CN103259643B

CN103259643B - 一种矩阵全同态加密方法

Info

Publication number: CN103259643B
Application number: CN201210287976.2A
Authority: CN
Inventors: 朱艳琴; 靳方元; 罗喜召; 纪其进; 杨哲; 李领治
Original assignee: Suzhou University
Current assignee: Suzhou University
Priority date: 2012-08-14
Filing date: 2012-08-14
Publication date: 2016-06-15
Anticipated expiration: 2032-08-14
Also published as: CN103259643A

Abstract

本发明在于公开了一种矩阵全同态加密算法，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，1）初始化模块：根据待加密矩阵的维数、加密类型和矩阵元素值的范围，来生成加密、解密所需的密钥；2）加密模块：根据给定的明文矩阵，使用加密算法和密钥对明文矩阵进行加密，输出密文矩阵；3）解密模块：根据给定的密文矩阵，使用密钥和解密算法对密文矩阵进行解密，输出明文矩阵；4）矩阵全同态模块：矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出仍然满足同态的性质，即满足矩阵全同态的性质。本发明的优点一是能够满足安全性需求；二是满足矩阵全同态的要求；三是明显提高了密文矩阵的运算速度。

Description

一种矩阵全同态加密方法

技术领域

本发明涉及一种同态加密算法，具体涉及一种矩阵全同态加密算法。

背景技术

互联网的开放性，其优点是方便了我们的生活，最大的缺点是网络中的私有信息的安全遭受严重的威胁，所以近年来网络安全越来越受到人们的关注。保护私有信息的安全方法有很多种，对信息加密便是其中的一种方式，目前常用的方法是对称密钥加密算法和公钥加密算法，例如对称密钥加密算法有DES、AES等，公钥加密算法有RSA、ECC、IBE等。设计这类算法的目的仅是保护信息的安全性，即仅是对明文信息进行加密，但密文通常不能够用于计算。

同态加密算法产生的密文可以用于计算。这样既能够保护明文信息，同时也能够在密文上进行函数运算。同态加密具备这两个特征，使其可以被用到“云计算”环境中，即委托计算模式——用户将要计算的输入通过同态加密算法加密后得到密文，并将要计算的函数和密文发送给“云”，“云”对密文进行函数运算后，再返回计算结果，用户验证并解密得到的最终的结果。

Rivest等人在1978年首次提出同态加密的概念，经过漫长的发展，直到2009年，Gentry才开创性的提出并构造了第一个全同态加密方案。后来在对Gentry的方案、其改进方案以及在LWE假设基础上构造的全同态加密方案等的实现过程中发现，已有的全同态加密方案并不实用，就以已实现的整数全同态加密方案为例，在一台性能较好的PC上，对两个32比特的整数加密后的密文相加，需要的大约600秒的时间。

针对矩阵的计算，有时并不需要对矩阵的每个元素都进行同态加密，来达到矩阵运算的同态。2011年，payman在文献《EfficientandSecureDelegationofLinearAlgebra》中就是使用部分同态加密算法对矩阵元素进行加密达到矩阵同态的，这种方法存在的缺点一是不实用，即速度慢。二是仅能达到部分同态，即最多一次乘法同态。三是私钥的长度和维数有关，当维数很大时，私钥也随之变长。本发明就是设计一种方法，在矩阵这一层对矩阵进行加密，同时满足矩阵整体的安全性要求和全同态性质。

发明内容

针对目前所设计的矩阵同态加密方案的问题和不足，本发明提供了一种矩阵全同态加密算法，一保证明文矩阵的安全性，即经过加密的明文矩阵，攻击者得到其对应的明文矩阵是困难的；二是降低密文矩阵的运算复杂度，即提高在对密文矩阵的运算速度,使得在密文上进行运算的速度接近在明文上运算的速度；三是使得矩阵运算能够在矩阵这一层达到全同态。

为实现上述技术目的，达到上述技术效果，本发明通过以下技术方案实现：

一种矩阵全同态加密算法，根据功能和流程分为四个模块，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，其功能和流程如下：

