CN101794984B - 基于多回路模型的发电机转子匝间故障分析方法 - Google Patents

Abstract

基于多回路模型的发电机转子匝间故障分析方法，属于交流电机绕组不对称故障问题的分析研究和电力系统主设备的继电保护技术领域。本发明基于交流电机的多回路分析法，考虑到转子故障引起的气隙磁场的各种空间谐波、定子相绕组内部不平衡电流和励磁绕组电路拓扑结构的改变，按照定、转子所有回路的实际联接情况来列写电压和磁链方程，并准确计算了各回路参数、尤其是与发生匝间短路故障的励磁绕组有关的电感参数，提出了励磁绕组匝间短路故障的暂态计算方法和稳态计算方法。实验结果验证了两种计算方法的正确性和准确性，为设计转子匝间短路保护提供了定量化依据。

Description

基于多回路模型的发电机转子匝间故障分析方法

技术领域

本发明属于交流电机绕组不对称故障问题的分析研究和电力系统主设备的继电保护技术领域，尤其涉及同步发电机转子励磁绕组匝间短路的分析计算及保护方法。

背景技术

发电机励磁绕组匝间短路是一种常见的电气故障。一般轻微的转子匝间短路对发电机运行不会直接产生严重影响，而且已有的匝间短路保护原理尚不完善，所以目前并不要求必须装设转子绕组匝间短路保护。但如果故障继续发展，会使励磁电流显著增加，发电机输出无功功率减小，机组振动加剧，短路点处的局部过热还可能使故障演化为转子一点甚至两点接地故障，损坏转子铁芯并可能引起转子大轴磁化，严重情况还会烧伤轴颈和轴瓦，给机组的安全运行带来巨大威胁。上世纪90年代我国某火电厂4台300MW发电机中就有3台因励磁绕组匝间短路等原因最终导致大轴磁化，其中两台还烧坏护环。

因此，深入分析发电机励磁绕组匝间短路的故障机理，发现故障时各电气量的分布和变化规律，并提出有效的保护或诊断方案，才能早期发现励磁绕组匝间短路、监视其发展并确定是否需要检修，从而避免突发性的严重匝间短路及由此发展成的转子接地故障。

目前对发电机励磁绕组匝间短路的研究，主要通过实验检测，在实际应用中的检测结果也还存在局限性；而且多限于定性的理论分析，不能准确计算故障后的励磁电流和定子电流等电气量，还不能为设计转子匝间短路保护提供定量化依据。

考虑到一般的匝间短路会导致励磁绕组在各极下的结构差异，破坏了发电机电气参数的对称性，引起气隙磁场的畸变和定子相绕组内部的不平衡电流，派克方程法以及从相绕组出发的电机分析的传统方法不再适用。

交流电机的多回路分析法，按照电机定、转子绕组的实际联接情况分析各回路的电压和磁链关系；在计算由多个线圈串、并联而成的绕组回路的参数时，可以从单个线圈出发，先得到单个线圈的参数，然后根据各绕组的实际组成情况，由有关线圈的参数计算出绕组回路参数。该方法已经成功解决了电机定子绕组内部故障的计算问题，并应用于发电机内 部故障主保护的定量化设计中，相应的发明专利“大型发电机定子绕组内部故障主保护配置方法”已获授权。

多回路分析法不仅能够分析定子绕组内部故障，也能深入到转子绕组内部来分析定子所有分支及转子各绕组的电流、电压分布情况，而且能够计及气隙磁场的各种谐波，所以可以应用于对发电机励磁绕组匝间短路故障的计算分析，但会遇到许多不同于正常运行及定子绕组内部故障的新问题。首先，发生在转子的故障导致电机的电路拓扑结构改变，需要重新建立适用于转子匝间短路的多回路模型。其次，由于匝间短路会导致励磁绕组在各极下的结构差异，破坏了发电机电气参数的对称性，考虑励磁绕组匝间短路的多回路数学模型中，与励磁绕组有关的电感参数的特点(如周期性等)和计算方法，都与正常情况以及定子内部短路情况有所不同，还需要建立新的参数模型，包括转子绕组电感参数模型和定、转子绕组互感参数模型。

通过定性分析同步发电机励磁绕组匝间短路故障情况下转子、定子产生磁动势及其在气隙磁场中的相互作用，可以发现定、转子故障电流的稳态谐波特征不仅与励磁绕组的短路匝比及故障位置有关，还与电机的极对数和定子绕组的分支数、分布及联接方式等因素密切相关，在很多情况下会出现不同于机端外部短路及定子绕组内部短路的故障特征。样机实验和基于多回路分析法的转子励磁绕组匝间短路故障计算都验证了上述定性分析的正确性，为基于稳态电流谐波特征的励磁绕组匝间短路故障保护提供了可行性依据。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算与保护方法。

为了分析同步发电机励磁绕组匝间短路故障对定、转子各种电气量的影响，并为保护方法提供依据，本发明基于交流电机的多回路分析法，提出了发电机转子励磁绕组匝间短路故障的计算方法。其计算原理是：根据多回路分析法把电机看作具有相对运动的电路网络，在没有发生故障的定子方面，考虑到转子故障引起的定子相绕组内部不平衡电流，需要深入到相绕组内部的所有分支，选择定子所有支路(见图1中的实线箭头，不带括号的数字代表定子支路序号)构成的回路(见图1中的虚线箭头，带括号的数字代表定子回路序号)；在转子阻尼绕组方面，考虑到故障引起的气隙磁场的各种空间谐波(包括分数次谐 波磁场)，选择实际的网型阻尼回路(见图2中的虚线箭头)；在发生匝间短路的励磁绕组方面，选择正常励磁回路和故障附加回路这2个回路(见图3中的虚线箭头)；而计算上述回路的电感、电阻参数，其中对定子各支路从定子单个线圈的参数出发，而对励磁绕组的故障附加回路从任一极下的1个线圈出发(隐极同步电机的励磁绕组每极绕组由若干个同心式线圈串联而成；凸极同步电机的每个极绕组是个集中整距线圈，可看成隐极同步电机同心式线圈的特例)；列写上述回路的电压和磁链方程，得到一个时变系数的微分方程组；根据不同的运行状态(正常运行或励磁绕组匝间短路故障运行、暂态或稳态)求解方程，就得到了电机定、转子的暂态电流和稳态电流。其主要思路如下：

步骤1用磁路分析法计算电感参数，考虑计算的灵活性，可以从单个线圈出发进行分析；对单个线圈(包括定子单个线圈、每个实际的网型阻尼回路、转子励磁绕组每一极下的单个同心式线圈)通电流后的气隙磁动势进行谐波分析，然后结合气隙磁导(对于凸极机来说，气隙磁导是一个级数表示式)，求出气隙磁场，得到单个线圈的电感系数，最后根据将回路中所以相关的单个线圈的电感系数叠加起来，求出定子所有支路(见图1中的实线箭头和不带括号的数字)、励磁绕组的正常回路和故障附加回路、所有的实际网型阻尼回路的电感参数，从而可以灵活地计及空间各次谐波磁场的影响。

步骤2根据上述所有回路的实际联接情况来列写电压和磁链方程，可以考虑其它分析方法难以考虑、但对转子匝间故障影响重大的因素，如故障发生的位置(尤其对隐极同步电机的同心式励磁绕组)、定子绕组内部的分布与联接方式等。

步骤3在用多回路模型建立了同步电机的定转子电压方程并计算了所有回路参数后，就得到了一组具有时变系数的微分方程组，采用四阶龙格-库塔法等方法对该微分方程组进行求解，即可求得定转子各电流的稳态和暂态值，并进而得到其它电气量(如功率等)的值。

步骤4如果只要求进行电机的稳态分析计算(励磁绕组匝间短路故障稳态或者正常稳态运行)，为了节省内存和减少计算时间，可采用以下方法：首先通过对转子匝间短路故障中物理概念的分析，确定定、转子各回路电流的频率(定子各支路和阻尼各回路流过交流电流，不仅包括基波、还包括所有的整数次和分数次谐波电流；励磁绕组正常回路和故障附加回路流过直流电流和包括基波、所有的整数次以及分数次谐波的交流电流)；然后将各回路电流的表达式代入上述微分方程组，得到一个超越方程；再按照同频率量相等的原则， 得到一个以各回路电流的各次谐波正弦量和余弦量幅值为未知数、以回路电感系数的幅值和相角以及电阻为系数的线性代数方程组；解之即可得到电机励磁绕组匝间短路故障时的稳态电流，继而可得其他的电气量(正常稳态运行也可求解)。

基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障保护原理是：在用上述多回路分析法计算出同步发电机励磁绕组匝间短路故障的定、转子电流后，结合傅立叶滤波算法可计算出(或者由稳态计算直接得到)定子绕组同相不同分支之间环流及励磁电流中包含的不同种频率稳态分量的有效值。由于机端外部短路故障及定子绕组内部短路故障中，定子稳态电流只包含基波和3、5等奇数次谐波成分，而励磁电流除直流分量外只包含2、4等偶数次谐波成分，如果计算表明某台发电机励磁绕组匝间短路故障时定子各分支稳态电流包含分数次或者偶数次谐波成分，或者励磁电流包含分数次或者奇数次谐波成分，就可作为特征量来构成转子励磁绕组匝间短路故障保护。

本发明的特征在于，它依次含有以下步骤：

步骤1向计算机输入以下数据项和模块：

发电机的原始参数，包括：

P为极对数；τ为极距；l为铁心长度；w_k为定子线圈匝数；β为定子线圈短距比；Z为定子槽数；

为定子线圈的k₀次谐波短距系数，k₀＝1，2，3…；ω₀为电机的同步角速度；γ₀(i)为转子d轴在t＝0时领先定子i号线圈轴线的电角度，其中i＝1，2，…，Z；δ_min为电机等效气隙长度的最小值；

对于隐极同步电机，要输入分布式励磁绕组的结构参数，包括：q_f为正常励磁绕组每极分布的同心式线圈个数；W_fdh为正常励磁绕组每极下第h个同心式线圈的串联匝数，β_fdh为每极下第h个同心式线圈的短距比，其中h＝1，2，…，q_f；

