CN101609726B - 一种碳纳米管导线的工艺误差估计方法 - Google Patents

Abstract

一种碳纳米管导线的工艺误差快速估计方法属于碳纳米管导线应用领域，其特征在于，是在保证误差分析精度的前提下，利用泰勒级数对电路参数进行多次近似展开，并通过代入化简，将碳纳米管导线受工艺误差影响的各项性能，利用概率密度函数的形式进行表示。相对于传统的Spice工具仿真算法，本发明的创新点在于，可大大缩减运算时间，可同时考虑多个工艺误差变量发生变化时对电路性能所引起的综合影响，可给出碳纳米管导线性能受到工艺误差影响所可能产生的各种情况，并给出相应概率，为设计者提供了有力的分析工具与参考指标。

Description

一种碳纳米管导线的工艺误差估计方法

技术领域

本发明涉及目前研究碳纳米管导线在电路上的应用，通过提出碳纳米管导线快速估计算法，可快速地估计出工艺误差对碳纳米管导线性能的影响，为碳纳米管大规模工业化应用提供重要的评价准则。

背景技术

信息产业的发展离不开集成电路的设计和生产。对于纳米时代的集成电路设计者来说，非常希望能够在集成电路的设计初期，而非制造完成后对所设计的集成电路进行验证，并得到准确的验证结果。但是，随着硅工艺集成电路的尺寸不断降低，摩尔定律的前进步伐越来越缓慢，也出现了越来越多很难解决的问题。为此，出现了很多新材料和新工艺。最新的半导体工艺发展路标(The International Technology Roadmapfor Semiconductors：ITRS 2007)报告指出了碳纳米管导线就是一种新的可替代硅工艺中使用的互连线——铜导线的材料。

碳纳米管(Carbon Nano Tube，简称CNT)是由日本科学家在1991年发现的。其结构就是一张碳元素组成的平面卷成的管子。在卷制过程中，根据卷制层数的不同，可分为单层碳纳米管(SWCNT)与多层碳纳米管(MWCNT)两种，如图1所示。此外，根据卷制方向(即chirality)的不同，又可分为金属特性碳纳米管(即metallic CNT)，与半导体特性碳纳米管(即semi-conducting CNT)，如图2所示。在实际应用中，往往将多根碳纳米管导线相并联，作为线路的传输导线。由多根碳纳米管导线并联组成的集合又被称为碳纳米管集束，如图3所示。

近年来，碳纳米管导线以其优异的机械、热学和电学特性，正日益受到电路设计者的青睐，并在IBM、斯坦福大学等众多企业、高校及研究机构的研发推动下，作为替代铜导线的新型互联线材料，逐渐走向大规模工业化应用。相对于传统的铜导线技术来说，碳纳米管的独特性能，使得铜导线所面临的许多问题不复存在，主要表现在：

1)具有与铜导线明显不同的电特征，载流子的传输是一维的，意味着载流子散射的相空间减小；

2)弹道传输特性，使得电阻几乎不存在温度依赖性，并使相应功耗降低；

3)碳纳米原子的所有化学键完整，无需像硅表面由于存在悬挂键而需化学钝化，这意味着碳纳米管器件不必一定使用二氧化硅(SiO²)作为绝缘体，而是可以使用其他高介质常数和晶体的绝缘体进行三维结构的制作；

4)强共价键使碳纳米具有机械和热稳定性及抗电迁移性，可以承受高达10⁹A/cm²的电流密度；

5)有源器件(晶体管)和互连可以分别采用半导体性和金属性碳纳米管来制作；

6)半导体性碳纳米管的迁移率比其他半导体材料高25％，比硅高75％，有望促使碳纳米管在从计算机芯片到生物传感器的各类应用中取代传统半导体材料。

综上所述，碳纳米管导线具备优异的导电性能、温度性能以及机械性能，使其成为目前最有可能解决铜导线由于工艺尺寸减小所引起的延时、功耗、温度等各类问题的重要方案。而国际电子信息网站EE TIMES也曾宣称，碳纳米管导线与三维芯片设计是目前线路设计最重要的两个发展方向，也是最有可能保证摩尔定律发展趋势的重要解决方案。

然而，与铜导线一样，碳纳米管导线也会受到工艺误差的影响。所谓工艺误差，是指在工业化应用过程中，由于导线直径、线间距等重要工艺参数的实际值，与理论值往往存在一定偏差，从而使得导线的实际表征性能与预期性能不符，进而使得整个电路的工作频率、温度参数等性能产生偏差，严重情况下，甚至会由于工艺误差引起的延时误差，导致电路误翻转，使整个设计系统的性能发生崩溃。

与铜导线相比，碳纳米管导线涉及的工艺参数种类更为繁多，碳纳米管导线不够成熟的制造工艺使其工艺误差的波动范围也较大，从而，碳纳米管导线受工艺误差影响的程度往往相较铜导线更为严重。

故而，研究碳纳米管导线受工艺误差的影响，已成为保证碳纳米管导线工业化应用的重要课题。在过去的碳纳米管导线工艺误差研究中，多采用基于Spice仿真工具的分析方法。其分析步骤大致如下：首先，估计某个误差变量的最大可能误差，随后，将该值代入Spice仿真工具进行误差分析，得到最坏情况下的碳纳米管导线性能受损情况，最终，通过将受损结果与预期性能进行比较，估计得到应留出的设计余量上限。该方法的弊端主要在于以下三点：

1)仅仅提供了最坏情况下的分析结果，由此而定的设计方案往往会造成设计性能上的浪费。

2)每次只能估计一个误差变量变化时对导线性能的影响，无法给出多个参数同时变化时所产生的综合性影响，不利于设计者对电路进行综合性规划。

3)仿真时间较长，尤其基于Spice工具的在大规模及超大规模电路仿真中，将占据设计者大量的仿真时间。

发明内容

本发明的目的在于提出一种快速估计碳纳米管导线性能受工艺误差影响的计算方法，相对传统估计手段，可在大量减少仿真时间的同时，提供更为综合全面的参考信息。本发明不仅综合考虑了各项误差变量同时变化时对导线性能所产生的影响，还可在给定误差变量波动范围的前提下，提供各种可能出现的导线性能受影响情况，并给出相应的概率，从而为设计者提供更为全面准确的参考依据。

本发明的特征在于，其所述方法是在计算机中依次按下述步骤实现的：

步骤(1)，计算机初始化

定义下述工艺参数：

P_m，一个碳纳米管集束中金属性碳纳米管占该碳纳米管集束内所有碳纳米管数的比例，下标m为该碳纳米管集束的序号，下同，

S_t，一个碳纳米管集束中，相邻碳纳米管在相邻侧壁间的最短距离，下标t表示该最短距离的序号，

d_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管的直径，下标n表示各碳纳米管的序号，下同，

R_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管的接触电阻，

λ_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管导线的电子自由程，

h_m，一个碳纳米管集束靠近地面的侧壁与地之间的最短距离，

W_m，一个碳纳米管集束的宽度，

H_m，一个碳纳米管集束的高度，

定义所述工艺参数的误差变量及其设定范围3σ：

ΔP_m，不同的碳纳米管集束中，所述P_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔS_t，不同的碳纳米管集束中，所述S_t的差别，3σ的范围设为23％，

