CN101944145A - 可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及可以去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，包括以下步骤：A.根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，将电位移矢量为零作为电场约束方程，并得到电场约束方程的积分形式，同时通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值问题的泛函方程。B.采用四面体网格剖分求解域，考虑准周期边界条件时，必须保证周期边界上主面上的网格和从面上的网格匹配。本发明的有益效果：利用该有限元仿真方法可以极大地提高微波管高频系统仿真的精度，效率和鲁棒性。

Description

可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法

技术领域

本发明属于三维电磁场数值求解技术，具体涉及一种可以去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法。

背景技术

作为重要的军事与民用电子器件，微波管是雷达及通信系统设备中“心脏”的扮演者，并广泛应用于高功率厘米波和毫米波雷达、卫星广播、军用电子通信、电子对抗、等离子体诊断、工业加热等领域。在高功率雷达、电子对抗设备和大功率通信系统中，微波管器件具有无可替代的作用。

在制管前，对微波管的部件以及整管进行计算机辅助设计与分析，对缩短开发周期、减少整管硬件实验、改善微波管性能及固化已有经验等方面起到非常重要的作用。微波管高频电路是微波管的重要部件，它是电子注与高频场相互作用进行能量交换以实现微波振荡或放大的场所。微波管高频电路的特性将直接影响微波管的工作频率、频带宽度、换能效率和输出功率，以及其他一系列整管性能。通过对微波管高频电路进行数值仿真从而高精度地获得微波管高频电路的高频特性参量，有着极其重要的意义，其精度的高低直接影响到后续微波管大信号分析的准确性与可靠性。

由于微波管高频电路复杂的几何结构，应用数值算法仿真微波管高频电路高频特性参量成为一种非常简便并且有效的研究手段。其中，矢量有限元法凭借其善于模拟任意几何模型以及处理各种复杂介质而成为微波管高频电路数值仿真中的一种精确、高效的数值算法。矢量有限元法仿真微波管高频电路可以成功去除传统的节点有限元带来的伪解，同时引入了大量的频率为零的伪直流模式，并且随着有限元网格的加密，伪直流模式的数量会迅速增加。产生这些伪直流模式的原因是在矢量有限元法仿真过程的边值问题中未加入电场约束方程。在微波管高频电路的数值仿真中，主要是为了获得频率低端的一个或者数个非零本征模式。这些伪直流模式的存在增加了计算微波管高频电路低端的非零本征模式的困难，更重要是直接导致了最后的有限元矩阵为严重病态矩阵。如何去除这些伪直流模式，快速、高效地获得低端的本征模式，对提高微波管高频电路电磁场仿真分析的精度、效率以及鲁棒性有着极其重要的意义。

目前，一种可以去除伪直流模式的微波管高频电路电磁场有限元仿真方案是在有限元仿真过程中，应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法结合快速多波前三角矩阵分解(LU分解)求解矢量有限元法得到的广义本征矩阵方程。在该方案中，采用位移求逆技术的目的是通过频谱转换，求解出某一个预估本征值附近的本征值，从而避免求解出没有物理意义的伪直流模式。这种技术在本质上并没有将伪直流模式从频谱中去除，而是通过数学上的频谱变换，避免了伪直流式对所需本征模式求解造成的干扰。应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法可以避免伪直流模式，但在每一迭代的过程中需要求解一个大型稀疏病态矩阵的确定性问题。迭代法求解大型稀疏病态矩阵的确定性问题是很难收敛的。快速多波前三角矩阵分解(LU分解)可以求解出这个大型稀疏病态矩阵的确定性问题，但是随着矩阵维数增大，快速多波前三角矩阵分解(LU分解)法消耗的时间和内存迅速增大。因此该方案有以下缺陷：1)本质上没有去除微波管有限元仿真中的伪直流模式；2)受有限元矩阵维数的限制，对几何结构复杂的大尺寸的微波管高频电路无法高效仿真。

发明内容

本发明的目的是为了进一步提高微波管高频电路电磁场仿真分析的效率和精度，提出可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，包括以下步骤：

A.根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，将电位移矢量为零作为电场约束方程，并得到电场约束方程的积分形式，同时通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值问题的泛函方程。

