CN101321004B - 多天线码分多址系统中基于博弈论的功率控制方法 - Google Patents

Abstract

多天线码分多址系统中基于博弈论的功率控制的解决方法，设计了一种基于接收端平均误比特率的博弈函数，以实现用户联合发射功率和误比特率的最小化。同时引入了一种基于链路质量与发射功率的惩罚机制来解决CDMA系统存在的“远近效应”，且可根据不同业务需求对惩罚因子进行实时调整。每个用户先对信号进行预编码处理，在接收端将信号分N条支路进行处理，每条支路乘以一个对应于预编码向量的接收向量，使得功率更新只需依赖部分信道状态信息的反馈。计算各用户每次迭代的发射功率及信干噪比，并完成对它们的可行性判断。以此不断调整直至所有用户前后两次迭代获得的发射功率向量满足二范数小于所设定的很小的数，则算法跳出迭代循环。

Description

多天线码分多址系统中基于博弈论的功率控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种用于多天线多入多出码分多址(MIMO-CDMA)系统中的分布式功率控制的解决方法，具体是一种以所设计的基于博弈论的功率控制模型来对多天线多入多出码分多址系统中上行链路的功率控制进行建模，从而解决系统中分布式功率控制问题的方法。

背景技术

码分多址(CDMA)技术作为第三代移动通信的关键技术受到了广泛的关注。在CDMA系统中，由于用户共用相同的频带，且各用户的扩频码之间存在着非理想的相关特性，用户发射功率的大小将直接影响系统的总容量。应该注意的是，由于蜂窝CDMA系统中近处的用户与小区边缘用户的信道衰减可能相差很大，这就导致强信号会抑制远地弱信号，形成所谓的“远近效应”。为了保证系统中尽可能多的用户能够进行有效的通信，保持系统中用户的公平性，同时有效地减少系统中每个用户的发射功率，延长电池的使用寿命，功率控制技术已成为CDMA系统中最为重要的核心技术之一。随着无线通信系统的进一步发展，第三代移动通信系统所能提供的业务能力与人们的期望仍相去甚远。考虑到核心网传输能力强，而现有的单天线系统又不能提供足够的接入速率以满足用户对多媒体业务的需求，多天线多入多出技术被人们提出来解决这一问题。多天线多入多出(MIMO)技术主要是指在用户端和基站端同时使用多副天线进行发送和接收，其核心思想是空时信号处理，即在原来时间维的基础上，通过使用多副天线来增加空间维，从而实现多维信号处理，获得空间复用增益或者空间分集增益。研究表明，使用多天线的MIMO技术能够充分利用空间资源，大大提高系统的频谱利用率和信道容量。所以多天线MIMO技术同传统的CDMA技术相结合引起了人们极大的兴趣。WCDMA，CDMA2000以及我国提出的TDS-CDMA分别给出了这三种技术同多天线MIMO技术相结合的提案。应该看到的是这两种技术的结合并没有解决CDMA系统中原有的缺点，有效的功率控制仍然是MIMO-CDMA系统中需要解决的问题。

近年来，博弈论的引入为解决无线通信系统中的功率控制问题，特别是分布式功率控制问题提供了一种新的方法。博弈论假设所有的参与者具有完全理性并相互独立的策略选择，然后通过设计不同的收益函数(代价函数)并对其进行最优化求解使得每个用户“自动”的达到系统所期望的性能。此时也就达到了一种相对稳定的平衡即博弈论所说的“纳什均衡”。这种方法能够对系统中的分布式功率控制问题进行合理的建模，通过设计不同的收益(代价)函数获得不同的性能从而引起人们的广泛关注。

