CN101278292B - 对油藏中的一组应力和位移进行建模的方法和系统 - Google Patents

Abstract

一种进行应力计算的方法，适用于建模油藏中的一组应力和位移，包括：(a)通过将所关心的区域网格化建立所关心区域上的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心；(b)内插所关心区域中从单元中心到网格节点的未知岩石位移；(c)在每一单元上积分以形成方程的离散系统；和(d)使用该方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移。

Description

对油藏中的一组应力和位移进行建模的方法和系统

技术领域

本说明书的主题涉及一种新的用于下述一组线性弹性方程的有限容积方法(以及相关的系统和程序存储装置)，并且特别涉及一种对一般非结构三维网格上的一组线性弹性方程进行离散化的有限容积方法。

背景技术

通常使用有限差或有限容积方法来离散化商用油藏模拟器中的流动方程，而对于应力方程更通常的是使用有限元法。在设计包括地质力学效应的油藏模拟器中，必须使用某种程度的耦合来求解这两个不同类型的方程。因此自然要问：对于该应力方程，是否可以推导出适当的有限容积方法，使得该应力和流体流动模型可以共用相同的微分，以及对于这些耦合系统，有限容积和有限元法的相对优势是什么。

在本说明书中，选择使用将该应力与流体流动耦合来提供一组应力方程的有限容积离散化，如在商用油藏模拟器中所实施的。所提供的该方法具有局部守恒性，并且在一般的三维网格上保持有二阶精度。讨论了施加各种类型的边界条件，并且描述了特殊特征的实施，诸如断层、狭缩和局部网格精化。根据有限差(参见下面的对比文件1和2)和有限元(参见下面的对比文件3)提供与其它方法的比较。也讨论这三种不同方法的相对精度、效率和稳健性。

发明内容

如在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”的一方面包括一种进行应力计算的方法，适用于建模油藏中的一组应力和位移，包括：(a)通过将所关心的区域网格化建立所关心区域上的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心；(b)内插所关心区域中从单元中心到网格节点的未知岩石位移；(c)在每一单元上积分以形成方程的离散系统；和(d)使用该方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移。

如在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”的另一方面包括一种机器可读的程序存储装置，其有形地包含有可通过该机器执行的一组指令，以实施进行适用于建模油藏中的一组应力和位移的应力计算的方法步骤，该方法步骤包括：(a)通过将所关心的区域网格化建立所关心区域上的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心；(b)内插所关心区域中从单元中心到网格节点的未知岩石位移；(c)在每一单元上积分以形成方程的离散系统；和(d)使用该方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移。

如在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”的另一方面包括一种适用于进行应力计算以建模油藏中的一组应力和位移的系统，包括：第一设备，用于通过将所关心的区域网格化建立所关心区域上的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心；第二设备，用于内插所关心区域中从单元中心到网格节点的未知岩石位移；第三设备，用于在每一单元上积分以形成方程的离散系统；和第四设备，用于在使用该方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移的时候建模该油藏。

如在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”的另一方面包括一种适用于通过处理器来执行的计算机程序，当通过该处理器执行该计算机程序时，其实施适用于进行应力计算、以建模油藏中的一组应力和位移的过程，该过程包括：(a)通过将所关心的区域网格化建立所关心区域上的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心；(b)内插所关心区域中从单元中心到网格节点的未知岩石位移；(c)在每一单元上积分以形成方程的离散系统；和(d)使用该方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移。

从此后所提供的详细描述将会清楚可应用性的其它方面。然而要理解的是，下面所陈述的详细描述和具体范例只是通过说明的方式给出，因为本领域的熟练技术人员根据对下面详细描述的阅读将会清楚如在该说明书中所描述和请求保护的“用于线性弹性的有限容积法”的精神和范围内的各种改变和修改。

附图说明

根据此下所提供的详细描述和附图将会得到完整的理解，其仅仅是通过说明的方式给出，并且没有任何程度的限定性，其中：

图1所述为用于产生缩减地震数据输出记录的地震操作，图1的该地震操作包括数据缩减操作；

图2所述为用于产生测井曲线输出记录的井眼操作；

图3所述为用于执行图1的数据缩减操作的计算机系统；

图4和5所述为用于存储“Flogrid”软件和“Eclipse”模拟器软件的工作站；

图6和7所述为图5的“Flogrid”软件更详细的构造，其用于产生由该“Eclipse”模拟器软件使用的输出数据，该Eclipse模拟器软件包括在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”；

图8所述为通过图6的该“Eclipse”模拟器软件所产生的典型输出显示的范例，其显示在图6的3D察看器上；

图9所述为执行油藏模拟的现有技术方式或方法，其已经通过现有技术的油藏模拟器实施；

图10所述为图5和6的Eclipse模拟器软件，其包括在本说明书中所描述的“用于线性弹性的有限容积法”；

图11所述为二维有限容积网格的一部分；

图12和13所述为具有狭缩和局部网格细分的网格部分；

图14所述为在控制容积面上的积分；

图15所述为穿过具有局部细分的网格的片层面上的轮廓；

图16所述为变换的具有狭缩的网格；

图17所述为穿过具有随机形变的网格的片层面；

图18所述为变换的具有狭缩、断层和局部网格细分的网格；

图19所述为用于常规已知实际方案的各种类型的序列网格上的收敛速率；

图20所述的表格显示了用于序列网格化和转换的多网格迭代(cpu时间)；

图21所述为用于商用模拟器中的有限容积法的有效应力项σ_xx；

图22所述为用于商用模拟器中的有限容积法的有效应力项σ_xx；

图23所述为用于在矿井周围具有局部网格细分的商用模拟器中的有限容积法的有效应力项σ_xx。

具体实施方式

石油和气产自地下岩层。这些岩石是多孔的，像海绵一样，它们充满了流体，通常是水。岩石的这种多孔特性就是熟知的多孔性。除了多孔之外，这些岩石具有能够让流体流经通过这些孔，通过称为渗透性的属性对该特性进行测量。当这种岩层中聚集有石油(或气)时，就可以通过钻井接入该岩层中将其抽提。只要该矿井中的压力低于该岩层中的压力，包含在该孔中的流体就会流入矿井中。这些流体然后就自然可以流到矿井上面，到达地面，或者可以借助于泵流到矿井上面。在地面上所产生的石油、气和水的相对量取决于每一类型的流体在该岩石孔空间中所占据的比例。孔中总是有水，但是如果其容积比例没有超过在一类岩石与另一类岩石之间变化的阈值时，其不会流动。类似地，只有当石油和气的容积比例超过它们自己的阈值时，它们才会流动。

