CN101719287B - 利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法，该方法首先构建标准半球体模型，从三个角度得到三幅半球体灰度图像，建立物体表面辐照度方程；然后利用物体表面辐照度方程和光度立体法，唯一确定物体表面方向梯度，进行变分法处理，由方向梯度重建半球体三维表面f₁(x，y)；最后采用插补面算法和半球体表面控制点三维信息得到插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)线性叠加求出物体表面每个点的三维信息，进而得到重建的物体三维表面f₃(x，y)。该方法不仅测量球类物体三维表面形状速度快，而且测量所得的重建半球体三维表面形状的精度高，实验结果表明，本发明所重建半球体三维表面的平均相对误差减少大约1.3％。

Description

利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法

技术领域

本发明属于物体三维表面测量技术领域，具体地说是涉及一种利用控制点信息实现了半球体三维表面形状的重建方法，为真实物体三维模型的精确重建提供了理论依据和应用空间。

背景技术

为了满足工业检测，逆向工程和多媒体三维建模的需要，获取物体三维表面的准确信息，已经成为近年来研究的热点问题之一。然而，如何使重建的物体三维表面无限逼近于标准的物体表面，至今仍未能很好解决问题。

目前，物体三维表面重建方法按是否接触测量来区分，主要分为接触式测量方法和非接触式测量方法。接触式测量方法的复杂度和造价高，不能满足实际的应用条件。非接触式测量方法的主要有立体视觉法、Shape from Shading(简称SFS)、光度立体法等。立体视觉法对立体匹配点的数量和准确度要求都非常高，在实际处理中很困难。SFS的求解是一个病态问题，计算量大，误差较大。光度立体法是针对上述两种方法的缺点提出的，该方法测量速度快，具有一定的应用价值。在图像重建领域中，光度立体法(PS)是在至少三个不同光源方向的情形下，拍摄多幅图像，利用图像的光强来计算物体表面的方向梯度，进而得到物体表面的三维重建。

在实际的应用中一般采用变分法和插补面法。变分法仅仅考虑了重建物体三维表面形状的局部特征，忽略了全局的形状特征，因此，采用变分法重建物体三维表面会造成很大的误差，由实验表明，变分法重建的平均相对误差高达19.76％。插补面法是在待测物体表面喷涂漫反射材料，使用的光源是白光光源。它是2004年由以色列Aviv大学的Horovitz等人独立提出的一种计算机辅助的物体三维表面偏差校正方法，具体地说，首先利用经典的重建算法(比如变分法)得到半物体三维表面f₁(x，y)，然后以样条曲线理论为基础，结合单位矢量场的光滑性准则，计算插补面f₂(x，y)，最后将f₁(x，y)和f₂(x，y)相加，即可得半物体三维表面f₃(x，y)。然而，该方法虽然测量速度快，但是，该算法所得的重建物体三维表面形状的精度不高。

发明内容

鉴于以上所述现有技术存在的问题和不足，本发明目的在于提供一种利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法，该方法不仅测量球类物体三维表面形状速度快，而且测量所得的重建半球体三维表面形状的精度高，进而实现半球体三维表面形状的重建。

为达到上述目的，本发明采用如下方案：

上述利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法，其特征在于首先构建标准半球模型，从三个角度得到三幅半球体灰度图像，建立物体表面辐照度方程；然后利用物体表面辐照度方程和光度立体法，唯一确定物体表面方向梯度，进行变分法处理，由方向梯度重建半球体三维表面f₁(x，y)；最后采用插补面算法和半球体表面控制点三维信息，得到插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)线性叠加求出物体表面每个点的三维信息，得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)，其具体步骤如下：

(1)、构建标准半球体模型，设立图像表面辐照度方程，其具体如下：

设标准半球体三维立体模型，半球体(物体)表面为z＝f(x，y)，则表面的反射分布函数R(x，y)，

设

与

的夹角为α，则R(x，y)＝ρcosα，ρ为反射常数，设则表面法向

为(p，q，-1)，

设光源方向

当ρ＝1时，反射分布函数R(x，y)表达式为：

$R(x,y)=\cos \mathrm{\&alpha;}=\frac{<\stackrel{\&RightArrow;}{N},\stackrel{\&RightArrow;}{S}>}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{N}\left|\right|\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}=\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}}=R(p,q)---\left(1\right)$

