CN101776444A - 基于角度差分的表面形状精确重构方法 - Google Patents

Abstract

一种仪器测量技术领域的基于角度差分的表面形状精确重构方法，利用2个角度传感器的测量值的差分进行形状重构的方法。与采用位移传感器的多测头系统相比，具有可对曲率更大的对象进行测量的优点。更为重要的是为了消除多个位移传感器之间的零位误差(属于系统误差)，位移传感器多测头系统通常要引入一个附加的角度传感器去检测导轨扫描过程中的倾角变化。本发明与采用位移传感器的多测头系统相比，具有可对曲率更大的对象进行测量的优点且只需要两台角度传感器即可以实现对物体外表面的精确测量。

Description

基于角度差分的表面形状精确重构方法

技术领域

本发明涉及的是一种仪器测量技术领域的方法，具体是一种基于角度差分的表面形状精确重构方法。

背景技术

对于具有较大横向尺寸的物体的表面形状测量，通常采用沿导轨移动的传感器测头对物体表面进行横向扫描的方法来得以实现。随着新材料、超精密加工技术的发展，被测对象的尺寸越来越大，而要求精度却越来越高，导致扫描机构导轨的运动精度不能超过测量要求精度的情况越来越多。在此背景下，产生了用多个传感器测头同时对被测对象进行扫描，通过对多个测头的测量值进行一系列数据处理(也称为重构、复原、误差分离等)以消除导轨的运动误差及减低测量噪声带来的影响，最终得到精确的表面形状。

多测头系统可由2个、3个和4个以上的位移传感器按相等或非等间隔排列而成。而重构方法也有逐次法、积分法、傅立叶变换法和矩阵最小二乘法等。

经过对现有技术的检索发现，Elster C，Weingartner I：Exact wave-frontreconstruction from two lateral shearing interfergrams，J Opt Soc Am A，16，9(1999)2281-5.中提出了一个当时最为完整的重构方法，首次利用了不同传感器间距的两组角度差分值，在不计测量噪声的情况下实现了无理论误差的重构。但是它也存在着以下不足或缺陷：在两组传感器间距的选取上存在较大限制。即，假设扫描中采样间隔为无单位量的1，则两组间距的值为无单位量的正整数，它们互质且积等于总采样点数。忽略了2个角度传感器之间的零位误差。微小的零位误差也将会影响最后的重构结果，使该方法不再是无理论误差。

进一步检索发现，中国专利文献号CN03124600.1，记载了一种“利用频域法进行差分测量的精确重构方法”，该技术提出了一种能消除零位误差的改进方法，并给出了补偿式。虽然该技术描述的是对位移差分值进行的重构，但其本质和相关步骤与对角度差分值进行的重构是一样的。该方法最初的推导条件中假设了通过单组角度差分值重构得到的形状与原始形状只相差一个线性分量。而知道，单组角度差分值中必然缺少传递函数为零的频率分量的数据，因此通过单组角度差分值进行重构得到的形状并不能保证总是与原始形状相差一个线性分量。由于最初的推导存在错误，造成了具体实施方式的步骤8的计算失去理论基础，导致该技术的适用具有相当局限。

发明内容

本发明针对现有技术存在的上述不足，提供一种基于角度差分的表面形状精确重构方法。本发明利用2个角度传感器的测量值的差分进行形状重构的方法，与采用位移传感器的多测头系统相比，具有可对曲率更大的对象进行测量的优点且只需要两台角度传感器即可以实现对物体外表面的精确测量。

本发明是通过以下技术方案实现的，通过两组不同的角度传感器间距，分别对两组角度差分值进行离散傅立叶变换，通过有效地组合两组傅立叶谐波系数实现形状的全波长范围内的重构。针对2个角度传感器间的零位误差的问题，根据两组差分值各自的傅立叶谐波系数在它们共有的谐波集合内是相同的这一关键点，提出了零位误差的补偿公式。本方法亦采用了频域内加权平均技术，可在对零位误差进行补偿的同时减轻测量噪声对重构形状的影响。

