CN101994908A - 高温管线系统实现可靠性维修规划的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其中包括采集获取高温管线系统的检测数据、进行高温管线系统的有限元计算、根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定蠕变损伤参数、通过确定蠕变损伤参数的概率分布建立蠕变损伤概率模型、根据蠕变损伤概率模型计算结构失效概率、根据检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及结构失效概率建立基于可靠性分析的维修规划模型、根据维修规划模型进行计算处理并得到高温管线系统最佳维修时间。采用该种高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，实现了高效且准确地确定结构可靠性，能够准确确定维修方案，能够解决其它领域中的高温管线相类问题的维修规划，从而适用范围较为广泛。

Description

高温管线系统实现可靠性维修规划的方法

技术领域

本发明涉及热电站管线系统领域，特别涉及热电站高温管线系统维修规划技术领域，具体是指一种高温管线系统实现可靠性维修规划的方法。

背景技术

高温管线系统设备的维护管理是石化工业企业关注的主要问题，由于现代火力电站和热能厂中的高温高压蒸汽管线一般造价高，另外由于在高温高压环境下材料的劣化因素复杂难于预测，如果一旦发生故障将会给企业的经济以及社会安全带来巨大影响。

由于上述原因，对于高温管线的维修规划就显得十分重要。在六十年代，美国首先提出了基于可靠性维修规划方法，随后在美、英、日等发达国家建立了全方位生产维修与可靠性集中相结合的维修体系。以后又发展成为结合考虑在事故发生后可能造成的损害等影响因素建立的基于风险监测技术，例如美国机械工程师协会的ASME“气体管线完整性管理系统”；加拿大能源管道协会等七个团体组成的管道风险评价指导委员会(PRASC)开展的油气管道风险评价研究等都在工程实际中得到广泛应用。从文献资料上看，国外发达国家已经开展了大量的基于风险检测技术的分析工作，积累了大量的数据。

在我国，对于高温管道的安全保障技术有多方面的需求，一是我国正大力发展超临界发电技术，温度和压力的提高大大地增加了工厂的运行风险，而其中高温部件的运行寿命目前还没有积累多少经验；二是我国许多电厂的主蒸汽管道逐渐进入老龄期，运行时间普遍已达20万小时以上(设计寿命10万小时)，最长的累积服役时间已近40万小时；同时高温高压技术在许多高技术领域得到越来越多的应用也提出了新的需求。显然建立一个适于我国国情的基于风险技术的维修规划方法是非常必要的。

如果要建立一个适合我国国情的基于风险技术下的维修规划，必须要解决的重要问题是：

(1)首先由于我国开展这方面工作时间短，积累的资料少，如何利用少量有效信息进行建立可靠性维修规划是一个非常重要的前提问题。

(2)其次，在得到不同参数的统计分布性质下，如何能够才用一种有效而且计算效率高的算法计算也是一个重要问题。最后是如何采用现代化的维修方法确定合适的维修规划的问题。

发明内容

本发明的目的是克服了上述现有技术中的缺点，提供一种仅利用少量信息就能够较为准确的预测管线和管线系统可靠性问题、能够高效且准确地确定结构可靠性、准确确定维修方案、适用范围较为广泛的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法。

为了实现上述的目的，本发明的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法如下：

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其主要特定是，所述的方法包括以下步骤：

(1)采集获取高温管线系统的检测数据；

(2)根据所述的检测数据进行高温管线系统的有限元计算；

(3)根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定高温管线系统的蠕变损伤参数；

(4)通过确定所述的蠕变损伤参数的概率分布，建立高温管线系统的蠕变损伤概率模型；

(5)根据所述的蠕变损伤概率模型计算高温管线系统的结构失效概率；

(6)根据所述的检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及所述的结构失效概率，建立基于可靠性分析的维修规划模型；

(7)根据所述的维修规划模型进行计算处理，并得到高温管线系统最佳维修时间。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定高温管线系统的蠕变损伤参数，包括以下步骤：

(11)降低高温管线的材料试验数据中的高度非线性、随机因素的影响，减少数据的随机性，并降低数据的非线性程度；

(12)将处理后的试验数据进行统一规划处理；

(13)将处理后的试验数据按照粗糙集理论中的信息系统决策表的计算方法进行计算分析；

(14)确定出试验数据中影响材料寿命的敏感参数，并将该敏感参数作为高温管线系统的蠕变损伤参数。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的减少数据的随机性，具体为：

根据灰色理论中的累加或累减方法减少数据的随机性。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的降低数据的非线性程度，具体为：

对数据取对数，从而降低数据的非线性程度。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的通过确定所述的蠕变损伤参数的概率分布建立高温管线系统的蠕变损伤概率模型，包括以下步骤：

(21)根据以下公式确定预测累加风险函数

$\hat{H}\left(t_k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n+1-i};$

其中，t_k为失效事件发生时间，n为发生事件总的次数，其中也包括没有失效的事件，每个产品的失效时刻按由小到大排序为t₁≤t₂≤…≤t_n；

(22)根据以下公式结合Larson-Miller法的计算结果确定出基于威布尔概率分布函数的不可靠度函数F(t)：

F(t_rex/t_res)＝1-exp{-(t_rex/t_resη)m}；

其中，t_rex/t_res为试验寿命与相应的使用Larson-Miller法公式所计算的寿命的比值，m为形状参数，η为尺度数；简记t＝t_rex/t_res，则其概率分布函数记为：

