AT401746B - Steuerungsverfahren für roboter, unter verwendung von geometrischen zwangsbedingungen und zufalls-suchverfahren - Google Patents

Description

AT 401 746 B

Die vorliegende Erfindung bezieht sich allgemein auf das Gebiet der Robotik. Der Gegenstand der Erfindung ist ein Steuerungsverfahren für mehr gliedrige Roboter, das eine iterative Methode zur Lösung des inversen kinematischen Problems verwendet und - im Falle redundanter Roboter - ein Zufalls-Suchverfahren zur Optimierung der Roboter-Trajektorie einsetzt.

Ein Roboter besteht aus mehreren Gelenken oder Schiebeelementen mit dazwischenliegenden stabförmigen Gliedern. Zur mathematischen Beschreibung ersetzt man die Glieder durch Linien (siehe Figur 1).

Das Steuerungsproblem der Robotik läßt sich in groben Zügen wie folgt aufgliedern: i) Definition der gewünschten Bahn des Endgliedes (Greifers) als Funktion der Zeit (Bahnplanung). Eine nützliche Darstellungsart besteht in der Angabe einer Tabelle von Positionen (und eventuell Orientierungen) des Endgliedes zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten. ii) Das sogenannte inverse kinematische Problem besteht nun darin, zu jedem Zeitpunkt für alle Roboterelemente (Gelenke, Schieber) solche Positionen ("Roboterkonfiguration") anzugeben, daß das Roboter-Endglied jeweils die gewünschte Position einnimmt. Wenn der Roboter mehr Freiheitsgrade hat, als für die Ausführung dieser gewünschten Bahn nötig wäre, spricht man von einem redundanten Roboter. In diesem Fall ist die Lösung des inversen Problems nicht eindeutig; andererseits ist es nur bei Redundanz möglich, zusätzliche Bedingungen wie das Umgehen von Hindernissen, die Vermeidung Von übergroßen Drehgeschwindigkeiten usw. einzuhalten. iii) Sobald die Roboterkonfiguration als (tabellierte) Funktion der Zeit bekannt ist, werden die Stellmotoren der einzelnen Gelenke so angesteuert, daß die gewünschte Gesamttrajektorie resultiert. ln der Robotik ist es bisher üblich gewesen zur Darstellung der Roboterkonfiguration einen Mindestsatz von verallgemeinerten Koordinaten - z.B. der Gelenkwinkel oder der Denavit-Hartenberg-Parameter - zu verwenden. Der Zusammenhang zwischen diesen generalisierten "internen" Koordinaten und den kartesischen "Welt-Koordinaten" des Endgliedes wird durch eine komplizierte Funktion beschrieben, die nur schwer zu invertieren ist. Insbesondere ist es eine komplexe Aufgabe, äußere Hindernisse in Beschränkungen der internen Koordinaten umzurechnen und diese Beschränkungen bei der Lösung des inversen Problems zu berücksichtigen (Lit. Desoyer [1 ]; Snyder (2]).

Im U.S.-Patent Nr. 4 999 553 präsentiert Seraji ein Verfahren zur Steuerung redundanter Roboter basierend auf der Einführung zusätzlicher kinematischer Funktionen, die je nach Zusatzbedingungen und Aufgabenstellung definiert werden, um die Redundanz des Roboters aufzulösen. Er verwendet eine adaptive Regelung, die für die Steuerung des Roboters sorgt, wodurch er die inverse kinematische Transformation vermeidet. In der vorliegenden Patentschrift wird von den Patentwerbern ein neues Verfahren erläutert, das eine effiziente iterative Methode namens "SHAKE", bekannt aus der Simulation von Kettenmolekülen, zur Lösung des inversen kinematischen Problems verwendet.

Seraji zeigt auch, wie mit seinem Steuerungsverfahren eine sogenannte Zielfunktion ("kinematic objective function") minimiert werden kann, um die Roboter-Trajektorie zu optimieren. Zu diesem Zweck werden als zusätzliche kinematische Funktionen die notwendigen Bedingungen für das Minimum der Zielfunktion verwendet, was ein Differenzieren der Zielfunktion nach den internen Koordinaten des Roboters erforderlich macht. Ein gänzlich anderes Verfahren zur Optimierung der Roboter-Trajektorie wird in der vorliegenden Patentschrift vorgeschlagen: Die Zielfunktion wird mit Hilfe eines bekannten Zufalls-Suchverfahrens namens "SIMULATED ANNEALING" bzw. des einfachen "Random Search" minimiert. Das hat den Vorteil, daß die Zielfunktion nicht differenziert werden muß und daher wesentlich komplexer und mit beliebigen Robotervariablen (Geschwindigkeiten, Positionen der Gelenke, etc.) definiert werden kann. Außerdem ist man mit der SIMULATED ANNEALING-Methode in der Lage, ein globales Minimum zu finden, was durch die bloße Einhaltung der notwendigen Bedingungen für ein Minimum nicht garantiert ist.

