CN101328967A - 纯滚动啮合的摆线齿轮传动 - Google Patents

Abstract

共轭啮合纯滚动的摆线齿轮，包括内摆线齿轮、外摆线齿轮和平摆线齿条；每个摆线齿轮的所有齿廓是一条封闭曲线，每个摆线齿条的所有齿廓是一条连续曲线；由内摆线齿轮与外摆线齿轮组成外啮合副，由内摆线齿轮与内摆线内齿轮、外摆线齿轮与外摆线内齿轮组成二种内啮合副，内摆线齿轮与平摆线齿条、外摆线齿轮与平摆线齿条组成二种齿轮齿条啮合副。由于摆线齿轮啮合是纯滚动，传动中无磨擦，齿面只有接触应力，因此，摆线齿轮运转平稳，噪声小，发热少，效率高，寿命长，传递功率大，适合持续高速运行；当小齿轮驱动时，最少齿数为2齿，无根切，所以承载能力大，是渐开线齿轮的2.5倍以上；体积小，与同功率的渐开线传动比较，体积减少50％以上，节省原材料，降低能源消耗。

Description

纯滚动啮合的摆线齿轮传动

本发明涉及一种纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为摆线齿轮的齿廓由一条封闭曲线组成，摆线齿条的齿廓由一条连续的曲线组成，并且齿廓在相互啮合的过程中，没有滑动摩擦。

在直接啮合的齿轮传动中，有渐开线齿轮、圆弧齿轮和摆线针轮等等，它们在机械传动中都承担着变速的作用。使用最普遍的是渐开线齿轮，其加工容易，便于提高精度，最少齿数一般是17齿。圆弧齿轮是以凹圆弧与凸圆弧做齿廓的斜齿圆柱齿轮，比渐开线斜齿轮的承载能力高1.5～2倍，磨损小，一对啮合的圆弧齿轮需要两把滚刀加工，噪声和振动比渐开线齿轮大，最少齿数是11齿。摆线针轮传动，是短幅外摆线的等距曲线齿廓与销齿啮合传动。在上述齿轮中，其啮合过程在齿廓间是相互存在滑动摩擦的。

本发明的目的是，提供一种纯滚动啮合的摆线齿轮传动，摆线齿轮脱离了渐开线等齿轮的齿廓成型规律，摆线齿轮没有顶圆和根圆，不论齿数多少，齿轮的所有齿廓由一条封闭曲线组成；摆线齿条由一条连续曲线组成；在相互啮合的一对齿轮中，其单齿的齿廓的曲线长度相等，达到纯滚动地啮合传动。当小齿轮作驱动时，最少齿数为2齿，并且摆线齿轮不存在根切。摆线齿轮可以外啮合、内啮合以及摆线齿轮与齿条啮合。

本发明的目的通过如下技术方案实现：由于找到了摆线的法线运动规律，发现了内外摆线的共轭效应，推导出摆线的法线运动方程、等距曲线方程，顺应自然规律，发明纯滚动共轭啮合的摆线齿轮；摆线齿轮的齿廓形状，以三种摆线的等距曲线参方程描述：

内摆线齿轮的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=(R-r)\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{r\λ}\cos (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})+C\frac{\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\cos (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\\ Y=(R-r)\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})+C\frac{\sin \mathrm{\θ}+\mathrm{\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

外摆线齿轮的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=(R+r)\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\cos (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})-C\frac{\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\cos (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\\ Y=(R+r)\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\sin (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})-C\frac{\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

平摆线齿条的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=\mathrm{r\θ}-\mathrm{r\λ}\sin \mathrm{\θ}+C\frac{\mathrm{\λ}\sin \mathrm{\θ}}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{\θ}}}\\ Y=r-\mathrm{r\λ}\cos \mathrm{\θ}+C\frac{\mathrm{\λ}\cos \mathrm{\θ}-1}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

上面三个方程中：R-基圆；r-发生圆；λ-幅长系数，0.75＜λ＜1；u-摆线齿轮齿数，同时u＝R/r；θ-摆线发生圆中心相对于基圆中心的转角；发生圆r与幅长系数r的乘积是摆线齿轮的模数m，m＝rλ。

