CN101930622A - 浅水水波的真实感建模与绘制 - Google Patents

Abstract

浅水水波的真实感建模和绘制，包括以下三个方面：采用基于物理原理的浅水方程实现对水面高度场的模拟，在浅水方程中引入外力(风力)，模拟微波荡漾的水面；绘制水面的反射和折射效果，实现对水波表面光学特性的仿真，提高浅水场景的真实感绘制；采用与浅水方程相结合的方式，实现水波与其他物体的交互，提高了水波的交互性。本发明利用差分法对引入风力的浅水方程进行求解，保证了计算的简单有效及大时间步长稳定性，实现水波模拟的实时性。在保证真实感绘制的同时，提高了计算性能。

Description

浅水水波的真实感建模与绘制

技术领域

本发明涉及浅水水波的真实感建模与绘制。

背景技术

近年来，在计算机图形学和虚拟现实领域中，自然景物的模拟一直是具有挑战性的研究热点之一。对于山、水等自然景物的模拟，在计算机游戏、影视、广告各领域中有着广泛的用途，作为自然景物模拟的重要内容，对水波的模拟正日益引起人们的关注。但与其它景物模拟相比，水波的模拟又更为困难。这是因为水波复杂的生成演变机制及其与环境的相互作用机制，且运动方式随机，对其进行真实感建模与绘制是一件相当困难的事。

模拟波形的方法大致可以分为以下三类。

1)基于波模型的波形生成

Neleso Max提出水波表面看成一个高度场，直接用正弦函数来表示水波表面。随后更多的人采用这种方法来模拟水波。通过直接构造参数曲面来代表水表面，参数曲面由波形函数表示。

Mastin等提出了基于统计的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)经验模型，通过正弦曲线的叠加来模拟海面。FFT模型产生的源泉是统计学模型与实际观测经验结合。在统计模型中，波浪高度由一个表示水平距离和时间的随机变量h(x，t)来决定。统计学模型也是基于将波浪高度场分解为一组正弦余弦波的总和。分解的价值在于波浪的振幅有着良好的数学和统计学属性，这使得建模更加容易。从计算上讲，分解使用了快速傅立叶变换，这种方法可以快速评估整体。

由于波形函数本身就反映了波的属性，因而可以模拟水波的运动，如波的叠加、反射、折射现象。较为复杂的波形函数，可以解决波纹的波峰卷曲问题，但解决不了水流的形体的破碎问题。虽然通过让波的振幅等随时间变化可以实现一定的动画，但实际上效果不好。近年来，随着图形硬件性能的提升，越来越多的人开始转向基于物理模型的水波模拟。

2)基于物理模型的波形生成

与基于波模型方法相比，基于物理模型的方法是通过对水波现象本身较为精确的物理描述，然后再结合计算机图形学对水波进行绘制的一种方法，可以很好地保证物体的动态逼真性，是当今科学研究中的重点和难点问题。

Irving通过将二维方法与三维方法相结合，一方面保证了水波绘制足够的真实感，另一方面又大大提高绘制的效率。斯坦福大学的Mosher利用这种方法实现了水波与其他的物体的交互，可以表现出十分真实的水流效果。

Thurey对基于浅水方程的波形生成进行了拓展，使得其可以在保证实时性的前提下对原本欧拉方法无法处理的断浪、泡沫和气泡等进行模拟和绘制。

对于基于物理模型的水波模拟方法，波是根据方程的初始条件与边界条件自动产生的，接近真实的物理现象，是当今科学研究中的难点和热点问题。缺点就在于，因为把水流的形状当作一个高度场，所以表现不了陡峭的波峰及卷曲的波形。如果采用三维的Navier-Stokes方程，把水流看作由许多水粒子组成的点集，则需要采用体绘制的方法来绘制水流形状，会影响绘制效率。

3)基于粒子系统的波形生成

与传统的基于网格的物理方法相比，这种基于粒子的方法更加注重水流之间的互相影响，在处理水波与其他物体的相互作用时也具有一定的优势。

Yuksel主要考虑了水波与漂浮在水面上的物体之间的交互，利用一种称为波粒子(WaveParticles)的特殊粒子，可以在保证实时性的前提下模拟数以千计的物体落在水面上的波浪效果。

Losasso将平滑粒子流体动力学方法与传统的粒子水平集方法相结合，可以很好的模拟水流飞落、溅起等效果。

Harada利用GPU对平滑粒子流体动力学进行了加速，可以在实时的前提下同时模拟数万个粒子，这比同样效率下在CPU上进行的模拟多了十几倍，从而大大丰富了水波的细节效果，提高了真实感。