F(t)＝1-R(t)＝1-exp{-H(t)}；

(23)根据以下公式确定累加风险函数的回归方程：

H(t)＝(t/η)^m；

lnH(t)＝mlnt-mlnη

其中，m、η为线性回归方程所确定的参数；

(24)根据线性回归方程y_i＝a+bx_i，并根据以下公式确定成布尔分布函数的参数：

m＝b

$\mathrm{\η}=\exp \{-\frac{a}{m}\};$

从而建立相应的概率寿命分布函数；

(25)根据以下公式建立蠕变损伤概率模型：

$\stackrel{.}{D}={\mathrm{Bt}}^{-m}\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}^r}{{(1-D)}^k};$

其中，t为时间；B、m、k、r为在给定温度下由实验所确定的材料常数；σ_eq为等效应力，且上述各参数均为随机变量。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的根据蠕变损伤概率模型计算高温管线系统的结构失效概率，包括以下步骤：

(31)选择所述的高温管线系统的各个区域所对应的等效应力作为分层抽样变量；

(32)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为不会发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}\≤{\left\{\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right\}}^{1/r};$

其中，B、D、k均为随机变量，且：

B＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

k＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

[D]＝损伤门槛值的均值-3×标准差；

(33)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}>{\left(\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right)}^{1/r};$

(34)在发生蠕变损伤失效的区域中，利用分层抽样方法基于蒙特卡洛法并通过以下公式计算失效概率P_j：

$P_f=\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{Num}};$

其中，Num为试验次数，nf为在试验中失效的次数，满足以下关系：

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的根据检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及结构失效概率建立基于可靠性分析的维修规划模型，具体为：

根据以下公式建立定期计划维修模型：

$C_T=\frac{C_p}{T_p}+C_c\frac{{\∫}_0^{T_p}(1-R\left(t\right))\mathrm{dt}}{T_p{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；T_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用；

或者，根据以下公式建立定期预防维修模型：

$C_T=C_c\frac{1-R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}+C_p\frac{R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；C_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用。

该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法中的根据维修规划模型进行计算处理并得到高温管线系统最佳维修时间，包括以下步骤：

(41)根据以下公式确定高温管线系统的风险R(t)：

$R\left(t\right)=\underset{a}{\overset{b}{\∫}}m(x,t)\·f(x,t)\mathrm{dx};$

其中，R(t)＝P_f(t)·C(t)，P_f(t)为结构的失效概率，C(t)为失效所产生的后果，其都是时间t的函数；P_f(t)和C(t)相互独立，且R(t)为模糊随机变量，f(x，t)为R(t)和P_f(t)所服从的相同的概率分布，m(x，t)为R(t)与C(t)所具有的相同的隶属函数，f(x，t)和m(x，t)均连续；

(42)利用线性规划算法通过以下公式计算出所述的高温管线系统的最佳维修时间t：

$\underset{s.t}{\min }R\left(t\right)=P_f\left(t\right)\·C\left(t\right);$

其中，

表示对目标函数R(t)求在所关注的运行时间中的最小值，该最小值即为最佳维修时间t。

采用了该发明的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，由于其中采用了粗集理论中决策表确定影响高温管线的重要因素方法，同时在缺少大量数据情况下利用少量数据确定各个参数随机分布性质方法，并利用两种适用于高温管线蠕变损伤问题的具有高效率计算的MC方法，而且采用了可靠性维修规划理论结合风险评价技术的高温管线损伤问题的维修规划方法，从而仅利用少量信息就能够较为准确的预测管线和管线系统可靠性问题，实现了高效且准确地确定结构可靠性，准确确定维修方案，其特别适用于企业在制定高温管线结构可靠性维修化的一系列实施方法，而且能够解决其它领域中的高温管线相类问题的维修规划，从而适用范围较为广泛。

附图说明

图1为本发明的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法的整体流程图。

图2为本发明的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法的具体实施方式中的管线系统全局示意图。

图3为本发明的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法的具体实施方式中的管线系统局部示意图。

具体实施方式

为了能够更清楚地理解本发明的技术内容，特举以下实施例详细说明。

请参阅图1所示，该高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其中包括以下步骤：

(1)采集获取高温管线系统的检测数据；

(2)根据所述的检测数据进行高温管线系统的有限元计算；

(3)根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定高温管线系统的蠕变损伤参数，包括以下步骤：

(a)降低高温管线的材料试验数据中的高度非线性、随机因素的影响，减少数据的随机性，并降低数据的非线性程度；所述的减少数据的随机性，具体为：

根据灰色理论中的累加或累减方法减少数据的随机性；

所述的降低数据的非线性程度，具体为：

对数据取对数，从而降低数据的非线性程度；

(b)将处理后的试验数据进行统一规划处理；

(c)将处理后的试验数据按照粗糙集理论中的信息系统决策表的计算方法进行计算分析；

(d)确定出试验数据中影响材料寿命的敏感参数，并将该敏感参数作为高温管线系统的蠕变损伤参数；

(4)通过确定所述的蠕变损伤参数的概率分布，建立高温管线系统的蠕变损伤概率模型，包括以下步骤：

(a)根据以下公式确定预测累加风险函数

$\hat{H}\left(t_k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n+1-i};$

其中，t_k为失效事件发生时间，n为发生事件总的次数，其中也包括没有失效的事件，每个产品的失效时刻按由小到大排序为t₁≤t₂≤…≤t_n；

(b)根据以下公式结合Larson-Miller法的计算结果确定出基于威布尔概率分布函数的不可靠度函数F(t)：

F(t_rex/t_res)＝1-exp{-(t_rex/t_resη)^m}；

其中，t_rex/t_res为试验寿命与相应的使用Larson-Miller法公式所计算的寿命的比值，m为形状参数，η为尺度数；简记t＝t_rex/t_res，则其概率分布函数记为：