经过对现有技术的文献检索发现，2007年，Neng Wang和Steven D.Blostein在《IEEE Transactions on Communications》，vo1.55，no.1，pp.180-187，January 2007发表了一篇“Approximate Minimum BER Power Allocation for MIMOSpatial Multiplexing Systems”(IEEE通信学报2007年1月，第55卷，180到187页，MIMO空分复用系统中近似最小化误比特率情况下的功率分配)的文章。该文提出了一种最小化发射端平均误比特率情况下的功率分配方案，由于文章只考虑了单用户时的情况，并不是一个分布式最优化问题，所以它没有考虑到大尺度损耗，也就是没有考虑系统中用户之间的公平性问题。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提出了一种多天线码分多址系统中基于博弈论的功率控制方法，本发明能够减小每个用户的误比特率，并在良好通信质量的前提下，使得每个用户的发射功率尽可能小。

本发明是通过以下技术方案实现的：

第一步：在含有N个用户的单蜂窝多天线多入多出码分多址系统中，每个用户配备Mt根发射天线，基站有Mr根接收天线，在某个时隙内，假定系统中的每个用户都能接入，各用户完成的初始化发送信号功率值为p_ini，且所有用户的目标信干噪比均为γ_tar；

第二步：用户i的待发送信号为x_i(i＝1，2，…N)，在发送之前先对其进行预编码处理，得到编码后的信号x′_i，表示为x′_i＝w_ix_i，w_i为用户i的预编码向量，在每根发射天线上用户对发送信号单独的进行扩频和相同调制；

第三步：在基站端获得的接收信号r可表示为：

$r=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i{x}_i^{\′}+v$

其中，H_i表示第i个用户的信道矩阵，v表示加性高斯白噪声，其噪声方差为N₀，同时在接收端将信号分N条支路进行处理，一条支路对应于一个用户，拟与第i个用户相对应的支路乘以一个对应于预编码向量的接收向量T_i，可得 $y_i=T_i\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{H}_i{x}_i^{\′}+T_{i}v,$ 对用户i的信道矩阵进行奇异值分解(SVD)： $H_i=U_i{S}_i{V}_i^H,$ 其中，S_i为对角阵，其对角线上的元素按从大到小的顺序排列，且第k个元素表示为s_i ^k，U_i为左奇异矩阵，表示为： $U_i=[u_i^1,u_i^2,...,u_i^{\mathrm{Mr}}],$ u_i ^k为第k个奇异值所对应的左奇异向量，V_i为右奇异矩阵，表示为： $V_i=[v_i^1,v_i^2,...,v_i^{\mathrm{Mt}}],$ v_i ^k为第k个奇异值所对应的右奇异向量，令 $T_i={\left(u_i^1\right)}^H,$ $w_i=v_i^1,$ 那么上文所提及的y_i可改写为：

$y_i=s_i^1{x}_i+{\left(u_i^1\right)}^H\underset{j=\mathrm{1,2},...N}{\underset{j\≠i}{\mathrm{\Σ}}}[u_j^1,u_j^2,...,u_j^{\mathrm{Mr}}]\left[\begin{array}{c}{s}_j^1\\ 0\end{array}\right]x_j+{\left(u_i^1\right)}^{H}v$

其中s_i ¹表示H_i的最大奇异值，j为不是用户i的其他用户；

第四步：利用上式可以获得当前迭代中第i个用户第k根接收天线的信干噪比γ_i ^k，具体表示式：

${\mathrm{\γ}}_i^k=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2{p}_i^k}{E_s\underset{j\≠i}{\mathrm{\Σ}}{\left({\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^k/L+N_0{G}_{k,k}}$

其中E_s表示发送信号的能量，L表示该码分多址系统的扩频序列长度，p_i ^k表示用户i第k根天线的发射功率， ${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{ij}}^k={\left(u_i^1\right)}^H{u}_j^k,$ G_k，k表示矩阵G的第k行k列元素， $G=\left(u_i^1\right){\left(u_i^1\right)}^H,$ p_j ^k表示用户j第k根天线的发射功率，且所有用户在其发射天线上进行平均功率分配；

