CN100553337C - 纯三维全相位滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于三维图像处理技术领域，提供一种纯三维全相位滤波方法，该方法基于全相位半带滤波器、提升格式和空间五株抽取和内插器实现，可以实现对三维数字信号的纯三维子带分解，每一级分解把频域空间划分为纯三维低频和纯三维高频两个子带，通过预测算子和更新算子的旋转内插滤波可以实现对三维数字信号的纯三维多级子带分解。其优点是该方法是完全重建的，纯三维子带分解更适合人类的视觉特性。

Description

纯三维全相位滤波方法

技术领域

本发明属于三维图像处理技术领域，具体而言，涉及一种三维数字信号的滤波方法。

背景技术

目前静态图像和视频图像国际编码标准JPEG和MPEG2，MPEG4-AVC(H.264)以及我国视频编码标准AVS均以离散余弦变换(DCT)作为去除空间相关性的核心技术，由于DCT变换的分块处理特性，导致了解压图像或视频图像的方块化效应，这是以DCT变换为核心技术的编码方案的固有缺陷。而以小波变换为核心技术的静态图像和视频编码可以有效地解决方块化效应，如静态图像编码国际标准JPEG2000不论在压缩率还是在恢复图像质量方面都远远超过JPEG标准，在国际化标准组织征集的新一代可分级视频编码标准中有2/3是基于小波变换的提案，其中5/6的提案是以三维小波变换作为去除数据时空相关性的核心技术，可以预见，以三维小波变换为核心技术的视频编码标准是未来视频编码的主流。提案中的三维小波变换是通过张量积构造的可分离三维小波变换，即对时间维、空间行和空间列分别进行一维小波变换，虽然保持了一维小波变换在运算量方面的优点但是导致了一个严重的缺陷，子带分解与人类视觉特性相违背，这对编码是极为不利的。事实上，处理三维信号用纯三维方法更为合理，而通过变换方法把一维滤波器组或纯二维滤波器组转化成的纯三维滤波器组的子带分解仍与人类视觉特性不符。本发明基于全相位变换理论，设计一类完全重建纯三维小波滤波器组，深入挖掘全相位理论在数据压缩方面的潜能。本发明的支持基金为天津高等学校科技发展基金项目(No：20051209)。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的上述不足，提供一种完全重建的纯三维小波滤波方法，从而使三维视频信号的处理更接近人类视觉特性，可以用于子带滤波、去噪以及信噪比和时/空分辨率同时可分级的视频编码等场合。

为此，本发明采用如下的技术方案：一种利用纯三维全相位滤波器组实现的纯三维小波滤波方法，包括下列步骤：

(1)根据下列公式，构造纯三维全相位半带滤波器Q(m，n，l)沿坐标轴正方向的滤波系数，其他方向的系数通过对称延拓得到：

Q(m，n，l)＝(G(m，n)F(m，n，l)G^T(m，n))G^T′(m，n)，0≤m，n，l ≤N-1式中，

F(m，n，l)为纯三维列率响应向量，G(m，n)为全相位列率变换矩阵，″_T″表示转置，″_′″表示在l方向上对数据块进行处理；

(2)再根据纯三维全相位半带滤波器构Q造预测算子(P)和更新算子(U)；

(3)利用移位算子将数字视频信号的帧组沿时间方向移位，再利用抽取器(M)，对原帧组和移位后的帧组进行空间五株抽取处理；

(4)利用由纯三维全相位半带滤波器构造的预测算子(P)和更新算子(U)进行预测和更新，实现对三维数字信号的纯三维子带分解，每一级分解把频域空间划分为纯三维低频和纯三维高频两个子带。

下面给出作为全相位列率变换矩阵G(m，n)的几个具体形式。

一种是令C为DFT正交矩阵，且C(m，n)＝e^-j2πmn/N，其中m，n＝0，1，…，N-1，则：

G(m，n)＝[w(m，n)][C^*(m，n)]，0≤m，n≤N-1

式中 $w(m,n)=\mathrm{diag}[N,N-1,\·\·\·,1]\·\frac{1}{N\sqrt{N}}.$

另一种是

$G(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1/N& m=\mathrm{0,0}\≤n\≤N-1\\ \frac{N-m+\sqrt{2}+1}{N^2}\cos \frac{m(2n+1)\mathrm{\π}}{2N}& 1\≤m\≤N-\mathrm{1,0}\≤n\≤N-1\end{array}\right..$

第三种是

G(m，n)＝[S_k×k][V_k×k]，0≤m，n≤N-1，N＝2^k

式中， $V_{k\×k}=\left\{\begin{array}{cc}1& m=g\left(n\right)\\ 0& \mathrm{others}\end{array}\right..$ g(n)表示对n的二进码进行格雷-倒序运算，