采用粒子系统所面临的问题在于如何绘制粒子。绘成一个个的点或小球或一条条线段，是不够真实的；绘制成曲面，则显然又不行，因为它们并不像池中的水那样聚在一起成一个连续的整体。比较好的方法是绘制许多的隐式曲面，使得相距近的水粒子融成一个隐式曲面，相距远的绘制成小水球。

水波表面属性研究的工作主要集中在如何模拟波浪与环境的效果。Jensen等对深度海水动画及海面光照效果算法进行介绍，也讨论了硬件加速方面的绘制技术。Gonzato提出了基于斯涅耳定律的水波折射模型，可以较好地模拟深度变化较大的水面的折射效果。Cabral等提出了基于图像空间的菲涅耳效果的绘制方法。

由于水流的多变性，正确地计算水面的光影效果是一个十分复杂的过程。因此，如何在保证真实感的同时将效率提升到实时渲染的程度，是现在所面临的一个主要问题。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：采用合适的建模和绘制方法，在保证水波绘制真实感的同时，提高计算性能。采用与浅水方程相结合的方式，实现水波与其他物体的交互，提高水波的交互性。

本发明采用的技术方案为：

(1)将风力的作用加入到浅水方程之中，使得水波的运动更加逼真。通过引入覆盖水面的网格，稳定而又高效地完成了对浅水方程的求解，得到了在网格基础上的水面高度场。最后将得到的高度场利用OpenGL完成了绘制，实时地进行了水面波形的显示。

(2)设定水面的光照模型，并利用GPU技术进行加速，提高了光照的计算效率。通过渲染到纹理技术和纹理映射，实现了水波表面反射、折射效果的绘制，并引入菲涅尔公式，使水波的光学效果更加真实。

(3)与浅水方程进行结合，使得物体与水波能够交互，当物体落入水波或在水面上移动时，能够产生符合物理特性的水波。

NS方程是一个描述粘性不可压缩流体的运动方程，其形式为一个非线性偏微分方程。二维浅水(shallow water，SW)方程是在三维NS方程的基础上化简得来。使用SW方程对海面进行模拟，就是将流体的复杂三维描述简化为一个简单的二维高度场。

NS方程的一般形式为：

$\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y}+\frac{\∂w}{\∂z}=0---\left(1\right)$

$\frac{\∂U}{\∂t}=-(U\·\▿)U+v{\▿}^{2}U-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿p+F---\left(2\right)$

其中公式(1)(2)分别为不可压缩流体的连续性方程和动量方程。U＝(u，v，w)是一个速度矢量，u，v，w分别是在三个方向x，y，z的速度。是对流项，

是压力项，

是粘滞力向，F是外力项。

由于 $w=\frac{\∂h}{\∂t}$ 且 $\∂z=\∂h,$ 其中h表示水深。则连续性方程(1)等价于：

$\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y}+\frac{\∂h}{\∂t}=0---\left(3\right)$

由于我们的前提是“浅水”，水的对流可以忽略。而在流速并非很快的情况下，粘性带来的影响也很小，因此浅水方程也忽略了粘性。外力项F，我们打算引入风力。则引入风力的浅水方程可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂h}{\∂t}=-(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})\\ \frac{\∂U}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿p+F\end{array}\right.---\left(4\right)$

由于忽略了水的对流和粘性，大大降低了求解浅水方程的复杂性，保证了计算的简单有效，是实现水波模拟实时性的关键。

浅水波方程属于偏微分方程，求解偏微分方程有几种常见的方法，如有限元法、有限差分法、特征法以及有限体积法。有限元法由于固有的局限性，并不适合流体的计算。特征法常常会产生较大的计算误差。有限体积在精度和物理量的守恒上最好，但是计算十分复杂，效率也不够高。有限差分法虽然在精度上稍差，但构造简单、处理效率高。考虑到对计算速度的要求，最终将使用有限差分法完成对浅水方程的求解。即采用分裂格式将浅水方程的动量方程分为两项，逐项求解。求解浅水方程的算法流程如图2所示，由此得到完整的带风力浅水方程的求解结果：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{t+1}-h_t=-(\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\mathrm{\δx}}+\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\mathrm{\δy}})\\ u_{t+1}-u_t=-g\frac{h_{i+1,j}-h_{i-1,j}}{2\mathrm{\δx}}+\frac{f_{x,t}+f_{x,t+1}}{2}\mathrm{\δt}\\ v_{t+1}-v_t=-g\frac{h_{i,j+1}-h_{i,j-1}}{2\mathrm{\δy}}+\frac{f_{y,t}+f_{y,t+1}}{2}\mathrm{\δt}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，h_t为t时刻的水位，u_t和v_t为t时刻水平方向的速度。

