CN101276484A - 基于调和映射的网格生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于调和映射的网格生成方法，根据点云的采样均匀度和活动边邻近的拓扑关系，构造它的影响域，根据调和映射原则来确定新点，与当前活动边组成一个新三角形，从而构建最接近原始三维对象表面的三角网格模型。本发明方法将寻找新点的计算局限在影响域中进行，从而极大地提高了计算效率，本发明生成的网格体现了点云的内在性质，与被采样曲面的几何形状与拓扑结构最接近。

Description

基于调和映射的网格生成方法

技术领域

本发明涉及计算机图形网格处理技术，尤其涉及基于调和映射的网格生成方法。

技术背景

给定一个三维物体，对它的表面采样，得到由一系列点组成的无序点云，要求按这个点云恢复它所界定的三维物体的几何形状。在计算机视觉、虚拟现实和反求工程中，这是个相当重要的问题。为解决此问题，通常首先需要生成插值这些点的三角网格表示的曲面。学者们对这一问题进行了深入研究，提出了许多方法。这些方法大致可以分为以下几类：

一、基于雕刻的方法：首先将点云Delaunay三角化，然后按照一定的规则将与点云表示的几何形状有关的三角面片剥离出来。如Boissonnat的方法，可参考[Boissonnat84]J.-D.Boissonnat，Geometric structures ofthree-dimensional shape reconstruction，ACM Trans.On Graphics，Vol.(3)，No.(4)，1984，266-286，先将点云Delaunay三角化，如果点云中的点不全位于点云的凸壳上，则依次删除体中的某个四面体，直到点云中的点都成为体的边界点，这个体的边界就是对点云表示的曲面形状的一个近似。这类方法的运算量通常很大。

二、跟踪等值线的方法：以Hoppe等人提出的方法为代表，可参考[Hoppe92]H.Hoppe，T.DeRose，T.Duchamp，J.McDonald，W.Stuelzle，Surface reconstruction from unorganized points，ComputerGraphics(Proceeding of SIGGRAPH’92)，1992，71-78，通过抽取点云决定的距离场的零等值面，得到三角网格。不过，这个三角网格并不插值于点云。

三、区域增长的方法：从一个种子三角面片开始，将它的边加入活动边链表，对于链表中的每一条边，按照某种法则在点云中确定一个点，与这条边组成三角面片。将这条边从活动边链表中删去，同时将新产生的活动边加入链表。算法直到活动边链表为空时结束。算法的关键是按照怎样的法则在点云中确定点。BPA算法，可参考[Bernardini99]F.Bernardini，J.Mittleman，H.Rushmeier，C.Silva，G.Taubin，The Ball-Pivoting Algorithmfor Surface Reconstruction，IEEE Transactions on Visualization and ComputerGraphics，Vol.(5)，No.(4)，1999，349-359，用一个球围绕活动边转动，直到与点云中的某个点接触，这点与这条边形成一个新的三角面片。此外，文献[Huang02]J.Huang，C.H.Menq，Combinatorial manifold meshreconstruction and optimization from unorganized points with arbitrarytopology，Computer-Aided Design，Vol.(34)，2002，149-165，中的方法，对于每一条活动边，分别将与这条边的两个端点距离最近的k个点投影到这条边所在的三角面片决定的平面上，从这些投影点中选择一点，它所对应的点云中的点与这条边形成新的三角面片。这些方法生成的网格，并不能保证其拓扑是正确的。

发明内容

本发明提出了一种基于调和映射的网格生成方法，该方法生成的三角网格曲面最接近于原始被采样曲面的几何形状和拓扑结构。

本发明采用的技术方案如下：

一种基于调和映射的网格生成方法，包括以下步骤：

(1)已知对三维物体表面采样得到的点云C，从点云C中选择一个种子三角形，将它的边加入活动边链表；

(2)从这个链表中取出一条边，通过与采样均匀度自适应的方法来确定它的影响域；

(3)如果此影响域包含点云C中的点，按照调和映射原则从中选择一个点与这条活动边组成一个新三角形，重新计算新生成边端点的采样均匀度，并将新生成的边加入活动边链表；

(4)如果此影响域不包含点云C中的点，就认为这条边为边界边，从活动边链表中删除这条边；

(5)重复步骤(3)、(4)，直到活动边链表为空；从点云C中生成得到最接近原始三维对象表面的三角网格模型。

所述的种子三角形的构造方法，包括：

(1)在点云C中找到z坐标最大的点p；

(2)找到与点p距离最近的点q，它与点p组成边L；

(3)构造以线段L所在直线为轴、以线段L的中点为中心、以线段L的长度len之半为半径且以len为高的一个圆柱，使其半径均匀增大，同时其高也沿着轴的两个方向均匀增大，直到这个圆柱内包含点云中的点；

