AT403217B - Digitalfilter für spektralanalysen - Google Patents

Description

AT 403 217 B

Die Erfindung betrifft ein Digitalfilter zur fortlaufenden, zu vorgegebenen Abtastzeitpunkten (t = ti.fc...) gehörenden Gewinnung von Spektralkomponenten (Y(k,t)) der diskreten Fourier-Reihe einer Filtereingangsfolge, die ein mit der Abtastfrequenz abgetastetes, ursprünglich analog vorliegendes Signal darstellt, wobei jede, einer bestimmten Spektralfrequenz (k) zugeordnete Spektralkomponente (Y(k,t)), bestehend aus Realteil Yi(k,t) und Imaginärteil Y2(k,t)) gleich ist der Summe N-l Y(k,t) x(t+n)e-^

il N k —n n=0 einer vorgegebenen Anzahl N von Produkten der N jüngsten Abtastwerte x(t + n) mit N zugeordneten Stützwerten e

-J 2 J7 k cos

2 31 k N j sin

2yk N der periodischen Gewichtsfunktionen Cosinus und Sinus, die zu jedem Abtastzeitpunkt (t) in einem rekursiven Rechenprozeß durch Multiplikation der zum vorhergehenden Abtastzeitpunkt (t-1) geltenden Summe mit einem Phasenfaktor e + j

217 k N

COS

2 31 k N sin

2 jj k N regeneriert wird, unter Verwendung mindestens eines Summierers (S), der der zum vorhergehenden Abtastzeitpunkt geltenden und mit dem Phasenfaktor multiplizierten Summe eine aus der Filtereingangsfolge gewonnene Eingangsgröße hinzuzählt.

Bei einer hohen Verarbeitungsgeschwindigkeit von Signalen ist auch eine rasche Erkennung von bestimmten Spektralkomponenten, also Frequenzanteilen dieser Signale erforderlich. Die Spektralanalyse eines Digitalsignales erfolgt durch die Auswertung eines Blockes einer vorgegebenen Anzahl N von aufeinanderfolgenden Abtastwerten dieses Digitalsignales, die mit zugeordneten Stützwerten periodischer Gewichtsfunktionen multipliziert werden, wonach, wie oben beschrieben, die solcherart aus den Abtastwerten eines Blockes gewonnenen Produkte zu den die Spektralkomponenten darstellenden Summen zusammengefaßt werden. Bei einem bekannten Verfahren zur Gewinnung von Spektralkomponenten werden jeweils N Abtastwerte eines Blockes während der Dauer von N Abtastintervallen zum Zweck der Errechnung der jeweiligen Spektralkomponente gespeichert, wonach die Einspeicherung der Abtastwerte des nächsten Blockes und die Errechnung des nächsten Spektralwertes erfolgt. Bei diesem Verfahren können somit die einzelnen Spektralkomponenten nur in Abständen von N Abtastintervallen erkannt werden, was die Geschwindigkeit der Signalverarbeitung erheblich beschränkt, denn in der Praxis liegt der Wert der Zahl N in der Größenordnung von 1000 bis 2000, vorzugsweise beträgt er 1024. Bei dieser Methode ergibt sich daher eine stark verzögerte Frequenzauswertung mit willkürlichen Beginnzeiten, denn die Zeitpunkte, zu denen das Auftreten eines Signales einer bestimmten Frequenz festgestellt werden kann, reduzieren sich auf die Anfangs- bzw. Endzeitpunkte der von je N Abtastintervallen gebildeten Blöcke.

Der im Zuge der Errechnung der Spektralkomponenten angewendete rekursive Rechenprozeß liefert in speziellen Fällen instabile Ergebnisse. Wie bereits in der Einleitung ausgeführt, besteht dieser Rechenprozeß aus einer Multiplikation der jeweils errechneten Summen mit dem Phasenfaktor, dessen Absolutbetrag gleich eins ist. Bei der digitalen Darstellung ist jedoch nicht gewährleistet, daß der genaue Wert "Eins" eingehalten, vor allem aber nicht überschritten wird. Bei der digitalen Multiplikation ist nämlich ein Quantisierungsrauschen unvermeidlich, das Resultate vermittelt, denen fälschlicherweise Phasenfaktoren mit Absolutwerten, die größer als eins sind, zugrunde zu liegen scheinen. Der rekursive Rechenprozeß, der eine Vielzahl von Multiplitaionen mit verfälschten Faktoren aufsummiert, liefert instabile Resultate leicht einsichtig dann, wenn die abgetasteten Signale Frequenzen enthalten, die nahe der Spektralfrequenz k sind.