Δintra d_n，同一的碳纳米管集束中，所述d_n的差别，3σ的范围设为4.4％，

Δinter d_n，不同的碳纳米管集束中，所述d_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δintra R_n，同一的碳纳米管集束中，所述R_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δinter R_n，不同的碳纳米管集束中，所述R_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δλ_n，不同的碳纳米管集束中，所述λ_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δh_m，不同的碳纳米管集束中，所述h_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔW_m，不同的碳纳米管集束中，所述W_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔH_m，不同的碳纳米管集束中，所述H_m的差别，3σ的范围设为32％，

所述3σ为工艺误差概率分布的正态曲线的均值正负3σ范围中覆盖的面积，

步骤(2)，建立碳纳米管的导线模型，据此确定碳纳米管导线的电阻、电容以及电感的电路表达式

步骤(2.1)，建立碳纳米管集束的电阻模型

当偏置电压V_bias≤0.1V时，碳纳米管导线的电阻R_low为：

R_low＝R_i+R_n if l_b≤λ_ap

R_low＝R_o+R_n if l_b＞λ_ap

其中，l_b表示碳纳米管导线长度，为已知值，其中下标b为碳纳米管集束bundle的缩写，下同，λ_ap表示碳纳米管导线的电子平均自由程，为已知值，R_i表示碳纳米管的本征电阻值，

$R_i=\frac{\mathrm{\ρ}}{{4e}^2}\≈6.5\mathrm{k\Ω}$

R_n为接触电阻，

R_n＝D_rnR_n(nom)if 1.0≤d_n≤2.0nm

R_n＝R_n(nom)if d_n＞2.0nm

其中，R_n(nom)≈2kΩ，D_rn表示随着所述d_n减小而使所述R_n增大的比例，D_rn≈1.08，

R_o为欧姆电阻，

$R_o=\frac{h}{{4e}^2}\frac{l_b}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ap}}}$

其中，ρ为普朗克常数，e为电子的电量，

当偏置电压V_bias＞0.1V时，碳纳米管导线的电阻R_high为：

$R_{\mathrm{high}}=R_{\mathrm{low}}+\frac{V_b}{I_o}$

其中，I_o为单个碳纳米管导线中所能通过的最大电流，在20～25μA中取值，

碳纳米管导线的总电阻R_b为：

$R_b=\frac{R_{\mathrm{low}}}{N_b\·P_m}$ V_bias≤0.1V时

$R_b=\frac{R_{\mathrm{high}}}{N_b\·P_m}$ V_bias＞0.1V时

其中，N为一个碳纳米管集束中碳纳米管导线的个数，NP_m为一个碳纳米管集束中金属性碳纳米管导线的个数，碳纳米管导线上的最大压降V_max为：

$V_{\max }=2\sqrt{{\mathrm{VB}}^2-4\mathrm{VDD}\×R_{\mathrm{low}}\×I_o}-\mathrm{VB}$

其中，VB＝R_low×I_o+N_b×P_m×RTR×I_o-VDD

其中，VDD为片上的电源电压，RTR为电源的等效电阻，

步骤(2.2)，确定碳纳米管集束的电容模型

所述碳纳米管集束的电容为C_b：

$C_b=\frac{1}{\frac{1}{C_e^b}+\frac{1}{C_e^b}}$

其中，

为碳纳米管集束的量子电容，

$C_q^b=4C_q\·N_b\·P_m$

C_q为碳纳米管导线的量子电容，

$C_q=\frac{{2e}^2}{\mathrm{\ρ}{v}_F}\≈1.0\×{10}^{-8}F/\mathrm{\μm}=100\mathrm{aF}/\mathrm{\μm}$

其中，v_F表示费米速率，

为碳纳米管集束的电磁电容，

$C_e^b=2C_{\mathrm{en}}+\frac{N_w-2}{2}{C}_{\mathrm{ef}}+\frac{N_h-2}{2}{C}_{\mathrm{en}}$

其中，N_w，N_h分别代表该碳纳米管集束的横向、纵向上排布的碳纳米管导线的根数，C_en为强势电磁电容，C_ef为弱势电磁电容：

$C_{\mathrm{en}}=\frac{2\mathrm{\πe}}{\ln \left(\frac{W_b}{d_m}\right)},$ $C_{\mathrm{ef}}=\frac{2\mathrm{\πe}}{\ln \left(\frac{W_b+S}{d_m}\right)}$

其中，d_m为一个碳纳米管集束中所有碳纳米管导线直径的平均值，W_b表示碳纳米管集束的宽度，而S则表示相邻集束的相邻侧壁间的最短距离，

步骤(2.3)，确定碳纳米管集束的电感模型

碳纳米管集束的电感L_b为：

L_b＝L_K+L_M

L_K为碳纳米管导线的动态电感，

$L_K=\frac{h}{2e^2{v}_F}\≈1.6\×{10}^{-8}H/\mathrm{\μm}=16\mathrm{nH}/\mathrm{\μm}$

L_M为碳纳米管导线的量子电感，

$L_M=\frac{\mathrm{\μ}}{2\mathrm{\π}}{\cosh }^{-1}\left(\frac{2h}{d}\right)\≈\frac{\mathrm{\μ}}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{h}{d}\right)$

其中，h为碳纳米管导线的中心轴与地面的垂直距离，

步骤(3)，提取电阻的特征参数

把所述电路个模型的多项式表达形式转换为由误差变量组成的线性表达式：

R_b＝R_b(nom)+a₁ΔP_m+a₁ΔS_t+a₃Δd_n+a₄ΔW_m+a₅ΔH_m

C_b＝C_b(nom)+b₁ΔP_m+b₂ΔS_t+b₃Δd_n+b₄ΔW_m+b₅ΔH_m+b₆Δy_m

L_b＝L_b(nom)+c₁ΔP_m+c₂ΔS_t+c₃Δd_n+c₄ΔW_m+c₅ΔH_m+c₆Δy_m

其中，R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)分别代表在不变误差数值下R_b、C_b、L_b的理论值，

各个误差变量的偏微分参数计算公式为：

$a_1=\frac{{\∂R}_b}{\∂P_m},$ $a_2=\frac{{\∂R}_b}{\∂S_t},$ $a_3=\frac{\∂R_b}{\∂d_t},$ $a_4=\frac{\∂R_b}{\∂w_b},$ $a_5=\frac{\∂R_b}{\∂h_b}$

$b_1=\frac{\∂C_b}{\∂P_m},$ $b_2=\frac{\∂C_b}{\∂S_t},$ $b_3=\frac{\∂C_b}{\∂d_t},$ $b_4=\frac{\∂C_b}{\∂w_b},$ $b_5=\frac{{\∂C}_b}{{\∂h}_b},$ $b_6=\frac{\∂C_b}{\∂h_t}$

$c_1=\frac{\∂L_b}{\∂P_m},$ $c_2=\frac{\∂L_b}{\∂S_t},$ $c_3=\frac{\∂L_b}{\∂d_t},$ $c_4=\frac{\∂L_b}{\∂w_b},$ $c_5=\frac{\∂L_b}{\∂h_b},$ $c_6=\frac{\∂L_b}{\∂h_t}$

其中，

$\frac{\∂C_b}{\∂X}=\frac{\∂}{\∂X}\left(\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}\right)=\frac{{C_2}^2}{{(C_1+C_2)}^2}\·\frac{{\∂C}_1}{\∂X}+\frac{{C_1}^2}{{(C_1+C_2)}^2}\·\frac{{\∂C}_2}{\∂X}$

