CH696749A5 - System zum Ausführen einer Risikoanalyse. - Google Patents

Description

CH 696 749 A5

Beschreibung Hintergrund der Erfindung

[0001] Die vorliegende Erfindung betrifft ein System zum Ausführen einer Risikoanalyse eines Portfolios.

[0002] Die Finanzdienstleistungsindustrie, insbesondere die Abteilungen für das Management von finanziellen Risiken und für die Kostenfestsetzung von Finanzsicherheiten von Versicherungs- und RückVersicherungsfirmen und Banken, hat in der Vergangenheit Werkzeuge und Mittel erstellt für die Abschätzung ihrer finanziellen Risiken. Solche Risiken können mit Kreditinstrumenten und Portfolios von Kreditinstrumenten, wie Wertschriften oder Anleihen, im Zusammenhang stehen. Solche Risiken können ebenfalls mit Equityportfolios verschiedener Währungen oder von Versicherungs- und Rückversicherungsleistungspflichten im Zusammenhang stehen.

[0003] Diese Werkzeuge und Mittel basieren auf Modellen, auf welchen Simulationen durchgeführt werden, um mögliche Bewertungsszenarien zu erzeugen. Im Allgemeinen verwenden diese Simulationen die Monte-Carlo-Methode oder andere geeignete Methoden. Die Modelle verwenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen und werden mit historischen Daten abgeglichen. Solche historische Daten können von verschiedenen Quellen bezogen werden, wie beispielsweise DataStream™.

[0004] Diese Simulationen werden üblicherweise mittels Computerprogrammen als Teil eines Finanzdienstleistungssystems implementiert und werden auf Computerhardware ausgeführt.

[0005] Die Eingangsdaten für die Simulationen sind Risikofaktoren, welche als Zufallsvariablen behandelt werden. Solche Risikofaktoren können Equityindizes, fremde Wechselkurse, Zinssätze, oder Versicherungsverlusthäufigkeiten und -grade sein. Die Resultat- oder Ausgangsdaten solcher Simulationen sind mindestens ein Risikomass in der Form einer numerischen Grösse oder eines numerischen Werts. Üblicherweise können mehrere Werte von Risikomassen verschiedenen Typs erhalten werden.

[0006] Diese Werte von Risikomassen werden an einen Analysten oder Aktuar oder Underwriter weitergeleitet, d.h. an einen menschlichen Vertreter einer Finanzdienstleistungsfirma. Diese Werte von Risikomassen ermöglichen ihm zu entscheiden, ob Handlungen vorgenommen werden sollen, um das Risiko zu verringern. Solche Handlungen können Änderungen in einem Kredit- oder Equityportfolio sein oder in einem Portfolio von Versicherungs- und Rückversicherungsleis-tungspflichten.

[0007] Die Risikomasse bestehen üblicherweise aus einer Vielfalt von Werten, wie beispielsweise der erhaltene Maximalwert, die Standardabweichung der Simulation, eine Fehlmenge, üblicherweise die 99% Fehlmenge, oder ein gefährdeter Wert («value-at-risk», VAR™). Der VAR™ ist der grösstmögliche Verlust, den die Firma mit einem bestimmten gegebenen Wahrscheinlichkeitsgrad während einer bestimmten zukünftigen Zeitperiode im betreffenden Portfolio erwarten kann. Die volle Verteilung selber kann ebenso das Risikomass sein.

[0008] Typischerweise müssen eine grosse Anzahl von Risikofaktoren berücksichtigt werden. Deshalb müssen mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet werden. Da die Risikomasse oft im Auslauf («tail») solcher Verteilungen bestimmt werden, ist eine genaue Modellierung der Auslaufabhängigkeit («tail dependency») wichtig.

[0009] Überdies muss die Abhängigkeit der Risikofaktoren berücksichtigt werden. Allerdings wird die Abhängigkeit oft nicht angemessen modelliert, wenn eine lineare Korrelation verwendet wird. Eine bekannte Lösung für bessere Modellabhängigkeit ist die Verwendung von Copulas.

[0010] Diese Copulas sind im Stand der Technik allgemein bekannt. Sie sind verknüpfte Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen mit standardmässig gleichförmigen Randverteilungen. Sie liefern einen Weg, um zu verstehen, wie Randverteilungen von individuellen Risikos miteinander gekoppelt sind, um verknüpfte Verteilungen von Risikogruppen zu bilden.

[0011] Verschiedene Arten von Copulas sind bekannt. Beispiele von Copulas mit geschlossener Form sind die Gumpel und die Clayton Copulas. Beispiele von impliziten Copulas, d.h. Copulas, für die keine geschlossene Form existiert, sind die Gauss'sche Copula und die t-Copula.

[0012] Es ist zunehmend beliebt geworden, Vektoren von Risikofaktoren-Log-Returns mit so genannten Meta-t Verteilungen, d.h. Verteilungen mit einer t-Copula und frei wählbarer Randverteilung, zu modellieren. Der Grund dafür ist die Fähigkeit der t-Copula, die Extremalabhängigkeit von Risikofaktoren zu modellieren, und ebenso die Einfachheit, mit der die Parameter der t-Copula aus Daten geschätzt werden können. Die Verwendung solcher t-Copulas für die Modellierung von Verlusten von Kreditportfolios wird beschrieben in Frey Rüdiger et al., «copulas and credit models» RISK, October 2001, p.p. 111-114. Die diesbezügliche Offenbarung wird hiermit per Referenz mit eingeschlossen.

[0013] Deshalb werden wir hier nur die Grunddefinitionen und Eigenschaften der t-Verteilungen und t-Copulas wiedergeben. Für mehr Informationen zu Copulas im Allgemeinen siehe Nelsen, R. (1999): An Introduction to copulas. Springer, New York, oder Embrechts, P., A. McNeil, and D. Straumann (2002): «Corrélation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls», in Risk Management: Value at Risk and Beyond, ed. By M. Dempster, pp. 176-223. Cambridge University Press, Cambridge.