Eine Verfälschung der Ergebnisse des rekursiven Rechenprozesses kann sich aber auch durch eine, durch das Quantisierungsrauschen verfälschte, Eingabe der Eingangsgröße im kritischen Frequenzbereich ergeben. • 2

AT 403 217 B

Die Erfindung hat sich daher die Aufgabe gestellt, ein Digitalfilter für Spektralanalysen mit dem eingangs angeführten Aufbau zu schaffen, bei dem die durch Quantisierungseffekte bedingten Instabilitäten vermieden werden. Erfindungsgemäß wird dies dadurch erzielt, daß an den Filtereingang eine Kette von N jeweils um ein Abtastintervall verzögernden Verzögerungsgliedern sowie ein Differenzrechner angeschlossen sind, die zur Bildung der Differenz zwischen dem jeweiligen aktuellen Abtastwert und dem mit einem ersten Korrekturfaktor (1-«)N multiplizierten, um die Anzahl N von Abtastschritten zurückliegenden Abtastwert dienen und daß dem Ausgang des Differenzrechners mindestens ein Spektralrechner mit rekursiver Teilstruktur zweiter Ordnung nachgeschaltet ist, in dem das Ausgangssignal des Differenzrechners einem ersten Eingang des Summierers zugeführt ist, der auch einen zweiten Eingang für Rückführwerte aufweist und daß der jeweilige Rückführwert gleich ist dem um ein Abtastintervall verzögerten Abtastwert, der einerseits mit dem Faktor 2 cos

2Jk N und anderseits mit einem zweiten Korrekturfaktor (Ή) multipliziert ist und daß der Summierer einen dritten Eingang für einen weiteren Rückführwert besitzt, der gleich ist dem um zwei Abtastintervalle verzögerten Abtastwert multipliziert mit dem negativen Quadrat -(1-e)2 des zweiten Korrekturfaktors (1 -e) und daß der erste Korrekturfaktor (1-«)N gleich ist der N-ten Potenz des zweiten Korrekturfaktors, der selbst gleich ist dem Wert 1-« , wobei e eine marginale Größe 0<««1 ist.

Die in den Rechengang eingefügten Multiplikationen mit den Korrekturfaktoren (1 -t), (1-«)2 und (1-«)N gewährleisten rekursive Rechen Vorgänge ohne Gefahr des Auftretens von instabilen Rechenergebnissen. Der Wert der marginalen Größe richtet sich nach dem Ausmaß der digitalen Auflösung der Rechengrößen, die wiederum das Ausmaß des Quantisierungsrauschens bestimmt.

Gemäß einem weiteren Merkmal der Erfindung ist zur Bildung des Realteiles (Yi (k,t)) der Spektralkomponente an den Spektralrechner eine Kettenschaltung erster Ordnung angeschlossen, in der deren Eingangssignal mit dem Faktor und das um ein Abtastintervall verzögerte Eingangssignal mit dem negativen zweiten Korrekturfaktor -(1 -e) multipliziert ist, wobei diese beiden Teilsignale zu dem, den Realteil (Vi (k.t)) bildenden, Ausgangssignal summiert werden und daß, zur Bildung des Imaginärteiles (Y2(k,t)) der Spektralkomponente, eine Multiplikation des Ausgangssignales des Spektralrechners mit dem Faktor sin 2 fl k N vorgesehen ist.

Die in Anlehnung an die Darstellung komplexer Größen als "Realteil" bzw. "Imaginärteil" der Spektralkomponenten bezeichneten Größen geben mit ihrer Relation zueinander einen Aufschluß über spezielle Phasenbeziehungen des abgetasteten Signales.

Eine zu den angeführten Schaltungen äquivalente Schaltung · die mit der minimal nötigen Anzahl von nur zwei Verzögerungsgliedern auskommt - ist dadurch gekennzeichnet, daß an den Differenzrechner ein erster Summierer angeschlossen ist, der mit seinem Ausgang an ein erstes, um ein Abtastintervall verzögerndes Verzögerungsglied geschaltet ist, von dessen Ausgang einerseits das Signal mit dem Faktor (1-6 )cos multipliziert an den ersten Summierer rückgekoppelt, anderseits nach Multiplikation mit dem Faktor

2 J7 k N (l-£ )sin 3

AT 403 217 B einem zweiten Summierer zugeführt ist, wobei der zweite Summierer ein zweites, um ein Abtastintervall verzögerndes Verzögerungsglied versorgt, dessen Ausgangssignal wiederum mit dem Faktor (1- £ )cos multipliziert zum zweiten Summierer rückgekoppelt ist und anderseits nach Multiplikation mit -d- £)sin IjÜl dem ersten Summierer zugeführt ist und daß zur Bildung des Realteiles der Spektralkomponente ein dritter Summierer vorgesehen ist, der die Summe des vom Eingang des ersten Verzögerungsgliedes abgegriffenen und mit dem Faktor multiplizierten Signales und des vom Eingang des zweiten Verzögerungsgliedes abgegriffenen und mit dem Faktor multiplizierten Signales bildet und daß zur Bildung des Imaginärteiles der Spektralkomponente ein vierter Summierer vorgesehen ist, der die Summe des vom Eingang des ersten Verzögerungsgliedes abgegriffenen und mit dem Faktor multiplizierten Signales und des vom Eingang des zweiten Verzögerungsgliedes abgegriffenen und mit dem Faktor

COS multiplizierten Signales bildet.

