CN102054281B - 弥散加权成像方法及系统 - Google Patents

Abstract

一种弥散加权成像方法，包括以下步骤：扫描并采样获得部分图像数据；根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；根据所述完整的图像数据重建图像。一种弥散加权成像系统，包括：采样模块，用于扫描并采样获得部分图像数据；求解模块，用于根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；图像重构模块，用于根据每个因式的解重构图像。上述弥散加权成像方法及系统采用部分采集和低秩矩阵填充的因式分解算法，从而达到提高空间分辨率，提高信噪比及快速地成像。

Description

弥散加权成像方法及系统

【技术领域】

本发明涉及磁共振成像，尤其涉及一种弥散加权成像方法及系统。

【背景技术】

近年来，弥散张量成像技术作为一种高空间分辨率、非入侵性的成像技术被广泛的应用于脏器的测量之中。但是传统使用的自旋回波-弥散张量成像技术(SE-DTI)获取数据的速度较慢，对于由呼吸、心跳等运动带来的伪影影响十分敏感，无法在在体脏器上使用。

【发明内容】

基于此，有必要提供一种能提高成像速度的弥散加权成像方法。

一种弥散加权成像方法，包括以下步骤：扫描并采样获得部分图像数据，采样方式为顺序采样；根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；根据所述完整的图像数据重建图像；

在优选的实施方式中，根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据步骤包括如下步骤：利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据；根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据；

在优选的实施方式中，利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为所述部分图像数据，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射；

在优选的实施方式中，根据所述部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为所述完整的图像数据，即：

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量；

在优选的实施方式中，根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据步骤还包括如下步骤：固定所述第二因式，求解所述第一因式；固定所述第一因式，求解所述第二因式；判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果是，结束对每个因式进行求解；如果否，继续进行迭代；

在优选的实施方式中，对每个因式进行求解的步骤包括如下步骤：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零；保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{{\left|\right|A}_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差‖A(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据；

在优选的实施方式中，对每个因式进行求解的方法为最小二乘法。

一种弥散加权成像系统，其特征在于，包括：采样模块，用于扫描并采样获得部分图像数据，采样方式为顺序采样；求解模块，用于根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；图像重构模块，用于根据所述完整的图像数据重构图像；

在优选的实施方式中，所述求解模块利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据，根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据；

利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为所述部分图像数据，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射；

具体的，所述求解模块根据部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为所述完整的图像数据，即：

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量；

在优选的实施方式中，所述求解模块通过如下方法进行求解：固定所述第二因式，求解所述第一因式；固定所述第一因式，求解所述第二因式；判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果是，结束对每个因式进行求解；如果否，继续进行迭代；

进一步的，在优选的实施方式中，所述求解模块通过如下方法进行求解：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零；保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{\left|\right|A_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差‖A(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据。

上述弥散加权成像方法及系统采用部分采集和低秩矩阵填充的因式分解算法，从而达到提高空间分辨率，提高信噪比及快速地成像。

【附图说明】

图1为实施例一中的弥散加权成像方法的流程图；

图2为图1中的弥散加权成像方法中的根据部分图像数据利用低秩矩阵填充因式分解算法迭代求解完整的图像数据方法的流程图；

图3为图2中的弥散加权成像方法中的因式分解算法迭代求解方法的流程图；

图4为实施例一中的弥散加权成像系统的示意图。

【具体实施方式】

下面结合具体的实施方式进行说明。

如图1所示，一种弥散加权成像方法，包括以下步骤：

S100，扫描并采样获得部分图像数据。采样的方式可为随机采样或顺序采样，在优选的实施方式中，采样方式为随机采样。

S200，根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据。在优选的实施方式中，对每个因式进行求解的方法为最小二乘法。如图2所示，步骤S200包括如下步骤：

S210，利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据。利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为部分图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。

S220，根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据。因式分解的结果可为多个因式，在本实施例中，根据所述部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为重建的图像。即：

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量。如图3所示，步骤S220包括如下步骤：

S221，固定第二因式，求解第一因式。

S222，固定第一因式，求解第二因式。

S223，判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果否，结束对每个因式进行求解。

在另一实施例中，步骤S220包括如下步骤：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零。保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{{\left|\right|A}_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差A‖(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据。

S300，根据所得解重建图像。

如图4所示，一种弥散加权成像系统，包括：

采样模块，用于扫描并采样获得部分图像数据；求解模块，用于根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；图像重构模块，用于根据每个因式的解重构图像。