(4)在上述圆柱所包含的点中，选取一个点，使它与边L的两个端点所构成的两条边的长度之和最短，这个点与边L构成种子三角形。

所述的活动边影响域的确定方法，包括：

(1)设活动边为e_i，j，其端点为P_i和P_j，中点为P_m。对于活动边e_i，j所在的三角形，其三个顶点为P_i，P_j和P_k，重心为P，单位法向N与向量P_kP_i×P_kP_i平行；

(2)首先确定这条边两个端点所邻接各点的采样均匀度或者近似采样均匀度中的最大值，再求出这条边的两个端点所邻接的最长边的长度，设这两个值的乘积为s；

(3)影响域的上边界面B₁是法向为N，且经过点P₁＝P_m+sN的平面；

(4)下边界面B₂是法向为N，且经过点P₂＝P_m-sN的平面；

(5)外侧边界面B₃，是法向为N×P_jP_i且过点P₃＝P_m+sN₃的平面，这里N₃是N×P_jP_i的单位化向量；

(6)根据活动边左端点处的拓扑连接关系，确定影响域的左边界面；

(7)根据活动边右端点处的拓扑连接关系，确定影响域的右边界面。

所述的调和映射选点原则，包括：

(1)假设三角面片{i，j，k}有活动边e_ij，它的影响域中包含多个活动点，从中选择使下列方程最小的点P_m，

        k_i，j‖P_i-P_j‖²+k_i，m‖P_i-P_m‖²+k_j，m‖P_j-P_m‖²，

与活动边e_ij组成三角面片{i，j，m}。这里，系数k_ij为：

      k_i，j＝(L_i，k ²+L_j，k ²-L_i，j ²)/A_i，j，k+(L_i，m ²+L_j，m ²-L_i，j ²)/A_i，j，m，

其中L_ij是边e_ij的长度，A_ijk是三角面片{i，j，k}的面积；对于新生成的两条边e_im和e_jm，它们仅邻接一个三角形，系数k_im和k_jm分别为：

$k_{i,m}=k_{j,m}=2\×(L_{i,m}^2+L_{j,m}^2-L_{i,j}^2)/A_{i,j,m};$

(2)对新生成的三角面片{i，j，m}进行完整性测试，检查它与已存在的相邻三角面片之间的交是否空集或边界边；如果是，就选择这个点与活动边e_ij组成新三角形；

(3)否则，选择剩余活动点中使上述方程最小者，进行几何完整性测试；依次类推；如果所有活动点都不符合几何完整性测试，活动边e_ij就是一条边界边。

本发明基于以下原理进行：

(1)发现了点云的采样均匀度：这是点云的内在性质，某点处的采样均匀度为与此点邻接的最长边与最短边的长度之比。

(2)创建活动边的影响域：边的影响域是一个多面体，它的大小由边的两个端点处的采样均匀度确定；如果某边的影响域中包含活动点，则选择其中一个点与此边组成三角形。

(3)提出了选点的调和映射原则：从包含在活动边影响域的点中，选择一个满足调和映射的点，与此边组成三角形；这样得到的三角网格与原始曲面的形状最接近。

某点处的采样均匀度揭示了点云中的采样点在这点附近分布的均匀程度。某点处的采样均匀度越大，在此点附近采样点的分布越不均匀；反之，采样均匀度越接近1，采样点的分布越均匀。采样均匀度是点云的内在性质，用于确定边的影响域的大小。

边的影响域的形状由这条边的邻接关系确定，其大小由边的两个顶点处的采样均匀度确定。边的影响域的采用，将点的选取局限于影响域之内，极大地减少了运算量。

在边的影响域中选择满足调和映射的点，将使得能量泛函最小。这点与当前活动边组成三角形，这样生成的三角网格曲面最接近于原始曲面的几何形状与拓扑结构。

本发明与现有技术相比较，其优点在于：

本发明方法引进了采样均匀度概念，将网格中某点所邻接的最长边与最短边的长度比定义为点云在这点处的采样均匀度。利用点云的这个内在性质，为每条活动边计算它的影响域，将寻找新点的计算局限在影响域中进行，从而有效地提高了计算效率。本发明方法提出了调和映射原则来确定新点，它与当前活动边组成一个新三角形。如此生成的网格曲面体现了点云的内在性质，与原始曲面的几何形状和拓扑结构最接近。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