在模数相同的情况，摆线齿轮可以组合五种啮合副：

1、外啮合的摆线齿轮副，由内摆线齿轮与外摆线齿轮共轭啮合组成，齿廓形状按内摆线和外摆线的两个等距曲线方程描述；

2内摆线齿轮的内啮合副，由内摆线的内齿轮与内摆线齿轮共轭啮合组成，齿廓形状按内摆线的等距曲线方程描述；

3、外摆线齿轮的内啮合副，由外摆线的内齿轮与外摆线齿轮共轭啮合组成，齿廓形状按外摆线的等距曲线方程描述；

4、内摆线齿轮与平摆线齿条啮合副，由内摆线齿轮与平摆线齿条共轭啮合组成，齿廓形状按内摆线和平摆线两个等距曲线方程描述；

5、外摆线齿轮与平摆线齿条啮合副，由外摆线齿轮与平摆线齿条共轭啮合组成，齿廓形状按外摆线和平摆线两个等距曲线方程描述。

通过以上五种组合方式，由封闭曲线形成的摆线齿轮、连续曲线形成的摆线齿条达到齿廓纯滚动的共轭啮合。

本发明的有益效果是：由于摆线齿轮啮合是纯滚动的，啮合传动中无磨擦，齿面只有接触应力，因此，摆线齿轮运转平稳，噪声小，发热少，效率高，寿命长，传递功率大，适合持续高速运行；当小齿轮作驱动时，最少齿数为2齿，没有根切，所以承载能力大，是渐开线齿轮的2.5倍以上；还可缩小传动结构，与相同功率传动的渐开线比较，体积减少50％以上，可节省大量原材料，降低能源消耗。

下面参照附图和具体实施例对本发明详细说明。

图1为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮传动共轭外啮合原理示意图。

图2为本发明的外啮合纯滚动分析示意图。

图3为本发明的外啮合实施示意图。

图4为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮传动共轭内啮合原理示意图。

图5为本发明内啮合纯滚动分析示意图。

图6为本发明的内啮合实施示意图。

图7为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮传动齿轮与齿条共轭啮合原理示意图。

图8为本发明的齿轮与齿条啮合纯滚动分析示意图。

图9为本发明的摆线齿轮与齿条啮合实施示意图。

图10为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮与渐开线齿轮行星变速器对比示意图。

图11为本发明的纯滚动啮合的摆线齿轮传动的检测示意图。

图12为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮行星变速器示意图。

图13所示为本发明纯滚动啮合的摆线齿轮行星变速器效果示意图。

如图1所示，活动的内摆线基圆R₂与发生圆r沿固定的外摆线基圆R₁纯滚动，同时r又沿活动基圆R₂纯滚动，并且R₂又沿R₁纯滚动，三圆的关系是：

R₂＝R₁-nr  (1-1)，R₁/r＝u  (1-2)，R₂/r＝k  (1-3)

n是一对相啮合齿轮的齿数差，n＝u-k；半径比u和k必须是整数，也是两个齿轮的齿数。在开始位置，三圆R₁、R₂、r都在X轴上的A点相切；当r沿R₁以ω_r从点A纯滚动θ角至切点B，与R₁相切的R₂以ω₂同步地沿R₁纯滚动α角至切点B，此时，内摆线基圆R₂与外摆线基圆R₁的切点由A移动至D；对于外摆线基圆R₁，r圆上的定点由A旋转uθ角至B′；同时，对于内摆线基圆R₂，r圆上的定点由D旋转kα角至B′；显然：弧长L＝AB＝DB＝BB′；

r沿R₁纯滚动，由切点A至B，旋转θ角，由弧长公式：θ＝L/R₁  (1-4)

r沿R₂纯滚动，由切点D至B，旋转α角，由弧长公式：α＝L/R₂  (1-5)

将(1-1)、(1-2)两式代入(1-5)式： $\mathrm{\α}=\frac{L}{R_1-\mathrm{nr}}=\frac{L}{R_1}\·\frac{u}{u-n}---(1-6)$