B.采用四面体网格剖分求解域，考虑准周期边界条件时，必须保证周期边界上主面上的网格和从面上的网格匹配。

C.选择二阶矢量叠层基函数，结合边界条件对有限元网格进行树-共轭树分离，对树边上的二阶矢量叠层基函数的低阶部分用相应的自由点基函数代替。

D.将步骤A中得到的电磁场边值问题的泛函方程中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开后，运用里兹方法得到广义本征矩阵方程；将电场约束方程的积分形式中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开得到电场约束方程的矩阵形式。

E.应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法求解广义本征矩阵方程，并在每一步的Arnoldi迭代中，将生成里兹向量的工作向量中对应于无旋场基函数的部分重置为零，以去除伪直流模式。

F.进行微波管高频电路有限元仿真的后处理，由步骤E所得的本征值和本征向量，求出相对应的本征频率和电场分布，进而求出各种需要的微波管高频电路的高频特性参量。

本发明的有益效果：利用本发明提出的有限元仿真方法可以高效地将微波管高频电路有限元仿真中的伪直流模式完全去除。该方法通过选择二阶矢量叠层基函数和对有限元网格进行树-共轭树分离，方便地将电场约束方程施加到微波管高频电路有限元仿真的边值问题中，从而将伪直流模式去除。该方法去除伪直流模式的数值实现仅仅需要在每一步Arnoldi迭代中，将生成里兹向量的工作向量对应于无旋场基函数部分重置为零，而将生成里兹向量的工作向量对应于有旋场基函数部分保持不变。利用该有限元仿真方法可以极大地提高微波管高频系统仿真的精度，效率和鲁棒性。设计师利用该有限元仿真方法可以快速高效地对各种微波管高频电路进行超宽带参数化扫描以及自动优化设计。

附图说明

图1是本发明的主流程图。

图2是本发明求解域的空间示意图。

图3是本发明进行主面有限元网格树-共轭树分离过程示意图。

图4是本发明进行从面有限元网格树-共轭树分离过程示意图。

图5是本发明进行树-共轭树分离后一个四面体单元的基函数分配示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，一种可以去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，包括以下步骤：

A.根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，将电位移矢量为零作为电场约束方程，并得到电场约束方程的积分形式，同时通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值问题的泛函方程。

微波管高频电路内的电磁场边值问题的函数表达如公式(1.1)，电场约束方程的函数表达如公式(1.2)

$\left\{\begin{array}{cc}\▿\×\left(\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_r}\right)\▿\×\stackrel{\→}{E}-k_0^2{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}=0& \mathrm{in\Ω}\\ {\stackrel{\→}{E}}_t=0& \mathrm{on}{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{pec}}\\ {\stackrel{\→}{E}}_{\mathrm{ts}}={\stackrel{\→}{E}}_{\mathrm{tm}}{e}^{-\mathrm{j\α}}& \mathrm{on}{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{pbc}}\end{array}\right.$ 公式(1.1)

$\▿\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)=0$ inΩ    公式(1.2)

公式(1.1)中第一个式子为频域矢量波动方程，它是微波管高频电路有限元仿真中的主方程；其中，Ω为微波管高频电路的仿真区域空间范围，即为上述公式(1.1)和公式(1.2)的求解域，

是矢性偏微分算子符号，μ_r为求解域Ω中介质的相对磁导率，

为求解域Ω的电场强度矢量，k₀为自由空间波数，ε_r为求解域Ω中介质的相对介电常数；

公式(1.1)中第二个式子为理想电壁边界条件，其中，Г_pec表示理想电壁边界；

表示在理想电壁上的电场强度切向矢量。理想电壁边界条件的物理意义是理想电壁边界上电场的切向分量为零。

公式(1.1)中第三个式子为准周期边界条件，其中，Г_pbc表示准周期边界，由主面(master)及从面(slaver)组成；

分别表示周期边界Г_pbc上主面及从面上的电场强度切向矢量；j为虚数单位符号；α为主面与从面之间相差的相移。准周期边界条件的物理意义是在周期边界的从面上的电磁场和主面上的电磁场，仅仅相差一个复数相位系数e^-jα。