油藏中的岩石特性(包括多孔性和渗透性)从一个位置到另一位置变化非常大。于是，可以产生石油、气和水的相对量也随着油藏到油藏而变化。这些变化使得难以简单的预测油藏会产生的流体和气体量，以及需要从特定油藏产生的资源量。然而，想要从油藏进行生产的部门需要具有一定精度地预计该油藏的产量，以确定从该油藏进行生产的可行性。因此，为了从油藏中的所有矿井精确地预测生产率，就需要建造该油藏的地质和地理的详细数学模型。

已经对油藏模拟工具的开发进行了大量研究。这些工具包括描述并用来预测三维地面岩层(油田)内的石油和气的多相位流动的数学和计算机模型。油藏工具使用经验获得的数据来描述油田。这些数据与数学模型结合，并通过其进行计算，其输出结果描述在未来某一时间该油田的具体特性，以及可测量的量，诸如单个矿井和矿井组的产量或喷油速率、每一矿井的底孔或油管头压力、以及该油藏内压力和流体相位的分布。

该油藏的数学模型典型地通过将该油藏容积划分成为多个互联单元并估计每一单元的平均渗透性、多孔性以及其它岩石属性来完成。该过程利用了地震数据、测井曲线以及当钻井时开采的岩心。然后通过数值解算描述该油藏中流体流量的三个或多个非线性、偏微分方程的系统可以对该油藏的产量进行数学建模。

该油藏产量的计算机分析通常分为两个阶段：历史匹配和预测。在该历史匹配阶段，反复建模该油藏及其矿井的过去产量表现，从初始产量开始并继续到当前时间。该第一计算机运行基于上述地质模型。在每一运行之后，将该计算机结果详细地与在整个生产周期期间该油田中所收集的数据进行比较。地质学家根据所计算出的与实际的产量能力之间的差修改该油藏的地质模型，并重新运行该计算机模型。该过程一直继续到该数学油藏模型表现地与实际油藏相似为止。

一旦已经获得了适当的历史匹配，就可以预测未来(有时长达50年之久)的油藏的产量。通过比较许多可替换的操作计划就可以最大的石油开采并减少生产成本，每个计划都需要重新运行该计算机模型。在油田开发计划投入进行之后，该油藏模型可以周期性地重新运行和进一步调节，以提高其与新收集的产量数据匹配的能力。

当获得了关于该油藏的足够数据时，就可以对油藏的特性进行数学建模，以预测该油藏中矿井的生产率。该油田的全部特性包括该油藏岩石的多孔性和渗透性、该地质区域的厚度、地质断层的位置和特性、相对渗透性和毛细压力函数、以及诸如有密度、粘性和相位均衡关系的油藏流体的特性。根据该数据产生一组连续偏微分方程(PDE)，其将该油田的表现描述为时间和产量参数的函数。这些产量参数包括该矿井的位置、该矿井完成的特性、以及应用于该矿井的操作限制。该矿井的操作限制可以包括诸如特定流体相位的生产率、底孔压力、油管头压力、或者矿井组的组合流速。可以通过数据直接应用这些限制，或者通过用来传输从该矿井中产生或注入其中的流体的地面设备中对流体的流动建模的其它模拟器来应用这些限制。然而，因为使用典型的或封闭形式的技术(例如具有环形边界的同类油田)只能解算PDE的最简单系统，所以将模型的PDE转换为一组非线性逼近，然后对其进行数值解算。一种逼近技术就是该有限差分法。在该有限差分法中，将油藏PDE转换为一系列差商，其将油藏划分为分离的三维单元的集合，然后在离散时间对其进行解算，以在后面确定(或预测)该油藏特性的值，诸如压力、渗透性、流体比例。

当通过矿井从该油藏中抽取石油和/或气时，油藏中的压力减小，并且该岩层中的多孔岩石会出现紧密的趋势。对于坚固的岩石，这种效果可能不会对模拟产生显著的影响，并且当解算该油藏流动方程时不需要进行考虑这种效果。对于不牢固的岩石，这种效果更加明显，并且我们理想地希望通过解算描述岩石中它们的位移和压力的线性弹性方程来对该油藏岩石的移动进行建模。这些方程通过该应力张量中的压力项与该油藏流动方程耦合。由于用来解算该流动方程的网格单元应该理想的根据解算该弹性方程所得到的位移而移动，所以也存在一个隐含耦合。实际上，对于小的相对移动，可以通过对多孔性的修改适度地估计该影响。

在计算机化的“油藏模拟器”中，在离散的时间增量中对油藏性能进行建模。每一所谓的时间步长将该解从所有变量是已知的一个在前时间点前进到所有变量是未知的一个将来时间点。重复该过程，直到所关心的全部时间周期都已经被建模。在每一时间步长内，必须解算对从一个单元到另一单元以及贯穿矿井的流体流动进行建模的非线性方程的巨大系统(使用目前的技术，可能在该油藏模型中包括几百万个单元)。通过牛顿迭代得到非线性方程系统的解。在每一次这种迭代中，通过线性方程系统对该非线性方程系统进行逼近，其还必须通过另一迭代过程进行解算。一种这样的“油藏模拟器”就是由得克萨斯的休斯敦的Schlumberger Technology Corporation所有和操作的“Eclipse”油藏模拟器。

该“Eclipse”模拟器软件接收来自“Flogrid”模拟网格化软件的输出数据并对其进行响应，该“Eclipse”模拟器软件产生一组显示在3D察看器上的模拟结果。在授予Farmer的美国专利US6106561中描述了“Flogrid”模拟网格化软件，其全部内容在本说明书中引作参考。如图10中所述，该“Eclipse”模拟器软件包括“用于线性弹性方程”的“有限容积法”软件(包括其相关的系统和程序存储器装置)。图10的“用于线性弹性方程的有限容积法”(以及相关的系统和程序存储器装置)详细描述了用于线性弹性的有限容积法的一个可能实施方式，表明其对一般非结构和角点网格的适应性，并且显示了其精度级。