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[0014] Bevor der Stand der Technik und die vorliegende Erfindung in mehr Detail beschrieben wird, ist es hilfreich, die verschiedenen Variablen und Werte zu definieren. Die folgende Notation wird in der Beschreibung des Stands der Technik und der Erfindung verwendet:

d Dimension, Anzahl der Risikofaktoren der d-dimensionale herkömmliche reelle Vektorraum

E(X) Erwartungswert der Zufallsvariable X

Var(X) Varianz der Zufallsvariable X

Cov(X,Y) Kovarianz der Zufallsvariablen XundY

X,Y,Z Zufallsvektoren

Cov(X) Kovarianzmatrix von X v Anzahl Freiheitsgrade

S Kovarianzmatrix

Nd(0,S) d-dimensionale Gauss'sehe Verteilung mit

Durchschnittswert 0 und Kovarianz S <|> univariate Gauss'sehe Verteilungsfunktion

Xv2 Chi Square Verteilung mit Freiheitsgrad v p Korrelationsmatrix tv Verteilungsfunktion von Student t mit

Freiheitsgrad v tv~1 Quantilfunktion von Student t tViPd d-dimensionale Verteilungsfunktion von Student t mit Korrelationsmatrix pund Freiheitsgrad v F herkömmliche Gammafunktion det A Determinante von Matrix A

Ht frei wählbare univariate Verteilungsfunktion

U Zufallsvariable mit gleichförmiger Verteilung in

[0,13

t(X,Y) Kendalls Tau Rang Korrelation für

Zufallsvariablen X and Y ak Kredit Multifaktor Modellparameter pUJ Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses

A

p[jt Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich x ist

Ä* Ansagegeschäft idiosynkratischer Parameter

Ek Kreditgefährdung auf Ansagegeschäft lk Verlust gegebener Default

[0015] Es seien z ~ Nd(0,2) und U (Zufallsvariable mit gleichförmiger Verteilung in [0,1]) unabhängig Überdies bezeichnet G die Verteilungsfunktion vonV^î und R=G"1 (U).

[0016] Dann hat der Rd - gewertete Zufallsvektor Y, der gegeben ist durch

Y =(ä Zi,R 2i,R Z3,-,R Za)' (!)

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eine zentrierte t-Verteilung mit Freiheitsgrad v. Es gilt zu beachten, dass für v>2, ""vi kann die Copula von Y geschrieben werden als

:v, Pv

(U) tv,

E Durch das Theorem von Sklar

(2)

wobei für i, j e {1, ..., d} und wobei C die Verteilungsfunktion von V^z/Vs bezeichnet, wobei «~^und Z ~Nd (0,p)

unabhängig sind (d.h. die herkömmliche multivariate t Verteilungsfunktion) und % die Randverteilungsfunktion von bezeichnet (d.h. die herkömmliche univariate t Verteilungsfunktion). Im bivariaten Fall kann der Ausdruck der Copula geschrieben werden als

2*(i

„ s^-2/)i2s t +t^

1 + —■ r

v[ 1 -p\2

-(v+2)/2

dsdt. (3)

[0017] Es gilt zu beachten, dass p12 einfach der herkömmliche lineare Korrelationskoeffizient der entsprechenden bivariaten ^-Verteilung ist, wennv>2. Die Dichtefunktion der t-Copula ist gegeben durch v+1

cv,p

v + d i/dctp r

fy\d'

v2y

V + 1

•1

ng=i i yk l + _£

v v + d

1 +

_i \

y'p y

(4)

wobei >*=<;(«) •

[0018] Es seien ..., Hd frei wählbar stetige, streng ansteigende Verteilungsfunktionen und es sei Y gegeben durch (1) mit einer linearen Korrelationsmatrix 2. Dann hat

X = (fff 1(fv(ri))

(5)

eine tv-Copula und Randverteilungen Hi, ..., Hd. Die Verteilung von X wird als Meta-t Verteilung bezeichnet. Es gilt zu beachten, dass X dann und nur dann eine t-Verteilung hat, wenn Hi,..., Hd univariate tv -Verteilungsfunktionen sind.

[0019] Der Koeffizient der Auslaufabhängigkeit («tail dependence») drückt die begrenzende bedingte Wahrscheinlichkeit der verknüpften Quantilüberschreitung aus. Die t-Copula hat eine obere und untere Auslaufabhängigkeit mit

1 2/v-l(s/v + l ijl-Pu /-^/l + P]2)>

im Gegensatz zu der Gauss'schen Copula, welche 1=0 hat. Aus dem obigen Ausdruck ist auch ersichtlich, dass der Koeffizient der Auslaufabhängigkeit in p12 ansteigt und in v abfällt, wie man erwarten würde, da eine t-Verteilung zu einer Normalverteilung konvergiert, wenn v zur Unendlichkeit hingeht. Überdies geht der Koeffizient der oberen (unteren) Auslaufabhängigkeit zu Null hin, wenn die Anzahl Freiheitsgrade gegen Unendlichkeit hingeht für p12<1.

[0020] Die Abgleichung der Copulaparameter (p, v) wird typischerweise folgendermassen vorgenommen:

(i) Kendalls Tau t(Xì; Yj) wird für jedes Paar Risikofaktoren-Log-Returns geschätzt. Eine Abschätzung des Parameters p in (2) wird erhalten aus der Beziehung t(X, ,Yj) =—arcsin^y) (6)

welche Gültigkeit hat für jede Verteilung mit streng ansteigenden Randverteilungsfunktionen und einer Copula mit einer elliptischen Verteilung, die eine Dichte hat, d.h. im Wesentlichen jede meta-elliptische Verteilung, die man in einer Anwendung berücksichtigen würde. Es gilt zu beachten, dass in hoch-dimensionalen Anwendungen eine Abschätzung von aus (6) möglicherweise modifiziert werden muss, um positive Bestimmtheit zu versichern. Dies kann durch Anwendung der so genannten Eigenwertmethode gemacht werden, d.h. die negativen Eigenwerte werden durch eine kleine positive Zahl ersetzt. Andere Abgleichungen sind auch möglich.