X泛指各误差变量P_m，或S_t，或d_n，或R_n，或λ_n，或h_m，或W_m，或H_m，

步骤(4)，建立二阶矩模型

对于由三条碳纳米管集束所组成的串并联电路而言，其而结局的误差变量线性表达式模型为：

$m_2^i=m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}^i+A_1^i\·{\mathrm{\ΔP}}_m+A_2^i\·{\mathrm{\ΔS}}_t+A_3^i\·{\mathrm{\Δd}}_n+A_4^i\·{\mathrm{\ΔW}}_m+A_5^i\·{\mathrm{\ΔH}}_m+A_6^i\·{\mathrm{\Δh}}_m$

其中，

为所述

的常量值，通过把所述R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)以及

代入各项二阶矩模型的计算表达式中得到，将其计算公式记作函数F：

m_2(nom)＝F(R_i(nom)，C_i(nom)，L_i(nom)，m_i(nom))

       ＝F₁(R_i(nom)，C_i(nom)，m_i(nom))+F₂(C_i(nom)，L_i(nom))

误差变量系数A_j(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数F表达式计算所得，

为所述由三条碳纳米管集束所组成的串并联电路的一阶矩模型，表示为：

$m_1^i=m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^i+k_1^i\·{\mathrm{\ΔP}}_m+k_2^i\·{\mathrm{\ΔS}}_t+k_3^i\·{\mathrm{\Δd}}_n+k_4^i\·{\mathrm{\ΔW}}_m+k_5^i\·{\mathrm{\ΔH}}_m+k_6^i\·{\mathrm{\Δh}}_m$

$+\underset{X_i\∈S,Y_j\∈T,n}{\mathrm{\Σ}}{k}_n^i\left(X_i{Y}_j\right)$

S＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m}

T＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m，Δh_m}

为所述

的常量值，通过把R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)代入各条支路的一阶矩模型表达式计算得到，将其计算公式记作函数f：

m_1(nom)＝f(R_i(nom)，C_i(nom))

误差变量系数

(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数f表达式计算所得，

步骤(5)，基于D2M延时标准计算碳纳米管集束延时的分布函数PDFs

碳纳米管集束延时的平均值E(D2M)为：

$E\left(D2M\right)=\ln \·\frac{{\left(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}\right)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}}$

碳纳米管集束延时的方差Stdev(D2M)为：

$\mathrm{Stdev}\left(D2M\right)=\ln 2\·\frac{{\left(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}\right)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}}\sqrt{S_1^2\·{\mathrm{\σ}}_1^2+S_2^2\·{\mathrm{\σ}}_2^2+S_3^2\·{\mathrm{\σ}}_3^2+S_4^2\·{\mathrm{\σ}}_4^2+S_5^2\·{\mathrm{\σ}}_5^2+S_6^2\·{\mathrm{\σ}}_6^2}$

其中，S_i(j＝1～6)可以按照下式计算得到：

$S_j=\frac{{2k}_j}{m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}}-\frac{A_j}{{2m}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}$

P_m，S_t，d_n，W_m，H_m以及y_m是互相独立的高斯变量，σ₁，σ₂，σ₃，σ₄，σ₅，σ₆分别为其方差，

根据已得的平均值与方差，代入到高斯变量的概率分布公式，即可得到碳纳米管集束导线延时的概率分布函数PDFs，如下式所示：

$\mathrm{PDFs}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\mathrm{Stdev}\left(D2M\right)}{e}^{-\frac{{(x-E\left(D2M\right))}^2}{2\mathrm{Stdev}{\left(D2M\right)}^2}}.$

相对于传统的基于Spice工具的分析方法而言，本发明不仅可为电路设计者提供更为全面的参考依据，更大大缩减了运算时间，并可同时考虑多个参数发生误差变化对电路性能所引起的综合影响，更为贴近实际的工艺流程情况。

附图说明

图1是碳纳米管导线结构示意图，其中，图1.1为碳元素平铺层，图1.2为单层碳纳米管导线示意图，图1.3为多层碳纳米管导线示意图。

图2是按导电性能划分的单层碳纳米管导线结构示意图，其中，图2.1为金属特性的单层碳纳米管导线，图2.2为半导体特性的单层碳纳米管导线。

图3是碳纳米管导线集束的结构示意图。

图4是本发明方法所依据的流程示意图。

图5是本发明所依据的碳纳米管导线RLC模型。

图6是碳纳米管集束并联示意图。

图7是本发明中说明算法步骤时采用的碳纳米管导线线路模型。

图8是本发明中计算电路延时的线路模型。

图9是本发明中计算延时的实验结果与Hpice蒙特卡洛法仿真结果比较，其中，图9.1为长导线(Global Interconnet)的仿真结果，图9.2为短导线(Local Interconnect)的仿真结果。图9.1与图9.2中的曲线

表示本发明的仿真结果，而条形图

表示Hspice蒙特卡洛法仿真结果。

图10是本发明中计算静态功耗的电路模型图。

具体实施方式

本发明提出的碳纳米管导线受工艺误差影响的快速估计方法，其流程图如图4所示，主要包括以下七个步骤：

1)确定9个主要工艺误差变量及其相应取值范围；

2)建立碳纳米管导线模型，确定电阻电容电感的电路表达式；

3)提取电路特征参数，通过泰勒多项式展开与化简，将电阻电感电容表达式转换为由误差变量组成的一阶线性表达式；

4)确定碳纳米管导线的阶矩模型(即moment模型)参数表达式；

5)根据步骤4)中的阶矩模型，计算碳纳米管导线的延时参数；

6)在上述5个步骤的基础上，建立碳纳米管导线的静态噪声误差分析模型，并给出相应表达式；

7)在上述步骤的基础上，建立碳纳米管导线的动态噪声误差分析模型，并给出相应表达式。

本发明提出的基于碳纳米管导线的工艺误差快速估计方法，是在保证误差分析精度的前提下，利用泰勒级数对电路参数进行多次近似展开，并通过代入化简，将碳纳米管导线受工艺误差影响的延时性能、静态噪声以及动态噪声性能，分别利用概率密度函数的形式进行表示。其作用在于，若已知工艺误差的类型及波动范围，本发明可在综合考虑所有工艺误差的前提下，给出碳纳米管导线的上述性能在实际情况中可能出现的各种情况，以及各项情况出现的概率。

本方法适用于各类采用碳纳米管导线的线路性能误差分析，尤其是针对采用碳纳米管导线的大规模及超大规模集成电路，可起到大幅度节约仿真时间的作用。

本发明提出的工艺误差快速估计算法主要分为以下几个步骤：

步骤一：确定工艺误差变量

首先，需要确定对碳纳米管导线性能可能产生影响的工艺误差变量种类及其波动范围，碳纳米管导线的误差变量主要包括：

在实际工艺中，工艺误差的概率分布往往呈现正态分布的形式。故而，在本发明中，将各误差变量定义为呈正态分布的高斯随机变量，其工艺误差的均值与方差需要根据实际的工艺制造结果给出。不妨假设各误差的方差为σ2，而其数学期望即为其均值。根据高斯变量的3σ特性准则(即正态曲线在其均值正负3σ范围中的覆盖面积，占整个曲线覆盖面积的99.7％)，本发明中以3σ的值作为衡量误差波动范围的标准。根据目前的碳纳米管导线制造工艺水平，本发明给出误差变量的参考波动范围如下表所示：

其中，符号“√”表示存在相关性，符号“--”表示不存在相关性。例如，对于碳纳米管导线的电阻来说，P_m会对其值产生影响，因而存在相关性，而H_m对其值不产生影响，因而不存在相关性。

