CN101807902A - 复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字信号处理技术领域，具体为一种复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器。在数字滤波器中，无限脉冲响应数字滤波器很难得到线性相位特性，然而无限脉冲响应数字滤波器由于其较低的阶数受到广泛的应用。本发明用时间反转的方法设计复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器。本发明在推导得出复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器的条件的基础上，用时间反转的方法实现满足这种条件的滤波器。

Description

复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器。

背景技术

线性相位是滤波器的一个很重要的特性，具有线性相位的滤波器在滤波时不会对信号造成畸变。系数对称的有限脉冲响应滤波器具有严格的线性相位特性，而无限脉冲响应滤波器却很难得到严格的线性相位特性，但是无限脉冲响应滤波器由于其较低的阶数而被广泛应用，其中复系数无限脉冲响应滤波器也有着广泛的应用。

在已有的文献中，已经有一些设计复系数无限脉冲响应滤波器的方法，比如文献【1】【2】中基于全通滤波器的近似线性相位滤波器，这种方法只能得到近似的线性相位，阶数通常也比较高，而且很难对系数进行实时的重配置；再比如文献【3】-【6】中用限制优化的技术获得近似的线性相位，这也只能得到近似的线性相位；文献【7】中用局部时间反转的方法实现设计线性相位无限脉冲响应滤波器，但是不能用于复系数滤波器。

发明内容

本发明的目的在于提供一种能够用于复系数的线性相位无限脉冲响应滤波器。

考虑两个N阶复系数滤波器的传递函数：

$H_1\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}{z}^{-1})}$

和

$H_2\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{2m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{2n}{z}^{-1})},$

其中，M和N是正整数，且M≤N，H₁(z)和H₂(z)的零点数目和极点数目分别相等，即分别为M和N。如果他们的零点和极点满足

$z_{2m}=z_{1m}/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right);$ m＝1，2，…M

$p_{2n}=p_{1n}/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right);$ n＝1，2，…N

这里，z_1m ^*是复数z_1m的共轭，p_1n ^*为复数p_1n的共轭。

则将这两个滤波器级联得到的滤波器具有严格的线性相位特性。上述结论的证明如下：

级联得到的滤波器的传递函数为

$H\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}{z}^{-1})}\·\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{2m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{2n}{z}^{-1})}=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}{z}^{-1})(1-z^{-1}{z}_{1m}/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right))}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}{z}^{-1})(1-z^{-1}{p}_{1n}/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right))}$

为了分析该滤波器的频域特性，用exp(jω)代替z，其中ω是归一化的角频率，并用r_zm exp(jφ_zm)代替z_1m，r_pnexp(jφ_pn)替代p_1n，这样就可以得到该合成滤波器的频响传输函数：

$H\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right]$

$=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-r_{\mathrm{zm}}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{j\ω}))(1-r_{\mathrm{zm}}^{-1}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{j\ω}))}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-r_{\mathrm{pn}}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{j\ω}))(1-r_{\mathrm{pn}}^{-1}\exp (j{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{j\ω}))}$

为了便于分析，将该传输函数重新分解成下面的M+N个函数：

$H\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}{H}_{\mathrm{zm}}\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right]\·\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}{H}_{\mathrm{pn}}\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right],$

$H_{\mathrm{zm}}\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=(1-r_{\mathrm{zm}}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{j\ω}))(1-r_{\mathrm{zm}}^{-1}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{j\ω}))$

$H_{\mathrm{pn}}\left[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\right]=\frac{1}{(1-r_{\mathrm{pn}}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{j\ω}))(1-r_{\mathrm{pn}}^{-1}\exp ({\mathrm{j\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{j\ω}))}$

H_zm[exp(jω)]和H_pn[exp(jω)]的相频响应为：

$\arg \left(H_{\mathrm{zm}}\right[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\left]\right)$

$=\arctan +\frac{\sin ({2\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-2\mathrm{\ω})-(r_{\mathrm{zm}}+r_{\mathrm{zm}}^{-1})\sin ({\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{\ω})}{1+\cos (2{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-2\mathrm{\ω})-(r_{\mathrm{zm}}+r_{\mathrm{zm}}^{-1})\cos ({\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{\ω})}$

$=-{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-\mathrm{\ω}$

$\arg \left(H_{\mathrm{pn}}\right[\exp \left(j\mathrm{\ω}\right)\left]\right)$

$=-\arctan \frac{\sin (2{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}-2\mathrm{\ω})-(r_{\mathrm{pn}}+r_{\mathrm{pn}}^{-1})\sin ({\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{\ω})}{1+\cos (2{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}-2\mathrm{\ω})-(r_{\mathrm{pn}}+r_{\mathrm{pn}}^{-1})\cos ({\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}-\mathrm{\ω})}$

$=\mathrm{\ω}-{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}$

综上所述可得到：

$\arg \left(H\right[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\left]\right)$

$=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\arg \left(H_{\mathrm{zm}}\right[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\left]\right)+\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\arg \left(H_{\mathrm{pn}}\right[\exp \left(\mathrm{j\ω}\right)\left]\right)$

