CN101630417A - 三维虚拟服装快速姿态同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，其特征在于，具体步骤为：第一步：建立三维人体模型以及虚拟服装模型，第二步：计算虚拟服装模型的受力情况；第三步：姿态同步。本发明的优点是当人体的姿态改变时，服装的姿态实时地随之改变，从而实现各种着装姿态下的人－衣姿态同步。

Description

三维虚拟服装快速姿态同步方法

技术领域

本发明涉及一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，用于服装企业网络销售服装时展示三维服装动态着装效果，属于计算机科学中的虚拟现实技术领域。

背景技术

现有的三维服装的着装效果的展示方法中，皆是将服装应用在特定的人体姿态上，为了更好的展示三维服装的着装效果，需要着装人体做出各种姿态，因此需要一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，现有技术中没有这种方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种三维虚拟服装快速姿态同步方法。

为了达到上述目的，本发明的技术方案是提供一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，其特征在于，具体步骤为：

第一步：分别建立由三角形集合构成的三维人体模型以及虚拟服装模型，虚拟服装模型设于三维人体模型外侧，三维人体模型的三角形的密度为10000个/人，虚拟服装模型的三角形的密度为3000-4000个/件；

第二步：第一步建立的虚拟服装模型中每个三角形的顶点为一个质点，三角形的三个边代表一根非线性弹簧，其中第i个顶点P_i的受力方程为：

$f=f_i+d_i=-k\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)-k_d\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，f为第i个顶点P_i所受内力的合力；f_i和d_i分别为作用在第i个顶点P_i上的弹性力和粘性力；i＝0，1，2，…n；n为三角形的顶点总数；k为弹簧的虎克常数；k_d为弹簧的粘性系数；C(x)为与变形能相关的条件函数，C(x)＝|x|-L；x为弹簧的瞬时长度；L为弹簧的原长；

第三步：姿态同步：

步骤3.1、以S_b表示三维人体模型的表面，以S_g表示虚拟服装模型的表面，计算在默认姿势下S_g与三维人体模型间的最短距离矢量集{D}，即对于{P|P∈S_g}，找出三维人体模型上的一点Q，满足：

$\left\{Q\right|Q\∈S_b,Q=\underset{Q_i}{\arg \min }\left(\right|{\mathrm{PQ}}_i\left|\right)\},$ i＝0，1，2，...，m；(2)

其中m为三维人体模型的三角形顶点总数，即Q点为S_b上到P点距离最近的点；

步骤3.2、获得三维人体模型的动画，将动画按照每秒25帧的速度播放，对于每个三维人体模型的新姿态，计算S_b上的顶点的初步同步位置P_new如下：

P_new＝Q′+R·|PQ|(3)

其中Q′是Q点在新姿态下的位置，R是旋转矩阵，代表Q点的法向从n_old到n_new的旋转，计算如下：令旋转角θ＝arccos(n_old·n_new)，r＝n_old×n_new，则

$R=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2(1-c)+c& \mathrm{yx}(1-c)+\mathrm{zs}& \mathrm{xz}(1-c)-\mathrm{ys}& 0\\ \mathrm{xy}(1-c)-\mathrm{zs}& y^2(1-c)+c& \mathrm{yz}(1-c)+\mathrm{xs}& 0\\ \mathrm{xz}(1-c)+\mathrm{ys}& \mathrm{yz}(1-c)-\mathrm{xs}& z^2(1-c)+c& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中c＝cosθ，s＝sinθ；x，y，z分别为旋转向量r的x，y，z分量坐标值，此时新姿态下的虚拟服装模型的表面记为S_g-new，将新姿态下的三维人体模型的表面记为S_b-new；

步骤3.3、对于{P_new|P_new∈S_g-new}，寻找三维人体模型上的一点Q_new，满足：

$\left\{Q_{\mathrm{new}}\right|Q_{\mathrm{new}}\∈S_{b-\mathrm{new}},Q_{\mathrm{new}}=\underset{Q_{i-\mathrm{new}}}{\arg \min }\left(\right|P_{\mathrm{new}}{Q}_{i-\mathrm{ne}w}\left|\right)\},$ i＝0，1，2，...，m，(5)