Der Betrieb des erfindungsgemäßen Digitalfilters erfolgt in der Weise, daß zum Startzeitpunkt alle zwischenspeichernden Verzögerungsglieder den Wert "Null" eingespeichert erhalten.

Die Zeichnung Zeigt in Fig. 1 Diagramme, die die Bildung einer Spektralkomponente erläutern. In Fig. 2 ist die Relation der Gewichtsfunktion zu dem Abtastsignal zu drei verschiedenen Abtastzeitpunkten dargestellt. Eine Rechnerschaltung zur Gewinnung einer Spektralkomponente aus der um ein Abtastintervall zurückliegenden Spektralkomponente ist in Fig. 3 schematisch dargestellt. Die Fig. 4 und 5 zeigen praktisch brauchbare Rechnerschaltungen mit reellen Koeffizienten zur exakten Berechnung der Spektralkomponenten.

Bekanntlich bestehen zwischen den Spektralkomponenten X(k,t) eines abgetasteten Signales x(t) und den Fourierkoeffizienten eines kontinuierlichen Signales Analogien, da letztere als bestimmte Integrale von Produkten dieses Signales mit Cosinus- und Sinus-Funktionen entsprechender Frequenz k definiert sind. Bei Abtastsignalen treten anstelle dieser Integrale endliche, über jeweils einen Block von N Abtastsignalen erstreckte Summen.

In der digitalen Signalverarbeitung repräsentiert sich ein zeitabhängiges Signal, im allgemeinen ein Tonsignal, als eine Funktion x(t) von diskreten, zeitlich äquidistanten Abtastzeitpunkten t, die den natürlichen Zahlen t = 1,2... zugeordnet sind. Hierbei bedeutet t jenen Zeitpunkt, zu dem die Summenbildung für den aktuellen Wert 4

AT 403 217 B Y(k,t) N-l

t + n)e~·^

2 Hk N Π der Spektralkomponente begonnen wird. Mit t + n ist jeweils einer von den zu einem Block von N Abtastwerten gehörenden Abtastzeitpunkten bezeichnet, der um n(n = 0,1,2...N-1) Abtastintervalle gegenüber dem aktuellen (gegenwärtigen) Zeitpunkt t’ zurückliegt. Mit "Zeitfenster" ist die Zeitspanne von N Abtastintervallen bezeichnet, die mit dem Zeitpunkt t(n = 0) beginnt und die mit dem aktuellen Zeitpunkt t' = t + N-1(n = N-1) endet. Über die innerhalb des Zeitfensters liegenden Abtastwerte x(t + n) multipliziert mit den zugehörigen Gewichtswerten e -j

2Λ k N n wird bei jedem Abtastzeitpunkt die obige Summe gebildet.

Im Gegensatz zu den bekannten Verfahren zur Bildung von Spektralkomponenten, bei denen die Summenbildung nur einmal je Zeitfenster und demnach nur in langen Zeitabständen von N Abtastintervallen erfolgt, bietet die Erfindung den Vorteil, daß die aktuelle Spektralkomponente zu jedem einzelnen Abtastzeitpunkt vorliegt. Dies wird dadurch bewerkstelligt, daß die Summe zu Beginn des Verfahrens vom Wert Null ausgehend - wie man leicht nachprüft - dadurch das erste Mal gebildet wird, daß für die ersten N-1 Abtastwerte am Ausgang des Differenzbildneres D das Eingangssignal direkt auftritt und danach mit jedem Abtastschritt auf den laufenden Wert korrigiert wird.

Hierzu ist zunächst zu untersuchen, in welchem Ausmaß sich die, die Spektralkomponente repräsentierende, Summe während eines Abtastintervalles, also beim Übergang vom Zeitpunkt t zum nächsten t +1 ändert. Die totale Änderung der Summe setzt sich aus drei speziellen Änderungen zusammen. Erstens wird der jüngste Abtastwert zur Summe addiert und zweitens der älteste Abtastwert, der nun nicht mehr zum geltenden Block der Abtastwerte dazugehört, von der bisherigen Summe abgezogen. Drittens ändert sich schließlich durch die Verschiebung des Zeitfensters relativ zur Zeitskala die Zuordnung zwischen den einzelnen Abtastwerten und den mit diesen zu multiplizierenden Werten der Gewichtsfunktion.

Zur Verdeutlichung dieser Verhältnisse dienen die Diagramme der Fig. 1 und Fig. 2. In beiden Figuren sind in den obersten Diagrammen Folgen von Abtastwerten x(t) dargestellt, die durch Abtastung eines ursprünglich in analoger Form vorliegenden Signales entstanden sind. In den darunterliegenden Diagrammen sind als Gewichtsfunktionen G(t) je zwei Perioden von Cosinus-Funktionen dargestellt. Diese zwei Perioden erstrecken sich als "Zeitfenster" über N Abtastintervalle. Demgemäß hat die Frequenz k der damit zu erhaltenden Spektralkomponente im gezeigten Beispiel den Wert zwei.