图2是本发明方法的几个基本概念的示意图。

图3是边e_i，j的影响域在这条边所在的三角面片上的投影(虚线框)。

图4是创建三角网格模型的过程示意图，其中：图4a为点云，图4b为从点云中生成网格的光照图，图4c为生成的三角网格模型。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

本发明提出一种基于调和映射的网格生成方法。设一个三维对象的表面是二维流形M，已经从M上采样得到足够稠密的点云C。本方法从点云C中重建出一个插值于C中所有点的三角网格曲面。图1是本方法的流程图。首先从点云中选择一个种子三角形，将它的边加入活动边链表。从这个链表中取出一条边，确定它的影响域。如果此影响域包含点云中的点，则从中选择一个与这条活动边组成一个新三角形，重新计算新生成边端点的采样均匀度，并将新生成的边加入活动边链表；如果此影响域不包含点，就认为这条边为边界边。从活动边链表中删除这条边。这一过程循环进行，直到活动边链表为空。为了叙述方便，首先介绍几个概念。

1.基本概念

如图2所示，设点P是点云中的任一点，在生成的网格中，与点P邻接的最长边与最短边的长度之比称为点云在点P处的采样均匀度。某点处的采样均匀度反映了点云在这点附近分布的均匀程度，这个值越大，说明点云在这点附近的分布越不均匀；越接近于1，表明分布越均匀。它是点云的内在性质。按照定义，只有当点P所邻接的边全部生成以后，才能求得点云在点P处的采样均匀度。然而，在网格生成过程中，点P邻接的边是一条一条逐次生成的，因此，在已经生成的点P的部分邻接边中，取最长边和最短边的长度比，作为点云在点P处的近似采样均匀度。

如图2所示，如果一个点的所有邻接边都是内边，称为固定点。如果一个点邻接活动边或者边界边，或者没有邻接边，称为活动点。

如图2所示，在网格生成过程中，如果一条边仅有一个邻接面，并且其影响域中包含点云中的活动点，这条边称为活动边；如果一条边仅有一个邻接面，但是它的影响域中不包含活动点，则称为边界边；如果一条边有两个邻接面，称为内边。

为了便于查找，将点云所在空间离散成体素表示。对于每一个体素，将包含在其中的点组织成一个链表，并存储一个指向这个链表的指针。

2.构造种子三角形

首先按照下面的方法构造一个种子三角形。

(1).在点云中找到z坐标最大的点p；

(2).找到与点p距离最近的点q，它与点p组成边L；

(3).构造以线段L所在直线为轴、以线段L的中点为中心、以线段L的长度len之半为半径且以len为高的一个圆柱。使其半径均匀增大，同时其高也沿着轴的两个方向均匀增大，直到这个圆柱内包含点云中的点；

(4).在上述圆柱所包含的点中，选取一个点，使它与边L的两个端点所构成的两条边的长度之和最短。这个点与边L构成种子三角形(面片)，将其边加入活动边链表。

这样选取种子三角面片是为了便于将三角面片的法向调整到朝向物体的外侧，其原理是这样的：先计算种子三角面片的法向，再计算它与向量(0，0，1)的内积，如果这个内积大于零，说明种子三角面片的法向朝物体的外侧，否则为内侧。确定出种子三角面片朝外的法向后，以后生成的三角面片朝外的法向可以参考种子三角面片的法向来确定。

3.构造边的影响域

从活动边链表中取出一条活动边，为这条边构造一个影响域。如果影响域不包含点云中的活动点，则这条边是边界边；否则就从中选取一个点与这条边组成新三角形。下面说明影响域的构造方法。

如图3所示，设活动边为e_i，j，其端点为P_i和P_j，中点为P_m。对于活动边e_i，j所在的三角形，其三个顶点为P_i，P_j和P_k，重心为P，单位法向N与向量P_kP_i×P_kP_i平行。活动边e_i，j的影响域是这样确定的：首先确定这条边两个端点所邻接各点的采样均匀度或者近似采样均匀度中的最大值，再求出这条边的两个端点所邻接的最长边的长度，设这两个值的乘积为s；然后确定影响域的边界面。图3是活动边e_i，j的影响域在它所在三角面片决定的平面上的投影。下面以图3为例，来说明影响域的求法。