(ii) Jede Log-Return Beobachtung X,. mit ihrer betreffenden Verteilungsfunktion wird transformiert, z.B. Gauss'sches ^ (0,O|) liefert, unter der Meta-t Annahme, ein Sample einer t-Copula mit bekanntem p-Parameter. Schlussendlich wird der Freiheitsgradparameter v durch eine standardgemässe Maximum Likelihood Estimation mit Verwendung von (4) geschätzt.

[0021] Im Schritt (ii) können die empirischen Grenzwerte oder eingepassten Verteilungsfunktionen aus einer parametrischen Familie verwendet werden.

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[0022] Die Simulation aus t-Copula umfasst die folgenden Schritte:

(i) Ziehe unabhängig ein Zufallsvariat Z aus der d-dimensionalen Normalverteilung mit Durchschnittswert Null, Einheitsabweichungen und linearen Korrelationsmatrix p, und einem Zufallsvariat U von der gleichförmigen Verteilung in (0,1).

(ii) Erhalte R durch Setzen von« -g»-Durch (1) erhalten wir ein Zufallsvariat Y aus der t-Verteilung.

(iii) Schlussendlich ist f \

tv (ri).-,fv fad)

V

ein Zufallsvariat der t-Copula.

[0023] Diese meta-t Annahme ist sinnvoll für Risikofaktoren ähnlichen Typs, z.B. fremde Wechselkurse. Allerdings wurde herausgefunden, dass es die Abhängigkeitsstruktur für einen Satz von Risikofaktoren-Log-Returns nicht genau beschreibt, wenn die Risikofaktoren einen sehr unterschiedlichen Typ aufweisen, zum Beispiel eine Mischung von Börsenindizes, fremden Wechselkursen und Zinssätzen.

[0024] Es ist ein allgemeines Problem solcher Modelle, dass die Anzahl verfügbarer historischer Daten ziemlich klein ist, so dass zumindest die Auslaufabhängigkeit kaum modelliert werden kann. Ähnliche Probleme sind auch aus anderen Gebieten bekannt, zum Beispiel in den Kombinationsrückversicherungsportfolios, der Zuverlässigkeit industrieller Komplexe oder in der Wettervorhersage.

Zusammenfassung der Erfindung

[0025] Es ist folglich eine technische Aufgabe der Erfindung, ein System und ein computerimplementiertes Verfahren zu liefern zum Ausführen einer Risikoanalyse durch Kombination eines Mehrfachen von voneinander abhängigen Risikofaktoren, wobei reale historische Daten für die Abgleichung eines Modells verwendet werden, wobei das Modell als Basis für Simulationen für die Vorhersage der Gegenwart oder der Zukunft verwendet wird, und wobei mindestens ein Risikomass erhalten wird, welches ein aktuelles oder zukünftiges Risiko beschreibt oder ein Preis wird erhalten. Das erfindungsge-mässe Verfahren und das Verfahren sollen flexibler und genauer als die bekannten auf dem meta-t Modell basierenden Systeme sein, aber ohne das Erfordernis, effizientere Datenverarbeitungsanlagen verwenden zu müssen und ohne das Erfordernis, eine erhöhte Anzahl Eingangsdaten haben zu müssen, die auf historischen Daten basieren.

[0026] Dies wird durch ein System und ein Verfahren gemäss Anspruch 1 respektive 6 erreicht.

[0027] Die Erfindung verwendet immer noch t-Copulas. Im erfindungsgemässen System und Verfahren sind die finanziellen Risikofaktoren, d.h. die Zufallsvariablen, jedoch in Gruppen von verschiedenen Typen gruppiert, und jede Gruppe erhält ihren eigenen Freiheitsgradparameter. Deshalb kann ein Zufallsvektor erhalten werden, welcher in Untervektoren unterteilt ist. Jeder Untervektor wird durch eine mehrdimensionale t-Verteilung richtig beschrieben, wobei jede mehrdimensionale t-Verteilung einen unterschiedlichen Freiheitsgradparameter hat und die Gruppen untereinander immer noch durch eine Korrelationsmatrix Abhängigkeit aufweisen und eine Auslaufabhängigkeit haben. Nachdem ein solches gruppiertes t-Co-pula Modell erstellt worden ist, kann dieses Modell unter Verwendung von historischen Daten auf dieselbe Weise abgeglichen werden wie ein t-Copula Modell abgeglichen wird, mit der Ausnahme, dass eine maximale Ähnlichkeitsabschätzung (Maximum Likelihood Estimation) von den mehreren Freiheitsgradparametern für jede der mehreren Gruppen von Risikofaktoren separat ausgeführt wird. Die Simulation wird danach auch auf die gleiche Weise ausgeführt, wie wenn das t-Copula Modell verwendet wird, und es werden dieselben Typen von Werten von Risikomassen erhalten.

[0028] Es wurde empirisch herausgefunden, dass die resultierenden Werte von Risikomassen verschieden von demjenigen sind, der unter Verwendung der gewöhnlichen t-Copulas erhalten wird, wenn die gruppierten t-Copulas verwendet werden. Es wurde folglich festgestellt, dass das neue System und Verfahren besser fähig sind, in einem grossen Satz von Risikofaktoren das Risiko zu erfassen.