周期边界Г_pbc和理想电壁边界Г_pec组成了求解域Ω的外边界，如图2所示，本实施例以圆柱形微波管高频电路为例进行说明。

公式(1.2)是微波管高频电路有限元仿真中的电场约束方程。电场约束方程保证了求解域Ω中不存在产生电磁场的电荷源。

对公式(1.1)中的第一个式子两边同时取散度，有

当k₀≠0时，

频域矢量波动方程的解同时满足电场约束方程即公式(1.2)；当k₀＝0时，则有两种情况，

或者

频域矢量波动方程的解有可能不再满足电场约束方程；当k₀＝0并且

时，频域矢量波动方程的解不满足电场约束方程。这种频率为零且不满足电场约束方程的解为伪直流模式。因此可以在微波管高频电路电磁场边值问题上引入电场约束方程，以去除伪直流模式。

为了便于应用电场约束方程，采用一个标量电势函数φ的共轭乘以电场约束方程，并在求解域Ω内进行体积分得到电场约束方程的积分形式，利用矢量恒等式和高斯定理可得公式(1.4)：

${\∫}_{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\φ}}^{*}\▿\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)\mathrm{d\Ω}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}\▿{\mathrm{\φ}}^{*}\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)\mathrm{d\Ω}+{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{pec}}}{\mathrm{\φ}}^{*}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})\mathrm{ds}+{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_m}{\mathrm{\φ}}^{*}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})\mathrm{ds}+{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_s}{\mathrm{\φ}}^{*}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})\mathrm{ds}=0$

公式(1.4)

公式(1.4)中，Г_m和Г_s分别表示周期边界Г_pbc上的主面和从面。假定在理想电壁边界上φ^*＝0，有

根据周期结构的弗洛奎定理以及主面和从面上的外法向单位矢量方向相反，有公式(1.5)：

${\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_s}{\mathrm{\φ}}^{*}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})\mathrm{ds}=-{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_m}{\mathrm{\φ}}^{*}{e}^{\mathrm{j\α}}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})e^{-\mathrm{j\α}}\mathrm{ds}=-{\∫}_{{\mathrm{\Γ}}_m}{\mathrm{\φ}}^{*}(\hat{n}\·{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E})\mathrm{ds}$ 公式(1.5)

从而公式(1.4)简化为电场约束方程的积分形式即公式(1.6)：

${\∫}_{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\φ}}^{*}\▿\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)\mathrm{d\Ω}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}\▿{\mathrm{\φ}}^{*}\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)\mathrm{d\Ω}=0$ 公式(1.6)

由伪直流模式的定义(k₀＝0，

)可知伪直流模式的电场为无旋电场，因而可以写成一个标量电势函数的梯度，那么公式(1.6)可以用变分的观点理解为：微波管高频电路边值问题即公式(1.1)所得的本征模式和它的每一个伪直流模式正交。

根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，利用有限元法的标准变分原理，得到电磁场边值问题的泛函方程，具体表达见如下公式(1.3)：

$F\left(\stackrel{\→}{E}\right)=\frac{1}{2}{\∫}_{\mathrm{\Ω}}[{(\▿\×\stackrel{\→}{E})}^{*}\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_r}(\▿\×\stackrel{\→}{E})-k_0^2{\mathrm{\ϵ}}_r{\stackrel{\→}{E}}^{*}\·\stackrel{\→}{E}]\mathrm{d\Ω}$ 公式(1.3)

公式(1.3)中，上标*表示对物理量取共轭。公式(1.3)对

的极小值即为微波管高频电路内的电磁场边值问题即公式(1.1)的解。

B.采用四面体网格剖分求解域Ω，考虑准周期边界条件时，必须保证周期边界上主面上的网格和从面上的网格匹配。本步骤为现有技术中的公知过程，因此不再详细描述。

C.选择二阶矢量叠层基函数，结合边界条件对有限元网格进行树-共轭树分离，对树边上的二阶矢量叠层基函数的低阶部分用相应的自由点基函数代替。

利用公式(1.6)的变分解释，如果选择的基函数能够完全分解成无旋场部分和有旋场部分，那么电场约束方程可以方便地通过将微波管高频电路边值问题所得的本征模式和基函数的无旋场部分正交来实施。

选择二阶矢量叠层基函数。这种基函数的低阶部分由矢量有限元中经典的边棱元基函数组成，高阶部分分成两组：无旋场部分和有旋场部分。由于二阶矢量叠层基函数的低阶部分并没有分解成无旋场部分和有旋场部分，这里通过对有限元网格进行树-共轭树分离做进一步的分解。