对于凸极同步电机，w_fd为正常励磁绕组每极串联匝数，可按下式计算出气隙磁导的各次谐波系数：

l₀＝1，2，…，μ₀为气隙磁导率，δ(x)为凸极电机的等效气隙长度，x为转子坐标；

而对于隐极同步电机，

l₀＝1，2，…；

再按下式计算出各次导磁系数：

λ_dkj为纵轴k次谐波磁动势产生j次谐波磁密的谐波导磁系数， ${\mathrm{\λ}}_{\mathrm{dkj}}=\frac{1}{2}({\mathrm{\λ}}_{|k-j|}+{\mathrm{\λ}}_{|k+j|}),$

λ_qkj为横轴k次谐波磁动势产生j次谐波磁密的谐波导磁系数，

|k±j|＝2l₀，l₀＝0，1，2，…；

发电机的预设参数，包括：

λ_a为定子线圈边自感的槽比漏磁导系数；

λ_ab为定子上下层线圈边互感的槽比漏磁导系数；

L_0l.End为定子单个线圈的端漏自感系数；

M_0l.End(i)为定子i号线圈与0号线圈的端漏互感系数，其中i＝1，2，…，Z-1；

隐极同步电机每极下1匝第h₁个同心式线圈的漏磁自感系数

和同一极下1匝第h₁个同心式线圈与1匝第h₂个同心式线圈之间的漏磁互感系数

其中h₁，h₂＝1，2，…，q_f；

凸极同步电机每极下1匝集中式线圈的漏磁自感系数L_fdl，1turn；

上述预设参数的计算参见《交流电机及其系统的分析》；

发电机的定子绕组连接图；

发电机的励磁绕组连接图，包括正常回路和故障附加回路的联接情况；

步骤2依次按以下步骤执行基于多回路分析法的发电机励磁绕组匝间短路故障仿真计算模块，程序框图参见图4：

步骤2.1计算定、转子各回路的电感和电阻参数

步骤2.1.1计算定子支路的电感参数

步骤2.1.1.1按下式计算考虑了槽漏和端漏引起的自感系数L_0l后的定子各单个线圈的自感系数L(γ)：

L(γ)＝L₀+L₂cos 2γ

其中， $L_0=L_{0l}+\frac{{2w}_k^2\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{k_0}{\mathrm{\Σ}}\left[{\left(\frac{k_{{\mathrm{yk}}_0}}{k_0}\right)}^2({\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{dk}}_0{k}_0}+{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{qk}}_0{k}_0})\right],$

$L_2=\frac{{2w}_k^2\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\left\{\underset{k_1}{\mathrm{\Σ}}\right[\frac{k_{{\mathrm{yk}}_1}{k}_{y(2-k_1)}}{k_1(2-k_1)}({\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{dk}}_1(2-k_1)}-{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{qk}}_1(2-k_1)})]+2\underset{k_2}{\mathrm{\Σ}}[\frac{k_{y{k}_2}{k}_{y(k_2+2)}}{k_2(k_2+2)}({\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{dk}}_2(k_2+2)}+{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{qk}}_2(k_2+2)})\left]\right\};$

L₀中的

L₂中的L₂中的

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

L_0l ＝L_0l.Slot+L_0l.End，其中L_0l为考虑了槽漏磁和端部漏磁引起的自感系数；L_0l.Slot为槽漏自感系数，

λ_a和L_0l.End为步骤1中的预设参数；

步骤2.1.1.2按下式计算定子第i线圈和第j线圈间的互感系数M_i，j，其中i，j＝1～Z：

$M_{i,j}=M_{i,j,0}+M_{i,j,2}\cos (\mathrm{\γ}+\frac{\mathrm{\α}}{2})$

其中，M_i，j，0为常数项，M_i，j，2为二次谐波项的幅值：

$M_{i,j,0}=M_{i,j,0l}+\frac{2{w_k}^2}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{k_0}{\mathrm{\Σ}}\left[{\left(\frac{k_{y{k}_0}}{k_0}\right)}^2({\mathrm{\λ}}_{d{k}_0{k}_0}+{\mathrm{\λ}}_{q{k}_0{k}_0})\cos k_0\mathrm{\α}\right]$

$M_{i,j,2}=\frac{2{w_k}^2\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\left\{\underset{k_1}{\mathrm{\Σ}}\right[\frac{k_{y{k}_1}{k}_{y(2-k_1)}}{k_1(2-k_1)}({\mathrm{\λ}}_{d{k}_1(2-k_1)}-{\mathrm{\λ}}_{q{k}_1(2-k_1)})\cos (1-k_1)\mathrm{\α}]$

$+2\underset{k_2}{\mathrm{\Σ}}\left[\frac{k_{y{k}_2}{k}_{y(k_2+2)}}{k_2(k_2+2)}({\mathrm{\λ}}_{d{k}_2(k_2+2)}+{\mathrm{\λ}}_{q{k}_2(k_2+2)})\cos (1+k_2)\mathrm{\α}\right]\}$

α为第i线圈和第j线圈间的偏移角，连加号里k₀、k₁和k₂的取值以及其它变量都与步骤2.1.1.1中所述相同；

M_i，j，0l＝M_{i，j，0l.Slot}+M_0l.End(|i-j|)，其中M_i，j，0l为槽漏磁场和端漏磁场引起的上述第i线圈和第j线圈间的互感系数；M_{i，j，0l.Slot}为槽漏互感系数，

λ_ab为上下层线圈边互感的槽比漏磁导系数，M_0l.End(|i-j|)为第i线圈和第j线圈间的端漏互感系数的大小，是步骤1中的预设参数；

当第i线圈和第j线圈的轴线重合时，α＝0，M_i，j，0＝L₀、M_i，j，2＝L₂；

步骤2.1.1.3按下式计算定子支路的电感系数M_S，Q：

$M_{S,Q}=\underset{i_1=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j_1=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{m}_{S\left(i_1\right),Q\left(j_1\right)}=M_{S,Q,0}+M_{S,Q,2}\cos 2(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{S,Q,2})$

其中，S、Q分别为定子任意两个支路，S支路有m个线圈，Q支路有n个线圈；

表示S支路第i₁个线圈与Q支路的第j₁个线圈的互感系数，在2.1.1.2中已得到；

M_S，Q，0表示S支路与Q支路互感系数的常数项，

表示S支路第i₁个线圈与Q支路第j₁个线圈互感系数的常数项；

M_S，Q，2表示S支路与Q支路互感系数的二次谐波项的幅值，α_S，Q，2表示S支路与Q支路互感系数的二次谐波项相角，

和

分别表示S支路第i₁个线圈与Q支路第j₁个线圈互感系数的二次谐波项幅值和相角，联立求解2γ＝0、

情况下的M_S，Q，2cos 2(γ+α_S，Q，2)，求得M_S，Q，2和tgα_S，Q，2，从而得到α_S，Q，2；

步骤2.1.2计算定子各支路的电阻参数

根据单个线圈的电阻值，把各支路包含线圈的电阻值相叠加，得到定子各支路的电阻值；

步骤2.1.3计算转子各回路的电感参数

步骤2.1.3.1计算励磁绕组内部各极绕组由气隙磁场引起的互感和自感系数

对于隐极同步电机，按下式计算第n极绕组与第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数M_fdδn，m：

$M_{\mathrm{fd\δn},m}={(-1)}^{m+n}\underset{h_1=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h_2=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{4w}_{{\mathrm{fdh}}_{1}n}{w}_{{\mathrm{fdh}}_{2}m}\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{k_4}{\mathrm{\Σ}}\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\λ}}_0}{{k_4}^2}\sin \frac{k_4{\mathrm{\β}}_{{\mathrm{fdh}}_1}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{k_4{\mathrm{\β}}_{{\mathrm{fdh}}_2}\mathrm{\π}}{2}\cos k_4(n-m)\mathrm{\π}$

其中k₄为磁动势谐波次数，

和

分别为第n极下第h₁个同心式线圈和第m极下第h₂个同心式线圈的串联匝数，n，m＝1，2，…，2P，h₁，h₂＝1，2，…，q_f；

对于正常的励磁绕组，

而对于发生匝间短路的励磁绕组的故障附加回路，

对于凸极同步电机，按下式计算第n极绕组与第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数M_fdδn，m：

$M_{\mathrm{fd\δn},m}={(-1)}^{m+n}\frac{{4w}_{\mathrm{fdn}}{w}_{\mathrm{fdm}}\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{k_5}{\mathrm{\Σ}}\underset{j_5}{\mathrm{\Σ}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{dk}}_5{j}_5}}{k_5{j}_5}\sin \frac{k_5\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_5\mathrm{\π}}{2}\cos j_5(n-m)\mathrm{\π}$

其中k₅为磁动势谐波次数，

j₅为磁密谐波次数，j₅＝|k₅±2l₀|，l₀＝0，1，2，…；

另外，w_fdn和w_fdm分别为励磁绕组第n极绕组和第m极绕组的串联匝数，n，m＝1，2，…，2P；对于正常的励磁绕组，w_fdn＝w_fdm＝W_fd；而对于发生匝间短路的励磁绕组的故障附加回路，w_fdn≤W_fd，w_fdm≤W_fd；

当n＝m时，所求量为由气隙磁场引起的第n极绕组自感系数，所以自感是互感的特例；

步骤2.1.3.2计算励磁回路的电感系数M_G，H：

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与H回路的互感系数：

$M_{G,H}=\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{fd\δG}\left(n\right),H\left(m\right)}$

$+\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h_1=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{G\left(h_{1}n\right)}{w}_{H\left(h_{1}n\right)}{L}_{{\mathrm{fdlh}}_1,1\mathrm{turn}}+\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h_1=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}(\underset{h_2=1}{\overset{h_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{G\left(h_{1}n\right)}{w}_{H\left(h_{2}n\right)}{M}_{{\mathrm{fdlh}}_1,h_2,1\mathrm{turn}}+\underset{h_2=h_1+1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{G\left(h_{1}n\right)}{w}_{H\left(h_{2}n\right)}{M}_{{\mathrm{fdlh}}_1,h_2,1\mathrm{turn}})$

