WO2023233501A1 - 区分的に平均曲率一定な曲面形状ロボット - Google Patents

区分的に平均曲率一定な曲面形状ロボット Download PDF

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WO2023233501A1
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actuators
curved
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Inventor
憲泰 岩本
Original Assignee
国立大学法人信州大学
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    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B25—HAND TOOLS; PORTABLE POWER-DRIVEN TOOLS; MANIPULATORS
    • B25J—MANIPULATORS; CHAMBERS PROVIDED WITH MANIPULATION DEVICES
    • B25J9/00—Programme-controlled manipulators
    • B25J9/08—Programme-controlled manipulators characterised by modular constructions

Definitions

  • the present invention relates to a curved surface robot equipped with a driving part that is thin relative to its width, and in particular, it is capable of expressing a complex curved surface with a small number of parameters, and more easily obtains a homogeneous transformation matrix on the robot. Concerning curved robots that can be used.
  • Non-Patent Document 1 A curved robot with a thinner thickness than its own width (Non-Patent Document 1) has redundant degrees of freedom and can execute multiple tasks at the same time. For example, when a curved robot is used as a support system in laparoscopic endoscopic surgery, the main task of designing the surgical field space as a whole shape of the robot is achieved, while the two tasks of locally excluding organs are achieved. It is assumed that the next task will be given. Although the global shape of a curved robot is spherical, it is desirable to be able to realize partially different shapes. The present inventors have been working on realizing a pneumatically driven robot that is such a curved robot (Patent Document 1, Non-Patent Document 2).
  • Non-Patent Document 3 introduces a method for deriving the kinematics of a continuum robot that assumes that the curvature of the curved section is piecewise constant. This method is applied, for example, to the continuum robot described in Patent Document 2, and various curved shapes can be expressed by connecting sections with known shapes and constant curvature.
  • non-patent documents 4 to 10 are listed below as non-patent documents 4 to 10.
  • An object of the present invention is to provide a curved surface robot that can express various curved surfaces with a small number of parameters and is configured so that a homogeneous transformation matrix on the robot can be obtained more easily.
  • the curved robot of the present invention is an actuator connection body configured by connecting a plurality of sheet-like actuators that can be deformed into a shape along a predetermined curved surface including a plane; a control device that controls the operation of each of the sheet-like actuators; It is equipped with When the actuator coupling body is unfolded on a plane, at least one other sheet-like actuator is arranged adjacent to one sheet-like actuator, and a single sheet-like actuator is arranged between adjacent sheet-like actuators. are interconnected through nodes,
  • the control device includes: Each of the sheet-like actuators is deformed into a shape along the same or different types of curved surfaces with constant average curvature so that the actuator coupling body has a predetermined curved surface shape.
  • a curved surface with a constant average curvature that defines the curved surface shape after deformation is given to each sheet-like actuator as an input.
  • a type of geometric shape (type of curved surface with constant average curvature) and two radii of curvature are given.
  • the curved shape of each sheet-like actuator is determined, a homogeneous coordinate transformation matrix is found, and the curved shape of the actuator connection body, which is the shape of the entire robot, is obtained.
  • a membrane-like passive element that can be modeled as an extremely small curved surface can be connected to each of the gap portions between the sheet-like actuators in the actuator coupling body. It is also possible to consider a robot in which a sheet-like actuator is connected to the gap.
  • a sheet-like actuator in the gap may represent an extremely small curved surface extending over the gap.
  • the sheet-like actuator in the gap portion may be deformed into a shape along a curved piece that realizes the boundary shape of the gap portion.
  • deforming into a shape that follows a curved surface with a constant average curvature refers to not only a deformed state that easily matches a curved surface with a constant average curvature, but also a state in which the average curvature is not completely constant but substantially It is used in a broad sense, including deformed states that can be regarded as curved surfaces with constant average curvature. A deformed state that approximates such a curved surface with constant average curvature is also included within the scope of the present invention.
  • "deforming into a minimum curved surface” means that the deformation state completely matches the minimum curved surface. It also includes a deformed state that can be considered as a substantially minimal curved surface.
  • the curved robot of the present invention includes an actuator connection body in which a plurality of sheet-like actuators are arranged such that each of the adjacent sheet-like actuators is connected to each other at a single point.
  • Curved surfaces with constant mean curvature such as planes, catenoid, cylinders, and spherical surfaces can have an isothermal coordinate system, so the base coordinate system set on the curved surface expressed by the actuator coupling body and each point on the curved surface are orthogonal.
  • a homogeneous transformation matrix can be considered, and conventional coordinate transformations in robotics can be applied as is.
  • the sheet-like actuators or the passive elements arranged in the gap region between the sheet-like actuators are each deformed into a shape along the minimum curved surface. Since isothermal coordinates can be taken even on a minimum curved surface, which is one of the curved surfaces with constant average curvature, it is sufficient to consider an orthogonal coordinate system even on the sheet-like actuator or passive element that defines the gap region.
  • the curved surface shape that each sheet-like actuator can take is limited to a shape along a curved surface with a constant average curvature, complex curved surfaces can be expressed with a small number of parameters, and homogeneous transformation on the robot can be performed. It is possible to realize a curved robot with multiple degrees of freedom (a combination of robot and kinematics) whose matrix can be obtained more easily. Further, when numerical simulations of forward kinematics were performed on the curved robot of the present invention, it was confirmed that the idea of having a piecewise constant average curvature is useful from the viewpoint of work area and calculation time.
  • FIG. 1 is an explanatory diagram showing a curved robot to which the present invention is applied;
  • FIG. FIG. 3 is an explanatory diagram showing an example of a deformed state of a curved robot (actuator coupling body). It is an explanatory view showing another example of an actuator connection body.
  • (a) is an explanatory diagram showing the actuator assembly in a state developed on a plane,
  • (b) is an explanatory diagram showing the coordinates of one sheet-like actuator, and
  • (c) is the coordinate system and homogeneous transformation matrix of each sheet-like actuator.
  • (a) is an explanatory diagram showing an actuator assembly with a 3x3 configuration
  • (b) is an explanatory diagram showing an actuator assembly with a 2x5 configuration
  • (c) is an explanatory diagram showing a deformed state of these actuator connectors. It is.
  • (a) and (b) are graphs showing the simulation results of the work area seen in the xy plane and the work area seen in the xz plane in the case of a 3 ⁇ 3 configuration
  • (c) and (d) are 12 is a graph showing simulation results of a work area viewed on an xy plane and a work area viewed on an xz plane in the case of a ⁇ 5 configuration.
  • FIG. 1A is an explanatory diagram showing a curved robot according to an embodiment
  • FIG. 1B is an explanatory diagram showing an example of a deformed state of an actuator coupling body, which is a main body portion of the robot, together with coordinate axes.
  • the curved robot 1 includes an actuator assembly 5 configured by connecting a plurality of sheet-like actuators, in this example five sheet-like actuators 2(1) to 2(5) each having a rectangular outline, and each sheet-like actuator. 2(1) to 2(5), and a control device 6 mainly composed of a computer.
  • the control device 6 controls the drive of the actuator assembly 5 via a wired or wireless communication line.
  • Sheet-like actuators 2(1) to 2(5) are composed of the same or multiple types of sheet-like actuators, and are generally sheet-shaped or plate-shaped with a thin thickness relative to the vertical and horizontal widths. It can be deformed into a shape along a curved surface and has a predetermined rigidity that allows it to maintain the shape after deformation.
  • the curved robot 1 also includes one or more sensors 10 (camera, proximity sensor, etc.) for acquiring information about the external environment, and one or more sensors 20 for grasping the shape of the actuator coupling body 5, etc. (conductive elastic sensor, inertial sensor, etc.). Based on information regarding the external environment, the shape of the actuator connector 5, etc. obtained from these sensors 10 and 20, the drive of the actuator connector 5 by the control device 6 can be controlled.
  • membranes 3(1) to 3(4) which are passive elements with rectangular outlines, are attached to the gap areas between the sheet-like actuators 2(1) to 2(5).