${\stackrel{\‾}{S}}_{(k+1)\×(k+1)}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}({2I}_{k,k}+K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& ({2I}_{k,k}-K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\\ {\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& -{\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\end{array}\right],$ S_0×0＝1，I_k，k为单位阵，

倒序矩阵 $K_{k\×k}(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1& m+n=N\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\right..$

本发明提供的纯三维全相位滤波方法，或称之为纯三维小波滤波方法，具有完全重建性，纯三维子带分解更适合人类的视觉特性，子带数和分解级数n的关系为n+1，即数据结构为2叉树，与传统的可分离三维子带分解的8叉树数据结构完全不同，2叉树数据结构简单，理论成熟，有利于变换域数据的压缩编码。其提升格式实现，以及算子环上的系数特征可以使运算量大大减小。纯三维全相位滤波器组不仅具有可分离三维小波滤波器组在紧支撑、线性相位、消失矩等方面的优点，还具有更适合人类视觉特性的频谱分解，消除了DCT方法中的块效应，P算子和U算子系数的对称性使运算量大幅度减小。利用本发明提供的滤波方法实现的视频编码方案，适用于高清晰电视(HDTV)，多媒体网络视频。与目前具有里程碑标志的H.264视频编码器相比将具有相当的竞争力。

附图说明

图1当N＝2时，点Z(0，0，0)的全相位空间的三维空间表示(图中小立方体的中心为数据所在的空间位置)。图1(a)为Z_0，0，0，图1(b)为Z_0，0，1，图1(C)为Z_1，1，1。

图2纯三维全相位滤波结构，图2(a)为提升格式的滤波实现示意图，图2(b)为提升格式的完全重建实现示意图。

图3空间五株采样结构。

图4尺寸为3×3×3的P算子滤波或U算子滤波实现示意图。

图5一级三维可分离子带分解频域剖分图。

图6一级纯三维子带分解频域剖分图。

具体实施方式

下面通过附图和实施例对本发明做进一步详述。

首先对纯三维全相位半带滤波器的结构做介绍。数字视频信号中的点可以表示为Z(m，n，l)，l表示帧，当l取定某一值时，m，n分别表示在这一帧上的行方向和列方向。对于点Z(m，n，l)，存在包含该点的N³个尺寸为N×N×N的不同的三维数据块，即

$Z_{i,j,k}=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}Z(m-N+1+i,n-N+1+j,l+k)& Z(m-N+1+i,n-N+2+j,l+k)& \·\·\·& Z(m-N+1+i,n+j,l+k)\\ Z(m-N+2+i,n-N+1+j,l+k)& Z(m-N+2+i,n-N+2+j,l+k)& \·\·\·& Z(m-N+2+i,n+j,l+k)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ Z(m+i,n-N+1+j,l+k)& Z(m+i,n-N+2+j,l+k)& \·\·\·& Z(m+i,n+j,l+k)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cccc}Z(m-N+1+i,n-N+1+j,l-1+k)& Z(m-N+1+i,n-N+2+j,l-1+k)& \·\·\·& Z(m-N+1+i,n+j,l-1+k)\\ Z(m-N+2+i,n-N+1+j,l-1+k)& Z(m-N+2+i,n-N+2+j,l-1+k)& \·\·\·& Z(m-N+2+i,n+j,l-1+k)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ Z(m+i,n-N+1+j,l-1+k)& Z(m+i,n-N+2+j,l-1+k)& \·\·\·& Z(m+i,n+j,l-1+k)\end{array}\right]\\ \·\\ \·\\ \·\\ \left[\begin{array}{cccc}Z(m-N+1+i,n-N+1+j,l-N+1+k)& Z(m-N+1+i,n-N+2+j,l-N+1+k)& \·\·\·& Z(m-N+1+i,n+j,l-N+1+k)\\ Z(m-N+2+i,n+N+1+j,l-N+1+k)& Z(m-N+2+i,n-N+2+j,l-N+1+k)& \·\·\·& Z(m-N+2+i,n+j,l-N+1+k)\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ Z(m+i,n-N+1+j,l-N+1+k)& Z(m+i,n-N+2+j,l-N+1+k)& \·\·\·& Z(m+1,n+j,l-N+1+k)\end{array}\right]\end{array}\right],0\≤i,j,k\≤N-1$

式中，分块矩阵从上到下的顺序表示帧序号由大变小，是三维数据的二维表达。这些数据块组成包含该点的全相位空间。

例如，对三维数字信号中的点Z(0，0，0)，当N＝2时，包含点Z(0，0，0)的全相位空间由8个尺寸为2×2×2的三维数据块构成。图1为数据块相对应的三维空间表示。

