CN101458498B - 一种快速模型预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种快速模型预测控制方法，其包括以下步骤：1)不等式约束集合的矩阵型转换；2)不等式约束集合压缩矩阵参数的选取；3)不等式约束集合压缩矩阵的构造；4)基于压缩矩阵的约束集合映射变换；5)模型预测优化问题的滚动时域求解；6)快速模型预测控制律的实施。本发明方法仅对约束集合进行变换，不涉及待优化变量任何变换，不仅可有效降低MPC优化控制问题的规模，减小其在线计算量，提高其计算效率，而且基本不影响最优控制输入的计算，保证MPC的最优控制功能。本发明方法的待选参数少，构造方法简洁，易于在线调试，不仅适用于石油化工等工业过程，也可用于汽车、机器人等高实时控制领域。

Description

一种快速模型预测控制方法

技术领域

本发明涉及一种模型预测控制(MPC，Model Predictive Control)方法，特别是关于一种用于高实时被控对象的快速模型预测控制方法。

背景技术

目前，MPC因具有可在线优化线性或非线性系统的优点，不仅广泛用于石油化工等工业过程，而且在汽车、机器人等高实时控制领域也日益得到重视。在高实时控制领域，受被控对象和性能指标的限制，MPC可归结为求解一约束非线性规划问题，其在线优化计算不仅繁琐而且耗时。随着MPC优化问题规模的增大，当计算时间超过控制周期时，因优化问题求解未完成，导致不能获得最优控制输入，直接影响MPC最优控制功能的实现。因此，MPC滚动时域优化的计算效率是其工程实用化的关键问题之一。

为解决MPC的计算效率问题，Imsland L等提出一种高效凸优化方法(ImslandL，Bar N，Foss B.More Efficient Predictive Control.Automatica，2005，41：1395-1403.)，将MPC的计算效率问题转化为凸优化问题的计算效率问题，并利用高效凸优化方法求解MPC，获得一种快速MPC算法。Wan Z和Kothare M提出近似计算策略(Wan Z，Kothare M.Robust Output Feedback Model Predictive ControlUsing Offline Linear Matrix Inequalities.Journal of Process Control，2002，12：763-774.)，利用查表控制律或线性控制律近似MPC控制律，以避免MPC复杂的在线优化计算环节。但从MPC工程应用的角度看，上述两种方法的数学理论比较复杂，难以被工程技术人员接受，也不易于工程应用。控制输入减维法是适合工程应用的一类高效MPC控制方法，它包括陈薇等人提出的有限维参数化法(陈薇.非线性预测控制快速算法的研究与应用.[博士论文]中国科技大学，2007.)，以及杜晓宁等人提出的直接减维法(杜晓宁，席裕庚.预测控制优化变量的集结策略.控制与决策，17(5)，2002：563-566)。有限维参数化法改变了MPC控制律的结构，虽然可降低其计算量，但大大影响了最优控制量的计算，无法实现最优控制功能。直接减维法则通过对控制输入进行线性变换，减小待优化变量的维数，从而降低MPC滚动时域优化的计算复杂度。数值仿真表明，直接减维法虽然可提高计算效率，但当维数缩减程度较大时，该方法也会导致MPC丧失最优控制功能。

下面以一带“软约束”MPC优化控制问题为例，对MPC求解效率问题进行进一步分析。考虑被控对象的线性离散确定性对象：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+Gv(k)

                               (1)

y(k)＝Cx(k)

其中，u∈R^m为控制输入，x ∈R^l为系统状态，y∈Rⁿ为系统输出，m，l和n分别为控制输入u、系统状态x和系统输出y的维数，A、B，G和C为系统的系数矩阵。带“软约束”的二范数型优化问题为：

$\underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\Δu}(k+i|k),i=0:P-1}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+{\mathrm{\ρ\ϵ}}^2$

                                    (2)