将(1-4)式代入(1-6)式： $\mathrm{\α}=\mathrm{\θ}\frac{u}{u-n}---(1-7)$

r沿R₁纯滚动θ角，r圆上的定点P旋转了uθ；

r沿R₂纯滚动α角，r圆上的定点P旋转了kα；

这样(1-7)式可写成： $\mathrm{k\α}=\mathrm{k\θ}\frac{u}{u-n}---(1-8)$

将(1-1)、(1-3)两式代入(1-8)式： $\mathrm{k\α}=\frac{R_1-\mathrm{nr}}{r}\·\frac{u}{u-n}\mathrm{\θ}=\mathrm{u\θ}---(1-9)$

(1-9)式说明；内摆线基圆R₂沿外摆线基圆R₁纯滚动的同时，摆线发生圆r既沿R₂纯滚动，又沿R₁纯滚动，发生圆r上的轨迹动点p处处重合；公切点B是R₁、R₂和r的共同瞬时中心，发生圆r上的固定点p与R₁、R₂、r三圆的公切点B的连线pB是轨迹点p的法线；使得两种摆线轨迹在动点p处共轭；从而，r相对于R₁的法线与r相对于R₂的法线处处重合；因此内摆线与外摆线以及它们的等距曲线，依次在重合着运动的法线p点和q点共轭，由此证明，内摆线齿轮与外摆线齿轮是共轭啮合。而图1中的基圆R₂沿基圆R₁纯滚动，正好就是内摆线齿轮沿外摆线齿轮啮合滚动。

如图2所示，是图1中的发生圆r沿R₁纯滚动一周经由点G₁，p，T₁产生的短幅外摆线的一支；发生圆r沿R₂纯滚动一周经由点g₁，p，t₁所产生的短幅内摆线的一支；在这对曲线左边的则是G₂，q，T₂，G₃，q₁，T₃二条短幅外摆线的等距曲线，以及g₂，q，t₂和g₃，q₁，t₃二条短幅内摆线的等距曲线。两条短幅摆线是在p点共轭，其余二对轮齿曲线依次在法线上的q点和q₁点共轭，将短幅摆线G₁，p，T₁(41.5698mm)和g₁，p，t₁(29.9314mm)进行比较，显然G₁，p，T₁＞g₁，p，t₁的长度；再将G₃，q₁，T₃(33.8899mm)和g₃，q₁，t₃(43.7542mm)进行比较，却是G₃，q₁，T₃＜g₃，q₁，t₃的长度；这两对曲线在啮合过程肯定是有滑动的，不能作为齿轮的齿廓。但是这两对曲线之间的G₂，q，T₂和g₂，q，t₂，它们的长度都是37.413mm，这对曲线长度相等；这就表明，在G₁，p，T₁＞g₁，p，t₁和G₃，q₁，T₃＜g₃，q₁，t₃之间肯定有一对曲线等长的共轭齿廓；因此，摆线齿轮外啮合是纯滚动的。

如图3所示，是三对外啮合纯滚动的螺旋(斜齿)摆线齿轮副，图3(a)、(b)是上面齿轮为外摆线的等距曲线，下面为内摆线等距曲线；图3(c)左边为外摆线等距曲线，右边为内摆线等距曲线，是螺杆压缩机的主要部件螺旋轴。根据摆线齿轮啮合原理，摆线齿轮啮合旋转的过程中，一对齿廓的共轭法线是变动的，其变动量在两个齿轮的中心连线的垂直范围内。同时一对齿廓理论上运动着法线上是点接触，端面重合度趋近于零；因此齿轮必须做成螺旋(斜)齿，达到连续运转，保证工作的平稳性；对于摆线齿轮内啮合，摆线齿轮与摆线齿条的啮合，同样须做成螺旋(斜)齿。

如图4所示，外摆线的发生圆r沿固定基圆R₁纯滚动，同时r又沿活动基圆R₂纯滚动，R₂同时又沿R₁纯滚动，三圆的关系是：

R₁＝R₂-nr  (4-1)，R₁/r＝u  (4-2)，R₂/r＝k  (4-3)

式中n是一对相啮合齿轮的齿数差，n＝u-k；半径比u和k必须是整数，也是两个齿轮的齿数。在开始位置，三圆R₁、R₂、r都在X轴上的A点相切；当r沿R₁从点A纯滚动θ角至切点B时，R₂以ω₂也沿R₁纯滚动α角至切点B，此时，活动基圆R₂与固定基圆R₁的切点由A移动至D；相对固定基圆R₁，发生圆r的切点A旋转uθ角至B′；相对活动基圆R₂，r圆上的切点已经由D旋转kα角至B′；显然：弧长L＝AB＝DB＝BB′；

r沿R₁纯滚动，由切点A至B，旋转θ角，由弧长公式：θ＝L/R₁  (4-4)

r沿R₂纯滚动，由切点D至B，旋转α角，由弧长公式：α＝L/R₂  (4-5)