树-共轭树分离的主要过程是将离散求解域Ω的有限元网格看成图论中的一张图，利用图论的遍历算法，由有限元网格的一个顶点出发，构造出一条最小搜索路径。出发的顶点称为参考点，而剩下的网格点称为自由点。在最小路径上的棱边称为树边，而剩下的棱边称为共轭树边。树-共轭树分离的要点在于：(1)此最小搜索路径是单连通的；(2)保证由一个顶点(参考点)出发，所有顶点(自由点)都可到达。(3)由于理想电壁上的电势都相同，因此可以将理想电壁上的所有点看成一个点，并将该点设为参考点。

对准周期边界，需要结合准周期边界条件进行树-共轭树分离，具体实现如下：首先，选择周期边界主面上的任意一个理想电壁网格点作为参考点，对主面上的有限元网格进行二维的树-共轭树分离。由于主面与从面上的网格匹配，当从面上的网格边对应的主面上的网格边为树边的时候，则从面上的网格边也为树边，否则为共轭树边。然后，将除去主面和从面上二维面网格后剩下的三维体网格进行三维树-共轭树分离。这样即完成了有限元网格上树-共轭树分离，又保持了主面和从面上网格匹配的特性，保证了在后续步骤中施加准周期边界条件的顺利进行。

下面结合图2所示的具体例子对树-共轭树分离的详细过程进行说明。假设该圆柱波导的圆柱表面为理想电壁，两个端面为准周期边界。图3和图4分别给出了主面Г_m和从面Г_s上简单的二维三角形网格。首先，对主面Г_m上有限元网格进行二维的树-共轭树分离。在图2所示的求解域中，主面Г_m和从面Г_s上的圆周边界都为理想电壁边界，因此理想电壁边界上所有的点即圆周上的所有网格点可以看成是一个点，并设其为参考点，从该点出发找出一条最小的搜索路径到达所有的自由点。图3给出了主面Г_m上的一种可能的最小搜索路径。在该路径上的粗边称为树边，其它的细边称为共轭树边。结合准周期边界条件，从面Г_s上的有限元网格的属性与主面Г_m上的有限元网格属性一一对应。如图4所示，与主面Г_m上的树边相对应的从面Г_s上的有限元网格边也为树边，如图中粗线所示，其余共轭树边，如图中细线所示。最后对除去主面Г_m和从面Г_s上二维面网格后剩下的三维体网格进行三维树-共轭树分离。由于在主面Г_m和从面Г_s上具有完全相同的树-共轭树，因此主面Г_m和从面Г_s的网格匹配特性得到了保持。

完成有限元网格树-共轭树分离后，将树边上的边棱元基函数用该条树边上的自由点的点基函数代替。由于除去第一条树边，每条树边都连接两个自由点，因此约定采用按照路径方向的第二个自由点的点基函数代替该树边上的边棱元基函数。根据图论理论可知，树边的总数一定等于自由点的总数，因此采用自由点的点基函数替换树边上的边棱元基函数后，基函数的总数不会改变。

在一个由四个顶点v₀，v₁，v₂，v₃组成的四面体网格中，假定v₀为参考点，v₁，v₂，v₃为自由点。图5给出了一种可能的最小搜索路径，其中带箭头的边为树边，其余的边为共轭树边，箭头指向搜索路径的方向。树边v₀v₁上的边棱元基函数用自由点v₁对应的点基函数代替，树边v₁v₂上的边棱元基函数用自由点v₂对应的点基函数代替，树边v₂v₃上的边棱元基函数用自由点v₃对应的点基函数代替。树边上的二阶矢量叠层基函数高阶部分保持不变。共轭树边和网格面上的二阶矢量叠层基函数低阶部分和高阶部分都保持不变。具体采用的二阶矢量叠层基函数

可以分成四组，具体形式如下：

第一组为自由点的点基函数，具体表达式见如下公式(1.7)

${\stackrel{\→}{N}}_1={\▿\mathrm{\ζ}}_1,$ ${\stackrel{\→}{N}}_2={\▿\mathrm{\ζ}}_2,$ ${\stackrel{\→}{N}}_3={\▿\mathrm{\ζ}}_3$ 公式(1.7)