其中，m为S_b-new上的三角形顶点总数，即Q_new为S_b-new上距离P_new最近的点；

当P_new位于S_b内部，即发生穿透时，将P_new沿着靠近n的方向旋转90度，即：令 $d=\frac{P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n}{|P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n|},$ 则P′_new＝R′·P_new，R′为旋转矩阵：

$R^{\′}=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2& \mathrm{yx}+z& \mathrm{xz}-y& 0\\ \mathrm{xy}-z& y^2& \mathrm{yz}+x& 0\\ \mathrm{xz}+y& \mathrm{yz}-x& z^2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中x，y，z分别为旋转向量d的x，y，z分量坐标值；

步骤3.4、将虚拟服装模型进行悬垂以及平滑处理：

计算在已知时间t₀下位置x(t₀)和速度时，求解时刻t₀+Δt时的位置x(t₀+Δt)和速度

，Δt为时间步长，即求解下述微分方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ \stackrel{\·}{x}\end{array}\right)=\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ M^{-1}f(x,v)\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，M为服装模型质量矩阵，f为服装模型的合力矩阵，x₀＝x(t₀)，v₀＝v(t₀)，位移增量Δx＝x(t₀+Δt)和速度增量Δv＝v(t₀+Δt)-v(t₀)，对上述微分方程采用一阶向后欧拉积分：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δv}\end{array}\right)=\mathrm{\Δt}\left(\begin{array}{c}{v}_0+\mathrm{\Δv}\\ M^{-1}f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})\end{array}\right)---\left(8\right)$

对于式(8)所给出的非线性方程，将f以泰勒级数方式展开得到其一阶近似：

$f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})=f_0+\frac{\∂f}{\∂x}\mathrm{\Δx}+\frac{\∂f}{\∂v}\mathrm{\Δv}---\left(9\right)$

将(9)式代入(8)式整理可得：

$(I-\mathrm{\Δt}{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂v}-\mathrm{\Δ}{t}^2{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂x})\mathrm{\Δv}=\mathrm{\Δt}{M}^{-1}(f_0+\mathrm{\Δt}\frac{\∂f}{\∂x}{v}_0)---\left(10\right)$

Δx＝Δt(v₀+Δv)(11)

其中，I为单位阵，采用共轭梯度法首先求解式(10)中的f₀，

以及

从而得到Δv，然后更新x和v，即可得到服装在时刻t₀+Δt时的位置和速度，这个位置即为该边上两个顶点经悬垂处理后的位置，在求解过程中，初始速度v₀为0，初始位置x₀即为步骤3.3完成后的位置；

若在一个时间步长Δt过后，|x₀(t+Δt)-x₁(t+Δt)|＞ε|x₀(t)-x₁(t)|，ε_a＝1％，ε_a为允许应变的阈值，采用速度过滤的方法进行纠正如下：

在时刻t时，用欧拉积分预先计算Δt后三角形顶点的位置：

x₀(t+Δt)＝x₀(t)+v₀(t)·Δt    (12)

x₁(t+Δt)＝x₁(t)+v₁(t)·Δt    (13)

其中x₀和x₁分别是三角形一条边上两个顶点的位置，在时刻t+Δt时，如果应变 $\mathrm{\ϵ}=\frac{|x_0(t+\mathrm{\Δt})-x_1(t+\mathrm{\Δt})|}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}>1\%,$ 则这两个三角形顶点的速度在t时刻应被调节如下：

$v_0^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_0\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(14\right)$

$v_1^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_1\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(15\right)$

其中x₀ ^new(t+Δt)和x₁ ^new(t+Δt)是满足ε＝1％时的新位置，这个位置即为该边上两个顶点经平滑处理后的位置， $x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_0\left(t\right)+\frac{x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ $x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_1\left(t\right)+\frac{x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)}{|x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ 其中的±在过度伸长时取+，过度压缩时取-。

本发明的优点是当人体的姿态改变时，服装的姿态实时地随之改变，从而实现各种着装姿态下的人-衣姿态同步。

附图说明

图1为三维虚拟服装快速姿态同步方法示意图；

图2为初步同步效果图；

图3为初步同步示意图；

图4为穿透补偿示意图；

图5为悬垂与平滑示意图；

图6为姿态同步侧面效果图；

图7为姿态同步正面效果图；

图8为姿态同步背面效果图。

具体实施方式

下面结合实施例来具体说明本发明。

实施例

一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，如图1所示，为三维虚拟服装快速姿态同步方法示意图，具体步骤为：