[0029] Auch wenn die vorliegende Erfindung nachfolgend im Zusammenhang mit einer bevorzugten Ausführung und Verwendungsmethode beschrieben wird, ist es klar, dass es nicht beabsichtigt ist, die Erfindung auf diese Ausführung zu begrenzen. Stattdessen ist beabsichtigt, alle Alternativen, Abänderungen und Äquivalente abzudecken, die im Sinne und innerhalb des Rahmens der vorliegenden Erfindung, wie in den angefügten Ansprüchen definiert, mit eingeschlossen werden können.

Kurze Beschreibung der Zeichnungen

[0030] Die vorliegende Erfindung wird mit Bezug zu der nachfolgenden detaillierten Beschreibung der bevorzugten Ausführungsvarianten im Zusammenhang mit den begleitenden Zeichnungen klarer verständlich, wobei

Fig. 1 das erfindungsgemässe System S und seine Eingangsdaten illustriert und

Fig. 2 das erfindungsgemässe System S in der Verwendung für mehrere Portfolios illustriert.

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Detaillierte Beschreibung der vorliegenden Erfindung

[0031] Im System und Verfahren gemäss der Erfindung ist z ~ Nd (0,p), wobei p irgendeine lineare Korrelationsmatrix ist, unabhängig von U, eine Zufallsvariable gleichförmig verteilt in [0,1]. Zudem bezeichnet Gy die Verteilungsfunktion von fü Gemäss der Erfindung wird eine Unterteilung {1,..., d}in m Untermengen der Grössen s1 sm vorgenommen, wobei m unterschiedlich ist von 1. für k =1 ,...,m. Wenn

Y — R\Zsi si?2-2'si+lì"*'-^2^5i+s2 s (7)

dann hat der Zufallsvektor (Y^.^Ysi)' eine Si-dimensionale t-Verteilung mitVi Graden Freiheit und, hat für k = 1,...,m-1, (Ys1+...+sk+1,...Ys1+...+sk+1)' eine sk+rdimensionale t-Verteilung mit vk+i Graden Freiheit. Schliesslich bezeichnet Fk die Verteilungsfunktion von Yk und Hi,...,Hd sind irgendwelche stetige Verteilungsfunktionen.

X = (^TT1 (^i(yi)) ,-,JPr71(^(^)))'

ist folglich eine Verallgemeinerung des Meta-t Modells, welches ermöglicht, dass unterschiedliche Untermengen der Komponenten unterschiedliche Freiheitsgradparameter vm haben. Sein Copula Modell wird nachfolgend gruppiertes t-Copula Modell genannt.

[0032] Es wird ein Beispiel für d = 4 gegeben, d.h. für vier Risikofaktoren, wobei jeder Risikofaktor zu einer Equity gehört. In diesem Beispiel sind zwei dieser vier Equities aus den USA, zwei von ihnen sind aus der Schweiz. Dieses Beispiel ist nicht repräsentativ, da diese Modelle typischerweise ein Mehrfaches an Risikofaktoren umfassen.

[0033] Die vier Risikofaktoren werden durch vier Zufallsvariablen beschrieben, die untereinander abhängig sind. Gemäss der Erfindung sind die vier Zufallsvariablen in Gruppen unterteilt. Hier wählen wir sie nach Land zu unterteilen: d.h. wir erhalten zwei Gruppen von Risikofaktoren, wobei jede Gruppe ein Land repräsentiert.

[0034] Um die Ausführung einer Simulation gemäss der Erfindung zu ermöglichen, wird ein 4d Zufallsvektor Y = (Yi,Y2,Y3,Y4) mit gruppierter t-Copula Abhängigkeit unter den vier Komponenten benötigt.

[0035] Durch Verwendung von Standardtechniken wird die lineare Korrelation p für die vier Risikofaktoren bestimmt. Dann werden zwei zusätzliche Parameter v1 und v2 eingeführt, welche die Auslaufabhängigkeit berücksichtigen und zudem in Gruppe 1 und 2 unterschiedliche Auslaufabhängigkeiten erlauben. Zum Beispiel vi = 4, das eine hohe Auslaufabhängigkeit beschreibt, und v2 = 25, das eine niedrige Auslaufabhängigkeit beschreibt.

[0036] Z = (Zi ,Z2,Z3,Z4), Gì und G2 sind Zufallsvariablen, die die folgende Verteilung aufweisen:

Z~#4(0,p)

wobei

Xv die übliche Chi Square Verteilung ist.

[0037] U ist unabhängig von Z und gleichförmig verteilt in [0,1]. Die zwei Zufallsvariablen Ri und R2 mit Verteilung sind R1=Gr1(U) R2=G2-1 (U)

[0038] Schliesslich bilde

RlZ2 R2Z3

.-^2^4

[0039] Dies ist per Definition ein Zufallsvektor mit einer gruppierten t-Copula.

[0040] Die gruppierte t-Copula kann in einer Form niedergeschrieben werden, die (3) ähnlich ist. Der Ausdruck ist wegen des mehrdimensionalen Falls jedoch ziemlich komplex und wird deshalb hier nicht explizit wiedergegeben. Der Fachmann weiss, wie dieser Ausdruck geschrieben wird. Wir glauben, dass die Eigenschaften der gruppierten t-Copula am besten aus (7) und der obigen stochastischen Darstellung verständlich werden. Überdies ist ein expliziter Copula Ausdruck zum Abgleichen des gruppierten t-Copula Modells mit historischen Daten und für die Simulation unter Verwendung des abgeglichenen gruppierten t-Copula Modells nicht nötig, wie unten ersichtlich ist:

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[0041] Die Simulation von der erfindungsgemässen gruppierten t-Copula ist nicht schwieriger als die Simulation von einer t-Copula. Die Simulation umfasst die folgenden Schritte:

(i) Ziehe unabhängig ein Zufallsvariat Z von der d-dimensionalen Normalverteilung mit Durchschnitt Null, Einheitvarianzen und linearer Korrelationsmatrix p, und Zufallsvariat U von der gleichförmigen Verteilung [0,1].