Fig. 1 zeigt im untersten Diagramm die Produkte S(t) der einzelnen Werte in den darüberliegenden Diagrammen, also S(t) = x(t)G(t). Die dem betreffenden Zeitfenster zugeordnete Spektraikomponente ist gleich der Summe der einzelnen Produkte, also der S(t)-Werte, unter Berücksichtigung der einzelnen Vorzeichen.

Fig. 2 zeigt hingegen die zeitbedingte Verschiebung des Zeitfensters gegenüber den Abtastwerten x(t) anhand von drei Positionen des Zeitfensters zu drei aufeinanderfolgenden Abtastzeitpunkten t,t + 1 und t+2. Mit jedem Abtastschritt rückt die Gewichtsfunktion um ein Abtastintervall in Richtung der positiven Zeitachse vor. Dabei gelangt der jünste Abtastwert in den Bereich des neuen Zeitfensters, während der älteste Abtastwert aus dem Zeitfenster verschwindet. Schließlich ändert sich die Position der innerhalb des Zeitfensters befindlichen Abtastwerte relativ zu den zugeordneten Werten der Gewichtsfunktion. Der diese Zusammenhänge im einzelnen beschreibende mathematische Ansatz ist im folgenden erläutert:

Zur Vereinfachung der Darstellung ist im folgenden der Ausdruck e -j

M N durch den Wert W ersetzt. Damit ergibt sich für die Spektralkomponente die Summe 5

AT 403 217 B Y(k,t)

t+n)W n. k

Hierbei ist noch zu beachten, daß die Werte W° und WNk gleich 1 sind, da W° = e° = 1 und WNk = e-i 2»k - 1 fQr a||e vverte von k = 0,1 ...N. Da Linearität und Zeitinvarianz vorliegen, sind nachfolgende Darlegungen von der konkreten Wahl des Zeitpunktes t unabhängig, weshalb auch die Ergebnisse, z.B. auf t' = t + N-1, übertragen werden können.

Zur obigen Summe wird beim Übergang von t zu t + 1 der jüngste Wert x(t + N) im neuen Zeitfenster hinzugefügt und der älteste Wert x(t) abgezogen. Explizit läßt sich dies folgendermaßen ausdrücken: Y(k,t)+ x(t+N)-x(t) = = x(t) + x(t + 1)W1 k + x(t + 2)W2k + ... + x(t + N-1)W'N~1)k + x(t+N)-x(t) = = x(t+1)-W1 k + x(t + 2)W* k +... + x(t + N)WNk

Wird dieser Ausdruck durch Wk dividiert bzw. mit W'k multipliziert, so erhält man für die rechte Seite der obigen Gleichung: x(t +1) + x(t + 2)Wk +... + x(t +1 + N-1 )W<N_ 1)k = Y(k,t + 1).

Zusammengefaßt ergibt sich - ohne Berücksichtigung einer stabilisierenden Korrektur - für die Errechnung einer Spektralkomponente aus der um ein Abtastintervall zurückliegenden Spektralkomponente die folgende Formel: Y(k,t +1) * W" k[Y(k,t) + (x(t + N)-x(t))] .

Jede einzelne Spektralkomponente resultiert erstmals nach dem Start aus einer N-fachen Anwendung der obigen Rechenvorschrift, welche danach sozusagen eine Korrektur von Y(k,t) zur Gewinnung von Y-(k,t +1) aus Y(k,t) beschreibt. Hierbei tritt eine wiederholte Multiplikation mit dem rekursiven Faktor W~k auf, was, wie bereits erwähnt, bei der digitalen Signalverarbeitung nur dann zu stabilen, also konvergenten Lösungen führt, wenn garantiert ist, daß der Multiplikator |W“11< 1 ist. Dies wird erfindungsgemäß dadurch erzielt, daß der rekursive Faktor W- k mit einem zusätzlichen Faktor (1 -e) versehen wird, der auf jeden Fall verhindert, daß die obige Bedingung durch das Quantisierungsrauschen bei der digitalen Darstellung des Faktors W_1 verletzt wird.

Wenn der Block von Abtastwerten, die zur Berechnung der Spektralkomponenten herangezogen werden, sehr viele Abtastwerte enthält, d.h., wenn der Wert der Zahl N sehr groß ist, dann kann die N-fach wiederholte Multiplikation mit dem Faktor (1-«) eine Verfälschung der Resultate im Ausmaß von (1-e)N zur Folge haben. Dieser Effekt läßt sich dadurch kompensieren, daß bei jeder Neuberechnung der Spektralkomponente der jeweils neu zugeführte Eingabewert, der die Differenz zwischen dem jüngsten und dem ältesten Abtastwert darstellt, einer Korrektur unterzogen wird, die darin besteht, daß der in Abzug geratende älteste Abtastwert x(t) mit dem Faktor (1 -*)N multipliziert wird.