公式(1.7)中ζ₁，ζ₂，ζ₃分别表示在该四面体中关于顶点v₁，v₂，v₃的体积坐标函数，其表达式为公知的常识，这里不再赘述。

表示求梯度运算。

为自由点v₁的点基函数，

为自由点v₂的点基函数，

为自由点v₃的点基函数。

第二组为共轭树边的边基函数，即共轭树边上的边棱元基函数，具体表达式见如下公式(1.8)

${\stackrel{\→}{N}}_4={\mathrm{\ζ}}_0{\▿\mathrm{\ζ}}_2-{\mathrm{\ζ}}_2{\▿\mathrm{\ζ}}_0$

${\stackrel{\→}{N}}_5={\mathrm{\ζ}}_0{\▿\mathrm{\ζ}}_3-{\mathrm{\ζ}}_3{\▿\mathrm{\ζ}}_0,$ 公式(1.8)

${\stackrel{\→}{N}}_6={\mathrm{\ζ}}_1{\▿\mathrm{\ζ}}_3-{\mathrm{\ζ}}_3{\▿\mathrm{\ζ}}_1$

公式(1.8)中ζ₀，ζ₁，ζ₂，ζ₃分别表示在该四面体中关于顶点v₀，v₁，v₂，v₃的体积坐标函数。

表示求梯度运算。为共轭树边v₀v₂的边棱元基函数，

为共轭树边v₀v₃的边棱元基函数，

为共轭树边v₁v₃的边棱元基函数。

第一组基函数和第二组基函数构成二阶矢量叠层基函数的低阶部分，其中第一组基函数为无旋场基函数，第二组基函数为有旋场基函数。

第三组为所有网格边的边基函数，具体表达式见如下公式(1.9)

${\stackrel{\→}{N}}_7=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_0{\mathrm{\ζ}}_1\right),$ ${\stackrel{\→}{N}}_8=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_0{\mathrm{\ζ}}_2\right)$

${\stackrel{\→}{N}}_9=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_0{\mathrm{\ζ}}_3\right),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{10}=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_1{\mathrm{\ζ}}_2\right)$ 公式(1.9)

${\stackrel{\→}{N}}_{11}=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_1{\mathrm{\ζ}}_3\right),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{12}=\▿\left({\mathrm{\ζ}}_2{\mathrm{\ζ}}_3\right)$

公式(1.9)中ζ₀，ζ₁，ζ₂，ζ₃，的含义与前面相同。

为网格边v₀v₁的边基函数，

为网格边v₀v₂的边基函数，

为网格边v₀v₃的边基函数，

为网格边v₁v₂的边基函数，

为网格边v₁v₃的边基函数，

为网格边v₂v₃的边基函数。

第四组为所有网格面的面基函数，具体表达式见如下公式(1.10)

${\stackrel{\→}{N}}_{13}={\mathrm{\ζ}}_1({\mathrm{\ζ}}_2\▿{\mathrm{\ζ}}_3-{\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_2),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{14}={\mathrm{\ζ}}_2({\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_1-{\mathrm{\ζ}}_1\▿{\mathrm{\ζ}}_3)$

${\stackrel{\→}{N}}_{15}={\mathrm{\ζ}}_0({\mathrm{\ζ}}_2\▿{\mathrm{\ζ}}_3-{\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_2),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{16}={\mathrm{\ζ}}_2({\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_0-{\mathrm{\ζ}}_0\▿{\mathrm{\ζ}}_3)$ 公式(1.10)

${\stackrel{\→}{N}}_{17}={\mathrm{\ζ}}_0({\mathrm{\ζ}}_1\▿{\mathrm{\ζ}}_3-{\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_1),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{18}={\mathrm{\ζ}}_1({\mathrm{\ζ}}_3\▿{\mathrm{\ζ}}_0-{\mathrm{\ζ}}_0\▿{\mathrm{\ζ}}_3)$

${\stackrel{\→}{N}}_{19}={\mathrm{\ζ}}_0({\mathrm{\ζ}}_1\▿{\mathrm{\ζ}}_2-{\mathrm{\ζ}}_2\▿{\mathrm{\ζ}}_1),$ ${\stackrel{\→}{N}}_{20}={\mathrm{\ζ}}_1({\mathrm{\ζ}}_2\▿{\mathrm{\ζ}}_0-{\mathrm{\ζ}}_0\▿{\mathrm{\ζ}}_2)$