采样模块10，扫描并采样获得部分图像数据。采样的方式可为随机采样或顺序采样。

求解模块20，用于根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据。在优选的实施方式中，对每个因式进行求解的方法为最小二乘法。利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据。利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为部分图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。根据部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为所述完整的图像数据。即，

${\left[A\left(X\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[X\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射。选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量。

求解模块20通过如下方法进行求解：固定所述第二因式，求解所述第一因式；固定所述第一因式，求解所述第二因式；判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果是，结束对每个因式进行求解；如果否，继续进行迭代。

在另一实施例中，求解模块20通过如下更加具体的方法进行求解：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零。保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{{\left|\right|A}_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差‖A(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据。

图像重构模块30，用于根据每个因式的解重构图像。

上述弥散加权成像方法及系统采用部分采集和低秩矩阵填充的因式分解算法，从而达到提高空间分辨率，提高信噪比及快速地成像。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (2)

1.一种弥散加权成像方法，包括以下步骤：

扫描并采样获得部分图像数据，采样方式为顺序采样；

根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；

根据所述完整的图像数据重建图像；

根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据步骤包括如下步骤：

利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据；

根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据；

利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为所述部分图像数据，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射；

所述根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据的步骤包括：

根据所述部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为所述完整的图像数据，即：

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射；选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量；

根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据步骤还包括如下步骤：

固定所述第二因式，求解所述第一因式；

固定所述第一因式，求解所述第二因式；

判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果是，结束对每个因式进行求解；如果否，继续进行迭代；

对每个因式进行求解的步骤包括如下步骤：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零；保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{{\left|\right|A}_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差‖A(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据；

对每个因式进行求解的方法为最小二乘法。

2.一种弥散加权成像系统，其特征在于，包括：

采样模块，用于扫描并采样获得部分图像数据，采样方式为顺序采样；

求解模块，用于根据所述部分图像数据，利用低秩矩阵填充因式分解算法来迭代求解完整的图像数据；

图像重构模块，用于根据所述完整的图像数据重构图像；

所述求解模块利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据，根据所述部分图像数据，采用低秩矩阵填充因式分解算法求解完整的图像数据；

利用部分可分离函数模型描述完整的图像数据的公式为：

A(x)＝b

其中，x为完整的图像数据，b为所述部分图像数据，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射；

具体的，所述求解模块根据部分可分离函数模型，将x分解为低秩矩阵的乘积，x＝UV，使得U和V满足秩(x)＜r，其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，x为所述完整的图像数据，即：

${\left[A\left(x\right)\right]}_k=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}{\left[x\right]}_{(i,j)}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ijk}}\underset{l=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\left[U\right]}_{(i,l)}{\left[V\right]}_{(l,j)}$

其中，U为第一因式，V为第二因式，r为指定的秩，a_ijk为系数，i,j,k为迭代系数，m,n为U的行数和V的列数，x为完整的图像数据，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射；选取适当的常数a_ijk，使得

A(UV)≡A_Uvec(V)≡A_Vvec(U)

其中，U为第一因式，V为第二因式，A为完整的图像数据与部分图像数据之间的映射，vec(.)将矩阵元素按列堆积成一个向量；

进一步的，所述求解模块通过如下方法进行求解：

固定所述第二因式，求解所述第一因式；

固定所述第一因式，求解所述第二因式；

判断在指定迭代次数内图像的变化是否小于阈值，如果是，结束对每个因式进行求解；如果否，继续进行迭代；

所述求解模块通过如下方法进行求解：

（1）随机初始化U⁽⁰⁾,V⁽⁰⁾，U⁽⁰⁾为未开始迭代前的第一因式，V⁽⁰⁾为未开始迭代前的第二因式，把迭代次数设为零；保持V^(q)不变，U^(q+1)由下式获得：

$U^{(q+1)}=\arg \underset{U}{\min }{\left|\right|A_{V\left(q\right)}\mathrm{vec}\left(U\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q)为第q次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（2）保持U^(q+1)不变，V^(q+1)由下式获得：

$V^{(q+1)}=\arg \underset{V}{\min }{\left|\right|A_{U(q+1)}\mathrm{vec}\left(V\right)-b\left|\right|}_2^2$

其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，vec(.)是把矩阵的元素按列堆积成一个向量，b为所述部分图像数据；

（3）如果迭代超过最大次数，或相对误差‖A(U^(q+1)V^(q+1))-b‖₂/‖b‖₂小于预期的阈值，迭代终结，其中，q+1为迭代次数，U^(q+1)为第q+1次迭代得到的第一因式，V^(q+1)为第q+1次迭代得到的第二因式，A为所述完整的图像数据与所述部分图像数据之间的映射，b为所述部分图像数据。

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