第一步：分别建立由三角形集合构成的三维人体模型以及虚拟服装模型，虚拟服装模型设于三维人体模型外侧，三维人体模型的三角形的密度为10000个/人，虚拟服装模型的三角形的密度为3000-4000个/件；

其中，三维人体模型的建立方法为通过三维人体扫描仪进行扫描，或者由美工师自行布线获得，或者将真人倒模，然后用数字笔在人体表面布线，计算机中同步生成三维人体模型。

虚拟服装模型的建立方法为将着装人体通过三维人体扫描仪进行扫描，或者由美工师自行布线，或者将真实服装版型通过数字化仪扫描为数字版型，再通过虚拟缝合和虚拟悬垂的方式制作为虚拟服装，还可以通过服装的多张照片或者视频拟合。

第二步：第一步建立的虚拟服装模型中每个三角形的顶点为一个质点，三角形的三个边代表一根非线性弹簧，其中第i个顶点P_i的受力方程为：

$f=f_i+d_i=-k\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)-k_d\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，f为第i个顶点P_i所受内力的合力；f_i和d_i分别为作用在第i个顶点P_i上的弹性力和粘性力；i＝0，1，2，…n；n为三角形的顶点总数；k为弹簧的虎克常数；k_d为弹簧的粘性系数；C(x)为与变形能相关的条件函数，C(x)＝|x|-L；x为弹簧的瞬时长度；L为弹簧的原长；

第三步：姿态同步：

步骤3.1、以S_b表示三维人体模型的表面，以S_g表示虚拟服装模型的表面，计算在默认姿势下S_g与三维人体模型间的最短距离矢量集{D}，即对于{P|P∈S_g}，找出三维人体模型上的一点Q，满足：

$\left\{Q\right|Q\∈S_b,Q=\underset{Q_i}{\arg \min }\left(\right|{\mathrm{PQ}}_i\left|\right)\},$ i＝0，1，2，...，m；(2)

其中m为三维人体模型的三角形顶点总数，即Q点为S_b上到P点距离最近的点；

步骤3.2、获得三维人体模型的动画，将动画按照每秒25帧的速度播放，对于每个三维人体模型的新姿态，如图2所示，为初步同步效果图，图3为初步同步示意图，计算S_b上的顶点的初步同步位置P_new如下：

P_new＝Q′+R·|PQ|(3)

其中Q′是Q点在新姿态下的位置，R是旋转矩阵，代表Q点的法向从n_old到n_new的旋转，计算如下：令旋转角θ＝arccos(n_old·n_new)，r＝n_old×n_new，则

$R=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2(1-c)+c& \mathrm{yx}(1-c)+\mathrm{zs}& \mathrm{xz}(1-c)-\mathrm{ys}& 0\\ \mathrm{xy}(1-c)-\mathrm{zs}& y^2(1-c)+c& \mathrm{yz}(1-c)+\mathrm{xs}& 0\\ \mathrm{xz}(1-c)+\mathrm{ys}& \mathrm{yz}(1-c)-\mathrm{xs}& z^2(1-c)+c& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中c＝cosθ，s＝sinθ；x，y，z分别为旋转向量r的x，y，z分量坐标值，此时新姿态下的虚拟服装模型的表面记为S_g-new，将新姿态下的三维人体模型的表面记为S_b-new；

人体的三维动画获得方法有很多，常见的是由美工师逐帧设置，或者通过将运动捕捉设备捕捉到的人体关键点变化过程录制为骨架驱动型动画文件，读入到三维人体模型中，即可得到人体的动画。