(1).影响域的上边界面B₁是法向为N，且经过点P₁＝P_m+sN的平面。

(2).下边界面B₂是法向为N，且经过点P₂＝P_m-sN的平面。

(3).外侧边界面B₃，即投影为R₁R₂的边界面，是法向为N×P_jP_i且过点P₃＝P_m+sN₃的平面，这里N₃是N×P_jP_i的单位化向量。

(4).为得到影响域的右侧边界面，要考察点P_i的邻接边中，其另一个端点与点P_k分别在面M：N₃×(X-P_m)＝0不同侧的边；在图3中，边P_iQ₁和P_iQ₂满足这个条件。找出向量P_iQ₁和P_iQ₂中与向量P_iP_j夹角最小的一个；在图3中，它为P_iQ₂。如果这个向量与向量P_iP_j的夹角小于向量PP_i与P_iP_j的夹角，则影响域的右边界面有两个；在图3中，即平面B₄：N₄×(X-P_i)＝0与B₅：N₅×(X-P_i)＝0，其中N₄为N×PP_i的单位化向量，N₅为N×P_iQ₂的单位化向量。如果这个向量与向量P_iP_j的夹角大于向量PP_i与P_iP_j的夹角，或者点P_i的邻接边的另一个端点与点P_k都在面M的同侧，那么左边界面只有一个，即B₄。

(5).为确定影响域左边界面，也要进行类似操作；在图3中，左边界面为B₆：N₆×(X-P_j)＝0，其中，N₆为向量N×PP_j的单位化向量。

综上所述，图3中边e_i，j的影响域由上述6个边界面组成。其他活动边的影响域可以类似求得。

影响域的采用，使得我们只需要在影响域包含的点中选择一个，与当前活动边组成三角形。这极大地缩小了计算范围，提高了计算效率。

4.按照调和映射原则寻找新点

如果活动边影响域中包含多个活动点，比如图3所示影响域中有两个活动点Q₃和Q₄，本方法采用调和映射原则从中选取一个点，与当前活动边组成三角形。下面，我们详细介绍点的选取原则。

因为我们所处理的点云是从一个三维物体的表面采样得到的，所要求的是一个插值于点云中所有点的三角网格曲面，这个曲面是原三维物体表面的近似，因而，三角网格曲面与被采样物体表面之间要尽可能地接近。

对于一个给定的点云，假设有n种拓扑正确的重建三角网格，每种网格对应于一张嵌入到被采样物体表面的曲边三角网格。虽然这n张曲边三角网格的顶点之间的连接关系不同，但是它们表示的是同一张曲面。因而，与被采样物体表面最接近的重建三角网格必须与它所对应的曲边三角网格之间的度量扭曲最小。这里的度量指得是三角形的纵横比，以及网格的边长。与一个网格S度量扭曲最小的网格S_m使如下的泛函最小：

$E=\frac{1}{2}\mathrm{\Σ}{k}_{\mathrm{ij}}{\left|\right|h\left(P_i\right)-h\left(P_j\right)\left|\right|}^2---\left(1\right)$

其中，k_ij是系数，h是调和映射，P_i和P_j是S中边e_ij的两个端点，h(P_i)和h(P_j)是网格S_m中相应边的顶点。

在本方法中，映射h是恒等映射，顶点之间的连接关系未知。因此，问题转化为求解限制在被采样物体表面的最小权三角分解。我们采用一种启发式策略来寻找这个问题的近似解。假设三角面片{i，j，k}有活动边e_ij，我们为它寻找一个新点P_m，与其组成一个三角面片{i，j，m}，使得下式最小，

    k_i，j‖P_i-P_j‖²+k_i，m‖P_i-P_m‖²+k_j，m‖P_j-P_m‖²。        (2)

这里边e_ij邻接两个三角面片{i，j，k}和{i，j，m}，系数k_ij为：

  k_i，j＝(L_i，k ²+L_j，k ²-L_i，j ²)/A_i，j，k+(L_i，m ²+L_j，m ²-L_i，j ²)/A_i，j，m，    (3)

其中L_ij是边e_ij的长度，A_ijk是三角面片{i，j，k}的面积；对于新生成的两条边e_im和e_jm，它们仅邻接一个三角形，系数k_im和k_jm分别为：

$k_{i,m}=k_{j,m}=2\×(L_{i,m}^2+L_{j,m}^2-L_{i,j}^2)/A_{i,j,m}.---\left(4\right)$

如果活动边e_ij的影响域中包含多个活动点，本方法首先选择使方程(2)最小的点，对其进行完整性测试：检查新生成的三角面片与已存在的相邻三角面片之间的交是否空集或边界边；如果是，就选择这个点与活动边e_ij组成新三角形；否则，选择剩余活动点中使(2)最小者，进行几何完整性测试；依次类推。如果所有活动点都不符合几何完整性测试，活动边e_ij就是一条边界边。