本说明书包括：(1)参照图1-9的背景技术说明，其提供了与用于产生地震和测井数据的地震操作和测井操作的性能相关的背景技术信息，该地震和测井数据作为输入数据提供给存储“Flogrid”模拟网格化软件以及“Eclipse”模拟器软件的工作站；和(2)在下面参照图10-23描述进一步包括“用于线性弹性方程”的“有限容积法”软件(以及相关的系统和程序存储装置)的“Eclipse”模拟器软件，提供“用于线性弹性的有限容积法”的一个可能实施方式。

参照图1，描述了用于执行地震操作的一种方法和设备。在地震操作期间，声学能量或声音震动源10、诸如爆炸能量源10产生多个声音震动。在图1中，一个这样的声音震动12反射离开地层16中的多个层位14。该声音震动12被接收到位于地表面上的多个地音探测接收器18中，并且该地音探测器18响应于所接收到的声音震动12而产生表示该声音震动12的不同参数(诸如幅度和/或频率)的电子输出信号，在图1中称之为“接收的数据”20。该“接收的数据”20作为“输入数据”提供给仪器车22的计算机22a，并且响应于该“输入数据”，该仪器车计算机22a产生“地震数据输出记录”24。在后面对该地震数据输出记录24的处理中，这种地震数据经历主机计算机中的“数据缩减”30，并且从该数据缩减操作30中产生“缩减的地震数据输出记录”24a。

参照图2，描述了测井操作。在该测井操作期间，将测井工具34降入到图1的通过钻孔36穿透的地层16中。响应于该测井操作，从该测井工具34产生测井曲线数据38，该测井曲线数据38作为“输入数据”提供给测井车40的计算机40a。响应于该测井曲线数据38，该测井车计算机40a产生“测井曲线输出记录”42。

参照图3，图1的地震数据输出记录24作为“输入数据”提供给主机计算机30，在这里执行图1的数据缩减操作30。该主机处理器30a将执行存储在主机存储器30b中的数据缩减软件30b。当数据缩减软件30b的执行结束时，就产生了图1和3的缩减的地震数据输出记录24a。

参照图4和5，在图4中描述了工作站44。存储媒体46诸如CD-Rom46存储软件，并且该软件可以被装载到工作站44，用于存储在该工作站的存储器中。在图5中，该工作站44包括工作站存储器44a，存储在该存储器媒体(CD-Rom)46上的软件可以被装载到工作站44中并存储到该工作站的存储器44a中。工作站处理器44d会响应于提供给该工作站处理器44d的某些输入数据而执行存储在该工作站存储器44a中的软件，并且该处理器44d然后会在该工作站的“记录器或显示器或3D察看器”上显示或记录该处理的结果。在图5中的提供给该工作站44的输入数据包括测井输出记录42和缩减的地震数据输出记录24a。“测井曲线输出记录”42表示在图2的地层中进行测井操作期间所产生的测井曲线数据，并且“缩减的地震数据输出记录”24a表示图3中的主机计算机30响应于图1中所述的地震操作而产生的数据缩减的地震数据。在图5中，存储在图5中的存储器媒体(CD-Rom)46上的软件包括“Flogrid”软件46a和“Eclipse”模拟器软件46b。当将存储器媒体(CD-Rom)46插入到图5的工作站44中时，存储在CD-Rom 46上的“Flogrid”软件46a和“Eclipse”模拟器软件46b都被装载到工作站44中，并存储在该工作站的存储器44a中。“Flogrid”软件46a和“Eclipse”模拟器软件46b由得克萨斯的休斯敦的Schlumberger TechnologyCorporation所有和操作。在授予Farmer的标题为“SimulationGridding Method and Apparatus including a Structured ArealGridder Adapted for use by a Reservoir Simulator”的美国专利US6106561中公开了“Flogrid”软件46a，其全部内容在本说明书中引作参考。当工作站处理器44d执行Flogrid软件46a和Eclipse模拟器软件46b时，该“Eclipse”模拟器软件46b响应于与“Flogrid”软件46a所产生的结构模拟网格的各自组的网格块关联的一组更加精确的网格单元属性信息，进一步产生分别与模拟网格的组网格块关联的一组更加精确的模拟结果。这些模拟结果显示在图5的3D察看器44e上，并可以记录到记录器44e上。

参照图6和7，首先参照图6，该Flogrid软件46a和Eclipse模拟器软件46b描述为存储在图5的工作站的存储器44a中。另外，从Eclipse模拟器软件46b输出的“模拟结果”48描述为通过3D察看器44e接收并在其上显示。Flogrid软件46a包括油藏数据存储、油藏构架、结构化的网格化器(gridder)、非结构化的网格化器、以及上转换器(upscaler)，所有这些都在授予Farmer的上述美国专利US6106561中完全公开了，其全部内容已经在本说明书中引作参考。

在图6中，由上转换器和“Petragrid”非结构的网格化器所产生的一组“模拟网格和与网格相关联的属性”47通过Eclipse模拟器软件46b接收。作为响应，该Eclipse模拟器软件46b产生“分别与该模拟网格的一组网格块相关联的一组模拟结果”48，并在3D察看器44e上显示该模拟结果和相关联的网格块48。在美国专利US6018497和US6078869中公开了该“Petragrid”非结构化的网格化器，其全部内容本说明书中引作参考。

在图7中，Flogrid软件46a产生一组输出数据47，包括多个网格单元以及与这些网格单元关联的某些属性。该输出数据47作为输入数据提供给该Eclipse模拟器软件46b。某些其它程序49向Eclipse模拟器软件46b提供其它输入数据。响应于该输出数据47(包括网格化的地层，其包括多个网格单元以及与每一网格单元相关联的某些属性)以及来自其它程序49的其它输出数据，该Eclipse模拟器软件46b产生一组“模拟结果”48，该模拟结果48包括多个网格单元以及分别与该多个网格单元相关联的多个模拟结果。在图6和7的察看器44e上显示前述多个网格单元以及分别与多个网格单元相关联的多个模拟结果。