1）初始化模块：根据待加密矩阵的维数、加密类型和矩阵元素值的范围，来生成加密、解密所需的密钥；

2）加密模块：根据给定的明文矩阵，使用加密算法和密钥对明文矩阵进行加密，输出密文矩阵；

3）解密模块：根据给定的密文矩阵，使用密钥和解密算法对密文矩阵进行解密，输出明文矩阵；

4）矩阵全同态模块：矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出仍然满足同态的性质，即满足矩阵全同态的性质。

通过初始化产生的密钥，对明文矩阵进行加密，从而可以保证明文矩阵的安全性。由于该加密算法满足矩阵全同态的性质，故可以对密文矩阵进行计算，通过解密算法便能够得到密文矩阵对应的明文矩阵。

本发明的原理是：

矩阵全同态加密方法包括主要四个模块，初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，首先是初始化一系列参数，生成密钥用于加密模块和解密模块，加密模块产生的密文矩阵和矩阵全同态模块产生的密文矩阵主要用于矩阵全同态模块的矩阵运算，解密模块是用来解密加密模块和矩阵全同态模块产生的输出。

下面说明公式所具备的特征。根据选择的不同，来划分密钥的空间，依据不同的密钥空间来说明相同加密方法所产生的不同加密效果，其中，分别表示矩阵的加法和乘法。

在矩阵这一层具备全同态的性质：设，，下面通过公式推导来说明矩阵满足全同态的性质。

a）矩阵加法同态：因

，

故满足矩阵加法同态。

b）矩阵乘法同态：因

，

故满足矩阵乘法同态。

c）矩阵全同态：即经过任意次矩阵加法或乘法混合运算后，产生的输出仍满足矩阵的加法同态和乘法同态的性质。

下面将根据选择的不同，来说明经过这种形式加密方法产生的密文所具备的性质，并划分密钥空间。

设是单位矩阵经过随机的行列变换后得到的矩阵集合。对于任意的矩阵，先假设是矩阵中第行，第列的元素，现在对进行如下处理得到矩阵，

（1）

由矩阵的乘法可知，对左乘以矩阵，即是对矩阵作随机行变换，记，就是对随机行变换后的结果。再在的右边乘以，即是对再进行随机列变换，最终得到矩阵，即是经过随机行列变换后的结果。通过这种方法对进行处理得到，具备以下特点：

1）元素值不变化：对于中任意的元素，中都有一个元素与其相等，，即仅是进行元素位置变换后的结果。

2）密文矩阵运算速度最快：密文矩阵的加法和乘法运算等于明文矩阵的运算速度，故是最快的一种。

3）安全性：对于加密后的明文矩阵，从理论上通过变换元素的位置得到明文的概率是。

令集合为中可逆矩阵构成的集合，记集合。对于任意的矩阵，再对进行公式（1）那样处理得到矩阵。设，，，，则，其中向量为的第行，向量为矩阵的第列，向量为的第列，其中。由此可知，中的任意元素是由中的向量与矩阵构成的向量的内积，其密钥空间大小为，为元素值的长度，可知当较大时，是安全的。

由上述分析得知，当密钥来自集合时，矩阵全同态加密方法产生的密文仅是矩阵元素位置的变换，故矩阵的运算速度和其对应明文矩阵的计算是一样的，也就是最快的一种。当密钥来自集合，矩阵全同态加密方案产生的密文对矩阵的元素值进行了加密，在此密文上进行函数运算的速度和上面的接近。综上所述，矩阵全同态加密方法的密钥空间为集合，，矩阵全同态加密方法的密文运算速度和明文运算的速度相近。

本发明的有益效果是:

本发明的矩阵全同态加密方法具备如下功能：

1、生成随机矩阵：给定参数，可以生成所需条件的矩阵。

2、信息加密：对矩阵或者其他任意信息进行加密。加密是矩阵全同态加密方法最基本的功能，可以对矩阵，例如图像，进行加密。或者对其他信息编码成矩阵后，再使用此方法进行加密。

3、解密：对密文矩阵进行解密。

4、对密文矩阵集合进行函数运算：对于任意的函数，再给定密文输入的情况下，可以计算，这就相当于先对明文矩阵集合进行运算，得到结果，再对计算结果加密，这样便保护了计算的输出。