其中M_{fdδG(n)，H(m)}为励磁G回路的第n极绕组与H回路的第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数，

和

分别为励磁G回路和H回路的第n极绕组下第h₁个同心式线圈的串联匝数；

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与H回路的互感系数：

$M_{G,H}=\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{fd\δG}\left(n\right),H\left(m\right)}+\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{G\left(n\right)}{w}_{H\left(n\right)}{L}_{\mathrm{fdl},1\mathrm{turn}}$

其中M_{fdδG(n)，H(m)}为励磁G回路的第n极绕组与H回路的第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数，w_G(n)和w_H(n)分别为励磁G回路和H回路的第n极绕组串联匝数；

步骤2.1.3.3按下式计算任意两个阻尼回路11′和22′间的互感系数M_1，2：

$M_{\mathrm{1,2}}=\frac{{2w}_{r1}{w}_{r2}\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{j_2}{\mathrm{\Σ}}\{\underset{{2l}_1=|k_6-j_6|}{\mathrm{\Σ}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{2l_1}}{k_6{j}_6}\sin \frac{k_6{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_6{\mathrm{\β}}_{r2}\mathrm{\π}}{2}\cos (j_6{\mathrm{\α}}_2-k_6{\mathrm{\α}}_1)$

$+\underset{{2l}_2=|k_7+j_7|}{\mathrm{\Σ}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{{2l}_2}}{k_7{j}_7}\sin \frac{k_7{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_7{\mathrm{\β}}_{r2}\mathrm{\π}}{2}\cos (j_7{\mathrm{\α}}_2+k_7{\mathrm{\α}}_1)\}$

其中，

|k₆-j₆|＝0，2，4，…，14；|k₇+j₇|＝2，4，…，14；

α₁、α₂分别为阻尼回路11′和22′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1、β_r2分别为阻尼回路11′和22′的短距比；

w_r1、w_r2分别为阻尼回路11′和22′的串联匝数；

当α₁＝α₂，β_r1＝β_r2时即得阻尼回路的自感系数；

步骤2.1.3.4计算任一励磁回路与任一阻尼回路间的互感系数：

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与阻尼回路11′之间的互感系数

$M_{1,G}=\frac{{2w}_{r1}\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}{\mathrm{\λ}}_0\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^n{w}_{G\left(\mathrm{hn}\right)}\underset{k_8=\frac{1}{P},\frac{2}{P},\frac{3}{P},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}\frac{\sin \frac{k_8{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\·\sin \frac{k_8{\mathrm{\β}}_{\mathrm{fdh}}\mathrm{\π}}{2}}{{k_8}^2}\cos k_8({\mathrm{\α}}_1-\mathrm{n\π})$

其中k₈为磁动势谐波次数，

w_G(hn)为励磁绕组G回路第n极下第h个同心式线圈的串联匝数，n＝1，2，…，2P，h＝1，2，…，q_f；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1和w_r1分别为阻尼回路11′的短距比和串联匝数；

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与阻尼回路11′之间的互感系数

$M_{1,G}=\frac{{2w}_{r1}\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^n{w}_{G\left(n\right)}\underset{k_9=\frac{1}{P},\frac{2}{P},\frac{3}{P},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}\{\underset{j_9}{\overset{|k_9-j_9|=\mathrm{0,2,4},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{|k_9-j_9|}}{k_9{j}_9}\sin \frac{k_9\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_9{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\cos (j_9{\mathrm{\α}}_1-k_9\mathrm{n\π})$

$+\underset{j_{10}}{\overset{k_9+j_{10}=\mathrm{2,4},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{|k_9+j_{10}|}}{k_9{j}_{10}}\sin \frac{k_9\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_{10}{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\cos (j_{10}{\mathrm{\α}}_1+k_9\mathrm{n\π})\}$

其中k₉为磁动势谐波次数，

j₉、j₁₀为磁密谐波次数，|k₉-j₉|＝0，2，4，…，k₉+j₁₀＝2，4，…；

w_G(n)为励磁绕组G回路第n极绕组的串联匝数，n＝1，2，…，2P；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1和w_r1分别为阻尼回路11′的短距比和串联匝数；

步骤2.1.4计算励磁绕组短路匝的电阻参数

根据励磁绕组总电阻和短路匝数，计算励磁绕组短路匝的电阻值；

步骤2.1.5计算定子各支路与转子各回路之间的电感系数

步骤2.1.5.1计算任一励磁回路与定子任一线圈之间的电感系数

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与定子任一线圈AA′之间的互感系数

$M_{G,a}=\frac{{2w}_k\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}{\mathrm{\λ}}_0\underset{k_{11}=\frac{1}{P},\frac{2}{P},\frac{3}{P},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}\left\{\frac{\sin \frac{k_{11}\mathrm{\β\π}}{2}}{{k_{11}}^2}\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}\underset{h=1}{\overset{q_f}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^n{w}_{G\left(\mathrm{hn}\right)}\sin \frac{k_{11}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{fdh}}\mathrm{\π}}{2}\cos k_{11}(\mathrm{\γ}+\mathrm{n\π})\right\}$

其中k₁₁为磁动势谐波次数，

w_G(hn)为励磁绕组G回路第n极下第h个同心式线圈的串联匝数，n＝1，2，…，2P，h＝1，2，…，q_f；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与定子任一线圈AA′之间的互感系数

$M_{G,a}=\frac{2w_k\mathrm{\τl}}{P{\mathrm{\π}}^2}\underset{n=1}{\overset{2P}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^n{w}_{G\left(n\right)}\underset{k_{12}=\frac{1}{P},\frac{2}{P},\frac{3}{P},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}\{\underset{j_{12}}{\overset{|k_{12}-j_{12}|=\mathrm{0,2,4},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{|k_{12}-j_{12}|}}{k_{12}\·j_{12}}\sin \frac{k_{12}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_{12}\mathrm{\β\π}}{2}\cos (j_{12}\mathrm{\γ}+k_{12}\mathrm{n\π})$

$+\underset{j_{13}}{\overset{|k_{12}+j_{13}|=\mathrm{2,4},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{|k_{12}+j_{13|}}}{k_{12}{j}_{13}}\sin \frac{k_{12}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_{13}\mathrm{\β\π}}{2}\cos (j_{13}\mathrm{\γ}-k_{12}\mathrm{n\π})\}$

其中k₁₂为磁动势谐波次数，

w_G(n)为励磁绕组G回路第n极绕组的串联匝数，n＝1，2，…，2P；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

步骤2.1.5.2按下式计算任一阻尼回路11′与定子任一线圈AA′之间的电感系数M_1，a：

$M_{1,a}=\frac{{2w}_k{w}_{r1}\mathrm{\τl}}{{\mathrm{P\π}}^2}\underset{j_3}{\mathrm{\Σ}}\{\underset{|k_{14}-j_{14}|=\mathrm{0,2,4},\·\·\·|}{\mathrm{\Σ}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{|k_{14}-j_{14}}}{k_{14}{j}_{14}}\sin \frac{k_{14}{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_{14}\mathrm{\β\π}}{2}\cos (j_{14}\mathrm{\γ}+k_{14}{\mathrm{\α}}_1)$

$+\underset{k_{14}+j_{15}=\mathrm{2,4},\·\·\·}{\mathrm{\Σ}}\frac{{\mathrm{\λ}}_{k_{14}+j_{15}}}{k_{14}{j}_{15}}\sin \frac{k_{14}{\mathrm{\β}}_{r1}\mathrm{\π}}{2}\sin \frac{j_{15}\mathrm{\β\π}}{2}\cos (j_{15}\mathrm{\γ}-k_{14}{\mathrm{\α}}_1)\}$

其中k₁₄为磁动势谐波次数，

j₁₄、j₁₅为磁密谐波次数，|k₁₄-j₁₄|＝0，2，4，…，k₁₄+j₁₅＝2，4，…；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

步骤2.1.5.3计算定子各支路与转子各回路之间的互感系数

有了定子单个线圈与励磁绕组、阻尼绕组的互感系数后，采用与步骤2.1.1.3类似的方法，就可求出由它们组成的定子各支路与转子各回路之间的互感系数；

按下式计算定子Q支路与励磁绕组G回路的互感系数M_Q，G：

$M_{Q,G}=M_{Q,G,\frac{1}{P}}\cos \frac{1}{P}(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,G,\frac{1}{P}})+M_{Q,G,\frac{2}{P}}\cos \frac{2}{P}(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,G,\frac{2}{P}})+\·\·\·+M_{Q,G,5}\cos 5(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,G,5}),$

其中，

分别为定子Q支路与励磁绕组G回路之间互感系数的i₂次谐波的幅值和相角，谐波次数

按下式计算定子Q支路与阻尼ld回路的互感系数M_Q，ld： 

$M_{Q,\mathrm{ld}}=M_{Q,\mathrm{ld},\frac{1}{P}}\cos \frac{1}{P}(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,\mathrm{ld},\frac{1}{P}})+M_{Q,\mathrm{ld},\frac{2}{P}}\cos \frac{2}{P}(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,\mathrm{ld},\frac{2}{P}})+\·\·\·+M_{Q,\mathrm{fd},5}\cos 5(\mathrm{\γ}+{\mathrm{\α}}_{Q,\mathrm{ld},5}),$

其中，

分别为定子Q支路与阻尼ld回路之间互感系数的i₃次谐波的幅值和相角，谐波次数

步骤2.2根据定转子各回路的实际组成情况列写电压和磁链方程

步骤2.2.1列写定子支路方程

按下式列写定子内部任一支路Q的磁链方程：

${\mathrm{\Ψ}}_Q=-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{QS}}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{Q.\mathrm{ld}}{i}_{\mathrm{ld}}+M_{Q,f}{i}_f+M_{Q,\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}$

