WO2023058177A1 - 量子状態生成装置、量子状態測定装置および量子鍵配送装置 - Google Patents

量子状態生成装置、量子状態測定装置および量子鍵配送装置 Download PDF

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WO2023058177A1
WO2023058177A1 PCT/JP2021/037067 JP2021037067W WO2023058177A1 WO 2023058177 A1 WO2023058177 A1 WO 2023058177A1 JP 2021037067 W JP2021037067 W JP 2021037067W WO 2023058177 A1 WO2023058177 A1 WO 2023058177A1
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state
basis
quantum
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dimensional
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PCT/JP2021/037067
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English (en)
French (fr)
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拓也 生田
清石 秋笛
佑哉 米津
利守 本庄
弘樹 武居
Original Assignee
日本電信電話株式会社
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    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/12—Transmitting and receiving encryption devices synchronised or initially set up in a particular manner

Definitions

  • the present invention relates to the generation, measurement and applied communication of high-dimensional quantum states.
  • Quantum communication uses photons as carriers of information, making it possible to achieve highly confidential communication and high transmission rate communication that could not be achieved with conventional communication technology.
  • Quantum Key Distribution shares cryptographic keys that cannot, in principle, be leaked to third parties, by taking advantage of the fact that measurement of a quantum state inevitably causes a change in that state. has also been realized.
  • the time-bin quantum state of a photon is a stable quantum state that is less susceptible to disturbances in fiber transmission, and is widely used in quantum communications because of its low state degradation during transmission.
  • the time-bin quantum state also has the advantage that the dimensionality can be easily increased simply by increasing the number of time slots that constitute the quantum state.
  • the calculation basis is composed of a physical orthogonal state of light that serves as a reference, and the MUB is a non-orthogonal basis with respect to the calculation basis.
  • the Fourier transform basis requires phase modulation with very high resolution and high accuracy as the dimension d increases.
  • the requirement for high phase resolution in the states of MUBs by Fourier transform basis has been a problem that reduces the accuracy and efficiency of state measurements.
  • the quantum state measuring device requires a large number of interferometers and photon detectors, there is also a problem that the scale of the measuring device increases as the dimension d increases.
  • One embodiment of the present invention includes one computational basis ⁇
  • the probability amplitude B mn (r) is decomposed into a diagonal unitary matrix and a Hadamard transform matrix
  • phase modulation is applied to the state of the computational basis of the received d-dimensional quantum state corresponding to the diagonal unitary matrix, respectively.
  • a measurement unit for determining the label n of the d-dimensional quantum state corresponding to the Hadamard transform matrix is applied to the state of the computational basis of the received d-dimensional quantum state corresponding to the diagonal unitary matrix.
  • Another embodiment of the present invention is a computational basis ⁇
  • m ⁇ 0, 1, . to a high-dimensional quantum state defined by a mutually unbiased basis with label r (an integer greater than or equal to 0), which is non-orthogonal to where p is an odd prime number, d p N (N is a natural number), and the quantum state of the label n is expressed by the following equation:
  • the probability amplitude B mn (r) is decomposed into a tensor product of a diagonal unitary matrix and a Fourier transform matrix, corresponding to said diagonal unitary matrix and corresponding to said computational basis states of received d-dimensional quantum states
  • a high-dimensional quantum state measurement apparatus comprising a phase modulation unit for providing phase modulation and a measurement unit for determining said label n of said d-dimensional quantum state corresponding to said Fourier transform matrix.
  • a further embodiment of the present invention comprises one computational basis ⁇
  • a generator, d 2 N (N is a natural number of 2 or more)
  • the quantum state of the label n is represented by the following equation:
  • f i is an element that is the basis of a finite field of order d
  • the symmetric matrix A (j) satisfies the following equation
  • the probability amplitude is and is a state generator that takes only four phase states.
  • Yet another embodiment of the present invention is a computational basis ⁇
  • a high-dimensional quantum defined by a mutually unbiased basis with label r (an integer greater than or equal to 0) that is non-orthogonal to the basis and defines the quantum state with label n (0, 1, . . . , d-1)
  • f i is an element that is the basis of a finite field of order d
  • the symmetric matrix A (j) satisfies the following equation
  • the probability amplitude is and is a state generator that takes only p phase states.