F(t)＝1-R(t)＝1-exp{-H(t)}；

(c)根据以下公式确定累加风险函数的回归方程：

H(t)＝(t/η)^m；

lnH(t)＝mlnt-mlnη

其中，m、η为线性回归方程所确定的参数；

(d)根据线性回归方程y_i＝a+bx_i，并根据以下公式确定威布尔分布函数的参数：

m＝b

$\mathrm{\η}=\exp \{-\frac{a}{m}\};$

从而建立相应的概率寿命分布函数；

(e)根据以下公式建立蠕变损伤概率模型：

$\stackrel{.}{D}={\mathrm{Bt}}^{-m}\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}^r}{{(1-D)}^k};$

其中，t为时间；B、m、k、r为在给定温度下由实验所确定的材料常数；σ_eq为等效应力，且上述各参数均为随机变量；

(5)根据所述的蠕变损伤概率模型计算高温管线系统的结构失效概率，包括以下步骤：

(a)选择所述的高温管线系统的各个区域所对应的等效应力作为分层抽样变量；

(b)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为不会发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}\≤{\left\{\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right\}}^{1/r};$

其中，B、D、k均为随机变量，且：

B＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

k＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

[D]＝损伤门槛值的均值-3×标准差；

(c)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}>{\left(\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right)}^{1/r};$

(d)在发生蠕变损伤失效的区域中，利用分层抽样方法基于蒙特卡洛法并通过以下公式计算失效概率P_f：

$P_f=\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{Num}};$

其中，Num为试验次数，nf为在试验中失效的次数，满足以下关系：

(6)根据所述的检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及所述的结构失效概率，建立基于可靠性分析的维修规划模型，具体为：

根据以下公式建立定期计划维修模型：

$C_T=\frac{C_p}{T_p}+C_c\frac{{\∫}_0^{T_p}(1-R\left(t\right))\mathrm{dt}}{T_p{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；C_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用；

或者，根据以下公式建立定期预防维修模型：

$C_T=C_c\frac{1-R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}+C_p\frac{R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；C_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用；

(7)根据所述的维修规划模型进行计算处理，并得到高温管线系统最佳维修时间，包括以下步骤：

(41)根据以下公式确定高温管线系统的风险R(t)：

$R\left(t\right)=\underset{a}{\overset{b}{\∫}}m(x,t)\·f(x,t)\mathrm{dx};$

其中，R(t)＝P_f(t)·C(t)，P_f(t)为结构的失效概率，C(t)为失效所产生的后果，其都是时间t的函数；P_f(t)和C(t)相互独立，且R(t)为模糊随机变量，f(x，t)为R(t)和P_f(t)所服从的相同的概率分布，m(x，t)为R(t)与C(t)所具有的相同的隶属函数，f(x，t)和m(x，t)均连续；

(42)利用线性规划算法通过以下公式计算出所述的高温管线系统的最佳维修时间t：

$\underset{s.t}{\min }R\left(t\right)=P_f\left(t\right)\·C\left(t\right);$

其中，表示对目标函数R(t)求在所关注的运行时间中的最小值，该最小值即为最佳维修时间t。

在实际使用当中，本发明的方法共包括以下四方面：

(1)采用粗集理论中决策表确定影响高温管线的重要因素方法；

(2)在缺少大量数据情况下利用少量数据确定各个参数随机分布性质方法；

(3)两种适用于高温管线蠕变损伤问题的具有高效率计算的MC方法；

(4)采用可靠性维修规划理论结合风险评价技术的高温管线损伤问题的维修规划方法。

相应的处理过程具体如下：

1、确定对高温管线寿命影响大的因素

针对影响高温管线寿命因素较多的特点，首先要尽量去掉对高温管线寿命影响较小的因素，只留下影响大的因素。在常规的可靠性分析中，常常采用的是参数敏感性分析方法，来确定可靠性模型中影响较大也就是对结果较为敏感的那些参数。但是这种方法并不能有效地应用于分析大量高温试验数据。

粗糙集(Rough Set)理论是一种处理含糊和不确定性问题的数学工具。该方法中决策规则的推理广泛应用于医药学、商业、金融、市场研究、工程控制和设计的广泛领域之中。粗糙集理论在有关数据库挖掘中是一种非常有效的理论，取得了显著的成效。并且已经有用到了从材料成分出发区分材料性质的研究报道。

因此，首先利用粗糙集理论确定出试验数据中重要影响参数的方法。具体的分析步骤如下：

(1)首先要设法降低材料试验数据中的高度非线性，随机因素等影响，例如根据灰色理论中累加或累减方法减少随机性；对于疲劳试验数据则可以采用对数据取对数的方法以降低非线性程度。

(2)然后将处理后的实验数据进行统一规划处理，以便于做分析。

(3)将处理后的数据按照粗糙集理论中信息系统决策表的计算方法进行计算分析。

按照上述分析步骤可以有效地确定出试验数据中影响材料寿命的敏感参数。

2、确定参数概率分布问题

在选择出影响因素高的随机参数之后，要解决的问题是如何确定电站、化工设备或构件材料的失效寿命的概率分布函数问题。

这个问题是基于可靠性的设计和维修规划技术理论中最重要的问题之一。一般确定结构或构件的失效概率函数需要通过可靠性试验或者是由大量的来自于工程实际的数据来确定。但是由于工程实际环境或者试验条件所限，有时不可能获得足够多的数据。因此，有一些学者在研究有关不完整数据或少量数据条件下确定概率分布函数方法。在实际工程问题中存在着这样的一对矛盾，一方面缺乏充足的用于确定材料、构件的失效概率分布函数的大量数据，而另一方面则又有许多相关的常规材料、构件的试验数据不能被利用。K.Fujiyama等提出了一种利用现有材料、构件数据库确定相关失效概率分布函数的方法则很好地解决了电站设备在基于风险维修规划的相关问题。但是随之带来的问题是，由于常规试验数据中的数据样本数量较少。因此，样本数量的多少对于所要确定失效概率分布函数误差有多少，就成为一个必须讨论问题。