参照图8，在图8中描述了在图5和6和7的察看器44e上显示的模拟结果48(即“多个网格单元以及分别与该多个网格单元相关联的多个模拟结果”48)的范例。

下面的段落将提供图5、6和7的Eclipse模拟器软件46b，其中Eclipse模拟器软件46b进一步包括“用于线性弹性方程”的“有限容积法”(以及相关联的系统和程序存储器装置)，如图10中所示。特别地，下面的段落将提供对三维中一般非结构网格上的线性弹性方程进行离散化的有限容积法的详细描述，如图11中所示。

参照图9，下面参照图9描述现有技术的油藏模拟器的操作的一般概况。在图9中，图5的油藏数据42和24a以及岩心数据用来描述计算网格和该油藏岩石的属性。将数据与关于包含在该油藏中的流体的物理属性相关的数据结合，在图9的方框50中，所结合的数据用来计算压力和流体饱和度(容积比例)的初始分布以及每一流体相位的成份。在方框52中，从数据库中读取时变数据，诸如矿井的位置和特性、产量和喷射流体速率控制以及模拟器控制信息。使用每一网格单元的当前压力、饱和度和流体成份，在方框54中通过有限差分对描述质量平衡的偏微分方程进行逼近，其得到每一网格单元的两个或多个非线性代数方程。而且在方框54中，通过牛顿法对这些非线性方程进行线性化。在方框56中，使用在本说明书中描述的方法迭代地解算所得到的线性方程的系统。在已经解算该线性方程之后，在方框58中进行测试，以确定该有限差分方程中的所有非线性项是否已收敛。如果还没有，该模拟器返回到方框54。如果该有限差分方程中的非线性项已收敛，那么该模拟器移动到方框60并更新数值以结束当前时间步长。在方框62中，该模拟器进行测试，以确定是否已经到达模拟中所想要的结束时间(即该停止时间)。如果还没有到达，该模拟器在方框64将时间前进到下一级，并且其然后返回到方框52，以读取新的时变数据并开始下一时间步长。如果已经到达模拟的结束点，那么在方框66，该模拟器就完成输出操作并结束该运行。

参照图10，回想我们在前面的讨论，商用油藏模拟器中的“流量方程”通常使用“有限容积”(或有限差分)法来离散化，而“应力方程”通常使用“有限元”法来离散化。于是，在图10中，该Eclipse模拟器软件46b包括下面的软件块：“用于流量方程的离散化方法”68。另外，回想我们在前面的讨论，“自然要问：是否可以推导有限容积法用于该应力方程”；并于是，在本说明书中提供“应力方程组的有限容积离散化”。相应地在图10中，图5和6和7的Eclipse模拟器软件46b包括下面的附加软件块：“用于线性弹性方程的有限容积法”70(即：该“应力方程”)。在图10中，“用于线性弹性方程的有限容积法”步骤70接收并响应于“用于流量方程的离散化方法”步骤68。

由于在商用油藏模拟器中，“流量方程”通常使用有限差分或“有限容积”法来离散化，并且该“应力方程”通常使用“有限元”法来离散化，在图10中，在本说明书中公开的“用于线性弹性方程的有限容积法”70提供了一种可能的使用“有限容积”法进行“应力方程离散化的方法”。也就是，图10的“用于线性弹性方程的有限容积法”70提供一种“用于线性弹性的有限容积法(包含“位移”和“应力”)”的可能实施方式，表明其对一般非结构和角点网格的适应性，并且显示了其精度级。

在图10中，提供一种可能使用该“有限容积”法进行“应力方程离散化的方法”的“用于线性弹性方程的有限容积法”70包括下面两个步骤：(1)内插从单元中心到网格节点的位移，步骤70a；和(2)在控制容积上进行积分，以形成方程的离散系统，步骤70b。

下面将参照附图的图11至23详细讨论在图10中所描述的上述两个步骤70a和70b，其与在本说明书中公开的图10的“用于线性弹性方程的有限容积法”70关联。

说明书描述了“对三维中一般非结构网格上的线性弹性方程进行离散化的有限容积法”。这是由于需要结合商用油藏模拟器中的多相位多孔媒体流动对应力场进行建模而产生的。在本文中，自然想要像该流体流动所使用的那样解算该相同网格上的应力方程，并且优选地岩石位移变量位于与该流动变量相同的点，诸如压力和饱和度。油藏模拟器中通常所使用的网格是基于角点几何，或者是完全非结构化的。在两种情况下，它们都能够表示诸如断层、狭缩以及局部网格细分的特征。实际上，它们通常也都是高度非正交的。因此，重要的是设计可以在这种类型的网格上实施的应力方程的离散化。

一般域中的线性弹性方程通常大多数都是通过有限元法解算，并且位移位于该网格的每一单元的顶点。然而，该油藏模拟器中流动的开方很少使用有限元进行建模，而通常使用有限容积或有限差分法。因此，自然要问：使用通常的对两个系统的有限容积离散化是否就可以满意地对该耦合方程进行建模。

在图10中，本说明书通过详细描述一种“用于线性弹性的有限容积法”(图10的步骤70)的可能实施方式提供了该问题的部分答案，表明其对一般非结构和角点网格的适应性，并且显示了其精度级。

有限容积法早就已经在用于守恒定律的系统的离散化时计算流体动态性中使用了，诸如Euler和Navier-Stokes方程(参见下面的参考文献4、5和6)。也已经有使用有限容积法解算油藏流动方程的(参见下面的参考文献7和8)。将有限容积法应用于应力方程就很少，但是包括Demirdzic和Muzaferija(1994)以及Demirdzic和Martinovic(1993-参见下面的参考文献9和10)。后者致力于热弹塑性应力分析。

在商用油藏模拟器范围内的耦合油藏流动和应力方程已经由Stone等人(2000)、Stone等人(2002)、以及Liu等人(2004-参见下面的参考文献1、2和4)进行过解算，其描述了用于应力方程的有限元法。

线性弹性方程

描述碳氢化合物油藏中岩石的线性弹性的方程为：

$\▿\·\mathrm{\Σ}+b=0---\left(1\right)$

其中b为体积力(body force)的矢量，并且该应力张量Σ为：

$\mathrm{\Σ}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xz}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xz}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yz}}& {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{zz}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