  • the sheet-like actuators 2 and the membranes 3 are arranged alternately in the vertical and horizontal directions, and the rectangular shape defined by each of the five sheet-like actuators 2(1) to 2(5) is
  • the surface area of the contour and the surface area of the rectangular contour defined by each of the four membranes 3(1) to 4(4) form a checkered pattern (lattice pattern) of 3 rows and 3 columns.
  • the actuator coupling body 5 is shown in FIG. 1A in a flat (deformed) state, and in FIG. 1B it is shown in a curved state (piecewise with a constant average curvature).
  • the surface areas 2a(1) to 2a(5) of the rectangular outlines of the sheet-like actuators 2(1) to 2(5) are each expressed in a grid pattern so that the curved state of each part can be seen. It has been done.
  • the surface areas 3a(1) to 3a(4) of the rectangular outlines of the membranes 3(1) to 3(4) arranged in the gap areas between these are each expressed by triangular meshes. There is.
  • sheet-like actuators 2(1) to 2(5) they will be collectively referred to as sheet-like actuator 2, and membranes 3(1) to 3(4) will be distinguished. If there is no need, these are combined into a film 3. Similarly, it is assumed that the surface regions 2a and 3a.
  • adjacent sheet-like actuators 2 in the plane direction are connected and fixed at one place.
  • one corner of sheet-like actuator 2 (1) and sheet-like actuator 2 (2) is connected and fixed to each other at the same position to form node 4 (1, 2) (rigid node). are doing.
  • the same applies between other adjacent sheet-like actuators 2, between sheet-like actuators 2 (2) and 2 (3), between sheet-like actuators 2 (2) and 2 (4), and between sheet-like actuators Actuators 2 (2) and 2 (5) are also connected through nodes 4 (2, 3), 4 (2, 4), and 4 (2, 5), which are single connection points, respectively. ing.
  • each of the sheet-like actuators 2 can be deformed into a shape along a plane and an arbitrary or specific curved surface. That is, the surface area 2a of these rectangular contours can be transformed into a flat surface and an arbitrary or specific curved surface.
  • the membrane 3 disposed in the gap region between the sheet-like actuators 2 is a passive element that can be modeled as a curved surface (passively deformable surface) with minimum membrane energy, like cloth.
  • the control device 6 includes a control section 7 mainly composed of a computer, a drive section 8 that drives each of the sheet-like actuators 2, an operation/display section 9, and the like.
  • a control section 7 mainly composed of a computer
  • a drive section 8 that drives each of the sheet-like actuators 2, an operation/display section 9, and the like.
  • a curved surface with a constant average curvature that defines the curved surface shape after deformation for each sheet-like actuator 2 can be specified and input.
  • To designate a curved surface with constant average curvature it is sufficient to input information specifying the type of geometric shape (type of curved surface with constant average curvature) and to input two radii of curvature.
  • the control unit 7 controls the drive of each sheet-like actuator 2 via the drive unit 8 to transform each of the surface regions 2a into a specified curved surface with a constant average curvature.
  • the membrane 3, which is a passive element, is spanned between the outer peripheries of the sheet-like actuators 2 that define each gap, and their surface area 3a is defined by the shape of the outer periphery after deformation. It can be deformed into a shape along a minimal curved surface.
  • the actuator coupling body 5 as a whole is deformed into a predetermined curved shape, and each surface region 2a becomes in a state where the average curvature is piecewise defined by the constant average curvature curved surface.
  • control unit 7 registers in advance the correspondence between the combination of the geometric shape type and radius of curvature of each sheet-like actuator 2 and the curved surface shape of the actuator coupling body 5.
  • the operator specifies or selects the target curved shape of the actuator coupling body 5 via the operation/display section 9 .
  • the control section 7 functions as a curved surface specifying section that specifies a curved surface with a constant average curvature that defines the curved surface shape after deformation for each sheet-shaped actuator 2 so that the specified or selected curved surface shape is reproduced, and also
  • the actuator 2 is driven to transform the shape into a specified curved surface with constant average curvature. As a result, a state is obtained in which the actuator coupling body 5 is deformed into the specified or selected curved shape.
  • the shape of the sheet-like actuator 2 is not limited to a rectangle, and may have a circular outline, a polygonal outline, or other shapes.
  • the number of sheet-like actuators 2 arranged and the arrangement pattern are not limited to five sheets or the checkered pattern shown in FIG. 1A.
  • five sheet-like actuators 2 with rectangular outlines and five membranes 3, 3A form a lattice pattern of 2 rows and 5 columns (2 ⁇ 5).
  • the two membranes 3A located at both ends have triangular outlines.
  • the actuator coupling body 5B five sheet-like actuators 2B having a circular outline are arranged in a grid pattern, and adjacent sheet-like actuators 2B are mutually connected via a single node formed at their circumscribed position. is connected to.
  • membranes 3B which are passive elements having a contoured shape that can cover each gap area, are arranged.
  • an actuator connection body in which sheet-like actuators are connected in various numbers and patterns.
  • the actuator connection body when the actuator connection body is unfolded on a plane, at least one other sheet-like actuator is arranged adjacent to one sheet-like actuator, and there is a single space between adjacent sheet-like actuators.
  • An array pattern interconnected through one node is adopted.
  • a membrane 3 which is a passive element is arranged in each of the gap areas formed between the sheet-like actuators 2 which are mutually connected. It is also possible to arrange the membrane 3 only in some gap areas and leave the other gap areas as they are.
  • a sheet-like actuator having the same or a different structure from the sheet-like actuator 2 can be arranged as a sheet-like actuator for the gap region.
  • the actuator connection body is configured to include a sheet-like actuator for a gap area disposed in at least one of the gap areas formed between the sheet-like actuators 2 that are connected to each other.
  • the sheet-like actuator for the gap region can be deformed into a shape along a predetermined curved surface including a plane, and is spanned between the outer peripheral edges of the sheet-like actuators 2 surrounding the gap region.
  • control unit 7 of the control device 6 performs control to deform each sheet-like actuator 2 into a shape along a curved surface with a constant average curvature, and changes the sheet-like actuator 2 for the gap area to the sheet-like actuator 2 surrounding the gap area.
  • the control is performed so that the shape is deformed along a minimum curved surface determined by the boundary shape of the gap region defined by the outer peripheral edge of the gap region.
  • the sheet-like actuator for the gap area may be controlled to be deformed into a shape along a curved surface that realizes the boundary shape of the gap area.
  • Normal curvature can be calculated from a point on a curved surface and the tangent vector at that point. This corresponds to the value obtained by approximating a curved surface with a circle along the direction of the tangent vector at that point and taking the reciprocal of the radius of the circle. Furthermore, by finding the normal curvature while changing the direction at a certain point, the values at which the normal curvature is maximum and minimum are found.
  • n is the unit normal vector of the curved surface S.
  • Non-Patent Document 6 Examples of a rotating surface with a constant average curvature include a spherical surface, a cylindrical surface, a catenoid (suspension curved surface), an anduloid, and a nodoid, and the shape functions of these surfaces can be easily written (Non-Patent Document 6). The same applies to a helicoid (ordinary helical surface) which is a helical surface with a constant average curvature. FIG. 6 shows these six geometries. Among them, the cylindrical surface and the spherical surface are curved surfaces whose two principal curvatures are each constant.
  • Non-Patent Document 6 Since the six types of geometric shapes described above can take an isothermal coordinate system (Non-Patent Document 6), it is possible to consider a homogeneous transformation matrix that is orthogonal between the base coordinate system and each point on the curved surface. For example, for a cylinder bent in the u direction, the homogeneous transformation matrix between the base coordinate system of the curved surface and the coordinate system on the point (u, v) can be described as follows.
  • a plane Since a plane has an average curvature of 0, it is included in a curved surface with a constant average curvature.
  • a region obtained by mapping a closed region of a plane having isothermal parameters by first-order fractional transformation (Moebius transformation) is a plane and has isothermal parameters.