以下为确定失效概率函数的方法：

假设有n个产品，每个产品失效时刻按由小到大排序为

t₁≤t₂≤…≤t_n；

用下面公式确定预测累加风险函数(Estimate cumulative hazard function)：

$\hat{H}\left(t_k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n+1-i}......\left(2.1\right)$

其中，t_k是失效事件发生时间，n是发生事件总的次数包括没有失效的事件。

失效数据库的数据可以结合L-M法(Larson-Miller法)计算结果确定出基于威布尔概率分布函数的不可靠度函数，如下

F(t_rex/t_res)＝1-exp{-(t_rex/t_resη)^m}                       ......(2.2)

其中，t_rex/t_res是试验寿命与相应的L-M法公式计算寿命比值。m是形状参数，η是尺度参数。

简记t＝t_rex/t_res，其概率分布函数记为：

F(t)＝1-R(t)＝1-exp{-H(t)}    ......(2.3)

在假设失效概率函数服从威布尔分布情况下，对于累加风险函数的回归方程如下：

H(t)＝(t/η)^m

                                ......(2.4)

lnH(t)＝mlnt-mlnη

这里，m、η是线性回归方程所确定的参数。

根据线性回归方程：

y_i＝a+bx_i

威布尔分布函数的参数由下式确定：

m＝b

$\mathrm{\η}=\exp \{-\frac{a}{m}\}......\left(2.5\right)$

采用由式(2.1)～(2.5)的处理方法，可以有效地根据高温蠕变损伤材料试验数据建立成为相应的概率寿命分布函数。由于这个概率寿命分布函数既可以在一个固定的时间内表示出试验数据随机分布情况，又可以表示出时间增长情况下，材料蠕变损伤的概率寿命。因此利用这种方法可以直接确定出高温管线的概率损伤图。

3、精确高效率的计算方法

金属材料的高温蠕变损伤中的概率性质已得到材料试验所证明，通常研究人员通过大量试验确定相关材料参数的概率统计性质的基础上，建立了一些相应的蠕变概率模型。目前常常采用一次二阶矩法，蒙特卡洛等方法计算蠕变损伤失效概率。

由于蠕变损伤的概率参数中不仅仅只有正态分布而且还有许多种非正态分布，因此采用一次二阶矩法比较困难。而蒙特卡洛法由于其方法简便，可以很方便地用于含有不同分布下随机变量的概率模型的模拟仿真问题，此外，由于该方法具有对积分维数不敏感以及易于应用的特点。在工程中得到了广泛应用。但是由于其计算效率较低，因此在用于蠕变损伤概率模型计算上，特别是对于一些复杂的模型，将会花费许多计算时间。因此，如何提高计算效率是一个重要的问题，目前常用的方法有重要抽样法和分层抽样法。但是这两种方法局限性较大，因此下面提出适用于高温管线蠕变损伤失效概率计算方法。

3.1重要抽样方法

首先介绍重要抽样方法，这种方法最重要的是如何选取重要抽样函数，是采取另一种分布来使模拟有一些偏重(即使得蠕变损伤失效次数增多)，这种分布在抽样时突出上式中被积函数中对积分贡献最大的那部分，为了避免把偏差引入最后结果，最后要进行修正。计算公式如下：

$P_f=\frac{1}{t}{\∫}_0^{t}h\left(a\right)\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Π}}}\frac{f\left(a\right)}{f_i\left(a\right)}{f}_i\left(a\right)\mathrm{da}......\left(3.1\right)$

式中：f(a)是原问题的概率密度函数；f_i(a)，(i＝1，......，k)是重要抽样的概率密度函数。因此重要抽样的计算公式：

$P_f=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}h\left(a_i\right)\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Π}}}\frac{f\left(a_i\right)}{f_j\left(a_i\right)}......\left(3.2\right)$

重要抽样函数的选取原则是，能使得在h(a)值区间内有大量的观测值。并且f(x)/f₁(x)之比对于不同的x值，其波动不会太大。

从上面可以看出，选择重要抽样函数要满足两个条件：

(1)能够在h(a)值区间内有大量的观测值。

(2)尽量减小f(x)/f₁(x)之比在不同的x值下的波动。

从上述选择重要抽样函数原则可知，选取重要抽样函数的方法很多。为了方便起见，下面将采用一种将原概率密度函数向危险方向平移作为蠕变损伤概率计算的重要抽样函数的方法。

对于蠕变损伤概率失效模型：

$\stackrel{.}{D}={\mathrm{Bt}}^{-m}\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}^r}{{(1-D)}^k}......\left(3.3\right)$

t：表示时间；B，m，k，r：是在给定温度下由实验所确定的材料常数；σ_eq：等效应力。上述参数均为随机变量。

根据上述选择重要抽样函数要求，在此模型中选取等效应力作为重要抽样变量。通过分析和比较，可以确定把原函数向应力增大方向平移一个标准差的距离，作为该重要抽样函数的均值，而方差不变。计算结果表明，在与蒙特卡洛直接抽样计算结果的相对误差小于10％的情况下，抽样数由直接抽样蒙特卡洛法的10000次，减少为重要性蒙特卡洛法抽样1000次模拟。也就是说只需要用直接抽样法的1/10工作量。