其中，

为向量与

的模长，

表示

与

的内积，由公式(1)可知，图像表面辐照度方程为R(p，q)，R(x，y)与R(p，q)是等价的，设I(x，y)＝R(p，q)，则

$I(x,y)=R(p,q)=\frac{1}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}}---\left(2\right)$

其中，I(x，y)是测得的图像表面辐照度函数，图像上的每一点(x，y)都对应着三维表面z＝f(x，y)上的梯度p与q；

(2)、采集至少三幅图像，确定半球体表面方向梯度，采用变分法重建半球体三维表面f₁(x，y)，其具体如下：

利用公式(1)，采用3幅图像可以得到相应的图像表面辐照度方程，联立求解可以确定半球体表面方向梯度，对半球体表面方向作归一化处理，有

$M=\frac{p}{\sqrt{1+p^2+q^2}},L=\frac{q}{\sqrt{1+p^2+q^2}},U=\frac{-1}{\sqrt{1+p^2+q^2}}---\left(5\right)$

设 ${\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0={(M,L,U)}^T,\stackrel{\&RightArrow;}{R}={(R_1,R_2,R_3)}^T$ 有 $\stackrel{\&RightArrow;}{R}=S{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0$

其中，

式中

为三个光源方向，可得

有 $p=-\frac{M}{U},q=-\frac{L}{U}$

假设在Ω区域内确定了半球体表面方向，则表面任一点的高度可由梯度(p，q)确定，表达式为dz＝pdx+qdy，然后构造函数(6)，并使之最小，

∫∫_Ω[(z_x-p)²+(z_y-q)²]dxdy                    (6)

其中，z_x与z_y表示三维表面函数z在x与y方向的一阶偏导数，函数(6)的欧拉方程为：

${\&dtri;}^{2}z=p_x+q_y---\left(7\right)$

其中，p_x与q_y表示p与q在x与y方向的一阶偏导数，

方程(7)存在多解问题，为此采用变分处理，可得如下迭代公式：

$z_{\mathrm{ij}}^{k+1}=\frac{1}{4}[z_{i-1,j}^k+z_{i+1,j}^k+z_{i,j-1}^k+z_{i,j+1}^k-h(p_{i+1,j}+q_{i,j+1}-p_{i-1,j}-q_{i,j-1})]---\left(8\right)$

其中，h为采样间隔，(i，j)为xy平面上点(x，y)的离散化表示，i＝1，2，...，W，j＝1，2，...，H，W和H分别表示获取的图像宽度和高度，z_ij表示半球体表面(i，j)处的高度值，k为迭代次数，k＝1，2，…，将z_ij拟合在一起就可以得到f₁(x，y)；

(3)、选取若干控制点信息点投影到xy平面，采用插补面算法获取插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)相加得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)

由径向基函数理论可知，薄板样条函数是径向基函数的一种。为提高重建表面的精度，本发明对g_m(x，y)进行修正，修正后的径向基函数为：

该薄板样条函数也能提高重建半球体三维表面的精度。

本发明的利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法与现有技术相比具有的优点和效果是：该方法采用插补面算法和半球体表面控制点三维信息，得到插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)线性叠加，就可以得到比较理想的物体三维表面f₃(x，y)，不仅测量球类物体三维表面形状速度快，而且测量所得的重建半球体三维表面形状的精度高。实验结果表明，本发明所重建半球体三维表面的平均相对误差减少大约1.3％。

附图说明

图1为本发明的利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法的流程图；

图2为三幅半球体灰度图像；

图3为成像几何原理示意图；

图4为由单幅图像求解p，q的不是唯一性的示意图；

图5为标准半球体三维立体图；

图6为变分法三维表面重建立体图；

图7为半球体表面控制点信息的线性加点方式示意图(控制点信息投影到xy平面上)；

图8为插补面法重建截面与标准半球截面比较示意图(图像宽度为75像素处)。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的实施例作进一步的详细说明，本实施例以本发明的技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

本发明的利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法的一个优选实施例结合附图详述如下：如图1所示，其具体步骤如下：

