CN101751666A - 基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法，其分割过程是：(1)提取输入多光谱遥感图像的特征；(2)对具有S个像素点的多光谱遥感图像，随机均匀采样N个无标签的点和M个有标签的点的集合

，n＝N+M，其中M个有标签的点用来构造成对限制信息Must-link和Cannot-link集合；(3)对采样的点集合

，采用半监督的谱聚类进行分类，得到这n＝N+M个点的类别标签；(4)将采样的n＝N+M个点作为训练样本，对剩余的(S-N-M)个点用最近邻的准则进行分类，为每个像素点按其所在的类别赋一个类标，作为输入图像的分割结果。本发明与现有技术相比分割效果良好，可操作性强，分类精度有所提高，避免反复试验寻找最优的参数，对图像大小限制小，可更好的应用于多类别的多光谱遥感图像的分割。

Description

基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及多光谱遥感图像分割，可用于对多光谱遥感图像的预处理。

背景技术

多光谱遥感图像分析技术综合利用了多波段卫星，较传统的遥感图像分析技术在对地面目标，特别是对静止目标探测方面具有独特优势，以及对各种自然现象和过程的解释、识别具有更好的应用前景。遥感图像的分割是遥感图像分析和应用的关键技术之一，快速、高精度的多光谱遥感图像分割方法是实现各种实际应用的前提。

目前已经有很多多光谱遥感图像的分割方法。大致可以分为基于边界的(edge-based)，基于近邻的(neighborhood-based)，基于灰度直方图的(histogram-based)，基于聚类(cluster-based)的四类。前两种方法是基于位置信息的，后两种方法是基于谱特征的。基于边界的方法根据像素点的不连续特征检测出目标的轮廓。基于近邻的方法根据图像不同区域之间的相似性来分割图像，这种方法可以分为分开合并法和区域生长法。基于灰度直方图的方法假设图像的均匀区域符合图像直方图的模式。基于聚类的方法假设空间位置上相邻的数据点具有较高的相似性，位于同一流形上的数据点具有较高的相似性。常见的基于聚类的方法有k-means，FCM，这些算法仅在具有凸形结构的数据集上有好的聚类效果，不适合于具有任意复杂分布形状的聚类问题。最近，一种称为谱聚类的聚类方法开始得到关注，它的思想来源于谱图划分理论，利用数据相似性矩阵的特征向量进行聚类。谱聚类仅与数据点的数目有关，而与维数无关，因而可以避免由高维特征向量造成的奇异性问题。谱聚类吸引人的地方不是它好的解，而是它可以非常简单的用标准的线性代数问题求解。与其它聚类方法相比，谱聚类算法具有明显的优势，不仅思想简单、易于实现、不易陷入局部最优解，而且具有识别非高斯分布的聚类的能力，通过谱映射，能够将线性不可分问题转化为线性可分问题。该方法已成功应用于语音识别、图像和视频分割等领域。谱聚类方法尽管是一种极具竞争力的聚类方法，但其目前仍处在研究初期，其本身存在一些亟待解决的问题，例如谱聚类方法对分析尺度的选择非常敏感，使用者必须花费大量的精力用于选取参数，另外在真实世界问题中，数据通常具有多重尺度，但谱聚类不适合处理一些多尺度聚类问题。对于分析尺度的选择，L.Zelnik-Manor等人提出了基于数据点之间的近邻关系的自调节的参数选择方法，该方法通过计算每个数据点与其第K个近邻点的距离，来确定每个数据点的分析尺度。

上述的聚类方法都被认为是一种无监督的数据分析方法，在执行过程中不能获得任何关于预先定义的数据项的类属信息，然而在实际问题中可以很容易地获得有限样本先验信息，如样本成对限制信息，或者得到一部分有标识的样本，利用这些先验信息可以提高聚类方法的性能。半监督学习算法就是利用这些未标识样本，或者一些先验信息，在传统的机器学习方法中结合未标识样本进行学习的方法，它在一定程度上可以提高无监督算法的性能。