其中，i_S、i_ld分别为定子S支路电流、阻尼ld回路电流；i_f、i_fkL分别为励磁绕组正常回路和故障附加回路电流；

M_QS为定子S支路和Q支路的互感系数；M_Q.ld为阻尼ld回路与定子Q支路的互感系数；M_Q，f为励磁绕组正常回路与定子Q支路的互感系数；M_Q，fkL为励磁绕组故障附加回路与定子Q支路的互感系数；

Nd为阻尼条总数；

按下式列写支路Q的电压方程：

$u_Q=p{\mathrm{\Ψ}}_Q+r_Q\·i_Q=p[-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{QS}}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{Q.\mathrm{ld}}{i}_{\mathrm{ld}}+M_{Q,f}{i}_f+M_{Q,\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}]+r_Q{i}_Q$

其中，u_Q、Ψ_Q、r_Q、i_Q分别为定子支路Q的电压、磁链、电阻和电流；p为微分算子d/dt；

按下式列写定子负载侧电压方程：

u_A＝p[L_Ti_A]+r_Ti_A+u_A′，u_B＝p[L_Ti_B]+r_Ti_B+u_B′，u_C＝p[L_Ti_C]+r_Ti_C+u_C′

其中，r_T、L_T、u_A′、u_B′、u_C′分别为折算到发电机一侧的变压器的电阻、电感和电网各相电压；

步骤2.2.2列写转子回路方程

步骤2.2.2.1列写转子阻尼回路的方程

按下式列写阻尼任一回路gd的磁链方程：

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{gd}}=-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{S.\mathrm{gd}}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{gd}.\mathrm{ld}}{i}_{\mathrm{ld}}+M_{\mathrm{gd}.f}{i}_f+M_{\mathrm{gd}.\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}$

其中，M_gd.ld为两阻尼回路gd与ld之间的互感系数；

按下式列写阻尼回路gd的电压方程：

0＝pΨ_gd+r_gdi_gd-r_c(i_gd-1+i_gd+1)

$=p[-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{S.\mathrm{gd}}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{gd}.\mathrm{ld}}{i}_{\mathrm{ld}}+M_{\mathrm{gd}.f}{i}_f+M_{\mathrm{gd}.\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}]+r_{\mathrm{gd}}{i}_{\mathrm{gd}}-r_c(i_{\mathrm{gd}-1}+i_{\mathrm{gd}+1})$

其中，Ψ_gd、r_gd、r_c分别为阻尼任一回路gd的磁链、回路电阻和阻尼条电阻；

步骤2.2.2.2列写励磁绕组正常回路和故障附加回路的方程

按下式列写励磁绕组正常回路的磁链方程：

${\mathrm{\Ψ}}_f=-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{S.f}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ld}.f}{i}_{\mathrm{ld}}+L_f{i}_f+M_{f,\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}$

其中，M_S.f为定子S支路与励磁绕组正常回路的互感系数；M_ld.f为阻尼ld回路与励磁绕组正常回路的互感系数；L_f为励磁绕组正常回路的自感系数；M_f，fkL为励磁绕组正常回路与故障附加回路的互感系数；

按下式列写励磁绕组正常回路的电压方程：

E_ZF＝pψ_f+(R_ZF+r_f)i_f+r_fki_fkL

其中，Ψ_f、r_f分别为励磁绕组正常回路的磁链和电阻；r_fk为励磁绕组短路匝的电阻；E_ZF、R_ZF分别为励磁系统电源的电动势和内电阻；

按下式列写励磁绕组故障附加回路的磁链方程：

${\mathrm{\Ψ}}_{\mathrm{fkL}}=-\underset{S=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{S.\mathrm{fkL}}{i}_S+\underset{\mathrm{ld}=1}{\overset{\mathrm{Nd}}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{\mathrm{ld}.\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{ld}}+M_{f,\mathrm{fkL}}{i}_f+L_{\mathrm{fkL}}{i}_{\mathrm{fkL}}$

其中，M_S.fkL为定子S支路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；M_ld.fkL为阻尼ld回路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；M_f，fkL为励磁绕组正常回路与故障附加回路的互感系数；L_fkL为励磁绕组故障附加回路的自感系数；

按下式列写励磁绕组故障附加回路的电压方程：

0＝pψ_fkL+(R_fkL+r_fk)i_fkL+r_fki_f

其中，Ψ_fkL为励磁绕组故障附加回路的磁链；r_fk为励磁绕组短路匝的电阻；R_fkL为励磁绕组故障附加回路的短路过渡电阻，如果是金属性短路，R_fkL主要就是短接线的电阻、可忽略不计；

步骤2.3形成以定、转子所有回路电流为状态变量的状态方程

将上述定、转子所有电压方程写成矩阵形式，并将定子支路电压方程转换为定子回路电压方程，得到下述以定转子各回路电流为状态变量的同步发电机状态方程：

p[I′]＝[A]·[I′]+[B]

其中，p是微分算子；

[A]＝-[L′]^-1·[R′]·[I′]；[B]＝[L′]^-1·[U′]-[L′]^-1·[H]·[B′]；

[L′]＝[H]·[L]·[H^T]；[R′]＝p[L′]+[H]·[R]·[H^T]；

[I′]＝[H^T]^-1·[I]，[I′]是定、转子回路电流，[I]是定子支路电流、转子回路电流；

是定、转子回路电压，[U]是定子支路电压、转子回路电压；

式中：

其中，L_Q为定子Q支路的自感系数，Q＝1～N，N为定子绕组支路数；

L_ld为阻尼ld回路的自感系数，ld＝1～Nd，Nd为阻尼回路总数；

L_f为励磁绕组正常回路的自感系数，L_fkL为励磁绕组故障附加回路的自感系数；

M_QS为定子Q支路与S支路的互感系数，S＝1～N；

M_Q，ld为定子Q支路与阻尼ld回路的互感系数；

M_Q，f为定子Q支路与励磁绕组正常回路的互感系数，M_Q，fkL为定子Q支路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；

L_T为折算到发电机一侧的变压器的电感；

其中，r_Q为定子Q支路的电阻，Q＝1～N；

r_ld为阻尼ld回路的电阻，ld＝1～Nd；

r_c为阻尼条电阻；

r_f为励磁绕组正常回路的电阻，r_fk为励磁绕组短路匝的电阻，R_ZF为励磁系统电源的内电阻，R_fkL为励磁绕组故障附加回路的短路过渡电阻；

r_T为折算到发电机一侧的变压器的电阻；

[U]＝[u₁ … u_N 0 … 0 E_ZF 0 u_A u_B  u_C]^T，

其中，u_Q为定子Q回路的电压，Q＝1～N；

0为阻尼任一回路的电压；

E_ZF为励磁系统电源的电动势，0为励磁绕组故障附加回路的电压；

u_A、u_B、u_C分别为发电机机端三相电压；

I＝[i₁ … i_N i_1d … i_Nd i_f i_fkL i_A i_B i_C]^T，

其中，i_Q为定子Q回路的电流，Q＝1～N；

i_ld为阻尼ld回路的电流，ld＝1～Nd；

i_f、i_fkL分别为励磁绕组正常回路和故障附加回路电流；

i_A、i_B、i_C分别为发电机机端三相电流；

[B′]＝[0 … 0 0 … 0 0 0 u_A′ u_B′ u_C′]^T，

其中，u_A′、u_B′、u_C′分别为电网各相电压；

[H]为定子支路对回路的变换阵，在每相支路数等于2时，仅励磁绕组发生故障而定子绕组本身正常情况下可得到如下支路对回路的变换阵[H]：

步骤2.4同步发电机励磁绕组匝间短路故障的暂态仿真计算：

采用四阶龙格-库塔法求出步骤2.3得到的状态方程的数值解，就得到了定转子各电流的暂态值，其中也包括稳态过程的数值解，并进而得到其它电气量的值；

步骤2.5同步发电机励磁绕组匝间短路故障的稳态仿真计算，它依次含有以下步骤：

步骤2.5.1按照物理概念确定励磁绕组匝间短路故障时电机定、转子各绕组电流的频率：定子支路电流频率为

m₁＝1，2，…；

励磁回路电流除交流分量以外，还包含频率为

的交流分量，m₂＝1，2，…；

阻尼回路电流频率为

m₃＝1，2，…；

步骤2.5.2把下列定、转子各电流的表达式代入步骤2.3得到的状态方程组，得到一个超越方程组：

定子Q支路电流为

其中，

和

分别为定子Q支路m₁/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

励磁绕组正常回路电流为

其中I_f0为励磁绕组正常回路电流的直流分量，

和

分别为励磁绕组正常回路m₂/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

励磁绕组故障附加回路电流为

其中I_fkL0为励磁绕组故障附加回路电流的直流分量，

和

分别为励磁绕组故障附加回路m₂/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

第g极下第dp个阻尼回路的电流为

其中

和

分别为第g极下第dp个阻尼回路m₃/P次谐波电流正弦量和余弦量 的幅值；

步骤2.5.3按照同频率量相等的原则，对于每一频率量都列出自己的方程；

步骤2.5.4在选取的两个特定时刻ω₀t＝0和ω₀t＝π/2下，得到两个不含时间t的线性代数方程；

步骤2.5.5用高斯消去法解得励磁绕组匝间短路故障下定、转子各绕组各电流各次谐波的正弦分量幅值和余弦分量幅值，并由正弦分量幅值和余弦分量幅值的均方和得到各次谐波的幅值；

