JPH06231287A - カオス的信号発生装置及び発生方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 カオス的信号を発生する装置、方法を提供す
ること。 【構成】 直列接続された複数のディレイ要素１０〜１
４のうちの最前段のディレイ要素１０の出力が非線形関
数要素３０に、他のディレイ要素１１〜１４の出力が係
数要素４１〜４４に与えられる。これらの非線形関数要
素３０と係数要素４１〜４４の出力が加算要素５０にお
いて加算され、その加算結果が最前段のディレイ要素１
０に帰還される。初期化要素２０〜２４から一斉に初期
値が与えられることにより動作が開始し、適当な時間Δ
ｔの周期でディレイ、非線形演算、係数乗算、加算が繰
り返し行われ、この間において外部入力する信号を２値
化した信号により非線関数要素の非線形関数が切り替え
られる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、カオス的信号を発生さ
せるための発生装置及び発生方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】数学の分野、物理学の分野、コンピュー
タ・サイエンス、その他の様々な分野において、カオス
（Ｃｈａｏｓ）の理論的、実証的研究が盛んになりつつ
ある。カオス理論は、情報処理、セルオートマトン等の
コンピュータ・サイエンス、気象（天気予報）、地震等
の複雑な自然現象の予知、その他に応用できる可能があ
ると言われているが、未だ模索の段階にある。

【０００３】カオスに関する文献としては、次に示すよ
うななものがある。 １．合原一幸編著「カオス−カオス理論の基礎と応用」
（株）サイエンス社、１９９０。 ２．「数理科学」１９８１年１１月号（ＮＯ．２２１）
及び１９８９年５月号（ＮＯ．３１１）、（株）サイエ
ンス社。 ３．「Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｔｏｄａｙ」１９８９年７月
号（ＮＯ．３２）及び１９８９年９月号（ＮＯ．３
３）、（株）サイエンス社。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、カオ
ス的な時間的ふるまいをする信号を発生する装置及び発
生させる方法を提供することである。

【０００５】

【課題を解決するための手段】第１の発明は、信号を所
定時間づつ順次遅延させる複数のディレイ手段と、該複
数のディレイ手段のうちの少なくとも１つから得られる
信号を非線形関数によって変換する１又は複数の非線形
関数手段と、上記ディレイ手段の他の１又は複数のもの
から得られる信号を所定係数倍する１又は複数の係数手
段と、上記非線形関数手段及び上記係数手段から得られ
る信号を加算する加算手段と、動作開始時に上記ディレ
イ手段のいずれか１以上、又は上記非線形関数手段の１
又は複数、又は上記係数手段の１又は複数、又は上記加
算手段に初期値を与える初期化手段とを備え、上記加算
手段の出力を上記ディレイ手段の最前段のものにフィー
ドバックさせるように構成したカオス的信号発生装置で
あって、上記１又は複数の非線形関数手段のうちの少な
くとも１つの非線形関数手段の非線形関数を外部から変
化させるための入力手段を設けて構成した。

【０００６】第２の発明は、順次与えられる複数個の信
号をその順序に保存しておき、該保存されている信号の
うちの少なくとも１つを非線形関数によって変換すると
共に、上記保存されている信号の他のものを所定係数倍
し、上記非線形関数変換された信号と上記所定係数倍さ
れた信号とを加算し、該加算により得られた信号を最新
の信号として保存し、且つ該保存されている信号を順次
シフトし、上記一連の処理を初期値を与えることにより
開始させ且つ繰り返させることによりカオス的信号を与
えるカオス的信号発生方法であって、上記非線形関数を
外部から変化させるように構成した。

【０００７】

【実施例】非線形関数を含む差分方程式（又は漸化式）
の解の軌道は、パラメータ及び初期値を適当に定めるこ
とによって、カオス的ふるまいを起こすことが知られて
いる。最も単純な差分方程式を考える。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ａｘ_{n- 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ａｙ_n （１） ｙ_{n+ 1} ＝ｘ_n （２） ここで、ｆ₀ （ｘ_n ）は、例えばｂｘ_n ²等の非線形関数
を表す。係数ａ、ｂをパラメータという。

【０００８】式（１）と式（２）の解（ｘ_n 、ｙ_n ）
は、初期値（ｘ₀ 、ｙ₀ ）（ｎ＝０のときのｘ、ｙの
値）を与えることにより一義的に定まる。ｎは時間軸上
にとられ、ある有限の時間Δｔ（一般には微少時間）毎
にインクリメントされて行く。

【０００９】従って、式（１）と（２）の解（ｘ_n 、ｙ
_n ）は、ＸＹ直交座標上に表すことができ、この解（ｘ
_n 、ｙ_n ）を表す点は時間の経過に伴いＸＹ平面上で軌
跡を描く。

【００１０】ｎを増加していったときに、解（ｘ_n 、ｙ
_n ）は一点に収束していくか、発散するか、周期性を示
すか、又は全く不規則に変化する。最後の全く不規則に
変化するふるまいが一般にカオスと呼ばれている。解
（ｘ_n 、ｙ_n ）がどのようなふるまいをするかは、専ら
パラメータａ、ｆ₀ （ｘ）の非線形性を特定するパメラ
ータ（例えば、上記ｂなど）及び初期値（ｘ₀ 、ｙ₀ ）
により決定される。