  • the first-order fractional transformation can be represented by four complex parameters. Therefore, in the transformation in the linear fractional transformation in the plane, the homogeneous transformation matrix between the base coordinate system of the curved surface and the coordinate system on the point (u, v) can be described using four parameters.
  • the contour lines constituting a rotating surface with a constant average curvature are given by Tsurugimochi's equation (Non-Patent Document 10).
  • the contour of an anduloid (undulary), the contour of a spherical surface (circle), and the contour of a nodoid (nodally) can be changed by parameters.
  • some spiral curved surfaces with a constant average curvature have isometric deformation into a rotating surface with a constant average curvature. This is possible by changing multiple parameters.
  • a well-known example is the isometric transformation from a catenoid to a helicoid. Therefore, the homogeneous transformation matrix can also be described using multiple parameters and the radius of curvature of the catenoid without explicitly specifying the geometry.
  • a curved surface whose average curvature is uniformly 0 is called a minimum curved surface (Non-Patent Document 7), and is a type of curved surface with a constant average curvature.
  • the Plateau problem (Non-Patent Document 8) is known as a famous problem for finding a minimum curved surface.
  • a curved surface whose average curvature is uniformly 0 has a minimum area A(f) with respect to the variation that fixes the boundary.
  • an isothermal coordinate system can be set on the surface area of the rectangular contour of each sheet-like actuator 2 that deforms into a shape along a curved surface with constant average curvature, so that the coordinate transformation in conventional robotics can be performed as is.
  • An S-isothermic curved surface is known as a discrete version of a curved surface with an isothermal curvature line coordinate system whose shape is limited from a curved surface with an isothermal coordinate system. This can be achieved by improving the S-isothermic curved robot developed by the inventors (Non-Patent Document 2).
  • the curved robot 1 is suitable for deforming in cooperation with a rigid robot or a continuous manipulator.
  • each sheet-like actuator 2(1) to 2(5) when not deformed has a planar shape, and its size is parameterized as shown in FIG. 2(b), with lu for width and lv for length.
  • the homogeneous transformation matrix 1 T 2 between the fixed coordinate system ⁇ 1 with the origin at the corner of the sheet-like actuator 2 (1) and the coordinate system ⁇ 2 of the sheet-like actuator 2 (2) is It is calculated by Also, the homogeneous transformation matrix between ⁇ 1 and the coordinate system ⁇ 4 of actuator 2 (4) is It is calculated by Here, the last two homogeneous transformation matrices on the right side are It is.
  • the membrane 3 which is a passive element is located on the boundary, as shown by reference numeral 3a in FIG. 2(c)
  • the simplest straight line was used.
  • FIG. 3(b) in the case of the 2 ⁇ 5 configuration, when the corners of the actuator coupling body 5A are defined by the membrane 3A, which is a passive element, the membrane shape is triangular.
  • FIG. 1B and FIG. 3(c) Examples of the curved surface shapes of the obtained actuator coupling bodies 5 and 5A are shown in FIG. 1B and FIG. 3(c). Although these curved surface shapes were constructed by simply pasting together curved surfaces with constant curvature piecewise, it was confirmed that a variety of curved surface shapes could be expressed. It was confirmed from the passive element part (membrane 3) of each result that the average curvature deviated from 0 near the boundary.
  • FIGS. 4(a) and 4(b) show the working area of a curved robot with a 3 ⁇ 3 configuration as seen in the xy plane and the working area as seen in the xz plane, respectively.
  • FIGS. 4(c) and 4(d) show the working area of a curved robot with a 2 ⁇ 5 configuration as seen on the xy plane and the working area as seen on the xz plane, respectively.
  • the circles represent the four corner points of the actuator connections 5, 5A of all solutions. From FIG.
  • Figure 5 shows the time taken for forward kinematics.
  • the average time of forward kinematics for the curved robot with a 3 ⁇ 3 configuration and the curved robot with a 2 ⁇ 5 configuration was 45.5 ms and 43.4 ms, respectively.
  • a moving frame is integrated using variables that satisfy the integrability condition, it generally requires 1 s or more, although it depends on the size of the mesh expressing the geometric shape and curved surface. Considering this, it can be seen that although the implemented program is not optimized, it can be calculated in a very short time.
  • a curved robot 1 is constructed by arranging sheet-like actuators 2 that realize a geometric shape with a constant average curvature in a checkerboard pattern, and connecting a membrane 3 that can be modeled with an extremely small curved surface to the remaining area.
  • the shape of the entire robot (actuator coupling body 5 shape) can be obtained.
  • the idea of piecewise constant curvature for curved robots has been shown to be useful from the viewpoint of work area and calculation time.
  • FIG. 7(a) is a conceptual diagram showing one sheet-like actuator 2
  • FIG. 7(b) is a conceptual diagram of a truncated cone-shaped displacement element forming the sheet-like actuator 2.
  • the displacement element 100 includes a disk-shaped power supply section 101, an expansion/contraction section 102 surrounding the outer periphery of the power supply section 101, and an expandable coupling section 103 surrounding the outer periphery of the power supply section 101.
  • the expansion/contraction section 102 changes the outer diameter of the truncated cone-shaped displacement element 100.
  • the method of changing the outer diameter is not particularly limited, and an electromagnetic method, an electrochemical method, a physical method such as hydraulic pressure or pneumatic pressure may be used, and a shape memory alloy may also be used.
  • the method of supplying air pressure is not particularly limited, and the air pressure may be supplied from the outside via the power supply unit 101, and the power supply unit 101 has a built-in micro pump, and this pump It may be supplied. Alternatively, the pressure may be changed by a chemical reaction.
  • the expandable joint portion 103 is a ring-shaped portion that is provided on the outer periphery of the expandable/contractable portion 102 and whose entire circumference expands/contracts in response to changes in the outer diameter of the expandable/contractable portion 102 .
  • the telescopic coupling portion 103 may be elastically deformed not only in the circumferential direction but also in the radial direction.
  • the telescopic coupling portion 103 is provided with coupling members 104 (see FIG. 7(c)) at equal angular intervals in the circumferential direction.
  • the coupling member 104 is not particularly limited, and any method including a magnetic method, an electrical method, a chemical method, and a mechanical method may be used.
  • a weak viscosity removable (reapplyable) type adhesive may be uniformly applied onto the outer circumferential surface.
  • the power supply unit 101 supplies a power source, that is, power, to the expansion and contraction unit 102 to perform expansion and contraction operations.
  • a power source that is, power
  • it may be provided with a built-in pump as described above, or it may be provided with a valve that controls the air pressure supplied from the outside.
  • electrical energy it may be a built-in battery, or it may be supplied through a wired or wireless external power source.
  • the size of the displacement element 100 is not particularly limited, but may be about 5 mm to 100 mm in a neutral state. Further, the thickness may be about 1 mm to 100 mm. The larger the range of expansion and contraction, the better, but it is preferable that the maximum radius changes to about twice the minimum radius.
  • FIG. 7(c) is a partial explanatory diagram showing a part of the sheet-like actuator 2 configured by aggregating a plurality of displacement elements 100.
  • Each displacement element 100 is coupled to another displacement element 100 via a telescopic coupling portion 103.
  • Each displacement element 100 performs an expansion or contraction operation while in contact with other displacement elements 100. At this time, the mutual contact points slide appropriately.
  • a curved surface shape can be approximated based on the Circle Packing Mesh (CPM) theory (Non-Patent Document 9). Furthermore, once the curved surface shape is formed, this curved surface shape can be changed by expanding or contracting one or more displacement elements 100 at appropriate locations.
  • CPM Circle Packing Mesh
  • each displacement element 100 constituting the sheet-like actuator 2, which is an aggregate, is currently placed in a situation based on its own radius r and other displacement elements 100. It is determined by polar coordinates consisting of the angles ( ⁇ 1, ⁇ 2, . . . ⁇ n) of the points of contact with In other words, by integrating the polar coordinates of the contact points of all the displacement elements 100, it is possible to specify the overall image formed by the sheet-like actuator 2, which is an aggregate of these displacement elements 100.