S.t.ω_Δu，ω_u，ω_y

其中，ω_Δu、ω_u、ω_y分别为R^m、R^m和Rⁿ的紧集，定义为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Δu}}=\{\mathrm{\Δu},\mathrm{\ϵ}|\mathrm{\Δu}(k+i|k)\≤{\mathrm{\Δu}}_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^{\mathrm{\Δu}},i=0:P-1\}$

${\mathrm{\ω}}_u=\{u,\mathrm{\ϵ}|u(k+i|k)\≤u_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^u,i=0:P-1\}---\left(3\right)$

${\mathrm{\ω}}_y=\{y,\mathrm{\ϵ}|y(k+i+1|k)\≤y_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^y,i=0:P-1\}$

其中，Δu(k)＝u(K)-u(k-1)为控制增量，i∈[0:P-1]代表i^th预测点，P为预测时域的步长，ε∈R⁺为标量松弛因子，ρ∈R⁺为权系数。L(y，u，Δu)是预测时域[0:P-1]内，以y，u和Δu为自变量的二次型代价函数。Δu_max为控制增量Δu的上界，u_max为控制输入u的上界，y_max为系统输出y的上界。v_max ^Δu称为控制增量Δu的松弛系数，v_max ^u称为控制输入u的松弛系数，v_max ^y称为系统输出y的松弛系数。

正常情况下，当控制增量Δu、控制输入u和系统输出y处于约束上界内时，约束集合ω_Δu、ω_u、ω_y无限制作用，MPC的计算时间也比较小，一般不会超过MPC的控制周期。特殊情况下，当控制增量Δu、控制输入u或系统输出y超过约束上界时，约束集合ω_Δu、ω_u、ω_y的限制作用启动。此时，因约束集合处理过程的存在，求解MPC优化问题通常会花费较多时间，易于出现计算超时问题。因此，MPC的计算超时多发生于控制增量Δu、控制输入u或系统输出y约束起作用的时刻。解决这一时刻的计算复杂度问题，是降低MPC计算量，提高其计算效率的关键所在。直接减维法虽然可以提高MPC计算效率，但是它在正常情况和特殊情况都起作用。而正常情况下，直接减维法的使用不仅无助于提高MPC的计算效率，而且影响最优控制输入的计算，弱化MPC的最优控制功能。因此，为兼顾MPC的在线计算效率和控制输入的最优性，需要一种仅处理约束集合，但不影响优化变量维数的快速模型预测控制方法。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提出一种基于约束集合维数缩减的快速模型预测控制方法，在提高MPC在线计算效率的同时且基本不影响控制输入的最优性。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种快速模型预测控制方法，其包括以下步骤：1)不等式约束集合的矩阵型转换；2)不等式约束集合压缩矩阵参数的选取；3)不等式约束集合压缩矩阵的构造；4)基于压缩矩阵的约束集合映射变换；5)模型预测优化问题的滚动时域求解；6)快速模型预测控制律的实施。

在进行步骤1)时，首先将不等式约束集合ω_Δu、ω_u、ω_y转化为矩阵型不等式Ω_ΔU，Ω_U和Ω_Y：

${\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Ω}}_U=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^u\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Ω}}_Y=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{nP}\×\mathrm{nP}}& V_{\max }^y\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤Y_{\max }\right\}$

其中，I_mP×mP，I_nP×nP分别为mP×mP维，nP×nP维的对角矩阵，V_max ^Δu，V_max ^u和V_max ^y分别为松弛系数v_max ^Δu，Δ_max ^u和Δ_max ^y构成的松弛向量，ΔU_max，U_max和Y_max分别为约束上界Δu_max，u_max和y_max构成的约束向量，它们为：

$V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}={[{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T,...,{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T]}^T$