将每个用户发射端的误比特率作为优化目标，同时考虑到用户的公平性，本发明所设计的博弈函数可以表示为：J(P)＝U(P)+C(P)，其中U(P)表示代价函数，C(P)表示对应于惩罚机制的函数，P表示发射功率分配矩阵，若系统的调制方式为非相关频移键控，且将惩罚机制定为基于发射功率和信道幅值代价的机制，具体为 $U_i\left(P\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{Mr}}{\mathrm{\Σ}}}\frac{a}{2}\exp (-{\mathrm{\γ}}_i^k/2),$ C_i(P)＝bκ_ip_i，其中p_i表示用户i的发射功率，通过对博弈函数J(P)关于发射功率p_i ¹求导并令其为0，可得当前迭代中各用户发射功率的更新表达式：

其中a，b为常量可调整，κ_i对应与第i个用户的大尺度衰落，n表示迭代次数，(p_i ¹)⁽ⁿ⁾表示用户i第一根天线在第n次迭代时的发射功率，(p_i ¹)⁽ⁿ⁺¹⁾表示用户i第一根天线在第n+1次迭代时的发射功率，则(γ_i ¹)⁽ⁿ⁾表示用户i第一根天线在第n次迭代时的信干噪比，利用上述两个表达式可求得每一次迭代时用户的信干噪比和发射功率；

第五步：基站端判断各用户本次迭代所获得的发射功率：

①基站判断获知的各用户的发射功率是否小于用户的最大发射功率限制，如果不满足该条件，那么基站向该用户发射一个2比特“00”的信息，该用户收到该信息以后以最大的发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

②基站判断获知的各用户的发射功率是否满足保证算法收敛的条件，具体为 $\frac{4b{\mathrm{\&kappa;}}_i}{a{M}_i^1}<e^{-1},$ 其中 $M_i^1=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2}{E_s\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^1/L+N_0{G}_{\mathrm{1,1}}},$ 如果不满足该条件，基站向该用户发射一个2比特“01”的信息，该用户收到信息后以最大发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

③基站判断所获知的各用户的信干噪比是否满足最小信干噪比的要求，如果不满足该条件，那么基站发射一个2比特的“10”给该用户，用户以最大发射功率进行发射，或者更为复杂的算法是强制所有用户的信干比等于目标信干比，反过来利用表示式 $p_i^1=-\frac{2}{M_i^1}\log \left(\frac{4b{\mathrm{\&kappa;}}_i}{a{M}_i^1}\right),$ 求得每个用户的发射功率，以该功率进入下一次迭代，如果满足该条件，则基站完成了对所得发射功率可行性的判断；

然后，计算所有用户前后两次迭代获得的发射功率向量是否满足二范数小于ε，其中ε可设为10^-5，若满足，则跳出迭代循环，且所获得的发射功率为博弈算法的纳什均衡，而每个用户最终都以收敛时候的功率进行发射，若不满足，在进入下一次迭代更新过程。

以上所述的技术方案可扩展到多小区的情况，只是功率更新的表达式有所不同。

根据多天线码分多址系统的特点，本发明设计了一种基于接收端平均误比特率的博弈函数。它能使每个用户在进行信息传输的过程中所获得的误比特率尽可能小，同时在相同的通信质量的要求下，能尽可能降低其发射功率，即实现用户联合发射功率和误比特率的最小化，从而达到以较小的发射功率为代价获得较高信噪比的目标。在此基础上，考虑到CDMA系统中不可避免的“远近效应”的问题，本发明引入了一种基于链路质量与发射功率的惩罚机制来消除系统的远近效应，从而实现了系统中各用户之间的公平性，而且惩罚因子可根据不同业务的需求进行实时调整，具有较大的自由度。另外本算法只需要进行有限的信息反馈即可，而并不需要完全的信道状态信息(CSI)，减轻了基站庞大的反馈负荷，更具实用性。