在实际运用中，应根据实际设计方案的不同需求，参考实际的工艺制造流程，从以上参数中选择需要着重关注的工艺误差变量，并根据实际电路，确定实际的误差波动范围。在下文的说明中，不失一般性，选用了其中对导线性能影响最为严重的六个误差变量P_m，S_t，inter d_n(下文简写为d_n)，W_m，H_m以及y_m进行示例分析。上表中未被选取的其他误差变量，在下文计算中，皆作为常量值出现。

步骤二：建立碳纳米管导线的电路模型

在确定了误差变量的种类与波动范围的基础上，需要建立碳纳米管导线的电路模型，主要分为电阻、电容、电感三个部分：

1)电阻模型：

碳纳米管导线的电阻模型分为低偏置电压与高偏置电压两种情况。在低偏置电压的情况下，碳纳米管导线的电阻值为：

R_low＝R_i+R_n if l_b≤λ_ap

R_low＝R_o+R_n if l_b＞λ_ap

其中，l_b表示碳纳米管导线的长度，λ_ap表示碳纳米管导线的电子平均自由路径(MFP)。R_i表示碳纳米管的本征电阻值，其值为碳纳米管导线特性所决定的固定值，不随碳纳米管导线的直径、长度等参数发生改变，其计算公式为：

$R_i=\frac{\mathrm{\ρ}}{{4e}^2}\≈6.5\mathrm{k\Ω}$

其中，ρ为普朗克常数，e为电子的电量。

R_n表示接触电阻，由于碳纳米管导线无法直角拐弯，需要通过在两个互相垂直的碳纳米管导线交接处添加金属连接点来实现。而碳纳米管导线与金属连接点直接的不良接触特性导致额外电阻产生，记为R_n。

接触电阻R_n的表达式为：

R_n＝D_rnR_n(nom)if 1.0≤d_n≤2.0nm

R_n＝R_n(nom)if d_n＞2.0nm

其中，当碳纳米管导线直径d_n＞2.0nm时，R_n为恒定值，约为20kΩ，记为R_n(nom)，D_rn表示随着d_n减小R_n增大的比例，约为1.08。

R_o表示欧姆电阻，其计算公式如下所示：

$R_o=\frac{h}{{4e}^2}\frac{l_b}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{ap}}}$

而在高偏置电压的情况下(V_bias＞0.1V)，碳纳米管导线的电阻值与偏置电压值V_bias直接相关：

$R_{\mathrm{high}}=R_{\mathrm{low}}+\frac{V_{\mathrm{bias}}}{I_o}$

其中，I_o表示单个纳米管中可通过的最大电流，平均为20到25μA左右。

碳纳米管导线上的最大电压压降的表示式为：

$V_{\max }=2\sqrt{{\mathrm{VB}}^2-4\mathrm{VDD}\×R_{\mathrm{low}}\×I_o}-\mathrm{VB}$

其中，VB＝R_low×I_o+N_b×P_m×RTR×I_o-VDD

其中，VDD为片上的电源电压，RTR为电源的等效电阻，N_b为碳纳米管集束中碳纳米管导线个数，N_b与P_m的乘积表示碳纳米管集束中金属特性碳纳米管导线的数量。

碳纳米管集束的总电阻R_b即为集束中所有金属特性碳纳米管导线的并联值，在低偏置电压情况下：

$R_b=\frac{R_{\mathrm{low}}}{N_b\·P_m}$

在高偏置电压情况下：

$R_b=\frac{R_{\mathrm{high}}}{N_b\·P_m}$

2)电容模型

碳纳米管的电容主要由两部分组成，分别是：电磁电容，即electrostatic capacitance(C_e)，以及量子电容，即quantum capacitance(C_q)。

对于单根碳纳米管导线来说，其量子电容C_q的计算公式为：

$C_q=\frac{{2e}^2}{\mathrm{\ρ}{v}_F}\≈1.0\×{10}^{-8}F/\mathrm{\μm}=100\mathrm{aF}/\mathrm{\μm}$

其中，e表示电子电量，ρ为普朗克常数，v_F表示费米速率。由于每条碳纳米管导线中都含有四条等效传输通道，呈并联关系，故而，其实际的量子电容应为4C_q。

而对于碳纳米管集束而言，其量子电容

的计算公式为：

$C_q^b=4C_q\·N_b\·P_m$

其中，N_b表示碳纳米管集束中所含碳纳米管导线的个数，P_m表示金属特性碳纳米管导线占整个集束所有碳纳米管导线的比例，两者相乘，即表示金属性碳纳米管的个数。

对于单根碳纳米管导线而言，其电磁电容C_e的计算公式为：

$C_e=\frac{2\mathrm{\πe}}{\ln \left(\frac{h}{d}\right)}$

其中，h表示该碳纳米管导线的中心轴到地面的垂直距离，d则表示该碳纳米管导线直径。

而对于碳纳米管集束而言，其电磁电容

的计算则较为复杂。由于在碳纳米管集束中，单根碳纳米管导线的磁力作用线大多中止于周围的导线，尤其是对集束内部的碳纳米管导线来说，几乎全部磁力线都中止于其周围的导线。假设所有集束内的碳纳米管导线的电流传输能力完全相同，则所有导线在各垂直截面上都具有相同的电力势能，即所有中止于集束内部的磁力线对整个集束并不产生电磁电容。故而集束的电磁电容，仅与位于集束四周的碳纳米管导线对外产生的磁力线相关。根据电磁学原理，集束的电磁电容计算公式可表示为：

$C_e^b={2C}_{\mathrm{en}}+\frac{N_w-2}{2}{C}_{\mathrm{ef}}+\frac{N_h-2}{2}{C}_{\mathrm{en}}$

其中，N_w与N_f分别代表集束横向、纵向上排布的碳纳米管导线根数，C_en数值较大，记作强势电磁电容，C_ef数值较小，记作弱势电磁电容，其表达式分别如下：

$C_{\mathrm{en}}=\frac{2\mathrm{\πe}}{\ln \left(\frac{W_b}{d_m}\right)}$ $C_{\mathrm{ef}}=\frac{2\mathrm{\πe}}{\ln \left(\frac{W_b+S}{d_m}\right)}$

其中，d_m表示碳纳米管集束中所有碳纳米管导线直径的平均值，W_b表示碳纳米管集束的宽度，而S则表示相邻集束的相邻侧壁间的最短距离，如图6所示，在本文中暂不考虑S的工艺误差，故而将其定为常量值。

如图5所示，由于碳纳米管集束的电磁电容与量子电容为串联关系，故而碳纳米管集束的总电容应为：

$C_b=\frac{1}{\frac{1}{C_e^b}+\frac{1}{C_e^b}}$

3)电感模型

碳纳米管的电感主要由两部分组成，分别是：动态电感，即kinetic inductance(L_K)，以及量子电感，即quantum inductance(L_M)。

其中，引入动态电感的原因在于，碳纳米管导线中，运动电子无法及时的响应导线上电磁场方向的改变，为了描述碳纳米管导线的这一性能，引入了动态电感的概念。碳纳米管导线的动态电感L_K可由下式计算所得：

$L_K=\frac{h}{{2e}^2{v}_F}\≈1.6\×{10}^{-8}H/\mathrm{\μm}=16\mathrm{nH}/\mathrm{\μm}$

同样的，由于每条碳纳米管导线中都含有四条呈并联关系的等效传输通道，故而，其实际的动态电感应为L_K/4。

碳纳米管导线的量子电感计算公式为：

$L_M=\frac{\mathrm{\μ}}{2\mathrm{\π}}{\cosh }^{-1}\left(\frac{2h}{d}\right)\≈\frac{\mathrm{\μ}}{2\mathrm{\π}}\ln \left(\frac{h}{d}\right)$