  • FIG. 4 is a conceptual diagram illustrating a calculation basis in a time-bin quantum state
  • 1 is a conceptual diagram showing a simplified system of information transmission by quantum communication
  • FIG. FIG. 2 is a diagram conceptually showing the relationship between MUBs and calculation bases
  • It is a diagram showing the configuration of the MUB state generator using the finite field of the present disclosure.
  • FIG. 10 is a diagram showing another configuration of the MUB state generator using a finite field; It is a diagram showing the configuration of a MUB state measuring device using a finite field of the present disclosure.
  • FIG. 4 is a diagram conceptually explaining a high-dimensional Hadamard transform operation on a quantum state
  • FIG. 4 is a diagram illustrating the configuration of a tree-structured Hadamard transform state measurement unit
  • FIG. 4 is a diagram for explaining the relationship between the delay of each MZI and the measurement pulse at the output port;
  • FIG. 10 is a diagram illustrating a Hadamard transform state measurement unit using delay lines; It is a figure explaining the Hadamard transformation state measurement unit using light SW.
  • Fig. 3 illustrates a Hadamard transform state measurement unit in a looped configuration;
  • FIG. 4 is a diagram showing a configuration example of a MUB state measuring device including a calculation base;
  • FIG. 10 is a diagram showing another configuration example of the MUB state measuring device using a finite field;
  • FIG. 4 is a diagram illustrating MUB state generation of a two-dimensional time-bin qubit;
  • FIG. 4 is a diagram illustrating an MUB state generator for an 8-dimensional time-bin qubit
  • 1 is a diagram of a quantum key distribution system using MUB quantum states using finite fields
  • FIG. 11 is a diagram of another quantum key distribution system with MUB quantum states using finite fields
  • It is a figure explaining the structure of a p-dimensional Fourier-transform state measurement unit.
  • FIG. 10 is a diagram illustrating a Fourier transform state measurement unit using delay lines
  • FIG. 4 is a diagram illustrating the configuration of a state generation device based on frequency bin quantum states
  • FIG. 4 is a diagram illustrating a high-dimensional Hadamard transform in frequency-bin quantum states
  • FIG. 4 is a diagram illustrating a MUB state measuring device in frequency bin quantum states
  • Fig. 3 illustrates a Hadamard transform state measurement unit in frequency bin quantum states;
  • a quantum state generator and a quantum state measuring device based on mutually unbiased basis (MUB) using finite fields are presented.
  • a high-dimensional quantum key distribution applying the quantum state generator and the quantum state measuring device is also presented.
  • problems in the conventional quantum state generator and quantum state measuring device using Fourier transform bases will be described.
  • the features and various implementations of the quantum state generation device and the quantum state measurement device using the MUB using the finite field of the present disclosure will be described.
  • a quantum key distribution system using a quantum state generator and a quantum state measurement device is also described.
  • references to simply "generator” and “measurement device” shall mean quantum state generator and quantum state measurer, respectively.
  • a high-dimensional MUB is realized by a calculation method using a finite field.
  • a high-dimensional quantum state using a finite field a mutually unbiased basis in a time-bin quantum state of light using a time orthogonal mode as a calculation basis will be described as an example.
  • the generating apparatus and measuring apparatus of the present disclosure can be implemented by phase modulator units and units equivalent to matrix transform operations, respectively.
  • time-bin quantum states is equally applicable to devices in higher-dimensional quantum states of other modes of light. Examples of measuring and generating devices using other modes of light than time-binned quantum states using orthogonal modes of time are discussed at the end.
  • time-bin quantum states are stable quantum state that is less susceptible to disturbances on fiber transmission.
  • MUB mutually unbiased basis
  • FIG. 1 is a conceptual diagram explaining a calculation basis in a time-bin quantum state.
  • quantum key distribution not only the state of the computational basis in which a photon exists deterministically at a specific time as shown in Fig. 1, but also the state of MUB, which is non-orthogonal to the state of the computational basis and is a superposition state. It is necessary to generate the state (generator) and project-measure (measurer) to the state of the MUB.
  • FIG. 2 is a conceptual diagram showing a simplified system for information transmission by quantum communication.
  • a quantum communication system 10 includes a generating device 11 , an optical transmission line 12 for transmitting quantum states, and a measuring device 13 .