Die Zahl «<<1 ist eine marginale Größe, die innerhalb des durch die Genauigkeit der jeweils angewendeten Analog-Digital-Umsetzung gegebenen Toleranzbereiches liegt.

Unter Berücksichtigung aller bei der digitalen Signalverarbeitung erforderlichen Korrekturen zur Vermeidung von instabilen Zuständen ergibt sich aus allen obigen Bedingungen die folgende Rechenvorschrift.· Y(k,t + 1)=(1 t)W~ k Y(k,t) + W"k [x(t + N)-(1 -*)Nx(t)].

Fig. 3 der Zeichnung zeigt das Prinzipschaltbild eines Rechners zur fortlaufenden rekursiven Berechnung der Spektralkomponenten gemäß obiger Rechenvorschrift. Im einzelnen besteht die Schaltung aus einem Filtereingangsbereich, der eine an den Signaleingang E angeschlossene Kette von N Verzögerungsgliedern aufweist, die einheitlich mit V bezeichnet sind und von denen jedes seinen Eingangswert um je ein Abtastintervall verzögert an seinen Ausgang weitergibt. Der jüngste Abtastwert ist mit x(t + N) bezeichnet und der älteste demnach mit x(t). Ein Multiplizierglied M multipliziert den ältesten Abtastwert x(t) mit dem Korrekturwert (1-«)N und der so gewonnene Faktor wird mittels eines Differenzrechners D vom jüngsten Abtastwert x(t + N) abgezogen. Der vom Differenzrechner D ausgegebene Wert ist zugleich der Ausgangswert des Filtereingangsbereiches und lautet somit: d(t) = x(t + N)-(1-f)Nx(t). 6

AT 403 217 B Für jede der den einzelnen Spektralfrequenzen k zugeordneten Spektralkomponenten Y(k,t) ist je eine eigene Rechnereinheit vorzusehen, die an den Ausgang des Filtereingangsbereiches anzuschließen ist. In Fig. 3 ist dies durch eine mit dem Ausgang des Differenzrechners D verbundene Leitung L symbolisiert, an die je nach Bedarf eine oder auch mehrere (wegen k = 0,1......N-1) Rechnereinheiten für jeweils eine der

Spektralfrequenzen k anzuschließen sind.

In Fig. 3 ist eine einzelne Rechnereinheit dargestellt, die im folgenden als "Spektralrechner" bezeichnet ist. Im einzelnen besitzt ein Spektralrechner mindestens einen Summierer S mit mindestens zwei Eingängen für die zu summierenden Werte, von denen der eine an die Leitung L bzw. an den Ausgang des Differenzrechners D angeschlossen ist, der ihm zu jedem Abtastzeitpunkt die korrigierte Differenz d(t) zwischen ältestem und jüngstem Abtastwert zuführt. Ein an den Ausgang des Summierers S angeschlossenes Verzögerungsglied V konserviert diesen Ausgangswert für die Dauer eines Abtastintervalles. Innerhalb dieses Abtastintervalles wird der Ausgangswert, der im laufenden Betrieb die Spektralkomponete Y(k.t) des vorangegangenen Abtastintervalles ist,mittels eines Multipliziergliedes M’ mit dem Faktor (1-«)W~k versehen und sodann über den zweiten Eingang dem Summierer S zugeführt und dort mit dem nächsten Eingangswert d(t) dem dort gespeicherten Wert Y(k,t) hinzugefügt. Auf diesem Wege wird ein vom Ausgang A des Summierers S abgreifbarer Basiswert Y(k,t + l).Wk gebildet, aus dem, - in Fig. 3 nicht gezeichnet - durch nachfolgende Multiplikation mit W_k,die für den nächsten Abtastzeitpunkt geltende Spektralkomponente Y-(k,t + 1) = (1-e)W-k Y(k,t) +W-kd(t) errechnet wird. Die obigen Berechnungen zur Gewinnung der Spektralkomponente sind unter Verwendung der Rechenvorschriften für komplexe Zahlen durchgeführt worden, weshalb sie nur der Veranschaulichung, aber nicht direkt der praktischen Realisierung dienen können. Da die Spektralkomponente selbst auch ein komplexer Wert, nämlich Y(k,t) = Yi(k,t)+jY2(k,t) ist, bedarf es z.B. im Anschluß an den Ausgang A einer zusätzlichen Schaltung, so wie sie beispielsweise in der Ausführung nach Fig. 4 dargestellt ist, die aus dem Basiswert sowohl den Realteil als auch den Imaginärteil der Spektralkomponente voneinander getrennt berechnet.