【００１１】図１は式（１）と式（２）を解いて一連の
解を、時間の経過とともに（Δｔ経過毎に）出力し表示
するカオ的信号発生装置の機能的構成を示す図である。
この装置は、２つのディレイ要素１０、１１、２つの初
期化要素２０、２１、非線形関数要素３０、係数要素４
０、加算要素５０、入力要素６０、得られる解の複数分
を一時的に記憶する記憶要素７０、及び記憶要素７０で
記憶された複数分の解によりＸＹ直交座標上に図形パタ
ーンを表示する表示要素８０から構成されている。これ
らのうちの特定の要素には、Δｔの周期をもつクッロク
信号φが与えられ、このクロック信号φに同期して動作
する。

【００１２】ディレイ要素１０、１１は、入力信号を１
クロック周期（Δｔ）遅延させてから出力するものであ
る。また、初期化要素２０、２１は図２の（Ａ）に示す
ようなシンボルによって表現され、電子回路では具体的
には図２の（Ｂ）に示す切替スイッチによって実現され
る。

【００１３】このスイッチは、初期値ｘ₀ 又はｙ₀ を与
えるときは端子Ｔ_B が端子Ｔ_C に接続され、入力端子Ｃ
に入力する初期値が出力端子Ｂに伝えられる。それ以降
は、端子Ｔ_B が端子Ｔ_A に接続され、入力端子Ａに入力
する信号が出力端子Ｂに伝達される。

【００１４】非線形関数要素３０については、入力ｘ_n
の非線形関数ｆ_{0 1}（ｘ_n ）又は非線形関数ｆ_{0 2}（ｘ_n ）
を出力する。すなわち、この非線形関数要素３０は、入
力要素６０からの２値出力に応じて関数ｆ_{0 1}（ｘ_n ）又
は関数ｆ_{0 2}（ｘ_n ）を出力する。以後では区別する必要
のある場合には関数ｆ_{0 1}（ｘ_n ）とｆ_{0 2}（ｘ_n ）で説明
するが、区別する必要のないときは関数ｆ₀ （ｘ_n ）と
して説明する。

【００１５】入力要素６０は、外部から入力する音声信
号などの信号ｓを「０」又は「１」に２値化する比較手
段などからなる要素である。係数要素４０は入力ｙ_n を
係数ａ倍して出力する。加算要素５０はその全ての入力
の和を演算し、その加算結果をｘ_{n+ 1} として出力する。
記憶要素７０は得られる解を、例えば所定の複数個を順
次更新して、或いは得られる解の全部を記憶する。

【００１６】さて、図１に示す構成は次のように動作す
る。初期化要素２０、２１から初期値ｘ₀ 、ｙ₀ が加え
られると、そのうち初期値ｘ₀ は非線形関数要素３０及
びディレイ要素１１に、また初期値ｙ₀ は係数要素４０
にそれぞれ与えられる。よって、非線形関数要素３０か
らｆ_{0 1}（ｘ₀ ）又はｆ_{0 2}（ｘ₀ ）が、また係数要素４０
からａｙ₀ がそれぞれ出力され、加算要素５０からは式
（１）に従って、 ｘ₁ ＝ｆ_{0 1}（ｘ₀ ）＋ａｙ₀ （３） 又は、 ｘ₁ ＝ｆ_{0 2}（ｘ₀ ）＋ａｙ₀ （４） が出力される。この値ｘ₁ はディレイ要素１０に入力す
る。そして、１クロック周期Δｔが経過すると、ディレ
イ要素１０、１１からは、それぞれｘ₁ 、ｘ₀ （＝ｙ
₁ ）が出力される。

【００１７】ある時点でディレイ要素１０、１１からｘ
_n 、ｘ_{n- 1} （＝ｙ_n ）がそれぞれ出力され、非線形関数
要素３０、係数要素４０及び加算要素５０によって、式
（３）又は式（４）の演算が行われ、加算要素５０から
次の時刻のｘの値ｘ_{n+ 1} が出力され、これがディレイ要
素１０に与えられる。

【００１８】解（ｘ_n 、ｙ_n ）を表す出力は、ディレイ
要素１０、１１の出力端子に現れ、初期化要素２０、２
１の出力側の信号としてここから取り出され（この部分
が取出要素となる）て、記憶要素７０に取り込まれ、表
示要素８０で表示される。

【００１９】図１の機能的構成は、後に示すように、電
子回路又はプログラムされたコンピュータによって実現
される。電子回路で実現される場合には、図２の（Ｂ）
に示す切換スイッチ及び後述する各種スイッチは、半導
体スイッチング素子によって好適に実現される。

【００２０】高次の微分方程式を漸化式で表すと次の式
（５）に示すようになる。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ａ₁ ｘ_{n- 1} ＋ａ₂ ｘ_{n- 2} ＋ａ₃ ｘ_{n- 3} ＋ａ₄ ｘ_{n- 4} ＋・・・＋ａ_i ｘ_n-i ＋・・・ （５） この式（５）は次のように変形できる。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ａ₁ ｙ_n ＋ａ₂ ｚ_n ＋ａ₃ ｐ_n ＋ａ₄ ｑ_n ＋・・・ （６） ｙ_{n+ 1} ＝ｘ_n （７） ｚ_{n+ 1} ＝ｙ_n （＝ｘ_{n- 1} ） （８） ｐ_{n+ 1} ＝ｚ_n （＝ｘ_{n- 2} ） （９） ｑ_{n+ 1} ＝ｐ_n （＝ｘ_{n- 3} ） （１０） ： ｆ₀ （ｘ_n ）は上述したようにｆ_{0 1}（ｘ_n ）とｆ_{0 2}（ｘ
_n ）の２つのうちから選択される非線形関数であり、ａ
_i （ｉ＝１、２、３、４、・・・）は結合パラメータで
ある。これらの式（５）又は（６）〜（１０）で表され
る漸化式の解を求めるためのカオス的信号発生装置の機
能的構成を第３図に示す。

