CN101013853A - 三角函数有限微分变流方法及其实现装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三角函数有限微分变流方法，包括：配置移相变压器的接线组别，以获得所需的几组不同相位的基频电压；利用各基频的和频函数或差频函数构建三角函数有限微分变流方程，方程左右两侧分别为输入输出信号；配置正弦函数变压器、电力电子开关器件及外围电路，以得到解析所述变流方程的电力电子拓扑电路；将角频率和与差的合成作为统一控制逻辑，按照与基频某相为基准的动作顺序来确定函数开关动作时序，控制正弦函数变压器和电力电子开关的组合，以实现变频，整流和逆变；本发明同时公开了一种实现上述方法的三角函数有限微分变流装置，能够采用简单的电路拓扑和统一的控制策略实现各种变换，简单方便、易于控制、成本低。

Description

三角函数有限微分变流方法及其实现装置

技术领域

本发明涉及电力电子技术(Power Electronics techniques)，尤其涉及一种三角函数有限微分变流方法及其实现装置(Trigonometric function limiteddifferential converter)，用于实现没有整流环节的交交变频(AC to AC)，极微小谐波整流(AC to DC)以及极微小谐波直交逆变(DC to AC)。

背景技术

自二十世纪六十年代可控硅(可控硅整流器SCR或晶闸管Thyristor)实现实用化和商业化后，标志着电器变速拖动VSD(Variable-speed driver)的真正开端，早在20世纪20年代德国的专利技术就实现了周波变频器CC(cycloconverters)，亦称循环换流器。如今CC主要应用于AC to AC的变频，并广泛应用于钢铁、水泥、采矿、舰船拖动和大功率低频电源。CC变频为重工业做出了重大贡献，目前法国的最大CC做到了58Mw，但CC变流给电力系统造成的谐波影响是众所周知的。6脉波和12脉波的CC在世界大型同步电机拖动仍占很大比例，而目前典型大功率变速拖动在钢铁企业仍然占主导地位。人们期待会有谐波含量小，效率高的大型VSD问世。电力电子技术业界预测，正弦脉宽调制SPWM(Sinusoidal pulsewidth modulation)和空间矢量脉宽调制SVPWM(Space-vector pulsewidth modulation)大有取代传统交交变频传动(Cycloconverter-fed Drive)的趋势。脉宽调制PWM变频技术起源于德国一个电讯工程师，20世纪80年代后由于变速拖动VSD(Variable-speed driver)的需要而得到迅速发展，其原因就是电力电子开关器件支撑了这项技术的发展。绝缘栅场效应管IGBT和功率场效应晶体管MOSFET的实用化和商业化，极大地促进了正弦脉宽调制SPWM(Sinusoidalpulsewidth modulation)和空间矢量脉宽调制SVPWM(Space-vectorpulsewidth modulation)技术的发展。

二十一世纪将是能源结构和电力电子技术发生重大变革和进步的时代，由于不可再生石化，煤炭能源的紧缺，核能发电将进一步发展。为缓解地球室温效应和遏制污染，可再生能源发电将越来越受到重视，例如光伏电池太阳能发电，风能发电，生物质发电，燃料电池发电。可再生能源发电及其它发电都需要电力电子技术的支撑。由于全球性环保意识的提高，人们逐渐清醒的认识到电力电子功率器件如果不加控制的扩大应用，其带来的负作用就是电网的污染，增大能源损耗，所导致的大量电磁兼容问题将严重的干扰当今信息时代，如今IT和通讯产业由于电源问题而引起的经济损失已相当惨重。因此，传统的整流和逆变电力电子设备已不能适应绿色能源的传输和应用。绿色电能变换的需求呼唤着电力电子技术的发展必须探索一条绿色之路。

可喜的是，目前迅速发展和不断提高的SPWM技术既可实现DC-AC也可实现AC-DC的变换，而且可实现网侧单位功率因数和正弦波的电流控制，甚至能使电能双向传输。一般可称双向SPWM整流器为可逆SPWM整流器。

随着SPWM控制技术的发展，空间矢量PWM(SVPWM)，滞环电流PWM控制等方案的提出，还有多电平SPWM控制技术和多电平空间矢量PWM(SVPWM)技术的发展，使得SPWM可逆整流器，以及多功率单元的SPWM背靠背的整流和逆变变流器被广泛应用于各类电力电子应用系统中。

然而，以上提及的SPWM控制技术，空间矢量PWM(SVPWM)技术具有其弱点和局限性，无论是SPWM控制技术，还是空间矢量PWM(SVPWM)控制技术均不能完成AC to AC的无整流环节的直接变换，必须通过双PWM变流才能实现AC to DC to AC的变换。

此外，电力电子应用系统需要不同的各种先进技术实现不同领域，不同场合的应用，各种电力电子变流技术主要应用于以下系统：

不间断电源UPS(Uninterruptible power supplies)

变速拖动VSD(Variable-speed drive)

高压直流输电HVDC(High-voltage transmission system)

变速恒频发电VSCF(Variable-speed constant-frequency)

频率环系统(Frequency link system)

统一潮流控制器UPFC(Unified power flow controller)

超导储能SMES(Superconducting Magnet Energy Storage)

可以实现分频输电FFTS(Fraction frequency transmission system)

太阳能发电(Solar generator)构成的PV(Photovoltaic)直交变流系统。

变速伺服传动VSSD(Variable-speed servo drive)

白色发光二极管White-LED(White-Lighting-emitting diode)整流电路

舰船拖动(Warship and Merchant ship drive)

航空航天器供电系统(Power supply system of aircraft)

分布式电站逆变系统(Distribution power station inverter system)燃料电池分布电站

电力机车拖动(Electric locomotive drive)

电动汽车拖动(Electric vehicles drive)

然而，目前业界所应用的各种电力电子变流技术均存在各自的缺陷。

美国罗宾康公司是多功率单元的完美无谐波变频器(Perfect Harmony)的专利发明公司，美国罗宾康公司(ROBICON)和日本富士(FUJIDE)拥有号称是多功率单元的完美无谐波变频器(Perfect Harmony)，其在低频时依然会有脉动转矩和高频损耗。事实上这两个公司的完美无谐波变频器在业界一致被认为是质量和性能都很好的变速拖动设备，而且即使不装设滤波装置，也不会给电网带来超标的谐波污染。但不容忽视的是，完美无谐波变频器所用电力电子器件的数目是非常多的，以5功率单元为例，完美无谐波变频器需要整流变压器，整流变压器有15组延边三角形二次接线，可见二次接线所用导线之多，15组延边三角形二次接线提供给15组6脉波整流器，共需90只整流二极管，可自关断IGBT绝缘栅场效应管一共用了60只，续流二极管用了60只。

相比之下，三电平或四电平SVPWM或SVPWM变频器可以大量降低所用电力电子器件的数量，但是对于三电平以上的变频器，复杂的控制策略使它很难在近期内商业化和实用化。

具有代表性的有美国通用公司(GE)的INNOVANON变频器，德国西门子(SIMENS)的SIMCVERTMV变频器，欧洲ABB的ACS1000变频器，这几种变频器都是三电平或三点式变频器，三电平以上的变频器控制策略比较复杂，尽管它们能够实现很好的变频拖动性能，但还是需要滤波器来消除谐波。更多电平的变频器波形质量会更好，但是电力电子器件也会更多，控制策略将过于复杂，因此目前四电平或五电平的变频器还很难实现实用化和商业化。

鉴于现有大功率的可自关断电力电子器件的开关速度，试图用很少的可自关断开关利用SPWM或SVPWM实现高性能高波形质量的变流技术，在当前的技术条件下是不现实的。

近来，技术领先的国家正在加快研究矩阵变换器MC(Matrix converter)。人们普遍认为，矩阵变换器在电力电子双向自关断开关器件成熟的控制和保护问题得到解决之后，很可能要取代现在的SPWM或SVPWM变频技术。另外，矩阵变换器只有9个双向自关断开关组成电路拓扑，一次电路拓扑简单，并且是没有整流环节的直接交交变频。目前矩阵变换器的控制方法有两种：一种是占空比调制(Duty factor modulating)，另一种是空间矢量调制SVM(Space vector modulating)。印度Bengal工程大学的AjitK.Khattopadhyay博士曾很有信心的断言：“随着电力电子器件制造技术的不断发展，包括复杂的控制和保护问题最终都可解决，矩阵变换器MC(Matrix converter)可以取代自然换相周波变换器NCC(Naturallycommutated Cycloconverter)的所有应用，而且取代PWM或SVPWM变频技术整流器和逆变器。”

但是迄今为止，矩阵变换器MC尚未有商业化产品问世。2004年前的实验电路容量是100kVA以下。矩阵变换器MC具有其独特的变频优势，然而矩阵变换器MC不可能取代所有的变频领域和特殊应用场合。矩阵变换器MC经过滤波可以实现很好的正弦电流，但它输出的电压依然是脉宽组成的序列，同样也存在着严重的EMC兼容问题。

在电力系统分频输电领域，我们知道50Hz的线路XL是314*L，如果采用50/3＝16.66Hz分频输电，线路阻抗即可降低到1/3。目前德国的电力机车驱动就有用分频输电来供电的，其电力机车电源是单相110Kv，容量为100MVA，所用的是近年成功的IGCT电力电子开关器件(比IGBT耐压水平高，电流容量大)，逆变为50/3Hz，应用了多单元组合H桥方案，实现了单相50/3Hz分频输电。但是所用的电力电子开关器件多达三百多件，其复杂的电路结构导致其一直无法有效降低成本。

为了实现无脉动转动的同步或异步变速拖动VSD(Variable-speeddrive)，最好是能够获得稳定连续的绝对均匀圆形旋转磁场。然而，直接交交变频空间矢量控制技术和空间矢量PWM(SVPWM)控制技术只能获得准圆旋转磁场，而无法实现绝对均匀圆形旋转磁场。

稳定连续的绝对均匀圆形旋转磁场对于变速恒频发电同样具有重要意义，一旦能够获得绝对均匀圆形旋转磁场，那么根据统一发电机变速恒频发电VSCF(Variable-speed constant-frequency)理论，就可以实现变速恒频发电。这里所说的变速恒频发电是基于交流励磁ω₁励磁电流和转子机械转速ω₂之和ω₁+ω₂＝ω₃所形成的合成旋转磁场。在定子线圈中发出ω₃角频率的正弦交流电。至于VSCF在大型发电机的应用，1993年日本东芝公司研制的400Mw抽水蓄能水轮发电机就是利用了交流励磁原理实现了变速恒频发电，(日本Qkhawachi Hydroelectrc power station)交流励磁由一个72MVA的三相无环流12脉波CC(cycloconverters)产生。从而使抽水蓄能效益得到了很大的提高。风力发电除了小型的直流发电机之外更多的是异步鼠笼发电机，研究表明，风力涡轮机技术最有前景的研究方向是电力电子控制的可变速度运行。目前的风力发电VSCF一般不是交流励磁，而是利用SPWM整流器逆变器(SPWM Rectifier-Inverter)原理实现的，在美国NASA的MDO-0 MDO-5B已实现VSCF运行。美国和德国的ENERCON公司的Enercon VSCF风力发电机已在西澳大利亚的Denham运行。目前澳大利计划的风塔循环气流发电必须采用VSCF技术，不论是哪一种VSCF技术，因为自然气流不会象火力发电的蒸汽一样可以人为控制。

因此，人们期望能够完成中小功率的变流技术，以在再生能源利用上发挥作用，并能够实现用户电力系统交直流混合用电系统的White-LED照明的技术措施。

照明革命将大量使用直流电，White-LED照明已成为绿色照明的必然趋势，所以交直流混合用电只是早晚的问题。利用SPWM(Sinusoidal pulsewidthmodulation)强迫整流技术或三角函数有限微分变流技术实现低THD(Totalharmonic distortion)和无谐波整流是解决White-LED大功率照明的必然手段。White-LED照明可以实现多级或多只串联的方法实现高电压供电方案，例如33只串联实现100V直流供电。目前全球照明负荷占总电力负荷的20％左右。White-LED照明的效率是白炽灯的10-20倍，是日光灯或荧光灯的效率4-6倍，如果White-LED照明能够取代常规照明，将是对节约能源和保护全球生态和自然环境的巨大贡献。然而现有的电源变流技术AC to DC的整流无法实现非常好的效果，会对电网产生谐波。当前White-LED的功率水平已做到3W，每只正向驱动电压3V左右，目前是用开关电源或专用模块进行供电，因而不能适用于街区路灯照明或大型超市等须要大功率照明的场合。

对于UPS电源系统而言，尤其是作为信息系统、通信系统的UPS电源，由于目前无法实现很好的DC to AC逆变，而存在高频干扰和谐波，一直无法获得良好的EMC兼容性。

一旦能够将直流逆变为两相、三相、四相交流电源，互差π/2的幅值相同的两相电压就可以形成均匀的圆形旋转磁场，从而也就可以驱动两相交流异步电机或同步电机。直流无刷电机有脉动转矩，不如异步电机或同步电机运行稳定，所以两相异步电机或同步电机相对于直流无刷电机，具有商业上的挑战性。

对于电力机车驱动电源而言，目前电力系统由于电力机车造成的谐波污染非常严重，需要更好的变频技术以实现分频驱动电源或电力机车运行于直流电源系统中，到机车上再逆变为可变频率的交流电源驱动机车上的同步或异步电机。

为了实现PV(Photovoltaic power system)系统的变流并网，实现太阳能光伏电池发电的DC to AC变流并网，要求几乎没有谐波，以便能够向系统输送纯净的电能。目前实现太阳能光伏电池发电的DC to AC变流方法很多，主导思想是SPWM的强迫换流，业界也有主张用具有高频环节的三级变频技术实现。具有高频环节的三级变频技术一般用来实现航空变频器，航空变频器要求体积小，重量轻，到目前美国航天仪器公司的1000VA左右变频器也只做到效率85％，南京航天大学陈道练博士研制的750VA航空变频器的效率也是85％左右。目前光伏电池发电的成本仍然很高，并且效率最高的PV变频器大概也只能在92％左右，普遍存在低负荷逆变时效率低下的问题，而新开发的PV变频器要求能够在低功率水平时保持高转换效率，因此提高PV系统逆变器的效率和正弦度是摆在再生能源利用课题面前的一项紧迫任务。

发明内容

有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种三角函数有限微分变流方法，使其能够适应于各种电力电子应用系统，且相应于不同领域，不同场合的应用，可分别完成无整流环节的交交变频(AC to AC)，极微小谐波整流(AC to DC)以及极微小谐波直交逆变(DC to AC)，且实现简单、方便、灵活。

本发明的另一目的在于提供一种实现三角函数有限微分变流的装置，使其在保证能完成各种频率变换(AC to AC，AC to DC，DC to AC)的同时，实现更简单、配置更灵活方便、更易于控制、成本更低。

为实现上述目的，本发明提供了一种三角函数有限微分变流方法，包括：

配置连接移相变压器的接线组别，以获得所需的几组不同相位的基频电压；利用各基频的和频函数或差频函数构建三角函数有限微分变流方程，方程左侧为输入信号形式，右侧为输出信号形式；根据所构建的三角函数有限微分变流方程，配置函数变压器、电力电子开关器件及外围电路，以得到解析所述变流方程的电力电子拓扑电路；将角频率和与差的合成作为统一控制逻辑，按照与基频某相为基准的动作顺序来确定函数开关动作时序，控制变压器和电力电子开关的组合，以实现AC to AC变频，AC to DC整流，DC to AC逆变。

所述方法中，差频函数或和频函数为：

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]                                             (1)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]                          (2)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]                          (3)

Sin[ω1t+i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]                                             (4)

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]                         (5)

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]                         (6)

为了为实现上述目的，本发明还提供一种三角函数有限微分变流装置，适用于多项对称电路或不对称正交两相电路，至少包括：函数变压器，其接线组别被配置为能够获得所需的几组不同相位的基频电压；电力电子开关器件，与函数变压器一起配合完成解三角函数角频率和差方程，以构成解析三角函数有限变流方程的电力电子拓扑电路；控制电路，将角频率和与差的合成作为统一控制逻辑，按照与基频某相为基准的动作顺序来确定函数开关动作时序，控制变压器和电力电子开关的组合，以实现AC to AC变频，AC to DC整流，DC toAC逆变。

根据本发明的优选实施例，其中函数变压器的二次线圈按照正弦函数规律来分配匝数。

根据本发明的优选实施例，其中所述电力电子开关可以为绝缘栅场效应管IGBT，大功率晶体管，功率场效应晶体管MOSFET或集成门控换向晶体管IGCT之一。

根据本发明的优选实施例，其中在AC to AC变频模式下，还包括函数变压器输出换相电子开关。

根据本发明的优选实施例，其中在DC to AC逆变模式下，还包括桥式电子开关，施加于函数变压器的输入端，以产生与交流输出同频的方波电压。

根据本发明的优选实施例，所述三角函数有限微分变流装置可用于通讯系统，自动化控制系统，仪器仪表设备，小型或微型电机变速设备，不间断电源UPS(Unintermptible power supplies)设备，变速拖动VSD(Variable-speed drive)设备，高压直流输电系统HVDC(High-voltage transmission system)，变速恒频发电系统VSCF(Variable-speed constant-frequency)，频率环系统(Frequency linksystem)，分频输电系统FFTS(Fraction frequency transmission system)，航空航天器供电系统(Power supply system of aircraft)，柔性(灵活)交流输电系统(FACTS-Flexible Altemative Current Transmission Systems)，以及配电柔性(灵活)交流输电系统(FACTS-Flexible Alternative Current Transmission Systems inDistribution)。

由上述方案可以看出，本发明的关键在于：

直接利用人们熟知的三角函数的各种性质，比如角的和差公式，正余弦平方和公式，对称系统的各相平方和公式，以及三角函数和差化积，积化和差等等原理形成的微分思想，结合电工学与经典数学理论，用微分学的概念来利用三角函数的各种变换公式来实现正弦交换的各种变换。

因此，本发明所提供的三角函数有限微分变流方法及其实现装置，具有以下的优点和特点：

1)本发明的三角函数有限微分变流技术是完全依照数学理论和电学理论描述的变流技术，所描述的数学公式准确清晰明了，所以控制策略特别简单，控制程序容易实现，方便灵活，且可以大大节省资源。

2)本发明的三角函数有限微分变流装置具有统一的体系，通过对函数变压器和开关电路进行配置，灵活的选择参数配置和变换方程，使用相同原理的电路拓扑就可以实现AC to AC，AC to DC，DC to AC的各种变换，以满足不同应用系统的需要。