$V_{\max }^u={[{v_{\max }^u}^T,...,{v_{\max }^u}^T]}^T$

$V_{\max }^y={[{v_{\max }^y}^T,...,{v_{\max }^y}^T]}^T$

另外，ΔU∈R^mP为待优化向量，U∈R^mP为控制输入向量，Y∈R^nP为系统输出向量，它们为：

ΔU(k)＝[Δu(k+i |k)]_i＝1：P-1

U(k)＝[u(k+i|k)]_i＝1：P-1

Y(k)＝[y(k+i+1|k)]_i＝1：P-1

其中，Δu为控制增量，u为控制输入，y为系统输出。

在进行步骤2)时，选择压缩矩阵的维数为Ω，将预测时域的约束分为Ω段，每段长度为ω_i；一般选择0.1·P≤Ω≤0.5·P，且满足等式条件：

$P=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i$

其中，ω_i∈N(i＝1：Ω)。

各段长度ω_i值的选择方法为等间距选择法和比例间距选择法之一：等间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

ω_i＝α，i＝2：Ω

其中，α∈N为间距值，一般选为2≤α≤10；比例间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

ω_i＝βω_i-1，i＝2：Ω

其中，β∈N为比例系数，一般选为2≤β≤4。

在进行步骤3)时，对于控制增量Δu、控制输入u和系统输出y，分别构造约束集合的压缩矩阵M_ΔU∈R^mΩ×mP、M_U∈R^mΩ×mP和M_Y∈R^nΩ×nP，皆行满秩；M_ΔU矩阵的基本结构为：

$M_{\mathrm{\ΔU}}=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^{\mathrm{\ΔU}},M_2^{\mathrm{\ΔU}},...,M_{\mathrm{\Ω}}^{\mathrm{\ΔU}}\left]\right)$

其中，M_i ^ΔU(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_U矩阵的基本结构为：

$M_U=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^U,M_2^U,...,M_{\mathrm{\Ω}}^U\left]\right)$

其中，N_i ^U(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_Y矩阵的基本结构为：

$M_Y=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^Y,M_2^Y,...,M_{\mathrm{\Ω}}^Y\left]\right)$

其中，M_i ^Y(i＝1：Ω)为n×nω_i维矩阵，定义为：

在进行步骤4)时，为建立约束集维数缩减策略，建立不等式约束集ω_Δu，ω_u和ω_y的压缩映射M_ΔU、M_U和M_Y为：

M_ΔU：Ω_ΔU→Θ_ΔU

M_U：Ω_U→Θ_U

M_Y：Ω_Y→Θ_Y

其中，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y称压缩约束集；经过压缩映射后，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y的基本形式为：

${\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\ΔU}}& M_{\mathrm{\ΔU}}{V}^{\mathrm{\ΔU}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔU}\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_{\mathrm{\ΔU}}{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Θ}}_U=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_U& M_U{V}^U\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}U\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_U{U}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Θ}}_Y=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_Y& M_Y{V}^Y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_Y{Y}_{\max }\right\}$

在进行步骤5)时，利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC优化控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+{\mathrm{\ρ\ϵ}}^2$

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明方法对MPC约束集合进行压缩映射，可大大减小MPC约束集合的数目，因此可有效降低MPC优化控制问题的规模，减小其在线计算量，提高其计算效率。2、本发明方法仅对MPC约束集合进行变换，不涉及待优化变量任何变换，因此基本不影响最优控制输入的计算，仍可保证MPC的最优控制功能。3、与已有快速MPC算法相比，本发明方法的待选参数少，构造方法简洁，易于在线调试，不仅适用于石油化工等工业过程，也可用于汽车、机器人等高实时控制领域。

附图说明

图1是MPC与快速MPC的控制输入曲线图

图2是MPC与快速MPC的松弛因子曲线图

图3是MPC与快速MPC的单步计算时间曲线图

图4是MPC与快速MPC的平均计算时间和最大计算时间对比图

图5是MPC与快速MPC的控制输入误差曲线图

图6是MPC与快速MPC的松弛因子误差曲线图

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

本发明的基本原理为：针对MPC优化问题的不等式约束集合，建立不等式约束集合的压缩矩阵；利用压缩矩阵进行集合映射变换，减小不等式约束集合的维数；求解基于低维约束集合的MPC优化控制问题，获得被控对象的MPC控制律。其具体包括以下步骤：