【００２１】この機能的構成は、多数段のディレイ要素
１０、１１、１２、１３、１４、１５、・・・と、これ
らのディレイ要素間に設けられた初期化要素２０、２
１、２２、２３、２４、・・・と、初期化要素２０の出
力を入力とする非線形関数要素３０と、他の初期化要素
２１、２２、２３、２４、・・・の出力をそれぞれ係数
ａ₁ 、ａ₂ 、ａ₃ 、ａ₄ 、・・・倍する係数要素４１、
４２、４３、４４、・・・と、非線形関数要素３０及び
係数要素４１、４２、４３、４４、・・の出力を加算す
る加算要素５０と、外部入力信号Ｓを２値化する入力要
素６０と、記憶要素７０と、表示要素８０とから構成さ
れている。加算要素５０の出力は、最前段のディレイ要
素１０にフィードバックされる。

【００２２】初期値（ｘ₀ 、ｙ₀ 、ｚ₀ 、ｐ₀ 、ｑ₀ 、
・・・）が、初期化要素２０、２１、２２、２３、２
４、・・・を通して与えられると、非線形関数要素３
０、係数要素４１、４２、４３、４４、・・からそれぞ
れ、ｆ₀ （ｘ₀ ）、ａ₁ ｙ₀ 、ａ₂ ｚ₀ 、ａ₃ ｐ₀ 、ａ
₄ ｑ₀ 、・・・が出力され、これらが加算要素５０で加
算されることにより、ｘ₁ が得られる。この出力ｘ₁ は
ディレイ要素１０にフィードバックされる。

【００２３】ある時刻においては、非線形関数要素３
０、係数要素４１、４２、４３、４４、・・・にそれぞ
れ、ｘ_n 、ｙ_n ＝ｘ_{n- 1} 、ｚ_n ＝ｘ_{n- 2} 、ｐ_n ＝ｘ
_{n- 3} 、ｑ_n＝ｘ_{n- 4} 、・・・が与えられ、非線形関数要
素３０、係数要素４１、４２、４３、４４、・・・から
それぞれ、ｆ₀ （ｘ_n ）、ａ₁ ｙ_n 、ａ₂ ｚ_n 、ａ₃ ｐ
_n 、ａ₄ ｑ_n 、・・・が得られるので、加算要素５０か
らは式（６）で表される出力ｘ_{n+ 1} が得られ、これが最
前段のディレイ要素１０にフィードバックされる。

【００２４】図３には図示されていないクッロク信号φ
の１周期Δｔ毎に、ｎがインクリメントされながら、上
記動作が行われる。

【００２５】１組の解（ｘ_n 、ｙ_n 、ｚ_n 、ｐ_n 、
ｑ_n 、・・・）はディレイ要素１０、１１、１２、１
３、１４、・・・の出力に現れるが、これらは切替スイ
ッチが端子Ｔ_A に接続された初期化要素２０、２１、２
２、２３、２４、・・・の出力として、そのうちの任意
の２個（例えばｘ_n 、ｙ_n ）が記憶要素７０に送られ
る。

【００２６】初期化要素を通して１組の初期値（ｘ₀ 、
ｙ₀ 、ｚ₀ 、ｐ₀ 、ｑ₀ 、・・・）を与えることに代え
て、ディレイ要素１０又は初期化要素２０を通して、ｘ
₀ 、ｘ₁ 、ｘ₂ 、ｘ₃ 、ｘ₄ 、・・・（又は、・・・ｘ
_-4、ｘ_-3、ｘ_-2、ｘ_-1、ｘ₀）を１クロック周期毎に順
次入力するようにしても良い。この場合には、全ての初
期値の入力が完了するまで、加算要素５０の出力をディ
レイ要素１０にフィードバックしないようにする。

【００２７】続いて、複数の非線形関数要素をもつより
一般的な漸化式について検討する。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ｆ₁ （ｘ_{n- 1} ）＋ｆ₂ （ｘ_{n- 2} ）＋ｆ₃ （ｘ_{n- 3} ）＋ ｆ₄ （ｘ_{n- 4} ）＋・・・・ （１１） この式（９）は次ように変形できる。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ｙ_n ＋ｚ_n ＋ｐ_n ＋ｑ_n ＋・・・ （１２） ｙ_n ＝ｆ₁ （ｘ_{n- 1} ） （１３） ｚ_n ＝ｆ₂ （ｘ_{n- 2} ） （１４） ｐ_n ＝ｆ₃ （ｘ_{n- 4} ） （１５） ｑ_n ＝ｆ₄ （ｘ_{n- 4} ） （１６） この式（１１）又は式（１２）〜（１６）で表される漸
化式の解ｘ_n 、又は１組の解ｘ_n 、ｘ_{n- 1} 、ｘ_{n- 2} 、ｘ
_{n- 3} 、ｘ_{n- 4} 、・・・若しくは、ｘ_n 、ｙ_n 、ｚ_n 、ｐ
_n 、ｑ_n 、・・・を求めるためのカオス的信号発生装置
の機能的構成を図４に示す。