对于人体跑动而言，可由上述动画录制方法获得25个不同的跑动姿态，对于本发明所涉及的姿态同步而言，可在i/25秒时取第i个姿态即为上述三维人体模型的新姿态。

步骤3.3、对于{P_new|P_new∈S_g-new}，寻找三维人体模型上的一点Q_new，满足：

$\left\{Q_{\mathrm{new}}\right|Q_{\mathrm{new}}\∈S_{b-\mathrm{new}},Q_{\mathrm{new}}=\underset{Q_{i-\mathrm{new}}}{\arg \min }\left(\right|P_{\mathrm{new}}{Q}_{i-\mathrm{ne}w}\left|\right)\},$ i＝0，1，2，...，m，(5)

其中，m为S_b-new上的三角形顶点总数，即Q_new为S_b-new上距离P_new最近的点；当P_new位于S_b内部，即发生穿透时，将P_new沿着靠近n的方向旋转90度，即：令 $d=\frac{P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n}{|P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n|},$ 则P′_new＝R′·P_new，R′为旋转矩阵：

$R^{\′}=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2& \mathrm{yx}+z& \mathrm{xz}-y& 0\\ \mathrm{xy}-z& y^2& \mathrm{yz}+x& 0\\ \mathrm{xz}+y& \mathrm{yz}-x& z^2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中x，y，z分别为旋转向量d的x，y，z分量坐标值；如图4所示，为穿透补偿示意图；

步骤3.4、将虚拟服装模型进行悬垂以及平滑处理：

计算在已知时间t₀下位置x(t₀)和速度

时，求解时刻t₀+Δt时的位置x(t₀+Δt)和速度

，Δt为时间步长，即求解下述微分方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ \stackrel{\·}{x}\end{array}\right)=\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ M^{-1}f(x,v)\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，M为服装模型质量矩阵，f为服装模型的合力矩阵，x₀＝x(t₀)，v₀＝v(t₀)，位移增量Δx＝x(t₀+Δt)和速度增量Δv＝v(t₀+Δt)-v(t₀)，对上述微分方程采用一阶向后欧拉积分：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δv}\end{array}\right)=\mathrm{\Δt}\left(\begin{array}{c}{v}_0+\mathrm{\Δv}\\ M^{-1}f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})\end{array}\right)---\left(8\right)$

对于式(8)所给出的非线性方程，将f以泰勒级数方式展开得到其一阶近似：

$f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})=f_0+\frac{\∂f}{\∂x}\mathrm{\Δx}+\frac{\∂f}{\∂v}\mathrm{\Δv}---\left(9\right)$

将(9)式代入(8)式整理可得：

$(I-\mathrm{\Δt}{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂v}-\mathrm{\Δ}{t}^2{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂x})\mathrm{\Δv}=\mathrm{\Δt}{M}^{-1}(f_0+\mathrm{\Δt}\frac{\∂f}{\∂x}{v}_0)---\left(10\right)$

Δx＝Δt(v₀+Δv)(11)

其中，I为单位阵，采用共轭梯度法首先求解式(10)中的f₀，以及

从而得到Δv，然后更新x和v，即可得到服装在时刻t₀+Δt时的位置和速度，这个位置即为该边上两个顶点经悬垂处理后的位置，在求解过程中，初始速度v₀为0，初始位置x₀即为步骤3.3完成后的位置；

若在一个时间步长Δt过后，|x₀(t+Δt)-x₁(t+Δt)|＞ε|x₀(t)-x₁(t)|，ε_a＝1％，ε_a为允许应变的阈值，采用速度过滤的方法进行纠正如下：

在时刻t时，用欧拉积分预先计算Δt后三角形顶点的位置：

x₀(t+Δt)＝x₀(t)+v₀(t)·Δt(12)

x₁(t+Δt)＝x₁(t)+v₁(t)·Δt    (13)

其中x₀和x₁分别是三角形一条边上两个顶点的位置，在时刻t+Δt时，如果应变 $\mathrm{\ϵ}=\frac{|x_0(t+\mathrm{\Δt})-x_1(t+\mathrm{\Δt})|}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}>1\%,$ 则这两个三角形顶点的速度在t时刻应被调节如下：

$v_0^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_0\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(14\right)$

$v_1^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_1\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(15\right)$

其中x₀ ^new(t+Δt)和x₁ ^new(t+Δt)是满足ε＝1％时的新位置，这个位置即为该边上两个顶点经平滑处理后的位置， $x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_0\left(t\right)+\frac{x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ $x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_1\left(t\right)+\frac{x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)}{|x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ 其中的±在过度伸长时取+，过度压缩时取-，如图5所示，为悬垂与平滑示意图。