本发明的适用范围是多天线MIMO-CDMA系统中上行链路的分布式功率控制问题。在这种系统中，假定接收端-基站可以通过精确的信道估计获得完全信道信息(CSI)，发射端通过反馈信道获得信道信息。同时假定该系统在一个时隙内保持信道基本不变。在本发明中，每个用户都期望能够在发射功率尽可能小的情况下获得最佳的误比特率性能，这就要求系统对每个用户进行一定程度的“惩罚”。值得说明的是如何选择“惩罚”方式的问题。现有的“惩罚”机制主要包括以下几种：①基于发射功率的代价机制；②基于信道增益的代价机制；③基于干扰的代价机制。在本发明中考虑的代价机制为基于发射功率与信道增益乘积的代价机制。这样能够考虑到CDMA系统的“远近效应”问题。另外一个需要指出的是，为了消除用户天线之间的干扰，并获得最大的接收信噪比，本发明在发射端设计了一个预编码矩阵，并在基站端考虑了一个对应的接收矩阵对信号进行处理。

本发明提出是基于博弈论的分布式功率控制方法，能有效解决MIMO-CDMA系统中的分布式功率控制问题。本发明的主要思想是为了最小化每个用户的误比特率，并使得每个用户的发射功率尽可能小。根据该思想设计的博弈函数是基于最小化用户接收天线误比特率的函数，而并不是传统的基于最小化用户发射天线误比特率的函数。同时为了进一步减小用户的误比特率，特别是为了解决CDMA系统中不可避免的“远近效应”的问题，本发明引入了合理的惩罚机制，同时根据不同业务的需求对惩罚因子进行实时调整，也体现了本发明中方法的灵活性。另外，本算法只需要进行有限的信息反馈，而并不需要完全的信道状态信息(CSI)。在本算法中基站只需要向每个用户反馈其信道的最大奇异值以及其对应的奇异向量。相比在传统的基于最小化发射天线误比特率的方法中每个用户需要完全的信道状态信息，本方法对基站的反馈量要求将大大减少，更具实用性。

附图说明

图1是一个典型的MIMO-CDMA系统，为了表示简便，本发明中简略了扩频以及解扩，实际上每个用户在其每根天线上进行了单独的扩频，且每个用户在其各根天线上使用的扩频码是相同的，用户之间的扩频码是不同的，考虑到扩频码的不完全正交特性，本发明中采用的扩频序列为伪随机序列。

图2是本发明的算法流程图。

图3是本发明同传统基于最小化发射端误比特率方法的误比特率性能比较。

图4是本发明同传统基于最小化发射端误比特率方法的发射功率比较。

具体实施方式

第一步：在含有N个用户的单蜂窝多天线多入多出码分多址系统中，每个用户配备Mt根发射天线，基站有Mr根接收天线，在某个时隙内，假定系统中的每个用户都能接入，各用户完成的初始化发送信号功率值为p_ini，且所有用户的目标信干噪比均为γ_tar；

第二步：用户i的待发送信号为x_i(i＝1，2，…N)，在发送之前先对其进行预编码处理，得到编码后的信号x′_i，表示为x′_i＝w_ix_i，w_i为用户i的预编码向量，在每根发射天线上用户对发送信号单独的进行扩频和相同调制；

第三步：在基站端获得的接收信号r可表示为：

$r=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{H}_i{x}_i^{\&prime;}+v$

其中，H_i表示第i个用户的信道矩阵，v表示加性高斯白噪声，其噪声方差为N₀，同时在接收端将信号分N条支路进行处理，一条支路对应于一个用户，拟与第i个用户相对应的支路乘以一个对应于预编码向量的接收向量T_i，可得 $y_i=T_i\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{H}_i{x}_i^{\&prime;}+T_{i}v,$ 对用户i的信道矩阵进行奇异值分解(SVD)： $H_i=U_i{S}_i{V}_i^H,$ 其中，S_i为对角阵，其对角线上的元素按从大到小的顺序排列，且第k个元素表示为s_i ^k，U_i为左奇异矩阵，表示为： $U_i=[u_i^1,u_i^2,...,u_i^{\mathrm{Mr}}],$ u_i ^k为第k个奇异值所对应的左奇异向量，V_i为右奇异矩阵，表示为： $V_i=[v_i^1,v_i^2,...,v_i^{\mathrm{Mt}}],$ v_i ^k为第k个奇异值所对应的右奇异向量，令 $T_i={\left(u_i^1\right)}^H,$ $w_i=v_i^1,$ 那么上文所提及的y_i可改写为：