σ_xx＝λ(u_x+v_y+w_z)+2μu_x-αp-α_T(2μ+3λ)T

σ_yy＝λ(u_x+v_y+w_z)+2μv_y-αp-α_T(2μ+3λ)T

σ_zz＝λ(u_x+v_y+w_z)+2μw_z-αp-α_T(2μ+3λ)T

σ_xy＝μ(u_y+v_x)

σ_xz＝μ(u_z+w_x)

σ_yz＝μ(v_z+w_y)

这里，u、v和w是未知的岩石位移，而p和T是在油藏流动模拟期间所解算的压力和温度。该拉梅(Lamé)常数λ和μ定义该岩石的属性，并可以从杨氏模量(Young’s modulus)和泊松比(Poisson ratio)得出。该毕奥(Biot)常数α和热膨胀系数α_T提供油藏流动与岩石动量方程之间的耦合。如果在油藏模拟中不包括温度影响，那么α_T可以取为零。该偏微分方程的系统是椭圆，并且在边界的所有点需要给出三个边界条件。

两种类型的边界条件是相同的：(1)规定位移——在部分边界指定位移u、v和w；和(2)规定牵引矢量——在部分边界指定牵引矢量Σ·n，其中n是向外指向法向矢量的单元。

然而，为了确保存在唯一解，可以对这种类型的边界条件应用某些限制。这是由于规定的牵引条件只定义了位移的导数。明显地，如果所有边界上的牵引都是规定的，那么可以向该位移的任何有效解加上任意常数，并且结果还是一个解。这可以通过强调该边界上的至少一个点具有位移边界条件进行调整。实际上，边界条件的选择比这样的限制还稍微多些。该边界上的至少三个离散点必须具有指定的位移，并且这些点必须不同线。

有限容积法

在图10中，将详细描述该说明书的这一部分，上述一种新的“用于线性弹性方程的有限容积法”(图10的步骤70)。该方法包括两个单独的步骤：

(1)内插从单元中心到网格节点的位移，图10的步骤70a；和

(2)在控制容积上进行积分，以形成该方程的离散系统，图10的步骤70b。

在下面的两个小部分中单独地描述这些步骤。这是在讨论边界条件的实施方式以及方程的耦合之后进行的。为了简单明了，该描述主要是用于二维方法，但是还包括部分描述将其实施方式指定在三维中的某些方面。最后，对该方法的属性进行归纳。

虽然本申请专注于线性弹性，但是重要的是要注意到，这里所描述的方法也可以应用于其它许多问题，包括该油藏流动方程本身。从这种意义上说，其可以看作是更高阶方案的替代，诸如多点流量逼近。

网格节点的内插，图10的步骤70a

现在参照图11。

在图11中，考虑图11中所示的二维网格的部分。在每一单元的中心，诸如点1，存储对两个位移u和v的逼近。作为该有限容积方案的一部分，需要定义从单元中心到网格节点的位移的内插方法。我们选择定义内插是任何网格几何学上严格的线性函数。这样就确保该整个有限容积方案也具有这样的属性。

在图11中，为了内插到网格节点A，我们将会使用在单元1、2、5和9中的单元中心值，其包含作为顶点的A。其可能适合比这四个点的线性具有更高阶的多项式，因为二维中的线性函数只具有三个自由参数。然而，为了能够计算更一般的非结构网格几何，方便地选择线性逼近式，并找到该四个单元中心值的最合适线性的最小二乘方。

现在参照图12和13。

例如，图12和13中包含狭缩单元和局部网格细分的网格部分表明相邻单元的数目是可变的。

定义线性方程：

φ＝a+b(x-x_A)+c(y-y_A)    (3)

作为邻域A中某个函数φ的形式。所有n个相邻单元中心值的内插需要解算3个未知数的n个方程系统：

通过解算该3个未知数的3个方程系统得到系统的最小平方解：

从该矢量c得到的值a，然后就给出在点A的内插值φ。如果该基础函数确实是线性的，那么该最小平方解满足所有的n个方程。因此，该内插是任何网格上严格的线性函数。

对于位于该边界上的网格节点，该内插需要被修改。如果给定位移边界条件，那么这些都包括在上述该最小平方系统中。如果给定牵引边界条件，那么可能有少于三个的相邻单元中心值，它们不足以定义线性内插。该解是直通的(straightforward)。将另外来自内部的相邻单元中心值加入到该系统，直到至少有三个不同线的点。可以处理n≥3的任意值的最小平方法的灵活性使得其容易实施。

控制容积上的积分，图10的步骤70b

在图11中，已经获得了从单元中心到网格节点进行内插所需要的加权之后，通过在每一网格节点上对该偏微分方程进行积分继续进行该有限容积法。根据图11中的单元Ω描述该过程，其具有顶点ABCD并且边界为

在Ω上对该方程进行积分并应用散度定理就得到：

其可以表示为：

$F=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\end{array}\right),$ $G=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}\end{array}\right)$

使用中点法则对线性积分进行逼近就得到：

F_Pdy_BA-G_Pdx_BA

+F_Qdy_CB-G_Qdx_CB    (8)

+F_Rdy_DC-G_Rdx_DC

+F_Sdy_AD-G_Sdx_AD+V_Ωb₁＝0

其中F_p代表F在中点P处的估计，dx_BA＝x_B-x_A，dy_BA＝y_B-y_A等，并且V_Ω是Ω的容积。注意到，如果该应力张量中的项是线性的，那么通过该中点法则进行的线性积分的逼近将是准确的。

诸如F_p的项包含位移u和v在中点P的导数。为了对它们进行估计，我们建立另一个最小平方线性内插式，其包含在该面的两端以及与其相邻的两个单元Secticentres处的位移。要注意的是，任何二维的非结构网格上的单元面总是具有两端和两个相邻单元。该方法因此可以适应所有需要的网格特性，诸如断层、狭缩和局部网格细分。建立该最小平方内插的方式非常类似于节点内插式。

现在参照图14。

图14所示为根据图11的控制容积ABCD的边AB。

根据在点A、B、1和2的位移定义在点P的内插式。在A和B的位移本身定义为如此前所述的相邻单元中心值的内插式。

再次，我们定义一个线性函数，其现在以P为中心。该内插方程的系统现在为：

$\left(\begin{array}{ccc}1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\\ 1& x_A& y_A\\ 1& x_B& y_B\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_1\\ {\mathrm{\ψ}}_2\\ {\mathrm{\ψ}}_A\\ {\mathrm{\ψ}}_B\end{array}\right)---\left(9\right)$