$Z_{\mathrm{0,0,0}}=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}x(-1,-\mathrm{1,0})& x(-\mathrm{1,0,0})\\ x(0,-\mathrm{1,0})& x\left(\mathrm{0,0,0}\right)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}x(-1,-1,-1)& x(-\mathrm{1,0},-1)\\ x(0,-1,-1)& x(\mathrm{0,0},-1)\end{array}\right]\end{array}\right]$ $Z_{\mathrm{0,0,1}}=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}x(-1,-\mathrm{1,1})& x(-\mathrm{1,0,1})\\ x(0,-\mathrm{1,1})& x\left(\mathrm{0,0,1}\right)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}x(-1,-\mathrm{1,0})& x\left(\mathrm{1,0,0}\right)\\ x(0,-\mathrm{1,0})& x\left(\mathrm{0,0,0}\right)\end{array}\right]\end{array}\right]$ $\·\·\·Z_{\mathrm{1,11}}=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}x\left(\mathrm{0,0,1}\right)& x\left(\mathrm{0,11}\right)\\ x\left(\mathrm{1,0,1}\right)& x\left(\mathrm{1,1,1}\right)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}x\left(\mathrm{0,0,0}\right)& x\left(\mathrm{0,1,0}\right)\\ x\left(\mathrm{1,0,0}\right)& x\left(\mathrm{1,1,0}\right)\end{array}\right]\end{array}\right]$

对每个数据块Z_i，j，k进行三维列率滤波，输出矩阵Y_i，j，k为

Y_i，j，k＝{[C^*][[F]□(([C][Z_i，j，k][C^*])[C^*]′)][C]}[C]′(1)

式中，C为正交变换矩阵，F为纯三维列率响应向量，″*″表示共轭转置，″□″表示纯三维矩阵对应元素相乘，″_′″表示在l方向上对数据块进行处理。

对应同一点Z(m，n，l)存在N³个可能的滤波值Y_i，j，k(N-1-i，N-1-j，N-1-k)，0≤i，j，k≤N-1。为消除截取相位不同对滤波值的影响，取这些可能的滤波值的均值做为Z(m，n，l)的全相位滤波响应，记为Y(m，n，l)。点Z(m，n，l)的全相位滤波也可在时域中用传统的FIR滤波器的卷积形式实现，即

Y(m，n，l)＝Q(m，n，l)*Z(m，n，l)(2)

式中Q即为纯三维FIR全相位滤波器，它具有零相位特性，其沿坐标轴正方向的系数为

Q(m，n，l)＝(G(m，n)F(m，n，l)G^T(m，n))G^T′(m，n)，0≤m，n，l≤N-1(3)

式中，G(m，n)为全相位列率变换矩阵，″_T″表示转置，″_′″表示同上文。Q(m，n，l)的其它系数可以通过对称延拓得到，对应不同正交变换的G(m，n)解析表达式见下文。

①当C为DFT正交矩阵时，即C(m，n)＝e^-j2πmn/N，(m，n＝0，1，…，N-1)时，

G(m，n)＝[w(m，n)][C^*(m，n)]，0≤m，n≤N-1

式中

②当C为为IDCT正交矩阵，即 $C^T(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{N}}& n=\mathrm{0,0}\≤m\≤N-1\\ \sqrt{\frac{2}{N}}\cos \frac{j(2i+1)\mathrm{\π}}{2N}& 1\≤n\≤N-\mathrm{1,0}\≤m\≤N-1\end{array}\right.$ 时，

$G(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1/N& m=\mathrm{0,0}\≤n\≤N-1\\ \frac{N-m+\sqrt{2}+1}{N^2}\cos \frac{m(2n+1)}{2N}& 1\≤m\≤N-\mathrm{1,0}\≤n\≤N-1\end{array}\right.$

③当C为DWT正交矩阵为DWT时，C的递归表示公式为：

$C\left(k\right)=\left[\begin{array}{cc}C(k-1)& C(k-1)\\ C(k-1)& -C(k-1)\end{array}\right],$ k＝1，2，…，n，C(0)＝1，n＝log₂N

G(m，n)＝[S_k×k][V_k×k]，0≤m，n≤N-1，N＝2^k

式中， $V_{k\×k}=\left\{\begin{array}{cc}1& m=g\left(n\right)\\ 0& \mathrm{others}\end{array}\right.,$ g(n)表示对n的二进码进行格雷-倒序运算，