(1)、构建标准半球体模型，设立图像表面辐照度方程

获取物体三维表面形状的前提条件是半球体辐照度方程的求解，得到表面辐照度方程的方法是：

设标准半球三维立体模型，半球体表面用z＝f(x，y)来表示，则表面的反射分布函数R(x，y)与表面法向

光源方向

及观察者方向

有关，如图3所示的成像几何原理，当半球体表面为漫反射面，即理想的朗伯表面时，设

与

的夹角为α，则R(x，y)＝ρcosα，ρ为反射常数。设

则表面法向

可表示为(p，q，-1)。设光源方向

当ρ＝1时，反射分布函数R(x，y)有如下表达式为：

$R(x,y)=\cos \mathrm{\&alpha;}=\frac{<\stackrel{\&RightArrow;}{N},\stackrel{\&RightArrow;}{S}>}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{N}\left|\right|\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}=\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}}=R(p,q)---\left(1\right)$

其中，

为向量

与

的模长，表示

与的内积，由式(1)表明，R(x，y)也可表示为关于p，q的函数。

由公式(1)可知，图像表面辐照度方程为R(p，q)，R(x，y)与R(p，q)是等价的。设I(x，y)＝R(p，q)，则

$I(x,y)=R(p,q)=\frac{1}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}}---\left(2\right)$

其中，I(x，y)是测得的图像表面辐照度函数，图像上的每一点(x，y)都对应着三维表面z＝f(x，y)上的梯度p与q。

(2)、采集至少三幅图像确定半球体表面方向梯度，利用变分法重建半球体三维表面f₁(x，y)

采用至少三幅图像确定半球体表面方向梯度

关于p，q的图像表面辐照度方程R(p，q)＝I(x，y)的解为二次曲线。对I(x，y)进行归一化处理，假定光源方向

那么当图像上某点的亮度分别为0.8133和0.397时，利用公式(2)可得对应的p，q分布也各不相同。即由单幅图像求解三维表面梯度场有无穷多个解。设现有从n个光源方向

获得的n幅图像，其相应的图像辐照度函数为I_i(x，y)，简称I_i，i＝1，2，...，n。当n＝2时，由R₁(p，q)＝I₁及R₂(p，q)＝I₂可得

$\frac{s_{11}p+s_{12}q-s_{13}}{s_{21}p+s_{22}q-s_{23}}=\frac{I_1}{I_2}---\left(3\right)$

式(3)是关于p，q的一条直线，其与R₁(p，q)＝I₁的交点有两个，即由两幅图像不能唯一确定梯度场。当n＝3时，选R₁(p，q)＝I₁及R₃(p，q)＝I₃，可得

$\frac{s_{11}p+s_{12}q-s_{13}}{s_{31}p+s_{32}q-s_{33}}=\frac{I_1}{I_3}---\left(4\right)$

由式(3)与式(4)的两个方程，可求出一个唯一的梯度场。以上推导说明：欲获得唯一确定的三维表面的梯度场，必须至少获得三幅不同光照方向下的图像，因此，利用光度立体技术进行半球体三维表面重建的基本原理为：在至少三个不同光源方向的情形下，拍摄多幅图像，利用图像的光强来计算半球体表面的方向梯度，进而得到半球体表面的三维重建。如图4所示，式(3)或式(4)由单幅图像求解p，q的，不具有唯一性。在本发明中，采用三幅图像重建半球体三维表面。

利用变分法重建半球体三维表面f₁(x，y)

采用变分法重建半球体三维表面形状的构思为：利用光度立体法，在归一化条件下求解半球体表面方向梯度，然后利用传统积分法求出三维表面的高度初始值和变分处理之后的迭代公式，结合表面方向应服从可积的平滑约束条件，唯一确定三维表面的高度，

确定半球体表面方向梯度，对半球体表面方向作归一化处理，有

$M=\frac{p}{\sqrt{1+p^2+q^2}},L=\frac{q}{\sqrt{1+p^2+q^2}},U=\frac{-1}{\sqrt{1+p^2+q^2}}---\left(5\right)$

设 ${\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0={(M,L,U)}^T,\stackrel{\&RightArrow;}{R}={(R_1,R_2,R_3)}^T,$ 有 $\stackrel{\&RightArrow;}{R}=S{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0,$

其中，

式中

为三个光源方向，可得从而有 $p=-\frac{M}{U},q=-\frac{L}{U}$

假设在Ω区域内确定了半球体表面方向，则表面任一点的高度可由梯度(p，q)确定，表达式为dz＝pdx+qdy，然后构造函数(6)，并使之最小，

∫∫_Ω[(z_x-p)²+(z_y-q)²]dxdy                  (6)