1)不等式约束集合的矩阵型转换

首先，将不等式约束集合ω_Δu、ω_u、ω_y转化为矩阵型不等式Ω_ΔU，Ω_U和Ω_Y：

${\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Ω}}_U=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^u\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}---\left(4\right)$

${\mathrm{\Ω}}_Y=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{nP}\×\mathrm{nP}}& V_{\max }^y\end{array}\right]\end{array}{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤Y_{\max }\right\}$

其中，I_mP×mP，I_nP×nP分别为mP×mP维，nP×nP维的对角矩阵，V_max ^Δu，V_max ^u和V_max ^y分别为松弛系数v_max ^Δu，v_max ^u和v_max ^y构成的松弛向量，ΔU_max，U_max和Y_max分别为约束上界Δu_max，u_max和y_max构成的约束向量，它们为：

$V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}={[{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T,...,{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T]}^T$

$V_{\max }^u={[{v_{\max }^u}^T,...,{v_{\max }^u}^T]}^T---\left(5\right)$

$V_{\max }^y={[{v_{\max }^y}^T,...,{v_{\max }^y}^T]}^T$

另外，ΔU∈R^mP为待优化向量，U∈R^mP为控制输入向量，Y∈R^nP为系统输出向量，它们为：

ΔU(k)＝[Δu(k+i|k)]_i＝1：P-1

U(k)＝[u(k+i |k)]_i＝1：P-1             (6)

Y(k)＝[y(k+i+1|k)]_i＝1：P-1

2)不等式约束集合的压缩矩阵参数选取

选择压缩矩阵的维数为Ω，将预测时域的约束分为Ω段，每段长度为ω_i点。一般选择0.1·P≤Ω≤0.5·P，且满足等式条件：

$P=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i---\left(7\right)$

其中，ω_i∈N(i＝1：Ω)。各段长度ω_i的选择方法有两种：第一种称为等间距选择法，第二种称为比例间距选择法。

等间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

                                   (8)

ω_i＝α，i＝2：Ω

其中，α∈N为间距值，一般选为2≤α≤10。

比例间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

                                  (9)

ω_i＝βω_i-1，i＝2：Ω

其中，β∈N为比例系数，一般选为2≤β≤4。

3)不等式约束集合压缩矩阵的构造

对于控制增量Δu、控制输入u和系统输出y，分别构造约束集合的压缩矩阵M_ΔU∈R^mΩ×mP、M_U∈R^mΩ×mP和M_Y∈R^nΩ×nP，皆行满秩。

M_ΔU矩阵的基本结构为：

$M_{\mathrm{\ΔU}}=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^{\mathrm{\ΔU}},M_2^{\mathrm{\ΔU}},...,M_{\mathrm{\Ω}}^{\mathrm{\ΔU}}\left]\right)---\left(10\right)$

其中，M_i ^ΔU(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_U矩阵的基本结构为：

$M_U=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^U,M_2^U,...,M_{\mathrm{\Ω}}^U\left]\right)---\left(12\right)$

其中，M_i ^U(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_Y矩阵的基本结构为：

$M_Y=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^Y,M_2^Y,...,M_{\mathrm{\Ω}}^Y\left]\right)---\left(14\right)$

其中，M_i ^Y(i＝1：Ω)为n×nω_i维矩阵，定义为：

4)基于压缩矩阵的约束集合映射变换

为建立约束集合维数缩减策略，建立不等式约束集ω_Δu，ω_u和ω_y的压缩映射M_ΔU、M_U和M_Y为：

M_ΔU：Ω_ΔU→Θ_ΔU

M_U：Ω_U→Θ_U        (16)

M_Y：Ω_Y→Θ_Y

其中，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y称压缩约束集。经过压缩映射后，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y的基本形式为：

${\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\ΔU}}& M_{\mathrm{\ΔU}}{V}^{\mathrm{\ΔU}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔU}\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_{\mathrm{\ΔU}}{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\right\}$