3.2分层抽样方法

分层抽样法是另一种常用于提高抽样效率方法，它的基本思想是使得对积分值贡献大的区域抽样更多出现，它的抽样策略是不改变原来的概率分布，而是将抽样区间分成一些小区间，在各小区间内的抽样点数根据贡献大小决定，使得对积分值贡献大的抽样更多出现，以便提高抽样效率。

考虑积分：

$I=\underset{0}{\overset{l}{\∫}}f\left(x\right)\mathrm{dx}......\left(3.4\right)$

将积分区间[0，1]用点a_i(i＝0，1，2，......，m)分成m个互不相交的子区间，其长度分别为：

l_i＝a_i-a_i-1，(i＝1，2，…，m；a₀＝0，a_m＝1)，

于是

$I={\∫}_0^{l}f\left(x\right)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{a_{i-1}}^{a_i}f\left(x\right)\mathrm{dx}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{I}_i......\left(3.5\right)$

用平均值估计法求每个小区间[a_i-1，a_i]的数值积分值I_i(i＝1，2，......，m)。如果知道各个小区间抽样对积分I的贡献大小，就可以针对其贡献大小决定抽样次数，对那些贡献小的区域少抽样或不抽样。因此就可以减少抽样次数，从而提高抽样效率。

根据蠕变损伤概率模型(3.3)，结合考虑上述有关分层抽样方法。选择等效应力作为分层抽样变量，考虑到不同区间对积分的贡献不同。在一些特殊区间，例如应力值所在的区间计算出的的损伤值出现大于临界损伤值时，可令这个区间的抽样值不必参加计算，直接今其蠕变损伤值为1。反之一些小应力远不足以使得结构发生蠕变损伤则令蠕变损伤值为0。这样就可以有效减少抽样次数。

在每个区域的蒙特卡洛法计算失效概率值的公式为：

$P_f=\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{Num}}$

式中：P_f：失效概率；Num：试验次数。nf：在实验中失效次数，其表达式如下：

为了确定出应力不可能出现蠕变损伤的范围，假设在其它的随机变量的数值足以使蠕变损伤模型的损伤值足够大的情况下，而应力值仍然不能使损伤值大于或等于损伤门槛值。

考虑随机变量取值如下：

B＝损伤门槛值的均值+3×标准差

k＝损伤门槛值的均值+3×标准差

[D]＝损伤门槛值的均值-3×标准差

根据上述公式可以推出，当等效应力小于下面公式取值时，(在小概率情况下)不会发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}\≤{\left\{\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right\}}^{1/r}$

反之，可以定义出等效应力(在大概率情况下)可以使结构发生蠕变破坏的区域。

由上述方法可以计算出不同时间下，等效应力不会超过损伤门槛的最大(小)值。因此，就可以合理安排对等效应力的分层抽样区间。

最后的计算结果表明，本文提出的方法可以有效减少抽样次数。例如在t＝400时，直接抽样法需要10000次，而分层抽样法用4453次。

4、预防维修和风险评估

4.1预防维修

维修周期模型中的费用最小模型中，可以采用下列两种情况。

(a)定期计划维修，单位时间内的总维修费用为：

$C_T=\frac{C_p}{T_p}+C_c\frac{{\∫}_0^{T_p}(1-R\left(t\right))\mathrm{dt}}{T_p{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}......\left(4.1\right)$

式中：

C_T：单位时间内总维修费用；C_c：每次事后维修的费用；C_p：预防维修的费用。

(b)定期预防维修：

$C_T=C_c\frac{1-R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}+C_p\frac{R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}......\left(4.2\right)$

其中参数同上式(4.1)。

4.2风险分析

基于风险分析的高温管道系统可靠性维修规划方法的定义如下，

R(t)＝P_f(t)·C(t)

在上式中，R(t)表示风险；P_f(t)表示结构的失效概率；C(t)表示失效所产生的后果。它们都是时间t的函数。其中，

表示对目标函数R(t)求在所关注的运行时间中的最小值，该最小值即为最佳维修时间t，也就是通过线性规划算法求出高温管线系统的最佳维修时间t。

根据以上的讨论可知，结构的失效概率可以用概率统计的方法来确定。

但是由于C(t)是关于失效后果的评估，牵涉到政治、经济、人文环境、企业发展等等诸多因素的影响。由于许多的分析和判别指标很难简单地使用数字表示。因此这一项不可能单纯用概率统计方法来表示。但是由于结构失效所产生的后果，由于客观条件的限制，因此也可以视为一种不确定性因素，即模糊因素。所以可以采用模糊数学中综合评判、专家评判等方法来定义这个函数。

这时风险R(t)是一个包含有随机因素和模糊因素这两种不确定因素的问题。在假设P_f(t)和C(t)相互独立的情况下。则R(t)是一个服从与P_f(t)相同的概率分布f(x，t)，与C(t)相同的隶属函数m(x，t)的模糊随机变量。