现有的半监督学习算法有：生成模型方法，自训练方法，互训练方法，基于图的方法等。(1)基于生成模型的半监督学习方法：它是Bayesian学习方法向半监督领域的一个发展。基于生成模型的算法可以为未标识数据如何在学习算法中起作用提供最直观的Bayesian解释。在半监督学习过程未标识数据对辨识模型的先验分布p(x)起作用，而标识数据对辨识模型的条件分布p(y|x)起作用，通过综合两方面的信息来获得更好的有关联合分布p(y|x)的估计。(2)自训练(Self-training)半监督学习方法：顾名思义自训练学习方法就是自己给自己提供训练，相当于自学。在半监督算法中这一思想体现为学习机首先采用已标识样本进行训练，然后对未标识样本进行检验，从检验样本获取高置信(具有较高置信概率输出的样本)样本，再对学习机进行训练，如此训练直到算法稳定。(3)互训练(Co-training)半监督学习方法：互训练学习方法指的是多个学习机互相提供训练，即互相学习。半监督的互训练的思想体现为：首先将特征集分成两个尽可能的相对平衡的特征集，再对每一个学习机采用已标识的样本进行训练，训练完毕后采用另一学习机为本学习机中的无标签样本集中具有较高置信的样本进行标识，然后进行再训练，如此循环直至算法稳定。(4)基于图的半监督学习方法：基于图的半监督学习方法总体都是基于这样一个思想：在要求对已标识样本的识别应尽可能与目标标识一致的条件下，使对整个图的标识尽可能的光滑，即避免出现标识的琐碎变化。这样基于图的半监督学习方法就可以由正则框架来描述，即对已辨识样本的损失函数加上光滑正则项，一般对于已标识样本的损失函数采用二次损失，而光滑正则项有多种选择，不同的选择形成了不同的基于图的半监督学习方法。

目前，半监督的学习方法也被引入到了聚类当中，在聚类搜索过程中充分利用先验信息会显著提高聚类算法的性能。利用样本先验信息来改善无监督聚类算法的性能已成为最近机器学习领域的一个研究热点，所提出的算法统称为半监督聚类。根据使用先验信息的方法不同，已有的半监督聚类算法被分为两大类。一类是基于测度的方法，这类方法首先训练相似性测度用以满足类属或限制信息，然后使用基于测度的聚类算法进行聚类。这种方法在测度学习阶段仅利用了有限的限制信息，而将大量的无类属数据排除在外。另一类是基于限制的方法，该类方法修改聚类算法本身，利用成对限制先验信息来指导聚类算法向一个较好的数据划分进行。对于许多聚类应用领域，如交谈中的说话人识别，GPS数据中的道路检测问题，考虑以成对点限制形式出现的监督信息而不是样本类属信息会比较实际一些。这是由于对于用户来说要确定样本类属会比较困难，而获得一些关于样本点是否可以或不能位于同一类的限制信息将会比较容易。基于限制的先验信息比类属信息更一般，我们可以从类属信息获得等价的成对限制信息，Wagstaff等人最早引入两种类型的成对点限制，即Must-link和cannot-link来辅助聚类搜索。Must-link限制规定两个样本必须在同一聚类中；Cannot-link限制规定两个样本不能在同一聚类中。因为谱聚类是一种配对聚类算法，这使得在聚类过程中利用成对限制信息变得非常容易，利用这些成对限制信息来修改相似度矩阵，可以有效的提高谱聚类算法的性能。但是当半监督的谱聚类算法应用于多光谱遥感图像的分割时会面临数据量大的问题，Williams等人提出基于

逼近的方法的谱聚类，该方法利用少量的代表点来逼近整个矩阵的特征向量，虽然计算速度快，但分类误差较大，对图像大小有限制，对多分类问题效果不好。

发明内容

本发明的目的在于克服上述算法存在的不足，提出基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法，以提高分类准确率，减小对图像大小的限制，实现对多类别图像更好的分割。

为实现上述目的，本发明的分割步骤包括如下：

(1)提取输入多光谱遥感图像的特征，并将输入图像中的每一个像素点用一个特征向量表示，得到图像特征集；

(2)对具有S个像素点的多光谱遥感图像，随机均匀采样N个无标签的点和M个有标签的点的集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n,$ n＝N+M，其中M个有标签的点用来构造半监督的谱聚类算法需要的成对限制信息Must-link和Cannot-link集合；