【００２８】この機能的構成は、多数段のディレイ要素
１０、１１、１２、１３、１４、・・・と、これらディ
レイ要素間に設けられた初期化要素２０、２１、２２、
２３、２４、・・・と、これらの初期化要素の出力を入
力とする非線形関数要素３０、３１、３２、３３、３
４、・・・と、これら非線形関数要素の出力を加算する
加算要素５０と、外部入力信号ｓを２値化する入力要素
６０と、記憶要素７０と、表示要素８０とから構成され
ている。加算要素５０の出力ｘ_{n+ 1} が最前段のディレイ
要素１０にフィードバックされる。

【００２９】初期値ｘ₀ 、ｘ_-1、ｘ_-2、ｘ_-3、ｘ_-4、・
・・が初期化要素２０、２１、２２、２３、２４、・・
・を通して与えられると、非線形関数要素３０、３１、
３２、３３、３４、・・・からそれぞれ、ｆ₀ （ｘ
₀ ）、ｙ₀ ＝ｆ₁ （ｘ_-1）、ｚ₀＝ｆ₂ （ｘ_-2）、ｐ₀
＝ｆ₃ （ｘ_-3）、ｑ₀ ＝ｆ₄ （ｘ_-4）、・・・が出力さ
れて、これらが加算要素５０で加算されることにより、
ｘ₁ が得られる。この出力ｘ₁ はディレイ要素１０にフ
ィードバックされる。なお、ここでは、非線形要素３０
のみが入力要素６０からの出力によってその関数をｆ_{0 1}
（ｘ₀ ）又はｆ_{0 2}（ｘ₀ ）に変化させる。

【００３０】ある時刻においては、非線形関数要素３
０、３１、３２、３３、３４、・・・にそれぞれｘ_n 、
ｘ_{n- 1} 、ｘ_{n- 2} 、ｘ_{n- 3} 、ｘ_{n- 4} が与えられ、それら非
線形関数からそれぞれｆ₀ （ｘ_n ）、ｙ_n ＝ｆ₁ （ｘ_n-
1 ）、ｚ_n ＝ｆ₂ （ｘ_{n- 2} ）、ｐ_n ＝ｆ₃ （ｘ_{n- 3} ）、
ｑ_n ＝ｆ₄ （ｘ_{n- 4} ）、・・・が得られるので、加算要
素５０からは式（１１）又は（１２）で表されるｘ_{n+ 1}
が得られ、これがディレイ要素１０にフィードバックさ
れる。

【００３１】この図４でも、図示はされていないが、ク
ロック信号φの１周期Δｔ毎にｎがインクリメントされ
ながら、上記動作が繰り返される。

【００３２】出力ｘ_n 、ｘ_{n- 1} 、ｘ_{n- 2} 、ｘ_{n- 3} 、ｘ_n-
4 、・・・はそれぞれディレイ要素１０、１１、１２、
１３、１４、・・・の出力に現れるが、これらは、切替
スイッチが端子Ｔ_A に接続された初期化要素２０、２
１、２２、２３、２４、・・・の出力として、そのうち
の２個（例えばｘ_n 、ｘ_{n- 1} ）が記憶要素７０に取り込
まれる。また、非線形関数要素３０、３１、３２、３
３、３４、・・・から出力ｆ₀ （ｘ_n ）、ｙ_n ＝ｆ₁
（ｘ_{n- 1} ）、ｚ_n ＝ｆ₂ （ｘ_{n- 2} ）、ｐ_n ＝ｆ₃ （ｘ_n-
3 ）、ｑ_n ＝ｆ₄ （ｘ_{n- 4} ）、・・・を得ることもでき
る。

【００３３】初期化要素２１、２２、２３、２４、・・
・に代えて、鎖線で示すように、非線形関数要素３１、
３２、３３、３４、・・・の出力側（加算要素５０の対
応する入力側）に初期値ｙ₀ ［＝ｆ₁ （ｘ_-1）］、ｚ₀
［＝ｆ₂ （ｘ_-2）］、ｐ₀ ［＝ｆ₃ （ｘ_-3）］、ｑ₀
［＝ｆ₄ （ｘ_-4）］、・・・をそれぞれ初期化要素６
１、６２、６３、６４、・・・を通して入力することも
できる。

【００３４】図３に示す構成は、電子回路上いくつかの
ユニットに分解して考えることができる。図３に示す構
成の単位となるユニットを図５、図６に示す。図５の回
路を線形ディレイユニットＬＤと呼ぶ。この線形ディレ
イユニットＬＤは、ディレイ要素１ｉ、初期化要素２
ｉ、及び係数要素４ｉを含み（ｉ＝０、１、２、３、
４、・・・）、ディレイ要素１ｉの出力側に初期化要素
２ｉが、更に初期化要素２ｉの出力側に係数要素４ｉが
それぞれ接続されている。線形ディレイユニットＬＤに
は、ディレイ要素１ｉに与える入力ｘ_{n-i+ 1} の入力端
子、ディレイ要素１ｉの出力ｘ_n-i を初期化要素２ｉを
通して取り出す出力端子、初期値ｘ₀ （又は、ｙ₀ 、ｚ
₀ 、ｐ₀ 、ｑ₀ 、・・・）の入力端子、及び係数要素４
ｉの出力ａ_i ・ ｘ_n-i を取り出す修飾出力端子が更に
設けられている。