水面的折射和反射是以水面为裁减面，把场景(除水面本身)实时渲染成折射和反射纹理，投影到水面上。

如果想在向水面投掷一个物体时在水面溅起一阵涟漪，或是随着物体在水面移动而产生扇形的尾迹，那就需要将水波与其他物体的交互考虑进来。本发明通过与浅水方程结合的方式实现水波的交互，物体对水面的作用将直接导致浅水方程中参数的变化，从而引起波形的变化。

本发明对水波表面光学特性的仿真，提高了浅水场景的真实感绘制。利用差分法对引入风力的浅水方程进行求解，实现水波模拟的实时性，在保证真实感绘制的同时，提高了计算性能。采用与浅水方程相结合的方式，实现水波与其他物体的交互，提高了水波的交互性。

附图说明

图1为求解浅水水波的算法流程图；

图2a、图2b、图2c、图2d为水面网格绘制效果图；

图3a和图3b为填充纹理后效果图；

图4为水面反射折射算法流程图；

图5a、图5b、图5c、图5d为水面光学特性绘制效果图；

图6为水体交互的算法流程图；

图7a和图7b为水波与物体交互的绘制效果图。

具体实施方式

本发明求解浅水水波方程的算法流程如图1所示，其实现方法具体如下：

1)初始和边界条件的给定

方程问题的定解需要给出一定的初始和边界条件。由于初始条件的误差随着时间会很快地衰减，因此给定初始条件可以不必精确。一种简单的处理方式是对整个水面的高度都给定一个普通的值h₀，而水流速度全部设为零。这样先让水流处于一种平静的状态，再施加扰动产生水波。

另一方面，由于在浅水场流动模拟中，浅水最终的高度场与速度场决定于边界条件，所以边界处理极端重要。为保证水体质量守恒，水不能流出边界亦不能从边界外流入，即在边界附近，垂直于边界的速度为零。即在求解方程时加入限制条件：u_0，j＝u_max，j＝0，v_i，0＝v_j，max＝0。

2)水位状况更新

为了简化后面进行的计算，这里先更新波面网格上的所有顶点的水位状况(状况分为有水和无水两种)，之后的计算就可以根据这里更新的水位状况进行判断，而无须重复计算。具体做法为，遍历网格上所有顶点，对任意顶点P_ij，对其位置上水深大于零的顶点，将其水位标志设为true(即有水)，反之设为false(即无水)。

3)高度场更新

遍历网格上所有顶点，对任意顶点P_ij，首先检查其X轴方向两侧的水位状况，若无水，则不必处理；若两侧均有水则计算新的水深；若一侧有水一侧无水，则根据 ${h_{i,j}}^{\′}=\frac{h_{i-1,j}+h_{i+1,j}}{2}$ 给予P_ij一个临时的水深，然后计算新的水深。然后在Y轴方向上也做类似计算，并将结果累加。所有顶点的水深都更新完毕后，再计算每一顶点处的水面高度。

4)速度场更新

遍历网格上所有顶点，对任意顶点P_ij，首先判断其是否符合边界限制条件，对于符合边界限制条件的顶点，将其相关方向上的速度设为零。

对于不符合边界限制条件，即网格内部的点，先判断其水位状况，对其中有水的顶点做如下计算：首先在X轴方向上，计算水面高度在X轴方向上梯度，并将这一梯度对水流速度的影响作用于u上。之后计算风力对水流的加速度，按照时间步长δt的大小累加到u的改变。最后得到的便是在水压和风力双重作用下，水流在X轴方向上更新后的速度。按照同样的方式在沿Y轴计算，得到水流在Y轴方向上更新后的速度v。而对于无水的顶点，将其两个方向上的速度均设为零，即没水时水流速度为零。

浅水水波绘制的效果如图2所示，从图2(a)-(c)可以看到，在风力的作用下，水面产生连续波浪。图(d)是无风情况下，平静的水面。图3是将网格填充纹理后的绘制效果，(a)、(b)为同一视点处看到的由风力作用产生的连续波浪。

本发明水面反射折射的算法流程如图4所示，其实现方法具体如下：

折射和反射虽然原理不同，但在代码实现过程中类似，在此重点说明反射的实现过程。渲染反射纹理时以水面为参考面，把摄像机翻转到水面以下，实时地把场景渲染成一张纹理，投影纹理时以顶点位置作为参数，来动态调整纹理坐标，反映出水波的流动效果。

得到了整个场景在水面反射(或折射)后的纹理后，需要将这张纹理映射到整个水面上。首先将水面四个顶点及模型矩阵、投影矩阵传入Vertex Shader，然后按如下公式计算得四个顶点的投影纹理坐标。

M_final＝M_modelview·M_proj·M_remp    (6)

TexCoord＝(P+λN+T)·M_final         (7)