将(4-1)、(4-2)两式代入(4-5)式： $\mathrm{\α}=\frac{L}{R_1+r}=\frac{L}{R_1}\·\frac{u}{u+n}---(4-6)$

将(4-4)式代入(4-6)式： $\mathrm{\α}=\mathrm{\θ}\frac{u}{u+n}---(4-7)$

r沿R₁纯滚动θ角，r圆上的定点p旋转了uθ；

r沿R₂纯滚动α角，r圆上的定点p旋转了kα；

这样(4-7)式可写成： $\mathrm{k\α}=\mathrm{k\θ}\frac{u}{u+n}---(4-8)$

将(4-1)、(4-2)、(4-3)三式代入(4-8)式： $\mathrm{k\α}=\frac{R_1+\mathrm{nr}}{r}\·\frac{u}{u+n}\mathrm{\θ}=\mathrm{u\θ}---(4-9)$

(4-9)式说明，活动基圆R₂沿固定基圆R₁纯滚动的同时，摆线发生圆r既沿R₂纯滚动，又沿R₁纯滚动，发生圆r上的轨迹动点p处处重合；公切点B是R₁、R₂和r的共同瞬时中心，发生圆r上的固定点p与三圆R₁、R₂、r的公切点B的连线pB是轨迹点p的法线；使得两条摆线轨迹在动点p处共轭；从而，r相对于R₁的法线与r相对于R₂的法线处处重合；因此一对外摆线和它们的等距曲线，依次在重合运动着的法线p点和q点共轭，由此说明，外齿摆线齿轮与外摆线轮内齿轮是共轭啮合。基圆R₂的沿基圆R₁纯滚动，正好就是外摆线齿轮沿外摆线内齿摆线轮啮合滚动。

如图5所示，是图4中的发生圆r沿基圆R₁纯滚动一周经由点g₁，p，t₁和r沿R₂纯滚动一周经由G₁，p，T₁产生的短幅外摆线各一支；在这对曲线左边的是G₂，q，T₂，g₂，q₁，t₂和G₃，q₁，T₃，g₃，q₁，t₃二对短幅外摆线的等距曲线。图5中的两条短幅外摆线是在p点共轭，其余二对齿廓曲线依次在法线pB上的q点和q₁点共轭；将摆线G₁，p，T₁(47.2592mm)和g₁，p，t₁(49.8862mm)进行比较，显然g₁，p，t₁＞G₁，p，T₁的长度；再将G₃，q₁，T₃(35.2193mm)和g₃，q₁，t₃(32.2923mm)进行比较，g₃，q₁，t₃＜G₃，q₁，T₃的长度；这两对曲线在啮合过程肯定是有相对滑动，不能作为齿轮的齿廓。但是这两对曲线之间的G₂，q，T₂和g₂，q，t₂，它们的长度都是37.4139mm，这对曲线完全等长，是理想的齿廓曲线；这就表明，在g₁，p，t₁＞G₁，p，T₁和g₃，q₁，t₃＜G₃，q₁，T₃之间肯定有一对曲线等长的共轭齿廓，因此，摆线齿轮内啮合是纯滚动的。

如图6所示，是二对内啮合纯滚动的螺旋(斜齿)外摆线齿轮副；图6(a)是当小齿轮驱动时，最少齿数为2齿，内齿轮是9齿；图6(b)的小齿轮是5齿；当(4-1)式中的n＝1时就可制造一齿差内啮合的纯滚动螺旋(斜齿)摆线齿轮副。