【００３５】一方、図６の回路を非線形ディレイユニッ
トＮＤと呼ぶ。この非線形ディレイユニットＮＤは、デ
ィレイ要素１ｉ、初期化要素２ｉ、及び非線形関数要素
３ｉを含み（ｉ＝０、１、２、３、４、・・・）、ディ
レイ要素１ｉの出力側に初期化要素２ｉが、更に初期化
要素２ｉの出力側に非線形関数要素３ｉがそれぞれ接続
されている。非線形ディレイユニットＮＤには、ディレ
イ要素１ｉに与える入力ｘ_{n-i+ 1} の入力端子、ディレイ
要素１ｉの出力ｘ_n-i を初期化要素２ｉを通して取り出
す出力端子、非線形関数要素３ｉの出力ｆ_i （ｘ_n-i ）
を取り出す修飾出力端子、及び初期値ｘ₀ （又は、
ｘ_-1、ｘ_-2、ｘ_-3、ｘ_-4、・・・・・）の入力端子、非
線形関数３ｉを切り換える場合に付加する切替端子ｓが
設けられている。

【００３６】要すれば、鎖線で示すように、非線形関数
要素３ｉの出力側に初期化要素６ｉ（ｉ＝１、２、３、
４、・・）を設け、且つ初期値ｆ_i （ｘ_n ）の入力端子
を設ける。

【００３７】１個の非線形ディレイユニットＮＤと、複
数個の線形ディレイユニットＬＤの各入出力間を縦続接
続し、且つ各ユニットＮＤ、ＬＤの出力ｆ
_i （ｘ_n-i ）、ａ_i ・ｘ_n-i が加算要素５０に入力する
ように接続し、加算要素５０の出力を非線形ディレイユ
ニットＮＤにフィードバックすることにより、図３に示
す回路が構成される。

【００３８】同様に、複数個の非線形ディレイユニット
ＮＤの各入出力間を縦続接続し、かつ各ユニットＮＤの
出力ｆ_i （ｘ_n-i ）が加算要素５０に入力するように接
続し、加算要素５０の出力を最前段の非線形ディレイユ
ニットＭＤにフィードバックすることより、図４に示す
回路が構成される。

【００３９】続いて、上述した線形ディレイユニットＬ
Ｄ及び非線形ディレイユニットＮＤを電子回路により実
現した具体例を説明する。

【００４０】図７は線形ディレイユニットＬＤの具体的
な回路図である。ディレイ要素は２つのコンデンサＣ
₁ 、Ｃ₂ と切替スイッチＳＷ₁ 、ＳＷ₂ とから構成され
ている。これらのスイッチＳＷ₁ 、ＳＷ₂ は図８に示す
ようなクロック信号φによって切替を制御される。ディ
レイ時間Δｔは、クッロク信号φの１周期に等しい。係
数要素は、フィードバック抵抗Ｒ_f を含む反転増幅器Ａ
_{1 1}によって実現される。係数ａ_i は抵抗Ｒ_f の値によっ
て調整される。初期化スイッチはスイッチＳＷ₃を含
む。

【００４１】この回路では、スイッチＳＷ₁ が端子Ｔ₂
に、スイッチＳＷ₂ が端子Ｔ₁ にそれぞれ接続され、且
つスイッチＳＷ₃ がオンされることにより初期値ｘ₀ が
入力される。この初期値ｘ₀ を表す電圧信号によって入
力コンデンサＣ₁ が充電され、このコンデンサＣ₁ の電
圧が反転増幅器Ａ_{1 1}によって−ａ_i 倍されてから出力コ
ンデンサＣ₂ に蓄えられる。

【００４２】次にスイッチＳＷ₁ が端子Ｔ₁ に、スイッ
チＳＷ₂ が端子Ｔ₂ に接続されると、入力コンデンサＣ
₁ には入力ｘ_{n-i+ 1} を表す電圧が蓄えられ、出力コンデ
ンサＣ₂ の電圧は反転増幅器Ａ_{1 2}を経由して出力ａ_i ・
ｘ_n-i として出力される。

【００４３】再びスイッチＳＷ１が端子Ｔ₂ に、スイッ
チＳＷ₂ が端子Ｔ₁ にそれぞれ接続されると、入力コン
デンサＣ₁ の電圧（入力ｘ_{n-i+ 1} を表す電圧）が−ａ_i
倍されて出力コンデンサＣ₂ に蓄えられることになる。
このようにして、時間Δｔ毎に入力が取り込まれ且つ出
力が外部に取り出される。

【００４４】上述したように、スイッチＳＷ₁ 、ＳＷ
₂ 、ＳＷ₃ は半導体スイッチング回路により実現されよ
う。スイッチＳＷ₃ は手動により直接又は間接的に操作
又は制御されよう。このような線形ディレイユニットＬ
Ｄ内又は線形ディレイユニットＬＤの相互間には適宜バ
ッファ回路が接続されよう。

【００４５】図９は非線形ディレイユニットＮＤの具体
例を示すものであり、図６との対応関係を明らかにする
ために、入出力信号としては図６に示すものと同一符号
を用いた。また、スイッチＳＷ₁ 〜ＳＷ₃ 、コンデンサ
Ｃ₁ 、Ｃ₂ は図７の場合と同様の切替や動作を行うので
同様の符号とした。非線形関数要素３ｉは電子回路的に
は図１０に示す回路で構成できる。