(ii) Erhalte Ri,...,Rm durch Setzen von *,-o>>für k = 1 ,...,m. Durch (7) erhalten wir ein Zufallsvariat (Yi,...,Yd)' aus der gruppierten t-Verteilung.

(iii) Schliesslich ist tv 1 (iì)-;tv1 (r S,\tv2{ y S}--'v2 (^1 + '» J ,Vm ^ '

ein Zufallsvariat von der gruppierten t-Copula.

[0042] Die Abgleichung dieses Modells ist identisch mit derjenigen der Meta-t Verteilung, ausser dass die Maximum Like-lihood (ML) Estimation der m Freiheitsgradparameter vk für jede der Risikofaktorengruppen separat durchgeführt werden muss. Der Schlüsselpunkt ist, dass die Näherung r(zi,zy)-~arcsm(p;y) ( 8 )

sehr genau ist. Nochmals, es kann sein, dass die Eigenwertmethode angewandt werden muss, um positive Bestimmtheit zu gewährleisten.

[0043] Im Folgenden wird ein spezifisches Beispiel gegeben, um das erfindungsgemässe Verfahren klarer wiederzugeben:

[0044] Wir betrachten ein international diversifiziertes Kreditportfolio mit K Ansagegeschäften. Es wird angenommen, dass das systematische Risiko von jedem Ansagegeschäft durch einen Satz von Risikofaktoren angemessen beschrieben wird, welches 92 Land/Industrie Equity-Indizes sind, wie in Tabelle 1 gezeigt wird. Diese Risikofaktoren sind in acht Gruppen unterteilt, die durch ein Land definiert sind. Die Unterteilung nach Ländern stellt nur einen Weg der Gruppenbildung dar. Andere Unterteilungen, wie beispielsweise Unterteilungen nach Industriesektor, sind auch möglich.

[0045] Gemäss der Erfindung wird diese gruppierte t-Copula verwendet, die Abhängigkeitsstruktur der Risikofaktoren zu beschreiben, und das Modell durch Spezifikation von normal verteilten Randwerten zu vervollständigen. Die Randwerte für monatliche Erträge werden als normal verteilt angenommen. Andere Verteilungen sind ebenfalls möglich.

[0046] Für unser Beispiel betrachten wir ein einziges Ansagegeschäft k und nehmen einen Zeithorizont T=i Monat. Ik ist die Zustandsvariable für das Ansagegeschäft k im Zeithorizont T- In diesem Beispiel betrachten wir nur Verzugsereignisse (default events) und nicht den Einfluss von Verbesserungen und Verschlechterungen auf die Kreditqualität. Deswegen nehmen wir an, dass lk Werte annimmt in {0,1}: der Wert 0 repräsentiert den Default Zustand, der Wert 1 repräsentiert den Non-Default Zustand.

[0047] Yk ist eine Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion

Fk(x) = ?[Yk^x\ ■

dk e R und setzen jk = 0<=>Yk^dk (9)

[0048] Der Parameter dk wird Default Schwellwert genannt und (Yk, dk) ist das latente Variablenmodell für lk. Die folgende Interpretation wird auf Yk angewandt. Es sei £ der Asset-Wert des Ansagegeschäfts k zur Zeit t. Wir setzen j d.h. Yk ist definiert als der monatliche Log-Return des Asset-Werts. Ein Default tritt ein, wenn der Log-Return des Asset-Werts unter den Schwellwert dk fällt.

[0049] Wir finden Parameter ak und \ e [0,1], so dass

Yk = a'^X+^l — X jç sjç s]ç, (10)

wobei X der Vektor des monatlichen Risikofaktor Log-Returns ist, mit einer gruppierten t-Copula und normal verteilten Randwerten, E [X] = 0 und eK ~ N(0,1), unabhängig von X. Das Modell (10) sagt, dass der monatliche Log-Return vom Asset-Wert durch a'k X mit den Risikofaktoren verbunden werden kann, was die systematische Komponente des Risikos und dieselbe zusätzliche idiosynkratische Komponente e K ergibt. Der Parameter Âk ist der Determinationskoeffizient für das systematische Risiko (wie viel der Varianz kann durch die Risikofaktoren erklärt werden) und s\ = Var (yk) = a'k Cov (x) &k -

[0050] Es sei nk die unbedingte Wahrscheinlichkeit des Defaults des Ansagegeschäfts k, d.h. «-«w « wird als von einem internen oder externen Bewertungssystem oder einem anderen Verfahren gegeben angenommen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ansagegeschäft k kann mit gegebenem Risikofaktor X geschrieben werden als

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g^(x)=p[Yk<^lx]=j>f Fk k) ,

V ^kyft'k Cov(X) a/t ^

wobei<ï>die standardnormale kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet. Im klassischen Model ist Yk normal verteilt und demzufolge kann das nk-Quantilf f{xk) leicht berechnet werden. Hier ist die Verteilungsfunktion von Yk unbekannt: fìm wird durch die empirische Quantilschätzung ^'Mersetzt. Folglich wird die geschätzte bedingte Wahrscheinlichkeit des Defaults-f'i'Xidadurch erhalten, dass in der Gleichung füre*«- su durch ersetzt wird.

[0051] Dieses durch die Gleichungen (9) und (10) beschriebene Defaultmodell wird auf jedes einzelne Ansagegeschäft im Kreditportfolio angewandt. Bei gegebenen Risikofaktoren X werden die Defaults der Ansagegeschäfte als bedingt unabhängig behandelt, d.h. die eK's sind unabhängig.

[0052] Für jedes Szenario X für die Risikofaktoren werden die Defaults der Ansagegeschäfte von unabhängigen Bernoul-li-Mischungs-Verteilungen simuliert mit Parametern Natürlich könnte man Yk auch unter Verwendung von Gleichung (8) simulieren, so dass ein Default eintritt, wenn das simulierte Yk kleiner als der geschätzte Defaultschwellenwert PtM ist. Der Vorteil das Bernoulli-Mischungs-Modell zu verwenden ist, dass es leicht auf ein Bernoulli-Mischungs-Modell für ein Unterportfolio von homogenen Ansagegeschäften erweitert werden kann.