其中，z_x与z_y表示三维表面函数z在x与y方向的一阶偏导数，

函数(6)的欧拉方程为：

${\&dtri;}^{2}z=p_x+q_y---\left(7\right)$

其中，p_x与q_y表示p与q在x与y方向的一阶偏导数，

方程(7)存在多解问题，为此采用变分处理，可得如下迭代公式

$z_{\mathrm{ij}}^{k+1}=\frac{1}{4}[z_{i-1,j}^k+z_{i+1,j}^k+z_{i,j-1}^k+z_{i,j+1}^k-h(p_{i+1,j}+q_{i,j+1}-p_{i-1,j}-q_{i,j-1})]---\left(8\right)$

其中，h为采样间隔，(i，j)为xy平面上点(x，y)的离散化表示，i＝1， 2，...，W，j＝1， 2，...，H，W和H分别表示获取的图像宽度和高度，z_ij表示半球体表面(i，j)处的高度值，k为迭代次数，k＝1，2，…，将z_ij拟合在一起，就可以得到f₁(x，y)；

(3)、选取若干控制点信息点投影到xy平面，采用插补面算法获取插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)相加得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)，

假设z＝f(x，y)∈C²(R²)，C²(R²)为R²上的二阶连续可微函数空间，构造可积二次变分函数(9)，并使之最小

$\underset{R^2}{\&Integral;\&Integral;}({\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{{\&PartialD;x}^2}\right)}^2+2{\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{\&PartialD;x\&PartialD;y}\right)}^2+{\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{{\&PartialD;y}^2}\right)}^2)\mathrm{dxdy}---\left(9\right)$

然后，根据薄板样条函数插补理论，可得用于插补面法的f₂(x，y)计算公式为

$f_2(x,y)=c_1+c_{2}x+c_{3}y+\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_m{g}_m(x,y)---\left(10\right)$

其中u_m表示第m个控制点的权重因子，g_m(x，y)表示薄板样条函数，最后，利用公式(11)便可以得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)

f₃(x，y)＝f₁(x，y)+f₂(x，y)                           (11)

假设已知标准半球体表面N个控制点，记为(a_m，b_m，l_m)，1≤m≤N，在现有的文献中，选取的薄板样条函数其中，r_m表示半球体表面任一点(x，y)到第m个控制点的距离，计算公式为

令变分法重建得到的半球体三维表面在(a_m，b_m)处的高度值为h_m，记v_m＝l_m-h_m，

1≤m≤N，1≤n≤N，

系数c₁，c₂，c₃，u_m的计算公式为：

L^-1Y＝(u₁，u₂，，...u_N，c₁，c₂，c₃)^T                 (12)

其中Y＝(v₁，v₂，...，v_N，0，0，0)^T， $L=\left[\begin{array}{cc}K& P^T\\ P& O\end{array}\right],$ O是3×3的零矩阵，

$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 1\\ a_1& a_2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& a_N\\ b_1& b_2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& b_N\end{array}\right],$ $K=\left[\begin{array}{cccc}0& T\left(t_{12}\right)& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T\left(t_{1N}\right)\\ T\left(t_{21}\right)& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T\left(t_{2N}\right)\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ T\left(t_{N1}\right)& T\left(t_{N2}\right)& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\end{array}\right]$

由径向基函数理论可知，薄板样条函数是径向基函数的一种。为提高重建表面的精度，本发明对g_m(x，y)进行修正，修正后的径向基函数为：实验证明，该薄板样条函数也能提高重建半球体三维表面形状的精度。

实验模拟和性能评价

上述关于图像表面辐照度方程的求解，是在待测物体表面符合朗伯反射模型特征的前提下进行的，因此，采用3幅朗伯反射模型生成的半球体图像进行三维表面重建实验。

如图5所示，该图为标准半球体三维立体图，经过实验模拟得到三幅半球体灰度图像图，其如图2所示，图像宽度与高度都为150像素，球体半径50像素，光照强度为200坎德拉，半球体表面倾角(Slant)取