(3)对采样的点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n,$ 采用多参数的半监督的谱聚类算法进行分类，得到这n＝N+M个点的类别标签；

(4)把上述采样的n＝N+M个点作为训练样本，对剩余的(S-N-M)个点用最近邻的准则进行分类，为每个像素点按其所在的类别赋一个类标，将该类标作为输入图像的分割结果。

所述的采用半监督的谱聚类算法进行分类，得到这n＝N+M个点的类别标签，按如下过程进行：

(3a)计算点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 中的每个点x_i的局部尺度参数 ${\mathrm{\σ}}_i=\sqrt{d(x_i,x_K)},$ 其中x_K是x_i的第k个近邻点，k＝7，d(x_i，x_K)是点x_i和x_K的欧式距离；

(3b)计算像素点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 的亲和度矩阵A，矩阵A中每个元素A_ij的计算公式为：

$A_{i,j}=\exp (-\frac{d^2(x_i,x_j)}{{\mathrm{\σ}}_i{\mathrm{\σ}}_j})$

式中，A_ij表示两个数据点x_i和x_j的之间的亲和度，σ_i和σ_j为尺度参数，n为数据点的个数；

(3c)利用M有标签的点产生成对限制信息Must-link和Cannot-link集合；

(3d)给亲和度矩阵A加入成对限制信息： $\left\{\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{ij}}=1,A_{\mathrm{ji}}=1,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{must}-\mathrm{link}\\ A_{\mathrm{ij}}=0,A_{\mathrm{ji}}=0,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{cannot}-\mathrm{link}\end{array}\right.,$

其中(x_i，x_j)∈must-link表示两个点属于相同类别，(x_i，x_j)∈cannot-link表示两个点属于不同的类别，x_i和x_j为有标签的像素点；

(3e)定义对角矩阵D，其中对角元素 $D_{\mathrm{ii}}={\mathrm{\Σ}}_j{A}_{\mathrm{ij}};$

(3f)计算亲和度矩阵A的拉普拉斯矩阵L＝D^-1/2AD^-1/2；

(3g)计算L的前k个特征向量v₁，v₂，...，v_k，构造V＝[v₁，v₂，...，v_k]∈Rⁿ；

(3h)规范化特征向量矩阵V，得到规范化特征向量Y，Y的每个元素为

$Y_{\mathrm{ij}}=V_{\mathrm{ij}}/{\left({\mathrm{\Σ}}_j{V}_{\mathrm{ij}}^2\right)}^{1/2};$

(3i)把Y的每一行Y_i∈R^n×k看作一个点，用k-means算法进行聚类，聚类数为k，得到n＝N+M个点的类别标签。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

1.分割效果良好，分类精度有所提高，区域一致性好，能够更加准确的识别地物。

为了验证本发明的基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法的优越性，分别对四类UCI数据和两幅多光谱图像来评估不同分割方法的性能。现有的用于多光谱遥感图像分割的聚类方法k-means，FCM仅在具有凸形结构的数据集上有好的聚类效果，不适合于具有任意复杂分布形状的聚类问题。仿真实验表明本发明相比其它的聚类算法如k-means，FCM，和固定参数的半监督谱聚类算法效果要好，分类精度要高。在多光谱遥感图像分割中，k-means的分割结果中，地物的边界分的不是很好，一些局部区域也分错了。FCM中的部分区域分割的比k-means好，但其它区域分错严重。固定参数的谱聚类是分的最差的一个，本发明比固定参数的聚类误差要小，而且可以节约时间，避免反复试验寻找最优的参数，而且分割结果的区域的一致性比较好，能够更加准确的把地物分开。

2.避免反复寻找最优参数，节约时间。

谱聚类算法将聚类问题看成是一个无向图的多路划分问题。该算法有亟待解决的问题，如怎样有效地选择合适的尺度参数，谱聚类算法对σ的选择非常敏感，不同的σ会得到完全不同的聚类结果，不正确的取值将会极大的影响谱聚类的性能，因此对尺度参数的设置是一个需要解决的问题，L.Zelnik-Manor等人提出了基于数据点之间的近邻关系的自调节的谱聚类算法，本发明由于采用了根据数据点邻域信息计算自调节的局部尺度参数的方法来避免反复寻找最优的参数，节约了时间。