步骤3依次按以下步骤执行同步发电机励磁绕组匝间短路故障的特征分析与保护模块，程序框图参见图5：

步骤3.1对步骤2.4的暂态仿真计算结果，从进入稳态的时刻开始取

时间内的数值解，用傅立叶滤波算法求出定子所有支路电流和励磁电流的

次谐波、

次谐波、……、

次谐波、基波、

次谐波、……5次谐波的稳态有效值，以及励磁电流的直流分量；

或者由步骤2.5的稳态仿真计算结果，直接得到各种稳态交流成分的有效值和励磁电流直流分量；

步骤3.2求出定子所有分支的有效值，就等于步骤3.1得到的各种稳态交流成分有效值的均方和；

步骤3.3根据发电机励磁绕组匝间短路故障稳态计算电流各种谐波的不同特点，设计该发电机所特有的励磁绕组匝间短路故障保护：

如果定子分支电流的某种分数次谐波电流有效值＞该分支电流有效值的40％，则由定子分支电流的该分数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果定子分支电流的某种偶数次谐波电流有效值＞该分支电流有效值的40％，则由定子分支电流的该偶数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果励磁电流的某种分数次谐波电流有效值＞励磁电流直流分量的5％，则由励磁电流的该分数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果励磁电流的某种奇数次谐波电流有效值＞励磁电流直流分量的5％，则由励磁电流的该奇数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果一台发电机可由两种或两种以上特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护，那么各种保护经“或”门出口；

由某种谐波特征量构成的保护方法在计算机中按以下步骤进行：

(1)对该特征量所在局部绕组(定子各分支，或者励磁绕组)的稳态电流进行采样；

(2)对上述采样的实际瞬时值，利用傅立叶滤波算法计算出直流分量大小和各种频率的交流电流(包括各种分数次谐波和整数次谐波)有效值；

(3)对于定子分支电流，如果该次谐波电流有效值＞分支电流总有效值的40％，则判断为发电机励磁绕组匝间短路故障；而对于励磁电流，如果该次谐波电流有效值＞励磁电流直流分量的5％，则判断为发电机励磁绕组匝间短路故障。

通过一台隐极同步发电机各种不同匝数的励磁绕组匝间短路实验结果，验证了本发明提出的基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算方法的准确性，为励磁绕组匝间短路故障的分析、检测和保护提供了定量化依据。对于这台电机励磁绕组匝间短路故障的理论分析、仿真计算和实验结果都表明，故障后定子每相绕组内部会出现分数次谐波的环流，励磁电流会出现奇数次谐波电流，并且定子环流和励磁电流的谐波特征与励磁绕组匝间故障的短路匝数和故障位置、定子绕组的分布与联接方式都有关系。这些故障特征在机端外部短路故障、定子绕组内部短路故障及转子偏心故障中都不会出现，也说明了本发明提出的基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障保护方法的可行性。

附图说明

图1为本发明中定子回路的选取示意图。

图2为本发明中发电机阻尼回路的示意图。

图3为本发明中发生匝间短路故障的励磁绕组回路示意图。

图4为本发明中基于多回路分析法的发电机励磁绕组匝间短路故障仿真计算模块。

图5为本发明中基于多回路分析法的同步发电机励磁绕组匝间短路故障的特征分析与保护模块。

图6为A1553样机转子冲片及励磁绕组引出抽头示意图

图7为A1553样机励磁绕组各抽头的对应匝数

图8为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的a₃分支电流过渡过程实验波 形与仿真波形。

图9为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的a₃分支电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图10为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的c₃分支电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图11为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的c₃分支电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图12为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的定子三相电压过渡过程实验波形与仿真波形。

图13为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组正常部分电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图14为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组正常部分电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图15为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组短接线电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图16为A1553样机励磁绕组2、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组短接线电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图17为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的a₃分支电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图18为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的a₃分支电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图19为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的c₃分支电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图20为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的c₃分支电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图21为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的定子三相电压过渡过程实验波形与仿真波形。

图22为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组正常部分电流过 渡过程实验波形与仿真波形。

图23为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组正常部分电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图24为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组短接线电流过渡过程实验波形与仿真波形。

图25为A1553样机励磁绕组4、5抽头发生匝间短路故障的励磁绕组短接线电流稳态过程实验波形与仿真波形。

图26为发生故障的励磁绕组电流产生的各种磁场对A1553样机定子A相绕组3个分支不同作用的示意图。

图27为A1553样机定子绕组联接示意图。

具体实施方式

下面以一台3对极隐极同步发电机(以下简称为A1553样机，由兰州电机有限责任公司制造)为例，介绍基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算、故障特征分析与保护方法。

A1553样机为的主要参数如下：

额定容量S_N                   15kVA     额定功率P_N          12kW

额定电压U_N                   400V(Y)   额定电流I_N          21.7A

功率因数

                             0.8       频率f_N              50Hz

空载额定电压时的励磁电流I_fd0  011.5A    极对数P             3

额定负载时的励磁电流I_fdN     16A       额定转速n_N          1000r/min

定子槽数Z                    72        定子线圈短距比      0.833

定子并联支路数a              3         定子单个线圈的匝数  8匝

定子绕组连接方式            叠绕组     定子每极每相槽数    4

转子槽分度数                54         转子实槽数          36

励磁绕组联接方式       同心式单层绕组  励磁绕组每极线圈数  3个

励磁绕组每极串联匝数        123匝      转子每极阻尼条数  9

A1553样机定子绕组每相3个分支。转子为6极的叠片铁芯，除了开有36个励磁槽(分度数为54，每极中心部分少开3个槽)以外，还开了54个均匀分布的圆形阻尼槽(如图6所示)。每极下的励磁绕组由3个同心式单层线圈串联而成，每个线圈的串联匝数都是41，所以励磁绕组每极串联匝数123，全部6个极下的绕组都串联起来构成整个励磁绕组、其串联总匝数为738。为进行励磁绕组的匝间短路实验，励磁绕组除了首、末端的2个抽头以外，还在内部另外引出了5个抽头，这7个抽头分别与7个滑环相联，滑环又通过电刷联到外部接线板的7个端子上，各抽头的位置参见图6、相应匝数如图7所示。实验中只要将任意2个抽头(除了首、末端的1、7抽头)联到刀闸两侧，一旦合上刀闸，励磁绕组就发生了相应两个抽头之间的匝间短路。

为了检验本发明提出的基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算和保护方法，在A1553样机上进行了单机空载工况的励磁绕组内部抽头2、5之间的短路实验和内部抽头4、5之间的短路实验。虽然单机空载工况下定子相电流为0，但由于匝间短路故障造成励磁绕组在各极下的结构差异，带来了气隙磁场的畸变和定子同相各分支励磁电动势的差异，引起每相绕组内部各分支之间的环流，所以定子各分支都有电流。实验中用数字存储示波器记录下了定、转子绕组各电气量在励磁绕组匝间短路故障的整个过渡过程(包括稳态)，并与由本发明提出的基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算方法得到的仿真结果进行了对比，参见图8～图25。

从图8、图10和图17、图19的实验波形看看，A1553样机在正常单机空载运行时相绕组内部也存在较小的环流(分支电流大概为额定负载工况下的8％～10％)，这主要是电机制造和安装中造成的微小偏差所致(比如转子外圆的某些偏差、微小程度的动偏心等)，实际上很难避免，而仿真计算中无法考虑。不过当励磁绕组发生匝间短路故障后，故障造成的定子环流占主要部分(尤其对短路匝比＞20％的情况)，可以忽略电机制造安装工艺造成的定子绕组固有正常环流。可以看到，图18～图25的故障后仿真波形都与实验波形基本吻合。

需要说明的是，从图13～图16和图22～图25看到，故障后励磁电流实验波形中包含一种较明显的1/3次谐波分量(周期为0.06s)，但相应的仿真波形主要是直流分量、没有1/3次谐波。分析认为，励磁电流实验波形中的1/3次谐波主要是由短路点电刷的接触电阻 随转子运动而变化而造成的(电刷接触电阻变化的大致周期为转子转动一圈的时间，即3个基波周期(3对极))，而仿真计算中把短接线电阻R_fkL(参见图3)当成一个常数(这个实验中约为0.14Ω)、没有考虑电刷接触电阻的周期性变化，所以计算出的励磁绕组故障电流主要为直流分量，不存在1/3次谐波，其它交流分量也几乎为0。尽管实验与仿真结果存在这一点差异，并不能否定计算方法的正确性和准确性。

从图9、图11和图18、图20也可以看到，对于定子绕组内部分支的稳态故障电流，仿真波形与实验波形非常吻合。为了进一步检验励磁绕组匝间短路稳态计算的精度，通过傅立叶滤波算法得到了稳态实验电流的各种交流成分有效值，并与本发明提出的两种算法(暂态求解方法和稳态求解方法)得到的稳态计算值进行了对比，参见表1和表2。

表1 A1553样机励磁绕组2、5抽头之间匝间短路故障，定、转子稳态电流各次谐波的有效值

表2 A1553样机励磁绕组4、5抽头之间匝间短路故障，定、转子稳态电流各次谐波的有效值

从表1和表2的计算结果看到，A1553样机励磁绕组匝间短路故障引起的定子相绕组内部各分支间的稳态环流中并没有基波电流，主要由分数次谐波电流组成；而稳态励磁电流中主要是直流分量，交流分量比较小并且只有基波及2次、3次等整数次谐波分量，不包含分数次谐波。上述稳态谐波特征，可以通过下面的理论分析来论证。

由于匝间短路造成励磁绕组在各极下的结构差异，发生故障的励磁绕组产生的气隙空间磁场会出现1/P(P为电机的极对数)次等分数次谐波和各种整数次谐波，不像正常励磁绕组那样只产生基波及奇数次空间谐波磁场。对于各种多分支同步电机，基波及奇数次谐波磁场在同相的所有分支都会感应出相同的电动势(参见图26(a))，所以励磁电流直流分量不会产生基波及奇数次谐波的环流；但故障的励磁绕组产生的分数次谐波磁场和2、4等偶数次谐波磁场的作用有所不同。