$y_i=s_i^1{x}_i+{\left(u_i^1\right)}^H\underset{j=\mathrm{1,2},...N}{\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}}[u_j^1,u_j^2,...,u_j^{\mathrm{Mr}}]\left[\begin{array}{c}{s}_j^1\\ 0\end{array}\right]x_j+{\left(u_i^1\right)}^{H}v$

其中s_i ¹表示H_i的最大奇异值，j为不是用户i的其他用户；

第四步：利用上式可以获得当前迭代中第i个用户第k根接收天线的信干噪比γ_i ^k，具体表示式：

${\mathrm{\&gamma;}}_i^k=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2{p}_i^k}{E_s\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^k/L+N_0{G}_{k,k}}$

其中E_s表示发送信号的能量，L表示该码分多址系统的扩频序列长度，p_i ^k表示用户i第k根天线的发射功率， ${\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^k={\left(u_i^1\right)}^H{u}_j^k,$ G_k，k表示矩阵G的第k行k列元素， $G=\left(u_i^1\right){\left(u_i^1\right)}^H,$ p_j ^k表示用户j第k根天线的发射功率，且所有用户在其发射天线上进行平均功率分配；

将每个用户发射端的误比特率作为优化目标，同时考虑到用户的公平性，本发明所设计的博弈函数可以表示为：J(P)＝U(P)+C(P)，其中U(P)表示代价函数，C(P)表示对应于惩罚机制的函数，P表示发射功率分配矩阵，若系统的调制方式为非相关频移键控，则误比特率性能为 $P_e=\frac{1}{2}\exp (-\mathrm{\&gamma;}/2),$ γ为信干噪比，且将惩罚机制定为基于发射功率和信道幅值代价的机制，具体为 $U_i\left(P\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{Mr}}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{a}{2}\exp (-{\mathrm{\&gamma;}}_i^k/2),$ C_i(P)＝bκ_ip_i，其中p_i表示用户i的发射功率，通过对博弈函数J(P)关于发射功率p_i ¹求导并令其为0，可得当前迭代中各用户发射功率的更新表达式：

其中a，b为常量可调整，κ_i对应与第i个用户的大尺度衰落，n表示迭代次数，(p_i ¹)⁽ⁿ⁾表示用户i第一根天线在第n次迭代时的发射功率，(p_i ¹)⁽ⁿ⁺¹⁾表示用户i第一根天线在第n+1次迭代时的发射功率，则(γ_i ¹)⁽ⁿ⁾表示用户i第一根天线在第n次迭代时的信干噪比，利用上述两个表达式可求得每一次迭代时用户的信干噪比和发射功率；

第五步：基站端判断各用户本次迭代所获得的发射功率：

①基站判断获知的各用户的发射功率是否小于用户的最大发射功率限制，如果不满足该条件，那么基站向该用户发射一个2比特“00”的信息，该用户收到该信息以后以最大的发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

②基站判断获知的各用户的发射功率是否满足保证算法收敛的条件，具体为 $\frac{4b{\mathrm{\&kappa;}}_i}{a{M}_i^1}<e^{-1},$ 其中 $M_i^1=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2}{E_s\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^1/L+N_0{G}_{\mathrm{1,1}}},$ 如果不满足该条件，基站向该用户发射一个2比特“01”的信息，该用户收到信息后以最大发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

③基站判断所获知的各用户的信干噪比是否满足最小信干噪比的要求，如果不满足该条件，那么基站发射一个2比特的“10”给该用户，用户以最大发射功率进行发射，或者更为复杂的算法是强制所有用户的信干比等于目标信干比，反过来利用表示式 $p_i^1=-\frac{2}{M_i^1}\log \left(\frac{4b{\mathrm{\&kappa;}}_i}{a{M}_i^1}\right),$ 求得每个用户的发射功率，以该功率进入下一次迭代，如果满足该条件，则基站完成了对所得发射功率可行性的判断；