  • the generating device 10 receives continuous light or pulsed light 14 and applies intensity and phase modulation to the optical pulse train 17 based on the calculation basis and the MUB 16 to generate a required quantum state.
  • the measurement device 13 performs, for example, projection measurement on the received optical pulse train 18 to measure the quantum state.
  • MUB is a basic component that appears in the above-mentioned quantum communication, quantum key distribution, quantum state tomography, which is a technique for measuring the density of states operator, and various other quantum information processing scenes.
  • quantum state tomography which is a technique for measuring the density of states operator, and various other quantum information processing scenes.
  • a MUB for a computational basis is a basis defined as the superposition state of the ground states of the computational basis, with all ground states non-orthogonal to the ground state of the computational basis, and any Refers to an orthonormal basis such that the square of the absolute value of the inner product between two states, the ground state and any ground state of the computational basis, is 1/d with respect to the dimension d.
  • a MUB is a non-orthogonal quantum state in which, in two orthonormal bases, the ground state contained in one basis is the superposition state of all ground states contained in the other basis. can also be used to refer to two bases such that, in any combination of extracting one ground state from each of the two bases, the absolute square of the inner product between the two quantum states is 1/d with respect to the dimension d. I can say
  • f n > represented by the following equation has been mainly used as a method of implementing MUB required for high-dimensional quantum key distribution.
  • m is a label (integer) that defines the state of the calculation basis
  • n is a label (integer) that indicates the state of the Fourier transform basis
  • d is the dimension of the calculation basis and the Fourier transform basis.
  • the inventors introduced another MUB using a finite field to a device that handles high-dimensional quantum states in order to solve the above-mentioned problem of requiring high phase resolution as the dimension d increases.
  • the requirement for phase resolution can be greatly relaxed, the device configuration can be simplified, and the generation device and measurement device can be implemented in a scalable manner.
  • Equation (3) represents a basis using a finite field, which is a mutually unbiased basis (MUB) as will be described later, and equation (4) represents the probability amplitude of this basis.
  • m> is expressed by the following equation.
  • m, n, and r are also defined as follows.
  • m label that defines the state of the calculation basis
  • n label that defines the state of the mutually unbiased basis (MUB)
  • r label of the MUB
  • r, m, and n (bold) are , r, m, and n are expressed as bit strings.
  • r j is a scalar quantity indicating the j-th bit when r is expressed as a bit string.
  • m T (bold) is a horizontal vector
  • a (j) is a square matrix
  • m (bold) is a vertical vector.
  • the basis defined by the above equations (2) to (4) is mutually unbiased with the calculation basis
  • fi is an element of a finite field in which only the i-th bit is 1 in the bit string representation.
  • finite fields themselves, and finite fields of the same order can be shown to be equivalent to a single finite field by rearranging the labels representing their elements. . Therefore, by rearranging the labels, it can be seen immediately that there are a plurality of states with exactly the same probability amplitudes as in Equation (4).
  • MUBs obtained by simply rearranging m, n, and r independently are equivalent if they are associated by inverse transformation in which they are rearranged again. Even with equivalent MUBs obtained by rearranging labels in this way, the examples of MUBs described below are valid as they are, and similar arguments hold.
  • FIG. 3 is a diagram conceptually showing the relationship between MUBs and calculation bases.
  • d MUBs 21-0 to 21-(d ⁇ 1) are generated from the calculation basis 20.
  • FIG. All bases in FIG. 3 are non-orthogonal to each other.
  • MUB 21 - 0 is also non-orthogonal to computational basis 20 .
  • the non-orthogonal display is shown only for MUB 21-0 for ease of viewing, but the relationship between MUB 21-0 and other MUBs described above is the same for all other MUBs. It holds.
  • FIG. 4 is a diagram showing the configuration of the MUB state generator using the finite field of the present disclosure.
  • the generation device 30 is configured to generate the state of the MUB based on the equations (3) and (4) as well as the state of the computation basis.
  • An intensity modulator 31 and a phase modulator 32 are connected in cascade.
  • a modulation signal generator 33 is also provided which provides a modulation signal 36 to the phase modulator 32 .
  • Continuous light or continuous pulse light 34 is input to the intensity modulator 31, and d continuous pulses 35 are output when generating the MUB state.