其中M_modelview和M_proj分别为场景的模型视点矩阵和投影矩阵，P是顶点坐标，N是法向量，λ为常量系数，M_final即从模型坐标系到纹理空间的变换矩阵。在水波波动时，纹理并不会波动，十分没有真实感。为了使反射与折射效果产生随着水波而波动，增强水面的真实感。因此在纹理映射的同时，需加入法线N的扰动效果。对反射效果的纹理映射来说，在对纹理进行查询之前必须按照斯涅尔定律计算纹理的偏移值。由斯涅尔定律计算纹理偏移值的公式如下：

$T=\frac{d\tan i}{\tan r}---\left(8\right)$

其中d是水深，i和r分别是入射角和出射角，T为最后得到的偏移值。

公式(6)中M_remp是把裁减空间坐标变换到纹理空间的变换矩阵，其取值如下：

$M_{\mathrm{remp}}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0& 1\end{array}\right)---\left(9\right)$

将计算得到的TexCoord值传给Pixel Shader，使四个顶点内的像素都有投影坐标的插值。通过插值对纹理进行查询，从而实现纹理的映射。

图5显示了水面光学特性的绘制效果，图(a)为水面对天空的全局反射的效果，图(b)为水面对近处的山丘的局部反射，图(c)为视点升高时的菲涅耳效果，图(d)是包含以上内容的全景图。

本发明水体交互的算法流程如图6所示，其实现方法具体如下：

1)碰撞检测

交互处理的第一步，便是检查物体是否与水面接触。由于生成的水面是欧拉方法的水面，在任意一点上水面高度只能有唯一的取值，所以对于那些外形较为规则的物体，可以通过简单的方式来得到检测结果。首先获取物体在空间中的坐标，根据这一坐标找到水面网格上最接近的四个点；对这四个点进行插值，得到物体所在水面处的高度；将物体位置与水面高度进行比较得出结果。如果物体外形不规则，就需要对物体进行分块，将其分成几个外形较为规则的部分，然后利用上面提到的方法逐块进行检测。

2)调节水面高度和速度

如果物体经过碰撞检测发现其与水面接触，则必然对水面有重力作用，此时水面的高度就会发生相应的变化，在此需要对水波相关顶点的高度和速度进行一次调节，以保证水面的高度符合相应的物理规律。调节之后相应部分的水面高度将下降到物体最低点之下，同时调节后水流速度保证不会有水流回到被调节过高度的部分。

3)调节水面速度

检测物体状态，如果物体水平速度不为零，说明物体在水面上进行移动。由于物体移动对水面有水平方向上的作用力，因此会对水波的移动造成一定的影响，此时需要对水流速度进行第二次调节。被调节过速度后的水流将被物体在其运动方向上进行推动，因此水流方向和速度将会得到相应的改变，从而更加符合水流运动的物理规律，使得水波看上去更加真实。

4)更新物体运动

按照物体的受力和速度，更新物体的运动。

水体交互的绘制结果如图7所示，其中图(a)为物体落入水，溅起一圈圈水波，我们可以看到物体对落入点附近的水波产生了真实的作用，图(b)为物体在水面上移动，它的后面产生了扇形的尾迹，表明了物体的运动方向能够影响附近水波的高度和速度。在两幅图中，当水波遇到陆地时都会被阻挡，并能够返回相应的阻挡效果痕迹，展示了水波与岸的交互。

Claims (1)

1.浅水水波的真实感建模和绘制方法，包括以下三个步骤：

(1)浅水水波波形生成：使用浅水方程完成水波的建模，在建模过程中将风力的作用项加入到浅水方程之中，使得水波的运动能够反应风吹动的效果；引入覆盖水面的规则四边形网格，在实时渲染的时间限定下使用有限差分法完成对浅水方程的求解，得到在网格基础上的水面高度场；最后利用OpenGL将得到的高度场进行绘制，实现水面波形的实时显示；

(2)模拟水波表面光学特性：设定水面的Phong光照模型，并利用GPU技术进行加速，在保证实时渲染的计算效率的同时完成场景的光照度计算；通过RTT技术，获取场景的反射效果纹理和折射效果纹理，按照菲涅尔公式对这两个纹理进行混合，最后通过纹理映射实现水波表面反射、折射效果的绘制；

(3)水波与其他物体的交互仿真：与浅水方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂h}{\∂t}=-(\frac{\∂u}{\∂x}+\frac{\∂v}{\∂y})\\ \frac{\∂U}{\∂t}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿\mathrm{\ρ}+F\end{array}\right.$ 进行结合，使得物体与水波能够交互，当物体落入水波或在水面上移动时，能够对相应的水面网格施加影响，产生符合物理特性的水波。

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