3)本发明的三角函数有限微分变流技术的AC-AC直接变频，没有中间整流环节，变频效率高，根据傅立叶级数展开理论，三角函数有限微分变流技术的AC-AC直接变频谐波极小，对网侧电源几乎没有影响，能够保证电网的电能质量，以基频电源为基准，能够变换出频率极低的完美无谐波正弦波形，以及频率较高的完美无谐波正弦波形。相对于目前国际上争相研发的矩阵变频器MC(Matrix Cycloconverter)，其输出电压永远不能高于输入电压而言，三角函数有限微分变流技术的AC-AC直接变频技术不受输入电压的限制，可以任意的输出，所输出的地正弦电压可以经过变压器原边的线圈的匝数进行调节。三角函数有限微分变流技术可以实现同一逻辑电路交流到直流的变频输出，特别适合于转子交流励磁的变速恒频发电。

由于能够实现没有整流环节的交交变频(AC to AC)，本发明不同于传统的CC变频(Cycloconverter)和交交变频传动(Cycloconverter-fed Drive)。可以完成基频的分频和倍频的极微小谐波交交变频，还能完成相对基频的极高频和极低频的网侧或电源侧极微小谐波交交变频。因此本发明可实现AC-AC的VSD(Variable-speed drive)变速传动，变速恒频发电VSCF(Variable-speed constant-frequency system)，以及分频输电FFTS(Fractionfrequency transmission system)。

4)本发明的三角函数有限微分变流技术的AC-DC逆变技术能够实现极微小谐波整流(AC to DC)。电力电子技术应用于整流技术的最终奋斗目标是实现网侧或电源侧的电压电流的无谐波化和尽量小的总谐波畸变率THD(Total harmonic distortion)，三角函数有限微分变流技术应用数学电学基本理论的数理行为仿真实现的网侧极微小谐波整流技术。本发明可应用于高质量直流电压负载。

5)本发明的三角函数有限微分变流技术的DC-AC逆变技术可以实现非常好的阶梯正弦输出，经过滤波，可以形成非常好的正弦电压质量，所输出的正弦电压可以经过变压器原边的线圈的匝数进行调节，可实现多重化阶梯波合成逆变技术所达不到的电能质量水平。

本发明可以实现极微小谐波直交逆变(DC to AC)，二十一世纪将是全球积极倡导可再生能源利用的时代，风力发电(Wind generator)，太阳能发电(Solar generator)构成的PV(Photovoltaic)系统，生物质能(Biomass energy)发电都将要使用直交逆变。PV系统和电网并网发电，应该是将所获得的最大功率点直流电能以最低损耗最小的总谐波畸变率逆变为交流送入电网。近年取得长足进步的清洁发电技术-燃料电池发电(Fuel cell system)，也应将燃料电池所发的直流电逆变为交流电，方可方便使用或和现有电网并网。能源利用率高的磁流体发电(Magnetohydrodynamics generation)，也必须将磁流体发出的直流逆变为交流电并入电网，所以无谐波直交逆变对可再生能源利用发电及其它发电技术有非常重要的意义。无谐(极微小)波直交逆变可以构成高质量正弦波不间断电源(UPS Uninterruptible power supplies)。

6)本发明从价格角度来说，只需要较少的器件就可以实现，并且简化了电路拓扑，相比其他电力电子变流技术而言，成本大大降低。

同时，从性能角度来说，本发明的装置又具有更好的性能，例如可以用比完美无谐波变频器少的电力电子器件完成更好的正弦电压电流波形；根据空间矢量的数学公式，可以形成在任意时间t时刻的空降矢量常量V，从而可以实现稳定连续的绝对均匀圆形旋转磁场；DC to AC逆变不存在高频干扰和谐波，EMC兼容性好；由于电子开关在工频变压器侧流过的电流都是正弦，承受的电压是正弦，开关频率适中，三角函数有限微分变流的PV系统变频器可以做到高效率。

由此可见，总体性能价格比提高了。

总之，本发明的方法可以根据频率变换的需求(AC to AC，AC to DC，DCto AC)进行灵活的、动态的参数配置，实现方法简单，灵活有效；而且，硬件结构设计简单、易于实现和操作，即可独立使用，又可作为单独的模块配置于其它系统中。

目前矩阵变频器MC(Matrix Cycloconverter)的研发进展很快，如果大功率双向开关的技术问题得以解决，三角函数有限微分变流技术必然成为一种崭新的、EMC兼容性好的、高效的、谐波影响最小的变频技术。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作进一步的详细描述，其中：

图1为三角函数有限微分变流1/3分频的电压波形示意图；

图2为1/3分频基频电流和分频电流的关系示意图；

图3为1/6分频基频电流和分频电流的关系示意图；

图4为1/4分频基频电流和分频电流的关系示意图；

图5为1/7分频基频电流和分频电流的关系示意图；

图6为单相分频频率的合成图；

图7为1/3分频的函数在曲线在n等于有限数时的图解；

图8为1/6分频的函数在曲线在n等于有限数时的图解；

图9为三相倍频频率的合成图；

图10为2倍频的函数曲线在n等于有限数时的图解；

图11为三角函数有限微分变流三相AC to AC变频拓扑电路；

图12为由两个单相变压器组成的线路的示意图；

图13为图12中E1和E2的向量图；

图14为三相变压器构成三相对称电路变换为不对称幅值相同，相位相差π/2的接线组别及其向量图；

图15-1至图15-4示出了三角函数有限微分变流AC to AC变换两相分频和倍频的计算机仿真波形图；

图16-1至图16-2示出了三相整流的波形图；

图17示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流原理的，三角函数有限微分变流整流的三单元拓扑电路；

图18示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流原理；

图19示出了图18中当lim n→∞时的连续函数曲线；

图20示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流与变压器的连接图；

图21示出了只用单向开关的三角函数有限微分变流整流的波形分析图；

图22示出了只用单向开关的三角函数有限微分变流整流的拓扑电路；

图23-1至23-2示出了最小3等份和有限60等份的波形图；

图24为三相逆变的电压波形图；

图25为两相逆变的电压波形图；

图26为三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路直流电源的波形图；

图27示出了三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路图；

图28示出了f(t)成为正负交替变化的正弦形状阶梯函数示意图；

图29示出了取出f(t)的绝对值|f(t)|得到的波形图；

图30示出了通过实际高频环节变频器的电路拓扑验证的电路；

图31示出了1/2分频两相交流逆变当中，控制脉冲和函数曲线的对应关系。

具体实施方式

以下将参照附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

众所周知，自然界的任何一种物理现象只有用数学准确的描述，人类才能科学的控制这种物理现象，利用电力电子技术控制变流技术也是同样的原理。如果一种变流技术能够准确的用数学对这种电能转换现象进行行为建模，那么这种变流的行为仿真无疑是精确的。三角函数有限微分变流技术就是按照严格电学定律，定理和数学方程和逻辑、实现的变流技术。正弦交流电的各种现象是最典型的三角函数现象，因此可以采用微分学的概念利用三角函数的各种变换公式，来实现正弦交流的各种变换。

(I)三角函数有限微分变流技术的数学和电学原理

(一)两个不同角频率正弦函数角频率和差合成

在下面的数学解析中我们暂时提出正弦交流电的U_m I_m，在分析电路时再代入。

我们来分析这样一个正弦函数，分析角频率差的一个正弦函数公式：

(1)：Sin(ω1t-ω2t)＝Sin[(ω1t-ω2)t]＝Sinω3t

公式(1)说明了两个任意角频率差的正弦函数的表达式。

如果ω1/ω3＝fac3，ω2/ω3＝fac1

(ω2/ω3)/(ω1/ω3)＝ω2/ω1＝fac1/fac3

Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)＝Sin[t(ω1-fac1*ω1/fac3)＝Sinω3t

ω2＝fac1*ω1/fac3＝ω1*fac1/fac3

Sin(ω1t-ω2t)＝Sin[ω1t-(fac1*ω1/fac3)t]＝Sinω3t

∵ω3＝ω1/fac3，ω1＞ω3

∴Sinω3t角频率低于Sinω1t的fac3分频角频率。

如设ω1＝2π60，fac3＝3，2π60/ω3＝fac3＝3，2π60//3＝2π60//3＝2π20

ω2/ω3＝fac1，fac1＝2，ω2/2π20＝fac1＝2，ω2＝2π20*2＝2π40

∴Sinω2t角频率低于Sinω1t的fac1分频角频率。

改写一下公式(1)的形式，

Sin(ω1t-ω2t)＝Sinω3t

＝Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)

＝Sin[ω1t-(fac1*ω1/fac3)t]

已知1/ω3＝1/2πf3＝T3/2π，1/f3＝T3

如果将T3分为n等份，T3/n＝M

$\underset{n\→\∞}{\lim }\frac{T3}{n}=M=0$

Sin(ω1t-ω2t)＝Sinω3t

＝Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)

＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

$\underset{n\→\∞}{\lim }\frac{T3}{n}=M=0,$ i＝1，......，n

解i＝1，......，n的下面算式

式(1)-1：Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝Sinω3t

如果将T3分为有限n等份，T3/n＝M

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]是以ω1t-M*i*(fac1ω1/fac3)角频率为ω3t的一条具有锯齿边缘的角频率低于Sinω1t的ω1/fac3的ω3分频角频率。

下面将证明T3分为有限n等份的Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的定积分和Sinω3t的定积分具有相同的面积。

$\frac{2}{T3}{\∫}_0^{T3/2}\mathrm{Sin\ω}3\mathrm{dt}=\frac{2}{T3\mathrm{\ω}3}{\∫}_0^{T3/2}\mathrm{Sin\ω}3\mathrm{td\ω}3t=\frac{2}{T3\mathrm{\ω}3}{[-\mathrm{Cos\ω}3t]}_0^{T3/2}=\frac{2}{T3\mathrm{\ω}3}[1+1]=\frac{2}{\mathrm{\π}}$

将T3分为有限n等份，T3/n＝M

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

$\frac{2}{T3}{\∫}_0^{T3/2}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]\mathrm{dt}$

$=\frac{2}{T3\mathrm{\ω}1}{\∫}_0^{T3/2}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]d[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

显然以上积分必须分为T3/n＝M的n段积分来做，以上积分是以ω1t为基频的表达式，实质上是求ω3t为弧度的分频频率的半个周期的平均值面积，因为ω3t全周期分为n等份，半个周期是n/2份，因为要积n/2个积分，因为从0开始，所以从0到n/2-1是n/2个积分。

$\underset{i=0}{\overset{(n/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{T3\mathrm{\ω}1}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)\left]d\right[\mathrm{\ω}1-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]=$

$\frac{2}{T3\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{(n/2)-1}{\mathrm{\Σ}}}{[-\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\≈2/\mathrm{\π}\≈0.6366$

$\underset{i=0}{\overset{(n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{T3\mathrm{\ω}1}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)\left]d\right[\mathrm{\ω}1-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]=$

$\frac{1}{T3\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{[-\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}=0$

$\frac{1}{T3\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{[-\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}=0$

显然以上积分必须做几十个或几百个积分，手工计算是非常艰巨的，用计算机高级语言编程计算就非常简单，以上积分可以用算法语言来表示，但算法语言不是任何一种计算机高级语言，算法语言必须转换成任何一种计算机高级语言来实现，以下我们用世界上最通行的Visual Basic 6.0来编程计算以上积分，可以在具有Visual Basic 6.0的任何微软操作系统下运行。可以证明任意有限的n等份的半个ω3周期为准正弦的平均值面积都非常接近2/π。一个ω3周期准正弦的平均值面积的积分非常接近0，积分公式完全一样，只是积分变量改一下。

以下程序是Visual Basic 6.0文本程序，粘贴到Visual Basic 6.0程序代码后可以直接运行。

通用部分定义公共变量

Dim pi

Dim fac1，fac2，fac3

Private Sub Command1_Click()

Dim n As Integer

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double

n＝60

pi＝4*Atn(1)

ω1＝2*pi*50

T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

S1＝0

ω3＝ω1*(fac3-fac1)/fac3

Fori＝0 To(n/2)-1

S1＝((-Cos(ω1*(i+1)*T3/n-(i*ω1*fac1*T3/fac3*1/n)))-(-Cos(ω1*i*T3/n-(i*fac1*ω1*T3/fac3*1/n))))+S1

Next i

Text1.Text＝S1*2/(ω1*T3)

End Sub

列表筐Listl_Click()填写11个以12为分母的分频系数

Private Sub List1_Click()

Dim pi

pi＝4*Atn(1)

Select Case List1.ListIndex

Case 0:fac1＝10:fac2＝8*pi/1:fac3＝12：

Case 1:fac1＝10:fac2＝8*pi/2:fac3＝12

Case 2:fac1＝9:fac2＝8*pi/3:fac3＝12：

Case 3:fac1＝8:fac2＝8*pi/4:fac3＝12

Case 4:fac1＝7:fac2＝8*pi/5:fac3＝12：

Case 5:fac1＝6:fac2＝8*pi/6:fac3＝12

Case 6:fac1＝5:fac2＝8*pi/7:fac3＝12：

Case 7:fac1＝4:fac2＝8*pi/8:fac3＝12

Case 8:fac1＝3:fac2＝8*pi/9:fac3＝12：

Case 9:fac1＝2:fac2＝8*pi/10:fac3＝12

Case 10:fac1＝1:fac2＝8*pi/11:fac3＝12：

Case 11

std＝2

Case 12

End Select

End Sub

(二)两个不同角频率正弦函数角频率和差合成正弦函数的有效值或均方根值

依照正弦函数均方根值公式计算Sinω3t的均方根值，初相角不影响均方根值，所以积分中加入了初相角θ

$\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}{\mathrm{Sin}}^2(\mathrm{\ω}3t+\mathrm{\θ})\mathrm{dt}}$

$=\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}[1-\mathrm{Cos}2(\mathrm{\ω}3t+\mathrm{\θ})]\mathrm{dt}}$

$=\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{dt}-\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2(\mathrm{\ω}3t+\mathrm{\θ})\mathrm{dt}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

由三角函数定积分知道正余弦函数一个周期的定积分等于零，

$\underset{.}{..}\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2(\mathrm{\ω}3t+\mathrm{\θ})\mathrm{dt}=0$

$\stackrel{.}{..}\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{dt}-\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2(\mathrm{\ω}3t+\mathrm{\θ})\mathrm{dt}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

如前所述将T3分为n等份，T3/n＝M

如果 $\underset{n\→\∞}{\lim }\frac{T3}{n}=M=0$

那么Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝Sinω3t

就是说Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]和Sinω3t是完全一样光滑全等的Sinω3t正弦曲线，他们的均方根值也完全相等，与Sin(ω3t+θ)的均方根值也完全相等。

如前所述将T3分为有限n等份，T3/n＝M，M是一常数

f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]和f(t)＝Sinω3t有不完全相同的正弦曲线形状，他们均方根值是否相等呢?

下面证明f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的均方根值等于什么值

$\sqrt{{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\sin }^2[\mathrm{\ω}1\mathrm{t\; i}*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]\mathrm{dt}}$

$=\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\{1-\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n\left]\right\}\mathrm{dt}}$

$=\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{dt}-\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]\mathrm{dt}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

根据前面证明Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的平均值面积一样的道理，上式根号中的第二个积分的值恒为零，所以经变换的角频率是ω3的准正弦曲线的均方根值仍然是

如果要严格证明上式均方根值，只要证明上式根号中的第二个积分的值恒为零。下面证明上式根号中的第二个积分的值恒为0。

从 $\left(\sqrt{\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{dt}-\frac{1}{T3}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]\mathrm{dt}}\right)$ 提出

$\frac{1}{T3*2\mathrm{\ω}1}{\∫}_0^{T3}\frac{1}{2}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]d[2\mathrm{\ω}1t-2i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

$=\frac{1}{T3*4\left(\mathrm{\ω}1\right)}{\∫}_0^{T3}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]d[2\mathrm{\ω}1t-2i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

$\frac{1}{T3*4\left(\mathrm{\ω}1\right)}{\∫}_0^{T3}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]d[2\mathrm{\ω}1t-2i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

$\frac{1}{T3*4\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]d[2\mathrm{\ω}1t-2i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

$\frac{1}{T3*4\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left[\mathrm{Sin}2\right[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}$

显然这个积分要用n个积分来做

ω3＝ω1*(fac3-fac1)/fac3

显然以上积分必须做几十个或几百个积分，手工计算是非常艰巨的，用计算机高级语言编程计算就非常简单，以下我们用Visual Basic 6.0来编程计算以上积分，可以在具有Visual Basic 6.0的任何微软操作系统下运行。

因为我们要求

后面的积分和等于什么，

前的常数项系数我们把它略去。积分做完后再补乘系数。

Private Sub Command2_Click()

Dim n As Integer

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double

n＝120

pi＝4*Atn(1)

ω1＝2*pi*50

T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

S1＝0

ω3＝ω1*(fac3-fac1)/fac3

For i＝0 To n-1

 S1＝Sin(2*((ω1*(i+1)*T3/n)-(i)*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))-Sin(2*((ω1*i*T3/n)-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))+S1

Next i

Text2.Text＝S1*(1/T3*4*ω1)&″″&Sqr(S1*(1/T3*4*ω1)+1/2)

End Sub

列表筐List1_Click()填写11个以12为分母的分频系数

Private Sub List1_Click()

Dim pi

pi＝4*Atn(1)

Select Case List1.ListIndex

Case 0:fac1＝10:fac2＝8*pi/1:fac3＝12：

Case 1:fac1＝10:fac2＝8*pi/2:fac3＝12

Case 2:fac1＝9:fac2＝8*pi/3:fac3＝12：

Case 3:fac1＝8:fac2＝8*pi/4:fac3＝12

Case 4:fac1＝7:fac2＝8*pi/5:fac3＝12：

Case 5:fac1＝6:fac2＝8*pi/6:fac3＝12

Case 6:fac1＝5:fac2＝8*pi/7:fac3＝12：

Case 7:fac1＝4:fac2＝8*pi/8:fac3＝12

Case 8:fac1＝3:fac2＝8*pi/9:fac3＝12：

Case 9:fac1＝2:fac2＝8*pi/10:fac3＝12

Case 10:fac1＝1:fac2＝8*pi/11:fac3＝12：

Case 11

std＝2

Case 12

End Select

End Sub

我们用Visual Basic 6.0来编程计算以上积分在任何分频系数情况下都等于0。以上证明的两个不同角频率正弦函数角频率差(不同角频率正弦函数角频率和也是同样的证明方法)合成的有限微分正弦曲线半周期平均值和均方根值是后面三角函数有限微分变流技术的数学和电学原理的重要论据，要实现三角函数有限微分变流技术必须引入多相对称电路，实际电工学应用的多是三相对称电路，还有不对称正交两相电路在电工学应用上有重要意义。