Im U.S.-Patent Nr. 5 150 026 präsentieren Seraji, Colbaugh und Glass ein Verfahren zur Kollisionsvermeidung für redundante Roboter, basierend auf dem adaptiven Steuerungsverfahren nach Seraji, U.S.-Patent Nr. 4 999 553. Dabei werden die Hindernisse durch eine Reihe kinematischer Ungleichungen formalisiert, die direkt in die adaptive Regelung zur Steuerung der Roboterbewegung eingebaut werden, sodaß diese während der Roboterbewegung nicht verletzt werden und der Roboterarm somit nicht mit den Hindernissen kollidiert. Das in der vorliegenden Patentschrift präsentierte neue Verfahren erreicht demgegenüber die Kollisionsvermeidung redundanter Roboter auf gänzlich andere Weise: Die Hindernisse werden durch Polygone und Kreise (in 2 Dimensionen) bzw. Polyeder und Kugeln (in 3 Dimensionen) dargestellt, und die Abstände zwischen diesen und dem Roboterarm werden durch einen zusätzlichen, entsprechend definierten Term in der zu minimierenden Zielfunktion berücksichtigt, sodaß die Suche nach dem Minimum der Zielfunktion zu großen Abständen führt, wodurch Kollisionen vermieden werden.

Das erfindungsgemäße Steuerungsverfahren wird in der Folge anhand der Figuren 1-10 erklärt: - Figur 1 zeigt einen 4-gelenkigen (redundanten) Roboter mit Hindernis; 2

AT 401 746 B - Figur 2 zeigt den Minimalabstand zweier Punkte von einer Strecke und bezieht sich auf die Bestimmung des Minimalabstandes zwischen Punkten (z.B. Robotergelenken) und Strecken (z.B. Begrenzungen eines Hindernisses); - Figur 3 zeigt die Linien gleichen Abstandes von einer Strecke (Hilfskontruktion); - Figur 4 zeigt einen Roboterarm mit Hindernis und bezieht sich auf das Problem der räumlichen Ausrichtung des Roboterendgliedes in der Nähe einer Hindernisecke; - Figur 5 zeigt einen Roboter, der durch ein Loch greift; - Figur 6 zeigt einen Roboter, der erst in ein Loch hineingreift, und dann seinen Arm wieder herauszieht, ohne mit dem Hindernis zu kollidieren; - Figur 7 zeigt einen Roboter mit einem redundanten Freiheitsgrad, der ein kreisförmiges Werkstück bearbeitet; - Figur 8 zeigt einen Roboter mit zwei redundanten Freiheitsgraden, der ein kreisförmiges Werkstück bearbeitet; - Figur 9 zeigt eine räumliche Ausrichtung des Roboterendgliedes und - Figur 10 zeigt einen Roboter, der ein Werstück mit Ecken periodisch bearbeitet.

Darstellung der gewünschten Trajektorie des Endgliedes: i) Dazu wird die Zeitvariable in diskrete Schritte unterteilt; die gewünschte Lage des Endgliedes zu jedem Zeitpunkt wird in Form einer Tabelle der kartesischen Koordinaten vorgegeben. Lösung des inversen kinematischen Problems: ii) Die internen Koordinaten des Roboters werden mit q bezeichnet. Im Fall eines nur aus Drehelementen bestehenden Roboters besteht der Vektor q aus den Winkeln zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern (Gelenkswinkel) (siehe Figur 1); bei Vorhandensein von Schiebeelementen kommen dazu noch einzelne variable Gliedlängen. Im allgemeinen stehen mehr Elemente zur Verfügung als für die Ausführung der gewünschten Bewegung des Greifers nötig wären. Bei einem solchen redundanten Roboter können also verschiedene interne Bewegungen q{t) zu ein und derselben Greiferbewegung führen; man kann daher keine eindeutige interne Bahn finden; das inverse kinematische Problem ist unterbestimmt. Andererseits gibt erst die Redundanz die Möglichkeit, zusätzliche Bedingungen wie Minimierung von Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen, Umgehen von Hindernissen usw. zu erfüllen.