  • the control unit 7 of the control device 6 calculates the difference between the overall image of the assembly and a desired overall image (reference curved surface), and applies feedback to reduce the difference, thereby controlling the assembly of the displacement elements 100.
  • the sheet-like actuator 2, which is a body can be deformed into a shape along a specified type of constant average curvature curved surface with a specified radius of curvature.

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Abstract

曲面形状ロボット（１）は、複数のシート状アクチュエータ（２）を連結して構成したアクチュエータ連結体（５）を備えている。シート状アクチュエータ（２）のそれぞれを、指定された平均曲率一定曲面に沿った曲面形状に変形させることで、アクチュエータ連結体（５）を多様な曲面形状に変形させる。平均曲率一定曲面は等温座標系をとることができるため、アクチュエータ連結体（５）の曲面上に設定したベース座標系と、その曲面上の各点間で直交な同次変換行列を考えることができ、従来のロボット工学の座標変換がそのまま適用可能である。少ないパラメータで複雑な曲面を表現でき、かつロボット上の同次変換行列がより簡易的に取得できる多自由度な曲面形状ロボット（ロボットと運動学の組み合わせ）を実現できる。

Description

区分的に平均曲率一定な曲面形状ロボット
　本発明は、自身の幅に対して厚みが薄い駆動部を備えた曲面形状ロボットに関し、特に、少ないパラメータで複雑な曲面を表現でき、かつ、ロボット上の同次変換行列がより簡易的に取得できる曲面形状ロボットに関する。
　自身の幅に対して厚みが薄い曲面形状ロボット（非特許文献１）は、冗長な自由度を有し、同時に複数のタスクを実行することができる。例えば、曲面形状ロボットを腹腔鏡内視鏡下手術における支援システムとして利用する場合、ロボット全体の形状として術野空間をデザインするという主要タスクを実現しながら、局所的には臓器を圧排するという２次的なタスクが与えられることが想定される。曲面形状ロボットの大域的形状は球形であるが、部分的に異なる形状を実現できることが望ましい。本発明者等は、このような曲面形状ロボットである空気圧駆動のロボットの具現化を進めてきた（特許文献１、非特許文献２）。
　しかし、多自由度な曲面形状ロボットの実現には、具現化や制御理論の点で克服しなければならない点が多い。例えば、制御面では、順運動学を１回計算するだけでも、可積分条件を満たす変数で動標構を積分、具体的には連立方程式を解かなければならない。
　本発明者等は、少ないパラメータで複雑な曲面を表現でき、かつロボット上の同次変換行列がより簡易的に取得できるようなロボットと運動学の組み合わせが存在しないかについて検討を重ねた。この一つのヒントが、区分的に曲率が一定の曲線、つまり円弧を連結した連続マニピュレータ（連続体ロボット）であると言える。非特許文献３においては、湾曲セクションを区分的に曲率一定と仮定する連続体ロボットの運動学の導出方法が紹介されている。この方法は、例えば特許文献２に記載の連続体ロボットに適用されており、形状が既知である曲率一定なセクションを連結することで、多様な曲線形状を表現できる。
　なお、本明細書において、以降の説明において参照している文献を以下に非特許文献４～１０として列記する。
特開２０１９－１７０４５８ 国際公開第２０１８／０３７９３１号
Walker, I. D., "Continuum Robot Surfaces: Smart Saddles and Seats," Mechatronics and Robotics Engineering for Advanced and Intelligent Manufacturing, pp.97-105, 2017. Iwamoto, N., Nishikawa, A. and Arai, H., "Surface Robots based on S-Isothermic Surfaces," IEEE International Conference on Robotics and Automotion, ThBT14.3, 2021.3] Design and Kinematic Modeling of Constant Curvature Continuum Robots:A Review, Robert J. Webster III and Bryan A.Jones, The international Journal of Robotics Research 29(13)1661-1683 Do Carmo, M. P., "Differential Geometry of Curves and Surfaces," 2nd Ed., 978-0486806990, Dover Publications, 2016. Botsch, M., Kobbelt, L., Pauly, M., Alliez, P. and Levy, B., "Polygon Mesh Processing," 1st Ed., 978-1568814261, A K Peters/CRC Press, 2010. 井ノ口順一，"現代基礎数学18 曲面と可積分系"，朝倉書店，978- 4-254-11768-4, 2015. 川上裕，藤森祥一，"極小曲面入門その幾何学的性質を探る　数理科学別冊"，サイエンス社，2019. Dziuk, G. and Hutchinson, J. E., "The Discrete Plateau Problem: Algorithm and Numerics", Mathematics of Computation, vol. 68, no. 225, pp. 1-23, 1999. A. Schiftner et al., "Packing circles and spheres on surfaces", Proc. of ACM SIGGRAPH, 2009. 剱持勝衛，"曲面論講義　平均曲率一定曲面入門"，培風館，2000．
　ここで、曲面形状ロボットにおいて、形状が既知である区分的に曲率一定な回転面を連結することで、多様な曲面形状を表現することが考えられる。しかしながら、区分的に平均曲率一定な回転面を連結することは、同種の幾何かつその半径が一致しているような特殊な曲面の組み合わせの場合でのみ許され、表現可能な曲面形状が大幅に制限される。
　本発明の目的は、少ないパラメータで多様な曲面を表現でき、かつロボット上の同次変換行列がより簡易的に取得できるように構成された曲面形状ロボットを提供することにある。
　本発明の曲面形状ロボットは、
　平面を含む所定の曲面に沿った形状に変形可能な複数のシート状アクチュエータを連結して構成したアクチュエータ連結体と、
　前記シート状アクチュエータのそれぞれの動作を制御する制御装置と、
を備えており、
　前記アクチュエータ連結体を平面に展開した状態において、１つの前記シート状アクチュエータに対して少なくとも１つの他の前記シート状アクチュエータが隣接した位置に配置され、隣接する前記シート状アクチュエータの間は単一の節点を介して相互に連結されており、
　前記制御装置は、
　前記アクチュエータ連結体が所定の曲面形状となるように、前記シート状アクチュエータのそれぞれを、同一あるいは異なる種類の平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させることを特徴としている。
　この構成の曲面形状ロボットの順運動学では、入力として、各シート状アクチュエータに対して、変形後の曲面形状を規定する平均曲率一定曲面が与えられる。例えば、幾何形状の種類（平均曲率一定曲面の種類）と２つの曲率半径とが与えられる。これにより、各シート状アクチュエータの曲面形状が決定され、同次座標変換行列が求まり、ロボット全体の形状であるアクチュエータ連結体の曲面形状が得られる。