【００４６】この非線形関数要素３ｉの回路はフィード
バック可変抵抗Ｒ_f をもつ演算増幅器Ａ₂ を含む。入力
電圧ｖ_inは入力抵抗Ｒ₃ 〜Ｒ₅ を介して増幅器Ａ₂ の非
反転及び反転入力端子に与えられる。この増幅器Ａ₂ の
反転入力端子にはダイオードＤ₁ と可変抵抗Ｒ₁ を介し
て一定電圧−Ｅ₁ が、またダイオードＤ₂ と可変抵抗Ｒ
₂ を介して一定電圧Ｅ₂ が印加する。出力電圧ｖ_out は
増幅器Ａ₂ の出力端子から得られる。

【００４７】以下では、ダイオードＤ₁ 、Ｄ₂ の順方向
降下電圧を無視して考える。ここで利得Ｇを、 Ｇ＝［( Ｒ₃ ＋Ｒ₄ )(Ｒ₅ ＋Ｒ₆ ) ］／［Ｒ₄ Ｒ₅ ＋Ｒ
₄ Ｒ₆ ＋Ｒ₃ Ｒ₆ ］ とすると、入力電圧Ｖ_inが、 Ｖ_in ≧ Ｅ₂ ・Ｇ （１７） を満たす場合にはダイオードＤ₂ のみがオンして図１０
の回路は図１１の（Ａ）に示すようになる。この回路は
正の増幅度をもち、その増幅度は抵抗Ｒ₂ 、Ｒ_fの少な
くともいずれか一方により変えることができる。

【００４８】また、入力電圧Ｖ_inが、 −Ｅ₁ ・Ｇ ≦ Ｖ_in ＜ Ｅ₂ ・Ｇ （１８） の場合は、ダイオードＤ₁ 、Ｄ₂ が何れもオフとなるか
ら、図１０の回路は図１１の（Ｂ）に示すようになる。
増幅器Ａ₂ の抵抗Ｒ_f を適当に選ぶことにより、負の増
幅度を持たせることができる。

【００４９】更に、入力電圧Ｖ_inが、 Ｖ_in ＜ −Ｅ₁ ・Ｇ （１９） の場合は、ダイオードＤ₁ のみがオンとなるので、図１
１（Ｃ）に示す回路が実現される。この回路もまた正の
増幅度をもち、その増幅度は抵抗Ｒ₁ およびＲ_fの少な
くともいずれか一方によって調整することができる。

【００５０】以上から、図１０に示す非線形関数要素３
ｉの回路は、図１２に示すような折れ線形状（Ｎ字形）
の非線形特性を示す。非線形関数要素３ｉを図１、図
３、図４の非線形関数要素３０として使用するときは、
その非線形関数ｆ₀ （ｘ_n ）が入力要素６０の出力信号
によって、演算途中でっあても、折れ線形状の形が異な
った、つまり図１２のＮ字形の３本の各線の傾斜や横軸
からの高さなどが異なった２個の非線形関数ｆ
_{0 1}（ｘ_n ）とｆ_{0 2}（ｘ_n ）のいずれかに切り替えられ
る。例えば、入力要素６０の２値出力が「１」のときは
非線形関数ｆ_{0 1}（ｘ_n ）に、「０」のときは非線形関数
ｆ_{0 2}（ｘ_n ）に切り替えられる。この切り替えは、図１
０における電圧−Ｅ₁ 、Ｅ₂ 、各抵抗の定数等の切り替
えによって行われる。

【００５１】最後に、最も簡単な図１に示したカオス的
信号発生装置の機能構成をコンピュータソフトウエアで
実現し、これによるシミュレーションの結果について説
明する。式（１）、（２）を次のように書きなおす。 ｘ_{n+ 1} ＝ｆ₀ （ｘ_n ）＋ａ₂ ｙ_n （２０） ｙ_{n+ 1} ＝ｘ_n （２１）

【００５２】非線形関数ｆ₀ （ｘ_n ）を次式で表す。な
お、この非線形関数ｆ₀ （ｘ_n ）は入力要素６０からの
出力信号によってｆ_{0 1}（ｘ_n ）とｆ_{0 2}（ｘ_n ）のいずれ
かに切り替えられるものであるが、ここでは説明を簡単
にするために、切り替えられないものとする。 ｆ₀ （ｘ_n ）＝ａ₁ ｘ＋（ｘ＋cos ｘ² ）／（１＋ｘ² ） （２２） ここで、ａ₁ 、ａ₂ は定数（パラメータ）である。

【００５３】式（２２）で表される非線形関数ｆ₀ （ｘ
_n ）は図１３に示す曲線を描く。ここでａ₁ は 0.300で
ある。他の図１４〜図１８は式（２０）〜（２２）から
得られる（ｘ_n 、ｙ_n ）によって表される点をＸＹ座標
に表現したものであり、ｎ＝１〜２０００、すなわち初
期値（ｘ₀ 、ｙ₀ ）を含めて２００１個の点が現れてい
る。

【００５４】まず、図１４は初期値をｘ₀ ＝ 0.000、ｙ
₀ ＝ 0.000とし、パラメータをａ₁＝ 0.300、ａ₂ ＝−
1.000の条件に設定した場合に得られるパターン（図
柄）を表している。

【００５５】つぎの図１５はパラメータ（ａ₁ ＝ 0.30
0、ａ₂ ＝− 1.000）を固定して、初期値をｘ₀ ＝ 5.00
0、ｙ₀ ＝ 5.000に変化させることにより得られるパタ
ーンを示す。初期値を変えることによって、点の集合に
より表されるパターンがかなり変化することがわかる。