故而，即可得到碳纳米管导线的总电感L_b，其表达式为：

L_b＝L_K+L_M

步骤三：提取电路特征参数

由步骤二中给定的碳纳米管导线的电路模型可知，其电阻、电容、电感皆由误差变量组成的多项式表达式构成，故而，利用泰勒级数针对各误差变量进行一次项展开，通过近似化简，将电路模型的多项式表达式形式转换为由误差变量组成的线性表达式的形式。

R_b＝R_b(nom)+a₁ΔP_m+a₂ΔS_t+a₃Δd_n+a₄ΔW_m+a₅ΔH_m

C_b＝C_n(nom)+b₁ΔP_m+b₂ΔS_t+b₃Δd_n+b₄ΔW_m+b₅ΔH_m+b₆Δy_m

L_b＝L_b(nom)+c₁ΔP_m+c₂ΔS_t+c₃Δd_n+c₄ΔW_m+c₅ΔH_m+c₆Δy_m

其中，R_b(nom)，C_b(nom)与L_b(nom)分别代表集束电阻、集束电容与集束电感的常量值，即当没有误差变量影响时，电阻、电容、电感所对应的理论值。而参数a_i，b_i与c_i则为泰勒展开过程中各误差变量的偏微分系数，表示当误差变量发生变化时，对电阻、电容、电感产生的影响，例如a₁，b₁与c₁参数，就表示当误差变量P_m发生变化时，对集束电阻、电容以及电感所产生的影响。此外，由于R_b不受误差变量h_t的影响，故而a₆为零。其他各误差变量的偏微分系数计算公式如下：

$a_1=\frac{{\∂R}_b}{\∂P_m},$ $a_2=\frac{{\∂R}_b}{\∂S_t},$ $a_3=\frac{\∂R_b}{\∂d_t},$ $a_4=\frac{\∂R_b}{\∂w_b},$ $a_5=\frac{\∂R_b}{\∂h_b}$

$b_1=\frac{\∂C_b}{\∂P_m},$ $b_2=\frac{\∂C_b}{\∂S_t},$ $b_3=\frac{\∂C_b}{\∂d_t},$ $b_4=\frac{\∂C_b}{\∂w_b},$ $b_5=\frac{\∂C_b}{\∂h_b},$ $b_6=\frac{\∂C_b}{\∂h_t}$

$c_1=\frac{\∂L_b}{\∂P_m},$ $c_2=\frac{\∂L_b}{\∂S_t},$ $c_3=\frac{\∂L_b}{\∂d_t},$ $c_4=\frac{\∂L_b}{\∂w_b},$ $c_5=\frac{\∂L_b}{\∂h_b},$ $c_6=\frac{{\∂L}_b}{\∂h_t}$

其中，集束电容的偏微分系数计算相对复杂，可以通过以下的简化计算得到。由于C_b可以通过

与

表示，故而C_b的误差变量的偏微分系数也可通过两者的偏微分系数运算而得：

$\frac{\∂C_b}{\∂X}=\frac{\∂}{\∂X}\left(\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}\right)=\frac{{C_2}^2}{{(C_1+C_2)}^2}\·\frac{\∂C_1}{\∂X}+\frac{{C_1}^2}{{(C_1+C_2)}^2}\·\frac{{\∂C}_2}{\∂X}$

上式中，

而X则泛指P_m，S_t，d_n，W_m，H_m以及y_m各误差变量。这样，只需计算出

与

的误差变量参数，就可计算出C_b的相应参数。

步骤四：建立阶矩模型

在铜导线性能研究中，为了快速而准确地估计信号在互连线网上的传输特性，往往通过计算线网中各点电压冲激响应的矩来进行。例如，RC线网设计中广泛应用的Elmore时延即是冲激响应的一阶矩。随着电路工作速度进一步提高，还应考虑分布电感的影响。分布电感使得传输的信号呈现波动特征，甚至产生振荡，仅用一阶矩无法描述互连线网的传输特性，故而引入二阶矩、三阶矩等高阶矩的概念。

同样的，在碳纳米管导线性能研究中，也可根据已有的碳纳米管导线RLC模型，套用阶矩模型来计算传输特性。下文将利用简单的电路模型示例，具体说明计算步骤。

步骤三中，通过泰勒展开与一次偏微分的近似化简，已得到由误差变量组成的电阻、电容、电感线性表达式。由于已假设误差变量为相互独立的高斯随机变量，而多个高斯随机变量的线性组合仍为高斯随机变量，故而，所得电阻、电容、电感也为呈高斯分布的随机变量。同样，利用泰勒级数展开与化简，将一阶矩、二阶矩模型近似表示为由电阻、电容、电感组成的线性表达式形式。套用高斯变量的特点可知，所得的阶矩模型也可看作新的高斯随机变量。下文将利用简单的电路模型示例，具体说明计算步骤。

图7所示为三条碳纳米管集束所组成的简单互联线网络，其中，R_i，L_i，C_i为电路参数，例如，R₁、L₁、C₁为第一条集束的电路参数，R₁为集束电阻，L₁为集束电感，C₁为集束对地的电容，每条集束的电路模型都可通过步骤二计算得到，并通过步骤三，将计算所得的电阻、电容、电感进一步化简为误差变量线性表达式的形式。下文将以图中所示的简单网络为例，说明如何计算阶矩模型，并将其转化为误差变量表达式的形式。

根据电路学原理可知，图7所示电路的一阶矩模型的表达式如下所示：

$m_1^1=R_1(C_1+C_2+C_3)$

$m_1^2=R_1(C_1+C_2+C_3)-R_2{C}_2$

$m_1^3=R_1(C_1+C_2+C_3)-R_3{C}_3$

其中，表示第i段电路的一阶矩，例如，

即表示第2段电路的一阶矩。

根据步骤三可知，碳纳米管导线的电阻、电容、电感都可写作误差变量线性表达式的形式，将RLC误差变量线性表达式模型代入到上式中，即可得到一阶矩的误差变量表达式：

$m_1^i=m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^i+k_1^i\·{\mathrm{\ΔP}}_m+k_2^i\·{\mathrm{\ΔS}}_t+k_3^i\·{\mathrm{\Δd}}_n+k_4^i\·{\mathrm{\ΔW}}_m+k_5^i\·{\mathrm{\ΔH}}_m+k_6^i\·{\mathrm{\Δh}}_m$

$+\underset{X_i\∈S,Y_j\∈T,n}{\mathrm{\Σ}}{k}_n^i\left(X_i{Y}_j\right)$

S＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m}

T＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m，Δh_m}

其中，k_n表示误差变量的高阶项参数。忽略误差变量的高阶小量，碳纳米管导线的阶矩模型即可表示为误差变量的线性形式：

m₁＝m_1(nom)+k₁·ΔP_m+k₂·ΔS_t+k₃·Δd_t+k₄·Δw_b+k₅·Δh_b+k₆·Δh_t

其中m_1(nom)表示m₁的常量值，即没有工艺误差存在时m₁的理论值，可通过将R_b(nom)与C_b(nom)代入一阶矩模型的表达式计算所得，将其计算公式记作函数f：

m_1(nom)＝f(R_i(nom)，C_i(nom))

例如，图7所示电路中，三段电路所对应的函数f的表达式分别如下所示：

$m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1=f^1(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

$=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2=f^2(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

$=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})-R_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}$