$=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{zm}}-\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{pn}}+(N-M)\mathrm{\ω}$

可以看出该滤波器具有严格的线性相位特性。但是我们会发现上面得到的滤波器是不稳定的，线性相位要求该滤波器的极点在z平面上关于单位圆对称，那么就必定会有极点在单位圆之外。尽管如此，我们可以根据文献【8】提到的时间反转的方法来解决稳定性问题。

假设H₁(z)的所有极点位于单位圆内，那么相应地，H₂(z)的所有极点位于单位圆外。用文献【8】中提到的方法，我们构造极点都在单位圆之内的传输函数H₃(z)：

$H_3\left(z\right)=H_2\left(z^{-1}\right)$

$=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}z/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right))}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}z/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right))}$

H₃(z)用来代替H₂(z)，但是H₃(z)的输入输出都需要做一次时间反转.这样，用输入输出都做一次时间反转的H₃(z)和H₁(z)级联得到的滤波器不仅具有线性相位特性而且稳定。

附图说明

图1为复系数线性相位滤波器的架构图。

图2为复系数线性相位滤波器的幅频和相频曲线。

具体实施方式

1.根据滤波器指标设计一个基本的稳定的无限脉冲响应滤波器(滤波器I)，其传输函数为

$H_1\left(z\right)=\frac{\underset{j=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{b}_j{z}^{-j}}{1+\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{z}^{-k}}$

2.将滤波器I的传输函数转化成零极点的形式：

$H_1\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}{z}^{-1})}$

3.根据发明内容，应该构造出滤波器II与滤波器I级联，滤波器II的传输函数为H₃(z)＝H₂(z^-1)，H₂(z)和H₁(z)的零极点满足关系式

$z_{2m}=z_{1m}/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right);m=\mathrm{1,2},...M$

$p_{2n}=p_{1n}/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right);n=\mathrm{1,2},...N$

则

$H_2\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{2m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{2n}{z}^{-1})}=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z^{-1}{z}_{1m}/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right))}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-z^{-1}{p}_{1n}/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right))}$

滤波器II的传输函数为

$H_3\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}z/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right))}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}z/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right))}$

4.滤波过程如图1，输入数据先由滤波器I滤波，然后经过时间反转缓冲器I后由滤波器II滤波，最后再做一次时间反转后输出。

参考文献：

【1】A.Fernandez-Vazquez and G.Jovanovic-Dolecek，“Design of real and complex linearphase IIR filter banks，”IEEE Int.Symp.On Communications and Information Technology，vol.1，Oct.2005，pp.305-308.

【2】F.Argenti，V.Cappellini，A.Sciorpes and A.N.Venetsanopoulos，“Design of IIRlinear-phase QMF banks based on complex allpass sections，”IEEE Trans.Acoust.，Speech，Signal Processing，vol.44，May 1996，pp.1262-1267.

【3】J.P.Thiran，“Recursive digital filters with maximally flat group delay，”IEEE Trans.Circuit Theory，vol.18，Nov.1971，pp.659-664.

【4】G.Cortelazzo and M.Lightner，“Simultaneous design in both magnitude andgroup-delay of IIR and FIR filters based on multiple criterion optimization，”IEEE Trans.Acoust.，Speech，Signal Processing，vol.32，Oct.1984，pp.949-967.

【5】R.Mikhael，P.Agathoklis and C.Xiao，“Design of linear-phase recursive filters byoptimization of model reduced non-recursive filters，”Proc.PACRIM.2003，vol.1，Aug.2003，pp.94-97.

【6】M.A.Al-Alaoui，“Linear Phase Low-Pass IIR Digital Differentiators，”IEEE Trans.Signal Processing，vol.55，Feb.2007，pp.697-706

【7】Scott R.Powell and Paul M.Chau，“A Technique for Realizing Linear PhaseIIR Filters，”IEEE Trans.Signal Processing，vol.39，Nov.1991，pp.2425-2435.J.J.Kormylo and V.K.Jain，“Two-pass recursive digital flter with zero phase shift，”IEEETrans.Acoust.，Speech，Signal Processing，vol.22，Oct.1974，pp.384-387.

Claims (1)

1.一种复系数线性相位无限脉冲响应数字滤波器，其特征在于其传递函数如下：

$H\left(z\right)=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{1m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{1n}{z}^{-1})}\·\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}(1-z_{2m}{z}^{-1})}{\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(1-p_{2n}{z}^{-1})}$

其中：

$z_{2m}=z_{1m}/\left(z_{1m}{z}_{1m}^{*}\right);m=\mathrm{1,2},\·\·\·M$

$p_{2n}=p_{1n}/\left(p_{1n}{p}_{1n}^{*}\right);n=\mathrm{1,2},\·\·\·N$

M和N均为正整数，且M≤N，p_1n ^*为复数p_1n的共轭，z_1m ^*为复数z_1m的共轭。

Images