然后，计算所有用户前后两次迭代获得的发射功率向量是否满足二范数小于ε，其中ε可设为10^-5，若满足，则跳出迭代循环，且所获得的发射功率为博弈算法的纳什均衡，而每个用户最终都以收敛时候的功率进行发射，若不满足，在进入下一次迭代更新过程。

以下结合附图提供具体的实例：

考虑一个单蜂窝多天线多入多出码分多址系统，共有12个用户随机分布其内。系统中每个用户的最大发射功率均为p_max＝1Watt，发射信号的能量为E_s＝4×10^-3，基站的背景噪声功率为N₀＝2×10^-13mW。信道增益模型为 $h_i=A/r_i^{\mathrm{\&alpha;}},$ 其中所涉及的参数分别设为：A＝0.097，a＝4。设置基于发射功率和信道幅值代价的机制中的可调常数参量为a＝1，b＝1，初始功率为p_ini＝2.22×10^-16W，目标信干噪比γ_tar＝8。每个用户先对信号进行预编码处理，在每根天线上对信号单独的进行扩频和相同的调制，具体为选择256位的伪随机扩频序列，即L＝256，并采用非相关频移键控。同时在接收端将信号分12条支路进行处理，每条支路乘以一个对应于预编码向量的接收向量。这样可以根据反馈的部分信道状态信息进行功率更新。如图2，整个实例的实现过程如下：

第一步：系统中各用户按照选择的初始功率值发送功率，进入对各自发射功率值的迭代更新过程；

第二步：基站得到各用户各天线上的接收信号，同时计算各用户该次迭代的发射功率以及信干噪比。而后进行比较判断。如果某用户迭代获得的发射功率大于用户的最大发射功率限制，那么基站向该用户发射一个2比特“00”的信息，该用户收到信息后以最大发射功率进行发射，算法进入下一次迭代。如果各用户均小于最大功率约束，则进入下一步比较判断；

第三步：基站继续判断获知的各用户的发射功率是否满足保证算法收敛的条件，如果不满足该条件，基站向该用户发射一个2比特“01”的信息，该用户收到信息后以最大发射功率进行发射，算法进入下一次迭代。如果满足该条件，则算法进入下一步；

第四步：基站计算每个用户的信干比，如果某用户信干比小于目标信干比，那么基站发射一个2比特的“10”给该用户，用户以最大发射功率进行发射，算法进入一次迭代。如果满足该条件，则算法进入下一步；

第五步：进入下次迭代，如果所有用户前后两次迭代获得的发射功率向量满足二范数小于ε，其中ε为10^-5，那么此时算法跳出迭代循环，此时迭代获得的发射功率为博弈算法的纳什均衡。而每个用户都以收敛时候的功率进行发射。

Claims (1)

1.一种用于多天线码分多址系统中基于博弈论的功率控制的解决方法，其特征在于：

第一步：在含有N个用户的单蜂窝多天线多入多出码分多址系统中，每个用户配备Mt根发射天线，基站有Mr根接收天线，在某个时隙内，假定系统中的每个用户都能接入，各用户完成的初始化发送信号功率值为p_ini，且所有用户的目标信干噪比均为γ_tar；

第二步：用户i的待发送信号为x_i(i＝1，2，…N)，在发送之前先对其进行预编码处理，得到编码后的信号x′_i，表示为x′_i＝w_ix_i，w_i为用户i的预编码向量，在每根发射天线上用户对发送信号单独的进行扩频和相同调制；

第三步：在基站端获得的接收信号r可表示为：

$r=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{H}_i{x}_i^{\&prime;}+v$

其中，H_i表示第i个用户的信道矩阵，v表示加性高斯白噪声，其噪声方差为N₀，同时在接收端将信号分N条支路进行处理，一条支路对应于一个用户，拟与第i个用户相对应的支路乘以一个对应于预编码向量的接收向量T_i，可得