[0053] lk (X) e {0,1} ist der bedingte Defaultindikator für das Ansagegeschäft k, Ek ist die entsprechende Gefährdung und lk ist der verlustgegebene Default. Dann liefert den totalen Kreditverlust im Szenario X.

[0054] Zusammenfasst, die Kreditverlustverteilung wird durch eine dreiphasige Prozedur erhalten:

(i) Simulation der monatlichen Risikofaktor-Log-Returns X von einer gruppierten t-Copula mit normalen Randwerten;

(ii) Für jedes Ansagegeschäft k, Simulation des bedingten Defaultindikators lk(X) e {0,1} von einem Bernoulli-Mischungs-Modell mit bedingter Defaultwahrscheinlichkeit ê*(x) ;

(iii) Schätzung der Kreditverlustverteilung über eine grosse Menge von Szenarien für X durch Integration von Gefährdungen und verlustgegebenem Default in der Verlustfunktion L (X).

[0055] In diesem Beispiel gleichen wir die gruppierte t-Copula und die normal verteilten Randwerte unter Verwendung von monatlichen Risikofaktor Log-Returns von 1992 bis 2002 (also 120 Beobachtungen), die von DataStream™ erhalten werden, ab. Tabelle 1 zeigt die geschätzten Freiheitsgradparameter für verschiedene Untermengen von Risikofaktoren und die gesamten geschätzten Freiheitsgradparameter. Wegen des Unterschieds zwischen verschiedenen Untermengen von Freiheitsgradparametern ist eine gruppierte t-Copula geeigneter für die Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur.

[0056]

Menge

Anzahl Risikofaktoren v

AUS Indizes

9

15

CAN Indizes

14

24

CH Indizes

4

19

FRA Indizes

5

67

GER Indizes

10

65

JPN Indizes

15

14

UK Indizes

15

17

US Indizes

20

21

Total

92

29

Tabelle 1 : Geschätzte Freiheitsgrade v für verschiedene Mengen von Risikofaktoren. Die Indizes der Länder-Equities sind für grosse Industriesektoren.

[0057] Das Kreditportfolio enthält K = 200 Ansagegeschäfte mit der gleichen unbedingten Defaultwahrscheinlichkeit n= 1%. Jedes Ansagegeschäft ist einem Land zugeordnet, so dass es 25 von jedem Land gibt. Die Gewichte ak und ^ (k = 1 ,...,200) werden wie folgt erzeugt. Für XK auswählen wir zufällig Werte zwischen 20% und 60% aus, welche in der Kreditmodellierung üblich sind. Jedes Ansagegeschäft wird dann durch zwei unterschiedliche Risikofaktoren (bezeichnet mit ii und i2) vom Land, dem es zugeordnet wurde beschrieben, und der Wert von4 (und somit auch der von«?) wird von einer gleichförmigen Verteilung in (0,1) gezogen, so dass 4+at=1 ■ Zudem hat jedes Ansagegeschäft eine totale Gefährdung von 1000 CHF und der verlustgegebene Default wird als gleichförmig verteilt in [0,1] angenommen.

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[0058] 500 000 Simulationen wurden unter Verwendung einer 92-dimensionalen Sobol Sequenz durchgeführt. Die simulierten Defaultfrequenzen waren alle im Bereich 0.97%-1.03% und der erwartete Wert der Verlustverteilung des Portfolios wurde mit weniger als 0.2% Fehler geschätzt.

[0059] Im Folgenden werden die Resultate mittels eines Vergleichs zwischen unserem neuen System, welches die gruppierte t-Copula (mit Freiheitsgradparametern wie in Tabelle 1 gezeigt) miteinbezieht, und (1) einem Modell mit t-Copula (mit 29 Freiheitsgraden) und (2) einem Modell mit Gauss'scher Copula präsentiert. Das Gauss'sche Modell wurde als Grundlinie genommen und die Differenzen in den Risikomassen wurden als Prozentwerte ausgedrückt. In der Tabelle 2 werden verschiedene Risikomasse für die Gesamtverteilung des Kreditverlusts gezeigt. Die Berücksichtigung der Auslaufabhängigkeiten mit der t-Copula ergibt eine erhöhte Abschätzung des Risikos. Durch die Einführung der gruppierten t-Copula wurden sogar grössere Risikomasse erhalten. Die 99%-Fehlmenge ist in diesem Fall mehr als 10% grösser als im Normalfall. [0060]

Mass

T29

gruppierte-t

Max. Wert

29.7%

41.4%

Std. Abw.

4.2%

5.3%

95% Quanti I

1.1%

1.7%

99% Quanti I

4.3%

6.0%

95% Fehlmenge

3.4%

4.8%

99% Fehlmenge

8.9%

10.8%

Tabelle 2: Risikomasse des Beispielportfolios unter Verwendung einer t29-Copula oder einer gruppierten t-Copula für die Modellierung der Abhängigkeit unter den 92 Risikofaktoren. Die gezeigten Werte sind die Prozentwertabweichungen von denjenigen, die mit der normalen Copula erhalten werden.