Die Bildung des Basiswertes selbst wirft - über die getrennte Behandlung von Real- und Imaginärteil -wegen des komplexen Koeffizienten W'k, hinausgehende, praktische Probleme auf, die wie folgt gelöst werden:

Bei der Rechnerschaltung nach Fig. 4 wird das im Filtereingangsbereich gewonnene Differenzsignal d(t) über die Leitung L einem Summierer S1 zugeführt. Die Schaltung selbst ist unter Zugrundelegung der folgenden Rechnung aufgebaut:

Ausgehend von der oben abgeleiteten Formel für die Spektralkomponente Y(k,t + 1) * (1-«)W'k Y(k,t) + W'kd(t) ergeben sich für zwei aufeinanderfolgende Zeitpunkte die folgenden beiden Formeln: Y(k,t +1 )-(1-«)WkY(k,t) = W_kd(t) Y(k,t)*(1 -<)W'kY(k,t-1) = W_kd(t-1)

Multipliziert man die letzte Gleichung mit (l-«)Wk und subtrahiert man sie von der vorletzten Gleichung, so erhält man unter Berücksichtigung der Tatsache, daß (Wk+W-k) = 2COS k ist, den folgenden Ausdruck: Y(k,t+1)-(1- £ )2cos ^-^Y(k,t)-Cl-£ )2Y(k,t-l) = = cos —d (t) - (i - £ )d (t -1) + j si n

Der auf der linken Seite stehende Ausdruck beschreibt eine rekursive Beziehung mit reellen Koeffizienten zwischen drei aufeinanderfolgenden Spektralkomponenten in Abhängigkeit von dem jeweiligen auf der rechten Seite stehenden komplexen Ausdruck, der von zwei aufeinanderfolgenden Differenzsignalen gebildet wird. Wenn beispielsweise das Differenzsignal d(t) über mehrere Abtastschritte hinweg verschwindet, so bleibt der auf der rechten Seite stehende Ausdruck während dieser Zeit gleich null und der auf der linken Seite stehende Ausdruck beschreibt, wie sich zu jedem Abtastschritt die jeweils zu ermittelnde Spektral- 7

AT 403 217 B komponente Y(t + 1) nur aus den beiden vorausgehenden, bereits bekannten Spektralkomponenten Y(t) und Y(t-1) errechnet.

Die Bildung des auf der linken Seite der Gleichung stehenden Ausdruckes wird erzielt durch zwei an den Ausgang des Summierers S1 in Serie angeschlossene Verzögerungsglieder V1 und V2, in denen die Werte Y(t) bzw. Y(t-1) gespeichert werden. Der Ausgang des Verzögerungsgliedes V1 ist über ein Multiplizierglied mit dem Faktor (ΐ-ε )2cos an einen von mehreren Eingängen des Summierers S1 angeschlossen. Der Ausgang des zweiten Verzögerungsgliedes V2 ist über ein zweites Multiplizierglied M2 mit dem Faktor -(1-«)2 an einen weiteren Eingang des Summierers S1 angeschlossen. Es ist unmittelbar einsichtig, daß die beiden Werte Y(t) und Y(t-1 > multipliziert mit den zugehörigen Faktoren mit ihrer Summe den Wert Y(t + 1) ergeben, wenn die rechte Seite der obigen Gleichung verschwindet.

Der Umstand, daß der vom Differenzsignal d(t) abhängige Ausdruck auf der rechten Seite komplex ist, nämlich den Realteil cos Zıü(t)-(l-£ )d(t-l) und den Imaginärteil j sin -d(t-l) aufweist, legt nahe, jeden dieser zwei Teile für sich allein nachfolgend der eben beschriebenen rekursiven Verarbeitung zu unterwerfen, um daraus die entsprechenden Teile Yi und Y2 der komplexen Spektralkomponente Y = Y1 + jY2 zu gewinnen. Ein solcher zweifacher Rechenprozeß läßt sich jedoch aufgrund der Tatsache umgehen, daß bei einer Signalverarbeitung in linearen, 2eitinvarianten Systemen die Reihenfolge der Verarbeitungsstufen kommutiert werden kann, ohne das Ergebnis zu verändern. Diese Bedingung ist im Falle des erfindungsgemäßen Digitalfilters erfüllt. Demnach kann zuerst der rekursive Rechenprozeß gemäß der obigen Gleichung mit dem reellen Differenzsignal d(t) ausgeführt werden und die gemäß der rechten Seite der Gleichung vorgesehene - für Real- und Imaginärteil verschiedene - weitere Verwendung des reellen Differenzsignales d(t) erst nach dem rekursiven Rechenprozess berücksichtigt werden.