对用户i的信道矩阵进行奇异值分解(SVD)：

其中，S_i为对角阵，其对角线上的元素按从大到小的顺序排列，且第k个元素表示为

U_i为左奇异矩阵，表示为：

为第k个奇异值所对应的左奇异向量，V_i为右奇异矩阵，表示为：

为第k个奇异值所对应的右奇异向量，令

那么上文所提及的y_i可改写为：

$y_i=s_i^1{x}_i+{\left(u_i^1\right)}^T\underset{j=\mathrm{1,2},...N}{\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}}[u_j^1,u_j^2,...,u_j^{\mathrm{Mr}}]\left[\begin{array}{c}{s}_j^1\\ 0\end{array}\right]x_j+{\left(u_i^1\right)}^{H}v$

其中

表示H_i的最大奇异值，j为不是用户i的其他用户；

第四步：利用上式可以获得当前迭代中第i个用户第k根接收天线的信干噪比

具体表示式：

${\mathrm{\&gamma;}}_i^k=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2{p}_i^k}{E_s\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^k/L+N_0{G}_{k,k}}$

其中E_s表示发送信号的能量，L表示该码分多址系统的扩频序列长度，

表示用户i第k根天线的发射功率，G_k，k表示矩阵G的第k行k列元素，

表示用户j第k根天线的发射功率，且所有用户在其发射天线上进行平均功率分配；

将每个用户发射端的误比特率作为优化目标，同时考虑到用户的公平性，所设计的博弈函数可以表示为：J(P)＝U(P)+C(P)，其中U(P)表示代价函数，C(P)表示对应于惩罚机制的函数，P表示发射功率分配矩阵，若系统的调制方式为非相关频移键控，且将惩罚机制定为基于发射功率和信道幅值代价的机制，具体为

C_i(P)＝bκ_ip_i，其中p_i表示用户i的发射功率，通过对博弈函数J(P)关于发射功率

求导并令其为0，可得当前迭代中各用户发射功率的更新表达式：

其中a，b为常量可调整，κ_i对应与第i个用户的大尺度衰落，n表示迭代次数，

表示用户i第一根天线在第n次迭代时的发射功率，

表示用户i第一根天线在第n+1次迭代时的发射功率，则表示用户i第一根天线在第n次迭代时的信干噪比，利用上述两个表达式可求得每一次迭代时用户的信干噪比和发射功率；

第五步：基站端判断各用户本次迭代所获得的发射功率：

①基站判断获知的各用户的发射功率是否小于用户的最大发射功率限制，如果不满足该条件，那么基站向该用户发射一个2比特“00”的信息，该用户收到该信息以后以最大的发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

②基站判断获知的各用户的发射功率是否满足保证算法收敛的条件，具体为

其中 $M_i^1=\frac{E_s{\left(s_i^1\right)}^2}{E_s\underset{j\&NotEqual;i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\left({\mathrm{\&rho;}}_{\mathrm{ij}}^1{s}_j^1\right)}^2{p}_j^1/L+N_0{G}_{\mathrm{1,1}}},$ 如果不满足该条件，基站向该用户发射一个2比特“01”的信息，该用户收到信息后以最大发射功率进行发射，算法直接进入下一次迭代，如果满足该条件，则算法进入下一步的判断；

③基站判断所获知的各用户的信干噪比是否满足最小信干噪比的要求，如果不满足该条件，那么基站发射一个2比特的“10”给该用户，用户以最大发射功率进行发射，或者更为复杂的算法是强制所有用户的信干比等于目标信干比，反过来利用表示式

求得每个用户的发射功率，以该功率进入下一次迭代，如果满足该条件，则基站完成了对所得发射功率可行性的判断；

然后，计算所有用户前后两次迭代获得的发射功率向量是否满足二范数小于ε，其中ε可设为10^-5，若满足，则跳出迭代循环，且所获得的发射功率为博弈算法的纳什均衡，而每个用户最终都以收敛时候的功率进行发射，若不满足，在进入下一次迭代更新过程。

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