　本発明において、アクチュエータ連結体におけるシート状アクチュエータの間の隙間部分のそれぞれには、極小曲面としてモデル化可能な膜状の受動要素を接続することができる。また、隙間部分にシート状アクチュエータが接続されたロボットを考えることもできる。隙間部分のシート状アクチュエータが隙間部分に張る極小曲面を表現してもよい。さらに、隙間部分のシート状アクチュエータが、隙間部分の境界形状を実現する曲面片に沿った形状に変形してもよい。
　なお、本明細書において、「平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる」とは、平均曲率一定曲面に簡単に一致する変形状態は勿論のこと、完全には平均曲率一定とはならないものの実質的に平均曲率一定曲面とみなせる変形状態も含む広い意味で用いている。このような平均曲率一定曲面に近似する変形状態も本発明の範囲に含まれる。同様に、アクチュエータ連結体におけるシート状アクチュエータの隙間部分に、シート状アクチュエータあるいは受動要素が配置される場合において、これらが「極小曲面に変形する」とは、完全に極小曲面に一致する変形状態だけでなく、実質的に極小曲面とみなせる変形状態も含まれる。
　本発明の曲面形状ロボットは、複数のシート状アクチュエータを、隣接するシート状アクチュエータのそれぞれが相互に単一の点で連結されるように配列した構成のアクチュエータ連結体を備えている。シート状アクチュエータのそれぞれを、個別に、指定された平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させることで、アクチュエータ連結体を、全体として、多様な曲面形状に変形させることができる。
　平面、カテノイド、円柱、球面等の平均曲率一定曲面は等温座標系をとることができるため、アクチュエータ連結体が表現する曲面上に設定したベース座標系と、その曲面上の各点間で直交な同次変換行列を考えることができ、従来のロボット工学の座標変換がそのまま適用可能である。また、シート状アクチュエータの間の隙間領域に配置されるシート状アクチュエータあるいは受動要素は、それぞれ、極小曲面に沿った形状に変形する。平均曲率一定曲面の一つである極小曲面上でも等温座標をとることができるため、隙間領域を規定しているシート状アクチュエータあるいは受動要素上でも、直交座標系を考えればよい。
　本発明によれば、シート状アクチュエータのそれぞれが取り得る曲面形状を、平均曲率一定曲面に沿った形状に限定しているので、少ないパラメータで複雑な曲面を表現でき、かつロボット上の同次変換行列がより簡易的に取得できる多自由度な曲面形状ロボット（ロボットと運動学の組み合わせ）を実現できる。また、本発明の曲面形状ロボットについて順運動学の数値シミュレーションを行ったところ、作業領域や計算時間の観点からも、区分的に平均曲率一定であるという考え方が有用であることが確認された。
本発明を適用した曲面形状ロボットを示す説明図である。 曲面形状ロボット（アクチュエータ連結体）の変形状態の一例を示す説明図である。 アクチュエータ連結体の別の例を示す説明図である。 （ａ）はアクチュエータ連結体を平面に展開した状態で示す説明図、（ｂ）は１つのシート状アクチュエータの座標を示す説明図、（ｃ）は各シート状アクチュエータの座標系と同次変換行列を示す説明図である。 （ａ）は３×３構成のアクチュエータ連結体を示す説明図、（ｂ）は２×５構成のアクチュエータ連結体を示す説明図、（ｃ）はこれらのアクチュエータ連結体の変形状態を示す説明図である。 （ａ）および（ｂ）は、３×３構成の場合におけるｘ－ｙ平面でみた作業領域およびｘ－ｚ平面でみた作業領域のシミュレーション結果を示すグラフ、（ｃ）および（ｄ）は、２×５構成の場合におけるｘ－ｙ平面でみた作業領域およびｘ－ｚ平面でみた作業領域のシミュレーション結果を示すグラフである。 ３×３構成の曲面形状ロボットおよび２×５構成の曲面形状ロボットのそれぞれにおける順運動学にかかった時間を示すグラフである。 平均曲率一定曲面の例を示す説明図である。 （ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）は、シート状アクチュエータの一例を示す説明図である。
　以下に、図面を参照して、本発明を適用した実施の形態に係る曲面形状ロボットを説明する。なお、実施の形態は、本発明の一例を示すものであり、本発明を実施の形態に限定することを意図したものではない。
[曲面形状ロボットの全体構成]
　図１Ａは実施の形態に係る曲面形状ロボットを示す説明図であり、図１Ｂはそのロボット本体部分であるアクチュエータ連結体の変形状態の一例を座標軸と共に示す説明図である。曲面形状ロボット１は、複数のシート状アクチュエータ、本例では５枚の矩形輪郭をしたシート状アクチュエータ２（１）～２（５）を連結して構成したアクチュエータ連結体５と、各シート状アクチュエータ２（１）～２（５）の駆動を制御するコンピュータを中心に構成される制御装置６とを備えている。制御装置６は有線あるいは無線の通信回線を介してアクチュエータ連結体５の駆動を制御する。シート状アクチュエータ２（１）～２（５）は同一もしくは複数の種類のシート状アクチュエータで構成され、全体として、縦横の幅に対して厚みの薄いシート形状あるいはプレート形状をしており、平面および曲面に沿った形状に変形可能であり、変形後の形状を維持可能な所定の剛性を備えている。また、曲面形状ロボット１は、外環境の情報を取得する１つあるいは複数のセンサ１０（カメラ、近接センサ等）、およびアクチュエータ連結体５の形状等を把握するための１つあるいは複数のセンサ２０（導電性伸縮センサ、慣性センサ等）を備えている。これらのセンサ１０、２０から得られる外環境、アクチュエータ連結体５の形状等に関する情報に基づき、制御装置６によるアクチュエータ連結体５の駆動を制御できる。
　アクチュエータ連結体５において、シート状アクチュエータ２（１）～２（５）の間の隙間領域には、矩形輪郭の受動要素である膜３（１）～３（４）が取り付けられている。本例では、シート状アクチュエータ２と膜３とが、縦方向および横方向にそれぞれ交互に配列されており、５枚のシート状アクチュエータ２（１）～２（５）のそれぞれによって規定される矩形輪郭の表面領域と、４枚の膜３（１）～４（４）のそれぞれによって規定される矩形輪郭の表面領域とが、３行３列の市松模様（格子模様）を形成している。
　アクチュエータ連結体５は、図１Ａにおいては、平面に展開（変形）した状態で示してあり、図１Ｂにおいては、曲面形状に変形させた状態（区分的に平均曲率一定の状態）で示してある。これらの図において、各部の湾曲状態が分かるように、シート状アクチュエータ２（１）～２（５）のそれぞれの矩形輪郭の表面領域２ａ（１）～２ａ（５）を、それぞれ格子模様で表現してある。また、これらの間の隙間領域に配置されている膜３（１）～３（４）のそれぞれの矩形輪郭の表面領域３ａ（１）～３ａ（４）を、それぞれ、三角形のメッシュで表現してある。以降の説明においては、シート状アクチュエータ２（１）～２（５）を区別する必要のない場合には、これらを纏めてシート状アクチュエータ２とし、膜３（１）～３（４）を区別必要が無い場合には、これらを纏めて膜３とする。同様に、表面領域２ａ、３ａとする。
　シート状アクチュエータ２において、平面方向に隣接しているシート状アクチュエータ２の間は１か所で連結固定されている。例えば、シート状アクチュエータ２（１）とシート状アクチュエータ２（２）とは、それぞれの一つの角が、同一の位置において相互に連結固定されて節点４（１，２）（剛節点）を形成している。他の隣接するシート状アクチュエータ２の間においても同様であり、シート状アクチュエータ２（２）、２（３）の間、シート状アクチュエータ２（２）、２（４）の間、および、シート状アクチュエータ２（２）、２（５）の間も、それぞれ、単一の連結点である節点４（２，３）、４（２，４）、４（２，５）を介してそれぞれ連結されている。
　シート状アクチュエータ２のそれぞれは、先に述べたように、平面および任意もしくは特定の曲面に沿った形状に変形可能である。すなわち、それらの矩形輪郭の表面領域２ａは、平面および任意もしくは特定の曲面に変形可能である。シート状アクチュエータ２の間の隙間領域に配置されている膜３は、布のように膜エネルギー最小な曲面（受動的変形可能面）としてモデル化できる受動要素である。
　制御装置６は、コンピュータを中心に構成された制御部７、シート状アクチュエータ２のそれぞれを駆動する駆動部８、操作・表示部９等を備えている。操作・表示部９の操作部（曲面指定部）を介して、各シート状アクチュエータ２に対する変形後の曲面形状を規定する平均曲率一定曲面を指定入力できる。平均曲率一定曲面の指定は、幾何形状の種類（平均曲率一定曲面の種類）を特定する情報を入力すると共に、２つの曲率半径を入力すればよい。平均曲率一定曲面のうち、曲率が０の平面、一部の平均曲率一定な曲面の場合には、後述するように、平均曲率一定曲面を直接に指定せずに、変形後の座標系で与えられる各点とベース座標系上の点との対応関係を規定する同次座標変換行列を記述できる。平面の場合には、一次分数変換を表すための４つの複素数のパラメータのみを用いて指定することができ、一部の平均曲率一定な曲面の場合には、複数のパラメータと曲率半径を用いて指定することができる。