3.对图像大小的限制小，并能更好的应用于多类别图像。

使用谱聚类对大规模数据进行聚类时，不可避免地要计算矩阵的特征值与特征向量，通常这种计算的代价很大，求解非稀疏矩阵的所有特征向量的标准解法需要o(n³)，当其应用到海量数据时，相似度矩阵也很大，可能会超出计算机的内存。Williams等人提出基于

逼近的方法的谱聚类，对图像大小有限制，并且不能很好的应用于多类别的图像，本发明由于使用随机均匀采样技术结合最近邻准则的方法对图像大小限制较小，并且能够很好的应用于多类别的图像。

4.有效的利用限制信息，提高分割性能。

目前，半监督的学习方法也被引入到了聚类当中。大量研究表明，在聚类搜索过程中充分利用先验信息会显著提高聚类算法的性能。谱聚类是一种配对聚类算法，这使得在聚类过程中利用成对限制信息变得非常容易。利用限制信息，本发明由于通过修改谱聚类算法的亲和度矩阵，有效的提高了谱聚类算法的性能。

附图说明

图1是本发明基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法流程图；

图2是本发明对采样的(N+M)个点进行分类的子流程图；

图3是本发明与现有固定参数的半监督谱聚类方法针对UCI数据的测试效果图；

图4是本发明使用的包括6种地物的多光谱遥感原图像；

图5是本发明与现有三种分割方法对图4的分割结果图。

具体实施方式

参照图1，本发明的具体实施步骤如下：

步骤1：提取输入图像特征。

将输入图像中的每一个像素点用一个特征向量表示，得到图像特征集，该特征向量为输入图像的每一个波段的灰度值。

步骤2：在输入图像中随机均匀采样N个无标签的点和M个有标签的点。

对具有S个像素点的多光谱遥感图像，随机均匀采样N个无标签的点和M个有标签的点的集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n,$ n＝N+M，其中M个有标签的点，它是在有标签的点的集合中，选出具有相同标签的的每一类别的点的集合，在每个集合中都随机选择M/k个点，k为图像的类别数，剩余的点的个数为(S-N-M).

步骤3：对上述采样的(N+M)个点的集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 进行分类。

参照图2，本步骤具体实现如下：

(3a)计算点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 中的每个点x_i的局部尺度参数 ${\mathrm{\σ}}_i=\sqrt{d(x_i,x_K)},$ 其中x_K是x_i的第k个近邻点，k＝7，d(x_i，x_K)是点x_i和x_K的欧式距离；

(3b)计算像素点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 的亲和度矩阵A，矩阵A中每个元素A_ij的计算公式为：

$A_{i,j}=\exp (-\frac{d^2(x_i,x_j)}{{\mathrm{\σ}}_i{\mathrm{\σ}}_j})$

式中，A_ij表示两个数据点x_i和x_j的之间的亲和度，σ_i为点x_i的尺度参数，σ_j为点x_j尺度参数，n为数据点的个数；

(3c)利用采样的M个有标签的点产生成对限制信息Must-link和Cannot-link集合，其产生方法是在有标签的像素点中，随机的选择两个点，判断其类别标号，如果属于同一类别，则这两个点属于Must-link集合；如果不属于同一类别，则这两个点属于Cannot-link集合；

(3d)给亲和度矩阵A加入成对限制信息： $\left\{\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{ij}}=1,A_{\mathrm{ji}}=1,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{must}-\mathrm{link}\\ A_{\mathrm{ij}}=0,A_{\mathrm{ji}}=0,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{cannot}-\mathrm{link}\end{array}\right.,$ 其中(x_i，x_j)∈must-link表示两个点属于相同类别，(x_i，x_j)∈cannot-link表示两个点属于不同的类别，x_i和x_j为有标签的像素点；