A1553样机的定子绕组为整数槽叠绕组，每分支由相邻极下的2个线圈组串联而成，每个线圈组包含q＝4个串联线圈。以A相绕组为例(参见图27)，6个极下的A相线圈中，第1、2极下的线圈组a1₁a1₁′和a1₂a1₂′反向串联构成a1分支，第3、4极下的线圈组a2₁a2₁′ 和a2₂a2₂′反向串联构成a2分支，第5、6极下的线圈组a3₁a3₁′和a3₂a3₂′反向串联构成a3分支。对于这种空间分布和联接方式的定子绕组，故障的励磁绕组产生的2次谐波磁场在每个线圈组产生的感应电动势都相等(参见图26(b))，但由于每分支由2个线圈组反向串联而成，结果每个分支的感应电动势都为0，励磁电流的直流分量不会产生2次谐波的定子环流；而故障的励磁绕组产生的1/3次、2/3次等分数次谐波磁场在每相3个分支感应出相位不同的电动势(参见图26(c))，会产生相应的谐波环流，所以励磁电流的直流分量会在定子各分支产生1/3次、2/3次等分数次谐波电流。

故障的励磁绕组产生的1/3次、2/3次等分数次谐波磁场在每相3个分支感应出相位不同的电动势(参见图26(c))，会产生相应的谐波环流，所以励磁电流的直流分量会在定子各分支产生1/3次、2/3次等分数次谐波电流。

由于A1553样机定子每相的3个分支在空间上依次互差2π电角度，单机空载工况下励磁绕组匝间短路故障引起的定子分支这些分数次谐波电流的稳态量之间会具有一定的关系，即同相3个分支稳态电流的各次谐波(都是分数次谐波)电流有效值相等、而时间相位依次互差2π电弧度。假设a₁分支的j₁/3(j₁＝1，2，4，5，7……)次谐波电流的稳态表达式为：

那么，A相另两分支的稳态j₁/3次谐波电流为：

每个分支电流都会产生各种空间磁动势，一般来说既包括整数次谐波磁动势也包括1/P次、2/P次等分数次谐波磁动势。设A相各分支j₁/3次谐波电流(A1553样机的极对数P＝3)产生的j₂/3(j₂＝1，2，3…)次空间磁动势为：

其中为各分支j₁/3次谐波电流产生的j₂/3次磁动势的幅值。那么A相3个分支j₁/3次谐波电流共同产生的j₂/3(j₂＝1，2，3…)次合成磁动势为

$f_{A,j_1/3,j_2/3}=f_{a1,j_1/3,j_2/3}+f_{a2,j_1/3,j_2/3}{f}_{a3,j_1/3,j_2/3}$

从上式可以看出，当且仅当j₁+j₂＝3k₁(k₁＝1，2，…)时合成磁动势中存在反转分量；当且仅当|j₁-j₂|＝3k₂(k₂＝0，1，2，…)时合成磁动势中存在正转分量。由于j₁(j₁/3代表分支电流的谐波次数)的取值不含3和3的倍数，条件j₁+j₂＝3k₁(k₁＝1，2，…)和|j₁-j₂|＝3k₂(k₂＝0，1，2，…)不会同时满足，因此各分支j₁/3次谐波电流产生的j₂/3(j₂＝1，2，3…)次磁动势都是旋转磁动势，不是正转的就是反转的，而不会是脉振或椭圆性质。

定子j₁/3次分支环流产生的j₂/3次磁场的极对数(等于磁场谐波次数乘以电机的极对数)是j₂，若j₁+j₂＝3k₁(k₁＝1，2，…)，则磁场为反向旋转，相对定子的转速是-j₁n₁/j₂，相对转子转速为

在转子绕组(包括励磁绕组和阻尼绕组)中感应出

倍基频的电流。若|j₁-j₂|＝3k₂(k₂＝0，1，2，…)，则磁场为正向旋转，相对定子的转速是+j₁n₁/j₂，相对转子转速为

若k₂＝0磁动势相对于转子静止，不在转子绕组中感应电流，若k₂≠0磁动势在转子绕组感应出

倍基频的电流。

所以A1553样机发生励磁绕组匝间短路故障后，励磁电流及阻尼绕组电流的交流分量中不会出现分数次谐波电流，只可能存在基波及2、3等整数次谐波；而这些整数次谐波的转子电流产生的磁场中，只有分数次谐波空间磁场会在A1553样机定子同相各分支之间引起环流，那么定子的故障环流也不会出现整数次谐波分量。

综上所述，A1553样机发生励磁绕组匝间短路故障后，定子相绕组内部会产生分数次谐波的环流、但不会出现基波及其它整数次谐波环流；而转子绕组(包括励磁绕组和阻尼绕组)产生的交流电流只有基波及2、3等整数次谐波，不会出现分数次谐波电流。这样的故障谐波特征主要受定子绕组的分布及联接方式影响。而且A1553样机由于具有结构完整的阻尼绕组(如图6所示，每极9根阻尼条构成的笼形绕组)，转子故障电流的交流成分主要分布在阻尼电流中，所以故障后励磁电流仍然以直流分量为主、基波及各种整数次谐波电 流有效值都比较小。

理论分析得出的故障谐波特征一方面验证了本发明提出的计算方法的正确性，另一方面也指导我们更全面地分析和利用实验结果。从表1、表2看到，两种不同匝数的励磁绕组匝间短路故障的稳态实验电流各次谐波有效值几乎都与仿真计算结果一致，只是实验电流中还出现了比较明显的定子分支基波电流和励磁绕组1/3次谐波电流，结合理论分析可以看到，这两种稳态实验电流并不是励磁绕组匝间短路故障引起的。在前面实验波形与仿真波形的对比中，已经说明实验中定子相绕组内部环流的基波分量在励磁绕组匝间短路故障发生前就存在、是由电机制造安装工艺造成的，而励磁电流故障电流的1/3次谐波分量是由实验中短路点电刷接触电阻随转子运动的变化造成的，这些实际存在的次要因素不在仿真计算的考虑范围之内。

从表1、表2看到，对励磁绕组匝间短路故障的稳态过程，本发明提出的的两种计算方法(暂态求解方法和稳态求解方法)结果一致。而从两表最后一列的计算误差看到(基于上述分析，故障稳态谐波特征所包括的谐波电流的计算误差才有分析价值)，除了个别本身比较小的谐波分量以外，本发明提出的计算方法对稳态故障电流的各种分量计算误差都在15％以内，其正确性和准确性都得到了验证。

前面主要论证了本发明提出的基于多回路分析法的发电机转子励磁绕组匝间短路故障计算方法的正确性和准确性。在此基础上，下面将介绍本发明提出的励磁绕组匝间短路故障保护方法的应用。

利用本发明提出的稳态计算方法，可以得到励磁绕组匝间短路故障中定子稳态支路电流的各种谐波有效值，并由均方和得到支路电流的稳态有效值。表3计算了各种励磁绕组匝间短路故障定子稳态支路电流中各种谐波的有效值及其与总有效值的比值，并同时列出了实验结果。

表3 A1553样机各种励磁绕组匝间短路故障中，定子分支稳态电流各种分量的大小及比例

从表3看到，这两种匝间短路故障的稳态支路电流中，2/3次谐波和4/3次谐波与支路电流总有效值的比值都超过了60％，而且对这些故障电流中最大的谐波分量，计算结果(尤其是谐波比的计算结果)与实验结果非常吻合。定子电流的这些分数次谐波成分在其它典型故障(包括机端外部短路故障、定子绕组内部短路故障及转子偏心故障等)中都不会出 现，可以作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护支路。

当然对于其它的励磁绕组匝间短路，定子分支电流中不一定也有很强的2/3次谐波和4/3次谐波。不过从前面的理论分析已经看出，A1553样机励磁绕组匝间短路故障后一般会出现定子相绕组内部的分数次谐波环流，至于最明显的分量是1/3次谐波还是2/3次谐波或者其它分，都可以通过仿真计算得到并由此选出构成保护的谐波特征量。

另一方面，理论分析、仿真计算和实验结果都表明，A1553样机励磁绕组匝间短路故障在励磁电流中会出现基波及3次等奇数数次谐波。不过从表4列出的励磁电流故障的各种交流分量有效值及其与直流分量的比值看到，这些理论上存在的特征量数值都比较小、尚不到直流分量的5％。这主要因为A1553样机具有结构完整的阻尼绕组，转子故障电流的交流成分主要分布在阻尼电流中，而故障后励磁电流仍然以直流分量为主、基波及各种整数次谐波电流有效值都比较小。

表4 A1553样机各种励磁绕组匝间短路故障中，励磁绕组正常部分稳态电流各种分量的大小及比例

3次谐波

0.06

0.65％

0.06

0.65％

综上所述，在用本发明提出的计算方法对A1553样机的各种励磁绕组匝间短路故障进行仿真计算的基础上，确定选择以定子分支电流的分数次谐波做为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护。仿真计算和实验结果都表明，这种保护方法在励磁绕组匝间短路故障中能够动作，并且在其它故障(包括机端外部短路故障、定子绕组内部短路故障及转子偏心故障等)中不会误动。

实际上从前面的理论分析已经看到，不同发电机励磁绕组匝间短路故障的谐波特征会有所不同，对于定子绕组采用其它形式的发电机，定子相绕组内部的故障环流可能不是分数次谐波而是偶数次谐波(也有可能两类谐波都有)，而励磁电流的交流分量也可能会出现分数次谐波。通过仿真计算，只要得到上述分量中的某种谐波有效值远大于电机实际的正常固有量，就可以构成以这种谐波做为特征量的励磁绕组匝间短路故障保护。由此可以看出本发明提出的保护方法的可行性和普遍适用性。

Claims (1)

1.基于多回路模型的发电机转子匝间故障分析方法，其特征在于，它依次含有以下步骤：

步骤1向计算机输入以下数据项和模块：

发电机的原始参数，包括：

P为极对数；τ为极距；l为铁心长度；w_k为定子线圈匝数；β为定子线圈短距比；Z为定子槽数；

为定子线圈的k₀次谐波短距系数，k₀＝1，2，3…；ω₀为电机的同步角速度；γ₀(i)为转子d轴在t＝0时领先定子i号线圈轴线的电角度，其中i＝1，2，…，Z；δ_min为电机等效气隙长度的最小值；