Das Prinzip der neuen Methode besteht nun darin, ausgehend von einer augenblicklichen internen Konfiguration des Roboters eine neue Konfiguration zum nächsten Zeitpunkt zu bestimmen, wobei zunächst nur die geometrischen Bedingungen konstanter Gliedlängen eingehalten werden. Zur Einhaltung dieser Bedingungen wird ein iteratives Verfahren verwendet. Erst im Anschluß an diesen Schritt werden die gegebenen Zusatzbedingungen erfüllt, indem eine geeignet definierte Zielfunktion, die alle Bedingungen enthält, durch ein Zufalls-Suchverfahren minimiert wird.

Ansteuerung der Stellmotoren zur Realisierung der internen Roboterkonfiguration: iii) Die aus i) und ii) errechneten neuen Gelenkswinkel bzw. Schublängen q, werden durch Stellmotoren realisiert; die gewünschte Trajektorie des Endgliedes stellt sich dann automatisch ein.

In der von den Patentwerbern vorgeschlagenen Methode wird anstelle des Minimalsatzes von internen (Winkel-) Koordinaten ein überkompletter Satz von kartesischen Koordinaten verwendet, um die augenblickliche Lage aller Gelenke bzw. Schiebeelemente im Raum zu kennzeichnen. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gelenken ist dann durch zusätzliche Bedingungsgleichungen (Gliedlänge = Konst.) festgelegt, ebenso die Richtung eines Schiebearms (Skalarprodukt der Richtungsvektoren aufeinanderfolgender Glieder = Konst.).

Die Lösung des inversen kinematischen Problems erfolgt nun in kleinen Zeitschritten der Länge Δί. In jedem Zeitschritt werden die folgenden Rechenschritte ausgeführt: 1) Verschiebung des Endgliedes;

Zunächst wird das Endglied (der "Greifer”) auf den nächsten Punkt der gewünschten Bahn gebracht, ohne Rücksicht auf die Lage der übrigen Roboterglieder. 2) Wiederherstellen der Zwangsbedingungen;

Die Zwischenelelemente werden durch ein aus der Simulation von Kettenmolekülen bekanntes iteratives Verfahren namens "SHAKE" (Lit. Ryckaert [3]) so verschoben, daß alle Zwangsbedingungen wieder erfüllt sind. Somit ist eine gültige Stellung des Roboterarms zum Zeitpunkt ί+Δί berechnet worden, die jedoch für einen redundanten Roboter nicht die einzig mögliche darstellt.

Die durch Schritt 2 aufgefundene Lage der Zwischenglieder ist bei einem redundanten Roboter nicht zwingend: kleine Variationen aller Gelenkswinkel können zu derselben Lage des Endgliedes führen. Diese Tatsache wird nun ausgenützt, um in einem weiteren Rechenschritt eine geeignet definierte Zielfunktion zu 3

AT 401 746 B minimieren. 3) Variation und Optimierung;

Zur Minimierung der Zielfunktion wird ein modernes Verfahren der numerischen Mathematik, die Methode des "SIMULATED ANNEALING" (Lit. Kirkpatrick [4]), verwendet.

Bei der Verwendung des "SHAKE"-Algorithmus zur Einhaltung der Zwangsbedingungen (siehe Schritt 2) sieht die konkrete Durchführung eines ANNEALING-Schritts wie folgt aus: Zunächst werden alle Zwischengelenke (oder ein zufällig ausgewähltes) um einen zufälligen Translationsvektor verschoben; nun erzwingt man wieder iterativ ("SHAKE"-Algorithmus) die Einhaltung der Zwangsbedingungen und für die so erhaltene Konfiguration wird der neue Wert der Zielfunktion berechnet und gemäß dem SIMULATED ANNEALING-Verfahren bewertet (akzeptiert bzw. verworfen).

Es hat sich herausgestellt, daß bei den verwendeten Zielfunktionen der Temperatur-Parameter T der "SIMULATED ANNEALING"-Methode sehr klein (nahe 0) gewählt werden kann, das Ergebnis aber immer noch eine gut optimierte Roboter-Trajektorie darstellt. Im Limes Γ-*0 wird dann aus dieser Methode ein simples "Random Search".