　制御部７は、入力情報に基づき、駆動部８を介して各シート状アクチュエータ２のそれぞれの駆動を制御して、それらの表面領域２ａのそれぞれを、指定された平均曲率一定曲面に変形させる。受動要素である膜３は、各隙間部分を規定しているシート状アクチュエータ２の外周縁の間に架け渡されており、それらの表面領域３ａは、外周縁の変形後の形状によって規定される極小曲面に沿った形状に変形させられる。この結果、アクチュエータ連結体５は全体として所定の曲面形状に変形し、各表面領域２ａがそれぞれ平均曲率一定曲面によって規定された区分的に平均曲率一定の状態になる。
　例えば、制御部７には、予め、各シート状アクチュエータ２の幾何形状の種類および曲率半径の組み合わせと、アクチュエータ連結体５の曲面形状との対応関係が登録される。操作者は、操作・表示部９を介して、目標とするアクチュエータ連結体５の曲面形状を指定あるいは選択する。制御部７は指定あるいは選択された曲面形状が再現されるように、各シート状アクチュエータ２に対する変形後の曲面形状を規定する平均曲率一定曲面を指定する曲面指定部として機能すると共に、各シート状アクチュエータ２を駆動して指定された平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる。この結果、アクチュエータ連結体５が指定あるいは選択された曲面形状に変形した状態が得られる。
　なお、シート状アクチュエータ２の形状は矩形に限定されるものではなく、円形輪郭、多角形輪郭その他の形状とすることができる。同様に、シート状アクチュエータ２の配列数、配列パターンも、図１Ａに示す５枚、市松模様に限定されるものではない。例えば、図１Ｃに示すアクチュエータ連結体５Ａでは、５枚の矩形輪郭のシート状アクチュエータ２と５枚の膜３、３Ａとが、２行５列（２×５）の格子パターンを形成している。両端に位置する２枚の膜３Ａは、三角形の輪郭形状とされる。また、アクチュエータ連結体５Ｂは、５枚の円形輪郭のシート状アクチュエータ２Ｂが格子状に配置され、隣接するシート状アクチュエータ２Ｂの間が、それらの外接位置に形成した単一の節点を介して相互に連結されている。シート状アクチュエータ２の間の隙間領域には、各隙間領域を覆い隠すことのできる輪郭形状をした受動要素である膜３Ｂが配置される。
　この他、各種の配列数および配列パターンで、シート状アクチュエータが連結された構成のアクチュエータ連結体を用いることができる。いずれの場合においても、アクチュエータ連結体を平面に展開した状態において、１つのシート状アクチュエータに対して少なくとも１つの他のシート状アクチュエータが隣接した位置に配置され、隣接するシート状アクチュエータの間が単一の節点を介して相互に連結された配列パターンが採用される。
　また、本例のアクチュエータ連結体５は、相互に連結されているシート状アクチュエータ２の間に形成される隙間領域のそれぞれに、受動要素である膜３を配置しているが、必要に応じて、一部の隙間領域にのみ膜３を配置し、他の隙間領域をそのままとすることも可能である。
　さらに、受動要素である膜３の代わりに、シート状アクチュエータ２と同一もしくは異なる構造のシート状アクチュエータを隙間領域用のシート状アクチュエータとして配置することもできる。この場合、アクチュエータ連結体は、相互に連結されているシート状アクチュエータ２の間に形成される隙間領域のうちの少なくとも一つに配置した隙間領域用のシート状アクチュエータを備えた構成とされる。隙間領域用のシート状アクチュエータは、平面を含む所定の曲面に沿った形状に変形可能であり、隙間領域を取り囲むシート状アクチュエータ２の外周縁の間に架け渡される。
　また、制御装置６の制御部７は、各シート状アクチュエータ２を平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる制御を行うと共に、隙間領域用のシート状アクチュエータを、隙間領域を取り囲むシート状アクチュエータ２の外周縁によって規定される当該隙間領域の境界形状によって定まる極小曲面に沿った形状に変形するように制御する。この代わりに、隙間領域用のシート状アクチュエータを、隙間領域の境界形状を実現する曲面に沿った形状に変形するように制御してもよい。
[平均曲率一定曲面]
　次に、曲面形状ロボット１における各シート状アクチュエータ２が取り得る曲面形状である平均曲率一定曲面について説明する。局所座標系を（ｕ，ｖ）とする二次元ユークリッド空間（Ｒ２）内の閉領域Ｕを考える。また、閉領域Ｕ上で定義されるベクトル値関数ｆを、三次元ユークリッド空間（Ｒ３）内の曲面Ｓの形状関数とする。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000001
　ここでは、曲面Ｓは正則な曲面（非特許文献４）であると仮定し、形状関数ｆの一階微分を次のように表現する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000002
　曲面上のある点とその点での接ベクトルにより、法曲率が算出できる。これは、曲面をその点で接ベクトルの方向に沿って円で近似し、その円の半径の逆数をとった値に相当する。また、ある点で方向を変化させながら法曲率を求めていくと、法曲率が最大、最小となる値が求まる。この最大値κ１と最小値κ２を主曲率と呼び、主曲率の平均から平均曲率Ｈ＝（κ１＋κ２）／２が定義できる。
　平均曲率の異なる算出方法として、Laplacianを曲がった空間に拡張したLaplace-Beltrami作用素(非特許文献５)を用いた方法が挙げられる。曲面ＳのLaplace-Beltrami 作用素をΔＳと表し、作用させる関数として形状関数ｆを選択すると、得られる値は法ベクトルに－２Ｈを掛けたもの、ΔＳｆ＝－２Ｈｎとなる。つまり、－ΔＳｆ・ｎ／２を計算することで、平均曲率Ｈを求めることができる。ここで、ｎは曲面Ｓの単位法ベクトルである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000003
　平均曲率一定な回転面として、球面、円柱面、カテノイド（懸垂曲面）、アンデュロイド、ノドイドが挙げられ、これらの形状関数は容易に書くことができる（非特許文献６）。また、平均曲率が一定な螺旋面であるヘリコイド（常螺旋面）も同様である。図６には、これら６種の幾何形状を示してある。その中でも円柱面、球面は２つの主曲率がそれぞれ一定な曲面である。前記６種の幾何形状は、等温座標系（非特許文献６）をとることができるため、ベース座標系と曲面上の各点間で直交な同次変換行列を考えることができる。例えば、ｕ方向に屈曲する円柱では、曲面のベース座標系と点（ｕ，ｖ）上の座標系間の同次変換行列は次のように記述できる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000004
　ここで、ｒは円柱の半径を意味し、これは平均曲率Ｈを用いて、ｒ＝１／（２Ｈ）と表される。
　平面は平均曲率が０であるため、平均曲率一定曲面に含まれる。等温パラメータを有する平面の閉領域を一次分数変換（メビウス変換）で写した領域は、平面であり、等温パラメータを持つ。一次分数変換は４つの複素数のパラメータで表すことができる。したがって、平面内の一次分数変換における変形では４つのパラメータを用いて、曲面のベース座標系と点（ｕ，ｖ）上の座標系間の同次変換行列を記述できる。
　球面、円柱面、カテノイド、アンデュロイド、ノドイドといった平均曲率一定な回転面を構成する輪郭線は、剱持の方程式(非特許文献１０)によって与えられる。この方程式により、アンデュロイドの輪郭線（アンデュラリー）、球面の輪郭線（円）、ノドイドの輪郭線（ノーダリー）は、パラメータでうつり変わることができる。また、一部の平均曲率一定な螺旋曲面には、平均曲率一定な回転面への等長的変形が存在する。これは複数のパラメータを変化させることで可能である。例えば有名なものに、カテノイドからヘリコイドへの等長的変形が挙げられる。そのため、同次変換行列は、幾何形状を明確に指定せずに、複数のパラメータとカテノイドの曲率半径を用いて記述することもできる。
[極小曲面]
