情况下按照先到先服务的规则进行排队等待时间估算获取方法，仅为本发明的一个实施例，不用以限制本发明。

图4示出了本发明第二实施例提供的排队等待时间的获取方法的实现流程，其具体的实现如下所述：

在步骤S401中，获取顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i,$ μ、和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别。

在本发明实施例中，该实施例提供的排队模型中有不同优先服务权的n类顾客到达，第i类顾客的到达过程是参数为λi的泊松过程，服务时间为B_i， $E\left(B_i\right)=\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_i},$ $D\left(B_i\right)={\mathrm{\σ}}_i^2,$ 第i类顾客的优先权高于第i+1类顾客，i＝1，2，…，n-1，第n类顾客的优先权最低。

在步骤S402中，根据所述顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

在本发明实施例中，记W_i为第i类顾客的等待时间，J_i为第i类顾客到达间隔时间，x_iq为新顾客到达时第i类顾客的排队长，i＝1，2，…，n-1。当系统处于平稳后(ρ＜1)，第1类顾客的等待时间由两部分组成，一部分为系统的剩余服务时间W₀，当到达时如果系统中有顾客，则W₀＞0，否则W₀＝0；另一部分为到达时系统中所有第1类顾客的服务时间之和，即

其中，B_1j为第一类第j个顾客的服务时间，B₁₁，B₁₂，B₁₃…相互独立均与B₁同分布。

上述仅为本发明的一个具体实施例，下有详细的描述，在此不再赘述，但不用以限制本发明。

在步骤S403中，根据计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)}.$

在本发明实施例中，第二顾客的等待时间等于系统的剩余服务时间W₀与到达时系统中所有第1类顾客的服务时间与到达时系统中所有第2类客户服务时间之和，即： $W_2=W_0+\underset{j=1}{\overset{x_{1q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{1j}+\underset{j=1}{\overset{x_{2q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{2j},$ 其中，W₀为第二类一个顾客到达时系统的剩余服务时间，

为系统中第二类顾客的服务时间。

通过利特尔公式对上述计算式进行计算：

$E\left(W_2\right)=E(W_0+\underset{j=1}{\overset{x_{1q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{1j}+\underset{j=1}{\overset{x_{2q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{2j});$ E(W₂)＝E(W₀)+ρ₁E(W₁)+ρ₂E(W₂)；

$E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)+{\mathrm{\ρ}}_{1}E\left(W_1\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$

将上述步骤S402中计算得到的 $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1},$ 得到第二类顾客的等待时间为：

$E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)}.$

在步骤S404中，根据计算得到的第一类顾客的等待时间和第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为：

$E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n。

在本发明实施例中，采用归纳类推的方式，可以计算得到第j顾客的等待时间，在此不再赘述，但不用以限制本发明。

在步骤S405中，输出显示计算得到的各类顾客的等待时间。

在本发明实施例中，当计算得到顾客等待时间之后，将计算得到的顾客等待时间通过相应的电子设备输出显示，其中输出方式可以是屏幕显示输出，也可以是语音播放，在此仅为本发明的一个实施例，不用以限制本发明。

作为本发明的一个实施例，图5示出了本发明实施例提供的根据所述顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度计算第一类顾客的等待时间的实现流程，其具体的实现如下所述：

在步骤S501中，计算平均剩余服务时间，记为：

在本发明实施例中，第i类顾客的平均剩余服务时间为：

$E\left({\mathrm{\η}}_i\right)=E\left(B_i\right)=\frac{E\left(B_i^2\right)}{2E\left(B_i\right)}=\frac{{\mathrm{\μ}}_{i}E\left(B_i^2\right)}{2},$ 其中，i＝1，2，…，n，η_i为第i类顾客的剩余服务时间；

服务台为第i类顾客服务的概率为： $P\{B=B_i\}=\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\λ}},$ 其中B为系统的服务时间；