Ein besonderer Vorzug des neuen Steuerungsverfahrens besteht darin, daß hier die Zielfunktion ganz beliebig unter Verwendung aller augenblicklichen Koordinaten. Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zusammengesetzt werden kann, ohne daß das Verfahren in irgendeiner Weise verändert werden müßte. Dies steht im Gegensatz zu bisherigen Methoden, die nicht nur an die gegebene Roboterstruktur, sondern auch jeweils an die gewünschten Zusatzbedingungen bzw. Zielfunktionen angepaßt werden mußten. Als Beiträge zur Zielfunktion kommen unter anderem in Frage: - der reziproke Abstand von einem Hindernis; - die Quadratsumme der Gelenks-Winkelgeschwindigkeiten, wahlweise auch das Quadrat der maximalen Winkelgeschwindigkeit (die Winkelgeschwindigkeit wird dabei durch den Differenzenquotienten Δα/Δ t angenähert); - die Quadratsumme der Winkelbeschleunigungen in den Gelenken, wahlweise auch das Quadrat der maximalen Beschleunigung (Näherung durch den zweiten Differenzenquotienten Δ2α/Δί2); - Geschwindigkeiten bzw. Beschleunigungen in Schiebeelementen; - der Abstand von der gestreckten (oder irgendeiner anderen vorgegebenen) Konfiguration.

Ein weiterer Vorzug der vorgeschlagenen Methode liegt darin, daß das inverse Problem in sehr kurzer Zeit (und daher eventuell "on-line") gelöst werden kann. Dies ist vor allem für die mögliche Anwendung des Steuerverfahrens in selbständig arbeitenden Robotern ("Auge-Hand-Systemen") von großer Bedeutung. KOLLISIONSVERMEIDUNG:

Die mathematische Beschreibung dem Roboters als Streckenzug erfordert um den Halbdurchsmesser r der Verbindungsglieder vergrößerte Hindernisse ("gewachsene Hindernisse"). Alternativ kann ein Minimalabstand von r zu den wahren Hindernissen eingehalten werden, um Kollisionen zu vermeiden. Um die Abstände des Streckenzuges (* Roboter) zu den Hindernissen möglichst groß zu halten, und so Kollisionen zu vermeiden, werden alle hiefür wichtigen Abstandskombinationen von "Roboterelementen" zu "Hinderniselementen" berechnet. Alle diese n Abstände d,· gehen dann durch einen Term der Form

(1) (oder einen ähnlichen reziproken Abstandsterm) additiv in die zu minimierende Zielfunktion ein. Das Minimum der Zielfunktion unter den gegebenen Randbedingungen (Greifertrajektorie) führt zu großen Abständen d„ Mit dem Parameter c läßt sich die Stärke der "Abstoßung" variieren. Mit r, kann ein individueller Minimalabstand gewählt werden. Es folgt außerdem, daß ein großer Abstand d, kaum Einfluß auf das Minimum der Zielfunktion und damit auf die Roboter-Trajektorie hat, was natürlich wünschenswert ist.

Beispiel Kollisionsvermeidung in 2 Dimensionen:

Da hier die Hindernisse in 2D durch Polygone und Kreise dargestellt werden, errechnet sich jedes d, als Minimalabstand "Punkt-zu-Strecke” (siehe Figur 2). =» Niveaulinien für gleichen Abstand eines Punktes von der Strecke AB laut Figur 3. 4