${\mathrm{\Θ}}_U=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_U& M_U{V}^U\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}U\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_U{U}_{\max }\right\}---\left(17\right)$

${\mathrm{\Θ}}_Y=\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\end{array}|\left[\begin{array}{cc}{M}_Y& M_Y{V}^Y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_Y{Y}_{\max }\right\}$

5)模型预测优化问题的滚动时域求解

利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC最优控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+{\mathrm{\ρ\ϵ}}^2$

                                   (18)

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

6)快速模型预测控制律的实施

求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)进行构造一种快速模型预测控制律，实现闭环控制：

u(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)    (19)

至此，快速MPC控制律的实施完毕。

下面以用于车辆跟随系统的MPC算法为例，基于前车紧急加速工况，进行MPC在线实时仿真控制。其中，车辆跟随系统的线性离散确定性对象为：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)+Gv(k)

y(k)＝Cx(k)

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.1& 0.228\\ 0& 1& -0.09\\ 0& 0& 0.8\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}-0.03\\ -0.01\\ 0.2\end{array}\right],---\left(20\right)$

$C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ $G=\left[\begin{array}{c}0.005\\ 0.1\\ 0\end{array}\right]$

其中，u∈R^m为控制输入，x∈R^l为系统状态，y∈Rⁿ为系统输出，m，l和n分别为控制输入、系统状态和系统输出的维数。该离散确定性对象的采样频率为T_s。带“软约束”的二范数型优化问题为：

$\underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\Δu}(k+i|k),i=0:P-1}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+{\mathrm{\ρ\ϵ}}^2$

                              (21)

S.t.ω_Δu，ω_u，ω_y

其中，Δu(k)＝u(k)-u(k-1)为控制增量，i∈[0：P-1]代表i^th预测点，P为预测时域的步长，ε∈R⁺为标量松弛因子，ρ∈R⁺为权系数。L(y，u，Δu)是预测时域[0：P-1]内，以y，u和Δu为自变量的二次型代价函数：

其中w_y，w_u，w_Δu分别为系统输出，控制输入和控制增量的权系数。ω_Δu、ω_u、ω_y分别为R^m、R^m和Rⁿ的紧集，定义为：

${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{\Δu}}=\{\mathrm{\Δu},\mathrm{\ϵ}|\mathrm{\Δu}(k+i|k)\≤{\mathrm{\Δu}}_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^{\mathrm{\Δu}},i=0:P-1\}$

${\mathrm{\ω}}_u=\{u,\mathrm{\ϵ}|u(k+i|k)\≤u_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^u,i=0:P-1\}---\left(23\right)$

${\mathrm{\ω}}_y=\{y,\mathrm{\ϵ}|y(k+i+1|k)\≤y_{\max }+{\mathrm{\ϵv}}_{\max }^y,i=0:P-1\}$

其中，Δu_max为控制增量Δu的上界，u_max为控制输入u的上界，y_max为系统输出y的上界。v_max ^Δu称为控制增量Δu的松弛系数，v_max ^u称为控制输入u的松弛系数，v_max ^y称为系统输出y的松弛系数。

为了验证本发明的有效性，本实施例定义两种MPC控制算法：第一种是传统的MPC控制算法，记为“MPC”；第二种是本发明提出的快速MPC控制算法，记为“快速MPC”。“MPC”的参数如表1所示：

表1被控对象及其MPC优化控制问题的参数

参数	数值	参数	数值	参数	数值
						m	1	l	3	n	3
P	50	T<sub>s</sub>	0.1sec	ρ	3
						Δu<sub>max</sub>	0.1	u<sub>max</sub>	1.5	y<sub>max</sub>	[5，1，1.5]<sup>T</sup>
v<sub>max</sub><sup>Δu</sup>	0.01	v<sub>max</sub><sup>u</sup>	0.1	v<sub>max</sub><sup>y</sup>	[0.5，0.1，0.1]<sup>T</sup>
						w<sub>Δu</sub>	1	w<sub>u</sub>	1	w<sub>y</sub>	diag([0.06，0.2，1])