公式(1.10)中ζ₀，ζ₁，ζ₂，ζ₃，

的含义与前面相同。

为网格面v₁v₂v₃的面基函数，为网格面v₀v₂v₃的面基函数，

为网格面v₀v₁v₃的面基函数，

为网格面v₀v₁v₂的面基函数。

第三组基函数和第四组基函数构成二阶矢量叠层基函数高阶部分，其中第三组基函数为无旋场基函数，第四组基函数为有旋场基函数。

D.将步骤A中得到的电磁场边值问题的泛函方程中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开后，运用里兹方法得到广义本征矩阵方程；将电场约束方程的积分形式中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开得到电场约束方程的矩阵形式。

微波管高频电路内的电磁场边值问题的泛函方程即公式(1.3)中的电场

采用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开，可得：

$\stackrel{\→}{E}=\underset{i=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\→}{N}}_i{x}_i$ 公式(1.11)

公式(1.11)中，

为公式(1.7)-公式(1.10)所表示的二阶矢量叠层基函数，x_i为插值系数，P为基函数总数。采用四面体网格剖分求解域Ω后，将公式(1.11)代入到公式(1.3)中，运用里兹方法，得到广义本征矩阵方程，具体表达式见如下公式(1.12)

$\mathrm{Sx}=k_0^2\mathrm{Tx}$ 公式(1.12)

公式(1.12)中，

为广义本征矩阵方程的本征值，也即自由空间波数的平方；x为广义本征矩阵方程的本征向量，也即公式(1.11)中插值系数组成的向量。S和T有限元矩阵，结合边界条件的施加，它们的每一项S_ij和T_ij可以分别由公式(1.13)和公式(1.14)计算可得：

$S_{\mathrm{ij}}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}{W}_i^{*}(\▿\×{\stackrel{\→}{N}}_i)\·\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_r}(\▿\×{\stackrel{\→}{N}}_j)W_j\mathrm{d\Ω}$ 公式(1.13)

$T_{\mathrm{ij}}={\∫}_{\mathrm{\Ω}}{W}_i^{*}{\stackrel{\→}{N}}_i\·{\mathrm{\ϵ}}_r{\stackrel{\→}{N}}_j{W}_j\mathrm{d\Ω}$ 公式(1.14)

公式(1.13)和公式(1.14)中W_i为周期边界条件因子。根据弗洛奎定理，从面Г_s上的插值系数和其相对应的主面Г_m上的插值系数仅仅相差一个复数相位系数e^-jα，那么从面Г_s上的插值系数可以用其相对应的主面Г_m上的插值系数来表示，此时周期边界条件因子W_i＝e^-jα，否则W_i＝1。

为了去除微波管高频电路有限元仿真中的伪直流模式，广义本征矩阵方程即公式(1.12)的本征向量x还必须满足电场约束方程的矩阵形式。电场约束方程的矩阵形式可以按下述推导所得。

将电场约束方程的积分形式即公式(1.6)的

按照公式(1.11)展开，用步骤C中的二阶矢量叠层基函数的无旋场部分即第一组和第三组基函数展开，即：

公式(1.15)

公式(1.15)中，Q为无旋场基函数总数，

为对应的无旋场基函数。可得电场约束方程的矩阵形式，具体表达式见如下公式(1.16)

GTx＝0    公式(1.16)

公式(1.16)中，T即公式(1.12)中的有限元矩阵，矩阵G有如下形式：

$G=\left[\begin{array}{cccc}{I}_{\mathrm{DN}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_{\mathrm{DE}}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 公式(1.17)

公式(1.17)中，I_DN和I_DE为单位矩阵，下标DN表示有限元网格中树边的总数，下标DE表示有限元网格中网格边的总数。

E.应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法求解广义本征矩阵方程，并在每一步的Arnoldi迭代中，将生成里兹向量的工作向量中对应于无旋场基函数的部分重置为零，以去除伪直流模式。

为了求解广义本征矩阵方程即公式(1.12)频谱低端有物理意义的本征模式(通常对应于微波管高频电路的工作模式)，将广义本征矩阵方程即公式(1.12)转换成标准本征矩阵方程即公式(1.18)