本发明包括以下步骤：

第一步、在不同位置设置两组角度传感器间距并对测量对象进行两次扫描，在每次扫描中同时记录2个传感器在各采样点的角度测量值；

第二步、分别计算两次扫描测量取得的角度测量值的差分，然后对两组差分值分别进行离散傅立叶变换，得到两组傅立叶谐波系数，再对两组傅立叶谐波系数中具有相同谐波分量的部分计算零位误差补偿量，根据零位误差补偿量对两组傅立叶谐波系数进行零位误差补偿，得到补偿后傅立叶谐波系数的加权系数；

第三步、对两组傅立叶谐波系数进行加权处理后得到包含原始形状全波长范围的更新傅立叶谐波系数，通过对更新傅立叶谐波系数进行离散逆傅立叶变换求得待恢复表面形状上各采样点处的切线角，最后经对切线角进行积分计算得到待恢复表面形状。

与现有技术相比，本发明通过推导得到了新的对两组角度差分值进行形状重构的参数条件。在新的参数条件下，可选择的2个角度传感器间距范围更广，增强了本方法的可操作性；解决了对2个角度传感器之间的零位误差进行补偿的问题。实现了由两组角度差分值进行形状重构的无理论误差建模。在不计测量噪声的情况下能够完全消除扫描导轨的运动误差和2个角度传感器间的零位误差；采用了频域内加权平均技术，可在对零位误差进行补偿的同时减轻测量噪声对重构形状的影响。

附图说明

图1为本发明流程图。

图2为实施例1扫描测量示意图。

图3为实施例2扫描测量示意图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

实施例1

如图1和图2所示，本实施例需要的角度差分值可通过安装在支架1上的第一角度传感器2和第二角度传感器3的扫描测量来取得。第1次扫描的两角度传感器间距为D₁。扫描的起点为第一角度传感器2位于X₀＝0的位置，终点为第二角度传感器3位于X_N-1＝L的位置，其中L为扫描长度，N为采样点数。支架1在沿导轨横向移动的过程中将产生如轨迹4的运动误差，其中对形状5的测量产生一次项直接影响的仅为在纸面内运动的俯仰角误差。而通过对2个角度传感器的测量值取差分即可消除此俯仰角误差的影响。

为了取得另一组角度差分值，如图3所示，将第一角度传感器2和第二角度传感器3的设置距离从D₁调整到D₂并再一次进行扫描测量。可以保持两次扫描的采样间隔和扫描长度一致，以使形状5上得到的采样点前后一致。并且一般来说传感器的有效测量口径(毫米级)与采样间隔误差(微米级)等相比足够大，可以忽略微小的采样间隔误差及传感器的设置距离误差。通过对两次扫描得到的两组角度差分值进行组合计算，可以最终得到形状5的表面形状。

当从扫描起点开始测量，准备取得首个测量值时都会将传感器的读数置零。因此在扫描过程中得到的各个测量值都将与真正所需测量值存在一个固定的偏差，称为零位误差。Elster等的非专利文献1中假设了2个传感器的零位误差很接近，取角度差分后可忽略此误差的影响。从而得到了以下基本等式，即角度测量值的差分与形状的切线角差分相等。

g₁(x_n)＝m₂(x_n)-m₁(x_n)＝f(x_n+D₁)-f(x_n)，n＝[0，N₁-1]

g₂(x_n)＝m₄(x_n)-m₃(x_n)＝f(x_n+D₂)-f(x_n)，n＝[0，N₂-1]  (1)

其中：f为表面形状在各个采样点上的切线角。g₁(x_n)为第1次扫描中的角度测量值差分，g₂(x_n)为第2次扫描中的角度测量值差分。m₁，m₂，m₃，m₄为角度传感器的测量值。假设s为采样间隔，N为形状上采样点数，D₁，D₂为前后两次扫描的传感器间距，则可定义如下辅助变量d_i＝D_i/s，N_i＝N-d_i，r_i＝N/d_i，i＝1，2。后述的参数选择条件保证了辅助变量都为正整数。