服务台被占的概率为： $\mathrm{\λE}\left(B\right)=\mathrm{\λ}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left(B\right|B=B_i)P\{B=B_i\}=\mathrm{\ρ};$

继而， $E\left(B\right)=\frac{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\λ}}=\frac{1}{\mathrm{\λ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i,$ $E\left(B^2\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}E\left(B^2\right|B=B_i)P\{B=B_i\}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\σ}}_i^2+\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_i^2})\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{\mathrm{\λ}};$

因此，系统的平均剩余服务时间为系统被占服务台的平均服务时间与系统的服务强度的乘积，即：

在步骤S502中，计算第一类顾客的服务时间，记为：

其中，B_1j为第一类第j个顾客的服务时间。

在步骤S503中，计算所述平均剩余服务时间和第一类顾客的服务时间之和，即

推导得到第一类顾客的等待时间为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

在本发明实施例中，第一类顾客的等待时间为系统的剩余服务时间W₀与到达时系统中所有第1类顾客的服务时间之和， $W_1=W_0+\underset{j=1}{\overset{x_{1q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{1j};$

通过利特尔公式对上述计算式进行计算：

$E\left(W_1\right)=E(W_0+\underset{j=1}{\overset{x_{1q}}{\mathrm{\Σ}}}{B}_{1j});$

$E\left(W_1\right)=E\left(W_0\right)+E\left(x_{1q}\right)E\left(B_1\right)=E\left(W_0\right)+\frac{1}{\mathrm{\μ}}E\left(x_{1q}\right)=E\left(W_0\right)+{\mathrm{\ρ}}_{1}E\left(W_1\right);$

从而得到第一类顾客的等待时间： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

上述仅为本发明的一个具体实施例，在此不用以限制本发明。

图6示出了本发明第一实施例提供的排队等待时间的获取方法的系统结构框图，为了便于说明，图中仅给出了与本发明实施例相关的部分。

第一获取模块11获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；顾客状态转移信息获取模块12根据所述第一获取模块11获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率，c表示服务台数；顾客等待时间获取模块13解析计算所述顾客状态转移信息获取模块12获取的顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间；第一输出显示模块14输出显示所述顾客等待时间获取模块获取得到的顾客等待时间。

在本发明实施例中，第一方程式获取模块121获取所述顾客状态转移方程中的第一方程式，记为：μP₁＝λP；第二方程式获取模块122当顾客数小于等于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第二方程式，记为：(n+1)μP_n+1+λP_n-1＝(λ+nμ)P_n；第三方程式获取模块123当顾客数大于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第三方程式，记为：cμP_c＝λP_c-1。

在本发明实施例中，如图7所示，第一计算模块131根据 ${\mathrm{\Σ}}_0^c{P}_n=1=P_0+P_1+\·\·\·+P_c$ 计算得到P₀和P_n，即： $P_0={[\underset{k=0}{\overset{c-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^k+\frac{1}{c!}\·\frac{1}{1-\mathrm{\ρ}}\·{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^c]}^{-1},$ $P_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n!}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n\≤c)\\ \frac{1}{c!c^{n-c}}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n>c)\end{array}\right.,$ 其中，ρ表示服务强度；第二计算模块132计算队列队长L_q，即：

$L_q=\underset{n=c+1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(n-c)P_n=\frac{{\left(\mathrm{\ρ}\right)}^c{\mathrm{\ρ}}_s}{c!{(1-{\mathrm{\ρ}}_s)}^2}{P}_0;$ 第三计算模块133根据所述第二计算模块132计算得到的队列队长计算顾客等待时间，即： $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}.$