Bei der Ausführung nach Fig. 4 dient zur Ausführung dieser Umwandlung eine an den Ausgang des Summierers S1 angeschlossene Filterschaltung, die einerseits aus einem Multiplizierglied M3 mit dem Faktor sin

2 jt k N besteht das an seinem Ausgang AI den Imaginärteil Y2 (k,t) der Spektralkomponente liefert. Anderseits liegt parallel zum Multiplizierglied M3 ein weiteres Multiplizierglied M4 mit dem Faktor

COS

2 JT k N sowie ein Verzögerungsglied V3 mit nachgeschaltetem Multiplizierglied M5 mit dem Faktor -(1-«)d(t-1). Ein Summierer SR bildet die Summe zwischen den Ausgangswerten der Multiplizierglieder M3 und M5, welche den Realteil Y1 (k,t) der Spektralkomponente darstellt, für welche der mit AR bezeichnete Ausgang vorgesehen ist.

Fig. 5 zeigt einen äquivalenten Spektralrechner, der jedoch im Vergleich zu dem in Fig. 4 dargestellten nur zwei Verzögerungsglieder aufweist. Für die Berechnung der komplexen Teile werden zunächst in einer ersten Stufe zwei Zwischenwerte errechnet, aus denen in einer zweiten Stufe die Real- und Imaginärteile der Spektralkomponenten gebildet werden. Die erste Stufe enthält zwei rekursive Recheneinheiten mit je einem Summierer S2 und S3 mit nachgeschalteten Verzögerungsgliedern V4 bzw. V5. Der Summierer S2 ist mit einem Eingang an die Leitung L des Filtereingangsbereiches angeschlossen, über die das Differenz- 8

Claims (3)

1. AT 403 217 B Signal d(t) zugeführt wird. Das Ausgangssignal des Verzögerungsgliedes V4 wird einerseits über ein Multiplizierglied M6 mit dem Faktor (l-£ )cOS 2iJi an einen weiteren Eingang des Summierers S2 zurückgeführt und anderseits über ein Multiplizierglied M7 mit dem Faktor a-£ )sin an einen Eingang des Summierers S3 geführt. Vom Ausgang des Verzögerungsgliedes V5 führt ein Multiplizierglied M8 mit dem Faktor (ΐ-ε )cos zurück an einen Eingang des Summierers S3 und ein weiteres Multiplizierglied Md mit dem Faktor -U-£ )sin führt zu einem Eingang des Summierers S2. In dieser ersten Stufe des Spektralrechners werden an den Ausgängen der Summierer S2 und S3 Zwischensummen von Produkten der Eingangsfunktionswerte d(t) mit den jeweils zugehörigen Werten der Gewichtsfunktionen Cosinus und Sinus unter Anwendung der für die Gewichtsfunktionen geltenden Additionstheoreme gebildet. In der zweiten Stufe des Spektralrechners werden aus diesen Zwischensummen, ebenfalls unter erneuter Anwendung der Additionstheoreme mit Hilfe der Multipitzierglieder M10 und M11, die an den Ausgang des Summierers S2 angeschlossen sind und mit Hilfe der Multiplizierglieder M12 und M13, die an den Ausgang des Summierers S2 angeschlossen sind, sowie mit Hilfe weiterer Summierer S4 und S5 die Real- und Imaginärteile der Spektralkomponenten gewonnen, die von den Ausgängen AR bzw. AI ablesbar sind. Hierbei multiplizieren die Multiplizierglieder M10, M11, M12 und M13 in dieser Reihenfolge mit den Faktoren: 2J[ N ’ sin 2 π k N ' -sin 2ji k N und cos 21 k N ' Weiters sind die Ausgänge der Multiplizierglieder M10 und M12 an die Zähleingänge des Summierers S4 und die Ausgänge der Multiplizierglieder M11 und M13 an die Zähleingänge des Summierers S5 angeschlossen. Patentansprüche 1. Digitalfilter zur fortlaufenden, zu vorgegebenen Abtastzeitpunkten (t = ti,ta...) gehörenden Gewinnung von Spektralkomponenten (Y(k,t)) der diskreten Fourier-Reihe einer Filtereingangsfolge, die ein mit der Abtastfrequenz abgetastetes, ursprünglich analog vorliegendes Signal darstellt, wobei jede, einer bestimmten Spektralfrequenz (k) zugeordnete Spektralkomponente (Y(k,t)), bestehend aus Realteil (Yi-(k,t)) und Imaginärteil (Υς(Μ)) gleich ist der Summe N-l Y(k,t)