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Die d!s sind nun die Minimaiabstände aller Roboterarmgelenke zu allen Hindemiswandstrecken sowie aller Hindernisecken bzw. Kreismittelpunkte zu allen Roboterarm-Verbindungsgliedem. In 3 Dimensionen würde aus der Hinderniswandstrecke eine Hinderniswandfläche, aus der Hindemisecke eine Hindemiskante und aus dem Kreismittelpunkt ein Kugelmittelpunkt. 5 Es kann notwendig sein, in der Nähe einer Hindemisecke (2D) bzw. einer Hindemiskante (3D) eine räumliche Ausrichtung des Roboterendgliedes zu verlangen, um ein Umfahren der Kante ohne zu hohe Winkelgeschwindigkeiten zu ermöglichen. Dies läßt sich durch einen additiven Zielfunktionsterm der Form » i2’ erreichen, wobei s der Abstand des Greifers von der Kante, a die Ausrichtung des Endgliedes und ao sein Sollwert sind, c und b sind Parameter, mit denen die Stärke der Ausrichtung reguliert werden kann. Durch s 75 wird garantiert, daß nur in der Nähe der Kante ausgerichtet wird (siehe Figur 4). PERIODISCHE ROBOTER-TRAJEKTQRIE: Für einen redundanten Roboter ist nicht zwingend, daß aus einer periodischen Greifertrajektorie eine zo periodische Roboter-Trajektorie (period. Bahn im Konfigurationsraum) folgt, da auch bei festgehaltenem Greifer die Zwischengelenke noch bewegt weiden können. Um bei vorgegebener periodischer Greifertrajektorie eine periodische Roboter-Trajektorie zu berechnen (wichtig für Anwendungen in der Fertigungstechnik), gehen wir wie folgt vor:

In einem Datenvektor, der für genau eine Periode die diskreten Konfigurationen des Roboters speichern 25 kann, wird während der Berechnung der Zeitentwicklung die jeweils älteste, also um eine Periode ältere Konfiguration mit der neuen, aktuellen überschrieben, sodaß in ihm immer genau eine Periode der letzten Konfigurationen bis hin zum aktuellen Zeitpunkt t gespeichert ist. Nach Berechnung mehrerer Perioden (mindestens einer Periode), wobei eine wie oben beschriebene Zielfunktion minimiert wird, kann (zum Zeitpunkt fo) mit der Berechnung der periodischen Roboter-Trajektorie begonnen werden. Dazu wird 30 folgender Term zur Zielfunktion addiert: c(r-/0) ©(/-/0) max|lt.-x'| (3) 35 x Ort des i-ten Zwischengelenks x Ort des i-ten Zwischengelenks eine Periode früher (aus dem Datenvektor) 0(f-fo) Sprungfunktion

Durch c wird bestimmt, wie schnell sich dieser Term "einschaltet". Das "allmähliche Einschalten" 40 dieses Terms während der Berechnung weiterer Zeitschritte wie bisher bewirkt einen stetigen Anschluß der aktuellen Konfiguration an das Ende des Datenvektors (eine Periode früher), da die Orte der Zwischengelenke langsam gegen jene von einer Periode früher streben, weil maxjj x - x | minimiert wird. Die Berechnung weiterer Zeitschritte wird abgebrochen, sobald maxjj x- xf kleiner als eine gewählte Genauigkeitsschranke ist, die allerdings nicht zu klein gewählt werden darf, da die erreichbare Genauigkeit mit dem 45 verwendeten stochastischen verfahren (Simulated Annealing) begrenzt ist. Jetzt enthält der Datenvektor eine im Rahmen der erreichbaren Genauigkeit periodische Roboter-Trajektorie. Dieses Verfahren kann äquivalent euch mit einem Zielfunktionsterm formuliert werden, der den Abstand der aktuellen Konfiguration von der eine Periode zurückliegenden statt über die Gelenkspositionen über die internen Roboterkoordinaten (Winkel, Schublängen) definiert. 50 TESTS:

Das verfahren wurde an einigen in der technischen und wissenschaftlichen Literatur häufig behandelten Aufgaben getestet. Dazu wurde ein auf PC exekutierbares Simulationsprogramm in der Programmierspra-55 che C geschrieben.

Im Rahmen dieser Test-Simulationen kommt die besondere Flexibilität der neuen Methode unter anderem darin zum Ausdruck, daß grundlegende Parameter wie die Zahl der Roboterglieder, die Lage und Form der Sollbahn des "Greifers" sowie die Lage und Form äußerer Hindernisse bloße Eingabeparameter 5

Claims (7)