本发明的优点一是能够满足安全性需求；二是满足矩阵全同态的要求；三是明显提高了密文矩阵的运算速度。

附图说明

图1是本发明的矩阵全同态加密流程示意图;

图2是本发明的密钥空间为的矩阵全同态加密实例图;

图3是本发明的密钥空间为的矩阵全同态加密实例图。

具体实施方式

下面将结合实施例1和实施例2，来详细说明本发明。实施例1说明的是密钥选自密钥空间，实施例2说明的是密钥选自密钥空间。

参见图1所示，矩阵全同态加密算法，包括主要四个模块，初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块。

实施例1

1、初始化模块：即用户给定所需生成密钥的维数、选择密钥空间和矩阵元素值范围，通过密钥生成器生成所需的密钥。

其具体步骤如下：

（1）用户输入维数、选择密钥空间和矩阵中元素值的范围。参见图2所示，图中21中输入的参数为，其中G表示密钥空间为。

（2）密钥生成器产生密钥：包括随机整数可逆矩阵生成器和矩阵求逆器。产生密钥详细如下：

a）生成可逆矩阵：给定矩阵的维数，密钥空间和可逆矩阵中元素值的范围，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵，。参见图2所示，图中22为生成的可逆矩阵。

b）求可逆矩阵的整数逆矩阵：使用矩阵求逆器，求得矩阵的一整数逆矩阵，，参见图2所示，图中22是求得的逆矩阵。

c）输出密钥：密钥，参见图2所示，实施例1的密钥为22。

2、加密模块：用户在给定密钥和明文矩阵的情况下，使用加密算法对进行加密，产生密文矩阵，。详细步骤如下：

（1）用户输入密钥和待加密的明文矩阵：用户根据待加密的明文矩阵的维数来选择密钥，其中，参见图2所示，实施例1的明文矩阵是23。

（2）用户使用矩阵全同态加密算法加密文矩阵：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵，。在此记合法的密文空间为，参见图2所示，实施例1的加密算法是24，产生密文25。

3、解密模块：用户在给定私钥和密文矩阵的情况下，使用解密算法对进行加密，输出明文矩阵，。详细步骤如下：

（1）用户输入密钥和合法的密文矩阵：用户输入合法的密文矩阵和密钥，其中。

（2）用户使用矩阵全同态解密算法解密密文矩阵：用户运行矩阵全同态解密算法，输出明文矩阵，

参见图2所示，实施例1中解密部分有29、210、211。

4、矩阵全同态模块：矩阵全同态仅是加密算法的一个特征，在此把它单独列为一个模块，是为了突出矩阵全同态的性质和矩阵全同态与矩阵函数运算的关系。将从以下几个步骤来说明矩阵全同态：

（1）矩阵加法同态：输入为，由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设，是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知

是矩阵加法同态的。参见图2所示，实施例1的加法同态是29。

（2）矩阵乘法同态：输入为，由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文。现假设，是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵。因下式推导可知

是矩阵乘法同态的。参见图2所示，实施例1的乘法同态是210。

矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为，例如，求矩阵的次方就是一个复合函数。对于任意的函数，其输入为集合，其输出为，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为，密文合集记为，矩阵全同态是指：对于任意的函数，输入为，函数产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态。很容易得到，是对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。参见图2所示，实施例1的矩阵全同态是211。

实施例2

其具体步骤如下：

（1）用户输入维数、选择密钥空间和矩阵中元素值的范围。参见图3所示，图中31中输入的参数为，其中I表示密钥空间和。

a）生成可逆矩阵：给定矩阵的维数，密钥空间和可逆矩阵中元素值的范围，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵，。参见图3所示，图中32为生成的可逆矩阵。

b）求可逆矩阵的整数逆矩阵：使用矩阵求逆器，求得矩阵的一整数逆矩阵，，参见图3所示，图中32是求得的逆矩阵。

c）输出密钥：密钥，参见图3所示，实施例2的密钥为32。

（1）用户输入密钥和待加密的明文矩阵：用户根据待加密的明文矩阵的维数来选择密钥，其中，参见图3所示，实施例2的明文矩阵是33。

（2）用户使用矩阵全同态加密算法加密文矩阵：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵，。在此记合法的密文空间为，参见图3所示，实施例2的加密算法是34，产生密文是35。