　平均曲率が恒等的に０となる曲面は、極小曲面（非特許文献７）と呼ばれ、平均曲率一定曲面の一種である。極小曲面を求める有名な問題として、Plateau問題（非特許文献８）が知られている。Plateau問題は、与えられた境界条件f(∂U)=Γに対して、Γの内部で面積
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000005
が最小になるような曲面を求める問題である。平均曲率が恒等的に０となる曲面は、境界を固定する変分について、面積Ａ（ｆ）の極小となる。
［曲面形状ロボットの順運動学］
　図２を参照して、曲面形状ロボット１の順運動学について説明する。
　式（１）で見た通り、平均曲率一定曲面に沿った形状に変形する各シート状アクチュエータ２の矩形輪郭の表面領域上では等温座標系を設定できるため、従来のロボット工学の座標変換がそのまま適用可能である。等温座標系を有する曲面から形状を限定した等温曲率線座標系を有する曲面の離散版の一つとして、Ｓ－ｉｓｏｔｈｅｒｍｉｃ曲面が知られており、想定しているシート状アクチュエータ２は、これまで本発明者等が開発してきたＳ－ｉｓｏｔｈｅｒｍｉｃ曲面ロボット（非特許文献２）を改良することで実現できる。また、極小曲面上でも等温座標をとることができるため、受動要素である各膜３の矩形輪郭の表面領域上でも直交座標系を考えればよい。そのため、曲面形状ロボット１は剛体ロボットや連続マニピュレータと連携して変形することに適している。
　この構成の曲面形状ロボット１の順運動学では、入力として各シート状アクチュエータ２（１）～２（５）の変形後の曲面形状を規定する平均曲率一定曲面を表す情報が与えられる。例えば、入力として各シート状アクチュエータ２（１）～２（５）の幾何形状の種類と曲率半径を表す情報が与えられる。以下の説明では、アクチュエータ連結体５におけるシート状アクチュエータ２（１）～２（５）には、図２（ａ）に示す番号１～５を用い、指定された幾何形状の種類をアスタリスク（＊）で表す。また、無変形時の各シート状アクチュエータ２（１）～２（５）を平面形状とし、そのサイズは、横をｌｕ、縦をｌｖとし、図２（ｂ）に示すように、パラメータ付けされているとする。
（曲面形状ロボットの骨組み構造の算出）
　入力（平均曲率一定曲面の種類と曲率半径）から、全てのシート状アクチュエータ２（１）～２（５）の表面領域の表面形状を決定し、式（１）のような同次変換行列が求まる。図２（ａ）に示す３×３構成の場合では、曲面形状ロボット１（アクチュエータ連結体５）の固定座標系であるΣ１から、シート状アクチュエータ２（１）～２（５）の番号順に形状を算出し、図２（ｃ）に示すロボット全体（アクチュエータ連結体５の全体）の骨組みを計算していく。シート状アクチュエータ２（１）の角を原点とする固定座標系であるΣ１と、シート状アクチュエータ２（２）の座標系Σ２との間の同次変換行列１Ｔ２は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000006
で算出される。また、Σ1とアクチュエータ２（４）の座標系Σ4との間の同次変換行列は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000007
で算出される。ここで、右辺の後ろ２つの同次変換行列は、それぞれ
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000008
である。
（受動要素の形状取得）
　図２（ｃ）において、受動要素である膜３（１）の表面領域の形状は、離散Plateau問題（非特許文献８）を解くことで取得できる。符号３ａで示す境界に位置する一辺の形状も含めて、極小曲面を求めることが望ましい。実装の関係上、ここでは、簡易的に一辺の形状を与え、そこに固定された膜３（１）の伸びのエネルギー
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000009
が最小となる曲面を求めた。このEuler-Lagrange方程式はΔＳｆ＝０であり、ΔＳｆ＝－２Ｈｎだったことを踏まえると、この解はＨ＝０の凹凸のないｆと言い換えることができる。実装ではLaplace-Beltrami作用素には、cotan-Laplacian（非特許文献５）を採用する。
[数値シミュレーション]
　先に述べた順運動学を数値解析ソフトウェアMATLAB（登録商標）（アメリカ合衆国、MathWorks社）にて実装し、図３（ａ）、３（ｂ）に示す３×３構成の曲面形状ロボットと２×５構成の曲面形状ロボットに入力を与え、それらのアクチュエータ連結体５、５Ａの表面形状として、どのような形状を実現できるか調査した。
　入力となる各シート状アクチュエータ２、２Ａの幾何形状には、ｕ方向、ｖ方向にそれぞれ湾曲する円柱面、球面、カテノイドの６種類を用意した。各シート状アクチュエータ２、２Ａの幾何形状の種類と半径は、ランダムに１００個生成し、それぞれの曲面形状ロボットに与える（割り当てる）。シート状アクチュエータ２、２Ａの一辺はｌｕ＝ｌｖ＝１とし、半径の絶対値の最大値は１０６、最小値は１となるよう選択した。図２（ｃ）の符号３ａで示すような受動要素である膜３が境界に位置している一辺に関しては、最も単純な直線とした。図３（ｂ）に示すように、２×５構成の場合には、そのアクチュエータ連結体５Ａの角が受動要素である膜３Ａによって規定される場合は、その膜形状を三角形とした。
　得られたアクチュエータ連結体５、５Ａの曲面形状の例を、図１Ｂと図３（ｃ）に示す。これらの曲面形状は、区分的に曲率が一定な曲面を貼り合わせるだけで構成されたものであるが、多様な曲面形状を表現できていることが確認された。各結果の受動要素部（膜３）から、平均曲率は境界付近で０から外れていることが確認された。実装された方程式Δｓｆ＝０は連立方程式であり、得られる解はできる限りΔｓｆの値を小さくするｆである。メッシュをより細かくする、もしくは境界の形状（図２（ｃ）において符号３ａで示す辺）を含めて極小曲面を求めることで、より平均曲率がゼロに近い形状を得られると考えられる。
　また、アクチュエータ連結体５、５Ａの四隅の点を１００個の数値シミュレーションの解全てで集め、その凸包を計算することで、曲面形状ロボット１、１Ａの作業領域（アクチュエータ連結体５、５Ａの移動範囲）を簡易的に算出した。
　図４（ａ）、（ｂ）に３×３構成の曲面形状ロボットのｘ－ｙ平面でみた作業領域、ｘ－ｚ平面でみた作業領域をそれぞれ示している。図４（ｃ）、（ｄ）には、２×５構成の曲面形状ロボットのｘ－ｙ平面でみた作業領域、ｘ－ｚ平面でみた作業領域をそれぞれ示している。円は、全ての解のアクチュエータ連結体５、５Ａの四隅の点を表している。図４から、ｘ－ｙ方向からみた作業領域は、ｘ－ｚ方向からみた作業領域に比べ、面積が小さいことがわかる。この解決策の一つとして、利用できる幾何形状を増やすことが挙げられる。平均曲率一定の曲面には、平面も含まれる。幾何形状として、直交座標系がとれる一次分数変換で写した曲面を追加することで、ｘ－ｙ方向にも作業領域を広げることが可能となる。
　図５に順運動学にかかった時間を示している。３×３構成の曲面形状ロボットと２×５構成の曲面形状ロボットの順運動学の平均時間は、それぞれ４５．５ｍｓと４３．４ｍｓであった。可積分条件を満たす変数を用いて動標構を積分した場合、幾何形状や曲面を表現するメッシュの大きさによるが、一般的に１ｓ以上必要とする。それを踏まえると、実装されたプログラムは最適化されていないものの、非常に短い時間で計算できていることがわかる。
　以上、少ないパラメータで多様な曲面を表現可能な手法について提案した。平均曲率が一定の幾何形状を実現するシート状アクチュエータ２を市松模様状に配置し、残った領域に極小曲面でモデル化可能な膜３を接続することで、曲面形状ロボット１を構成する。曲面形状ロボット１の順運動学では、各シート状アクチュエータ２の変形後の曲面形状を規定する平均曲率一定曲面を、直接あるいは間接的に指定するのみで、ロボット全体の形状（アクチュエータ連結体５の全体の形状）を得ることができる。また、３×３構成の曲面形状ロボット１と２×５構成の曲面形状ロボット１Ａを考え、順運動学の数値シミュレーションを行った。作業領域や計算時間の観点からも、曲面形状ロボットにおいて区分的に曲率一定であるという考え方は有用であることが示された。
［シート状アクチュエータの構成例］
　なお、本発明の曲面形状ロボットに用いるシート状アクチュエータ２としては、例えば、先に引用した特許文献１において提案されているアクチュエータを用いることができる。このアクチュエータは、表と裏で半径を独立して変更可能な円錐台型の変位素子の集合体である。特許文献１の内容は本明細書において参照され、シート状アクチュエータの一例として組み込まれる。以下に、図７（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）を参照して、シート状アクチュエータの構成例を簡単に説明する。