通过自然延长法和离散傅立叶正变换，可由切线角差分g得到切线角f的两组傅立叶谐波系数和

${\tilde{f}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{N_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i\left(x_n\right)W_N^{n\·k}-\underset{n=N_i}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{q=1}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i(x_n-q{D}_i)\right]\·W_N^{n\·k}}{W_N^{-d_i\·k}-1},$ k∈U_i，i＝1，2  (2)

其中：运算子 $W_N^{n\·k}=\cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{N}\mathrm{nk}\right)-j\·\sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{N}\mathrm{nk}\right);$

集合 $U_1=\{\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{N}{d}_{1}k\right)\≠0\},U_2=\{\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{N}{d}_{2}k\right)\≠0\},$ k＝[0，N-1]

由于

和

的分母各自都存在零点，只须找出满足{k∈U₁∪k∈U₂}＝0的参数条件即可使切线角f的傅立叶谐波系数在k＝[0，N-1]的全波长范围内都有定义。由此可推导得到如式(3)的条件，式中GCD为最大公约数的计算符号。

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{GCD}(d_1,d_2)=1,& d_1,d_2>1\\ N=p\×d_1\×d_2,& p\∈\mathrm{positive\; integer}\end{array}\right.---\left(3\right)$

上式的语言表达为当单位化传感器间距d₁和d₂互质，且它们的积为采样点数N的约数时，切线角f的傅立叶谐波系数可得到完整定义，如式(4)。从而可通过对

离散傅立叶反变换得到切线角f，再进行一次积分运算则可得到最终的表面形状。

${\tilde{f}}_c\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& k=0\\ {\tilde{f}}_1\left(k\right)\mathrm{or}{\tilde{f}}_2\left(k\right)& k\∈U_{12}=\{U_1\∪U_2\}\\ {\tilde{f}}_2\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_1\\ {\tilde{f}}_1\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

下面考虑存在零位误差和传感器测量噪声的情况，此时角度传感器的测量值差分将由式(1)变为式(5)。

$g_1^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=m_2\left(x_n\right)-m_1\left(x_n\right)=g_1\left(x_n\right)+{\mathrm{\α}}_1{D}_1+{\mathrm{\φ}}_1\left(x_n\right),$ n＝[0，N₁-1]

$g_2^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=m_4\left(x_n\right)-m_3\left(x_n\right)=g_2\left(x_n\right)+{\mathrm{\α}}_2{D}_2+{\mathrm{\φ}}_2\left(x_n\right),$ n＝[0，N₂-1]  (5)

上式的测量值差分g₁ ^σ和g₂ ^σ由三部分组成，即理想条件下的测量值差分g₁和g₂，零位误差的差分α₁D₁，α₂D₂(其中α₁，α₂为未知定数)，测量噪声的差分

(其中的均值为0，方差为2σ_p ²)。将g₁ ^σ和g₂ ^σ分别代入式(2)，得到考虑误差情况下的两组傅立叶谐波系数

和

${\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)={\tilde{f}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\α}}_1\tilde{z}\left(k\right)+{\tilde{e}}_1(k,\mathrm{\φ}),$ k∈U₁    (6)

${\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)={\tilde{f}}_2\left(k\right)+{\mathrm{\α}}_2\tilde{z}\left(k\right)+{\tilde{e}}_2(k,\mathrm{\φ}),$ k∈U₂    (7)

其中 $\tilde{z}\left(k\right)=D_i\frac{\underset{n=0}{\overset{N_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{W}_N^{\mathrm{nk}}-(r_i-1)\underset{n=N_i}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{W}_N^{\mathrm{nk}}}{W_N^{-{-d}_i\·k}-1}=s\frac{N}{W_N^k-1}=s\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}n\·W_N^{n\·k}=\mathrm{DFT}\left(x_n\right),$ i＝1，2；

由式(2)变换后的部分，它们的均值为零，方差为

$V\left({\tilde{e}}_i(k,\mathrm{\φ})\right)=V\left[\frac{\underset{n=0}{\overset{N_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i\left(x_n\right)W_N^{\mathrm{nk}}-\underset{n=N_i}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{q=1}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i(x_n-q{D}_i)W_N^{\mathrm{nk}}}{W_N^{-d_i\·k}-1}\right]$