(3e)定义对角矩阵D，其中对角元素 $D_{\mathrm{ii}}={\mathrm{\Σ}}_j{A}_{\mathrm{ij}};$

(3f)计算亲和度矩阵A的拉普拉斯矩阵L＝D^-1/2AD^-1/2；

(3g)计算L的前k个特征向量v₁，v₂，...，v_k，构造V＝[v₁，v₂，...，v_k]∈Rⁿ；

(3h)规范化特征向量矩阵V，得到规范化特征向量Y，Y的每个元素为 $Y_{\mathrm{ij}}=V_{\mathrm{ij}}/{\left({\mathrm{\Σ}}_j{V}_{\mathrm{ij}}^2\right)}^{1/2},$ v_ij是V的每个元素；

(3i)把Y的每一行Y_i∈R^n×k看作一个点，用k-means算法进行聚类，聚类数为k，得到n＝N+M个点的类别标签。

步骤4：使用最近邻准则对剩余的(S-N-M)个点进行分类，得到整幅图像的分割结果。

把上述采样的n＝N+M个点作为训练样本，对剩余的(S-N-M)个点用最近邻的准则进行分类，为每个像素点按其所在的类别赋一个类标，将该类标作为输入图像的分割结果。

本发明的优点由以下仿真的数据和图像进一步说明：

1.仿真条件及内容

(1)分别从UCI数据库中选出了四类数据：Wdbc，Glass，Sonar和Wine，表1为四类UCI数据的属性。在实验中，将现有的固定参数的谱聚类方法和本发明的对UCI数据的分类效果进行比较。两种方法的错误率是在给定成对限制数目时50次运行结果的平均值，每一次运行都从原始数据中随机产生固定个数的成对限制信息。成对限制信息的个数范围为Cons＝[0，100]。对固定参数的谱聚类方法，对Wdbc，Glass，Sonar，Wine数据的参数选择，分别在[0，2]区间以步长为0.1选取最优参数σ＝1.2，0.4，0.9，1.4。

(2)为了验证本发明对多光谱遥感图像分割的优越性，我们将其与现有的分割方法k-means，FCM，固定参数的半监督的谱聚类方法FS3C通过仿真实验进行比较。图4(a)是本发明使用的包括6种地物的多光谱遥感原图像，它是印第安纳的一个植被区域，图像大小为709×1501，一共三个波段，包括trees，weeds，wheat，light soil，soil，image blank 6类地物，在实验中把图像每个波段的值作为每个点的特征，并进行归一化到[-1，1]。在整幅图像中随机均匀采样3000个点和600个有标记的点，每一类100个点，对这3600个点使用多参数的半监督的谱聚类方法进行分类，其余的点使用最近邻的方法进行分类，最终完成整幅图像的分割。图4(b)是标记过的6种地物的多光谱遥感图像，不同的颜色标记的点代表不同的类别，图右侧说明了标记好的不同类别的6种地物的名称。在实验中，在这些有标记的点种采样有标签的点。

表1实验所选UCI数据属性表

2.仿真结果分析

图3是本发明与现有固定参数的半监督谱聚类方法针对UCI数据的测试效果图，其中横坐标表示成对限制信息的数目，纵坐标表示两种方法的错分率，带圆圈的绿色曲线是本发明的图，带方块的蓝色曲线是现有固定参数的半监督谱聚类方法的曲线图。图3(a)是对Wdbc数据比较结果图，从图3(a)可以看出，本发明的方法比现有固定参数的半监督谱聚类方法在任意成对限制信息情况下的平均错分率都要低。图3(b)是Glass数据的比较结果图，在成对限制信息的个数为60的时候，两种方法的错分率相当。图3(c)和图3(d)分别是Sonar和Wine数据的比较结果图，对Wine数据，在成对限制信息个数为30的时候，两种方法的错分率相当。本发明能够通过自调节参数的方法，提高现有的固定参数的半监督的分类性能，虽然在成对限制信息不断增加的情况下，两种方法分类性能相当，但是本发明的参数选择方法可以节约时间，避免反复试验寻找最优的参数。

图5是本发明与现有三种分割方法对印第安纳的一个植被区域的分割结果图；从实验结果中可以看出，本发明较其它的分割方法要好。图5(a)K-means的分割结果中，trees区域和wheat区域的边界分的不是很好，右边的wheat区域错分成了weeds区域。一些局部区域也分错了。图5(b)FCM中的trees区域分割的比k-means好，但其它区域错分严重。图5(c)固定参数的半监督的谱聚类FS³C是分的最差的一个，soil和light soil区域都没有区分开来。图5(d)本发明MPS³C的分割结果，trees区域和soil区域的一致性比较好。右边的soil和lightsoil区域都区分开了，虽然有一小部分的wheat区域被错分成trees区域，但只有该方法把中间的小部分的weeds区域与周围区域区分开。