${\stackrel{\‾}{S}}_{(k+1)\×(k+1)}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}({2I}_{k,k}+K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& ({2I}_{k,k}-K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\\ {\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& -{\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\end{array}\right],$ S_0×0＝1，I_k，k为单位阵，

倒序矩阵 $K_{k\×k}(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1& m+n=N\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\right..$

下面参见图2对本发明的三维数字信号纯三维滤波方法所采用的基于提升格式构造的纯三维滤波结构(纯三维滤波器组)进行说明，图中

和

为移位算子，↓M和↑M为空间五株抽取和内插因子，对帧组的空间五株采样结构如图3所示。预测算子P和更新算子U可以由不同尺寸、不同种类的纯三维全相位半带滤波器构造而得。

空间五株采样结构从二维图像五株采样结构引申而来，先将帧组沿时间方向移位，利用提升格式中的抽取器M，例如 $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ -1& -1& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right],$ 对原帧组和移位后的帧组进行抽取，都只保留图3中黑色位置处的值(即只保留帧组中的点Z(m，n，l)，其中m+n+l为偶数)，抽取后两通道的数据量各为原始帧组数据量的一半，因而保持了数据总量不变。

再经过P算子的预测和U算子的更新，可以去除帧组数据的时空相关性，使高频子带系数大部分都为零，低频子带的频率特性更加平滑，这样有利于压缩编码。归一化系数 $K_0=K_1=\sqrt{2}$ 可以使纯三维全相位滤波器对应的小波和对偶小波形成标准双正交基；K₀＝1，K₁＝1/2时则可用于无损压缩。如此反复进行这种预测与更新过程，即提升与对偶提升，便可得到多级子带分解。帧组数据的重构就是预测与更新的逆过程。这种提升结构可以保证重构后的数据与原始帧组数据完全相同。

P算子的构造方法见下文。

令三维列率响应向量F为：

$F(m,n,0)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right]$ $F(m,n,1)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$F(m,n,2)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $F(m,n,3)=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 0≤m，n≤3

当正交变换矩阵为DWT时，可以得出纯三维全相位半带器的单位脉冲响应Q(m，n，l)

$Q(m,n,0)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}0& -8& 0& 48& 0& -8& 0\\ -8& 0& -24& 0& -24& 0& -8\\ 0& -24& 0& 272& 0& -24& 0\\ 48& 0& 272& 1024& 272& 0& 48\\ 0& -24& 0& 272& 0& -24& 0\\ -8& 0& -24& 0& -24& 0& -8\\ 0& -8& 0& 48& 0& -8& 0\end{array}\right]$ $Q=(m,n,\±1)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& -5& 0& -5& 0& 1\\ 0& 20& 0& -24& 0& 20& 0\\ -5& 0& -55& 0& -55& 0& -5\\ 0& -24& 0& 272& 0& -24& 0\\ -5& 0& -55& 0& -55& 0& -5\\ 0& 20& 0& -24& 0& 20& 0\\ 1& 0& -5& 0& -5& 0& 1\end{array}\right]$

$Q(m,n,\±2)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}0& -4& 0& -8& 0& -4& 0\\ -4& 0& 20& 0& 20& 0& -4\\ 0& 20& 0& -24& 0& 20& 0\\ -8& 0& -24& 0& -24& 0& -8\\ 0& 20& 0& -24& 0& 20& 0\\ -4& 0& 20& 0& 20& 0& -4\\ 0& -4& 0& -8& 0& -4& 0\end{array}\right]$ $Q(m,n,\±3)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}3& 0& 1& 0& 1& 0& 3\\ 0& -4& 0& -8& 0& -4& 0\\ 1& 0& -5& 0& -5& 0& 1\\ 0& -8& 0& 48& 0& -8& 0\\ 1& 0& -5& 0& -5& 0& 1\\ 0& -4& 0& -8& 0& -4& 0\\ 3& 0& 1& 0& 1& 0& 3\end{array}\right]$

按照上述抽取方式，根据上述Q值构造出的P算子如下。通过类似的方法可以得到U算子。

$P(m,0,n)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{cccccc}& & -8& -8& & \\ & 48& -24& -24& 48& \\ -8& -24& 272& 272& -24& -8\\ -8& -24& 272& 272& -27& -8\\ & 48& -24& -24& 48& \\ & & -8& -8& & \end{array}\right]$ $P(m,\±1,n)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}& & & 1& & & \\ & & -5& 20& -5& & \\ & -5& -24& -55& -24& -5& \\ 1& 20& -55& 272& -55& 20& 1\\ & -5& -24& -55& -24& -5& \\ & & -5& 20& -5& & \\ & & & 1& & & \end{array}\right]$