$m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3=f^3(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

$=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})-R_{3\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{3\left(\mathrm{nom}\right)}$

在此基础上，对于第i段电路的阶矩模型线性表达式来说，其误差变量系数

(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数f表达式计算所得：

$k_1^i=f^i(a_1^1,a_1^2,a_1^3,C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})+f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_1^1,b_1^2,b_1^3)$

$k_2^i=f^i(a_2^1,a_2^2,a_2^3,C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})+f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_2^1,b_2^2,b_2^3)$

$k_3^i=f^i(a_3^1,a_3^2,a_3^3,C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})+f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_3^1,b_3^2,b_3^3)$

$k_4^i=f^i(a_4^1,a_4^2,a_4^3,C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})+f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_4^1,b_4^2,b_4^3)$

$k_5^i=f^i(a_5^1,a_5^2,a_5^3,C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})+f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_5^1,b_5^2,b_5^3)$

$k_6^i=f^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_6^1,b_6^2,b_6^3)$

其中，变量i代表第i段电路，变量

代表第i段电路的电阻电容线性表达式中的偏微分系数，根据步骤三计算所得。

同样的，根据电路学原理，二阶矩模型的计算公式如下所示：

$m_2^1=-R_1(C_1{m}_1^1+C_2{m}_1^2+C_3{m}_1^3)-L_1(C_1+C_2+C_3)$

$m_2^2=-R_1(C_1{m}_1^1+C_2{m}_1^2+C_3{m}_1^3)-R_2{C}_2{m}_1^2-L_1(C_1+C_2+C_3)-L_2{C}_2$

$m_2^3=-R_1(C_1{m}_1^1+C_2{m}_1^2+C_3{m}_1^3)-R_3{C}_3{m}_1^3-L_1(C_1+C_2+C_3)-L_3{C}_3$

其中，

表示第i段电路的二阶矩，例如，

即表示第1段电路的二阶矩。

同一阶矩模型的计算过程类似，将已知的RLC模型与一阶矩模型的误差变量线性表达式代入到二阶矩模型的计算公式中，忽略高阶小量，即可得到二阶矩的误差变量线性表达式模型：

$m_2^i=m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}^i+A_1^i\·{\mathrm{\ΔP}}_m+A_2^i\·{\mathrm{\ΔS}}_t+A_3^i\·{\mathrm{\Δd}}_n+A_4^i\·{\mathrm{\ΔW}}_m+A_5^i\·{\mathrm{\ΔH}}_m+A_6^i\·{\mathrm{\Δh}}_m$

其中m_2(nom)表示m₂的常量值，可通过将R_b(nom)，C_b(nom)，L_b(nom)以及m_1(nom)代入二阶矩模型的计算公式所得，将其计算公式记作函数F：

m_2(nom)＝F(R_i(nom)，C_i(nom)，L_i(nom)，m_i(nom))

       ＝F₁(R_i(nom)，C_i(nom)，m_i(nom))+F₂(C_i(nom)，L_i(nom))

例如，图7所示电路中，三段电路所对应的函数F的表达式分别如下所示：

$m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}^1=F^1(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$=F_1^1(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1{,m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^1(L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

$m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}^2=F^2(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$=F_1^2(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1{,m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^2(L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

$m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}^3=F^3(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$=F_1^3(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1{,m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^3(L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)})$

其中，三段电路各自对应子函数F₁与F₂的计算公式分别如下：

$F_1^1=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$F_2^1=-L_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$F_1^2=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{now}\right)}^2+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)-R_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2$

$F_2^2=-L_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})-L_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}$

$F_1^3=R_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{now}\right)}^2+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)-R_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}{m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3$

$F_2^3=-L_{1\left(\mathrm{nom}\right)}(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{2\left(\mathrm{nom}\right)}+C_{3\left(\mathrm{nom}\right)})-L_{3\left(\mathrm{nom}\right)}{C}_{3\left(\mathrm{nom}\right)}$

在此基础上，对于第i段电路的阶矩模型线性表达式来说，其误差变量系数A_j(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数F表达式计算所得：

$A_1^i=F_1^i(a_1^1,a_1^2,a_1^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_1^1,k_1^2,k_1^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_1^1,b_1^2,b_1^3,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_1^1,c_1^2,c_1^3)$

$+F_2^i(b_1^1,b_1^2,b_1^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$A_2^i=F_1^i(a_2^1,a_2^2,a_2^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_2^1,k_2^2,k_2^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_2^1,b_2^2,b_2^3,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_2^1,c_2^2,c_2^3)$

$+F_2^i(b_2^1,b_2^2,b_2^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$A_3^i=F_1^i(a_3^1,a_3^2,a_3^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_3^1,k_3^2,k_3^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_3^1,b_3^2,b_3^3,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_3^1,c_3^2,c_3^3)$

$+F_2^i(b_3^1,b_3^2,b_3^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$A_4^i=F_1^i(a_4^1,a_4^2,a_4^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_4^1,k_4^2,k_4^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_4^1,b_{\text{4}}^2,{b_4^3,m}_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_4^1,c_4^2,c_4^3)$

$+F_2^i(b_4^1,b_4^2,b_4^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$A_5^i=F_1^i(a_5^1,a_5^2,a_5^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_5^1,k_5^2,k_5^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_5^1,b_5^2,b_5^3,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_5^1,c_5^2,c_5^3)$

$+F_2^i(b_5^1,b_5^2,b_5^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

$A_6^i=F_1^i(a_6^1,a_6^2,a_6^3{,C}_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},k_6^1,k_6^2,k_6^3)$

$+F_1^i(R_{1\left(\mathrm{nom}\right)},R_{2\left(\mathrm{nom}\right)},R_{3\left(\mathrm{nom}\right)},b_6^1,b_6^2,b_6^3,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^1,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^2,m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}^3)$

$+F_2^i(C_{1\left(\mathrm{nom}\right)},C_{2\left(\mathrm{nom}\right)},C_{3\left(\mathrm{nom}\right)},c_6^1,c_6^2,c_6^3)$

$+F_2^i(b_6^1,b_6^2,b_6^3,L_{1\left(\mathrm{nom}\right)},L_{2\left(\mathrm{nom}\right)},L_{3\left(\mathrm{nom}\right)})$

其中，变量i代表第i段电路，变量

分别代表第i段电路的电阻、电容、电感线性表达式中的偏微分系数，根据步骤三计算所得。

步骤五：

为了得到较高的仿真精度，本发明摒弃了基于一阶矩模型的延时计算准则，而采用精度更高的二阶矩延时计算准则。本步骤的最终目的在于得到碳纳米管集束导线延时的分布函数，即probability density functions(PDFs)，为阐述步骤，在此引用D2M延时标准，在步骤四所得的阶矩模型线性表达式基础上，进一步得到延时参数的误差变量线性表达式，进而得到延时的分布函数。需要说明的是，本步骤的优化模式并不仅限于D2M延时标准，设计者可根据不同的实际情况，灵活采用任意二阶矩延时计算准则，套用本步骤的优化步骤，得到所需结果。

基于D2M的优化模型如下所示：

$D2M=\ln 2\·\frac{{(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}+k_1\·{\mathrm{\ΔP}}_m+k_2\·{\mathrm{\ΔS}}_t+K_3\·{\mathrm{\Δd}}_t+k_4\·{\mathrm{\Δw}}_b+k_5\·{\mathrm{\Δh}}_6+k_6\·{\mathrm{\Δh}}_t)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right){}_{}}+A_1\·{\mathrm{\ΔP}}_m+A_2\·{\mathrm{\ΔS}}_t+A_3\·{\mathrm{\Δd}}_t+A_4\·{\mathrm{\Δw}}_b+A_5\·{\mathrm{\Δh}}_b+A_6\·{\mathrm{\Δh}}_t}}$