要注意的是，不同于在前面描述的内插式，现在是固定数目的3个未知数的4个方程。然而，该系统的解算与此前的方式相同。然后通过取从该系统所获得的q值，根据ψ₁、ψ₂、ψ_A和ψ_B得到ψ的x导数。然后代入ψ_A和ψ_B关于它们相邻单元中心值的展开，然后就给出了ψ_x在P关于相邻单元中心值的表达式。使用值r类似地定义y导数。然后使用该导数表达式来构建在P的流量F_p和G_p。

边界条件

如果给定在P的规定位移边界条件，那么就将该边界条件方程加入到最小平方系统，用于内插位移到网格节点。如果给定规定牵引边界条件，那么就不需要计算如上所述的位移的导数。简单地在用于控制容积的方程中直接使用给定牵引矢量。

也考虑使用一种替换方式，其包括只在控制容积水平的位移边界条件，并且不是在对网格节点的内插期间。这样使得该单元节点内插更加灵活，由于其不只是可以用来量化位移，而且还发现其可以给出精度较低的解，并且用来产生更加难以解算的线性系统。

对流动方程的耦合

如上所述，用于该耦合的流动应力方程的应力张量也包括包含压力和温度、以及拉梅、毕奥和热膨胀系数的项。假定所有这些量都位于单元中心，就像油藏模拟中通常的那样。

在当前离散化中对这些项的处理是直通的。将每一所需要的量简单地内插到该中间面点P。这些项然后可以直接被包括在应力张量中并对用于该面的控制容积方程产生作用。

规则网格上的实施方式

有益地要考虑该方法在步长为h的规则网格上的实施方式。为了简单明了，我们继续只考虑二维的情况，并且将注意限制到纯线性弹性，不耦合流动项。结论延续至更加一般的情况。

在规则网格上，该x动量方程具有的模板(stencil)为：

$(\mathrm{\λ}+2\mathrm{\μ})\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& -2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]u+\frac{\mathrm{\λ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]v$ (10)

$+\mathrm{\μ}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]u+\frac{\mathrm{\μ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]v+h^2{\left(b_1\right)}_1=0$

如果我们考虑将该模板应用于不存在边界条件的无限网格，那么显然常数位移u和v满足具有零体积力的齐次方程。然而，没有其它的假平凡解(spurious trivial solution)。熟知作为离散椭圆率的属性具有重要的推断。其意味着该真正网格上的离散系统的解将不倾向于非物理的振荡。而且，该离散椭圆率也暗示了通过迭代方法、诸如通过多网格所得到的线性系统的解通常是有效的。

有替换的并不具有重要属性的有限容积离散化。明显的一种就是使用梯形法则替代中点法则来计算该控制容积ABCD的边AB上的流量：

$\frac{1}{2}(F_A+F_B){\mathrm{dy}}_{\mathrm{BA}}-\frac{1}{2}(G_A+G_B){\mathrm{dx}}_{\mathrm{BA}}$

$+\frac{1}{2}(F_B+F_C){\mathrm{dy}}_{\mathrm{CB}}-\frac{1}{2}(G_B+G_C){\mathrm{dx}}_{\mathrm{CB}}$ (11)

$+\frac{1}{2}(F_C+F_D){\mathrm{dy}}_{\mathrm{DC}}-\frac{1}{2}(G_C+G_D){\mathrm{dx}}_{\mathrm{DC}}$

$+\frac{1}{2}(F_D+F_A){\mathrm{dy}}_{\mathrm{AD}}-\frac{1}{2}(G_D+G_A){\mathrm{dx}}_{\mathrm{AD}}+V_{\mathrm{\Ω}}{b}_1=0$

这样就产生了模版：

$\frac{\mathrm{\λ}+2\mathrm{\μ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& -4& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right]u+\frac{\mathrm{\λ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]v$ (12)

$+\frac{\mathrm{\μ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -4& -2\\ 1& 2& 1\end{array}\right]u+\frac{\mathrm{\μ}}{4}\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right]v+h^2{\left(b_1\right)}_1=0$

该模版仍然允许该平凡(trivial)常数解，但是也允许假棋盘振荡解(spurious chequerboard oscillatory solution)。为此，其不是离散的椭圆，并会产生非物理的振荡解，并且难以解算。

三维实施方式

三维中有限容积法的实施方式非常类似于上述用于二维的线。对网格节点的内插自然使用三维线性函数，并且是四个不确定的系数，而不是三个。这样就需要至少四个相邻单元中心值，并且得到4乘4的线性最小平方系统的解。在边界附近，就二维情况来说，包括附加的内部点。

该控制容积积分更加复杂，因为三维中相邻单元之间的面是3个空间中的多边形，而不是简单的线。这些多边形通常并不在单个平面中。通过定义多边形中心，并将多边形划分为一组由中心和每一对连接的多边形顶点定义的三角形，来处理这种多边形上的流量的积分。然后将每一三角形上的流量相加，以定义该整个面上的流量。

离散化的属性

上述耦合的流动应力方程的有限容积离散化具有下列属性：

(1)当应用于规则网格上时，该离散化在二维中具有紧凑的9点模版并且在三维中具有27点模版。在靠近具有牵引边界条件的边界，该模版可以局部扩展，但是这容易通过稀疏矩阵存储格式容纳。

(2)存储在单元中心的未知位移，作为该耦合的油藏模拟器中的流动变量。

(3)对于线性函数，对网格节点的内插是准确，而该控制容积积分对于线性应力张量是准确的。该整体离散化因此对于线性位移和线性应力张量是准确的。

(4)该方法通过构建具有守恒性，就像通常有限容积法的情况。这就意味着当在包含其的两个单元中计算时，该网格的面上的流量是相同的。因此，如果积分是在整个域上进行数值积分，那么内部流量的作用就取消了，并且所得到的积分只取决于边界流量。这就是用来构建有限容积的离散化的散度定理的离散等价。