如图6所示，为姿态同步侧面效果图；图7为姿态同步正面效果图；图8为姿态同步背面效果图。当人体的姿态改变时，服装的姿态实时地随之改变，从而实现各种着装姿态下的人-衣姿态同步。

Claims (1)

1、一种三维虚拟服装快速姿态同步方法，其特征在于，具体步骤为：

第一步：分别建立由三角形集合构成的三维人体模型以及虚拟服装模型，虚拟服装模型设于三维人体模型外侧，三维人体模型的三角形的密度为10000个/人，虚拟服装模型的三角形的密度为3000-4000个/件；

第二步：第一步建立的虚拟服装模型中每个三角形的顶点为一个质点，三角形的三个边代表一根非线性弹簧，其中第i个顶点P_i的受力方程为：

$f=f_i+d_i=-k\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)-k_d\frac{\∂C\left(x\right)}{\∂x_i}C\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，f为第i个顶点P_i所受内力的合力；f_i和d_i分别为作用在第i个顶点P_i上的弹性力和粘性力；i＝0，1，2，…n；n为三角形的顶点总数；k为弹簧的虎克常数；k_d为弹簧的粘性系数；C(x)为与变形能相关的条件函数，C(x)＝|x|-L；x为弹簧的瞬时长度；L为弹簧的原长；

第三步：姿态同步：

步骤3.1、以S_b表示三维人体模型的表面，以S_g表示虚拟服装模型的表面，计算在默认姿势下S_g与三维人体模型间的最短距离矢量集{D}，即对于{P|P∈S_g}，找出三维人体模型上的一点Q，满足：

$\left\{Q\right|Q\∈S_b,Q=\underset{Q_i}{\arg \min }\left(\right|{\mathrm{PQ}}_i\left|\right)\},i=\mathrm{0,1,2},...,m;---\left(2\right)$

其中m为三维人体模型的三角形顶点总数，即Q点为S_b上到P点距离最近的点；

步骤3.2、获得三维人体模型的动画，将动画按照每秒25帧的速度播放，对于每个三维人体模型的新姿态，计算S_b上的顶点的初步同步位置P_new如下：

P_new＝Q′+R·|PQ|    (3)

其中Q′是Q点在新姿态下的位置，R是旋转矩阵，代表Q点的法向从n_old到n_new的旋转，计算如下：令旋转角θ＝arccos(n_old·n_new)，r＝n_old×n_new，则

$R=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2(1-c)+c& \mathrm{yx}(1-c)+\mathrm{zs}& \mathrm{xz}(1-c)-\mathrm{ys}& 0\\ \mathrm{xy}(1-c)-\mathrm{zs}& y^2(1-c)+c& \mathrm{yz}(1-c)+\mathrm{xs}& 0\\ \mathrm{xz}(1-c)+\mathrm{ys}& \mathrm{yz}(1-c)-\mathrm{xs}& z^2(1-c)+c& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中c＝cosθ，s＝sinθ；x，y，z分别为旋转向量r的x，y，z分量坐标值，此时新姿态下的虚拟服装模型的表面记为S_g-new，将新姿态下的三维人体模型的表面记为S_b-new；

步骤3.3、对于{P_new|P_new∈S_g-new}，寻找三维人体模型上的一点Q_new，满足：

$\left\{Q_{\mathrm{new}}\right|Q_{\mathrm{new}}\∈S_{b-\mathrm{new}},Q_{\mathrm{new}}=\underset{Q_{i-\mathrm{new}}}{\arg \min }\left(\right|P_{\mathrm{new}}{Q}_{i-\mathrm{new}}\left|\right)\},i=\mathrm{0,1,2},...,m,---\left(5\right)$

其中，m为S_b-new上的三角形顶点总数，即Q_new为S_b-new上距离P_new最近的点；

当P_new位于S_b内部，即发生穿透时，将P_new沿着靠近n的方向旋转90度，即：令 $d=\frac{P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n}{|P_{\mathrm{new}}{Q}_{\mathrm{new}}\×n|},$ 则P′_new＝R′·P_new，R′为旋转矩阵：