上述仅为本发明的一个具体实施例，在此不用以限制本发明。

图8示出了本发明第二实施例提供的排队等待时间的获取系统的结构框图，为了便于说明，图中仅给出了与本发明实施例相关的部分。

第二获取模块21获取顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i,$ μ、和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别；第一类顾客的等待时间计算模块22根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1};$ 第二类顾客的等待时间计算模块23根据所述第一类顾客的等待时间计算模块22计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$ 第j顾客的等待时间计算模块24根据所述第一类顾客的等待时间计算模块22计算得到的第一类顾客的等待时间和所述第二类顾客的等待时间计算模块23计算得到的第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为： $E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n；第二输出显示模块25输出显示所述第j类顾客的等待时间计算模块24计算得到的各类顾客的等待时间。

在本发明实施例中，如图9所示，平均剩余服务时间计算模块221计算平均剩余服务时间，记为：

第一类顾客的服务时间计算模块222计算第一类顾客的服务时间，记为：

其中，B_1j为第一类第j个顾客的服务时间；推导计算模块223计算所述平均剩余服务时间和第一类顾客的服务时间之和，即

推导得到第一类顾客的等待时间为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

上述仅为本发明的一个具体实施例，在此不用以限制本发明。

在本发明实施例中，获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率；根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务运率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程；解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示，为顾客提供准确的排队等待时间，提高顾客的满意度。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种排队等待时间的获取方法，其特征在于，所述方法包括下述步骤：

获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；

根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率，c表示服务台数；

解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间，并输出显示。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息的步骤具体包括：

获取所述顾客状态转移方程中的第一方程式，记为：μP₁＝λP；

当顾客数小于等于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第二方程式，记为：(n+1)μP_n+1+λP_n-1＝(λ+nμ)P_n；

当顾客数大于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第三方程式，记为：cμP_c＝λP_c-1。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间的步骤具体包括：

根据 ${\mathrm{\Σ}}_0^c{P}_n=1=P_0+P_1+\·\·\·+P_c$ 计算得到P₀和P_n，即：

$P_0={[\underset{k=0}{\overset{c-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^k+\frac{1}{c!}\·\frac{1}{1-\mathrm{\ρ}}\·{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^c]}^{-1},$ $P_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n!}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n\≤c)\\ \frac{1}{c!c^{n-c}}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n>c)\end{array}\right.,$ 其中，ρ表示服务强度；

计算队列队长L_q，即： $L_q=\underset{n=c+1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(n-c)P_n=\frac{{\left(\mathrm{\ρ}\right)}^c{\mathrm{\ρ}}_s}{c!{(1-{\mathrm{\ρ}}_s)}^2}{P}_0;$

计算顾客等待时间，即： $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}.$

4.一种排队等待时间的获取系统，其特征在于，所述系统包括：

第一获取模块，用于获取顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，分别记为λ和μ；

顾客状态转移信息获取模块，用于根据所述顾客的平均到达率和服务台的平均服务速率，获取顾客状态转移信息，所述顾客状态转移信息符合下述顾客状态转移方程：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\μ}{P}_1=\mathrm{\λ}{P}_0& n=0\\ (n+1)\mathrm{\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{n\μ})P_n& 1\≤n\≤c\\ \mathrm{c\μ}{P}_{n+1}+\mathrm{\λ}{P}_{n-1}=(\mathrm{\λ}+\mathrm{c\μ})P_n& n>c\end{array}\right.,$ 其中，P_n表示任一时刻顾客数为n的概率，c表示服务台数；

顾客等待时间获取模块，用于解析计算所述顾客状态转移方程，获取得到顾客等待时间；以及

第一输出显示模块，用于输出显示所述顾客等待时间获取模块获取得到的顾客等待时间。

5.如权利要求4所述的系统，其特征在于，所述顾客状态转移信息获取模块具体包括：

第一方程式获取模块，用于获取所述顾客状态转移方程中的第一方程式，记为：μP₁＝λP；

第二方程式获取模块，用于当顾客数小于等于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第二方程式，记为：(n+1)μP_n+1+λP_n-1＝(λ+nμ)P_n；以及