如图7所示，摆线的发生圆r和基圆R同时以同等线速度ω_r、ω_R和方向沿直线X纯滚动，圆r和R的关系是：R/r＝u；u必须是整数，也是摆线齿轮的齿数。在开始位置，r、R都在直线X轴上的A点相切；当R沿直线X从公切点A纯滚动θ角至切点B时，r同时沿直线X从点A纯纯滚动uθ角至切点B，此时，圆R的初始切点由A移动至D，圆r的初始切点由A移动至B′；显然：直线段AB与弧长DB和BB′的长度相等，即：L＝AB＝DB＝BB′。R由切点A沿直线X纯滚动θ角至B，按弧长公式：θ＝L/R；r由切点A沿直线X纯滚动uθ角至B，按弧长公式：θ＝L/ur；直线AB的长度为：L＝AB＝Rθ＝urθ。相对于基圆R，发生圆r上的固定点p的轨迹是内摆线N₁；相对于直线X，发生圆r上的p点轨迹是平摆线P₁；公切点B是R和r在直线X上的瞬时中心，发生圆r上的固定点p与B的连线是p点的法线，显然，法线pB对于圆r上的固定点p既是内摆线的法线，又是平摆线的法线，二者处处重合。法线上q点的轨迹必然就是P₁的等距曲线P₂，也是N₁的等距曲线N₂。两条摆线轨迹N₁和P₁的在动点p处共轭；同时，它们的等距曲线N₂和P₂在法线上的q点共轭，由此说明，内摆线齿轮与摆线齿条是共轭啮合。而图7中的R沿直线X纯滚动，正好就是内摆线齿轮N₂沿平摆线齿条P₂啮合滚动。

如图8所示，是图7中由发生圆r沿摆线基圆R纯滚动一周经由点G₁，p，T₁产生的短幅外摆线的一支；发生圆r沿直线X纯滚动一周经由g₁，p，t₁点产生的短幅平摆线的一支，它们是共轭啮合的一对曲线；在这对曲线下边的G₂，q，T₂和G₃，q₁，T₃是二条短幅内摆线的等距曲线，g₂，q，t₂和g₃，q₁，t₃是二条短幅平摆线的等距曲线。两条短幅摆线是在p点重合，其余二对轮齿曲线依次在法线上的q点和q₁共轭。将G₁，p，T₁(30.8284mm)和g₁，p，t₁(38.5351mm)进行比较，显然g₁，p，t₁＞G₁，p，T₁的长度；再将G₃，q₁，T₃(42.8509mm)和g₃，q₁，t₃(38.6359mm)进行比较，却是g₃，q₁，t₃＜G₃，q₁，T₃的长度；这两对曲线在啮合过程肯定是有滑动的，不能作为齿轮的齿廓曲线。但是这两对曲线之间的G₂，q，T₂和g₂，q，t₂都是38.5353mm，完全等长，是理想的齿廓曲线；这就是说，在G₁，p，T₁＞g₁，p，t₁和G₃，q₁，T₃＜g₃，q₁，t₃这两对曲线之间肯定有一对曲线等长的共轭齿廓，因此，摆线齿轮、齿条啮合是纯滚动的。

如图9所示，图中(a)是螺旋外摆线齿轮与斜齿平摆线齿条纯滚动啮合；图中(b)是螺旋内摆线齿轮与斜齿平摆线齿条纯滚动啮合。

如图10所示，是两种行星变速器按是计算尺寸在电脑上绘制，精度为保留小数点后8位；它们的输入、输出效果完全相同；渐开线齿轮模数＝2，齿圈为56齿，分度圆直径φ112mm，渐开线gt段长度是4.3217mm；行星轮为14齿(有根切)，分度圆直径φ28mm，由cd段渐开线3.1542mm和根切的de段0.9193mm组成，de段是不参与啮合的；太阳轮为28齿，分度圆直径φ56mm，渐开线ab段长度3.9491mm；齿圈与行星轮齿廓渐开线长度差是1.1675mm，在啮合中的相对滑动量是1.1675mm；行星轮与太阳轮的齿廓渐开线长度差是0.7949mm，啮合滑动量是0.7949mm。摆线齿轮模数＝1.98，齿圈为16齿，基圆直径φ70.4mm，行星轮为为4齿，基圆直径φ17.6mm，太阳轮为8齿，基圆直径φ35.2mm，它们的单齿齿廓曲线长度都是16.8084mm，长度差为零，在实际中会存在制造误差，将误差长度差控制在0.03mm以下是可以做到的。渐开线齿圈与行星轮的齿廓相对滑动量除以摆线齿轮滑动量：1.1675/0.03＝38.9；这样，渐开线的啮合滑动量是摆线齿轮的38.9倍，摆线齿轮的啮合滑动量远远小于渐开线。两种变速器的齿圈与太阳轮的齿数比都是2∶1，摆线齿圈基圆直径是渐开线的62.8％，在直径的面积上是渐开线的39.5％，在体积上显然是渐开线的50％以下，可节省大量的材料消耗。比较两种齿轮的齿廓形状，渐开线的瘦长，小于17齿就有根切；摆线的肥短，无根切；摆线齿轮的承载能力自然就比渐开线齿轮要大很多。摆线齿轮啮合是纯滚动的，齿面只有接触应力，是无磨损地啮合传动，使用寿命长，噪声小，发热少，承载能力大，运转平稳，效率高，适合持续高速传动。