。

参见图3所示，实施例2中解密部分有310、312、313。

4、矩阵全同态模块：此模块的说明与实施例1中的同理。

，是矩阵加法同态的。参见图3所示，实施例2的加法同态是39。

是矩阵乘法同态的。参见图3所示，实施例2的乘法同态是311。

矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为，例如，求矩阵的次方就是一个复合函数。对于任意的函数，其输入为集合，其输出为，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为，密文合集记为，矩阵全同态是指：对于任意的函数，输入为，函数产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态。很容易得到，是对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。参见图3所示，实施例2的矩阵全同态是313。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种矩阵全同态加密算法，根据功能和流程分为四个模块，其特征在于，包括初始化模块、加密模块、解密模块和矩阵全同态模块，其功能和流程如下：

1）初始化模块，根据用户给定所需生成密钥的维数、选择密钥空间和矩阵元素值范围，通过密钥生成器生成所需的密钥，其具体步骤如下：

（1）用户输入维数、选择密钥空间和矩阵中元素值的范围；

（2）密钥生成器产生密钥：包括随机整数可逆矩阵生成器和矩阵求逆器；

2）加密模块，根据用户在给定密钥和明文矩阵，使用加密算法和密钥对明文矩阵进行加密，产生密文矩阵，，其具体步骤如下：

（1）输入待加密的明文矩阵和选择有效的密钥：用户根据待加密的明文矩阵的维数来选择密钥，其中；

（2）用户使用矩阵全同态加密算法加密明文矩阵：用户运行矩阵全同态加密算法，输出密文矩阵，；在此记合法的密文空间为；

3）解密模块，根据用户给定私钥和密文矩阵，使用解密算法和密钥对进行解密，输出明文矩阵，，其具体步骤如下：

（1）用户输入密钥和合法的密文矩阵：用户输入合法的密文矩阵和有效的密钥，其中；

（2）用户使用矩阵全同态解密算法解密密文矩阵：用户运行矩阵全同态解密算法，输出明文矩阵，；

4）矩阵全同态模块，其包括矩阵的加法运算、矩阵的乘法运算以及矩阵的加法乘法混合运算，经计算推导，矩阵的加法和乘法运算都满足矩阵同态的性质，矩阵加法和乘法产生的输出亦满足同态的性质，即满足矩阵加法同态、矩阵乘法同态和矩阵全同态，其推导过程如下：

（1）矩阵加法同态：输入为，由矩阵加密算法产生的密文或者是由矩阵的加法和乘法构成的复合函数运算产生的输出密文；若，是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵的加法和乘法构成的复合函数运算产生的明文矩阵；因，可知此加密算法满足矩阵加法同态性质；

（2）矩阵乘法同态：输入为，由矩阵加密算法产生的密文或者是矩阵函数运算产生的输出密文；若，是直接产生明文矩阵或是明文矩阵经过矩阵函数运算产生的明文矩阵；因，可知此算法是满足矩阵乘法同态性质；

（3）矩阵全同态：设由矩阵加法或乘法构成的复合函数集合记为；对于任意的函数，其输入为集合，其输出为，由函数集合在给定的输入情况下，产生的输出构成的集合记为，对输入明文矩阵加密产生的密文矩阵集合记为，密文集合记为，矩阵全同态是指：对于任意的函数，输入为，函数产生的输出仍满足矩阵加法和乘法同态；很容易得到，是对应的明文矩阵集合，即满足矩阵全同态性质。

2.根据权利要求1所述的矩阵全同态加密算法，其特征在于，产生密钥详细如下：

a）生成随机的整数可逆矩阵：给定矩阵的维数，密钥空间和可逆矩阵中元素值的范围，使用随机整数可逆矩阵生成器产生整数可逆矩阵，；

b）求可逆矩阵的整数逆矩阵：使用矩阵求逆器，求得矩阵的一整数逆矩阵，；

c）输出密钥：密钥。