下面我们再分析三角函数有限微分变流技术变换出的准正弦波形的富里叶级数(Fourier series)展开形式，对其谐波(Harmonics)进行分析。

设：f(t)是以T为周期的周期函数，如果它可以展开成

$f\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}(a_n\mathrm{Cosn\ωt}+b_n\mathrm{Sinn\ωt})$ (其中 $\mathrm{\ω}=\frac{2\mathrm{\π}}{T}$ )

则

$a_0=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(f1\right)$

$a_n=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{Cosn\ωtdt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{Cosn\ωtdt}---\left(f2\right)$

$b_n=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{Sinn\ωtdt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{Sinn\ωtdt}---\left(f3\right)$

将T3分为有限n等份，T3/n＝M

f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

对Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的积分我们已经做过一个周期平均值的积分，在(f4)式积分式中去掉1/T3系数

$\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{T3\mathrm{\ω}1}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]d[\mathrm{\ω}1-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]=$

$\frac{1}{T3\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{[-\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}=0---\left(f4\right)$

$a_0=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{2}{\mathrm{\ω}1T3}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)\left]d\right[\mathrm{\ω}1-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]$

$\frac{2}{T3\mathrm{\ω}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{[-\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}=0$

f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]是一个对原点对称的奇函数，所以三角函数有限微分变流技术变换出的准正弦波形没有直流分量。

既然f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]是一个对原点对称的奇函数，奇函数在一个周期内的平均值总是等于零的。

所以f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的富里叶级数(Fourierseries)展开，对其谐波(Harmonics)进行分析。不存在余弦项或偶次谐波，既不存在a_nCos(nωt)谐波分量。

下面对f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的富里叶级数(Fourierseries)展开的b_nSin(nωt)谐波分量进行分析。

在此引入三角函数重要性质的一个定积分公式：

${\∫}_0^T\mathrm{Sin}\left(\mathrm{m\ωt}\right)*\mathrm{Sin}\left(\mathrm{n\ωt}\right)\mathrm{dt}={\}}_{\begin{array}{ccc}T/2& \mathrm{When}& m=n\end{array}}^{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{When}& m\≠n\end{array}}$

(1)Sin(ω1t-ω2t)＝Sinω3t

＝Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)

＝Sin[ω1t-(fac1*ω1/fac3)t]

已知1/ω3＝1/2πf3＝T3/2π，1/f3＝T3

如果将T3分为n等份，T3/n＝M

$\underset{\begin{array}{cc}\lim & n\→\∞\end{array}}{T3/n}=M=0$

Sin(ω1t-ω2t)＝Sinω3t

＝Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)

＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

lim n→∞，i＝0，......，n-1

解i＝0，......，n-1的下面算式

式(1)-1：Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝Sinω3t＝Sin(ω1t-ω2t)以无限微分的数学理论

${\∫}_0^{T3}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1*\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]*\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1*(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3]\mathrm{tdt}$

$={\∫}_0^{T3}\mathrm{Sin}(\mathrm{\ω}3t-\mathrm{\ω}2t)*\mathrm{Sin}\left(\mathrm{\ω}3t\right)\mathrm{dt}$

$={\∫}_0^{T3}\mathrm{Sin}\left(\mathrm{\ω}3t\right)*\mathrm{Sin}\left(\mathrm{\ω}3t\right)\mathrm{dt}$

$={\∫}_0^{T3}{\sin }^2\left(\mathrm{\ω}3t\right)\mathrm{dt}$

$=T3/2$

函数f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]和函数Sinω3t是相同的T3周期。

如果将T3分为有限n等份，T3/n＝M，M是一确定的常量，下面的积分式(fb-1)可以证明，只要选取一定量的等份n，可以使它的积分值非常接近T3/2或极限趋近T3/2。

所以说三角函数有限微分变流技术变换出的准正弦波形几乎没有3次以上的b_nSin(nωt)谐波分量。f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]这个函数分成了T3/n＝M段，在每个M段的起始和终点都是一个阶跃点，所以要做n个积分。

${\∫}_0^{T3}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]*\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1*(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3]\mathrm{tdt}$

式(fb-1)

将积分式(fb-1)中Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Sin[ω1*(fac3-fac1)/fac3]t进行积化和差，化简为可积形式。

-1/2*Cos[ω1t*(1+(fac3-fac1)/fac3)-i*(fac1*ω1/fac3*(T3/n))

+1/2*Cos[ω1t*(1-(fac3-fac1)/fac3)-i*(fac1*ω1/fac3*(T3/n)]

$-\frac{1}{2}{\∫}_0^{T3}\mathrm{Cos}[\mathrm{\ω}1t*(1+(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)\mathrm{fac}3)]-i*(\mathrm{fac}1*\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]\mathrm{dt}$

$\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)*\frac{T3}{n}}-\frac{1}{2*\mathrm{\ω}1(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3]}*\mathrm{Con}[\mathrm{\ω}1t*(1+(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)\mathrm{fac}3)]-$

i*(fac1*ω1/fac3*(T3/n)]*d[(ω1t*(1+(fac3-fa1)/fac3)]-

i*(fac3*ω1/fac3*T3/n)]

$\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\∫}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}\frac{1}{2*\mathrm{\ω}1[(1-(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\left(\mathrm{fac}3\right))}*\mathrm{Con}[\mathrm{\ω}1t*(1-(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)\mathrm{fac}3)]-$

i*(fac1*ω1/fac3*(T3/n)]*d[(ω1t*(1-(fac3-fa1)/fac3)]-

i*(fac3*ω1/fac3*T3/n)]

分别做以上两个积分，然后求和。

令：2ω1[(1+(fac3-fac1)/fac3]＝κ

令：ω1[(1+(fac3-fac1)/fac3]＝λ

令：2ω1[(1-(fac3-fac1)/fac3]＝κ1

令：ω1[(1-(fac3-fac1)/fac3]＝λ1

令：fac1ω1/fac3)*T3/n＝ρ

$\frac{1}{\mathrm{\κ}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left[\mathrm{Sin}\right[\mathrm{\ω}1t*(1+(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3)]-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}-$

$\frac{1}{\mathrm{\κ}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\left[\mathrm{Sin}\right[\mathrm{\ω}1t*(1-(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3)]-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}$

$\frac{1}{\mathrm{\κ}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{Sin}{[(*\mathrm{\λ}*t)-i*\mathrm{\ρ}]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}-\frac{1}{\mathrm{\κ}1}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{Sin}{(\mathrm{\λ}1*t)-i*\mathrm{\ρ}]}_{i*\frac{T3}{n}}^{(i+1)\frac{T3}{n}}$

令：2*ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝k

令：ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝λ

令：2*ω1*(1-(fac3-fac1)/fac3)＝k1

令：ω1*((1-(fac3-fac1)/fac3)＝λ1

令：fac1*(ω1/fac3)*T3/n＝ρ

显然以上积分必须做几十个或几百个积分，手工计算是非常艰巨的，用计算机高级语言编程计算就非常简单，以下我们用Visual Basic 6.0来编程计算以上积分，可以在具有Visual Basic 6.0的任何微软操作系统下运行。

令：2*ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝k

令：ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝λ

令：2*ω1*[1-(fac3-fac1)/fac3]＝k1

令：ω1*[1-(fac3-fac1)/fac3]＝λ1

令：fac1*(ω1/fac3)*T3/n＝ρ

将以上系数代入Visual Basic 6.0程序时改一下系数表示方法。

令：2*ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝k

令：ω1*[1+(fac3-fac1)/fac3]＝lam

令：2*ω1*[1-(fac3-fac1)/fac3]＝k1

令：ω1*[1-(fac3-fac1)/fac3]＝lam1

令：fac1*(ω1/fac3)*T3/n＝ro

下面对f(t)＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]的富里叶级数(Fourierseries)展开的b_nSin(nωt)谐波分量进行分析的Visual Basic 6.0编制的积分程序。程序计算的积分值S1如下式表示：

b1＝S1*2/T3≈1

三角函数有限微分变流技术变换出的准正弦波形几乎没有3次的b_nSin(nωt)谐波分量。所以对变换出的高于一次基波(fundamental)分量的其它谐波分量在这里不再给出程序，计算3，5，7，9，11等奇波正弦分量系数也很简单，只要在：

${\∫}_0^{T3}\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1\mathrm{t\; i}*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3*(T3/n)]*\mathrm{Sin}[\mathrm{\ω}1*(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)/\mathrm{fac}3]\mathrm{tdt}=S1$

式中的

Sin[ω1*(fac3-fac1)/fac3]中括号里乘以一个η系数就可以了。

如下表示：

Sin[η*ω1*(fac3-fac1)/fac3]

η＝1，3，5，7，...、2k-1

代入积分式就可以了，积分的做法完全一样。

对3次b_nSin(nωt)谐波分量计算理论值是零。其它奇次谐波也都极小。因为基频分量基本是1，所以总的THD(Total harmonic distortion)是很小的。

Private Sub Command5_Click()

Dim n As Integer

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double

n＝240

pi＝4*Atn(1)

ω1＝2*pi*50

T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

S1＝0

ω3＝ω1*(fac3-fac1)/fac3

Dim k As Double

Dim lam As Double

Dim lam1 As Double

Dim k1 As Double

Dim ro As Double

k＝2*ω1*(1+(fac3-fac1)/fac3)

k1＝2*ω1*(1-(fac3-fac1)/fac3)

lam＝ω1*(1+(fac3-fac1)/fac3)

lam1＝ω1*(1-(fac3-fac1)/fac3)

ro＝fac1*(ω1/fac3)*T3/n

For i＝0 To n-1

S1＝(-1/k)*(Sin(lam*(i+1)*T3/n-(i)*ro)-Sin(lam*(i)*T3/n-(i)*ro))_

+(1/k1)*(Sin(lam1*(i+1)*T3/n-(i)*ro)-Sin(lam1*(i)*T3/n-(i)*ro))+S1

Next i

Text1.Text＝S1&″″&S1*2/T3

End Sub

(三)三角函数有限微分变流技术数学和电学电路拓扑实现多相电路变流原理

不同角频率正弦函数角频率和差合成是由两个不同角频率正余弦乘积和差的形式来表示的，我们来进一步分解前面这个正弦函数

(1)：Sin(ω1t-ω2t)＝Sin[ω1-ω2)t]＝Sinω3t

＝Sin[ω1t]*Cosω2t]-Cosω1t]*Sin(ω2t)]

＝Sinω3t

Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)＝Sin[t(ω1-fac1*ω1/fac3)

fac1*ω1/fac3＝ω2

Sin[t(ω1-fac1*ω1/fac3)]＝

Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)＝Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)

Sin(ω1t-fac1*ω1t/fac3)＝Sin(ω1t)*Cos(fac1*ω1t/fac3)-Cos(ω1t)*Sin(fac1*ω1t/fac3)

如果将T3分为有限n等份，T3/n＝M，i＝0→n

式(1)-1：Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]在上文中已经给出了证明，其平均值和均方根值

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

式(1)-2：Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

显然式(1)-1和式(1)-2所形成的函数曲线完全一样，式(1)-2的平均值和均方根值也完全与式式(1)-1相同。我们提出这样一个问题，是否可以分解出与式式(1)-1互差正负1/3周期的另外两个函数曲线呢?下面证明与式式(1)-1互差正负1/3周期的另外两个函数曲线。

fac1*ω1/fac3＝ω2，fac1/fac3＝ω2/ω1，1/ω1＝T1，1/2πf＝T1，1/T1＝f1

fac2的含义是ω3角频率在一个周期内所占(ω1*T3)/3弧度值。

$\mathrm{fac}2=\frac{\mathrm{fac}3*\mathrm{\ω}1*T1}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}=\frac{\mathrm{fac}3*2\mathrm{\π}}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}$

那么式(1)-1：Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]互差正负1/3周期的另外两个函数曲线是：

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

互差正负1/3周期的三个函数是：

这里要强调的是fac2≠2π/3，但fac2乘系数因子是对应于ω3的1/3周期初相角。在这里要特别强调的是fac2不是对应ω3角频率的初相角。

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

差频A相  Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u_a

差频B相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝u_b

差频C相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝u_c

因为以上三式等号后的三角函数角的和差或称作三角函数角频率和差的展开式和以上三式完全相等，所以对变换形成的三相差频频率用以上公式对对称三相差频特性进行分析计算。

对称三相正弦曲线在任一时刻三相函数的瞬时值和等于零，对称三相正弦曲线在任一时刻任意两相函数的瞬时值和等于另一相的负值，以上三式任一时刻三相函数的瞬时值和等于零吗?以上三式任一时刻任意两相函数的瞬时值和等于另一相的负值吗?

证明如下：

将差频B相和差频C相相加，用三角函数和差化积变为积的形式：

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]+Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝2{Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[-fac1*fac2/fac3]}

＝2{Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*(-1/2)}

＝-Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

在这里要特别强调的是对变换形成的三相差频的周期是T3，所以Cos[-fac1*fac2/fac3]对应的弧度是一个常数。这是一种变形的三角函数和差化积形式。

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+{-Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]}＝0

即u_a+(-u_a)＝u_a-u_a＝u_a+(u_b+u_c)＝0

由此得出三角函数有限微分变流变换出的三相阶跃对称准正弦函数曲线与连续三相正弦函数具有相同性质，既对称三相正弦曲线在任一时刻三相函数的瞬时值和等于零。在这里需要指出的是，对于三角函数有限微分变流不论是变换低于基频的差频或称作分频还是高于基频的倍频以上证明都是适用和正确的。

(四)三角函数有限微分变流三相阶跃对称准正弦函数曲线均方根值的证明

对称三相正弦曲线在任一时刻三相函数平方和是一常数，即对称三相正弦曲线在一个周期内的均方根值是一常数，这就是三相交流电为什么功率稳定的原因。除两相对称交流电不是功率稳定交流电，互差π/2的两相幅值相同的非对称正弦曲线均方根值也是一个常数，在后面的证明中要引用这一重要概念，可以证明除两相对称交流电均方根值不是常数，其它多相对称正弦交流电的均方根值是都是常数。

那么三角函数有限微分变流变换出的三相阶跃对称准正弦函数曲线的均方根值是一常数吗?如已解析过的以下三式：

差频A相  Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u_a

差频B相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝u_b

差频C相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝u_c

对以上三式瞬时平方和证明如下：

${\mathrm{Sin}}^2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]=\frac{1-\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-i*(\mathrm{fac}1\mathrm{\ω}1/\mathrm{fac}3)*T3/n]}{2}$

${\mathrm{Sin}}^2[\mathrm{\ω}1t-\mathrm{fac}1*(i*\mathrm{\ω}1*T3/n-\mathrm{fac}2)/\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}2]=\frac{1-\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-\mathrm{fac}1*(i*\mathrm{\ω}1*T3/n-\mathrm{fac}2)/\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}2]}{2}$

${\mathrm{Sin}}^2[\mathrm{\ω}1t-(\mathrm{fac}1*i*\mathrm{\ω}1*T3/n+\mathrm{fac}2)/\mathrm{fac}3+\mathrm{fac}2]=\frac{1-\mathrm{Cos}2[\mathrm{\ω}1t-\mathrm{fac}1*(i*\mathrm{\ω}1*T3/n+\mathrm{fac}2)/\mathrm{fac}3+\mathrm{fac}2]}{2}$

以上三式等式右面的余弦部分是两倍差频ω2，(ω1-ω3＝ω2)角频率的对称三相余弦函数，可以利用对称三相正弦曲线在任一时刻三相函数的瞬时值和等于零的定理来证明，但是和前面证明一样，一定要注意两倍差频ω2角频率的初相角的设置。

u_a ²+u_b ²+u_c ²＝3/2

如果将以上三式代入Um

差频A相  Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u_a

差频B相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝u_b

差频C相  Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝u_c

用Visual Basic 6.0来编程解决以上计算，并可以将计算的结果用线段描绘出来。三角函数有限微分变流可以精确的实现稳定的电压和功率传输，其它变频技术是很难达到的。

下面的程序描述了

{U_m Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]}²+{U_m Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]}²+{U_m Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]}²＝1.5 U_m

U_m Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]}+U_m Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]+U_m Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝0

在程序里认为U_m总是等于1。

下面的Visual Basic 6.0程序描述了以上两个式子的函数曲线表达形式。

Private Sub Command6_Click()

Dim n，k，kk As Long

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double:kk＝180000:kkk＝kk:

n1＝60*(fac3/(fac3-fac1)/(fac3/fac1)):n＝n1:ki＝kk/n:pi＝4*Atn(1)

pi＝4*Atn(1):ω1＝2*pi*50:T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

Me.Scale(0，2.5)-(12*pi，-1.8):Me.CurrentX＝0:Me.CurrentY＝0

Me.DrawWidth＝1

For k＝0 To kkk-1

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-2*pi/3))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk+2*pi/3))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)_

-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))，&HFFFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)_

-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*_

Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))，&HC000&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)_

*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)_

-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HFF&

Me.DrawWidth＝2

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)_

+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))/fac3-fac2)_

+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，(Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)_

-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))+(Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)_

*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)_

*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))+(Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)_

*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)_

*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)))，&HFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)^2_

+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))/fac3-fac2)^2_

+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)^2)

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，(Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)_

-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))^2_

+(Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)_

-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))^2_

+(Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)_

-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))^2)，&HC000&

Me.DrawWidth＝1

If ii＜ki Then

ii＝ii+1

End If

这段Visual Basic 6.0程序描绘出的是1/3分频的图形，即50/3Hz。对于60Hz的分频是20Hz。图1示出了三角函数有限微分变流装所完成的电压波形。

以上表达式说明三角函数有限微分变流变换出的三相阶跃对称准正弦函数曲线的均方根值和三相对称连续正弦函数曲线是一样的。三相对称连续正弦函数曲线在任一时刻三相函数平方和是一常数，也就是它在一个周期的均方根值。

如果三角函数有限微分变流以基频三相对称连续正弦函数电压进行分频或倍频变换，把偶合元件和电子开关都看作理想元件，即偶合变压器是理想变压器，略去比差角差以及磁滞，铜损和铁损，不考虑电阻和漏抗的影响，以1比1的比例关系变换，我们可以得到基频和分频或倍频频率同样的电压均方根值。即三角函数有限微分变流电压的利用率是100％。