【００５６】つぎの図１６はパラメータ（ａ₁ ＝ 0.30
0、ａ₂ ＝− 1.000）を固定して、初期値をｘ₀ ＝ 10.0
00 、ｙ₀ ＝ 10.000 に変化させることにより得られる
パターンを示す。点の集合によって表されるパターンは
更に変貌を遂げている。

【００５７】つぎの図１７は初期値を図１４の場合と同
じ（ｘ₀ ＝ 0.000、ｙ₀ ＝ 0.000）とし、パラメータを
ａ₁ ＝ 0.290（但し、ａ₂ ＝− 1.000は固定）と僅かに
変えた場合に得られるパターンである。図１４の場合と
異なって、パターンはおよそ−１≦ｘ、ｙ≦＋２の中に
閉じ込められており、パラメータを少し変えただけでも
パターンが大幅に変化することが分かる。

【００５８】最後の図１８は一方のパラメータをａ₁ ＝
1.000に更に変えた場合であり、初期値（ｘ₀ ＝ 0.00
0、ｙ₀ ＝ 0.000）及び他方のパラメータ（ａ₂ ＝− 1.
000）は変更していない。ここではパターンが完全に変
貌している。

【００５９】以上のような点（ｘ_n 、ｙ_n ）の集合は、
表示要素８０によって２次元的に表示される。この表示
要素８０としては、ＣＲＴ表示装置、プラズマ・ディス
プレイ、液晶表示装置、マトリクス状に点光源を配置し
たもの等種々のものを用いることができる。

【００６０】表示方法としては次がある。 １）パターン形成過程の表示 一定時間毎にｎをインクリメントしながら、そのとき得
られた解（ｘ_n 、ｙ_n）によって表される点を順次表示
する。既に表示した点は消し去っても或いはそのまま残
しても良い。このときは、この表示によって時間の経過
に従ったパターンが形成されていく様子、又は点の軌跡
が分かる。

【００６１】２）静止パターンの表示 所定数（例えば上述した２００１個）の点の座標の集合
を記憶要素７０に予め格納しておいて、これらの全ての
点を一挙に表示する。図１４〜図１８に示すようなパタ
ーンが表示されるであろう。

【００６２】３）動パターンの表示 ２）に示す静止パターンの表示において、ｎを更にイン
クリメントして新たな点を求め、この点を追加的に表示
するとともに、最も古い点の表示を消去する。表示され
ている点の総数は常に一定であるが、表示されているパ
ターンが時間の経過と共に変化していく。

【００６３】４）初期値、パラメータの少なくとも１つ
を変化させる。 この方法は上記１）〜３）の表示方法のすべてに当ては
まる。特に２）の静止パターン表示方法においては、初
期値（ｘ₀ 、ｙ₀ ）の変化で図１４のパターンから図１
５又は図１６のパターンへ、パラメータ（ａ₁ 、ａ₂ ）
の変化で図１４のパターンから図１７又は図１８パター
ンへというように表示パターンが突然変化する。

【００６４】５）非線形関数ｆ₀ （ｘ_n ）を切り換え
る。 上記１）〜４）の表示方法では非線形関数が固定であっ
たが、これを変化させれば、非線形関数が図１３に示し
たものから別の特性に変化するので、上記１）のパター
ン成形過程の表示、２）の静止パターンの表示、３）の
動パターンの表示のすべてにおいて、上述とは異なった
表示形態となる。また、４）の初期値やパラメータの変
化を伴わせれば、更に以外性に富んだ表示を実現するこ
とができる。

【００６５】以上のような表示は、広告の背景表示とし
て効果的である。上述したパターンの変化、点の軌跡は
全く不規則であり、予測できない。しかし、雑音のよう
な不快さもなく、見ていて飽きることがなく魅力的であ
る。

【００６６】以上の説明では、非線形関数要素が複数の
場合であっても、そのうちの１個についてのみ外部入力
信号によりその非線形関数が切り替えられるようにした
が、２以上の非線形要素を使用する場合においては、複
数個の非線形要素の非線形関数を同様に切り替えるよう
にすることもできる。

【００６７】また、この切替変化ついては、２個の非線
形関数から１個を選択するような切り替えの他に、入力
要素の出力信号を多値化して、３個以上から１個を選択
するように切り替えることも、また外部入力信号に応じ
て連続的（アナログ的）にその非線形関数を変化させる
ようにすることも、できる。

【００６８】また、その非線形関数を変化させるための
信号は、外部から到来する信号（音声信号等その他）に
かぎるものではない。例えば、入力要素の部分に外部か
ら抵抗値が操作可能な可変抵抗等を設けておいて、これ
を操作して非線形関数を変化させるようにすることもで
きる。

【００６９】また、１クロック期間（Δｔ）内に記憶要
素に取り込む解は、表示のためのＸＹ直交座標上の点の
位置を特定するために、ｘ_n 、ｙ_n のように、２個必要
であるが、その２個は任意の箇所から取り込むことが可
能である。すなわち、上述したようなディレイ要素から
の出力の他に、非線形関数要素からの出力、係数要素か
らの出力、上記加算要素からの出力のうちからいずれか
２つの出力を取り込めば良い。

【００７０】また、以上の説明でシステムのダイナミク
スが差分方程式［例えば式（１）］で表される場合につ
いてのべてきたが、 ｄｘ／ｄｔ＝ｆ（ｘ）＋ａｙ （２３） ｄｙ／ｄｔ＝ｘ （２４） のような微分方程式で表される場合も同様であり、この
場合はディレイ要素の代わりに積分要素を用いれば良
い。この発明において、「ディレイ要素」、「ディレイ
手段」、「ディレイ回路」は、「積分要素」、「積分手
段」、「積分回路」を含む概念である。