“快速MPC”的基本流程包括：1)不等式约束集合的矩阵型转换；2)约束集合压缩矩阵参数的选取；3)约束集合压缩矩阵的构造；4)基于压缩矩阵的约束集合映射变换；5)模型预测优化问题的滚动时域求解；6)快速模型预测控制律的实施。其中，步骤2)采用等间距选择法构造ωi，参数如表2所示，其余参数如表1所示：

表2快速MPC的参数

参数	值
		压缩矩阵的维数Ω	18
等间距变量α	3

本实施例中，实时仿真平台的硬件为一工控机，CPU主频2.4G，512M内存，软件为Matlab/xPC工具箱，采用Dantzig-wolfe有效集算法求解MPC优化控制问题。前车紧急加速工况的实时仿真控制结果如图1～图6所示。

如图1、图2所示，X标记线表示“MPC”，实线表示“快速MPC”。由图1和图2可知，“MPC”与“快速MPC”的控制输入和松弛因子基本重合，说明两种控制算法的控制效果基本一致。

如图3、图4所示，X标记线表示“MPC”的单步计算时间，实线表示“快速MPC”的单步计算时间。由图3可知，“快速MPC”的单步计算时间比“MPC”的单步计算时间小。由图4进一步可知，“快速MPC”的平均计算时间仅为“MPC”的15％，最大计算时间仅为“MPC”的20％。这表明，本发明可有效减小MPC优化问题的规模，降低其计算复杂度，提高MPC滚动时域优化的计算效率。

以“MPC”的计算结果为最优，“快速MPC”的计算误差如图5、图6所示。由图5、图6可知，“快速MPC”对控制输入的计算误差小于0.5×10^-2，对松弛因子的计算误约为6×10^-2，远远低于正常的控制输入量和松弛因子量，可忽略。这说明“MPC”和“快速MPC”的最优控制输入量基本一致，本发明提出的快速模型预测控制方法基本不影响控制输入的最优性。

上述各实施例中，各公式的基本形式是可以有所变化的，在本发明技术方案的基础上，对公式进行的改进和等同变换，不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (19)

1.一种快速模型预测控制方法，其包括以下步骤：1)不等式约束集合的矩阵型转换；2)不等式约束集合压缩矩阵参数的选取；3)不等式约束集合压缩矩阵的构造；4)基于压缩矩阵的约束集合映射变换；5)模型预测优化问题的滚动时域求解；6)快速模型预测控制律的实施。

2.如权利要求1所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤1)时，首先将不等式约束集合ω_Δu、ω_u、ω_y转化为矩阵型不等式Ω_ΔU，Ω_U和Ω_Y：

${\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤\mathrm{\Δ}{U}_{\max }\}$

${\mathrm{\Ω}}_U=\left\{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{mP}\×\mathrm{mP}}& V_{\max }^u\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤U_{\max }\}$

${\mathrm{\Ω}}_Y=\left\{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{nP}\×\mathrm{nP}}& V_{\max }^y\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]}^T\≤Y_{\max }\}$

其中，I_mP×mP，I_nP×nP分别为mP×mP维，nP×nP维的对角矩阵，V_max ^Δu，V_max ^u和V_max ^y分别为松弛系数v_max ^Δu，v_max ^u和v_max ^y构成的松弛向量，ΔU_max，U_max和Y_max分别为约束上界Δu_max，u_max和y_max构成的约束向量，它们为：

$V_{\max }^{\mathrm{\Δu}}={[{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T,\·\·\·,{v_{\max }^{\mathrm{\Δu}}}^T]}^T$