$=V\left[{\mathrm{\φ}}_i\left(x_n\right)\right]\×\frac{\underset{q=1}{\overset{r_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|(1-W_N^{q{d}_{i}k})\right|}^2}{{|W_N^{-d_i\·k}-1|}^2}{d}_i=2{\mathrm{\σ}}_p^2\×\frac{\underset{q=1}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|(1-W_N^{q{d}_{i}k})\right|}^2}{{\left|(W_N^{-d_i\·k}-1)\right|}^2}{d}_i$

$=2{\mathrm{\σ}}_p^2\×{\mathrm{\δ}}_i\left(k\right),$ i＝1，2

由于在k∈U₁₂范围内有

将式(6)减式(7)可得下式。

${\widetilde{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right)=\frac{{\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)-{\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)}{\tilde{z}\left(k\right)}={\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+\frac{{\tilde{e}}_1(k,\mathrm{\φ})-{\tilde{e}}_2(k,\mathrm{\φ})}{\tilde{z}\left(k\right)},$ k∈U₁₂    (8)

对

在k∈U₁₂范围内求加权平均可得式(9)。易知

为α₁-α₂的无偏估计。

${\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}=\frac{\underset{k\∈U_{12}}{\mathrm{\Σ}}({\widetilde{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right)\·w_{\mathrm{\α}}\left(k\right))}{\underset{k\∈U_{12}}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{\α}}\left(k\right)},$ 权重 $w_{\mathrm{\α}}\left(k\right)=\frac{2{\mathrm{\σ}}_p^2}{V\left({\widetilde{\mathrm{\α}}}_{12}\left(k\right)\right)}=\frac{{\left|\tilde{z}\left(k\right)\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\δ}}_2\left(k\right)}---\left(9\right)$

由此可对式(7)中的

做如式(10)等号左边的零位误差补偿。易知

为

的无偏估计。由于为一线性成分的傅立叶变换，因此对式(10)等号左边进行傅立叶反变换得到的结果即为切线角f。由于采用了频域内加权平均技术求得了α₁-α₂的无偏估计，实现了在对零位误差进行补偿的同时减轻了测量噪声对重构形状的影响。

$\left\{\begin{array}{cc}{\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\tilde{z}\left(k\right)={\tilde{f}}_2\left(k\right)+{\mathrm{\α}}_1\tilde{z}\left(k\right)+{\tilde{e}}_2(k,\mathrm{\φ})+({\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}-{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2)\tilde{z}\left(k\right),& k\∈U_2\\ {\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)={\tilde{f}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\α}}_1\tilde{z}\left(k\right)+{\tilde{e}}_1(k,\mathrm{\φ}),& k\∈U_1\end{array}\right.---\left(10\right)$

将

和

进行类似式(4)的组合即可得到包含原始形状全波长范围的新傅立叶谐波系数。

值得注意的是，如果不计测量噪声的影响，即

为零的情况下，求得的

与α₁-α₂将是恒等的。

通过离散逆傅立叶变换求得表面形状各采样点处的切线角f_c ^σ(x_n)。

$f_c^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{f}}_c^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)\·W_N^{-k\·n},$ n＝[0，N-1]

通过对切线角进行积分计算得到最终的表面形状h(x_n)。

$h\left(x_n\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}s\·f_c^{\mathrm{\σ}}\left(x_i\right),$ n＝[0，N-1]。

实施例2

如图1所示，本实施例包括以下步骤：

第一步、根据测量要求，选择两组角度传感器间距D₁和D₂。

设采样间隔s，采样点数N，并引入单位化传感器间距d₁(＝D₁/s)和d₂(＝D₂/s)，则在选择D₁和D₂时应满足下式条件(式中GCD为最大公约数的计算符号)：

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{GCD}(d_1,d_2)=1,& d_1,d_2>1\\ N=p\×d_1\×d_2,& p\∈\mathrm{positive\; integer}\end{array}\right.---\left(11\right)$