综上所述，本发明的基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法，与现有的多光谱遥感聚类分割方法相比，不仅提高了分类精度，而且分割效果更好。

Claims (4)

1.一种基于谱聚类的半监督多光谱遥感图像分割方法，包括如下过程：

(1)将输入图像中的每一个像素点用一个特征向量表示，得到图像特征集；

(2)对具有S个像素点的多光谱遥感图像，随机均匀采样N个无标签的点和M个有标签的点的集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n,$ n＝N+M，其中M个有标签的点用来构造半监督的谱聚类算法需要的成对限制信息Must-link和Cannot-link集合；

(3)对采样的点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n,$ 采用半监督的谱聚类算法进行分类，得到这n＝N+M个点的类别标签；

(4)把上述采样的n＝N+M个点作为训练样本，对剩余的(S-N-M)个点用最近邻的准则进行分类，为每个像素点按其所在的类别赋一个类标，将该类标作为输入图像的分割结果。

2.根据权利要求书1所述的多光谱遥感图像分割方法，其中步骤(1)所述的将输入图像中的每一个像素点用一个特征向量表示，是用输入图像的每一个波段的灰度值作为图像的每一个像素点的特征向量。

3.根据权利要求书1所述的多光谱遥感图像分割方法，其中步骤(2)所述的随机的均匀采样M个有标签的点，是在有标签的点的集合中，选出具有相同标签的的每一类别的点的集合，在每个集合中都随机选择(M/k)个点，k为图像的类别数。

4.根据权利要求书1所述的多光谱遥感图像分割方法，其中步骤(3)所述的采用半监督的谱聚类算法进行分类，得到这n＝N+M个点的类别标签，按如下过程进行：

(4a)计算点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 中的每个点x_i的局部尺度参数 ${\mathrm{\σ}}_i=\sqrt{d(x_i,x_K)},$ 其中x_K是x_i的第k个近邻点，k＝7，d(x_i，x_K)是点x_i和x_K的欧式距离；

(4b)计算像素点集合 $Q={\left\{x_i\right\}}_{i=1}^n$ 的亲和度矩阵A，矩阵A中每个元素A_ij的计算公式为：

$A_{i,j}=\exp (-\frac{d^2(x_i,x_j)}{{\mathrm{\σ}}_i{\mathrm{\σ}}_j})$

式中，A_ij表示两个数据点x_i和x_j的之间的亲和度，σ_i和σ_j为尺度参数，n为数据点的个数；

(4c)利用M有标签的点产生成对限制信息Must-link和Cannot-link集合；

(4d)给亲和度矩阵A加入成对限制信息：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{ij}}=1,A_{\mathrm{ji}}=1,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{must}-\mathrm{link}\\ A_{\mathrm{ij}}=0,A_{\mathrm{ji}}=0,\mathrm{if}(x_i,x_j)\∈\mathrm{cannot}-\mathrm{link}\end{array}\right.,$ 其中(x_i，x_j)∈must-link表示两个点属于相同类别，(x_i，x_j)∈cannot-link表示两个点属于不同的类别，x_i和x_j为有标签的像素点；

(4e)定义对角矩阵D，其中对角元素D_ii＝∑_jA_ij；

(4f)计算亲和度矩阵A的拉普拉斯矩阵L＝D^-1/2AD^-1/2；

(4g)计算L的前k个特征向量v₁，v₂，...，v_k，构造V＝[v₁，v₂，...，v_k]∈Rⁿ；

(4h)规范化特征向量矩阵V，得到规范化特征向量Y，Y的每个元素为

$Y_{\mathrm{ij}}=V_{\mathrm{ij}}/{\left({\mathrm{\Σ}}_j{V}_{\mathrm{ij}}^2\right)}^{1/2};$

(4i)把Y的每一行Y_i∈R^n×k看作一个点，用k-means算法进行聚类，聚类数为k，得到n＝N+M个点的类别标签。

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