两个不同频率的正弦交流电只要电压和电流有效值相等，功率因数相同，功率就相同。

U₁I₁Cosφ＝U₂I₂Cosφ

同理对于三相对称正弦交流电路的三相功率：

$3U_{\mathrm{\φ}1}{I}_1\mathrm{Cos\φ}=3U_{\mathrm{\φ}2}{I}_2\mathrm{Cos\φ}=\sqrt{3}{U}_{L1}{I}_1\mathrm{Cos\φ}=\sqrt{3}{U}_{L2}{I}_2\mathrm{Cos\φ}$

如果三角函数有限微分变流忽略器件影响因素，不妨称为理想数学模型，三角函数有限微分变流以三相基频变换出的分频或倍频三相功率与三相基频输入功率是完全相等的。按照能量守恒原理，输入的三相基频正弦交流电应该是尽量小的电压和电流畸变，即电压和电流以尽量最小的谐波分量才能保证电网良好的电能质量。输入的三相基频正弦交流电的电流可以是完美无谐波的正弦电流吗?在下文中我们要给出数学计算的论据，来说明三角函数有限微分变流电压和电流的关系。

(五)三角函数有限微分变流AC to AC电压和电流变换之间的关系略去下式每相中的U_m

差频A相Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u_a             (1)

差频B相Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝u_b  (2)

差频C相Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝u_c  (3)

u_a＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

u_b＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

u_c＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fa2)*Sin[fa1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

三角函数有限微分变流AC to Ac变换出的三相电压u_a，u_b，u_c都是由两个三角函数乘积差的形式来表示的，所以必须把三相基频电压u_a1，u_b1，u_c1分解为6相基频电压，它们分别是：

U_mSin(ω1t)，U_mSin(ω1t-fac2)，U_mSin(ω1t+fac2)，

U_mCos(ω1t)，U_mCos(ω1t-fac2)，U_mCos(ω1t+fac2)

令U_m＝1

6相基频电压分别是：

Sin(ω1t)，Sin(ω1t-fac2)，Sin(ω1t+fac2)，

Cos(ω1t)，Cos(ω1t-fac2)，Cos(ω1t+fac2)

三角函数有限微分变流AC to Ac变换出的三相电压u_a，u_b，u_c都代纯电阻负载(为便于分析起见)，令R＝1，u_a，u_b，u_c

$\frac{u_a}{R}=i_a,$ $\frac{u_b}{R}=i_b,$ $\frac{u_c}{R}=i_c$

把(1)，(2)，(3)式变为如下形式：

差频A相电流Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝i_a            (4)

差频B相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝i_b (5)

差频C相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝i_c (6)

u_a1，u_b1，u_c1分解为6相基频电压，它们分别是：

U_mSin(ω1t)，U_mSin(ω1t-fac2)，U_mSin(ω1t+fac2)，

U_mCos(ω1t)，U_mCos(ω1t-fac2)，U_mCos(ω1t+fac2)

由于分频和倍频的系数不同，fac2初相角就不同，流过6相基频电压线圈的电流就不同，而且6相基频电压线圈流过的电流也不是正弦电流，但输入的三相基频电压u_a1，u_b1，u_c1，流过的线电流i_a1，i_b1，i_c1是无谐波的正弦电流。现在以两种特例情况来证明三角函数有限微分变流AC to Ac任何分频和倍频(除3倍频外)情况下，三相基频电压u_a1，u_b1，u_c1，流过的线电流i_a1，i_b1，i_c1都是无谐波的连续光滑正弦电流。

三角函数有限微分变流AC to Ac变频有一个有趣的变频系数系列，他们分别是：

1/3，1/3*2，1/3*3，1/3*4，......，1/3*n分频系列。

分频系数和初相角是如下公式：

fac1＝m-1

fac2＝m*(2*pi)/3(式中pi表示π)

fac3＝m

只要m是3的整倍数，则：

fac2分别等于2π，2*2π，3*2π，  ......，n*2π。

Sin(ω1t-2kπ)＝-Sin(2kπ-ω1t)＝-Sin(2kπ-ω1t)＝-Sin(-ω1t)＝Sin(ω1t)

U_m Sin(ω1t)＝U_m Sin(ω1t-fac2)＝U_m Sin(ω1t+fac2)，

U_m Cos(ω1t)＝U_m Cos(ω1t-fac2)＝U_m Cos(ω1t+fac2)

在1/3，1/3*2，1/3*3，1/3*4，......，1/3*n分频系列下，

三角函数有限微分变流AC to Ac变频只需要不对称两相正弦电压U_m Sin(ω1t)和U_m Sin(ω1t+π/2)＝U_m Cos(ω1t)就可实现1/3，1/3*2，1/3*3，1/3*4，......，1/3*n分频系列变换。

差频A相电流Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝i_a                     (4)

差频B相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝i_b          (5)

差频C相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝i_c          (6)

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[(fac1*i*ω1/fac3)*T3/n]        (7)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]                                                            (8)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1 T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]                                                            (9)

如果 $\underset{n\→\∞}{\lim }\frac{T3}{n}=M=0,$

事实上n为有限等份证明的结果也是一样的，这里引出了ω2是为了便于理解。

Sin[ω1t-ω2t]*Cos[ω2t]                                           (10)

Sin[ω1t-(ω2t-fac1*fac2/fac3)-fac2]*Cos(ω2t-fac1fac2/ac3)]       (11)

Sin[ω1t-(ω2t+fac1*fac2/fac3)+fac2]*Cos[(ω2t+fac1fac2/fac3)]     (12)

Sin[ω1t-ω2t]*Cos[ω2t]＝1/2[Sin(ω1t)+Sin(ω1t-2ω2t)]

Sin[ω1t-(ω2t-fac1*fac2/fac3)-fac2]*Cos(ω2t-fac1*fac2/fac3)]＝1/2[Sin(ω1t-fac2)+Sin(ω1t-2ω2t+2fac1*fac2/fac3)]

Sin[ω1t-(ω2t+fac1*fac2/fac3)+fac2]*Cos[(ω2t+fac1*fac2/fac3)]＝1/2[Sin(ω1t+fac2)+Sin(ω1t-2ω2t-2fac1*fac2/fac3)]

1/2*Sin(ω1t)＝1/2*Sin(ω1t-fac2)＝1/2*Sin(ω1t+fac2)

3*1/2*Sin(ω1t)＝3/2*Sin(ω1t)

1/2*Sin(-2ω2t)＝-1/2Sin(ω1t-2ω2t)                      (13)

1/2*Sin(-2ω2t+2fac1*fac2/fac3)＝-1/2*Sin(ω1t-2ω2t-2fac1*fac2/fac3)                                                         (14)

1/2*Sin(-2ω2t+2fac1*fac2/fac3)＝-1/2*Sin(ω1t-2ω2t+2fac1*fac2/fac3)                                                         (15)

可以看出(13)，(14)，(15)式是三相对称的正弦函数，实质是ω3角频率的正弦函数，故三相之和等于零：

(13)+(14)+(15)＝0

Sin[ω1t-ω2t]*Sin[ω2t]＝-1/2[Cos(ω1t)-Cos(-2ω2t)]

Sin[ω1t-(ω2t-fac1*fac2/fac3)-fac2]*Sin[(ω2t-fac1*fac2/fac3)]＝-1/2[Cos(ω1t-fac2)-Cos(-2ω2t+2fac1*fac2/fac3)]

Sin[ω1t-(ω2t+fac1*fac2/fac3)+fac2]*Sin[(ω2t+fac1*fac2/fac3)]＝-1/2[Cos(ω1t+fac2)-Cos(-2ω2t-2fac1*fac2/fac3)]

-1/2*Cos(ω1t)＝-1/2*Cos(ω1t-fac2)＝-1/2*Cos(ω1t+fac2)＝(3/2)*Cos(ω1t)

-3*1/2*Cos(ω1t)＝-3/2*Cos(ω1t)

1/2*Cos(-2ω2t)＝-1/2Sin(2ω2t)                                (16)

1/2*Cos(-2ω2t+2fac2/fac3)＝-1/2*Sin(2ω2t-2fac1*fac2/fac3)    (17)

1/2*Cos(-2ω2t+2fac2/fac3)＝-1/2*Sin(2ω2t+2fac1*fac2/fac3)    (18)

可以看出(16)，(17)，(18)式是三相对称的正弦函数，故三相之和等于零：(16)+(17)+(18)＝0

将T3分为有限n等份即： $\frac{T3}{n}=M$

可以证明将T3分为有限n等份时的结果和以上证明结果是一致的，证明方法同上。

三角函数有限微分变流AC to Ac变频系数系列，1/3，1/3*2，1/3*3，1/3*4，.......，1/3*n分频系列，三角函数有限微分变流AC to Ac变频只需要不对称两相正弦电压U_m Sin(ω1t)和U_m Cos(ω1t)，由电工学我们知道三相对称电路可以变为两相互差π/2的不对称电路，且三相对称电路的功率是

$3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=\sqrt{3}{U}_L\mathrm{ICos\φ}$

且两相不对称电路的功率是：

2U_φI Cosφ

如果两相不对称电路的电流是三相电路的3/2*I，

$3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=2*U_{\mathrm{\φ}}*\frac{3I}{2}\mathrm{Cos\φ}=3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=\sqrt{3}{U}_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}$

$3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=\sqrt{3}{U}_L\mathrm{ICos\φ}$

两相互差π/2的不对称电路可以变换出三相分频频率的电压电流，而且三相输入电压和电流都没有谐波，这是三角函数有限微分变流AC to Ac变频的奇特之处。

下面用一段Visual Basic 6.0程序证明以下两组算式的和分别是3/2*I_m Sin(ω1t)和-3/2*I_m Cos(ω1t)，程序中略去了I_m，证实我们上面的证明是正确的。

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[(fac1*i*ω1/fac3)*T3/n]  (7)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]                                                      (8)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]                                                      (9)

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Sin[(fac1*i*ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

程序中用分频频率的电流反推出基频频率的两相不对称电流3/2*I_m Sin(ω1t+θ)和3/2*I_m Cos(ω1t+θ)，这两相不对称电流折合到输入的三相电流依然是I_m Sin(ω1t+θ)，I_m Sin(ω1t+θ-2/3π)，I_m Sin(ω1t+θ+2/3π)。

程序如下：

Private Sub Command7_Click()

Dim n，k，kk As Long

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double

kk＝18000

kkk＝kk

n1＝60*(fac3/(fac3-fac1)/(fac3/fac1))

n＝n1

ki＝kk/n

pi＝4*Atn(1)

ω1＝2*pi*50

T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

Me.Scale(0，2.5)-(12*pi，-1.8)

Me.CurrentX＝0

Me.CurrentY＝0

Me.DrawWidth＝1

For k＝0 To kkk-1

Me.DrawWidth＝1.5

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)_

-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))，&HFFFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)_

-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))，&HC000&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)_

-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HFF&

Me.DrawWidth＝1

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3ω*T3/n)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))_

/fac3-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+Sin(k*ω1*T3/kk_

-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，_

&HFFFF&′yuaI PI/2

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)+Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))_

/fac3-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+Sin(k*ω1*T3/kk-_

(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)_

*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HFF&′YUANI PI/2

If ii＜ki Then

ii＝ii+1

End If

If ii＝ki Then

i＝i+1

ii＝0

End If

Next k

End Sub

图2示出了1/3分频时三相分频频率电流和两相基频电流的关系，如果是1比1的电压变换，按理想数学模型三相分频频率电流和输入的基频频率电流的幅值和有效值都是相同的，构成变频的两相非对称电流幅值是它们的1.5倍。1/3，1/3*2，1/3*3，1/3*4，......，1/3*n分频系列的三相变频的电压由6相两两3组正交基频电源变为一组基频电源，是三相变频基频电源最简单的一种。为了简化三角函数有限微分变流电子开关器件的数量，在下文中又引入了两相不对称交交变频，两相不对称正交交流电源和三相交流电源在电机拖动上是没有区别的，两相不对称正交交流电源和三相交流电源都可产生正圆旋转磁场。

图3示出了1/6分频时三相分频频率电流和两相基频电流的关系。

我们再证明另一系列三角函数有限微分变流AC to Ac变频变频系数系列，他们分别是：

1/4，1/7，1/10，1/13，......，1/(n*3+1)分频系列

fac1＝m-1

fac2＝m*(2*pi)/3(式中pi表示π)

fac3＝m

m是3整倍数加1

fac2分别等于4*2π/3，7*2π/3，10*2π/3，......，(n*3+1)*2π/3。

Sin(ω1t+4*2π/3)＝Sin(ω1t+3*2π+2π/3)＝Sin(ω1t+3*2π+2π/3)＝Sin(ω1t+2π/3)

Sin(ω1t-4*2π/3)＝Sin(ω1t-3*2π-2π/3)＝Sin(ω1t-3*2π-2π/3)＝Sin(ω1t-2π/3)

fac2分别可表示如下：

Sin(ω1t+k*2π/3)＝Sin(ω1t+k*2π+2π/3)＝Sin(ω1t+k*2π+2π/3)＝Sin(ω1t+2π/3)

Sin(ω1t-k*2π/3)＝Sin(ω1t-k*2π-2π/3)＝Sin(ω1t-k*2π-2π/3)＝Sin(ω1t-2π/3)

Cos(ω1t+4*2π/3)＝Sin(ω1t+3*2π+2π/3)＝Cos(ω1t+3*2π+2π/3)＝Cos(ω1t+2π/3)

Cos(ω1t-4*2π/3)＝Sin(ω1t-3*2π-2π/3)＝Cos(ω1t-3*2π-2π/3)＝Cos(ω1t-2π/3)

fac2分别可表示如下：

Cos(ω1t+k*2π/3)＝Sin(ω1t+k*2π+2π/3)＝Cos(ω1t+k*2π+2π/3)＝Cos(ω1t+2π/3)

Cos(ω1t-k*2π/3)＝Sin(ω1t-k*2π-2π/3)＝Cos(ω1t-k*2π-2π/3)＝Cos(ω1t-2π/3)

u_a1，u_b1，u_c1分解为6相基频电压，它们分别是：

U_m Sin(ω1t)，U_m Sin(ω1t-2π/3)，U_mSin(ω1t+2π/3)，

U_m Cos(ω1t)，U_m Cos(ω1t-2π/3)，U_m Cos(ω1t+2π/3)

变压器可以经过合理接线组别和相位关系形成6相基频电压，

差频A相电流Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝i_a             (4)

差频B相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝i_b  (5)

差频C相电流Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝i_c  (6)

A相基频电流的是以下三项的和：

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[fac1*i*ω1/fac3]*T3/n]

-1/√3*Sin[ω1t-fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fac3-fac2)/fac3*T3/n]

+1/√3*Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fac3+fac2)/fac3*T3/n]

如果 $\underset{n\→\∞}{\lim }\frac{T3}{n}=M=0,$

Sin[ω1t-ω2t]*Cos[ω2t]                                     (19)

-1/√3*Sin[ω1t-(ω2t-fac2/fac3)-fac2]*Sin(ω2t-fac2/fac3)]  (20)

+1/√3*Sin[ω1t-(ω2t+fac2/fac3)+fac2]*Sin[(ω2t+fac2/fac3)] (21)

把(19)，(20)，(21)三式相加：

(19)+(20)+(21)＝Sin(ω1t)

其它两相也用同样方法可证明出Sin(ω1t+2π/3)，Sin(ω1t-2π/3)请注意Sin(ω1t)，Sin(ω1t+2π/3)，Sin(ω1t-2π/3)是略去了I_m。以上给出的结果可以用Visual Basic 6.0程序来证明。

现在证明n为有限段 $\frac{T3}{n}=M$ 时的1/4，1/7，1/10，1/13，......，1/(n*3+1)分频系列三相分频频率电流和三相基频电流的关系。

下面用一段Visual Basic 6.0程序证明以下三组算式的和分别是：

三相基频A相电流

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[fac1*i*ω1/fac3]*T3/n]

-1/√3*Sin[ω1t-fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fa3-fac2)/fac3*T3n]

1/√3*Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fac3+fac2)/fac3*T3/n]

三相基频B相电流

Sin[ω1t-fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Cos[fac1*(i*ω1/fac3-fac2)/fac3*T3/n]

1/√3*Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3 n]*Sin[fac1*i*ω1/fac3]*T3/n]

-1/√3*Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fac3+fac2)/fac3*T3/n]

三相基频C相电流

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3+fac2]*Cos[fac1*(i*ω1/fac3+fac2)/fac3*T3n]

-1/√3*Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Cos[fac1*i*ω1/fac3]*T3/n]

1/√3*Sin[ω1t-fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3-fac2]*Sin[fac1*(i*ω1/fac3-fac2)/fac3*T3n]

以上三组算式的和还可以用每相算式第一项三角函数角的和差公式等式后的和的形式来表示，这样做是为了验证三角函数的角的和差公式方程两边的函数是等值的。在Visual Basic 6.0程序里分别用两种方式表示了三相基频电流，可以看到两组函数曲线是完全重合的，如果不重合，就说明等式是不成立的。就是说程序中多了一组冗余部分。

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

三相基频A相电流

{Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]}*Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

-1/√3*{Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3]}*Sin[fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3]}

1/√3*{Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3]*Sin[fac1*(i*ω1T3/n+fac2)/fac3]

三相基频B相电流

{Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1T3n-fac2)/fac3]}*Cos[fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3]}

1/√3*Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

-1/√3*{Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1T3/n+fac2)/fac3]}*Sin[fac1(*i*ω1T3/n+fac2)/fac3]}

三相基频C相电流

{Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1T3/n+fac2)/fac3]}*Cos[fac1(*i*ω1T3/n+fac2)/fac3]}

-1/√3*Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

1/√3*{Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3]}*Sin[fac1(*i*ω1T3/n-fac2)/fac3]}

Visual Basic 6.0程序：1/4，1/7，1/10，1/13，......，1/(n*3+1)分频系列三相分频频率电流和三相基频电流的关系：

Private Sub Command8_Click()

Dim n，k，kk As Long

Dimω1，ω3，T3，S1，H As Double

kk＝18000

kkk＝kk

n1＝60*(fac3/(fac3-fac1)/(fac3/fac1))

n＝n1

ki＝kk/n

pi＝4*Atn(1)

ω1＝2*pi*50

T3＝(fac3/(fac3-fac1))/50

′Me.Scale(0，1.6)-(6*pi，-1.2)

Me.Scale(0，2)-(15*pi，-2.4)

Me.CurrentX＝0

Me.CurrentY＝0

Me.DrawWidth＝1

For k＝0 To kkk-1

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))，&HFFFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))，&HC000&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，(Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，(Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，(Sin(k*ω1*T3/kk+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-Cos(k*ω1*T3/kk)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n))*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)+1/Sqr(3)*(Sin(k*ω1*T3/kk-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)-Cos(k*ω1*T3/kk-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)*Cos(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))/fac3-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HFFFF&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))/fac3-fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3)+1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)-1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3))，&HC000&