1. AT 401 746 B sind; eine große Klasse von Standardproblemen der Robotik kann also mit einem einheitlichen Steuerverfahren gelöst werden. Problem 1: Simulation eines redundanten Roboters, der durch ein Loch greift, um von der anderen Seite etwas zu holen, ohne dabei mit seinem Arm an die Hindernisse zu stoßen (siehe Figur 5, 6). Problem 2: Simulation eines redundanten Roboters, der einen Teil der Oberfläche eines kreisförmigen Werkstücks periodisch bearbeitet, wobei sein Greifer senkrecht zur Oberfläche stehen und sein Arm mit dem Werkstück nicht kollidieren soll (siehe Figur 7, 8). Problem 3: Simulation eines redundanten Roboters, der die Oberfläche eines Werkstücks mit Ecken periodisch bearbeitet, ohne mit ihm zu kollidieren. Dazu muß eine räumliche Ausrichtung des Roboterendgliedes an den 4 vorderen Ecken verlangt werden (vgl. Figur 4). Diese Aufgabenstellung ist in wissenschaftlicher Literatur (Lit. Allgeuer [5], S. 160-170) auf eine andere Art bereits behandelt worden (siehe Figur 9, 10). LITERATUR: [1] Desoyer, K„ Kopacek, P., Troch, I,: Industrieroboter und Handhabungsgeräte. R. Oldenbourg Verlag, München, Wien, (1985) [2] Snyder, W. E.: Computergesteuerte Industrieroboter, Grundlagen und Einsatz. Reihe Robotik, VCH, Weinheim, (1990) [3] Ryckaert, J.-P., Ciccotti, G„ Berendsen, II, J. C.: Numerical Integration of the Cartesian Equations of Motion of a System with Constraints; Molecular Dynamics of n-Alkanes. J. Computat. Phys. 23. 327, (1977) [4] Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., Jr., Vecchi, Μ, P.: Optimization by Simulated Annealing. Science, Vol. 220, Nr. 4598, 671, (1983) [5] Allgeuer, H.: Kinematische Steuerung von Robotern mit redundanten Freiheitsgraden. Dissertation, Technische Universität Wien (TNF), (1992) Patentansprüche 1. Steuerungsverfahren für mehrgliedrige Roboter, gekennzeichnet durch die Verwendung eines überkompletten (kartesischen) Koordinatensatzes zur Beschreibung der Roboterkonfiguration und durch den Einsatz des aus der Simulation von Kettenmolkülen bekannten "SHAKE"-Verfahrens zur Einhaltung der Zwangsbedingungen (z.B. konstanter Gliedlängen bei Drehelementen und konstanter Gliedrichtungen bei Schiebeelementen).
2. 2. Steuerungsverfahren für mehrgliedrige redundante Roboter, gekennzeichnet durch die Verwendung der "SIMULATED ANNEALING"-Methode zur Auffindung einer optimalen Roboter-Trajektorie bei gegebenen äußeren oder inneren Bedingungen in Form einer für jeden Zeitschritt zu minimierenden Zielfunktion.
3. 3. Steuerungsverfahren für mehrgliedrige redundante Roboter, gekennzeichnet durch die Verwendung eines einfachen "Random Search" zur Auffindung einer optimalen Roboter-Trajektorie bei gegebenen äußeren oder inneren Bedingungen in Form einer für jeden Zeitschritt zu minimierenden (oder maximierenden) Zielfunktion.
4. 4. Steuerungsverfahren nach Anspruch 2 oder 3 mit Darstellung von Hindernissen durch Polygone und Kreise (in 2 Dimensionen) bzw. Polyeder und Kugeln (in 3 Dimensionen) und Berücksichtigung dieser Hindernisse zwecks Kollisionsvermeidung in der zu minimierenden Zielfunktion mittels eines weiteren Terms (z.B. Term 1), der die Abstände zwischen Roboterelementen und Hinderniselementen enthält. 6 AT 401 746 B
5. 5. Steuerungsverfahren nach Anspruch 4 mit Berücksichtigung einer für die Kollisionsvermeidung eventuell notwendigen räumlichen Ausrichtung des Roboterendgliedes in der Nähe von Hindernisecken (in 2 Dim.) bzw. Hinderniskanten (in 3 Dim.) mit Hilfe eines weiteren Terms (z.B. Term 2) in der zu minimierenden Zielfunktion.
6. 6. Steuerungsverfahren nach Anspruch 5 mit Berücksichtigung der Forderung nach einer periodischen Roboter-Trajektorie mit Hilfe eines weiteren Terms (z.B. Term 3) in der zu minimierenden Zielfunktion.
7. 7. Mehrgliedriger Roboter, gekennzeichnet durch die Steuerung seines Bewegungsablaufes unter Verwendung des auf einem Computer (Rechner) implementierten Steuerungsverfahrens nach den Ansprüchen 1 bis 6. Hiezu 3 Blatt Zeichnungen 7