$V_{\max }^u={[{v_{\max }^u}^T,\·\·\·,{v_{\max }^u}^T]}^T$

$V_{\max }^y={[{V_{\max }^y}^T,\·\·\·,{v_{\max }^y}^T]}^T$

另外，ΔU∈R^mP为待优化向量，U∈R^mP为控制输入向量，Y∈R^nP为系统输出向量，它们为：

ΔU(k)＝[Δu(k+i|k)]_i＝1：P-1

U(k)＝[u(k+i|k)]_i＝1：P-1

Y(k)＝[y(k+i+1|k)]_i＝1：P-1

其中，Δu为控制增量，u为控制输入，y为系统输出。

3.如权利要求1所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤2)时，选择压缩矩阵的维数为Ω，将预测时域的约束分为Ω段，每段长度为ω_i；一般选择0.1·P≤Ω≤0.5·P，且满足等式条件：

$P=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i$

其中，ω_i ∈N(i＝1：Ω)。

4.如权利要求2所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤2)时，选择压缩矩阵的维数为Ω，将预测时域的约束分为Ω段，每段长度为ω_i；一般选择0.1·P≤Ω≤0.5·P，且满足等式条件：

$P=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Ω}}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ω}}_i$

其中，ω_i∈N(i＝1：Ω)。

5.如权利要求3或4所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：各段长度ω_i值的选择方法为等间距选择法和比例间距选择法之一：

等间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

ω_i＝α，i＝2：Ω

其中，α∈N为间距值，一般选为2≤α≤10；

比例间距选择法的数学公式为：

ω₁＝1

ω_i＝βω_i-1，i＝2：Ω

其中，β∈N为比例系数，一般选为2≤β≤4。

6.如权利要求1或2或3或4所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤3)时，对于控制增量Δu、控制输入u和系统输出y，分别构造约束集合的压缩矩阵M_ΔU∈R^mΩ×mP、M_U∈R^mΩ×mP和M_Y∈R^nΩ×nP，皆行满秩；

M_ΔU矩阵的基本结构为：

$M_{\mathrm{\ΔU}}=\mathrm{diag}(M_1^{\mathrm{\ΔU}},M_2^{\mathrm{\ΔU}},\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^{\mathrm{\ΔU}}])$

其中，M_i ^ΔU(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_U矩阵的基本结构为：

$M_U=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^U,M_2^U,\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^U\left]\right)$

其中，M_i ^U(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_Y矩阵的基本结构为：

$M_Y=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^Y,M_2^Y,\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^Y\left]\right)$

其中，M_i ^Y(i＝1：Ω)为n×nω_i维矩阵，定义为：

7.如权利要求5所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤3)时，对于控制增量Δu、控制输入u和系统输出y，分别构造约束集合的压缩矩阵M_ΔU∈R^mΩ×mP、M_U∈R^mΩ×mP和M_Y∈R^nΩ×nP，皆行满秩；

M_ΔU矩阵的基本结构为：

$M_{\mathrm{\ΔU}}=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^{\mathrm{\ΔU}},M_2^{\mathrm{\ΔU}},\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^{\mathrm{\ΔU}}\left]\right)$

其中，M_i ^ΔU(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_U矩阵的基本结构为：

$M_U=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^U,M_2^U,\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^U\left]\right)$

其中，M_i ^U(i＝1：Ω)为m×mω_i维矩阵，定义为：

M_Y矩阵的基本结构为：

$M_Y=\mathrm{diag}\left(\right[M_1^Y,M_2^Y,\·\·\·,M_{\mathrm{\Ω}}^Y\left]\right)$

其中，M_i ^Y(i＝1：Ω)为n×nω_i维矩阵，定义为：

8.如权利要求2或3或4或7所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤4)时，为建立约束集维数缩减策略，建立不等式约束集ω_Δu，ω_u和ω_y的压缩映射M_ΔU、M_U和M_Y为：

M_ΔU：Ω_ΔU→ΘΔ_U

M_U：Ω_U→Θ_U

M_Y：Ω_Y→Θ_Y

其中，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y称压缩约束集；经过压缩映射后，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y的基本形式为：