$P(m,\±2,n)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{cccccc}& & -4& -4& & \\ & -8& 20& 20& -8& \\ -4& 20& -24& -24& 20& -4\\ -4& 20& -24& -24& 20& -4\\ & -8& 20& 20& -8& \\ & & -4& -4& & \end{array}\right]$ $P(m,\±3,n)=\frac{1}{1024}\left[\begin{array}{ccccccc}& & & 3& & & \\ & & 1& -4& 1& & \\ & 1& -8& -5& -8& 1& \\ 3& -4& -5& 48& -5& -4& 3\\ & 1& -8& -5& -8& 1& \\ & & 1& -4& 1& & \\ & & & 3& & & \end{array}\right]$

利用P算子和U算子进行预测更新的硬件或软件实现方法如图4所示，网格的交叉点表示数字视频信号的像素值，空心圈表示P算子的值，两者做乘法，把所有的乘积再做加法，得到的值作为实心圈位置处的值，(即为对三维数字信号做卷积运算)。

本发明提供的纯三维全相位滤波方法，基于全相位变换理论，有关该理论的完善和应用研究方面的国内外文献和专利申请已经多有报导。本领域的普通技术人员根据本专利申请所公开的内容，完全可以用计算机软件或用DSP编程实现，也可以利用加法器、乘法器等硬件实现。

纯三维的子带分解与传统的可分离子带分解完全不同，二者一级子带分解频域剖分分别如图5，6所示。仿真试验显示三级子带分解后，仅用低频子带系数恢复的视频图像与原始帧组的视觉效果相当，可见纯三维全相位滤波器组在去除数据相关性方面有相当的优越性，再配以适合人类视觉特性的子带量化方法、最佳率失真编码(ECBOT)方法、信噪比和时/空完全可分级编码方法而形成的实用视频编码方案与现有的视频编码方案相比将会有相当的竞争力。

Claims (4)

1.一种纯三维全相位滤波方法，包括下列步骤：

(1)根据下列公式，构造纯三维全相位半带滤波器Q(m，n，l)沿坐标轴正方向的滤波系数，其他方向的系数通过对称延拓得到：

Q(m，n，l)＝(G(m，n)F(m，n，l)G^T(m，n))G^T′(m，n)，0≤m，n，l≤N-1  式中，F(m，n，l)为纯三维列率响应向量，G(m，n)为全相位列率变换矩阵，″_T″表示转置，″_′″表示在l方向上对数据块进行处理；

(2)再根据纯三维全相位半带滤波器Q构造预测算子(P)和更新算子(U)；

(3)利用移位算子将数字视频信号的帧组沿时间方向移位，再利用抽取器(M)，对原帧组和移位后的帧组进行空间五株抽取处理；

(4)利用由纯三维全相位半带滤波器构造的预测算子(P)和更新算子(U)进行预测利更新，实现对三维数字信号的纯三维子带分解，每一级分解把频域空间划分为纯三维低频和纯三维高频两个子带。

2.根据权利要求1所述的纯三维全相位滤波方法，其特征在于，令C为DFT正交矩阵，

C(m，n)＝e^-j2πmn/N，其中m，n＝0，1，…，N-1，则：

G(m，n)＝[w(m，n)][C^*(m，n)]，0≤m，n≤N-1

式中 $w(m,n)=\mathrm{diag}[N,N-1,...,1]\·\frac{1}{N\sqrt{N}}.$

3.根据权利要求1所述的纯三维全相位滤波方法，其特征在于，

$G(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1/N& m=\mathrm{0,0}\≤n\≤N-1\\ \frac{N-m+\sqrt{2}-1}{N^2}\cos \frac{m(2n+1)\mathrm{\π}}{2N}& 1\≤m\≤N-\mathrm{1,0}\≤n\≤N-1\end{array}\right..$

4.根据权利要求1所述的纯三维全相位滤波方法，其特征在于，

G(m，n)＝[S_k×k][V_k×k]，0≤m，n≤N-1，N＝2^k

式中， $V_{k\×k}=\left\{\begin{array}{cc}1& m=g\left(n\right)\\ 0& \mathrm{others}\end{array}\right.,$ g(n)表示对n的二进码进行格雷-倒序运算， ${\stackrel{\‾}{S}}_{(k+1)\×(k+1)}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}(2I_{k,k}+K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& (2I_{k,k}-K_{k,k}){\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\\ {\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}& -{\stackrel{\‾}{S}}_{k\×k}\end{array}\right],$ S_O×O＝1，I_k，k为单位阵，倒序矩阵 $K_{k\×k}(m,n)=\left\{\begin{array}{cc}1& m+n=N\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\right..$

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