5)生成整个网格

从部分生成网格的活动边链表中，取出一条活动边，按照以上步骤3)，为其构造影响域；按照步骤4)，根据调和映射原则，在影响域中寻找一点，与当前活动边组成新的三角形，并将新生成的活动边加入到活动边链表中。对于新生成活动边的端点，重新计算它们的采样均匀度。这个过程直到活动边链表为空时结束。这时，从点云中生成了整个网格模型。如图4是一个例子，其中，图4a为点云，包含40002个点，图4b为从点云中生成网格的光照图，图4c为生成的三角网格模型。

Claims (4)

1.一种基于调和映射的网格生成方法，包括以下步骤：

(1)已知对三维物体表面采样得到的点云C，从点云C中选择一个种子三角形，计算顶点处的采样均匀度，并将它的边加入活动边链表；

(2)从这个链表中取出一条活动边，通过与采样均匀度自适应的方法来确定它的影响域；

(3)如果此影响域包含点云C中的点，按照调和映射原则从中选择一个与这条活动边组成一个新三角形，重新计算新生成边端点的采样均匀度，并将新生成的边加入活动边链表；

(4)如果此影响域不包含点云C中的点，就认为这条边为边界边，从活动边链表中删除这条边；

(5)重复步骤(3)、(4)，直到活动边链表为空；从点云C中生成得到最接近原始三维对象表面的三角网格模型。

2.根据权利要求1所述的基于调和映射的网格生成方法，其特征在于：所述的种子三角形的构造方法，包括：

(1)在点云C中找到z坐标最大的点p；

(2)找到与点p距离最近的点q，它与点p组成边L；

(3)构造以线段L所在直线为轴、以线段L的中点为中心、以线段L的长度len之半为半径且以len为高的一个圆柱，使其半径均匀增大，同时其高也沿着轴的两个方向均匀增大，直到这个圆柱内包含点云C中的点；

(4)在上述圆柱所包含的点中，选取一个点，使它与边L的两个端点所构成的两条边的长度之和最短，这个点与边L构成种子三角形。

3.根据权利要求1所述的基于调和映射的网格生成方法，其特征在于：所述的活动边影响域的确定方法，包括：

(1)设活动边为e_i，j，其端点为P_i和P_j，中点为P_m。对于活动边e_i，j所在的三角形，其三个顶点为P_i，P_j和P_k，重心为P，单位法向N与向量P_kP_i×P_kP_i平行；

(2)首先确定这条边两个端点所邻接各点的采样均匀度或者近似采样均匀度中的最大值，再求出这条边的两个端点所邻接的最长边的长度，设这两个值的乘积为s；

(3)影响域的上边界面B₁是法向为N，且经过点P₁＝P_m+sN的平面；

(4)下边界面B₂是法向为N，且经过点P₂＝P_m-sN的平面；

(5)外侧边界面B₃，是法向为N×P_jP_i且过点P₃＝P_m+sN₃的平面，这里N₃是N×P_jP_i的单位化向量；

(6)根据活动边左端点处的拓扑连接关系，确定影响域的左边界面；

(7)根据活动边右端点处的拓扑连接关系，确定影响域的右边界面。

4.根据权利要求1所述的基于调和映射的网格生成方法，其特征在于：所述的调和映射选点原则，包括：

(1)假设三角面片{i，j，k}有活动边e_ij，它的影响域中包含多个活动点，从中选择使下列方程最小的点P_m，

        k_i，j‖P_i-P_j‖²+k_i，m‖P_i-P_m‖²+k_j，m‖P_j-P_m‖²，

与活动边e_ij组成三角面片{i，j，m}。这里，系数k_ij为：

k_i，j＝(L_i，k ²+L_j，k ²-L_i，j ²)/A_i，j，k+(L_i，m ²+L_j，m ²-L_i，j ²)/A_i，j，m，

其中L_ij是边e_ij的长度，A_ijk是三角面片{i，j，k}的面积；对于新生成的两条边e_im和e_jm，它们仅邻接一个三角形，系数k_im和k_jm分别为：

$k_{i,m}=k_{j,m}=2\×(L_{i,m}^2+L_{j,m}^2-L_{i,j}^2)/A_{i,j,m};$

(2)对新生成的三角面片{i，j，m}进行完整性测试，检查它与已存在的相邻三角面片之间的交是否空集或边界边；如果是，就选择这个点与活动边e_ij组成新三角形；

(3)否则，选择剩余活动点中使上述方程最小者，进行几何完整性测试；依次类推；如果所有活动点都不符合几何完整性测试，活动边e_ij就是一条边界边。

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