如图11所示，对于摆线齿轮的检测，是在法面进行公法线L、弦齿高h和弦齿厚s测量。

如图12所示的纯滚动摆线齿轮行星变速器，是内摆线齿轮的太阳轮(1)齿数6，四个外摆线齿轮的行星轮(4)齿数6，外摆线内齿轮的齿圈(6)齿数18，通过行星轮轴(2)、轴承(3)、行星架(5)组成；由于齿轮(1)、(4)、(6)的单齿齿廓曲线长度都是15.2805mm，达到理论上的纯滚动。摆线齿轮行星变速器可组合出6种不同的输出形式，应用于不同的场合。在一台摆线齿轮行星变速器可切换出7种输出速度，成为机械变速箱，用于汽车的自动变速，可提高汽车的效率5％以上，缩小变速箱体积，延长使用寿命。

如图13所示为纯滚动摆线齿轮行星变速器的变速效果表。

Claims (8)

1、一种纯滚动啮合的摆线齿轮，是内摆线齿轮、外摆线齿轮和平摆线齿条；其特征为一个摆线齿轮的所有齿廓是一条封闭曲线，一个摆线齿条的所有齿廓是一条连续曲线，方程为：

内摆线齿轮的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=(R-r)\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{r\λ}\cos (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})+C\frac{\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\cos (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\\ Y=(R-r)\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})+C\frac{\sin \mathrm{\θ}+\mathrm{\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

外摆线齿轮的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=(R+r)\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\cos (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})-C\frac{\cos \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\cos (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\\ Y=(R+r)\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{r\λ}\sin (\mathrm{u\θ}+\mathrm{\θ})-C\frac{\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\λ}\sin (\mathrm{u\θ}-\mathrm{\θ})}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

平摆线齿条的齿廓曲线由 $\left\{\begin{array}{c}X=\mathrm{r\θ}-\mathrm{r\λ}\sin \mathrm{\θ}+C\frac{\mathrm{\λ}\sin \mathrm{\θ}}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\\ Y=r-\mathrm{r\λ}\cos \mathrm{\θ}+C\frac{\mathrm{\λ}\cos \mathrm{\θ}-1}{\sqrt{1+{\mathrm{\λ}}^2-2\mathrm{\λ}\cos \mathrm{u\θ}}}\end{array}\right.$ 描述；

三个方程中：R-基圆；r-发生圆；λ-幅长系数，0.75≤λ＜1；u-摆线齿轮齿数，同时u＝R/r；θ-摆线发生圆中心相对于基圆中心的转角，也是摆线发生圆沿直线滚动的转角；发生圆r与幅长系数λ的乘积是摆线齿轮的模数m，m＝rλ。

2、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的内摆线齿轮与外摆线齿轮的齿廓共轭外啮合。

3、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的内摆线齿轮与内摆线内齿轮的齿廓共轭内啮合。

4、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的外摆线齿轮与外摆线内齿轮的齿廓共轭内啮合。

5、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的内摆线齿轮与平摆线齿条的齿廓共轭啮合。

6、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的外摆线齿轮与平摆线齿条的齿廓共轭啮合。

7、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的内摆线齿轮、外摆线齿轮和外摆线内齿轮组合成摆线齿轮行星变速器。

8、根据权利要求1所述的纯滚动啮合的摆线齿轮，其特征为模数相同的外摆线齿轮、内摆线齿轮和内摆线内齿轮组合成摆线齿轮行星变速器。

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