，偏角(Tilt)分别取

。如图6所示，该图为变分法三维表面重建立体图，它是利用光度立体法计算出半球体表面方向梯度，然后采用变分法得到物体三维表面f₁(x，y)；如图7所示，控制点信息的五种线性加点方式为：散状加点；弧形加点；在弧形加点的基础上加入一个半球体表面边界点；环形加点；在环形加点的基础上加入一个半球体表面最高点。依次分别称为；方式1、方式2、方式3、方式4、方式5。为区别表示不同的加入方式，将控制点信息投影到xy平面上。经过实验模拟得到三幅半球体灰度图像；如图8所示，该图为控制点信息不同的加入方式插补面法重建截面与标准半球体截面比较。

为说明不同算法的性能，从重建时间，重建精度等角度分析重建的性能评价效果，具体见表1和表2。

表1不同加点方式的插补面法表面重建的性能评价

控制点加入方式	时间(秒)	高度差值的均方差(像素)	平均相对误差(％)
				方式1	1.8442	11.4165	37.13
方式2	4.1589	1.7308e+003	5153.00
				方式3	4.1866	2.9396	10．60
方式4	1.0218	3.6927	11.97
				方式5	1.2382	0.6464	1.71

表2不同算法表面重建的性能评价

方法	时间(秒)	高度差值的均方差(像素)	平均相对误差(％)
				变分法	2.1416	3.7176	19.76
插补面法(修正前，方式5)	1.2626	0.7833	3.06
				插补面法(修正后，方式5)	1.2382	0.6464	1.71

由表1、2中不同算法可以看出，不同的控制点信息加入方式，重建的半球体(物体)三维表面效果是不同的，并且方式5是最佳的控制点信息加入方式。插补面法利用控制点信息构建了一个插补面，对半球体表面进行样条插值，保证了半球体表面整体形状特征，有效地实现了半球体表面各点的偏差校正，本发明中对径向基函数进行了修正，方式5的重建半球体三维表面的平均相对误差减少大约1.3％，实验结果表明，对径向基函数修正是有益的。

Claims (2)

1.一种利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法，其特征在于首先构建标准半球体模型，从三个角度得到三幅半球体灰度图像，建立物体表面辐照度方程；然后利用物体表面辐照度方程和光度立体法，唯一确定物体表面方向梯度，进行变分法处理，由方向梯度重建半球体三维表面f₁(x，y)；最后采用插补面算法和半球体表面控制点三维信息得到插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)线性叠加求出物体表面每个点的三维信息，进而得到重建的半球体三维表面形状f₃(x，y)，其具体步骤如下：

(1)、构建标准半球体模型，设立反射分布函数与辐照度方程，其具体如下：

设标准半球体三维立体模型，半球体表面为z＝f(x，y)，则表面的反射分布函数R(x，y)，

设

与的夹角为α，则R(x，y)＝ρcosα，ρ为反射常数，设

则表面法向

为(p，q，-1)，

设光源方向

当ρ＝1时，反射分布函数R(x，y)表达式为：

$R(x,y)=\cos \mathrm{\&alpha;}=\frac{\&lang;\stackrel{\&RightArrow;}{N},\stackrel{\&RightArrow;}{S}\&rang;}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{N}\left|\right|\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}=\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}}=R(p,q)---\left(1\right)$

其中，

为向量

与的模长，

表示

与

的内积，由公式(1)可知，图像表面辐照度方程为R(p，q)，R(x，y)与R(p，q)是等价的，设I(x，y)＝R(p，q)，则

$I(x,y)=R(p,q)=\frac{1}{\left|\right|\stackrel{\&RightArrow;}{S}\left|\right|}\frac{s_{1}p+s_{2}q-s_3}{\sqrt{p^2+q^2+1}}---\left(2\right)$

其中，I(x，y)是测得的图像表面辐照度函数，图像上的每一点(x，y)都对应着三维表面z＝f(x，y)上的梯度p与q；

(2)、确定半球体表面方向梯度，采用变分法重建半球体三维表面f₁(x，y)，其具体如下：

利用公式(1)，采用3幅图像可以得到相应的图像表面辐照度方程，联立求解可以确定半球体表面方向梯度，对半球体表面方向作归一化处理，有

$M=\frac{p}{\sqrt{1+p^2+q^2}},$ $L=\frac{q}{\sqrt{1+p^2+q^2}},$ $U=\frac{-1}{\sqrt{1+p^2+q^2}}---\left(5\right)$