Me.PSet(k*ω1*T3/kk，Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n+fac2))/fac3+fac2)*Cos((fac1*((i*ω1*T3/n)+fac2))/fac3)-1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)*Sin(i*(fac1*ω1/fac3)*T3/n)+1/Sqr(3)*Sin(k*ω1*T3/kk-(fac1*(i*ω1*T3/n-fac2))/fac3-fac2)*Sin((fac1*((i*ω1*T3/n)-fac2))/fac3))，&HFF&

Me.DrawWidth＝1

If ii＜ki Then

ii＝ii+1

End If

If ii＝ki Then

i＝i+1

ii＝0

End If

Next k

End Sub

图4，图5中的Visual Basic 6.0程序的画图程序缩小了比例，基频电流显得正弦曲线不太光滑，比例扩大一倍就非常光滑了，理论曲线是正弦曲线。

图4示出了1/4分频基频电流和分频电流的关系图，其中n＝60。图5示出了1/7分频基频电流和分频电流的关系图。

根据能量守恒原理，三角函数有限微分变流AC to Ac变频，不论是变为任何分频或倍频，基频电流和基频电压都保持理想的正弦特性。以上证明只是两种特例，可归纳为所有情况都是正确的。

从数学和电工学的角度考虑，没有一种电源变频和整流技术可以象三角函数有限微分变流技术构化出最理想的数学方程和解析该方程的最严密的电力电子拓扑电路。

(II)三角函数有限微分变流三相AC to AC变频实现原理

(一)不同角频率正弦函数角频率和差合成

两个基频正弦和余弦连续函数和两个正弦和余弦阶梯函数的乘积的和或差构成了一个差频或和频的准正弦函数

三个差频函数

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

三个和频函数

Sin[ω1t+i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

在(I)中已证明了以上函数的各种性质，奠定了三角函数有限微分变流三相AC to AC变频的理论依据。三角函数有限微分变流依托它不同频率合成完全相同的方程式，构成了它完全相同的电路拓扑结构，以及完全相同的控制策略，与其他变频技术相相比，它的算法是最规则的。

u_a1，u_b1，u_c1分解为6相基频电压，它们分别是：

U_m Sin(ω1t)，U_m Sin(ω1t-fac2)，U_m Sin(ω1t+fac2)，

U_m Cos(ω1t)，U_m Cos(ω1t-fac2)，U_m Cos(ω1t+fac2)

6个三角函数阶梯函数：

Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]，Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]，Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]，Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

有以上12个函数构成了三角函数有限微分变流三相AC to AC变频的所有数据，下面用一段Visual Basic 6.0程序做的三角函数函数曲线图象来说明三角函数有限微分变流函数曲线的相互关系，图6为单相分频频率的合成图，即1/3分频的函数曲线。图7，图8为三相分频频率的合成图。

图6为单相分频频率的合成图，它是假定lim n→∞时的函数曲线。实质上就是

Sin(ω1t-ω2t)＝Sin(ω1t)*Cos(ω2t)-Cos(ω1t)*Sin(ω2t)

参照图6，可以对三角函数有限微分变流函数曲线更好的进行理解，从图6中可以十分清晰地看出公式

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

各条曲线之间的关系。

图7，图8为三相分频频率的图，是n为有限等份的实际变频图形，示出了本发明的三角函数有限微分变频装置完成的图形在示波器上的显示。图7阐释了1/3分频的函数在曲线在n等于有限数时的情形，图8阐释了1/6分频的函数在曲线在n等于有限数时的情形。

比照图6中lim n→∞时的函数曲线，虽然图7，图8中的函数曲线发生了变形，但相位关系和幅值都是一一对应的，三组函数曲线的对应关系也是明了的，每组曲线的形状在对应的相位上也是完全一样的，所以只要弄清一相的函数关系，另两相也就清楚了。

三角函数有限微分变流三相AC to AC变频对于临近基频的分频和倍频的变频从理论上讲是可以的，但是从开关元件的数量和开关速度方面来看，存在一定的困难，这是三角函数有限微分变流的局限性，但是对于2/3以下的分频或高于1.5以上的倍频，只要开关速度满足要求就是可以实现变频的。在本发明的变频装置实验中，能够实现对于50Hz的1/100变频，即0.5Hz，还可以实现50Hz的8倍变频，即400Hz。

(二)不同角频率正弦函数角频率和形成的倍频频率

不同角频率正弦函数角频率合成倍频的原理和合成分频的原理是一样的，我们看下面的方程不同角频率正弦函数角频率和的方程式：

和频函数

Sin[ω1t+i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

图9为三相倍频频率的合成图，它是假定lim n→∞时的函数曲线。就A相来说实质上就是：

Sin(ω1t+ω2t)＝Sin(ω1t)*Cos(ω2t)+Cos(ω1t)*Sin(ω2t)

参照图9，能够对三角函数有限微分变流函数曲线更好的进行理解，从图9中可以十分清晰地看出公式

Sin[ω1t+i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

各条曲线之间的关系。

图10是基频2倍频的函数曲线，阐释了2倍频的函数曲线在n等于有限数时的情形。

参见图10，我们可以看到Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]相位是相反的。这是故意这样做的，因为2倍频时Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]和Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]相位是一样的大小又等，不便于分辨，可以理解为：

Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-{-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]}

(III)三角函数有限微分变流三相AC to AC变频拓扑电路

(一)用电力电子开关实现三角函数有限微分变流三相AC to AC变频的数学电学逻辑

1.电力电子开关解三角函数角频率和差方程

三角函数角频率和差方程要用到加减乘除运算，变压器能够做乘除运算。三角函数有限微分变流要用到几组不同相位的基频电压，合理连接变压器的接线组别，可以获得所需要的几组不同相位的基频电压。三角函数有限微分变流必须利用变压器和电力电子开关组合，才能实现AC to AC变频，AC to DC整流，DC to AC逆变。

2.函数变压器应用于三角函数有限微分变流

变压器的方程式是：

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{W_1}{W_2}=k,$ $\frac{W_1}{W_2}=\frac{I_2}{I_1},$ $\frac{U_2}{U_1}=\frac{W_2}{W_1}=\frac{1}{k},$ $U_2=\frac{U_1}{k}$ $U_2=U_1*\frac{1}{k}=U_1*\frac{U_2}{U_1}{=U}_1*\frac{W_2}{W_1}$

令： $\frac{U_2}{U_1}=\frac{W_2}{W_1}=\frac{1}{k}=K$

保持W₁为常量，W₂为0到W₂的变量。

如果W₂＝W₁，则：

$\frac{U_2}{U_1}=\frac{w_2}{W_1}=\left|\mathrm{Sinx}\right|,$ U₂＝U₁*|sinx|

如果W₂≠W₁，则：

U₂＝U₁*K*|sinx|

同理：|Cosx|可以用同样的方法来证明。

从方程可以看出U₂是U₁连续函数乘以K*sinx的函数，而变压器的二次绕组的只能接成|Sinx|绝对值。

要实现周期函数Sinx的功能，必须在|Sinx|每半个周期换一次相，使其变为Sinx函数。

Sinx和Cosx函数在三角函数有限微分变流中是Sin(ω2t)和Cos(ω2t)的阶梯形函数。其它相类推。图11示出了三角函数有限微分变流三相AC toAC变频拓扑电路，其中加进了1/3分频的波形图。

虽然变压器有比差角差以及磁滞，铜损和铁损，电阻和漏抗的影响，但实际模拟设备做出的电压波形和理想数学模型相差是很小的。图11中标出的电力电子开关是IGBT，其它电力电子开关也是同样的原理，可以用大功率晶体管，MOSFET，IGCT等。

在三角函数有限微分变流技术中提出了函数变压器概念，是因为变压器二次线圈是按正弦函数规律分配匝数，并且函数变压器和电力电子开关一起配合完成解三角函数角频率和差方程来实现AC to AC和AC to DC的变换。

图11所示的电路拓扑是两相幅值相同不对称电源系统或三相及n相对称电源系统AC-AC变流的一个单元，至少两相幅值相同或三相及以上变频输出才有实际意义，通常两相幅值相同不对称或三相对称输出变频具有普遍意义，以上定义说明至少两个下图单元才能构成完整功率平衡变频系统。单相变频输出破坏了功率平衡，但不否认单相变频输出在自动化或通讯弱电控制领域的应用。图11的电路拓扑中粗虚线与细虚线是角频率和与差的合成的转换接线，当然可用机械或电力电子开关串入虚线连线内进行转换。不难发现图11的电路拓扑的一个特例就是0频变流，0频变流就是DC输出。0频变流输出对于两相幅值相同不对称电源系统的单相变流DC输出就有实际意义，因为两相幅值相同不对称电源系统是功率平衡系统，(两相幅值相同不对称电源系统可以方便的转换成对称三相对称电源或n相对称电源)输出的DC功率与之平衡。由此可以推广到多个以下单元可以串联或并联形成DC输出。形成高质量的PFC(power factor correction)强迫整流。在一些特例中，还可以由图11的电路拓扑的N个1/2单元组成强迫整流电路。

参照图11，三角函数有限微分AC to AC变频将基频变成1/3分频，对1/3分频描述出了半个周期的波形。并将两个合成波形也在图中表示出来。图11中的粗虚线和细虚线分别表示角频率和与差时的不同接线方式。

Wave a＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Wave b＝Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Wave f＝Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

图11表示了三相1/3分频其中的一相，是对于任何基频频率的差频与和频频率都是实用的电路，例如对于50Hz的1/3是50/3，即16.66Hz。对于60Hz是20Hz。由三组图11的拓扑电路就形成了三相AC to AC变频拓扑电路，在上文中已介绍过三相AC to AC变频必须由3组不对称两相输入基频电压，对于一些分频系数可以简化成一组不对称两相输入基频电压，三角函数有限微分变流对于3组不对称两相输入基频电压相位具有一定的规律性，这就使得3组不对称两相输入基频电压相位比较容易获得，变压器的接线组别也不会过于复杂。在下文中还要说明输入基频电压相位的获得方法。

由三组图11的拓扑电路组成三相AC to AC变频，电力电子开关数量显得是多了一些，由电工学多相电路对称电路的原理可以推导出三相对称电源和不对称两相相差π/2的电源可以互相转换，而这种转换是相互可逆的，那自然可以想到可以用三角函数有限微分变流技术只做两相AC to AC的变频，然后再将两相相差π/2的电源用变压器变换成三相对称电源。这样就可以用2/3的电力电子开关和半导体元完成AC to AC的变换。比如对于50/3而言。不过不同的交流频率的应用场合是有区别的，比如轧钢机的同步电动机用极低的交流电源驱动。三角函数有限微分AC to AC变频理论上可以做到极低的频率变换，低频交流电源通过变压器传输功率是有缺陷的，变压器感应电势的公式是：

$\stackrel{\·}{E}=\mathrm{wj\ω}\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}=j\sqrt{2}\mathrm{\πfu}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_m=j4.44\mathrm{fu}{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_m$

低频交流电源通过变压器传输功率需要很大的铁心截面或更多的导线匝数，在经济上是不合理的，所以三角函数有限微分AC to AC变频变很低频率时变换三相是非常必要的。

在下文中将要说明三角函数有限微分AC to AC变频的两相简化电路，目的是减少元器件和变压器的用铜量，以及不对称两相相差π/2的电源和三相对称电源在电机学方面的应用，在异步电机和同步电机的励磁和拖动上，不对称两相相差π/2的电源和三相对称电源的效果是一样的。

(IV)三角函数有限微分变流简化为二相AC to AC变频拓扑电路

(一)由基频变换出不对称两相相差π/2的电源的AC to AC变频

由三组图11的拓扑电路组成三相AC to AC变频，需要使用较多数量的电力电子开关，由电工学多相电路对称电路的原理可以推导出三相对称电源和不对称两相相差π/2的电源可以互相转换，而这种转换是相互可逆的，那自然可以想到可以用三角函数有限微分变流技术只做两相AC to AC的变频。

(二)不对称两相相差π/2的电源的变频原理

三相三角函数有限微分变流的数学方程表达式求fac2是：

$\mathrm{fac}2=\frac{\mathrm{fac}3*\mathrm{\ω}1*T1}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}=\frac{\mathrm{fac}3*2\mathrm{\π}}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}$

不对称两相相差π/2的电源的AC to AC变频的fac2是：

$\mathrm{fac}2=\frac{\mathrm{fac}3*\mathrm{\ω}1*T1}{\left(\mathrm{fac}3\mathrm{fac}1\right)*4}=\frac{\mathrm{fac}3*2\mathrm{\π}}{\left(\mathrm{fac}3\mathrm{fac}1\right)*4}$

fac2的含义是分频角频率ω3在T3周期内所占的弧度对应ω1是多少弧度，因为变换三相对称电路在T3周期内要分为三份，那么两相不对称电路在T3周期内相位是相差1/4。由此可推导出不对称两相相差π/2的电源的AC to AC变频的fac2。这样不对称两相相差π/2的电源的分频频率就可只用图11的两组拓扑电路就可完成。变换方程也由三个变为两个。

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

如果变换出了两相不对称电路，而要拖动三相电机或要实现三相分频输电，例如1/2，或1/3分频输电，那么就要有两相不对称电路和三相对称电路的变换，下面给出变换的传输的办法。

(三)两相不对称电路和三相对称电路的变换

为了简化三角函数有限微分AC TO AC变流电力电子拓扑电路和电力电子开关数量，另一方面用较直观的方法来说明三角函数有限微分AC TOAC变流的原理，我们把一个对称三相系统变化为一个不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统。变换方法如下：

在某些场合，需要将对称三相系统变换成两个大小相等而相位距离π/2的电动势组成的不对称二相系统。为达到此目的，通常采用图12所示的由两个单相变压器组成的线路。假定a、b、c三点为对称三相电源的三个端极。令第一变压器的原绕组接到b、c两端极上，第二变压器的原绕组接到端极a和第一变压器的原绕组的中点0上。这样一来，从图13的相量图中可以看出，副绕组内的感应电动势E1和E2相距π/2角。不难看出，如果两个变压器的变换比率是相同的，则E2＝√3/2 E1。因此，为了使电动势E1与E2大小相等，第一变压器的变换比率应为第二变压器的2/√3倍。上述接线图12是可逆的，就是说，可以用他来把由两个大小相等，而相位上相差π/2角的电动势组成的不对称二相系统反过来变成对称三相系统。这个两个大小相等而相位距离π/2的电动势组成的不对称二相系统。可以构成三角函数有限微分变流的所要求的基频电源的两个大小相等而相位距离π/2的电动势。并且可以把变换出的两相分频频率或倍频频率通过变压器变为三相传输到电机变频拖动或分频频率或倍频频率的输电系统。

我们现在以三角函数有限微分AC TO AC变流的数学公式来变换ωt/6的两相正弦交流电压，以下是以无限连续的三角函数来分解的，这样容易理解。

如果我们把图13中E1和E2两相电压代入以下两式，以下两式略去Um幅值。

(1)Sin(ωt)*Cos(5*ωt/6))-Cos(ωt)*Sin(5*ωt/6))＝Sin(ωt/6)＝u1

(2)Sin(ωt+6*(2*pi)/4)*Cos((5*(ω1t+6*(2*pi)/4)/6)))-Cos(ωt+6*(2*pi)/4)*Sin((5*(ω1t+6*(2*pi)/4)/6)))＝Sin(ωt/6+π/2)＝u2

实际上

UmSin(ωt)和UmSin(ωt+6*(2*pi)/4)

UmCos(ωt)和UmCos(ωt+6*(2*pi)/4)

分别是两对两相对称电压，相角相差π，如果在图12中再接入-E₁和-E₂两组线圈将中性点连接在一起就构成了4相系统，实际上1/6分频两相系统变频需要两组两个大小相等而相位距离π/2的电动势，我们可以把E₁和E₂反接接入第二组变频电路同名端，就只用两个大小相等而相位距离π/2的电动势完成了1/6分频变频。

由以上两式我们求出了Um*Sin(ωt/6)和Sin(ωt/6+π/2)的ωt/6的分频电压，如果Um*Sin(ωt/6)和Um*Sin(ωt/6+π/2)的电压幅值和三相对称电压幅值一样，如果三相对称电源的相电流的有效值是I，大小相等而相位距离π/2的E1和E2流出的电流是1.5*I。

E1和E2分别带了两台变频用变压器，4台变频用变压器一次输入的电流都不是正弦电流，而E1和E2流出的确是相位距离π/2，角频率为ω的正弦电流，在前面已证明过三相变频不会导致三相输入电源的畸变，仍然保持输入电源良好的电能质量。而变换出的u1和u2是角频率为ω/6的正弦电压。u1和u2可以按图12的方法变为角频率是ω/6的三相对称电源，而且可以将三相对称电压按需要升高或降低。

(四)三相变压器构成三相对称电路变换为不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统

三角函数有限微分变流只要有一对不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统，就可以做到对基频电源分频变频(一些特定分频频率)，包括直接对基频三相电源变为三相分频电源。

三角函数有限微分变流另一个重要功能是对交流电源进行整流，也必须用到不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统。

三相变压器是最普遍使用的电器设备，如果能使三相变压器二次或称副绕组能够输出正常的三相电源，另外再输出一对不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统，就可大大扩展三角函数有限微分的应用范畴。

举例来说，可以实现用户电力系统交直流混合用电系统。照明革命将大量使用直流电，白色LED照明已成为绿色照明的必然趋势，所以交直流混合用电是早晚的事情。三角函数有限微分电源变流技术AC to DC的整流可以实现非常好的直流电源，不会给电网产生谐波。

白色LED照明技术比目光灯同样烛光节电60％，那么一个街区或一个宾馆全部使用LED照明，当然到用户个体终端实现AC to DC转换是不合理的，应该是从配电变压器出口就有一个高功率因数整流器，对全部照明统一进行直流供电，从而形成DC和AC混合用户供电系统。

图14表示了三相变压器经过合理接线组别安排所形成的三相对称电路变换为不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统。

三相对称电路的功率是：

$3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=\sqrt{3}{U}_L\mathrm{ICos\φ}$

两相电路的功率是：

2U_φI Cosφ

两相不对称电路的电流是三相电路的3/2*I

$3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=2*U_{\mathrm{\φ}}*\frac{3I}{2}\mathrm{Cos\φ}=3U_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}=\sqrt{3}{U}_{\mathrm{\φ}}\mathrm{ICos\φ}$