  • the train of pulses 35 is not yet phase modulated and the relative phase between the pulses is zero at any time.
  • the modulation signal generator 33 applies phase modulation according to the probability amplitude of equation (4) to each pulse of the continuous pulse 35 based on the base information r and the label n information of the state in the base.
  • a modulation signal (control signal) 36 is generated for.
  • Modulation signal 36 imparts phase modulation to each pulse of continuous pulses 35 input to phase modulator 32 to obtain output pulse train 37 .
  • the intensity modulator 31 is also used to generate the calculation basis
  • the generation device having the configuration in FIG. 4 can generate a high-dimensional quantum state of MUB using a finite field, in which the relative phase with respect to the leading pulse in the d-sequence pulse has only four values.
  • FIG. 5 is a diagram showing another configuration of the state generation device using the MUB using the finite field of the present disclosure.
  • Generating device 40 is also configured to be capable of generating the states of MUBs based on equations (3) and (4) as well as the states of calculation bases, similarly to generating device 30 of FIG.
  • the generator 40 comprises an optical IQ modulator 41 and a modulated signal generator 42 .
  • Modulation signal generator 42 generates 2 signals for applying phase modulation according to equation (4) to each pulse of continuous pulses 44 based on base information r and label n information of states in the base. It generates two modulated signals (I signal, Q signal) 45 .
  • the optical IQ modulator 41 phase-modulates each pulse of the continuous pulse 44 with the I signal and the Q signal 45 to obtain an output pulse train 46 .
  • FIG. 5 shows an example of a d-continuous pulse as the input light 43, even if continuous light is input, it is possible to generate both states of computational basis and MUB.
  • the finite field-based MUB measurement apparatus of the present disclosure includes a first unit corresponding to the diagonal unitary transform on the computational basis and a lower-dimensional quantum state equivalent to the received higher-dimensional quantum state.
  • a second unit corresponding to the Hadamard transform state measurement which decomposes into two and performs a projective measurement.
  • Such a configuration that decomposes the stochastic amplitude of MUB into two matrix subsystems is based on other optical modes such as frequency modes that are orthogonal to each other in terms of frequency, spatial modes that utilize the orbital angular momentum of light, optical paths, etc. It can also be applied to state measurement when
  • FIG. 6 is a diagram illustrating the basic configuration of the MUB state measuring device using the finite field of the present disclosure.
  • FIG. 6(a) shows the most conceptual measuring device.
  • the quantum state measuring device measures the quantum state
  • Equation (4) which represents the probability amplitude B mn (r) of MUB using a finite field, can be decomposed into two matrices as in the following equation.
  • Equation (6) D mm (r) on the left side of the right side is a diagonal unitary matrix.
  • D mm (r) consists only of the exp term, and in the case of time-bind quantum states, D mm (r) corresponds to the phase modulation on each pulse. Therefore, the unit corresponding to the diagonal unitary matrix on the left side of the right side of Equation (6) can be implemented as a phase modulator for the calculation basis.
  • the operation by B mn (0) on the right side of the right side of Equation (6) corresponds to projection measurement onto the Hadamard transform basis, as will be described later.
  • the state measuring device can be configured to include a unit that performs phase modulation according to equation (7) on the front stage side of the measurement unit that manipulates the Hadamard transform matrix.
  • a unit corresponding to the two matrices decomposed from the probability amplitude B mn (r) of the MUB allows the measurement to the basis (MUB of label r) with the probability amplitude B mn (r) of Eq. (4).
  • FIG. 6(b) shows a measuring device 50-2 configured by combining the two units described above.
  • the measurement device 50-2 includes a phase modulation section 51 corresponding to D mm (r), which is the first unit on the front side, and a measurement unit 52 corresponding to B mn (0) , which is the second unit.
  • Modulation signal generator 53 provides a modulation signal to phase modulator 54 .
  • the phase modulation unit 51 requires conversion from the r-th basis to the 0-th basis, not the conversion from the 0-th basis (label 0) to the r-th basis (label r).
  • Equation (6) decomposes the probability amplitude B mn (r) in generating MUBs.
  • the measuring apparatus performs the inverse transformation of the transformation expressed by Equation (6), that is, phase modulation that is the complex conjugate of D mm (r) on the left side of the right side of Equation (6).