【００７１】

【発明の効果】以上から本発明によれば、カオス的信号
を発生させたり、表示させることが可能となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 １つの非線形関数要素と１つの係数要素と
を含む最も簡単なカオス的信号発生装置の機能的構成を
示す図である。

【図２】 （Ａ）は初期化要素のシンボルを、（Ｂ）
はその具体的回路例をそれぞれ示す図である。

【図３】 １つの非線形関数要素と複数の係数要素と
を含むカオス的信号発生装置の機能的構成を示す図であ
る。

【図４】 複数の非線形関数要素を含む一般的なカオ
ス的信号発生装置の機能的構成を示す図である。

【図５】 線形ディレイユニットの回路構成を示すブ
ロック図である。

【図６】 非線形ディレイユニットの回路構成を示す
ブロック図である。

【図７】 線形ディレイユニットの具体的回路構成を
示す回路図である。

【図８】 クッロク信号φの波形図である。

【図９】 非線形ディレイユニットの具体的回路構成
を示す回路図である。

【図１０】 非線形関数要素の具体例を示す回路図であ
る。

【図１１】 （Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）は図１０の回路の
動作を示す入力信号の各レンジ毎の等価回路図である。

【図１２】 図１０に示す回路の入出力特性を示す図で
ある。

【図１３】 非線形関数の特性の一例を示す特性図であ
る。

【図１４】 図１３に示す非線形関数を含み、図１に示
す機能的構成をもつカオス的信号発生装置により表示さ
れるパターンを示す図である。

【図１５】 カオス的信号を描く他のパターンを示す図
である。

【図１６】 カオス的信号を描く他のパターンを示す図
である。

【図１７】 カオス的信号を描く他のパターンを示す図
である。

【図１８】 カオス的信号を描く他のパターンを示す図
である。

【符号の説明】

１０〜１５、１ｉ：ディレイ要素 ２０〜２５、２ｉ、６１〜６４、６ｉ：初期化要素 ３０〜３４、３ｉ：非線形関数要素 ４０〜４４、４ｉ：係数要素 ５０：加算要素 ６０：入力要素 ７０：記憶要素 ８０：表示要素

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 信号を所定時間づつ順次遅延させる複数
   のディレイ手段と、該複数のディレイ手段のうちの少な
   くとも１つから得られる信号を非線形関数によって変換
   する１又は複数の非線形関数手段と、上記ディレイ手段
   の他の１又は複数のものから得られる信号を所定係数倍
   する１又は複数の係数手段と、上記非線形関数手段及び
   上記係数手段から得られる信号を加算する加算手段と、
   動作開始時に上記ディレイ手段のいずれか１以上、又は
   上記非線形関数手段の１又は複数、又は上記係数手段の
   １又は複数、又は上記加算手段に初期値を与える初期化
   手段とを備え、上記加算手段の出力を上記ディレイ手段
   の最前段のものにフィードバックさせるように構成した
   カオス的信号発生装置であって、 上記１又は複数の非線形関数手段のうちの少なくとも１
   つの非線形関数手段の非線形関数を外部から変化させる
   ための入力手段を設けたことを特徴とするカオス的信号
   発生装置。
2. 【請求項２】 上記複数のディレイ手段の出力、上記１
   又は複数の非線形関数手段の出力、上記１又は複数の係
   数手段の出力、及び上記加算手段の出力のうちからいず
   れか２つの出力を取り出す取出手段と、該２つの出力に
   より決まるＸＹ直交座標上の点の１又は複数により二次
   元平面図形を表示させる表示手段とを具備させたことを
   特徴とする請求項１に記載のカオス的信号発生装置。
3. 【請求項３】 上記２つの出力から決まるＸＹ直交座標
   上の点の複数分のデータを蓄積する記憶手段を具備さ
   せ、該記憶手段から出力した信号により上記二次元平面
   図形を上記表示手段で表示させるようにしたことを特徴
   とする請求項２に記載のカオス的信号発生装置。
4. 【請求項４】 順次与えられる複数個の信号をその順序
   に保存しておき、該保存されている信号のうちの少なく
   とも１つを非線形関数によって変換すると共に、上記保
   存されている信号の他のものを所定係数倍し、上記非線
   形関数変換された信号と上記所定係数倍された信号とを
   加算し、該加算により得られた信号を最新の信号として
   保存し、且つ該保存されている信号を順次シフトし、上
   記一連の処理を初期値を与えることにより開始させ且つ
   繰り返させることによりカオス的信号を与えるカオス的
   信号発生方法であって、上記非線形関数を外部から変化
   させるようにしたことを特徴とするカオス的信号発生方
   法。
5. 【請求項５】 上記保存されている複数の信号、上記非
   線形関数変換された１又は複数の信号、上記係数倍され
   た１又は複数の信号、及び上記加算により得られた信号
   のうちからいずれか２つの出力を取り出し、該２つの出
   力により決まるＸＹ直交座標上の点の１又は複数により
   二次元平面図形を表示させるようにしたことを特徴とす
   る請求項５に記載のカオス的信号発生方法。
6. 【請求項６】 上記２つの出力から決まる二次元平面上
   の点の複数分のデータを一旦蓄積してから、その蓄積内
   容の全部又は一部により二次元図形を表示させるように
   したことを特徴とする請求項５に記載のカオス的信号発
   生装置。