参照图14，其中示出了三相变压器构成三相对称电路变换为不对称幅值相同，相位相差π/2的接线组别及其相量图。从图14可以看出，E₁电动势的获得不能直接从A相电压获得，如果E₁和A相电压有效值相同，即变压器是按1比1接线的，E₁电动势是A相电压的2/3和-B相和-C相相量和的1/3的和。E₂是B相和C相相量差的1/√3。如果变压器是按1比1接线，

E₁＝2/3U_A+1/3U_B＝2/3U_A+1/3U_C＝2/3U_A+1/3U_A， $E_2=\frac{U_{\mathrm{BC}}}{\sqrt{3}}$

如果一次侧线电流是I，两相系统电流是(3/2)*I。

除了功率前面已证明过以外，不难证明磁势也是平衡的，磁势的关系和两侧都是三相系统没有区别，有了一个两相系统的二次输出并不影响二次再接二次三相系统绕组。

三角函数有限微分变流AC to AC的变频和整流有时只需一个基频不对称幅值相同，相位相差π/2的两相系统，如果配电变压器或动力变压器有两相系统，三角函数有限微分变流可以直接利用这种变压器进行变频或整流。

(五)三角函数有限微分变流的空间矢量控制(Space-vector control)分析

空间矢量控制是近年研究变速拖动VSD(Variable-speed drive)的一种重要理论，矢量控制是研究高性能异步电动机变速拖动控制的一种方法，它基于电动机的动态数学模型，分别控制电动机的转矩电流和励磁电流，具有直流电动机相类似的控制性能。

在分析矢量控制的原理时，经常遇到2/3，2/3的变换的计算，这里的3，2指的是电动机的两相或三相。从产生电动机的旋转磁场的理论而言，三相绕组中通以三相对称电流可以产生圆形旋转磁场，两相绕组中通以互差π/2的幅值相同的电流也同样产生圆形旋转磁场，因此，从磁场的作用上讲，三相绕组所产生的磁场可以用两相绕组产生的磁场来等效，这就是分析电动机运行原理的基本方法。矢量控制中的3/2，2/3变换的计算也是一种等效的计算。将三相电动机等效为两相电动机后，电动机的绕组只有两个，而且在空间上互差π/2，从几何上看，直流电动机的两套绕组在空间上亦是互差π/2，因此变换后的异步电动机和直流电动机相类似的绕组结构。

三角函数有限微分变流可以将三相基频电源变换为两相分频或倍频电源，所以，三角函数有限微分变流可以直接驱动两相异步电动机或同步电动机。此节的目的不是单为说明这一点，说明的焦点在于三角函数有限微分变流变换出的电源在电动机上产生的旋转磁场是什么性质。

何为矢量控制的实质，实际上其最终目的就是达到较好的旋转磁场，根据电机学理论，三相绕组中通以三相对称电流可以产生圆形旋转磁场，两相绕组中通以互差π/2的幅值相同的电流也同样产生圆形旋转磁场，从这个角度讲，没有必要去追究这个磁场到底是三相绕组产生的还是两相绕组产生的。从数学的角度考虑，任何一个线性空间均可经过线性变换，变换到另一个线性空间。矢量控制的目标是将空间旋转磁场控制在尽量接近圆形空间旋转磁场。

正弦三相对称交流电的空间矢量分析：如果三相对称交流电压是正弦波，相电压为

U_m是线电压的峰值

空间电压矢量U＝u_U+αu_V+α²u_W    (IV-2)

式中α＝e^j2π/3

将式(IV-1)代入式(IV-2)，整理后得

$U=\sqrt{3}{U}_m{e}^{-\mathrm{j\ωt}}---(\mathrm{IV}-3)$

可以看出，对于三相正弦交流电压，它的瞬时空间电压矢量为以ω角速度旋转的矢量，对应不同时刻，它处在不同的位置。把三角函数有限微分变流变换出来的分频或备频三相相电压代入(IV-2)式，得到的结果和(IV-3)相同。矢量电压的时间积分是磁通。对瞬时空间电压矢量积分得磁通矢量

$\mathrm{\Φ}=\∫\mathrm{Udt}=\sqrt{3}\frac{1}{\mathrm{\ω}}{u}_m{e}^{-j(\mathrm{\ωt}-\mathrm{\π}/2)}$

可知磁通矢量比电压矢量落后π/2的旋转矢量，磁通矢量的轨迹为圆，圆周的半径

$r=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{\ω}}{U}_m$

由以上公式可以知道，异步电动机使用正弦交流电压供电时，气隙磁场是圆形旋转磁场，磁通矢量轨迹处在以一定速度均匀旋转的圆上，电动机的转矩没有脉动。空间矢量控制技术就是以这一原理，尽量使变频器所产生的磁通轨迹在近似为圆周上均匀移动，目的是减小转矩的脉动并可控制电动机的转矩。

三角函数有限微分变流不论是利用角频率差还是角频率和形成的分频或倍频频率电压的性质都和连续三相和两相交流电压的性质相同。

三角函数有限微分变流不论是利用角频率差还是角频率和形成的分频或倍频频率电压任何时刻的电压瞬时值和等于零，均方根值等于常数1.5U_m。用复杂的空间矢量分析具有严谨的定量验证，但较复杂一些。用能量守恒原理解释就显得容易理解，既然三角函数有限微分变流变换的功率是一个稳定的常量，电动机就必须在稳定的功率下运行，稳定的功率就不会有波动，三角函数有限微分变流形成的空间旋转磁场完全接近于连续函数的空间磁场。所以结论是：三角函数有限微分变流非常适合应用在变速拖动VSD领域。

从理论上讲三角函数有限微分变流应用于变速恒频发电是很理想的变频技术，同步发电机的变速发电使用交变电源来励磁，在日本抽水蓄能电站已有应用，但使用的是交交变频周波变频器，同步发电机的交流励磁系统也要尽量产生圆形旋转磁场。三角函数有限微分变流的电气特性决定了它作为于变速恒频发电的一种很好手段。

三角函数有限微分变流能够实现整流到变频的功能，变速恒频发电需要直流到很低的励磁电流频率，而且从电机学的理论上讲，两相交流电一样完成同步发电机的交流励磁，所以简化为两相交流变频的方法依然适合于变速拖动和变速恒频发电。三角函数有限微分变流的电压升高或降低可以通过变压器一次线圈的分解头调整来改变电压，也可用有载调压来解决。

简化为两相变频可以减少电子开关数量和变压器的数量，变换出的两相电源仍然可以方便的变为三相，这就是三角函数有限微分变流需要简化的理由。

(六)产生两相交流电源的变频系统

三角函数有限微分变流对于两相变频和三相变频的原理是完全一样的，只是系统元件只有三相系统变频的2/3。两相变频的基频电压的初相角和三相的计算方法不同。

三相交流电源的变频基频电压的初相角是

$\mathrm{fac}2=\frac{\mathrm{fac}3*\mathrm{\ω}1*T1}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}=\frac{\mathrm{fac}3*2\mathrm{\π}}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*3}$

两相交流电源的变频基频电压的初相角是

$\mathrm{fac}2==\frac{\mathrm{fac}3*\mathrm{\ω}1*T1}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*4}=\frac{\mathrm{fac}3*2\mathrm{\π}}{(\mathrm{fac}3-\mathrm{fac}1)*4}$

三相交流电源的变频的方程式是

差频A相  Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u_a            (1)

差频B相  Sin[ω1t-(fac1*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]＝u_b (2)

差频C相  Sin[ω1t-(fac1*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]＝u_c  (3)

u_a＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

u_b＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

u_c＝Sin(ω1+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

两相交流电源的变频的方程式是

差频A相Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u₁                (1)

差频B相  Sin[ω1t-(fac1*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3+fac2]＝u₂   (2)

u₁＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

u₂＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

方程式是三相的2/3，元器件也是三相的2/3。两种变换的控制策略也是同一理论，只是对于ω2的周期分为了4等份，三相自然是3等份。

图15-1至图15-4示出了三角函数有限微分变流AC to AC变换两相分频和倍频的计算机仿真波形图。关于三角函数有限微分变流的控制策略将在下文中专门论述。

图15-1示出了1/2基频的分频电压波形。

图15-2示出了1/6基频的两相分频电压波形的半个周期波形图。

u₂＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

u₁的函数合成在图中也很清楚的显示出来。

图15-3示出了1/12基频的两相分频电压波形的1/4个周期波形图，当基频为60Hz时，分频是5Hz。当基频为50Hz时，分频是50/12Hz＝4.1667Hz。

图15-4示出了5倍基频的两相倍频电压波形。

(V)三角函数有限微分变流AC to DC整流

(一)三角函数有限微分电源变流技术AC to DC的整流原理

公式(3)1＝Sin²ωt+Cos²ωt＝1/2(1-Cos2ωt)+1/2(1+Cos2ωt)

公式(3)按照公式(1)的方法，三角函数有限微分的原理可以证明一个Sinωt和Cosωt为基频的三角函数可以用电力电子技术变换为直流。利用三角函数有限微分的原理可以整流出平滑的直流电压波形。三角函数有限微分电源变流技术AC to DC的整流同AC to AC变流一样，不会给电网带来超标的谐波影响，是目前SPWM强迫整流技术达不到的水平。

(二)用三角函数有限微分原理实现整流

下面的公式清晰明了的表明了三角函数有限微分原理实现整流的原理，只有同频率的两个互差90度的电压才可实现整流，把被整流的电压一个周期分为60等份，在90度1/4周期内需要15只电子开关，事实上9只以上开关就可以实现很好的整流效果。

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]＝u

当n趋于无穷时

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin²ωt+Cos²ωt

＝1

当n取有限合适的等份数时

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

≈1

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

上面三个式子是和三角函数有限微分变频很相象，只是基频同函数相相乘，实际上三角函数有限微分只要有同频率的两个互差90度的电压就可实现整流，上面三个式子只要有一个就可以了，在这里列出三个式子是为了扩展三相分频的功能，因为变频和整流对于三角函数有限微分变流技术来讲拓扑电路结构和控制策略是一样的，只是接入的量的相位不同。

上面三个式子每一个值都是极接近相电压U_m的最大值，将上面三个值相加的结果是3 U_m

如果直流负载电流是I，P＝3 U_m I

三相系统功率是

三相系统的线电流的有效值是直流电流的倍。6个用于整流的相电压的电流都是正弦电流。

以上结论证明如下：

以上结论证明如下：

变压器的基本方程式是：

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{W_1}{W_2}=k,$ $\frac{W_1}{W_2}=\frac{I_2}{I_1},$ $\frac{U_2}{U_1}=\frac{W_2}{W_1}=\frac{1}{k},$ $U_2=\frac{U_1}{k}$

$U_2=U_1*\frac{1}{k}=U_1*\frac{U_2}{U_1}=U_1*\frac{W_2}{W_1}$

令： $\frac{U_2}{U_1}=\frac{W_2}{W_1}=\frac{1}{k}=K$

保持W₁为常量，W₂为0到w₂的变量

$\frac{U_2}{U_1}=\frac{w_2}{W_1}=K*\left|\mathrm{Sinx}\right|$

如果W₂＝W₁，

则： $\frac{U_2}{U_1}=\frac{w_2}{W_1}=\left|\mathrm{Sinx}\right|$ U₂＝U₁*|sinx|

如果W₂≠W₁，

U₂＝U₁*K*|sinx|

同理：|Cosx|可以用同样的方法来证明。

从方程可以看出U₂是U₁连续函数乘以K*sinx的函数。

如果直流负载电流是I(因为不是无限微分，I有微小的波动，理想假定值是一常量)，三角函数有限微分变流的拓扑电路结构的函数变压器的变比是一系列函数值。因为已经知道了二次的电流，根据电流和匝数成反比的关系。可以列出如下关系：

I*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

I Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

I Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

I Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

I Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

I Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

可以看出每一个都是一个正弦函数，这6个电流又是三相变压器的两个对称绕组，那么电源侧输入的电流必然也是正弦电流。假定功率因数等于1，拓扑电路中6个变压器每两个的有功分别是：

I*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*U_m*Sin(ω1)≈U_mIsin²(ωt)＝p    (V-1)

I*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]*U_m*Cos(ω1)≈U_mIcos²(ωt)＝p    (V-2)

(V-1)式和(V-2)式相加等于U_mI。

一共有3组P＝P＝3 U_m I，和前面分析的结果相同。

变压器二次流过直流电流，好象不可思议，实际上因为它的匝数在不断的变化，磁势和电流都在无时不刻的在达到平衡。

图16-1示出了30 Swich modle的三相整流的波形图。最上端直线为每两相的整流值，没有相加，实际是三线重叠。参见图16-1可以看出，完全接近是直流，所示的仅仅是理想波形，元件过多，尽管理论上可行，但不经济。

三对互差π/2的正弦都按1＝Sin²ωt+Cos²ωt＝1/2(1-Cos2ωt)+1/2(1+Cos2ωt)的公式在零轴上方形成2倍频的函数曲线。

图16-2示出了15 Swich modle，理论和实际都可行的整流波形。

(三)三角函数有限微分变流三相三组整流构成

利用图17的拓扑电路把三相整流串联起来得到3 U_m的直流电压，如果三组并联，得U_m直流电压。利用以下公式：

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

每组输入的两个互差π/2的输入电压依然不变，但是都和同名函数相乘。

1.三角函数有限微分变流三相两组整流波构成

两相交流电源的变频的方程式与三相三组整流一样，把变频的两个公式变换一下。

只有两倍频公式对应于整流变换，注意两倍频变换时

fac1＝fac3    fac1＝1

u₁＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

u₂＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

变为：

u₁＝Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

u₂＝Sin(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

u₁+u₂＝2 U_m，两个电压并联电压是U_m。

只要变压器输出两对互差π/2的输入电压就可完成三相两组整流。

2.三相单组整流

只要变压器输出一对互差π/2的输入电压就可完成两相单组整流。

u₁＝Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

这就是说，只要配电变压器或动力变压器能够输出一对互差π/2的输入电压而有不影响其本身的供电功能，还附加了整流的功能，在第x章提出的变压器接线组别实现互差π/2的输出电压就是要为提供三角函数有限微分变流整流提供方便。

(四)三相对称电源直接整流原理

三相对称交流电有下面的性质：

U_m Sin²(ωt)+U_mSin²(ωt-2π/3)+U_mSin²(ωt+2π/3)＝1.5 U_m    (V-3)

三角函数有限微分变流拓扑电路可解式(V-3)

利用有限三角函数微分观点将上式写成：

$U_m\mathrm{Sin}\left(\mathrm{\ωt}\right)\·\mathrm{Sin}[i\·\mathrm{\ω}1\·T3/n]+U_m\mathrm{Sin}(\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3)\·\mathrm{Sin}(i-\mathrm{\ω}1\·T3/n\_2\mathrm{\π}/3)$

$+U_m\mathrm{Sin}(\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3)\·\mathrm{Sin}(i\·\mathrm{\ω}1\·T3/n+2\mathrm{\π}/3)\underset{\mathrm{limn}\→\∞}{=}1.5U_m$

图18示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流原理。其中三条曲线分别表示：

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/)*T3/n]

Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

如果让lim n→∞，则函数为连续函数曲线，成为图19的形状。

以下三个表达式成为光滑曲线，三条曲线的和为一常数，略去U_m，等于1.5。

Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1*ω1/)*T3/n]＝Sin 2(ω1t)

Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]＝Sin2(ω1t-2π/3)

Sin(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]＝Sin2(ω1t+2π/3)

图17示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流原理的，三角函数有限微分变流整流的三单元拓扑电路。

只要变压器输出一对互差π/2的输入电压就可完成三相单组整流，但是变压器没有这种专用接线，三角函数有限微分变流用于整流就受到限制，现在定义由两个函数变压器组成的三角函数有限微分变流拓扑电路称之为一组，一个函数变压器组成的拓扑电路称之为一个单元。互差π/2幅值相同的一组整流需要一组三角函数有限微分变流拓扑电路。三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流需要3个单元拓扑电路，虽然元器件多了一些，但是符合绝大多数应用场合。

随着电子技术的发展，应用直流的场合越来越多，白色发光二极管LED的绿色照明普及应用不会是太遥远的事情，开发具有高功率因数校正和低谐波干扰的整流器是非常必要的。

三角函数有限微分变流用于整流是可行的方案，现在的电子开关元器件不论是开关速度还是耐压或功率水平完成中小规模的三角函数有限微分变流的变频和整流是没有问题的，关键是电力电子开关器件的价格越来越低，使得需要电力电子开关器件较多的三角函数有限微分变流在经济角度上可以实现商业化理论和实际都存在的三角函数有限微分变流必然会在电力电子技术飞速发展的近期发生重大的作用。

图20示出了三相对称电源利用三相变压器输出的三相电源直接整流与变压器的连接图。

(五)省略双向开关的三角函数有限微分变流AC to DC整流电路拓扑

1.大功率电力电子双向开关目前尚在开发中

目前电力电子业界很多学者认为很有发展前景的9双向开关组成的矩阵周波变频器是非常有前景的电力电子技术，但是目前受到了大功率电力电子双向开关还没有组合模块的限制，还是由单大功率电力电子开关组合而成。希望能够避开目前的这种限制，用单向电力电子开关组成三角函数有限微分变流整流电路拓扑电路。由于三角函数有限微分变流的变频和整流还是有一定区别，这种区别使得整流只用单向开关就可以实现整流。

2.只用单向开关的三角函数有限微分变流整流的数学模型

|Sin(ω1t)|*|Sin[i**ω1*T3/n]|+|Cos(ω1t)|*|Cos[i*ω1*T3/n]|

要获得|Sin(ω1t)|和|Cos(ω1t)|，只要把Sin(ω1t)和Cos(ω1t)整流就可以获得。

|Sin(ω1t)|，|Cos(ω1t)|

由于函数变压器的系数也是不会自己改变方向的，相当于|Sin[i**ω1*T3/n]|和| Cos[i**ω1*T3/n]|，所以输出直流电压U等于：

U＝|Sin(ω1t)|*|Sin[i**ω1*T3/n]|+|Cos(ω1t)|*|Cos[i**ω1*T3/n]|

＝Sin(ω1t)*Sin[i**ω1*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i**ω1*T3/n]