在f(x，t)、m(x，t)连续的条件下，对于一个给定的时间t，风险的计算表达式为：

$R\left(t\right)=\underset{a}{\overset{b}{\∫}}m(x,t)\·f(x,t)\mathrm{dx}$

上式可以采用模糊可靠性的积分算法解决。

但是在一般情况下，当P_f(t)和C(t)是已知函数的情况下，要得到基于风险评估的最佳维修时间，则是要求解一个优化问题，即

$\underset{s.t}{\min }R\left(t\right)=P_f\left(t\right)\·C\left(t\right);$

由于对于不同工程问题，其C(t)不同，因此要根据具体情况进行分析。

关于以上技术理论知识，也可以参考以下文献：

(1)张旭红.高温高压管线的寿命设计和预测技术的研究.南京工业大学硕士论文.2002；

(2)涂善东.高温结构完整性原理.科学出版社.2003：369～423；

(3)赵杰等，基于R6的含缺陷压力管系断裂失效风险分析系统-理论及方法(I).石油化工高等学校，2002(15)4：50～53；

(4)赵杰等，基于R6的含缺陷压力管系断裂失效风险分析系统-理论及方法(II).石油化工高等学校，2002(16)5：61～64；

(5)谢禹钧等，含缺陷压力管系断裂失效风险分析系统-基于PD6493(I).石油化工设备.2002(31)4：4～7；

下面以某石化公司中的某热电站管线系统为例对本发明的方法进行说明：

由于管道系统的重复性以及固定支架在管道系统应力分析中的分割作用，仅对四号汽轮机的供气管道进行应力分析。这部分管道包括6号锅炉到4号汽轮机和点火管，点火管通往汽轮机以及蒸汽母管到点火管的主蒸汽管道(Φ273×28，弯管半径R＝1370mm)，主蒸汽管道到点火管的连接管道以及部分点火管(Φ133×14.2，弯管半径R＝600mm)和部分母管(Φ366.5×36，弯管半径R＝1500mm)，如图2所示。

表1  管道设计参数及材料参数

1、高温管线结构蠕变损伤分析

首先进行有限元分析，为了更清楚的看出高温运行时管线的危险部位，将云图颜色设为四种。从图中可以看出，管线运行时的最高应力不超过540℃下材料的使用温度，故能安全运行。其中应力较高的部位部分与设计图纸给出的相吻合(设计图纸中需要安装蠕变监测点的地方)，另外弯管处的应力普遍较高，应另设置蠕变监测点。注：支架点处的应力较高主要是因为分析中支架处的载荷简化为点载荷，实际情况则要好的多。

再由高温管线材料10CrMo910的高温蠕变试验结果，可以确定出下列蠕变损伤公式：

${\stackrel{.}{\mathrm{\ϵ}}}_c=B{\mathrm{\σ}}^n......\left(6.1\right)$

和：

$\stackrel{.}{D}=A{\left(\frac{\mathrm{\σ}}{1-D}\right)}^p......\left(6.2\right)$

中的材料参数。

B：7.488×10^-22；n：8.3704；A：2.071×10^-19；p：7.27166；

σ：等效应力，根据有限元计算确定。其中，弯管的最大应力为35.2MPa。

并根据结构蠕变应力的计算，弯管的等效应力为28.16MPa。

2、高温管线的失效概率计算

根据上述分析结合参考相关文献，可以确定出随机变量的分布情况，令：

A服从对数正态分布，变异系数为0.05；

p服从正态分布，变异系数为0.05；

σ服从正态分布，变异系数为0.1；

D_cr极限损伤参数服从正态分布，均值为0.417，变异系数为0.1。

采用蒙特卡洛直接抽样法计算(计算方法见上面第二部分描述)，抽样次数为10⁷次。计算结果见表2。

表2  弯管蠕变损伤的失效概率

年	失效概率	年	失效概率
				1	6.000e-7	9	1.406e-4
2	2.700e-6	10	1.804e-4
				3	7.700e-6	11	2.299e-4
4	1.560e-5	12	2.780e-4
				5	2.830e-5	13	3.390e-4
6	4.830e-5	14	4.037e-4
				7	7.390e-5	15	4.790e-4
8	1.080e-4

为了能够更方便地运用可靠性维修规划计算公式，把上述的计算结果带入最小二乘法的线性回归方程中(具体方法见前面部分)，可以得到在威布尔、正态和对数正态分布下的拟合参数。

表3  弯管计算数据拟合概率分布参数结果

分布性质	分布参数	相关系数
			威布尔分布	M＝2.5288，η＝3.0639e2	0.9994
正态分布	μ＝43.3091，σ＝9.2063	0.9583
			对数正态分布	μ’＝8.2860，σ’＝1.6755	0.9974

3、可靠性维修规划计算

在上表6.3中，以威布尔分布的拟合结果中的相关系数最大，拟合效果最好。根据威布尔分布拟合数据好的特点，而且在工程中常采用。因此，在这里采用成布尔分布作为该结构蠕变损伤可靠度函数，

$R\left(t\right)=\mathrm{exo}(-{\left(\frac{t}{\mathrm{\η}}\right)}^m)......\left(6.3\right)$

由于维修周期模型中的费用最小模型中，分为两种情况。

(1)定期计划维修，单位时间内的总维修费用为：

$C_T=\frac{C_p}{T_p}+C_c\frac{{\∫}_0^{T_p}(1-R\left(t\right))\mathrm{dt}}{T_p{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}......\left(6.4\right)$

式中，

C_T：单位时间内总维修费用；C_c：每次事后维修的费用；C_p：预防维修的费用。

(2)定期预防维修：

$C_T=C_c\frac{1-R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}+C_p\frac{R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}......\left(6.5\right)$

其中参数同上式(6.4)。

由于事后维修和预防维修费用未知，下面假定预防维修费用C_p为一个单位，分别考虑事后维修费用和预防维修费用比值，C_c/C_p＝6，11，16的情况下，计算出的总维修费用。