设 ${\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0={(M,L,U)}^T,$ $\stackrel{\&RightArrow;}{R}={(R_1,R_2,R_3)}^T$ 有 $\stackrel{\&RightArrow;}{R}=S{\stackrel{\&RightArrow;}{N}}^0$

其中，

式中为三个光源方向，可得

有 $p=-\frac{M}{U},$ $q=-\frac{L}{U}$

假设在Ω区域内确定了半球体表面方向，则表面任一点的高度可由梯度(p，q)确定，表达式为dz＝pdx+qdy，然后构造函数(6)，并使之最小，

∫∫_Ω[(z_x-p)²+(z_y-q)²]dxdy                  (6)

其中，z_x与z_y表示三维表面函数z在x与y方向的一阶偏导数，函数(6)的欧拉方程为：

${\&dtri;}^{2}z=p_x+q_y---\left(7\right)$

其中，p_x与q_y表示p与q在x与y方向的一阶偏导数，

方程(7)存在多解问题，为此采用变分处理，可得如下迭代公式：

$z_{\mathrm{ij}}^{k+1}=\frac{1}{4}[z_{i-1,j}^k+z_{i+1,j}^k+z_{i,j-1}^k+z_{i,j+1}^k-h(p_{i+1,j}+q_{i,j+1}-p_{i-1,j}-q_{i,j-1})---\left(8\right)$

其中，h为采样间隔，(i，j)为xy平面上点(x，y)的离散化表示，i＝1，2，...，W，j＝1，2，...，H，W和H分别表示获取的图像宽度和高度，z_ij表示半球体表面(i，j)处的高度值，k为迭代次数，k＝1，2，…，将z_ij拟合在一起就可以得到f₁(x，y)；

(3)、选取若干控制点信息点投影到xy平面，采用插补面算法获取插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)相加得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)。

2.根据权利要求1所述的利用控制点信息实现半球体三维表面形状的重建方法，其特征在于，上述步骤(3)中所述的选取若干控制点信息点投影到xy平面，采用插补面算法获取插补面f₂(x，y)，将f₁(x，y)和f₂(x，y)相加得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)，其具体如下：

假设已知标准半球体表面N个控制点，记为(a_m，b_m，l_m)，1≤m≤N，令z＝f(x，y)∈C²(R²)，C²(R²)为R²上的二阶连续可微函数空间，构造可积二次变分函数(9)，并使之最小；

$\underset{R}{\&Integral;}\underset{2}{\&Integral;}({\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{\&PartialD;x^2}\right)}^2+2{\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{\&PartialD;x\&PartialD;y}\right)}^2+{\left(\frac{{\&PartialD;}^{2}f}{\&PartialD;y^2}\right)}^2)\mathrm{dxdy}---\left(9\right)$

根据薄板样条函数插补理论，可得用于插补面法的f₂(x，y)计算公式为：

$f_1(x,y)=c_1+c_{2}x+c_{3}y+\underset{m=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{u}_m{g}_m(x,y)---\left(10\right)$

其中u_m表示第m个控制点的权重因子，g_m(x，y)表示薄板样条函数，最后，利用公式(11)便可以得到重建的半球体三维表面f₃(x，y)

f₃(x，y)＝f₁(x，y)+f₂(x，y)               (11)

选取的薄板样条函数

其中，r_m表示半球体表面任一点

(x，y)到第m个控制点的距离，计算公式为

令变分法重建得到的半球体三维表面在(a_m，b_m)处的高度值为h_m，记v_m＝l_m-h_m，

1≤m≤N，1≤n≤N，

系数c₁，c₂，c₃，u_m的计算公式为：

L^-1Y＝(u₁，u₂，，...u_N，c₁，c₂，c₃)^T      (12)

其中Y＝(v₁，v₂，...，v_N，0，0，0)^T， $L=\left[\begin{array}{cc}K& P^T\\ P& O\end{array}\right],$ O是3×3的零矩阵，

$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 1\\ a_1& a_2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& a_N\\ b_1& b_2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& b_N\end{array}\right],$ $K=\left[\begin{array}{cccc}0& T\left(t_{12}\right)& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T\left(t_{1N}\right)\\ T\left(t_{21}\right)& 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& T\left(t_{2N}\right)\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ T\left(t_{N1}\right)& T\left(t_{N2}\right)& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0\end{array}\right].$

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