第三方程式获取模块，用于当顾客数大于服务台数c时，计算所述顾客状态转移方程中的第三方程式，记为：cμP_c＝λP_c-1。

6.如权利要求3所述的系统，其特征在于，所述顾客等待时间获取模块具体包括：

第一计算模块，用于根据 ${\mathrm{\Σ}}_0^c{P}_n=1=P_0+P_1+\·\·\·+P_c$ 计算得到P₀和P_n，即：

$P_0={[\underset{k=0}{\overset{c-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{k!}{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^k+\frac{1}{c!}\·\frac{1}{1-\mathrm{\ρ}}\·{\left(\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\μ}}\right)}^c]}^{-1},$ $P_n=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{n!}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n\≤c)\\ \frac{1}{c!c^{n-c}}{\mathrm{\ρ}}^n{P}_0(n>c)\end{array}\right.,$ 其中，ρ表示服务强度；

第二计算模块，用于计算队列队长L_q，即： $L_q=\underset{n=c+1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(n-c)P_n=\frac{{\left(\mathrm{\ρ}\right)}^c{\mathrm{\ρ}}_s}{c!{(1-{\mathrm{\ρ}}_s)}^2}{P}_0;$

第三计算模块，用于根据所述第二计算模块计算得到的队列队长计算顾客等待时间，即： $W_q=\frac{L_q}{\mathrm{\λ}}.$

7.一种排队等待时间的获取方法，其特征在于，所述方法包括下述步骤：

获取顾客的平均到达率、服务台的平均服务速率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i,\mathrm{\μ},$ 和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别；

根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1};$

根据计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$

根据计算得到的第一类顾客的等待时间和第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为： $E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n；

输出显示计算得到的各类顾客的等待时间。

8.如权利要求7所述的方法，其特征在于，所述根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间的步骤具体包括：

计算平均剩余服务时间，记为：

计算第一类顾客的服务时间，记为：

其中，B_1j为第一类第j个顾客的服务时间；

计算所述平均剩余服务时间和第一类顾客的服务时间之和，即

推导得到第一类顾客的等待时间为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

9.一种排队等待时间的获取系统，其特征在于，所述系统包括：

第二获取模块，用于获取顾客的平均到达率和服务强度，分别为： $\mathrm{\λ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_i$ 和 $\mathrm{\ρ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_i}{{\mathrm{\μ}}_i},$ 其中i＝0，1，...，n为顾客优先服务类别；

第一类顾客的等待时间计算模块，用于根据所述顾客的平均到达率和服务强度计算第一类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1};$

第二类顾客的等待时间计算模块，用于根据所述第一类顾客的等待时间计算模块计算得到的第一类顾客的等待时间计算第二类顾客的等待时间，记为： $E\left(W_2\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{(1-{\mathrm{\ρ}}_1)(1-{\mathrm{\ρ}}_2)};$

第j顾客的等待时间计算模块，用于根据所述第一类顾客的等待时间计算模块计算得到的第一类顾客的等待时间和所述第二类顾客的等待时间计算模块计算得到的第二类顾客的等待时间，归纳类推，计算得到第j顾客的等待时间，记为： $E\left(W_j\right)=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}(1-{\mathrm{\ρ}}_i)}E\left(W_0\right),$ 其中，j＝1，2，...，n；以及

第二输出显示模块，用于输出显示所述第j类顾客的等待时间计算模块计算得到的各类顾客的等待时间。

10.如权利要求9所述的系统，其特征在于，所述第一类顾客的等待时间计算模块具体包括：

平均剩余服务时间计算模块，用于计算平均剩余服务时间，记为：

第一类顾客的服务时间计算模块，用于计算第一类顾客的服务时间，记为：

其中，B_1j为第一类第j个顾客的服务时间；

推导计算模块，用于计算所述平均剩余服务时间和第一类顾客的服务时间之和，即

推导得到第一类顾客的等待时间为： $E\left(W_1\right)=\frac{E\left(W_0\right)}{1-{\mathrm{\ρ}}_1}.$

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