在工作100000小时后，失效概率为1.804e-4。运用上述两种方法计算，结果见表4。

表4  在工作10万小时后弯管的总维修费用

Cc/Cp	定期计划维修	定期预防维修
			1	0.08761	0.08761
6	0.08764	0.08771
			11	0.08767	0.08782
16	0.08797	0.08793

在上述计算中，均考虑了管道在发生故障后的维修和没有发生情况下的预防性维修情况。但是在安装了传感器进行实时在线监测后，可以把以前发生故障后再进行维修的费用，降低成为预防性维修所要花费的费用。

也就是实现了在C_c/C_p＝1时，的维修情况。由表4可以看到，维修费用是各类维修费用中最低的。

同样根据有限元计算结果和有关蠕变应力的计算，得到直管的等效应力为22MPa，它的变异系数为0.1。其它参数同上，计算步骤相同。最后得到工作100000小时后，失效概率为4.2e-7。维修费用见下表。

表5  在工作10万小时后直管的总维修费用

Cc/Cp	定期计划维修	定期预防维修
			1	0.0876002	0.0876002

6	0.0876003	0.0876005
			11	0.0876004	0.0876009
16	0.0876005	0.0876012

4、基于风险评价技术确定的维修规划

通过现场在线检测设备得到的相关数据后，再通过有限元分析和上述维修规划计算分析后。可以计算在某个时间段，管线有两处缺陷处的失效概率值。例如在直管处有个缺陷位置1，在弯管处有个缺陷2。根据相关数据可以计算出相应部位处的失效概率值。

缺陷1处，失效概率值为1.2×10^-6；

缺陷2处，失效概率值为1.0×10^-6。

再用有限元计算时，发现该处发生应力集中现象。

根据风险的表征方法：

R＝P_f·C

式中，R是风险值；P_f是失效概率；C是失效事件发生的后果。

下面考虑由于失效导致的后果，将主要考虑(1)经济损失；(2)该部位对材料造成的损伤；(3)腐蚀造成的影响。

考虑到该管件失效导致的经济损失因素，给分10分，分为不可接受的损失(10～6.5)，严重损失(6.4～3.5)和可接受损失(3.4～0)三个标准。

对材料造成损伤，需要考虑结构内部是否有应力集中等能加速结构失效因素现象。同样分为三个等级，严重损伤(10～6.5)，一般损伤(6.4～3.5)，可忽略损伤(3.4～0)。

腐蚀情况分为三级，腐蚀严重(10～6.5)，一般腐蚀(6.4～3.5)，轻微腐蚀(3.4～0)。

定义失效后果评价为：C＝C₁·C₂·C₃

首先对管线部位的损伤进行评价：

表6  直管部位各个参数数据

C1经济损失	C2材料损伤	C3腐蚀情况	C
				5	3	1	15

弯管部位的损伤进行评价，考虑到在用有限元仿真计算中发现有应力集中区域，而且由检测所发现该缺陷恰好在应力集中区域上，由于弯管的特殊形状以及这个管件外部环境，发现腐蚀情况严重。因此评价情况如下。

表7  弯管部位各个参数数据

C1经济损失

C2材料损伤

C3腐蚀情况

C

5

10

8

400

最后的风险评价为：

管线处缺陷：R＝P_f·C＝1.2×10^-6×30＝3.6×10^-5

弯管处缺陷风险评定：R＝P_f·C＝10^-6×400＝4×10^-4

考虑到该类管线失效形式大多表现为韧性撕裂失效。根据风险评定表6.8，机械结构可以把失效概率转化为风险准则，如下表所示。

表8  机械结构SI推荐表

可靠度指标	3.71	4.26	4.75
				概率范围	10-4	10-5	10-6
失效后果	不严重	严重	很严重

由于管线失效后果不严重，因此可以用失效概率10-4，作为需要维修标准。根据上述的计算结果，弯管处缺陷的风险评价已超过标准，因此需要立即进行维修。

由以上所讨论方法和算例可知，本发明所采用的方法，可以有效、实时地检测判断高温管线的情况，确定是否需要维修，因此可以延长检验周期。

采用了上述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，由于其中采用了粗集理论中决策表确定影响高温管线的重要因素方法，同时在缺少大量数据情况下利用少量数据确定各个参数随机分布性质方法，并利用两种适用于高温管线蠕变损伤问题的具有高效率计算的MC方法，而且采用了可靠性维修规划理论结合风险评价技术的高温管线损伤问题的维修规划方法，从而仅利用少量信息就能够较为准确的预测管线和管线系统可靠性问题，实现了高效且准确地确定结构可靠性，准确确定维修方案，其特别适用于企业在制定高温管线结构可靠性维修化的一系列实施方法，而且能够解决其它领域中的高温管线相类问题的维修规划，从而适用范围较为广泛。

在此说明书中，本发明已参照其特定的实施例作了描述。但是，很显然仍可以作出各种修改和变换而不背离本发明的精神和范围。因此，说明书和附图应被认为是说明性的而非限制性的。

Claims (8)

1.一种高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的方法包括以下步骤：

(1)采集获取高温管线系统的检测数据；

(2)根据所述的检测数据进行高温管线系统的有限元计算；

(3)根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定高温管线系统的蠕变损伤参数；

(4)通过确定所述的蠕变损伤参数的概率分布，建立高温管线系统的蠕变损伤概率模型；

(5)根据所述的蠕变损伤概率模型计算高温管线系统的结构失效概率；

(6)根据所述的检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及所述的结构失效概率，建立基于可靠性分析的维修规划模型；