${\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\ΔU}}& M_{\mathrm{\ΔU}}\end{array}{V}^{\mathrm{\ΔU}}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔU}\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_{\mathrm{\ΔU}}{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_U=\left\{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_U& M_U\end{array}{V}^U\right]\left[\begin{array}{c}U\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_U{U}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_Y=\left\{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_Y& M_Y\end{array}{V}^Y\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_Y{Y}_{\max }\}$

9.如权利要求5所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤4)时，为建立约束集维数缩减策略，建立不等式约束集ω_Δu，ω_u和ω_y的压缩映射M_ΔU、M_U和M_Y为：

M_ΔU：Ω_ΔU→Θ_ΔU

M_U：Ω_U→Θ_U

M_Y：Ω_Y→Θ_Y

其中，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y称压缩约束集；经过压缩映射后，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y的基本形式为：

${\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\ΔU}}& M_{\mathrm{\ΔU}}\end{array}{V}^{\mathrm{\ΔU}}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔU}\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_{\mathrm{\ΔU}}{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_U=\left\{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_U& M_U\end{array}{V}^U\right]\left[\begin{array}{c}U\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_U{U}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_Y=\left\{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_Y& M_Y\end{array}{V}^Y\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_Y{Y}_{\max }\}$

10.如权利要求6所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤4)时，为建立约束集维数缩减策略，建立不等式约束集ω_Δu，ω_u和ω_y的压缩映射M_ΔU、M_U和M_Y为：

M_ΔU：Ω_ΔU→Θ_ΔU

M_U：Ω_U→Θ_U

M_Y：Ω_Y→Θ_Y

其中，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y称压缩约束集；经过压缩映射后，Θ_ΔU、Θ_U和Θ_Y的基本形式为：

${\mathrm{\Θ}}_{\mathrm{\ΔU}}=\left\{\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\ΔU}& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_{\mathrm{\ΔU}}& M_{\mathrm{\ΔU}}\end{array}{V}^{\mathrm{\ΔU}}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔU}\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_{\mathrm{\ΔU}}{\mathrm{\ΔU}}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_U=\left\{\left[\begin{array}{cc}U& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_U& M_U\end{array}{V}^U\right]\left[\begin{array}{c}U\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_U{U}_{\max }\}$

${\mathrm{\Θ}}_Y=\left\{\left[\begin{array}{cc}Y& \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\right|\left[\begin{array}{cc}{M}_Y& M_Y\end{array}{V}^Y\right]\left[\begin{array}{c}Y\\ \mathrm{\ϵ}\end{array}\right]\≤M_Y{Y}_{\max }\}$

11.如权利要求2或4或7或9或10所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤5)时，利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC优化控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ϵ}}^2$

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

12.如权利要求5所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤5)时，利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC优化控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ϵ}}^2$

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

13.如权利要求6所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤5)时，利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC优化控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ϵ}}^2$

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

14.如权利要求8所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤5)时，利用Dantzig-wolfe有效集算法，数值求解带压缩约束集的MPC优化控制问题，得到开环最优控制序列ΔU^*(k)和最优松弛因子ε^*(k)为：

$[{\mathrm{\ΔU}}^{*}\left(k\right),{\mathrm{\ϵ}}^{*}\left(k\right)]=\arg \underset{\mathrm{\ϵ},\mathrm{\ΔU}}{\min }L(y,u,\mathrm{\Δu})+\mathrm{\ρ}{\mathrm{\ϵ}}^2$

S.t.Θ_ΔU，Θ_U，Θ_Y

15.如权利要求2或3或4或7或9或10或12或13或14所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

16.如权利要求5所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

17.如权利要求6所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

18.如权利要求8所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

19.如权利要求11所述的一种快速模型预测控制方法，其特征在于：在进行步骤6)时，求解开环最优控制增量序列ΔU^*(k)，利用ΔU^*(k)的首元素Δu^*(k+0|k)构造一种快速模型预测控制律u^*(k)，实现闭环控制：

u^*(k)＝u(k-1)+Δu^*(0|k)

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