3.图21示出了只用单向开关的三角函数有限微分变流整流的波形分析图，即两相一组整流波形图。

可以对整流输出的直流电流进行富里叶级数展开，可以发现直流分量接近于1，只有极小的高次奇次和偶次谐波，对电网或电源侧的影响是很小的。

图22示出了只用单向开关的三角函数有限微分变流整流的拓扑电路。

参照图22，该电路中略去了U_m，实际两相整流的60n模式，输出直流电压已经非常接近于U_m，一般的三相24波头或48波头整流分别需要2到4台三相变压器，而m相整流n重叠加整流的变压器需要二次线圈多组延边三角形接线或曲折接线，线圈用铜量也很多，不利于中小功率场合的应用，三角函数有限微分变流整流技术只要变压器能够输出一对互差π/2的输入电压而有不影响其本身的供电功能，还附加了整流的功能，在上文中提及的变压器接线组别实现互差π/2的输出电压就是要为提供三角函数有限微分变流整流提供方便。三角函数有限微分变流整流在这种条件下，只需要两台函数变压器就可完成高质量的整流效果。

(VI)三角函数有限微分变流DC to AC逆变原理和拓扑电路

(一)三角函数有限微分变流DC to AC与其它逆变技术比较

1.SPWM正弦脉宽调制逆变技术

现有的最普遍的两电平和三电平SPWM变频技术在波形质量上受其基本原理的限制不会有大的改进，相关的多点平SPWM控制策略的复杂性和电路的复杂性使其实现商业化的进度并不快，基于SPWM的多功率单元变器频元器件也是非常多的，变压器的多组延边三角形接线使得总的结构也很复杂。为获得好的电压电流波形付出的代价也很大。基于PWM原理的空间矢量技术也在追求为电动机获得准圆旋转磁场，不过分追求电压电流的正弦度。

2.多重移相叠加阶梯波合成逆变(Harmonic Cancellation Inverter)技术与三角函数有限微分变流逆变的比较

三角函数有限微分变流逆变在原理上和多重移相叠加阶梯波合成逆变技术相类似，但是在实现方法上是完全不一样的。多重移相叠加阶梯波合成逆变器在一个周期内阶梯数为2N阶梯波，需要N台单相逆变器或N/3台三相逆变器组成，18阶梯波的逆变器就需要3台三相变压器，三角函数有限微分变流逆变器逆变三相交流电源的任意阶梯数只需3台变压器，其中一台还是作为把互差π/2幅值的两相交流电变为三相交流电用的，本发明的60阶梯波逆变器就用了3台变压器，多重移相叠加阶梯波合成逆变就需要30/3台，共10台三相变压器，可见多重移相叠加阶梯波合成逆变系统的庞大，现在只有在较大功率逆变的场合才使用阶梯数较高的方案，不便于中小逆变场合的使用。梯波合成逆变技术虽然具有电器隔离，开关频率低，变换效率高，输出波形质量好等优点，但其自身无调压能力，无法形成有效的电压闭环控制，因此，通常需要添加DC-DC变换级来实现调压功能，但大大降低了变换效率，限制了功率容量。三角函数有限微分变流DC to AC除了开关频率要求比阶梯波合成逆变高一些，并有阶梯波合成逆变的所有优点，并有灵活的调压能力，变压器数量少，控制策略简单一系列优越性。

(二)三角函数有限微分变流DC to AC原理

1.三角函数有限微分变流DC to AC梯波合成逆变(HarmonicCancellation Inverter)具有相同的谐波抵消(Harmonic Cancellation)效果。

基于“谐波抵消”理论合成阶梯波波含有的谐波次数为

H＝2KN±1                                      (VI-1)

式(VI-1)中，k＝1，2，3，......，∞

对于梯波合成逆变N是为单相功率的个数，对于三角函数有限微分变流N是半个周期即π内所分的等份。三角函数有限微分变流技术N做到18并不困难，现有实验已经可以将三角函数有限微分变流DC to AC逆变装置N做到30。按照式(VI-1)，三角函数有限微分变流Dc to AC没有59和61次的奇次谐波。且它的电压波形的平均值和均方根值和正弦电压几乎一样，并很容易证明。

2.三角函数有限微分变流DC to AC的数学模型

三角函数有限微分变流三相DC to AC的变换数学模型非常简单，如下表示：

u_a＝u_m Sin(i*ω*T/n)            (VI-2)

u_b＝u_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)       (VI-3)

u_c＝u_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)       (VI-4)

为了简化和减少电力电子开关的数量，三角函数有限微分变流DC toAC做成只输出一对互差π/2幅值相同电压即可。不能变换差±2π/3的任意两相，虽然三相交流电任意一相可以又另外两相的和的负值来表示，但是互差2π/3相位角，幅值相同的任意两相交流电不是功率恒定系统。互差π/2相位角，幅值相同的任意两相交流电是功率恒定系统。两相互差π/2相位角，幅值相同的任意两相交流电是功率是一常数。

幅值相同的任意两相交流电功率：下面是功率系数等于1的表达式，功率系数不等于1也是成立的，两边同乘以Cos，ωt加上或减去θ代入方程应加入的地方就可以了。

所以可以用三角函数有限微分变流只变换出两相交流电源，然后根据需要直接使用两相系统或使用2/3接线的变压器将两相变为三相。

3.三角函数有限微分变流变换互差π/2相位角，幅值相同的两相电源的数学模型

u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)         (VI-5)

u₂＝U_m Sin(i*ω*T/n+π/2)    (VI-6)

在这里提出一个趣味数学但又是严格数学定理的现象：如果把一个正弦函数在一个周期内分为n＞2到无穷的整数等份，由n等份组成的阶梯波的均方根与这个正弦函数相等。换句话说，由n等份组成的阶梯波的电压有效值与这个这个正弦函数电压有效值相等，似乎不可思议，但这是客观事实。下面计算U_m Sin(i*ω*T/n)的均方根

连续函数的均方根是：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\∫}_0^T{\mathrm{Sin}}^2\left(\mathrm{\ωt}\right)\mathrm{dt}}$

由n等份组成的阶梯波的均方根是：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\∫}_0^T{\mathrm{Sin}}^2(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\mathrm{dt}}$

由n等份组成的阶梯波的均方根里的每一个Sin(i·ω·T/n)都是一个常数，所以这个积分是一个n个常数的积分，可以写成Sin²(i·ω·T/n)·ω·T/n求n项和的积分，再除以2π周期，然后再开方。

当n＞2到无穷

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\π}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{Sin}}^2(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\·\mathrm{\ω}\·T/n}---(\mathrm{VI}-7)$

阐明这一原理的重要原因是：三角函数有限微分变流DC to AC的逆变，根据能量守恒原理，只要一个周期分为3等份以上就可以达到100％的传输功率，但是它是基波频率和所有谐波频率的总和，谐波频率必须限制在最小，所以要从消除谐波和选取合适的开关总量以及降低造价的经济角度选取合适的n等份。

下面给出计算公式(VI-7)的Visual Basic 6.0计算程序，图23-1至23-2示出了最小3等份和有限60等份的波形图。

计算(VI-7)程序非常简单，只要在Text3.Text里输入大于3以上的整数，均方根值就恒等于1/√2＝0.707106781186547

Private Sub Command2_Click()

Dim n As Integer

Dimω，T，S As Double

n＝Text3.Text

pi＝4*Atn(1)

ω＝2*pi*50

T＝1/50

S＝0

For i＝0 To n-1

S＝Sin(i*ω*T/n)^2*ω*T/n+S

Next i

Text1.Text＝Sqr(S/(ω*T))

′注释行1/√2＝0.70710678118654752440084436210485

End Sub

参照图23-1，分为3等份的红线的均方根值是

很容易计算出红线的均方根值：

[Sin²(0)·(2π/3)+sin²(2π/3)·(2π/3)+Sin²(4π/3)·(2π/3)]/2π＝1/2

再把1/2开方得

$\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\π}}\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{Sin}}^2(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\·\mathrm{\ω}\·T/n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

结论：凡是大于3等份的均方根值等于

参照图23-2，分为60等份的红线的均方根值是

图23-2就是三角函数有限微分变流DC to AC数学模型图表示u₁的函数曲线。

u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)         (VI-5)

u₂＝U_m Sin(i*ω*T/n+π/2)    (VI-6)

实际三角函数有限微分变流器DC to AC做出的逆变电压就完全是图23-2中短横线阶梯的这种形状。

三角函数有限微分变流是严格遵循数学原理和数学规则和电工学理论的规范理论，是用已经非常成熟的数学分析方法对物理电学变流现象的精确描述，所以它的每一个量纲都是精确的，是其它变流技术难以做到的。

(三)三角函数有限微分变流DC to AC逆变的谐波分析

1.三角函数有限微分变流DC to AC逆变的谐波分析数学方法

对(6-5)式进行富里叶级数展开

u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)    (VI-5)

因为正弦函数是奇函数，u₁对圆点有轻微不对称，所以重点对正弦项的谐波进行分析，当然也可以对余弦相进行分析。

式(VI-5)是一个周期分为n等份阶梯状的规则曲线，每一段都是一个常数，一个常数对一个正弦函数的积分就变得特别简单，下面我们再分析三角函数有限微分变流技术变换出的准正弦波形的富里叶级数(Fourier series)展开形式，对其谐波(Harmonics)进行分析。

设：f(t)是以T为周期的周期函数，如果它可以展开成

$f\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}(a_n\mathrm{Cosn\ωt}+b_n\mathrm{Sinn\ωt})$ (其中 $\mathrm{\ω}=\frac{2\mathrm{\π}}{T}$ )

则

$a_0=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{dt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(f1\right)$

$a_n=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{Cosn\ωtdt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{Cosn\ωtdt}---\left(f2\right)$

$b_n=\frac{2}{T}{\∫}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\mathrm{Sinn\ωtdt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^{T}f\left(t\right)\mathrm{Sinn\ωtdt}---\left(f3\right)$

对于式u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)    (VI-5)

$b_n=\frac{2}{T}{\∫}_0^T{u}_1\mathrm{Sin}\left(\mathrm{n\ωt}\right)\mathrm{dt}=\frac{2}{T}{\∫}_0^T\mathrm{Sin}(\mathrm{im\ωT}/n)\·\mathrm{Sin}\left(\mathrm{n\ωt}\right)\mathrm{dt}$

$\mathrm{Sin}(i\·m\·\mathrm{\ω}\·T/n){\∫}_0^T\mathrm{Sin}\left(\mathrm{n\ωt}\right)\mathrm{dt}$

令：m＝n＝1，解基波系数b₁

$b_1=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\mathrm{Sin}(i\·\mathrm{\ω}\·T/n){\∫}_0^T\mathrm{Sin}\left(\mathrm{\ωt}\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{\mathrm{\ω}}\mathrm{Sin}(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\·{[-\mathrm{Cos}\left(\mathrm{\ωt}\right)]}_0^T$

$\underset{i=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{Sin}(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\·\{-\mathrm{Cos}[(i+1)\·\mathrm{\ω}\·T/n]-[-\mathrm{Cos}(i\·\mathrm{\ω}\·T/n)\left]\right\}\≈1$

基于“谐波抵消”理论合成阶梯波波含有的谐波次数为

H＝2KN±1    (VI-1)

注意：“谐波抵消”理论合成阶梯波波含有的谐波次数的公式和三角函数有限微分变流DC to AC的谐波计算方法是有区别的。

注意：式(VI-1)中的N是上面式中n的1/2，即N＝n/2

三角函数有限微分变流逆变只要选取n有限几十个，它的b₁就非常趋近于1，说明它的波形的THD是非常小的。非常适合制作高质量的UPS电源。

三角函数有限微分变流DC to AC数学模型的每一个电气参数都可以定量的精确计算，这是其它变流技术难以实现的，三角函数有限微分变流DCto AC的任何一次谐波系数都可以用富哀级数精确的计算出来。只不过都是用分段的积分方法，本文只计算了基波正弦系数，其它系数的计算也是同样方法，都不是太难的积分。

下面给出Visual Basic 6.0计算基波系数的程序(直接从这里粘贴到Visual Basic 6.0代码编辑器就可运行。

Private Sub Command3_Click()

Dim n As Integer

Dimω，T，S As Double

n＝Text3.Text

pi＝4*Atn(1)

ω＝2*pi*50

T＝1/50

S＝0

For i＝0 To n-1

S＝Sin(i*ω*T/n)*(-Cos((i+1)*ω*T/n)-(-Cos(i*ω*T/n)))+S

Next i

S＝(2/T)*S/ω

Text1.Text＝S

′注释行(.9981732973708 60，n)(.995892735243561 40，n)(.994930770045299 38，n)

End Sub

(四)三角函数有限微分变流三相DC to AC数学模型的主要性质

1.三相电压的性质和三相电压和两相电压的相互转换

u_a＝U_m Sin(i*ω*T/n)          (VI-2)

u_b＝U_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)    (VI-3)

u_c＝U_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)    (VI-4)

1)三相电压之和恒为零，和连续函数相同。

U_m Sin(i*ω*T/n)+U_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)+U_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)＝0

2)三相电压的均方根值是常数3/2 U_m。

3)任意两相的和等于负的第三相。

-U_m Sin(i*ω*T/n)＝U_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)+U_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)

4)根据矢量控制原理，在空间形成n多边形n个角点的步进圆形旋转磁场，相当于三相n步步进电极的步进圆形旋转磁场。

5)可以变化为互差π/2相位角，幅值相同的两相电压，反之亦然。

下面是将(VI-2)(VI-3)(VI-4)三相变换为两相的证明

u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)

$u_2=1/\√3[U_m\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\ω}*T/n+2\mathrm{\π}/3)-U_m\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\ω}*T/n-2\mathrm{\π}/3)]$

$=1/\√3U_m[\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\ω}*T/n+2\mathrm{\π}/3)-\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\ω}*T/n-2\mathrm{\π}/3)]$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}{U}_m\mathrm{Cos}(i\·\mathrm{\ωT}/n)\·\mathrm{Sin}(2\mathrm{\π}/3)$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}{U}_m\mathrm{Cos}(i\·\mathrm{\ωT}/n)\·\frac{\sqrt{3}}{2}=U_m\mathrm{Cos}(i\·\mathrm{\ωT}/n)$

$=U_m\mathrm{Sin}(i\·\mathrm{\ωT}/n+\mathrm{\π}/2)$

2.逆变源直流电源流过的电流是恒定电流

逆变源直流电源流过的电流是恒定电流，不论是三相逆变还是两相逆变，如果逆变三相，交流电流是：

i_a＝I_m Sin(i*ω*T/n)

i_b＝I_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)

i_c＝I_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)

逆变源直流电源流过的电流是：

I＝I_m Sin2(i*ω*T/n)+I_m Sin2(i*ω*T/n-2π/3)+I_m Sin2(i*ω*T/n+2π/3)

＝3/2 I_m＝1.5 I_m

如果逆变两相，交流电流是：

i₁＝I_m Sin(i*ω*T/n)

i₂＝I_m Sin(i*ω*T/n+π/2)

逆变源直流电源流过的电流是：

I＝I_m Sin2(i*ω*T/n)+I_m Sin2(i*ω*T/n+π/2)＝I_m

3.函数变压器的原边电压和电流

每个逆变单元输入函数变压器的原边电压是方波电压，输入函数变压器的原边的电流是两倍频于基频，在时间轴上方的正弦函数平方的电流。输入函数变压器的总电流之和是一常数。

(五)三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路和原理

1.三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路是其数学模型解析器

三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路就是对u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)和其它项的解析的模拟计算器，Sin(i*ω*T/n)是一个角频率为ω，一个周期内有n个阶梯的阶梯函数，要实现u₁＝U_m Sin(i*ω*T/n)按周期T循环，设一个以U_m为幅值T为周期的矩形波来完成函数变压器|Sin(i*ω*T/n)|绝对值没有符号的问题。

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{U}_m\left|\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\&omega;}*T/n)\right|0\&le;t<\frac{T}{2}\mathrm{ifrom}0\mathrm{ton}/2\\ -U_m\left|\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\&omega;}*T/n)\right|\frac{T}{2}\&le;t<\mathrm{Tifromn}/2\mathrm{ton}\end{array}\right\}---(\mathrm{VI}-7)$

如果一个拓扑电路能够解析上面方程，就完成了DC to AC的逆变。

同理可以列出三相逆变的另外两相和两相逆变的另外一相。为了简便起见，于此从略。

图24，图25分别示出了两副三相逆变和两相逆变的电压波形图，用图形的形式描述了上述函数中各参数之间的关系，并且一个周期也分别分为60等份和40等分来表示波形情况。

不论n分为大于2的多少任意等份，下列关系不变

U_m Sin(i*ω*T/n)+U_m Sin(i*ω*T/n-2π/3)+U_m Sin(i*ω*T/n+2π/3)＝0

U_m [Sin2(i*ω*T/n)+Sin2(i*ω*T/n-2π/3)+Sin2(i*ω*T/n+2π/3)]＝3/2 U_m

U_m [Sin2(i*ω*T/n)+Sin2(i*ω*T/n+π/2)]＝U_m

参照图24，三角函数有限微分变流三相DC to AC，其中n＝60，15 Swichmodle。

参照图25，三角函数有限微分变流两相DC to AC，其中n＝40，10 Swichmodle。

U_m Sin2(i*ω*T/n)+U_m Sin2(i*ω*T/n+π/2)＝U_m

(六)三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路直流电源的电流

三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路直流侧电流是恒定常数。三角函数有限微分变流变换两相交流DC to AC，n＝60，函数变压器输入电流的和I_m是常量，也是直流电压提供的电流。三角函数有限微分变流变换三相交流，函数变压器输入电流的和是3/2 I_m，这里认为函数变压器是1比1的匝数比，如果不是，按I_m/k推算就可以了。

图26示出了三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路直流电源的波形。

(七)三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路的电路结构

三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路是DC to AC模拟计算器。三角函数有限微分变流DC to AC变换两相交流电路只须两只函数变压器组成的拓扑电路，如果需要变为三相交流电，增加一只2相转3相变压器即可，在上文中已经提供了变压器原理。

直接变换三相交流电路，需要三只函数变压器组成的拓扑电路，不妨把其称为3单元拓扑电路。3单元拓扑电路电子开关数量多了一些，制造成本提高了。可根据需要变换两相或三相。

三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路还可以构成具有高频环节的变频器，在航空航天变频领域可能有重要作用，在下文中将专门阐述。

图27示出了三角函数有限微分变流DC to AC的拓扑电路图。

三角函数有限微分变流DC to AC和三角函数有限微分变流AC to AC拓扑电路不同的地方一目了然，DC to AC电路没有函数变压器输出换相电子开关。函数变压器输入加入了桥式电子开关产生和交流输出同频的方波电压。

如果需要变为三相交流电，增加一只2相转3相变压器即可，三相交流电可以输入到电网或驱动交流异步电动机或同步电动机。如果不变为三相，也一样驱动两相交流异步电动机或同步电动机。