(7)根据所述的维修规划模型进行计算处理，并得到高温管线系统最佳维修时间。

2.根据权利要求1所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的根据各因素对高温管线寿命的影响程度确定高温管线系统的蠕变损伤参数，包括以下步骤：

(11)降低高温管线的材料试验数据中的高度非线性、随机因素的影响，减少数据的随机性，并降低数据的非线性程度；

(12)将处理后的试验数据进行统一规划处理；

(13)将处理后的试验数据按照粗糙集理论中的信息系统决策表的计算方法进行计算分析；

(14)确定出试验数据中影响材料寿命的敏感参数，并将该敏感参数作为高温管线系统的蠕变损伤参数。

3.根据权利要求2所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的减少数据的随机性，具体为：

根据灰色理论中的累加或累减方法减少数据的随机性。

4.根据权利要求2所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的降低数据的非线性程度，具体为：

对数据取对数，从而降低数据的非线性程度。

5.根据权利要求1至4中任一项所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的通过确定所述的蠕变损伤参数的概率分布建立高温管线系统的蠕变损伤概率模型，包括以下步骤：

(21)根据以下公式确定预测累加风险函数

$\hat{H}\left(t_k\right)=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{n+1-i};$

其中，t_k为失效事件发生时间，n为发生事件总的次数，其中也包括没有失效的事件，每个产品的失效时刻按由小到大排序为t₁≤t₂≤…≤t_n；

(22)根据以下公式结合Larson-Miller法的计算结果确定出基于威布尔概率分布函数的不可靠度函数F(t)：

F(t_rex/t_res)＝1-exp{-(t_rex/t_resη)^m}；

其中，t_rex/t_res为试验寿命与相应的使用Larson-Miller法公式所计算的寿命的比值，m为形状参数，η为尺度数；简记t＝t_rex/t_res，则其概率分布函数记为：

F(t)＝1-R(t)＝1-exp{-H(t)}；

(23)根据以下公式确定累加风险函数的回归方程：

H(t)＝(t/η)^m；

lnH(t)＝mlnt-mlnη

其中，m、η为线性回归方程所确定的参数；

(24)根据线性回归方程y_i＝a+bx_i，并根据以下公式确定威布尔分布函数的参数：

m＝b

$\mathrm{\η}=\exp \{-\frac{a}{m}\};$

从而建立相应的概率寿命分布函数；

(25)根据以下公式建立蠕变损伤概率模型：

$\stackrel{.}{D}={\mathrm{Bt}}^{-m}\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}^r}{{(1-D)}^k};$

其中，t为时间；B、m、k、r为在给定温度下由实验所确定的材料常数；σ_eq为等效应力，且上述各参数均为随机变量。

6.根据权利要求5所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的根据蠕变损伤概率模型计算高温管线系统的结构失效概率，包括以下步骤：

(31)选择所述的高温管线系统的各个区域所对应的等效应力作为分层抽样变量；

(32)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为不会发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}\≤{\left\{\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right\}}^{1/r};$

其中，B、D、k均为随机变量，且：

B＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

k＝损伤门槛值的均值+3×标准差；

[D]＝损伤门槛值的均值-3×标准差；

(33)如果所述的等效应力σ_eq满足以下公式，则该等效应力σ_eq所对应的区域为发生蠕变损伤失效的区域：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{eq}}>{\left(\frac{1-{(1-[D\left]\right)}^{k+1}}{(k+1)B\left(\frac{t^{1-m}}{1-m}\right)}\right)}^{1/r};$

(34)在发生蠕变损伤失效的区域中，利用分层抽样方法基于蒙特卡洛法并通过以下公式计算失效概率P_f：

$P_f=\frac{\mathrm{nf}}{\mathrm{Num}};$

其中，Num为试验次数，nf为在试验中失效的次数，满足以下关系：

7.根据权利要求6所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的根据检测数据、高温管线系统的材料和结构试验结果以及结构失效概率建立基于可靠性分析的维修规划模型，具体为：

根据以下公式建立定期计划维修模型：

$C_T=\frac{C_p}{T_p}+C_c\frac{{\∫}_0^{T_p}(1-R\left(t\right))\mathrm{dt}}{T_p{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；C_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用；

或者，根据以下公式建立定期预防维修模型：

$C_T=C_c\frac{1-R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}}+C_p\frac{R\left(T_p\right)}{{\∫}_0^{T_p}R\left(t\right)\mathrm{dt}};$

其中，C_T为单位时间内总维修费用；C_c为每次事后维修的费用；C_p为预防维修的费用。

8.根据权利要求7所述的高温管线系统实现可靠性维修规划的方法，其特征在于，所述的根据维修规划模型进行计算处理并得到高温管线系统最佳维修时间，包括以下步骤：

(41)根据以下公式确定高温管线系统的风险R(t)：

$R\left(t\right)=\underset{a}{\overset{b}{\∫}}m(x,t)\·f(x,t)\mathrm{dx};$

其中，R(t)＝P_f(t)·C(t)，P_f(t)为结构的失效概率，C(t)为失效所产生的后果，其都是时间t的函数；P_f(t)和C(t)相互独立，且R(t)为模糊随机变量，f(x，t)为R(t)和P_f(t)所服从的相同的概率分布，m(x，t)为R(t)与C(t)所具有的相同的隶属函数，f(x，t)和m(x，t)均连续；

(42)利用线性规划算法通过以下公式计算出所述的高温管线系统的最佳维修时间t：

$\underset{s.t}{\min }R\left(t\right)=P_f\left(t\right)\·C\left(t\right);$

其中，

表示对目标函数R(t)求在所关注的运行时间中的最小值，该最小值即为最佳维修时间t。

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