将上式展开，只保留线性项，即可得到如下的表达式：

$D2M=\ln 2\·\frac{{\left(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}\right)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}}(S_1\·{\mathrm{\ΔP}}_m+S_2\·{\mathrm{\ΔS}}_t+S_3\·{\mathrm{\Δd}}_t+S_4\·{\mathrm{\Δw}}_b+S_5\·{\mathrm{\Δh}}_b+S_6\·\mathrm{\Δh})$

其中，S_j(j＝1～6)可以按照下式计算得到：

$S_j=\frac{{2k}_j}{m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}}-\frac{A_j}{{2m}_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}$

根据前文假设，P_m，S_t，d_t，w_b，h_b以及h_t是互相独立的高斯变量，将其方差分别记作σ₁，σ₂，σ₃，σ₄，σ₅，σ₆，则碳纳米管集束延时的平均值计算公式如下

$E\left(D2M\right)=\ln 2\·\frac{{\left(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}\right)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}}$

碳纳米管集束延时的方差公式如下：

$\mathrm{Stdev}\left(D2M\right)=\ln 2\·\frac{{\left(m_{1\left(\mathrm{nom}\right)}\right)}^2}{\sqrt{m_{2\left(\mathrm{nom}\right)}}}\sqrt{S_1^2\·{\mathrm{\σ}}_1^2+S_2^2\·{\mathrm{\σ}}_2^2+S_3^2\·{\mathrm{\σ}}_3^2+S_4^2\·{\mathrm{\σ}}_4^2+S_5^2\·{\mathrm{\σ}}_5^2+S_6^2\·{\mathrm{\σ}}_6^2}$

根据高斯变量的线性表达式仍为高斯变量的特性可知，碳纳米管集束的延时也为高斯变量。故而，根据已得的平均值与方差，代入到高斯变量的概率分布公式，即可得到碳纳米管集束导线延时的概率分布函数(PDFs)，如下式所示：

$\mathrm{PDFs}=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}\mathrm{Stdev}\left(D2M\right)}{e}^{-\frac{{(x-E\left(D2M\right))}^2}{2\mathrm{Stdev}{\left(D2M\right)}^2}}$

在实际应用时，设计者只需代入实际的σ₁，σ₂，σ₃，σ₄，σ₅，σ₆，即可得到基于D2M标准的快速延时估计结果。

正如前文所述，该快速算法在满足缩短运算时间，并为设计者提供更为充分全面的信息的同时，会带来一定数据精度的损失。为了定量分析精度损失的程度，特引入图8所示电路，采用D2M二阶矩延时计算准则，进行快速估计算法仿真。结果显示，相比Spice仿真结果而言，本发明在各点的平均失真误差约为1.5％左右，而方差约为1.7％，失真程度较小，基本满足电路设计的需求。而由图9所示的验证结果可知，根据已有假设，本发明推导所得的碳纳米管导线延时的实验结果与Spice蒙特卡洛法仿真结果相吻合，确实呈现正态分布模式，从而印证了之前的推导过程。

需要说明的是，在采用传统的Spice仿真工具做对比试验的过程中，需要对电路进行近万次蒙特卡洛法仿真以得到所需信息，这大大增加了设计所需的时间成本，尤其是对大规模甚至超大规模电路结构而言，其产生的时间损耗将严重延误电路设计周期。而本发明所提出的算法流程，可以通过推导化简，一步得到电路延时受误差影响可能出现的各种情况，以及相应的概率大小，从而在满足基本设计需求的前提下，极大地节约了计算时间。

步骤六：

在得到了延时模型的基础上，即可进一步进行静态噪声与动态噪声的快速误差分析。首先，考虑互相平行的两条碳纳米管集束，将其电路结构转化为计算耦合噪声时常常采用的一种“π”形电路结构形式，如图10中所示的，其中，上面一条π形电路为噪声源集束，在其电路参数的下标中用A表示，如R_AL，R_AR，下面一条π形电路为受害集束，在其电路参数的下标中用V表示，如R_VL，R_VR，π形电路中各参量具体定义及计算公式如下文所示。

R_L，R_R表示集束的左半部与右半部的分布电阻，在碳纳米管导线中，分布电阻即为欧姆电阻。C_L表示集束的左半部电容与电源接入电容C_in之和，C_R表示集束的右半部电容与负载电容C_load之和，C_M则表示C_L与C_R之和的一半。

则碳纳米管导线静态耦合噪声的误差电压峰值可表示为：

$N_p=\frac{t_X}{t_R}\·\frac{{(1-e^{-\frac{t_R}{t_V}})}^{\mathrm{\α}}}{{(1-e^{-\frac{t_R}{t_A}})}^{\mathrm{\β}}}$

其中，t_R为受害导线的上升延时，可通过之前的延时模型计算所得，t_X，t_V，t_A，α，β则作为相关变量，其计算公式如下所示：

t_X＝C_C×(R_V+R_VL)

t_V＝C_VL·R_V+(C_VM+C_C)·(R_V+R_VL)+C_VR·(R_V+R_VL+R_VR)

$t_A=C_{\mathrm{AL}}\·R_A+(C_{\mathrm{AM}}+C_{\mathrm{eff}}^v+C_{\mathrm{eff}}^r)\·(R_A+R_{\mathrm{AL}})$

$\mathrm{\α}=\frac{t_V}{t_V-t_A},$ $\mathrm{\β}=\frac{t_A}{t_A-t_V}$

同样的，代入电阻电容的误差变量表达式，并利用泰勒级数展开，也可将t_X，t_V，t_A近似化简为误差变量的一次项表达式形式，将t_X，t_V，t_A看做为新的正态分布的高斯变量，代入到静态噪声电压峰值的表达式中，通过迭代化简，即可得到峰值电压的概率密度分布。

步骤七：

受害导线的动态噪声模型可近似计算为在孤立导线的延时模型上叠加一个静态耦合噪声模型。故而，结合已有的静态耦合噪声模型以及延时模型，可以推导出相应的动态噪声模型。

根据Weibull二阶矩模型可知，孤立导线的衰减曲线如下式所示

$y=1-e^{{-\left(\frac{t}{\mathrm{\β}}\right)}^{\mathrm{\α}}}$

通常情况下，设计者关注的问题在于，考虑动态噪声的影响时，最坏情况下会对线路的延时产生多大的影响。由于当且仅当孤立导线的衰减电压恰好等于0.5V_dd+静态噪声峰值电压时，两者叠加所产生的延时最大，故而令

$1-e^{-{\left(\frac{t_{\max }}{\mathrm{\β}}\right)}^{\mathrm{\α}}}=0.5V_{\mathrm{dd}}+{\mathrm{Noise}}_{\mathrm{peak}}$

推导可知：

$t_{\max }=\mathrm{\β}{\ln }^{\frac{1}{\mathrm{\α}}}\left(\frac{1}{0.5-{\mathrm{Noise}}_{\mathrm{peak}}}\right)-\frac{t_R}{2}$