例如，针对测量长度302mm，采样间隔1mm左右的测量要求，可以选取N＝304，p＝2，d₁＝19，d₂＝8的参数以满足式(11)，此时对应的实际采样间隔s＝0.993mm，第1次扫描的传感器间距D₁＝18.867mm，第2次扫描的传感器间距D₂＝7.944mm。可见通过微调采样间隔的大小总能够找到合适的测量参数。

第二步、对测量对象进行两次扫描，在每次扫描中同时记录2个传感器在各采样点的角度测量值。且两次扫描的采样间隔和长度均相同。

第三步、分别计算两次扫描测量取得的角度测量值的差分g₁ ^σ和g₂ ^σ。

若第1次扫描得到的2个传感器的测量值为m₁，m₂，第2次扫描得到的2个传感器的测量值为m₃，m₄。则两组角度差分值可由下式计算而得。

$g_1^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=m_2\left(x_n\right)-m_1\left(x_n\right),$ n＝[0，N₁-1]

                             (12)

$g_2^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=m_4\left(x_n\right)-m_3\left(x_n\right),$ n＝[0，N₂-1]

其中，N_i＝N-d_i，i＝1，2，为第i次扫描的采样数。

第四步、对两组角度差分值分别进行离散傅立叶变换，得到两组傅立叶谐波系数

和

以下公式利用了非专利文献1的自然延长法，但是此处的角度差分值中不仅包含了形状切线角的差分，也包含了零位误差的差分和测量噪声。

${\tilde{f}}_i^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{N_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)W_N^{n\·k}-\underset{n=N_i}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{q=1}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i^{\mathrm{\σ}}(x_n-q{D}_i)\right]\·W_N^{n\·k}}{W_N^{-d_i\·k}-1},$ k∈U_i，i＝1，2  (13)

其中：辅助变量r_i＝N/d_i；

运算子 $W_N^{n\·k}=\cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{N}\mathrm{nk}\right)-j\·\sin \left(\frac{2\mathrm{\π}}{N}\mathrm{nk}\right);$

集合 $U_i=\{\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{N}{d}_{i}k\right)\≠0\},$ k＝[0，N-1]。

第五步、对两组傅立叶谐波系数中具有相同谐波分量的部分进行处理，计算零位误差补偿量

${\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}=\frac{\underset{k\∈U_{12}}{\mathrm{\Σ}}(\frac{{\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)-{\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)}{\tilde{z}\left(k\right)}\·w_{\mathrm{\α}}\left(k\right))}{\underset{k\∈U_{12}}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{\α}}\left(k\right)},$ k∈U₁₂＝{U₁∪U₂}    (14)

其中： $\tilde{z}\left(k\right)=s\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}n\·W_N^{n\·k};$

$w_{\mathrm{\α}}\left(k\right)=\frac{{\left|\tilde{z}\left(k\right)\right|}^2}{{\mathrm{\δ}}_1\left(k\right)+{\mathrm{\δ}}_2\left(k\right)};$ ${\mathrm{\δ}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{q=1}{\overset{r_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left|(1-W_N^{q{d}_{i}k})\right|}^2}{{|W_N^{-d_i\·k}-1|}^2}{d}_i,$ i＝1，2。

对第两组傅立叶谐波系数

进行形如

的补偿，而第1组傅立叶谐波系数

保持不变。

第六步、在k∈U₁₂范围内，计算对应于补偿后傅立叶谐波系数的加权系数w₁(k)和w₂(k)。

$w_1\left(k\right)=\frac{1}{{\mathrm{\δ}}_1\left(k\right)},$ $w_2\left(k\right)=\frac{1}{{\mathrm{\δ}}_2\left(k\right)+\frac{{\left|\tilde{z}\left(k\right)\right|}^2}{\underset{p\∈U_{12}}{\mathrm{\Σ}}{w}_{\mathrm{\α}}\left(p\right)}},$ k∈U₁₂    (15)

第七步、组合两组傅立叶谐波系数，形成包含原始形状全波长范围的新傅立叶谐波系数

${\tilde{f}}_c^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& k=0\\ \frac{{\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)\·w_1\left(k\right)+({\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\tilde{z}\left(k\right))\·w_2\left(k\right)}{w_1\left(k\right)+w_2\left(k\right)}& k\∈U_{12}\\ {\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\tilde{z}\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_1\\ {\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_2\end{array}\right.---\left(16\right)$