[0061] Die oben beschriebene Erfindung wird vorzugsweise durch Verwendung eines Datenverarbeitungssystems unter Verwendung mindestens eines Computers durchgeführt. Dieses System S, wie in Fig. 1 gezeigt, umfasst:

- Modellierungs- und Abgleichmittel Mod/Cal, welche Mittel Mod/Cal ein Programm umfassen, welches d Risikofaktoren als Zufallsvariablen Xi bis Xd beschreibt, wobei die Zufallsvariablen durch eine Korrelationsmatrix p miteinander in Bezug stehen, wobei diese Mittel

- m Gruppen der Zufallsvariablen Xi bis Xd bilden,

- die Zufallsvariablen Xi bis Xd als d-dimensionalen Zufallsvektor X beschreiben, dadurch m Untervektoren bilden, wobei jeder Untervektor aus einer Gruppe der Zufallsvariablen Xi bis Xd besteht,

- die Abhängigkeiten der Risikofaktoren als implizite Copula eines d-dimensionalen Zufallsvektors Y beschreiben, wobei dieser Zufallsvektor Y aus m Untervektoren Yk (k=1 bis m, m * 1) besteht, wobei jeder Untervektor Yk eine t-Verteilung mit einem Parameter vk hat, wobei dieser Parameter einen Freiheitsgrad beschreibt und wobei seine Copula eine t-Copula ist, wobei d, m und k natürliche positive Zahlen sind;

- Eingangsmittel (a, b, c)

- zum Eingeben oder Auswählen von Abgleichdaten, um durch Verwendung der Modellierungs- und Abgleichmittel Werte für die vk Freiheitsgradparameter separat für jeden der m Untervektoren Yk zu erhalten, und um Werte für die Korrelationsmatrix p für alle Zufallsvariablen Xi bis Xd zu erhalten,

-zum Eingeben oder Auswählen von mindestens einer Risikoabbildungsfunktion L(X), insbesondere eine Gewinn- und Verlustfunktion, und

- zum Eingeben von Portfoliodaten des zu analysierenden Portfolios;

- Simulationsmittel SIM zum Simulieren der Umsetzung der d Risikofaktoren durch Verwendung der abgeglichenen Korrelationsmatrix p, der abgeglichenen Werte vk der Freiheitsgradparameter, der Risikoabbildungsfunktion L(X) und der Portfoliodaten des Portfolios und

- Ausgangsmittel zum Zeigen der Ausgangsdaten der Simulation in der Form eines Risikomasses oder eines Preises.

[0062] In einer bevorzugten Ausführungsvariante umfasst das System mindestens drei Eingangsebenen:

- eine erste Ebene, welche erste Eingangsmittel (a) umfasst zum Eingeben oder Auswählen der Abgleichsdaten, wobei diese Daten durch die Modellierungs- und Abgleichsmittel Mod/Cal verwendet werden;

- eine zweite Ebene, welche zweite Eingangsmittel (b) umfasst zum Eingeben oder Auswählen von mindestens einer Risikoabbildungsfunktion L(X), wobei diese Funktion vorzugsweise durch Risikoabbildungsmittel RM gehandhabt wird; wobei diese Risikoabbildungsmittel RM allein stehende Mittel oder Teil der Simulationsmittel SIM sein können; und

- eine dritte Ebene mit dritten Eingangsmitteln (c) zum Eingeben der spezifischen Portfoliodaten, welche durch die Simulationsmittel SIM verwendet werden.

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[0063] Die Abgieichsdaten sind aile Daten, die für den Abgleich des Modells benötigt werden. Üblicherweise umfassen sie historische Daten, Randwerte und Informationen betreffend der zu bildenden Gruppen, d.h. eine maximale Anzahl von Gruppen und Informationen angesichts derer Aspekte und Kriterien der Gruppen gebildet werden. Die Risikoabbildungsfunktion ist vorzugsweise eine Gewinn- und Verlustfunktion und sie hängt vom allgemeinen Typ des zu analysierenden Portfolios ab. Die Portfoliodaten hängen vom allgemeinen Typ des zu analysierenden Portfolios ab und können täglich ändern.

[0064] Der Abgleich wird periodisch mit aktualisierten Daten durchgeführt, zum Beispiel einmal pro Jahr. Die Risikoabbildungsfunktion muss nur geändert werden, wenn ein neuer allgemeiner Typ des Portfolios eingegeben wird. Die Portfoliodaten werden häufiger eingegeben, d.h. jedes Mal, wenn ein aktualisiertes Risikomass oder ein neuer Preis erhalten werden soll. Abhängig von der Art des Geschäfts und der Art des Portfolios wird dies üblicherweise täglich oder mindestens einmal die Woche vorgenommen.

[0065] Das System kann durch verschiedene Benutzer verwendet werden, was erlaubt, dass die Benutzer unterschiedliche Niveaus von mathematischem Verstehen haben. Die Modellierungs- und Abgleichsschritte werden üblicherweise durch eine erste Person durchgeführt, diese Person hat üblicherweise einen fundamentalen mathematischen Hintergrund. Der Risikoabbildungsschritt wird üblicherweise durch eine zweite Person durchgeführt, die üblicherweise ein gut ausgebildeter erfahrener Risikoanalyst ist und vorzugsweise eine Art mathematischen Hintergrund hat. Die Simulation wird durch einen Risikoanalysten durchgeführt, der für das Portfolio verantwortlich ist.

[0066] Wie in der Fig. 2 gesehen werden kann, erlaubt das System auch Simulationen mit verschiedenen Typen von Portfolios und mit verschiedenen Portfolios innerhalb desselben Typs durchzuführen, wobei dieselben Modellierungs- und Ab-gleichsmittel Mod/Cal verwendet werden. Die Abgieichsdaten umfassen dann Informationen über all die zu bearbeitenden Portfolios. Zum Beispiel, wenn ein erstes Portfolio 50 Equities von 10 Ländern und ein zweites Portfolio 70 Equities von 20 Ländern umfasst, wobei 30 der Equities und 5 der Länder dieselben wie im ersten Portfolio sind, berücksichtigen die Abgleichdaten 90 verschiedene Arten von Equities und können 25 Gruppen von verschiedenen Ländern definieren. Für jeden Typ von Portfolio bestehen separate Risikoabbildungsmittel RM zum Eingeben der spezifischen Risikoabbildungsfunktion L (X). Für jede Art von Portfolio kann eine separate Simulation SIM durchgeführt werden.