对于隐极同步电机，要输入分布式励磁绕组的结构参数，包括：q_f为正常励磁绕组每极分布的同心式线圈个数；W_fdh为正常励磁绕组每极下第h个同心式线圈的串联匝数，β_fdh为每极下第h个同心式线圈的短距比，其中h＝1，2，…，q_f；

对于凸极同步电机，W_fd为正常励磁绕组每极串联匝数，按下式计算出气隙磁导的各次谐波系数：

l₀＝1，2，…，μ₀为气隙磁导率，δ(x)为凸极电机的等效气隙长度，x为转子坐标；

而对于隐极同步电机，

l₀＝1，2，…；

再按下式计算出各次导磁系数：

λ_dkj为纵轴k次谐波磁动势产生j次谐波磁密的谐波导磁系数，

λ_qkj为横轴k次谐波磁动势产生j次谐波磁密的谐波导磁系数，

|k±j|＝2l₀，l₀＝0，1，2，…，

k为磁动势空间谐波的次数，j为磁密空间谐波的次数；

发电机的预设参数，包括：

λ_a为定子线圈边自感的槽比漏磁导系数；

λ_ab为定子上下层线圈边互感的槽比漏磁导系数；

L_0l.End为定子单个线圈的端漏自感系数；

M_0l.End(i)为定子i号线圈与0号线圈的端漏互感系数，其中i＝1，2，…，Z-1；

隐极同步电机每极下1匝第h₁个同心式线圈的漏磁自感系数和同一极下1匝第h₁个同心式线圈与1匝第h₂个同心式线圈之间的漏磁互感系数

其中h₁，h₂＝1，2，…，q_f；

凸极同步电机每极下1匝集中式线圈的漏磁自感系数L_fdl，1turn；

发电机的定子绕组连接图；

发电机的励磁绕组连接图，包括正常回路和故障附加回路的联接情况；

步骤2依次按以下步骤执行基于多回路分析法的发电机励磁绕组匝间短路故障仿真计算模块：

步骤2.1计算定、转子各回路的电感和电阻参数：

步骤2.1.1计算定子支路的电感参数：

步骤2.1.1.1按下式计算考虑了槽漏和端漏引起的自感系数L_0l后的定子各单个线圈的自感系数L(γ)：

L(γ)＝L₀+L₂cos2γ

其中，

L₀中的

L₂中的

L₂中的

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

L_0l＝L_0l.Slot+L_0l.End，其中L_0l为考虑了槽漏磁和端部漏磁引起的自感系数；L_0l.Slot为槽漏自感系数，

λ_a和L_0l.End为步骤1中的预设参数；

步骤2.1.1.2按下式计算定子第i线圈和第j线圈间的互感系数M_i，j，其中i，j＝1～Z：

其中，M_i，j，0为常数项，M_i，j，2为二次谐波项的幅值：

α为第i线圈和第j线圈间的偏移角，连加号里k₀、k₁和k₂的取值以及其它变量都与步骤2.1.1.1中所述相同；

M_i，j，0l＝M_{i，j，0l.Slot}+M_0l.End(|i-j|)，其中M_i，j，0l为槽漏磁场和端漏磁场引起的上述第i线圈和第j线圈间的互感系数；M_{i，j，0l.Slot}为槽漏互感系数，

λ_ab为上下 层线圈边互感的槽比漏磁导系数，M_0l.End(|i-j|)为第i线圈和第j线圈间的端漏互感系数的大小，是步骤1中的预设参数；

当第i线圈和第j线圈的轴线重合时，α＝0，M_i，j，0＝L₀、M_i，j，2＝L₂；

步骤2.1.1.3按下式计算定子支路的电感系数M_S，Q：

其中，S、Q分别为定子任意两个支路，S支路有m个线圈，Q支路有n个线圈；

表示S支路第i₁个线圈与Q支路的第j₁个线圈的互感系数，在2.1.1.2中已得到；

M_S，Q，0表示S支路与Q支路互感系数的常数项，

表示S支路第i₁个线圈与Q支路第j₁个线圈互感系数的常数项；

M_S，Q，2表示S支路与Q支路互感系数的二次谐波项的幅值，α_S，Q，2表示S支路与Q支路互感系数的二次谐波项相角，

和

分别表示S支路第i₁个线圈与Q支路第j₁个线圈互感系数的二次谐波项幅值和相角，联立求解2γ＝0、

情况下的M_S，Q，2cos2(γ+α_S，Q，2)，求得M_S，Q，2和tgα_S，Q，2，从而得到α_S，Q，2；

步骤2.1.2计算定子各支路的电阻参数：

根据单个线圈的电阻值，把各支路包含线圈的电阻值相叠加，得到定子各支路的电阻值；

步骤2.1.3计算转子各回路的电感参数：

步骤2.1.3.1计算励磁绕组内部各极绕组由气隙磁场引起的互感和自感系数：

对于隐极同步电机，按下式计算第n极绕组与第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数M_fdδn，m：

其中k₄为磁动势谐波次数，

和

分别为第n极下第h₁个同心式线圈和第m极下第h₂个同心式线圈的串联匝数，n，m＝1，2，…，2P，h₁，h₂＝1，2，…，q_f；

对于正常的励磁绕组，

而对于发生匝间短路的励磁绕组的故障附加回路，

对于凸极同步电机，按下式计算第n极绕组与第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数M_fdδn，m：

其中k₅为磁动势谐波次数，

j₅为磁密谐波次数，j₅＝|k₅±2l₀|，l₀＝0，1，2，…；

另外，w_fdn和w_fdm分别为励磁绕组第n极绕组和第m极绕组的串联匝数，n，m＝1，2，…，2P；对于正常的励磁绕组，w_fdn＝w_fdm＝W_fd；而对于发生匝间短路的励磁绕组的故障附加回路，w_fdn≤W_fd，w_fdm≤W_fd；

当n＝m时，所求量为由气隙磁场引起的第n极绕组自感系数，所以自感是互感的特例；

步骤2.1.3.2计算励磁回路的电感系数M_G，H：

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与H回路的互感系数：

其中M_{fdδG(n)，H(m)}为励磁G回路的第n极绕组与H回路的第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数，

和

分别为励磁G回路和H回路的第n极绕组下第h₁个同心式线圈的串联匝数；

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与H回路的互感系数：

其中M_{fdδG(n)，H(m)}为励磁G回路的第n极绕组与H回路的第m极绕组之间由气隙磁场引起的互感系数，w_G(n)和w_H(n)分别为励磁G回路和H回路的第n极绕组串联匝数；

步骤2.1.3.3按下式计算任意两个阻尼回路11′和22′间的互感系数M_1，2：

其中，

|k₆-j₆|＝0，2，4，…，14；|k₇+j₇|＝2，4，…，14；

α₁、α₂分别为阻尼回路11′和22′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1、β_r2分别为阻尼回路11′和22′的短距比；

w_r1、w_r2分别为阻尼回路11′和22′的串联匝数；

当α₁＝α₂，β_r1＝β_r2时即得阻尼回路的自感系数；

步骤2.1.3.4计算任一励磁回路与任一阻尼回路间的互感系数：

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与阻尼回路11′之间的互感系数

其中k₈为磁动势谐波次数，

w_G(hn)为励磁绕组G回路第n极下第h个同心式线圈的串联匝数，n＝1，2，…，2P，h＝1，2，…，q_f；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1和w_r1分别为阻尼回路11′的短距比和串联匝数；

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与阻尼回路11′之间的互感系数

其中k₉为磁动势谐波次数，

j₉、j₁₀为磁密谐波次数，|k₉-j₉|＝0，2，4，…，k₉+k₁₀＝2，4，…；

w_G(n)为励磁绕组G回路第n极绕组的串联匝数，n＝1，2，…，2P；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1和w_r1分别为阻尼回路11′的短距比和串联匝数；

步骤2.1.4计算励磁绕组短路匝的电阻参数：

根据励磁绕组总电阻和短路匝数，计算励磁绕组短路匝的电阻值；

步骤2.1.5计算定子各支路与转子各回路之间的电感系数：

步骤2.1.5.1计算任一励磁回路与定子任一线圈之间的电感系数：

对于隐极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与定子任一线圈AA′之间的互感系数，

其中k₁₁为磁动势谐波次数，

w_G(hn)为励磁绕组G回路第n极下第h个同心式线圈的串联匝数，n＝1，2，…，2P，h＝1，2，…，q_f；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

对于凸极同步电机，按下式计算励磁绕组G回路与定子任一线圈AA′之间的互感系数，

其中k₁₂为磁动势谐波次数，

w_G(n)为励磁绕组G回路第n极绕组的串联匝数，n＝1，2，…，2P；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

步骤2.1.5.2按下式计算任一阻尼回路11′与定子任一线圈AA′之间的电感系数M_1，a：

其中k₁₄为磁动势谐波次数，

j₁₄、j₁₅为磁密谐波次数，|k₁₄-j₁₄|＝0，2，4，…，k₁₄+j₁₅＝2，4，…；

α₁为阻尼回路11′顺转子转向领先转子d轴的电角度；

β_r1和w_r1分别为阻尼回路11′的短距比和串联匝数；

γ为转子位置角，是转子d轴顺转子转向领先定子线圈轴线的电角度，

步骤2.1.5.3计算定子各支路与转子各回路之间的互感系数：

有了定子单个线圈与励磁绕组、阻尼绕组的互感系数后，采用与步骤2.1.1.3类似的方法，就可求出由它们组成的定子各支路与转子各回路之间的互感系数；

按下式计算定子Q支路与励磁绕组G回路的互感系数M_Q，G：

其中，

分别为定子Q支路与励磁绕组G回路之间互感系数的i₂次谐波的幅值和相角，谐波次数

按下式计算定子Q支路与阻尼ld回路的互感系数M_Q，ld：

其中，

分别为定子Q支路与阻尼ld回路之间互感系数的i₃次谐波的幅值和相角，谐波次数

步骤2.2根据定转子各回路的实际组成情况列写电压和磁链方程：

步骤2.2.1列写定子支路方程：

按下式列写定子内部任一支路Q的磁链方程：

其中，i_S、i_ld分别为定子S支路电流、阻尼ld回路电流；i_f、i_fkL分别为励磁绕组正常回路和故障附加回路电流；

M_QS为定子S支路和Q支路的互感系数；M_Q.ld为阻尼ld回路与定子Q支路的互感系数；M_Q，f为励磁绕组正常回路与定子Q支路的互感系数；M_Q，fkL为励磁绕组故障附加回路与定子Q支路的互感系数；