(S-σT)^-1Tx＝vx    公式(1.18)

公式(1.18)中σ为偏移因子，本征向量x与广义本征方程即公式(1.12)中的本征向量x相同，本征值v与广义本征方程即公式(1.12)中的本征向量

满足如下关系：

$k_0^2=\mathrm{\σ}+\frac{1}{v}$ 公式(1.19)

求解标准本征矩阵方程即公式(1.18)中频谱高端的一个或者数个本征值及对应的本征向量就可得到广义本征矩阵方程即公式(1.12)中最靠近偏移因子σ的一个或者数个本征值及对应的本征向量。

应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法求解标准本征矩阵方程即公式(1.18)的过程中，最消耗计算时间和内存的步骤是在每一次Arnoldi迭代中的两个矩阵向量积操作，即：

q_k←Tr_k-1          公式(1.20)

r_k←(S-σT)^-1q_k    公式(1.21)

公式(1.20)和公式(1.21)中向量r_k-1，r_k分别为在第k-1步和第k步Arnoldi迭代中的里兹向量，q_k为第k步Arnoldi迭代过程的工作向量。当k＝1时，r₀为给定的初始的里兹向量。将公式(1.21)转换为求解下述线性矩阵方程：

(S-σT)r_k＝q_k    公式(1.22)

由于伪直流模式的存在，为了能够得到广义本征矩阵方程即公式(1.12)的频谱低端有物理意义的本征模式，σ必须设为正值。由于有限元矩阵S为半正定矩阵，T为正定矩阵，σ为正值则(S-σT)为高度病态矩阵。此时，线性矩阵方程即公式(1.22)采用常用的迭代法很难快速、高效求解。如果广义本征矩阵方程即公式(1.12)的频谱中不包含伪直流模式，那么将σ设为负值即可直接得到频谱低端的有物理意义的本征模式。此时，矩阵(S-σT)为正定矩阵，线性矩阵方程即公式(1.22)可采用不完全楚列斯基分解预处理共轭梯度法快速、高效求解。

通过在位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法的实施过程中，强加电场约束方程的矩阵形式即公式(1.16)可以去除伪直流模式，具体实施方法可以从下述推导过程中得出。

采用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法求解广义本征矩阵方程的过程中，里兹向量r由求解线性方程(S-σT)r＝q所得。由G和S的表达式知，GSx＝0，那么GTx＝0σ≠0与G(S-σT)x＝0等价，x为任意向量。只要里兹向量r满足G(S-σT)r＝0，则GTr＝0，即r满足电场约束方程的矩阵形式，那么由r张成的广义本征矩阵方程的本征向量x也满足电场约束方程，从而达到去除伪直流模式的目的。

假定里兹向量r满足GTr＝0，则有：

$\mathrm{GTr}=0\⇔G(S-\mathrm{\σT})r=0\⇔\mathrm{Gq}=G(S-\mathrm{\σT})r=0$ 公式(1.24)

由G的表达形式即公式(1.17)知，要使Gq＝0成立，则q应具有以下形式：

q＝[0_DN q_DCE 0_DE q_DF]^T    公式(1.25)

公式(1.25)中0_DN和0_DE分别为维数为DN和DE的零向量，下标DN表示有限元网格中树边的总数，下标DE表示有限元网格中网格边的总数；q_DCE和q_DF分别为维数为DCE和DF的工作向量，即工作向量q对应于二阶矢量叠层基函数第二组基函数和第四组基函数的子向量，下标DCE表示有限元网格中为共轭树边的总数，下标DF表示有限元网格中网格面的总数；上标T表示转置操作。

由前面的分析知，如果在每一步Arnoldi迭代中，将工作向量q约束为公式(1.25)的形式，即将工作向量q中对应无旋场基函数的子向量设置为零，即可消除伪直流模式。

F.进行微波管高频电路有限元仿真的后处理，由步骤E所得的本征值和本征向量，求出相对应的本征频率和电场分布，进而求出各种需要的微波管高频电路的高频特性参量。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (3)

1.可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，包括以下步骤：

A.根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，将电位移矢量为零作为电场约束方程，并得到电场约束方程的积分形式，同时通过有限元法的标准变分原理得到电磁场边值问题的泛函方程；