第八步、通过离散逆傅立叶变换求得表面形状各采样点处的切线角f_c ^σ(x_n)。

$f_c^{\mathrm{\σ}}\left(x_n\right)=\frac{1}{N}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{\tilde{f}}_c^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)\·W_N^{-k\·n},$ n＝[0，N-1]    (17)

第九步、通过对切线角进行积分计算得到最终的表面形状h(x_n)。

$h\left(x_n\right)=\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}s\·f_c^{\mathrm{\σ}}\left(x_i\right),$ n＝[0，N-1]    (18)

通过上述方法本实施例在不计测量噪声的情况下，能够完全消除扫描导轨的运动误差和2个角度传感器间的零位误差，得到精确的重构形状。

Claims (4)

1.一种基于角度差分的表面形状精确重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步、在不同位置设置两组角度传感器间距并对测量对象进行两次扫描，在每次扫描中同时记录2个传感器在各采样点的角度测量值；

第二步、分别计算两次扫描测量取得的角度测量值的差分，然后对两组差分值分别进行离散傅立叶变换，得到两组傅立叶谐波系数，再对两组傅立叶谐波系数中具有相同谐波分量的部分计算零位误差补偿量，根据零位误差补偿量对两组傅立叶谐波系数进行零位误差补偿，得到补偿后傅立叶谐波系数的加权系数；

第三步、对两组傅立叶谐波系数进行加权处理后得到包含原始形状全波长范围的更新傅立叶谐波系数，通过对更新傅立叶谐波系数进行离散逆傅立叶变换求得待恢复表面形状上各采样点处的切线角，最后经对切线角进行积分计算得到待恢复表面形状。

2.根据权利要求1所述的基于角度差分的表面形状精确重构方法，其特征是，第二步中所述的角度测量值的差分是指：

g₁(x_n)＝m₂(x_n)-m₁(x_n)＝f(x_n+D₁)-f(x_n)，n＝[0，N₁-1]

g₂(x_n)＝m₄(x_n)-m₃(x_n)＝f(x_n+D₂)-f(x_n)，n＝[0，N₂-1]

其中：f为表面形状在各个采样点上的切线角，g₁(x_n)为第1次扫描中的角度测量值差分，g₂(x_n)为第2次扫描中的角度测量值差分，m₁，m₂，m₃，m₄为角度传感器的测量值，D₁，D₂为前后两次扫描的传感器间距。

3.根据权利要求1所述的基于角度差分的表面形状精确重构方法，其特征是，第二步中所述的两组傅立叶谐波系数是指：

${\tilde{f}}_i\left(k\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{N_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i\left(x_n\right)W_N^{n\·k}-\underset{n=N_i}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{q=1}{\overset{r_i-1}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i(x_n-q{D}_i)\right]\·W_N^{n\·k}}{W_N^{-d_i\·k}-1},$ k∈Ui，i＝1，2

其中：运算子

集合 $U_1=\{\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{N}{d}_{1}k\right)\≠0\},$ $U_2=\{\sin \left(\frac{\mathrm{\π}}{N}{d}_{2}k\right)\≠0\},$ k＝[0，N-1]。

4.根据权利要求1所述的基于角度差分的表面形状精确重构方法，其特征是，第三步中所述的加权处理是指：

${\tilde{f}}_c^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& k=0\\ \frac{{\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)\·w_1\left(k\right)+({\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\tilde{z}\left(k\right))\·w_2\left(k\right)}{w_1\left(k\right)+w_2\left(k\right)}& k\∈U_{12}\\ {\tilde{f}}_2^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)+{\widehat{\mathrm{\α}}}_{12}\tilde{z}\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_1\\ {\tilde{f}}_1^{\mathrm{\σ}}\left(k\right)& k\∈{\stackrel{\‾}{U}}_2\end{array}\right.$

其中：w₁(k)和w₂(k)分别为加权系数，

和

为两组傅立叶谐波系数，

为零位误差补偿量。

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