   n)e -J 2 JT k N r einer vorgegebenen Anzahl N von Produkten der N jüngsten Abtastwerte x(t + n) mit N zugeordneten 9 AT 403 217 B Stützwerten (e -J 231 k n = cos 231 k N J sin 2ΤΪ k n) der periodischen Gewichtsfunktionen Cosinus und Sinus, die zu jedem Abtastzeitpunkt (t) in einem rekursiven Rechenprozeß durch Multiplikation der zum vorhergehenden Abtastzeitpunkt (t-1) geltenden Summe mit einem Phasenfaktor (e^ n*1 = cos + j sin -2 ) regeneriert wird, unter Verwendung mindestens eines Summierers (S), der der zum vorhergehenden Abtastzeitpunkt geltenden und mit dem Phasenfaktor multiplizierten Summe eine aus der Filtereingangsfolge gewonnene Eingangsgröße hinzuzählt, dadurch gekennzeichnet, daß an den Filtereingang (E) eine Kette von N jeweils um ein Abtastintervall verzögernden Verzögerungsgliedern (V) sowie ein Differenzrechner (D) angeschlossen sind, die zur Bildung der Differenz zwischen dem jeweiligen aktuellen Abtastwert (x(t')), wobei t' = t + N-1 ist und dem mit einem ersten Korrekturfaktor (1-«)N multiplizierten, um die Anzahl N von Abtastschritten zurückliegenden Abtastwert (x(t'-N)) dienen und daß dem Ausgang des Differenzrechners (D) mindestens ein Spektrairechner mit rekursiver Teilstruktur 2. Ordnung nachgeschaltet ist, in dem das Ausgangssignal des Differenzrechners (D) einem ersten Eingang des Summierers (S1) zugeführt ist, der auch einen zweiten Eingang für Rückführwerte aufweist und daß der jeweilige Rückführwert gleich ist dem um ein Abtastintervall verzögerten Ausgangswert dieses Summierers (S1), der mit dem Faktor 2COS und zusätzlich mit einem zweiten Korrekturfaktor <1 -«) multipliziert ist und daß der Summierer (S1) einen dritten Eingang für einen weiteren Rückführwert besitzt, der gleich ist dem um zwei Abtastintervalle verzögerten Ausgangswert des Summierers (St) multipliziert mit dem negativen Quadrat (1-<)2 des zweiten Korrekturfaktors (1-e) und daß der erste Korrekturfaktor (1-«)N gleich ist der N-ten Potenz des zweiten Korrekturfaktors, der selbst gleich ist dem Wert 1-e , wobei e eine marginale Größe 0<e«1 ist. (Fig. 4)
2. 2. Digitalfiiter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur Bildung des Realteiles (Yi (k,t)) der Spektralkomponente an den Spektralrechner eine Filterschaltung erster Ordnung angeschlossen ist, in der deren Eingangssignal mit dem Faktor und das um einen Abtastintervall verzögerte Eingangssignal mit dem negativen zweiten Korrekturfaktor -(1-e) multipliziert ist, wobei diese beiden Teilsignale zu dem den Realteil (Yi(k,t)) bildenden Ausgangssignal summiert (SR) werden und daß zur Bildung des Imaginärteiles (Y2<k,t)) der Spektralkomponente eine Multiplikation des Ausgangssignales des Spektralrechner mit dem Faktor s in 2n k N vorgesehen ist. (Fig. 4)
3. 3. Digitalfilter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß an den Differenzrechner (D) ein erster Summierer (S2) angeschlossen ist, der mit seinem Ausgang an ein erstes, um ein Abtastintervall verzögerndes Verzögerungsglied (V4) geschaltet ist, von dessen Ausgang einerseits das Signal mit 10 AT 403 217 B dem Faktor 11 r \___2 31 k U- t )C0S —jq- multipliziert an den Summierer (S2) rückgekoppelt ist, anderseits nach Multiplikation mit dem Faktor(1- £ )sin einem zweiten Summierer (S3) zugeführt ist, wobei der zweite Summierer (S3) ein zweites, um ein Abtastintervall verzögerndes Verzögerungsglied (V5) versorgt, dessen Ausgangssignal wiederum einerseits mit dem Faktor (l-£ )cos multipliziert zum zweiten Summierer (S3) rückgekoppelt ist und anderseits nach Multiplikation mit dem Faktor -(1-£ )sin 2a k N dem ersten Summierer (S2) zugeführt ist und daß zur Bildung des Realteiles (Yi (k,t)) der Spektralkomponente ein dritter Summierer (S4) vorgesehen ist, der die Summe des vom Eingang des ersten Verzögerungsgliedes (V4) abgegriffenen und mit dem Faktor COS 2n k N multiplizierten Signales und des vom Eingang des zweiten Verzögerungsgliedes (V5) abgegriffenen und mit dem Faktor multiplizierten Signales bildet und daß zur Bildung des Imaginärteiles (Y2(k,t)) der Spektralkomponente ein vierter Summierer (S5) vorgesehen ist, der die Summe des vom Eingang des ersten Verzögerungsgliedes (V4) abgegriffenen und mit dem Faktor multiplizierten Signales und des vom Eingang des zweiten Verzögerungsgliedes (V5) abgegriffenen und mit dem Faktor COS 2a k N multiplizierten Signal bildet. (Fig. 5) Digitalfilter nach Anspruch 1 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß zum Startzeitpunkt t = 0 alle zwischenspeichernden Verzögerungsglieder den Wert "Null" eingespeichert erhalten. Hiezu 2 Blatt Zeichnungen 11