B.采用四面体网格剖分求解域，考虑准周期边界条件时，必须保证周期边界上主面上的网格和从面上的网格匹配；

C.选择二阶矢量叠层基函数，结合边界条件对有限元网格进行树一共轭树分离，对树边上的二阶矢量叠层基函数的低阶部分用相应的自由点基函数代替；

D.将步骤A中得到的电磁场边值问题的泛函方程中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开后，运用里兹方法得到广义本征矩阵方程；将电场约束方程的积分形式中的电场用步骤C中的二阶矢量叠层基函数展开得到电场约束方程的矩阵形式；

E.应用位移求逆隐式重启Arnoldi迭代法求解广义本征矩阵方程，并在每一步的Arnoldi迭代中，将生成里兹向量的工作向量中对应于无旋场基函数的部分重置为零，以去除伪直流模式；

F.进行微波管高频电路有限元仿真的后处理，由步骤E所得的本征值和本征向量，可以求出相对应的本征频率和电场分布，进而求出各种需要的微波管高频电路的高频特性参量。

2.根据权利要求1所述的可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，其特征在于，微波管高频电路内的电磁场边值问题的函数表达如公式(1.1)，电场约束方程的函数表达如公式(1.2)

$\left\{\begin{array}{cc}\▿\×\left(\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_r}\right)\▿\×\stackrel{\→}{E}-k_0^2{\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}=0& \mathrm{in\Ω}\\ {\stackrel{\→}{E}}_t=0& \mathrm{on}{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{pec}}\\ {\stackrel{\→}{E}}_{\mathrm{ts}}={\stackrel{\→}{E}}_{\mathrm{tm}}{e}^{-\mathrm{j\α}}& \mathrm{on}{\mathrm{\Γ}}_{\mathrm{pbc}}\end{array}\right.$ 公式(1.1)

$\▿\·\left({\mathrm{\ϵ}}_r\stackrel{\→}{E}\right)=0$ inΩ    公式(1.2)

公式(1.1)中第一个式子为频域矢量波动方程，它是微波管高频电路有限元仿真中的主方程；其中，Ω为微波管高频电路的仿真区域空间范围，即为上述公式(1.1)和公式(1.2)的求解域，

是矢性偏微分算子符号，μ_r为求解域Ω中介质的相对磁导率，

为求解域Ω的电场强度矢量，k₀为自由空间波数，ε_r为求解域Ω中介质的相对介电常数；

公式(1.1)中第二个式子为理想电壁边界条件，其中，Г_pec表示理想电壁边界；

表示在理想电壁上的电场强度切向矢量。理想电壁边界条件的物理意义是理想电壁边界上电场的切向分量为零。

公式(1.1)中第三个式子为准周期边界条件，其中，Г_pbc表示准周期边界，由主面及从面组成；分别表示周期边界Г_pbc上主面及从面上的电场强度切向矢量；j为虚数单位符号；α为主面与从面之间相差的相移。准周期边界条件的物理意义是在周期边界的从面上的电磁场和主面上的电磁场，仅仅相差一个复数相位系数e^-jα；

周期边界Г_pb。和理想电壁边界Г_pec组成了求解域Ω的外边界；

公式(1.2)是微波管高频电路有限元仿真中的电场约束方程。电场约束方程保证了求解域Ω中不存在产生电磁场的电荷源。

3.根据权利要求1所述的可去除伪直流模式的微波管高频电路有限元仿真方法，其特征在于，根据微波管高频电路内的电磁场边值问题，利用有限元法标准变分原理，得到电磁场边值问题的泛函方程，泛函方程的具体表达见如下公式(1.3)：

$F\left(\stackrel{\→}{E}\right)=\frac{1}{2}{\∫}_{\mathrm{\Ω}}[{(\▿\×\stackrel{\→}{E})}^{*}\frac{1}{{\mathrm{\μ}}_r}(\▿\×\stackrel{\→}{E})-k_0^2{\mathrm{\ϵ}}_r{\stackrel{\→}{E}}^{*}\·\stackrel{\→}{E}]\mathrm{d\Ω}$ 公式(1.3)

公式(1.3)中，上标*表示对物理量取共轭。公式(1.3)对

的极小值即为微波管高频电路内的电磁场边值问题即公式(1.1)的解。

Images