  • the phase modulator 54 in FIG. 6(b) can also be replaced with an optical IQ modulator as in FIG.
  • a specific implementation method of the measurement unit 52 corresponding to B mn (0) which is the second unit following the phase modulation section 51, which is the first unit of the above-described measurement device, is a method for realizing the measurement device. key.
  • the principle of the Hadamard transform for B mn (0) and a specific implementation example will be described in detail with drawings.
  • FIG. 7 is a diagram conceptually explaining a high-order Hadamard transform operation for a quantum state using a finite field.
  • FIG. 7(a) illustrates the transposition from a d-dimensional quantum state to an equivalent multi-particle state.
  • a four-dimensional quantum state 71 of dimension d 4.
  • Each position of the pulse train arranged at the time interval ⁇ corresponds to four quantum states of the computational basis, and corresponds to the states
  • this four-dimensional quantum state is considered as an N-particle two-dimensional quantum state with equivalent dimensions. That is, the four quantum states 71 are replaced with four quantum states 72 of
  • 11> as a 2-bit (N 2) bit string representation. .
  • the four quantum states 72 which are two-particle two-dimensional states, are divided into two blocks having different delay times when each digit is decomposed into two states by focusing on the bits of each digit. Focusing on the first digit of the quantum state 72b, it is divided into a state
  • the Hadamard transform H in the two-dimensional case is defined by the following matrix.
  • a high-dimensional Hadamard transform basis that realizes the transform of B mn (0) of the second unit shown in FIG. Example configurations for several implementations of the projection measuring device to .
  • a projection measuring device to a high-dimensional Hadamard transform basis that realizes the transform of B mn (0) which is the second unit shown in FIG. For simplification, it is called a Hadamard transform unit.
  • FIG. 8 is a diagram illustrating the configuration of a tree-structured Hadamard transform state measurement unit.
  • the Hadamard transform unit 80 is composed of a two-layer interferometer and four photodetectors 83-1 to 83-4. Specifically, a Mach-Zehnder interferometer (MZI) is used as an interferometer for each layer, and a different delay time is set for the MZI for each layer.
  • MZI Mach-Zehnder interferometer
  • the MZI is composed of an input coupler 84, two arm waveguides 86-1 and 86-2 with different lengths, and an output coupler 85.
  • the delay time difference between the long arm waveguide 86-1 and the short arm waveguide 86-2 is set to 2 ⁇ , and the relative phase difference is set to 0.
  • the delay time difference between the long arm waveguide and the short arm waveguide is set to ⁇ , and the relative phase difference is set to zero.
  • the part corresponding to the interferometer including waveguides of different lengths is indicated as 2 ⁇ , 0, but the delay time difference between the arm waveguides is indicated on the left side of the comma, and Let us denote the relative phase between the arm waveguides.
  • the information as to which port a' or port b' of the interferometer 81 with a delay time of 2 ⁇ in the first layer is output is the second digit of the two-particle two-dimensional state shown in FIG. corresponds to the projection measurement of either
  • the superimposed state of all input states will be described together with the delay operation up to the output point by each MZI arranged in a tree structure.
  • FIG. 9 is a diagram explaining the relationship between the delay of each MZI and the measurement pulse at the output port.
  • the Hadamard transform unit 80 shown in FIG. 9 is identical to that shown in FIG. In FIG. 9, note how the four-dimensional continuous pulse train 87 to be measured input to the Hadamard transform unit 80 is delayed by the two-layered MZI and output from each of the four output ports. do.
  • the pulse train 87 is sequentially input to the first layer MZI from the pulse 87-1 that arrives first in time to the pulse 87-4 that arrives last. Now consider the pulse 88 observed at port a at each instant. In the plurality of pulses 88 shown in FIG.
  • the four pulses arranged along the time axis at the bottom represent pulses observed at each time through a path of zero delay time.
  • four pulses arranged second from the bottom along the time axis indicate pulses observed at each time through a path of delay time ⁇ .
  • the third and fourth pulses from the bottom along the time axis indicate pulses observed at each time through paths with delay times of 2 ⁇ and 3 ⁇ , respectively.