(5)该方法可以处理一般非结构网格，包括诸如断层、狭缩和局部网格细分的网格特征。

(6)该方法是离散的椭圆。

数值结果

为了验证当前方法在任何网格上是否是准确的线性解，以及为了建立其精确级，将其在一般非结构网格上实施，并在一系列细分的网格以及具有特定特征的网格上测试多个已知真解。

线性解的准确性验证

在这种情况下，为线性方程组选择真解

u＝3x-y+2z+1

v＝-2x-4y+z+6    (13)

w＝x+y+z-3

在常数温度的情况中，该压力也被选择为线性：

p＝1000x+2000y+3000z+4000，T＝4000    (14)

各种系数为：

λ＝x+y-z+3，μ＝3x+4z+10，α＝1，α_T＝1    (15)

由于该真应力张量对于该解是线性的，所以有限容积法应该在任何网格上都是准确的。对于下面的情况进行测试：

(1)具有递增细分的一序列规则三维网格。

(2)每一网格节点随机摄动(perturbed)的相同序列。

(3)通过坐标变换成为环面映射的相同序列。

(4)具有断层、狭缩和局部网格细分的网格。

(5)变换具有断层、狭缩和局部网格细分的网格。

现在参照图15、16、17和18。

在图15-18中，在所有的情况下，计算数值解与真解之间的误差范数(error norm)，并且发现其有效的为零。图15、16、17和18通过各种测试的几何结构描述了该片层面上位移的线性特性。

已知一般解的收敛级

在这种情况下，任意地选择一组已知位移：

u＝sin(πx)cos(πy/2)sin(πz)

v＝5x²+2y²+3z²+1    (16)

w＝e^2zcos(x+y)

该压力、温度和各种系数都与关于线性测试情况所选择的全部相同。对于该一般解，该应力张量为非线性，并且该体积力因此不为零。计算这些项的真值，并将其包括在离散化的右侧。

现在参照图19。

在上述相同序列的网格上解决了该问题。通过计算其误差范数测量该数值解的精度。图19示出了用于各种网格变换的顺序网格上误差范数的对数。该图表的斜率给出了有限容积法的收敛级，因为该图是该误差范数的对数关于该步长的对数的图表。

越负的log(h)值对应于更精细的网格。在该区域，图19清楚示出了对于所有三个几何，也就是立方体、剪切区域以及三维环面的近似为2的斜率。

这说明该有限容积法在相当一般的网格上为二级精度。

使用该代数多网格方法SAMG(参见参考文献11)解算该线性方程的稀疏系统。由于该系统是离散椭圆，我们期望这是一个有效的技术方案，并能够说明网格独立的收敛速率。

现在参照图20，其描述了“表格1”。

在图20中，“表格1”显示了解算在每一个三维中具有N个节点的序列网格上的系统所需要的多网格迭代(具有括号中的cpu时间)的数目。该线性系统中方程的数目表示为neqn。

如从图20中的表格1可以看到，所需要的多网格迭代的数目完全独立于方程和网格变换的数目。这是优化的可能收敛行为，并且特征为应用于离散椭圆问题的多网格。对前面所提到的可替换的非离散椭圆方法的类似实验表明随着网格的细分，所需要的迭代的数目显著增加。

商用模拟器中的积分

在本说明书中所讨论的有限容积法已经在商用油藏模拟器中实施了，即图5、6和7中的Eclipse模拟器软件46b。使用部分耦合的移动网格法，其中该流动方程前进到报告步骤，并且所得到的孔压力和温度用作应力张量中的源项，用于随后的应力场计算。使用多孔性-应力关系，将所得到的应力用来推导更新的多孔性，并且该流动模拟处理到下一报告步骤。该相同的耦合法已经用于现存的有限元地质力学选项(参见下面的参考文献3)。

现在参照图21和22和23。

在图21和22中，在图21和图22中示出了在模拟器内运行的用于简单测试范例的有限容积和有限元离散化的结果。这些显示了良好的定性和定量协定。一个不同是该有限容积情况中的壁附近的应力分层(不是完全贯穿该深度)。这正在研究之中。图23显示了在该壁附近包括局部网格细分的有限容积情况。

比较这两种方法，主要不同和相似性有如下：

(1)该有限容积法不太独立于变量，其使用在网格块中心、而不是网格节点的流动变量进行定位。虽然其可以简化耦合更加隐含的流动和应力方程的过程，但是这并不一定表明更快的解算时间。

(2)该有限容积法的目的是通过其非结构的网格公式一般地处理所有网格特性。该有限容积法目前实施了狭缩，并且局部网格细分正在实施过程中。还没有包括断层。然而，在该有限容积法的一般性质中存在一个开销。需要在模拟的开始建立网格连通性的成本使得该有限容积法的初始化比有限元方案慢。

(3)该有限容积法是守恒的。这意味着计算网格的任何给定内部面上的流量对于包含其的两个单元而言方式是完全相同的。如果是在整个域上数值积分该方程，那么就可以取消内部流量，并且该结果只取决于边界流量。这是散度定理的离散模拟。

(4)非活动单元不包括在有限容积模型中，但是对于有限元而言就包括其作为哑方程(dummy equation)。

(5)两种方法都产生大量稀疏线性系统，其通过多网格解算器SAMG进行解算。所需要的解算时间在两种情况下相似。

(6)两种方法在一般非正交网格上都保持良好的精度。前面的有限差分法并不具有这一重要优点。

已经提供了一种“用于三维中耦合应力和油藏流动方程的新有限容积法”。该方法具有许多理想特性，诸如在包括具有断层、狭缩和局部网格细分的网格的一般非结构网格上具有二阶精度。

该方法已经显示为离散椭圆，因此产生不具有非物理振荡的解，并且适合于使用多网格法进行有效解算。已经通过将其应用于具有已知解的一序列的模型测试问题来说明收敛属性。

术语

α＝毕奥常数，无量纲

α_r＝线性热膨胀系数，1/℃，1/°F

λ＝拉梅常数，bar，psi，Pa

σ＝法向应力，bar，psi，Pa

μ＝拉梅常数(硬度模量)，bar，psi，Pa

参考文献

下面的“参考文献”分别包括在本说明书中作为参考，包括下面列出的参考文献1至11：

1.Stone，T.，Bowen，G.，Papanastasiou，P.and Cook，J.，”Coupled geomechanics in a commercial reservoir simulator″，SPE65107 presented at the SPE EUROPEC 2000 Petroleum Conference，Oct 2000.