[0067] In einer bevorzugten Ausführungsvariante des Systems S umfasst das System einen Datenspeicher zum Speichern der historischen Daten. Es ist allerdings auch möglich, die historischen Daten auf anderen Mitteln zu speichern und die historischen Daten ins System zu übertragen, wenn der Abgleich durchgeführt wird. Es ist auch möglich, einen anderen Computer oder Untersystem für den Abgleich und die Simulation zu verwenden, wobei die Daten vom Abgleichscom-puter oder Abgleichsuntersystem an den Simulationscomputer oder das Simulationsuntersystem übertragen werden. Das erfindungsgemässe System kann dann Speichermittel umfassen zum Speichern der abgeglichenen Korrelationsmatrix p und der abgeglichenen Parameter vk, welche die Freiheitsgrade beschreiben. Auf diese Weise können Simulationen auf verschiedenen Computern gleichzeitig ausgeführt werden.

[0068] Vorzugsweise umfasst das erfindungsgemässe System zudem Eingangsmittel zum manuellen Gruppieren der d voneinander abhängigen Risikofaktoren oder zum manuellen Auswählen einer Gruppierung aus einem Sortiment von einigen Arten von Gruppierungen. Das macht es für einen Benutzer möglich, Risikofaktoren nach den Ländern oder nach den Industriesektoren oder nach anderen Kriterien zu gruppieren.

[0069] Wie ersichtlich ist, ermöglicht die Gruppierung der t-Copulas grosse Mengen von Risikofaktoren verschiedener Klassen zu modellieren. Diese gruppierte t-Copula hat die Eigenschaft, dass die Zufallsvariablen innerhalb jeder Gruppe eine t-Copula mit möglicherweise unterschiedlichen Freiheitsgradparametern in den verschiedenen Gruppen haben. Dies ergibt eine flexiblere, für grosse Mengen von Risikofaktoren geeignetere gesamte Abhängigkeitsstruktur. Das System erlaubt die in den Daten vorhandene Auslaufabhängigkeit genauer zu modellieren als die verbreiteten Gauss'sche Copula und t-Copula, wenn es für einen Datensatz mit historischen Risikofaktoren abgeglichen ist.

Claims (5)

Patentansprüche

1. Ein Datenverarbeitungssystem zum Durchführen einer Risikoanalyse eines Portfolios, wobei das System umfasst

- Modellierungs- und Abgleichmittel, welche Mittel eingerichtet sind d Risikofaktoren als Zufallsvariablen bis Xd zu beschreiben, wobei die Zufallsvariablen durch eine Korrelationsmatrix p miteinander in Bezug stehen, und wobei diese Mittel eingerichtet sind

- m Gruppen der Zufallsvariablen X^ bis Xd bilden,

- die Zufallsvariablen X^ bis Xd als einen d-dimensionalen Zufallsvektor X zu beschreiben, dadurch m Untervektoren zu bilden, wobei jeder Untervektor aus einer Gruppe der Zufallsvariablen X1 bis Xd besteht,

- die Abhängigkeiten der Risikofaktoren als die implizite Copula eines d-dimensionalen Zufallsvektors Y zu beschreiben, wobei, dieser Zufallsvektor Y aus m Untervektoren Yk besteht und dabei k=1 bis m, m * 1, d, m und k positive natürliche Zahlen sind, wobei jeder Untervektor Yk eine t-Verteilung mit einem Parameter vk hat, wobei dieser Parameter ein Freiheitsgrad beschreibt und wobei seine Copula eine t-Copula ist;

- Eingangsmittel, welche eingerichtet sind

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- zum Eingeben oder Auswählen von Abgleichdaten, um durch Verwendung der Modellierungs- und Abgleichmittel Werte für die vk Freiheitsgradparameter separat für jeden der m Untervektoren Yk zu erhalten, und um Werte für die Korrelationsmatrix p für alle Zufallsvariablen X1 bis Xd zu erhalten,

- zum Eingeben oder Auswählen von mindestens einer Risikoabbildungsfunktion L(X), insbesondere eine Gewinn-und Verlustfunktion, und

- zum Eingeben von Portfoliodaten des zu analysierenden Portfolios;

- Simulationsmittel, welche eingerichtet sind zum Simulieren der Umsetzung der d Risikofaktoren durch Verwendung der abgeglichenen Korrelationsmatrix p, der abgeglichenen Werte vk der Freiheitsgradparameter, der Risikoabbildungsfunktion L(X) und der Portfoliodaten des Portfolios, und

- Ausgangsmittel, welche eingerichtet sind zum Zeigen der Ausgangsdaten der Simulation in der Form eines Risiko-masses oder eines Preises.

2. Das System nach Anspruch 1, welches System mindestens drei Eingangsebenen umfasst, eine erste Ebene, welche erste Eingangsmittel umfasst zum Eingeben oder Auswählen der Abgieichsdaten, eine zweite Ebene, welche zweite Eingangsmittel umfasst zum Eingeben oder Auswählen der mindestens einen Risikoabbildungsfunktion L(X) und eine dritte Ebene mit dritten Eingangsmitteln zum Eingeben der Portfoliodaten.

3. Das System nach einem der Ansprüche 1 oder 2, welches System einen Datenspeicher zum Speichern der historischen Daten umfasst.

4. Das System nach einem der Ansprüche 1 bis 3, welches System zudem Eingangsmittel umfasst zum manuellen Gruppieren der d voneinander abhängigen Risikofaktoren oder zum manuellen Auswählen einer Gruppierung aus einem Sortiment von einigen Arten von Gruppierungen.

5. Das System nach einem der Ansprüche 1 bis 4, welches System Speichermittel umfasst zum Speichern der abgeglichenen Korrelationsmatrix p und der abgeglichenen Parameter vk, welche die Freiheitsgrade beschreiben.

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