　図７（ａ）は、1枚のシート状アクチュエータ２を示す概念図であり、図７（ｂ）はシート状アクチュエータ２を構成している円錐台型の変位素子の概念図である。変位素子１００は、円盤形状をした動力供給部１０１と、その外周を取り囲む状態に配置した膨張収縮部１０２と、その外周を取り囲む状態に配置した伸縮型結合部１０３とから構成される。膨張収縮部１０２は円錐台型の変位素子１００の外径を変化させる。外径を変化させる方法は特に限定されず、電磁的な方法、電気化学的な方法、油圧や空気圧等の物理的な方法が用いられ、形状記憶合金を用いることもできる。空気圧を利用する場合、空気圧の供給方法については特に限定されず、動力供給部１０１を介して外部から供給されるものであってもよく、動力供給部１０１がマイクロポンプを内蔵し、このポンプにより供給されるものであってもよい。また、化学反応により圧力を変えるものでもよい。
　伸縮型結合部１０３は、膨張収縮部１０２の外周に設けられ、膨張収縮部１０２の外径の変化に応じて全周が伸縮する円環形状の部分である。伸縮型結合部１０３は円周方向のみならず、半径方向に弾性変形するものであってもよい。伸縮型結合部１０３には、円周方向に等角度間隔で結合部材１０４（図７（ｃ）参照）が設けられている。結合部材１０４は特に限定されず、磁気的方法、電気的方法、化学的方法、機械的方法、いずれの方法を採ってもよい。化学的方法としては、例えば弱粘再剥離（最貼付け可能）型粘着剤を外周面上に均一に塗布したものでもよい。動力供給部１０１は膨張収縮部１０２に対して、膨張および収縮動作を実行させるための動力源すなわちパワーを供給する。空気圧の場合は、前記のように内蔵ポンプを備えてもよいし、外部から供給される空気圧を制御するバルブを備えてもよい。電気エネルギーの場合は、内蔵電池であっても、有線または無線を用いた外部電源からの供給を中継するものであってもよい。
　変位素子１００のサイズは、特に限定はされないが、ニュートラル状態で５ｍｍ～１００ｍｍ程度であってもよい。また厚みは１ｍｍ～１００ｍｍ程度であってもよい。膨張収縮の範囲は大きいほどよいが、最大半径が最小半径に対して２倍程度まで変化するのが好ましい。
　図７（ｃ）は、複数の変位素子１００を集合させて構成されるシート状アクチュエータ２の一部を示す部分説明図である。各変位素子１００は他の変位素子１００と伸縮型結合部１０３を介して結合されている。各変位素子１００は、他の変位素子１００と接しながら、膨張または収縮動作を行う。このとき、互いの接点は適宜スライドする。その結果、Circle Packing Mesh（ＣＰＭ）理論（非特許文献９）に基づき、曲面形状を近似形成することができる。さらに、一旦、曲面形状を形成した後、適当な部位にある一つまたは複数の変位素子１００を膨張あるいは収縮動作させることにより、この曲面形状を変化させることができる。
　集合体であるシート状アクチュエータ２を構成している各変位素子１００において、現在自身が置かれている状況は、図７（ｄ）に示されるように、自身の半径ｒと他の変位素子１００との接点の角度（θ１、θ２、・・θｎ）よりなる極座標で決定される。言い換えれば、すべての変位素子１００の接点の極座標を集積することで、これらの変位素子１００の集合体であるシート状アクチュエータ２が形成する全体像を特定することができる。例えば、制御装置６の制御部７は、この集合体の全体像と所望の全体像（参照曲面）との差を求め、その差が縮小するようにフィードバックをかけることで、変位素子１００の集合体であるシート状アクチュエータ２を、指定された曲率半径を備えた指定された種類の平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させることができる。

Claims (7)

  1. 　平面を含む所定の曲面に沿った形状に変形可能な複数のシート状アクチュエータを連結して構成したアクチュエータ連結体と、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれの動作を制御する制御装置と、
    を備えており、
    　前記アクチュエータ連結体を平面に展開した状態において、１つの前記シート状アクチュエータに対して少なくとも１つの他の前記シート状アクチュエータが隣接した位置に配置され、隣接する前記シート状アクチュエータの間は単一の節点を介して相互に連結されており、
    　前記制御装置は、
    　前記アクチュエータ連結体が所定の曲面形状となるように、前記シート状アクチュエータのそれぞれを、同一あるいは異なる種類の平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる制御を行うことを特徴とする曲面形状ロボット。
  2. 　請求項１において、
    　前記制御装置は、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれに対して、前記平均曲率一定曲面の種類と２つの曲率半径とを割り当て、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれを、割り当てられた種類および２つの曲率半径の前記平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる曲面形状ロボット。
  3. 　請求項１において、
    　前記制御装置は、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれに対して、変形後の曲面形状を規定する前記平均曲率一定曲面を指定する曲面指定部と、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれを、指定された前記平均曲率一定曲面に沿った形状に変形させる制御を行う制御部と、
    を備えており、
    　前記平均曲率一定曲面の指定は、当該平均曲率一定曲面の種類に応じて、
    （１）前記平均曲率一定曲面の種類と２つの曲率半径の指定
    （２）複数のパラメータの指定
    （３）複数のパラメータと２つの曲率半径の指定
    のうち、少なくともいずれか一つの指定形態で行われる曲面形状ロボット。
  4. 　請求項１において、
    　前記アクチュエータ連結体は、相互に連結されている前記シート状アクチュエータの間に形成される隙間領域のうちの少なくとも一つに配置した膜状の受動要素を備えており、
    　前記受動要素は、前記隙間領域を取り囲む前記シート状アクチュエータの外周縁の間に架け渡され、当該外周縁によって規定される前記隙間領域の境界形状によって定まる極小曲面に変形可能な素材から形成されている曲面形状ロボット。
  5. 　請求項１において、
    　前記アクチュエータ連結体は、相互に連結されている前記シート状アクチュエータの間に形成される隙間領域のうちの少なくとも一つに配置した隙間領域用のシート状アクチュエータを備えており、
    　前記隙間領域用のシート状アクチュエータは、平面を含む所定の曲面に沿った形状に変形可能であり、前記隙間領域を取り囲む前記シート状アクチュエータの外周縁の間に架け渡されており、
    　前記制御装置は、前記隙間領域用のシート状アクチュエータを、
    　前記外周縁によって規定される前記隙間領域の境界形状によって定まる極小曲面に沿った形状、または、
    　前記隙間領域の前記境界形状を実現する曲面に沿った形状
    に変形させる制御を行う曲面形状ロボット。
  6. 　請求項１において、
    　前記アクチュエータ連結体を平面に展開した状態において、前記シート状アクチュエータは、矩形の輪郭形状をしており、前記平面に沿って市松模様状に配列されている曲面形状ロボット。
  7. 　請求項１において、
    　前記シート状アクチュエータのそれぞれは、
    　所定厚さの円盤形状をした複数の変位素子を連結して構成した変位素子集合体であり、
    　前記変位素子のそれぞれは、
    　前記円盤形状の径を変化させる膨張収縮部と、
    　前記膨張収縮部の外周に設けられ、前記径の変化に応じて外周が変化し、円周方向に所定の間隔で結合部材が設けられた円環状の伸縮型結合部と、
    を備え、
    　隣接する前記変位素子は、それぞれの前記伸縮型結合部を介して相互に連結されている曲面形状ロボット。
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