2.Stone，T.，Xian，C，Fang，Z.，Manalac，E.，Marsden，R.，Fuller，J.，″Coupled geomechanical simulation of stressdependent reservoirs″，SPE 79697，presented at the SPE ReservoirSimulation Symposium，Feb 2003.

3.Liu，Q.，Stone，T.，Han，G.，Marsden，R.，Shaw，G.，″Coupled stress and fluid flow using a finite element methodin a commercial reservoir simulator″，SPE 88616，presented atthe SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference in Perth，Australia，October 2004.

4.Peyret，R，and Taylor，T.D.，Computational methods forfluid flow，Springer Verlag，Berlin，1983.

5.Jameson，A.，Schmidt，W.and Turkel，E.，″Numericalsolutions of the Euler equations by finite volume methods usingRunge-Kutta time stepping″，AIAA Paper 81-1259，1981.

6.Crumpton，P.I.and Shaw，G.J.，″Cell vertex finite volumediscretizations in three dimensions″，International.Journalfor Numerical Methods in Fluids，vol 14，505-527，1992.

7.Rozon，B.J.，″A generalized finite volume discretizationmethod for reservoir simulation″，paper SPE 18414 presented atthe Reservoir Simulation Symposium held in Houston，Texas，February 6-8，1989.

8.Crumpton，P.I.，Shaw，GJ.and Ware，A.F.，″Discretizationand multigrid solution of elliptic equations with mixedderivative terms and strongly discontinuous coefficients″，Journal of.Computational.Physics，vol 116，343-358，1995.

9.Demirdzic，I.and Muzaferija，S.，″Finite volume methodfor stress analysis in complex domains″，International Journalfor Numerical Methods in Engineering，vol 37，3751-3766，1994.

10.Demirdzic，I.and Martinovic，D.，″Finite volume methodfor thermo-elasto-plastic stress analysis″，Computer Methodsin Applied Mechanics and Engineering，vol 109，331-349，1993.

11.Stuben，K.，SAMG User′s Manual Release 2IbI，FraunhoferInstitute SCAI，Schloss Birlinghoven，D-53754 St Augustin，Germany，July 2002.

于是上面的说明已经描述了该“用于线性弹性的有限容积法”，显然可以通过各种方式进行相同的变化。这种变化并不认为是脱离了所要求保护的方法或设备或程序存储装置的精神范围，并且本领域的数量技术人员显然会作出的所有这种修改都包括在下面权利要求书的范围内。

Claims (8)

1.一种进行应力计算以用于对油藏中的一组应力和位移进行建模的方法，包括：

至少部分基于表示油藏的测量的数据，基于多个测井曲线输出记录和地震数据，通过应用工作站处理器来将所关心的区域网格化以形成网格，构建所关心区域上的油藏的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有节点，每一单元具有单元中心，其中该网格存储在存储媒体中并且每个单元中心被用来确定位移的逼近；

处理油藏模型以内插所关心区域中的从单元中心到网格节点的未知岩石位移，未知岩石位移的内插包括：

定义网格节点之一的邻域中的线性函数，和

使用线性函数在邻域中内插网格节点之一的邻域中的每个单元中心的位移的逼近以确定网格节点之一的未知岩石位移，

其中线性函数是φ＝a+b(x-x_A)+c(y-y_A)，

其中a，b，和c是表示未知岩石位移的未知变量，

x_A和y_A表示网格节点之一的二维坐标，和

x和y表示网格节点之一的邻域中的每个单元中心的二维坐标；

内插网格节点A的领域中的剩余的单元中心；

在每一单元上对线性方程的系统进行积分以形成关于油藏的方程的离散系统，其中方程的离散系统存储在存储媒体中，基于多个单元中心确定线性方程的系统中的多个等式；

使用所存储的方程的离散系统来建模该油藏中的应力和位移，以及显示油藏中的应力和位移的模型。

2.权利要求1的计算机实施的方法，其中求解线性方程的系统包括确定线性方程的系统的最小平方解。

3.权利要求1的计算机实施的方法，其中在每一单元上进行积分以形成方程的离散系统包括应用散度定理。

4.权利要求3的计算机实施的方法，其中应用散度定理进一步包括使用中点法则对一组线性积分进行逼近。

5.一种适用于进行应力计算以建模油藏中的一组应力和位移的系统，包括：

第一设备，用于至少部分基于油藏的测量的数据指示，基于多个测井曲线输出记录和缩减的地震数据，通过应用工作站处理器来将所关心的区域网格化以形成网格，构建所关心区域上的油藏的油藏模型，该网格包括一个或多个单元并具有网格节点，每一单元具有单元中心，其中该网格存储在存储媒体中并且每个单元中心被用来确定位移的逼近；

第二设备，用于内插所关心区域中的从单元中心到网格节点的未知岩石位移，未知岩石位移的内插包括：

定义网格节点之一的邻域中的线性函数，和

使用线性函数在邻域中内插网格节点之一的邻域中的每个单元中心的位移的逼近以确定网格节点之一的未知岩石位移，

其中线性函数是φ＝a+b(x-x_A)+c(y-y_A)，

其中a，b，和c是表示未知岩石位移的未知变量，

x_A和y_A表示网格节点之一的二维坐标，和

x和y表示网格节点之一的邻域中的每个单元中心的二维坐标；

内插网格节点A的领域中的剩余的单元中心；

第三设备，用于在每一单元上对线性方程的系统进行积分以形成关于该油藏的方程的离散系统，其中该方程的离散系统存储在存储媒体中，基于多个单元中心确定线性方程的系统中的多个等式；

第四设备，用于使用所存储的方程的离散系统来建模所述油藏中的应力和位移，以及

第五设备，用于显示油藏中的应力和位移的模型。

6.权利要求5的系统，其中第二设备进一步用于确定线性方程的系统的最小平方解。

7.权利要求5的系统，其中第三设备包括：

第六设备，用于应用散度定理。

8.权利要求7的系统，其中第三设备进一步包括：

第七设备，用于使用中点法则对一组线性积分进行逼近。

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