(八)具有高频环节的三角函数有限微分变流DC to AC变频器

1.具有高频环节的变频器可以减小函数变压器的体积

三角函数有限微分变流必须使用函数变压器，限制了有些场合要求体积小，重量轻的应用，例如，航空航天电器，和一些军工电器的需要。三角函数有限微分变流DC to AC的具有高频环节的变频器是经过实际模拟实验的装置，从数学推导和电工学理论都是符合实际的。

2.具有高频环节的变频器原理

三角函数有限微分变流低频变频(相对于具有高频环节的变频器，低频变频可以变任意高的频率)的输入方波是和输出正弦电压同频的，具有高频环节的变频器是用几十倍于输出正弦电压频率的输入方波来调制的。

具有高频环节的变频器的数学模型：

令一个周期T内有n个调制方波，每个调制方波有正负半波，所以一个周期T内分为2n等份，i₂从0到2n

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{U}_m\&CenterDot;\frac{T}{2n}\&CenterDot;i_2\&CenterDot;\left|\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\&omega;}*T/n)\right|i_2=\mathrm{0,2,4},......,2n-2\\ -U_m\&CenterDot;\frac{T}{2n}\&CenterDot;i_2\&CenterDot;\left|\mathrm{Sin}(i*\mathrm{\&omega;}*T/n)\right|i_2=\mathrm{1,3,5},......,2n-1\end{array}\right\}$

如图28所示，f(t)成为正负交替变化的正弦形状阶梯函数；取出f(t)的绝对值|f(t)|，得到如图29的波形。

如果把T/2到T的|f(t)|取-|f(t)|，就还原成了U_m Sin(i*ω*T/n)，还原的图略去不再进行描述，用换相桥式开关很容易就可把|f(t)|变换成-|f(t)|。

3.具有高频环节的变频器的电路拓扑

图30示出了通过实际高频环节变频器的电路拓扑验证的电路。实际输出的波形从数学模型的角度讲，和低频三角函数有限微分变流DC to AC输出的波形是一样的，所以输出波形的各种参数的计算和分析方法和低频变频相同。

根据“电力电子未来趋势”(Power devices future trends)，驱动触发或控制电力电子开关的集成电路将更加可靠，电力电子功率模块(PowerElectronics Building block)功率密度将进一步提高，体积将可能更小，三角函数有限微分变流的电力电子开关结构有规律并简单，有望做成电力电子功率模块，具有高频环节的变频器将可以做得更小。

(VII)实现三角函数有限微分变流的控制策略和安全保护

需要注意的是，之所以在描述完所有的三角函数有限微分变流应用及原理之后才涉及到电力电子技术最核心的问题——“控制策略”，这是因为三角函数有限微分变流的各种应用的数学模型本身就明显的揭示了它的控制方法，它的控制策略具有以下特点：

1)算法确定之后，控制策略特别简单，具有极强的规律性。

2)函数变压器所取得正弦函数值的个数决定之后，也就是每只函数变压器的电子开关确定之后，所有角频率和与差的合成成为统一控制逻辑(不包括为改变中间函数系数符号的4只换相开关)，角频率和与差的合成只是换相开关输出异名端相连，还是换相开关输出同名端相连的问题，简单讲就是加与减的问题。

3)函数变压器函数开关的动作顺序是按绝对值变化，所以必须用换相开关完成其本身的换符号功能，也就是它本身的函数功能。三角函数有限微分变流的控制逻辑实际上就是函数开关动作时序与基频某相为基准的动作顺序。

4)任何一种变换功能必须保证输入量的相位和同名端的连接正确，输出的相位和同名端的连接必须正确。

5)三角函数有限微分变流AC to AC理论上可以任意变换频率，但实际上受到电子开关数量和开关频率的影响，对临近频率的和频和差频的变频质量不好，这并不影响三角函数有限微分变流AC to AC变频的应用。对于和频变到基频的1.5以上是没问题的，例如，对于50Hz变到75Hz还是可以的。更高的频率波形质量会更好，对于极低的变频也显示出很好的波形质量。

(一)三角函数有限微分变流的控制策略

1.函数变压器的二次线圈是按正弦规律排列的绕组

因为是有限微分概念进行变流，所以是以实现比较理想的变流效果适当选择函数值个数，也就是电子开关的数量，也就是把ω2的周期分N为等份，这里用N的目的是不混淆和频或差频一个周期的n等份概念。所选取的函数值就是：

|Sin(I*360/N)|实际上只有N/4个函数值，就是0到90度的N/4个函数值。下面就以N＝60为例来给出三角函数有限微分变流的控制策略，N等于大于4的任意整数的控制逻辑和方法，以及顺序都是一样的。

2.三角函数有限微分变流的控制策略顺序表

三角函数有限微分变流的控制逻辑实际上就是函数开关动作时序与基频某相为基准的动作顺序。既然要有时序和相位基准，三角函数有限微分变流控制电路必须有相位鉴别，相位跟踪，过零检测功能，必须在基频的每一个周期都要精确的检出，现在的这些技术也不是什么难点。有了相位时标基准，三角函数有限微分变流控制策略就按ω2的周期的对应函数值循环动作，开通或关断就可以了，要注意一点，ω2周期变化的函数值是N/4个函数值是绝对值，其变符号是靠换相开关来实现N个函数值都是对应的有符号的函数值。用数学语言来定义，就是让其和三角函数有限微分变流的数学模型里的函数值具有相同功能。关于角频率和与差的基频初相角的确定在三相交流变频和两相交流变频的描述中已经进行了详细的说明，于此不再赘述。

下面给出三角函数有限微分变流函数变压器二次绕组按正弦值的匝数分配情况，下面的例子是二次绕组总匝数为1000匝的分配表。

	Sinx	cosx	值	匝数
					0	sin00°	cos90°	0.0000	0000
1	sin06°	cos84°	0.1045	0105
					2	sin12°	cos78°	0.2079	0208
3	sin18°	cos72°	0.3090	0309
					4	sin24°	cos66°	0.4067	0407
5	sin30°	cos60°	0.5000	0500
					6	sin36°	cos54°	0.5877	0588
7	sin42°	cos48°	0.6691	0669
					8	sin48°	cos42°	0.7431	0743
9	sin54°	cos36°	0.8090	0809
					A	sin60°	cos30°	0.8660	0866
B	sin66°	cos24°	0.9135	0914
					C	sin72°	cos18°	0.9510	0951
D	sin78°	cos12°	0.9781	0978
					E	sin84°	cos06°	0.9945	0995
F	sin90°	cos00°	1.0000	1000

三角函数有限微分变流AC to AC，sin(ω1t-ω2t)与sin(ω1t+ω2t)和其它两相变频的统一控制策略如下：

   A    A    A    A    B    B    B    B    C    C    C    C

   sin  sin  cos  cos  sin  sin  cos  cos  sin  sin  cos  cos

N  顺序  换相  顺序  换相  顺序  换相  顺序  换相  顺序  换相  顺序  换相

    00    0    1    F    1     A     0    5      0     A     1     5     0

   01    1    1    E    1     B     0    4      0     9     1     6     0

02    2    1    D    1    C    0    3    0    8    1    7    0

03    3    1    C    1    D    0    2    0    7    1    8    0

04    4    1    B    1    E    0    1    0    6    1    9    0

05    5    1    A    1    F    0    0    1    5    1    A    0

06    6    1    9    1    E    0    1    1    4    1    B    0

07    7    1    8    1    D    0    2    1    3    1    C    0

08    8    1    7    1    C    0    3    1    2    1    D    0

09    9    1    6    1    B    0    4    1    1    1    E    0

10    A    1    5    1    A    0    5    1    0    0    F    0

11    B    1    4    1    9    0    6    1    1    0    E    0

12    C    1    3    1    8    0    7    1    2    0    D    0

13    D    1    2    1    7    0    8    1    3    0    C    0

14    E    1    1    1    6    0    9    1    4    0    B    0

15    F    1    0    0    5    0    A    1    5    0    A    0

16    E    1    1    0    4    0    B     1    6    0    9    0

17    D    1    2    0    3    0    C    1    7    0    8    0

18    C    1    3    0    2    0    D    1    8    0    7    0

19    B    1    4    0    1    0    E    1    9    0    6    0

20    A    1    5    0    0    1    F    1    A    0    5    0

21    9    1    6    0    1    1    E    1    B    0    4    0

22    8    1    7    0    2    1    D    1    C    0    3    0

23    7    1    8    0    3    1    C    1    D    0    2    0

24    6    1    9    0    4    1    B    1    E    0    1    0

25    5    1    A    0    5    1    A    1    F    0    0    1

26    4    1    B    0    6    1    9    1    E    0    1    1

27    3    1    C    0    7    1    8    1    D    0    2    1

28    2    1    D    0    8    1    7    1    C    0    3    1

29    1    1    E    0    9    1    6    1    B    0    4    1

30    0    0    F    0    A    1    5    1    A    0    5    1

31    1    0    E    0    B    1    4    1    9    0    6    1

32    2    0    D    0    C    1    3    1    8    0    7    1

33    3    0    C    0    D    1    2    1    7    0    8    1

34    4    0    B    0    E    1    1    1    6    0    9    1

35    5    0    A    0    F    1    0    0    5    0    A    1

36    6    0    9    0    E    1    1    0    4    0    B    1

37    7    0    8    0    D    1    2    0    3    0    C    1

38    8    0    7    0    C    1    3    0    2    0    D    1

39    9    0    6    0    B    1    4    0    1    0    E    1

40    A    0    5    0    A    1    5    0    0    1    F    1

41    B    0    4    0    9    1    6    0    1    1    E    1

42    C    0    3    0    8    1    7    0    2    1    D    1

43    D    0    2    0    7    1    8    0    3    1    C    1

44    E    0    1    0    6    1    9    0    4    1    B    1

45    F    0    0    1    5    1    A    0    5    1    A    1

46    E    0    1    1    4    1    B    0    6    1    9    1

47    D    0    2    1    3    1    C    0    7    1    8    1

48    C    0    3    1    2    1    D    0    8    1    7    1

49    B    0    4    1    1    1    E    0    9    1    6    1

50    A    0    5    1    0    0    F    0    A    1    5    1

51    9    0    6    1    1    0    E    0    B    1    4    1

52    8    0    7    1    2    0    D    0    C    1    3    1

53    7    0    8    1    3    0    C    0    D    1    2    1

54    6    0    9    1    4    0    B    0    E    1    1    1

55    5    0    A    1    5    0    A    0    F    1    0    0

56    4    0    B     1    6    0    9    0    E    1    1    0

57    3    0    C    1    7    0    8    0    D    1    2    0

58    2    0    D    1    8    0    7    0    C    1    3    0

59    1    0    E    1    9    0    6    0    B    1    4    0

三角函数有限微分变流的三相交交变频形成了一个统一的控制逻辑是很好理解的，我们不妨再证明一下：

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

从以上三式看出三个两个角频率之差的周期内都包含了fac1ω1/fac3和ω1的两个周期函数，而这三个两个周期函数在两个角频率之差的周期内又都是三个对称函数，和频的道理是一样的。

Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

所以6个基频电压的初相角决定之后，对于任何和频与差频的控制逻辑是一样的，三相变频就决定于上面6个正余弦函数顺序变化。开关导通的时间是周期是(fac1/fac3)*T3/n，只是不同的变频开关导通的时间周期不同。所以称三角函数有限微分变流具有统一控制逻辑。

将三相交流电变为两相和频与差频交流电的控制逻辑和三相是同一原理，只是两相不对称幅值相同交流电相差π/2弧度。6个正余弦函数变为4个，把三相变频统一控制逻辑的另外一对正余弦函数与第一相相差π/2弧度即可，一个周期三相时相差2π/3，因为N＝60，三相时相差N/3＝20。两相变频应相差N/4＝15。

Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

所有两相变频不论是和频或差频也是统一控制逻辑。

三相三组整流直接利用三角函数有限微分变流三相变频统一控制逻辑，只是都是同名函数相乘。

Udc1＝Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

Udc2＝Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Cos[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

Udc2＝Sin(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Cos[[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]

三相变频和三相三组整流形成了交流电从交交变频到整流的两种功能转换。

三相三单元整流直接利用三相变频统一控制逻辑中的三个函数

Udc＝Sin(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Sin(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Sin(ω1t-fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]

因为同频率时fac1＝fac3

变成Udc＝Sin(ω1t)*Sin[i*ω1/*T3/n]+Sin(ω1t+fac2)*Sin[*(i*ω1*T3/n+fac2)]+Sin(ω1t-fac2)*Sin[(i*ω1*T3/n-fac2)]

fac2＝2π/3

两相交流电整流，三相交流电变为两相交流电的变频或整流都可以用两相变频统一控制逻辑，两相变频和三相两组整流形成了交流电从交交变频到整流的两种功能转换。

(二)三角函数有限微分变流控制逻辑，时序，策略的特点

1.三角函数有限微分变流控制是最简单的数字时序电路

在假定信号处理器(DSP)或单片机能够精确的判断，并提供精确的相位时标，三角函数有限微分变流控制就成为最简单的数字时序电路。

图31示出了1/2分频两相交流逆变当中，控制脉冲和函数曲线的对应关系。实际上k个开关的动作时序只有一组就可以了，每个时刻的控制脉冲去控制相对应的开关，每个脉冲在电路拓扑中都有一对相对应的开关，因为正弦和余弦是互补的，控制正弦±6度电子开关时，余弦是±84度电子开关。换向开关有几个单元需要换向就需要几个控制脉冲信号。两相交流变频只须4对换向脉冲信号，每个换向脉冲应有一个相反脉冲，实际是8个换向脉冲信号。

从以上分析可以看出三角函数有限微分变流控制是非常简单而具有严格的逻辑时序，只要遵守这些原则，至于采用什么单片机或什么信号处理器，采用什么逻辑电路或什么编程手段都是无关紧要的。

(三)三角函数有限微分变流安全控制和防止过电压击穿电子开关

为了避免过电压击穿电子开关，每只电子开关必须在前一个电子开关可靠关断才能开启导通，需要控制电路有相关控制方法。

因为电子开关直接接于函数变压器，函数变压器的漏感磁通在电子开关关断时要产生过电压，在每只电子开关的变压器输出端应接一个阻容吸收电路，电子开关关断时吸收能量，然后在下一个电子开关开启时，能量又释放出去，这样电子开关关断就不会产生过电压，毁坏电子开关。

需要注意的是，本发明所提供的电路拓扑中并未画出阻容吸收电路，但是可以采用任何已知的阻容吸收电路。

(四)有关三角函数有限微分变流深层次和更复杂的问题

1.关于三角函数有限微分变流负载性质问题

无论三角函数有限微分变流AC-AC或DC-AC接感性或是容性负载，其基本性质不变

2.关于三角函数有限微分变流的滤波

尽管本发明并未涉及三角函数有限微分变流AC-AC或DC-AC的滤波问题，但三角函数有限微分变流的滤波比其它变流技术容易的多，因为波形和正弦电压十分接近，所以三角函数有限微分变流的AC-AC或DC-AC输出的波形经过合理滤波即可形成光滑的正弦电压。

尽管通过参照本发明的某些优选实施例，已经对本发明进行了图示和描述，但本领域的普通技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离所附权利要求书所限定的本发明的精神和范围。

Claims (20)

1、一种三角函数有限微分变流方法，其特征在于该方法至少包括以下步骤：

a.配置连接函数变压器的接线组别，以获得所需的几组不同相位的基频电压；

b.利用各基频的和频函数或差频函数构建三角函数有限微分变流方程，方程左侧为输入信号形式，右侧为输出信号形式；

c.根据所构建的三角函数有限微分变流方程，配置函数变压器、电力电子开关器件及外围电路，以得到解析所述变流方程的电力电子拓扑电路；

d.将角频率和与差的合成作为统一控制逻辑，按照与基频某相为基准的动作顺序来确定函数开关动作时序，控制变压器和电力电子开关的组合，以实现AC to AC变频，AC to DC整流，DC to AC逆变。

2、根据权利要求1所述的产生方法，其中所述差频函数或和频函数为：

Sin[ω1t-i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]-Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]    (1)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]-Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]    (2)

Sin[ω1t-fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]-Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]    (3)

Sin[ω1t+i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]

＝Sin(ω1t)*Cos[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]+Cos(ω1t)*Sin[i*(fac1ω1/fac3)*T3/n]    (4)

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3-fac2]

＝Sin(ω1t-fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]+Cos(ω1t-fac2)*Sin[fac1(*i*ω1*T3/n-fac2)/fac3]    (5)

Sin[ω1t+fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3+fac2]

＝Sin(ω1t+fac2)*Cos[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]+Cos(ω1t+fac2)*Sin[fac1*(i*ω1*T3/n+fac2)/fac3]    (6)

3、一种三角函数有限微分变流装置，适用于多相对称电路或不对称正交两相电路，其特征在于至少包括：

移相变压器，其接线组别被配置为能够获得所需的几组不同相位的基频电压；

电力电子开关器件，与函数变压器一起配合完成解三角函数角频率和差方程，以构成解析三角函数有限变流方程的电力电子拓扑电路；

控制电路，将角频率和与差的合成作为统一控制逻辑，按照与基频某相为基准的动作顺序来确定函数开关动作时序，控制变压器和电力电子开关的组合，以实现AC to AC变频，AC to DC整流，DC to AC逆变。

4、根据权利要求3所述的换流装置，其中函数变压器的二次线圈按照正弦函数规律来分配匝数。

5、根据权利要求3或4所述的换流装置，其中所述电力电子开关可以为绝缘栅场效应管IGBT，大功率晶体管，功率场效应晶体管MOSFET或集成门控换向晶体管IGCT之一。

6、根据权利要求3-5中任何一项的换流装置，其中在AC to AC变频模式下，还包括函数变压器输出换相电子开关。

7.根据权利要求3-5中任一项的换流装置，其中在DC to AC逆变模式下，还包括桥式电子开关，布置于函数变压器的输入端，以产生与交流输出同频的方波电压。

8、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于通讯系统。

9、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于自动化控制系统。

10、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于仪器仪表设备。

11、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于小型或微型电机变速设备。

12、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于不间断电源UPS设备。

13、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于变速拖动VSD设备。

14、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于高压直流输电HVDC设备。

15、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于变速恒频发电VSCF设备。

16、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于频率环系统。

17、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于分频输电系统FFTS。

18、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于航空航天供电系统。

19、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于柔性交流输电系统。

20、根据权利要求3-7中任一项的换流装置，其特征在于该换流装置可用于配电柔性交流输电系统。

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