其中，t_max为动态噪声所产生的最大延时，t_R为受害导线的上升延时，Noise_peak为静态噪声峰值电压，根据之前的模型结果，将步骤六中所得的，由误差变量的一阶表达式组成的t_R，Noise_peak，α，β各变量，代入到上式中，通过泰勒展开与一阶线性化简，即可得到最大动态噪声延时t_max的误差变量线性表达式，进而根据高斯变量的线性组合仍为高斯变量的特性，求得最大动态噪声延时t_max的概率密度函数。

Claims (1)

1.一种碳纳米管导线的工艺误差估计方法，其特征在于，所述方法是在计算机中依次按下述步骤实现的：

步骤(1)，计算机初始化

定义下述工艺参数：

P_m，一个碳纳米管集束中金属性碳纳米管占该碳纳米管集束内所有碳纳米管数的比例，下标m为该碳纳米管集束的序号，下同，

S_t，一个碳纳米管集束中，相邻碳纳米管在相邻侧壁间的最短距离，下标t表示该最短距离的序号，

d_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管的直径，下标n表示各碳纳米管的序号，下同，

R_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管的接触电阻，

λ_n，一个碳纳米管集束中，各个碳纳米管导线的电子自由程，

h_m，一个碳纳米管集束靠近地面的侧壁与地之间的最短距离，

W_m，一个碳纳米管集束的宽度，

H_m，一个碳纳米管集束的高度，

定义所述工艺参数的误差变量及其设定范围3σ：

ΔP_m，不同的碳纳米管集束中，所述P_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔS_t，不同的碳纳米管集束中，所述S_t的差别，3σ的范围设为23％，

Δintra d_n，同一的碳纳米管集束中，所述d_n的差别，3σ的范围设为4.4％，

Δinter d_n，不同的碳纳米管集束中，所述d_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δintra R_n，同一的碳纳米管集束中，所述R_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δinter R_n，不同的碳纳米管集束中，所述R_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δλ_n，不同的碳纳米管集束中，所述λ_n的差别，3σ的范围设为50％，

Δh_m，不同的碳纳米管集束中，所述h_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔW_m，不同的碳纳米管集束中，所述W_m的差别，3σ的范围设为32％，

ΔH_m，不同的碳纳米管集束中，所述H_m的差别，3σ的范围设为32％，

所述3σ为工艺误差概率分布的正态曲线的均值正负3σ范围中覆盖的面积，

步骤(2)，建立碳纳米管的导线模型，据此确定碳纳米管导线的电阻、电容以及电感的电路表达式

步骤(2.1)，建立碳纳米管集束的电阻模型

当偏置电压V_bias≤0.1V时，碳纳米管导线的电阻R_low为：

R_low＝R_i+R_n if l_b≤λ_ap

R_low＝R_o+R_n if l_b＞λ_ap

其中，l_b表示碳纳米管导线长度，为已知值，其中下标b为碳纳米管集束bundle的缩写，下同，λ_ap表示碳纳米管导线的电子平均自由程，为已知值，R_i表示碳纳 米管的本征电阻值，

R_n为接触电阻，

R_n＝D_rnR_n(nom)if 1.0≤d_n≤2.0nm

R_n＝R_n(nom)if d_n＞2.0nm

其中，R_n(nom)≈20kΩ，D_rn表示随着所述d_n减小而使所述R_n增大的比例，D_rn≈1.08，R_o为欧姆电阻，

其中，ρ为普朗克常数，e为电子的电量，

当偏置电压V_bias＞0.1V时，碳纳米管导线的电阻R_high为：

其中，I_o为单个碳纳米管导线中所能通过的最大电流，在20～25μA中取值，

碳纳米管导线的总电阻R_b为：

V_bias≤0.1V时

V_bias＞0.1V时

其中，N为一个碳纳米管集束中碳纳米管导线的个数，NP_m为一个碳纳米管集束中金属性碳纳米管导线的个数，碳纳米管导线上的最大压降V_max为：

其中，VB＝R_low×I_o+N_b×P_m×RTR×I_o-VDD

其中，VDD为片上的电源电压，RTR为电源的等效电阻，

步骤(2.2)，确定碳纳米管集束的电容模型

所述碳纳米管集束的电容为C_b：

其中， 为碳纳米管集束的量子电容，

C_q为碳纳米管导线的量子电容，

其中，v_F表示费米速率，

为碳纳米管集束的电磁电容，

其中，N_w，N_h分别代表该碳纳米管集束的横向、纵向上排布的碳纳米管导线的根数，C_en为强势电磁电容，C_ef为弱势电磁电容：

其中，d_m为一个碳纳米管集束中所有碳纳米管导线直径的平均值，W_b表示碳纳米管集束的宽度，而S则表示相邻集束的相邻侧壁间的最短距离，

步骤(2.3)，确定碳纳米管集束的电感模型

碳纳米管集束的电感L_b为：

L_b＝L_K+L_M

L_K为碳纳米管导线的动态电感，

L_M为碳纳米管导线的量子电感，

其中，h为碳纳米管导线的中心轴与地面的垂直距离，

步骤(3)，提取电阻的特征参数

把所述电路个模型的多项式表达形式转换为由误差变量组成的线性表达式：

R_b＝R_b(nom)+a₁ΔP_m+a₂ΔS_t+a₃Δd_n+a₄ΔW_m+a₅ΔH_m

C_b＝C_b(nom)+b₁ΔP_m+b₂ΔS_t+b₃Δd_n+b₄ΔW_m+b₅ΔH_m+b₆Δy_m

L_b＝L_b(nom)+c₁ΔP_m+c₂ΔS_t+c₃Δd_n+c₄ΔW_m+c₅ΔH_m+c₆Δy_m

其中，R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)分别代表在不变误差数值下R_b、C_b、L_b的理论值，各个误差变量的偏微分参数计算公式为：

其中， 

X泛指各误差变量P_m，或S_t，或d_n，或R_n，或λ_n，或h_m，或W_m，或H_m，

步骤(4)，建立二阶矩模型

对于由三条碳纳米管集束所组成的串并联电路而言，其而结局的误差变量线性表达式模型为：

其中， 

为所述 

的常量值，通过把所述R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)以及 

代入各项二阶矩模型的计算表达式中得到，将其计算公式记作函数F：

m_2(nom)＝F(R_i(nom)，C_i(nom)，L_i(nom)，m_i(nom))

       ＝F₁(R_i(nom)，C_i(nom)，m_i(nom))+F₂(C_i(nom)，L_i(nom))

误差变量系数A_j(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数F表达式计算所得，

为所述由三条碳纳米管集束所组成的串并联电路的一阶矩模型，表示为：

S＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m}

T＝{ΔP_m，ΔS_t，Δd_n，ΔW_m，ΔH_m，Δh_m}

为所述 

的常量值，通过把R_b(nom)、C_b(nom)、L_b(nom)代入各条支路的一阶矩模型表达式计算得到，将其计算公式记作函数f：

m_1(nom)＝f(R_i(nom)，C_i(nom))

误差变量系数 

(j＝1～6)即可根据第i段电路所对应的函数f表达式计算所得，

步骤(5)，基于D2M延时标准计算碳纳米管集束延时的分布函数PDFs

碳纳米管集束延时的平均值E(D2M)为：

碳纳米管集束延时的方差Stdev(D2M)为：

其中，S_j(j＝1～6)可以按照下式计算得到： 

P_m，S_t，d_n，W_m，H_m以及y_m是互相独立的高斯变量，σ₁，σ₂，σ₃，σ₄，σ₅，σ₆分别为其方差，

根据已得的平均值与方差，代入到高斯变量的概率分布公式，即可得到碳纳米管集束导线延时的概率分布函数PDFs，如下式所示：

。

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