$R^{\′}=\left[\begin{array}{cccc}{x}^2& \mathrm{yx}+z& \mathrm{xz}-y& 0\\ \mathrm{xy}-z& y^2& \mathrm{yz}+x& 0\\ \mathrm{xz}+y& \mathrm{yz}-x& z^2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中x，y，z分别为旋转向量d的x，y，z分量坐标值；

步骤3.4、将虚拟服装模型进行悬垂以及平滑处理：

计算在已知时间t₀下位置x(t₀)和速度

时，求解时刻t₀+Δt时的位置x(t₀+Δt)和速度

Δt为时间步长，即求解下述微分方程：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ \·\\ x\end{array}\right)=\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\begin{array}{c}x\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}v\\ M^{-1}f(x,v)\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，M为服装模型质量矩阵，f为服装模型的合力矩阵，x₀＝x(t₀)，v₀＝v(t₀)，位移增量Δx＝x(t₀+Δt)和速度增量Δv＝v(t₀+Δt)-v(t₀)，对上述微分方程采用一阶向后欧拉积分：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}\\ \mathrm{\Δv}\end{array}\right)=\mathrm{\Δt}\left(\begin{array}{c}{v}_0+\mathrm{\Δv}\\ M^{-1}f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})\end{array}\right)---\left(8\right)$

对于式(8)所给出的非线性方程，将f以泰勒级数方式展开得到其一阶近似：

$f(x_0+\mathrm{\Δx},v_0+\mathrm{\Δv})=f_0+\frac{\∂f}{\∂x}\mathrm{\Δx}+\frac{\∂f}{\∂v}\mathrm{\Δv}---\left(9\right)$

将(9)式代入(8)式整理可得：

$(I-\mathrm{\Δt}{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂v}-\mathrm{\Δ}{t}^2{M}^{-1}\frac{\∂f}{\∂x})\mathrm{\Δv}=\mathrm{\Δt}{M}^{-1}(f_0+\mathrm{\Δt}\frac{\∂f}{\∂x}{v}_0)---\left(10\right)$

Δx＝Δt(v₀+Δv)    (11)

其中，I为单位阵，采用共轭梯度法首先求解式(10)中的f₀，

以及

从而得到Δv，然后更新x和v，即可得到服装在时刻t₀+Δt时的位置和速度，这个位置即为该边上两个顶点经悬垂处理后的位置，在求解过程中，初始速度v₀为0，初始位置x₀即为步骤3.3完成后的位置；

若在一个时间步长Δt过后，|x₀(t+Δt)-x₁(t+Δt)|＞ε|x₀(t)-x₁(t)|，ε_a＝1％，ε_a为允许应变的阈值，采用速度过滤的方法进行纠正如下：

在时刻t时，用欧拉积分预先计算Δt后三角形顶点的位置：

x₀(t+Δt)＝x₀(t)+v₀(t)·Δt    (12)

x₁(t+Δt)＝x₁(t)+v₁(t)·Δt    (13)

其中x₀和x₁分别是三角形一条边上两个顶点的位置，在时刻t+Δt时，如果应变 $\mathrm{\ϵ}=\frac{|x_0(t+\mathrm{\Δt})-x_1(t+\mathrm{\Δt})|}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}>1\%,$ 则这两个三角形顶点的速度在t时刻应被调节如下：

$v_0^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_0\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(14\right)$

$v_1^{\mathrm{new}}\left(t\right)=[x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})-x_1\left(t\right)]/\mathrm{\Δt}---\left(15\right)$

其中x₀ ^new(t+Δt)和x₁ ^new(t+Δt)是满足ε＝1％时的新位置，这个位置即为该边上两个顶点经平滑处理后的位置， $x_0^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_0\left(t\right)+\frac{x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)}{|x_0\left(t\right)-x_1\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ $x_1^{\mathrm{new}}(t+\mathrm{\Δt})=x_1\left(t\right)+\frac{x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)}{|x_1\left(t\right)-x_0\left(t\right)|}(1\±{\mathrm{\ϵ}}_s),$ 其中的±在过度伸长时取+，过度压缩时取-。

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