Nd为阻尼条总数；

按下式列写支路Q的电压方程：

其中，u_Q、Ψ_Q、r_Q、i_Q分别为定子支路Q的电压、磁链、电阻和电流；p为微分算子d/dt；

按下式列写定子负载侧电压方程：

u_A＝p[L_Ti_A]+r_Ti_A+u_A′，u_B＝p[L_Ti_B]+r_Ti_B+u_B′，u_C＝p[L_Ti_C]+r_Ti_C+u_C′

其中，r_T、L_T、u_A′、u_B′、u_C′分别为折算到发电机一侧的变压器的电阻、电感和电网各相电压；

步骤2.2.2列写转子回路方程：

步骤2.2.2.1列写转子阻尼回路的方程：

按下式列写阻尼任一回路gd的磁链方程：

其中，M_S.gd为定子S支路与阻尼gd回路的互感系数，M_gd.ld为两阻尼回路gd与ld之间的互感系数，M_gd.f为阻尼回路gd与励磁绕组正常回路之间的互感系数，M_gd.fkL为阻尼回路gd与励磁绕组故障附加回路之间的互感系数；

按下式列写阻尼回路gd的电压方程：

其中，u_gd、Ψ_gd、r_gd、r_c分别为阻尼任一回路gd的电压、磁链、回路电阻和阻尼条电阻，i_gd、i_gd-1和i_gd+1分别为第gd个阻尼回路、第gd-1个阻尼回路和第gd+1个阻尼回路的电流；

步骤2.2.2.2列写励磁绕组正常回路和故障附加回路的方程：

按下式列写励磁绕组正常回路的磁链方程：

其中，M_S.f为定子S支路与励磁绕组正常回路的互感系数；M_ld.f为阻尼ld回路与励磁绕组正常回路的互感系数；L_f为励磁绕组正常回路的自感系数；M_f，fkL为励磁绕组正常回路与故障附加回路的互感系数；

按下式列写励磁绕组正常回路的电压方程：

E_ZF＝pψ_f+(R_ZF+r_f)i_f+r_fki_fkL

其中，Ψ_f、r_f分别为励磁绕组正常回路的磁链和电阻；r_fk为励磁绕组短路匝的电阻；E_ZF、R_ZF分别为励磁系统电源的电动势和内电阻；

按下式列写励磁绕组故障附加回路的磁链方程：

其中，M_S.fkL为定子S支路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；M_ld.fkL为阻尼ld回路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；M_f.fkL为励磁绕组正常回路与故障附加回路的互感系数；L_fkL为励磁绕组故障附加回路的自感系数；

按下式列写励磁绕组故障附加回路的电压方程：

0＝u_fkL＝pψ_fkL+(R_fkL+r_fk)i_fkL+r_fki_f

其中，u_fkL、Ψ_fkL为励磁绕组故障附加回路的电压和磁链；r_fk为励磁绕组短路匝的电阻；R_fkL为励磁绕组故障附加回路的短路过渡电阻，对于金属性短路R_fkL主要就是短接线的电阻、可忽略不计；

步骤2.3形成以定、转子所有回路电流为状态变量的状态方程：

将上述定、转子所有电压方程写成矩阵形式，并将定子支路电压方程转换为定子回路电压方程，得到下述以定转子各回路电流为状态变量的同步发电机状态方程：

p[I′]＝[A]·[I′]+[B]

其中，p是微分算子；

[A]＝-[L′]^-1·[R′]·[I′]；[B]＝[L′]^-1·[U′]-[L′]^-1·[H]·[B′]；

[L′]＝[H]·[L]·[H^T]；[R′]＝p[L′]+[H]·[R]·[H^T]；

[I′]＝[H^T]^-1·[I]，[I′]是定、转子回路电流，[I]是定子支路电流、转子回路电流；

[U′]＝[H]·[U]，[U′]是定、转子回路电压，[U]是定子支路电压、转子回路电压；

式中：

其中，L_Q为定子Q支路的自感系数，Q＝1～N，N为定子绕组支路数；

L_ld为阻尼ld回路的自感系数，ld＝1～Nd，Nd为阻尼回路总数；

L_f为励磁绕组正常回路的自感系数，L_fkL为励磁绕组故障附加回路的自感系数；

M_QS为定子Q支路与S支路的互感系数，S＝1～N；

M_Q，ld为定子Q支路与阻尼ld回路的互感系数；

M_Q，f为定子Q支路与励磁绕组正常回路的互感系数，M_Q，fkL为定子Q支路与励磁绕组故障附加回路的互感系数；

L_T为折算到发电机一侧的变压器的电感；

其中，r_Q为定子Q支路的电阻，Q＝1～N；

r_ld为阻尼ld回路的电阻，ld＝1～Nd；

r_c为阻尼条电阻；

r_f为励磁绕组正常回路的电阻，r_fk为励磁绕组短路匝的电阻，R_ZF为励磁系统电源的内 电阻，R_fkL为励磁绕组故障附加回路的短路过渡电阻；

r_T为折算到发电机一侧的变压器的电阻；

[U]＝[u₁ … u_N u_1d … u_Nd E_ZF u_fkL u_A u_B u_C]^T，

其中，u_Q为定子Q回路的电压，Q＝1～N；

u_ld为阻尼ld回路的电压，ld＝1～Nd；

E_ZF为励磁系统电源的电动势；

u_fkL为励磁绕组故障附加回路的电压；

u_A、u_B、u_C分别为发电机机端三相电压；

I＝[i₁ … i_N i_1d … i_Nd i_f i_fkL i_A i_B i_C]^T，

其中，i_Q为定子Q回路的电流，Q＝1～N；

i_ld为阻尼ld回路的电流，ld＝1～Nd；

i_f、i_fkL分别为励磁绕组正常回路和故障附加回路电流；

i_A、i_B、i_C分别为发电机机端三相电流；

[B′]＝[0 … 0 0 … 0 0 0 u_A′ u_B′ u_C′]^T，

其中，u_A′、u_B′、u_C′分别为电网各相电压；

[H]为定子支路对回路的变换阵，在每相支路数等于2时，仅励磁绕组发生故障而定子绕组本身正常情况下可得到如下支路对回路的变换阵[H]：

步骤2.4同步发电机励磁绕组匝间短路故障的暂态仿真计算：

采用四阶龙格-库塔法求出步骤2.3得到的状态方程的数值解，就得到了定转子各电流的暂态值，其中也包括稳态过程的数值解，并进而得到其它电气量的值；

步骤2.5同步发电机励磁绕组匝间短路故障的稳态仿真计算，它依次含有以下步骤：

步骤2.5.1按照物理概念确定励磁绕组匝间短路故障时电机定、转子各绕组电流的频率：

定子支路电流频率为

m₁＝1，2，…；

励磁回路电流除交流分量以外，还包含频率为

的交流分量，m₂＝1，2，…；

阻尼回路电流频率为

m₃＝1，2，…；

步骤2.5.2把下列定、转子各电流的表达式代入步骤2.3得到的状态方程组，得到一个超越方程组：

定子Q支路电流为

其中，

和

分别为定子Q支路m₁/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

励磁绕组正常回路电流为

其中I_f0为励磁绕组正常回路电流的直流分量，

和

分别为励磁绕组正常回路m₂/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

励磁绕组故障附加回路电流为

其中I_fkL0为励磁绕组故障附加回路电流的直流分量，和

分别为励磁绕组故障附加回路m₂/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

第g极下第dp个阻尼回路的电流为

其中

和

分别为第g极下第dp个阻尼回路m₃/P次谐波电流正弦量和余弦量的幅值；

步骤2.5.3按照同频率量相等的原则，对于每一频率量都列出自己的方程；

步骤2.5.4在选取的两个特定时刻ω₀t＝0和ω₀t＝π/2下，得到两个不含时间t的线性代数方程；

步骤2.5.5用高斯消去法解得励磁绕组匝间短路故障下定、转子各绕组各电流各次谐波的正弦分量幅值和余弦分量幅值，并由正弦分量幅值和余弦分量幅值的均方和得到各次谐波的幅值；

步骤3依次按以下步骤执行同步发电机励磁绕组匝间短路故障的特征分析与保护：

步骤3.1对步骤2.4的暂态仿真计算结果，从进入稳态的时刻开始取

时间内的数值解，用傅立叶滤波算法求出定子所有支路电流和励磁电流的

次谐波、

次谐波、……、

次谐波、基波、

次谐波、……5次谐波的稳态有效值，以及励磁电流的直流分量；

或者由步骤2.5的稳态仿真计算结果，直接得到各种稳态交流成分的有效值和励磁电流直流分量；

步骤3.2求出定子所有分支的有效值，就等于步骤3.1得到的各种稳态交流成分有效值的均方和；

步骤3.3根据发电机励磁绕组匝间短路故障稳态计算电流各种谐波的不同特点，设计该发电机所特有的励磁绕组匝间短路故障保护：

如果定子分支电流的某种分数次谐波电流有效值＞该分支电流有效值的40％，则由定子分支电流的该分数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果定子分支电流的某种偶数次谐波电流有效值＞该分支电流有效值的40％，则由定子分支电流的该偶数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果励磁电流的某种分数次谐波电流有效值＞励磁电流直流分量的5％，则由励磁电流的该分数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果励磁电流的某种奇数次谐波电流有效值＞励磁电流直流分量的5％，则由励磁电流的该奇数次谐波作为特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护；

如果一台发电机可由两种或两种以上特征量构成励磁绕组匝间短路故障保护，那么各种保护经“或”门出口。

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