  • the first pulse 87-1 When the first pulse 87-1 is input to the multistage (multilayered) MZI, it propagates through the shortest paths of the short arms 86-2 and 86-4 of each MZI of the two layers, and has a constant initial delay time. At the passed time t0 , it is observed as an output pulse 88-1. At the same port a, the second pulse 87-2 propagates along the above-described shortest path and appears as an output pulse 88-2 at time t 1 after the delay time ⁇ has elapsed from time t 0 . At the same time, the first pulse 87-1 propagates through the second-layer MZI long arm waveguide 86-3 and appears as a pulse 88-1 (+ ⁇ ) delayed by time ⁇ . Thus, at time t1 , two pulses appear at port a, superimposing the two input pulses.
  • the third pulse 87-3 propagates along the shortest path and appears as an output pulse 88-3.
  • the second pulse 87-2 propagates through the second layer MZI long arm waveguide 86-3 and is delayed by time ⁇ as a pulse 88-2 (+ ⁇ ). It appears as a pulse 88-1 (+2 ⁇ ) propagated through the long arm waveguide 86-1 of the MZI of the eye and delayed by a time of 2 ⁇ .
  • three pulses appear at port a, superimposing the three input pulses.
  • the final pulse 87-4 propagates along the shortest path and appears as an output pulse 88-4.
  • the third pulse 87-2 propagates through the second layer MZI long arm waveguide 86-3 and is delayed by the time ⁇ as a pulse 88-3 (+ ⁇ ).
  • the first pulse 87-1 propagates through the two layer MZI long arm waveguide 86-1, It appears as a pulse 88-1 (+3 ⁇ ) propagated through 86-3 and delayed by time 3 ⁇ .
  • the four pulses indicated by the dotted line area 89 appear at the port a at the same time, resulting in a state in which the four input pulses are superimposed.
  • the superimposed state of the four input pulses described above is similarly observed at ports b, c and d.
  • the photon detector as a result of the delay due to these MZIs arranged in a two-layer configuration, projection measurement of all input states onto the superimposed state is realized in the dotted area 89 .
  • the interference light that has passed through the MZI which is an interferometer, is superimposed with a phase relationship determined by the MZI optical path, and the probability amplitudes of photons at different times on the input side are superimposed according to the interference pattern.
  • the phase at the time of interference in MZI depending on which output port of each MZI the photon was observed, two states on the equivalent qubit
  • the information as to which port a' or b' of the MZI 81 with a delay time of 2 ⁇ the photon is output is represented by
  • the relationship between photon detection and measured states is:
  • an interferometer with a delay time of 4 ⁇ is added as the 0th layer to the configuration of FIG.
  • the number of MZIs in the first and second layers should be doubled.
  • the Hadamard transform unit for the 8-dimensional time-bin quantum state is composed of 7 MZIs in 3 layers.
  • an MZI interferometer
  • the interferometers in one layer should have the same delay time. Therefore, equivalent state measurement is possible even if the delay times are exchanged between layers (for example, in the order of 2 ⁇ , 4 ⁇ , ⁇ ) instead of decreasing the delay time sequentially from the upper layer.
  • an interferometer with a long delay time generally has problems of manufacturing difficulty and stability. Therefore, by setting the delay times in descending order (in the case of eight dimensions, the order is 4 ⁇ , 2 ⁇ , ⁇ ), the number of unstable interferometers is reduced, and the overall configuration of the measuring apparatus is stable.
  • the configuration of the tree-like Hadamard transform unit in FIG. 8 allows the relative phases of all interferometers to be zero.
  • the phase difference between the arm waveguides is designed to be, for example, ⁇ /2, and is incorporated into a part of the tree configuration.
  • the types of setting values for the phase value of this interferometer increase with the dimension d. If this phase difference could be set to zero, then all interferometers could be tuned simply by adjusting the MZI to maximize or minimize some measurable quantity, such as the extinction ratio. Since the adjustment of the interferometers in each layer can be performed uniformly with a phase difference of 0 and can be simplified, there is an advantage that the adjustment of the interferometers is easy even when the dimension d is increased.
  • FIG. 10 is a diagram illustrating the configuration of a Hadamard transform state measurement unit using delay lines.
  • a Hadamard transform state measurement unit using the tree-shaped interferometer described in FIG. 8 a large number of interferometers are required as the dimension increases and the number of layers increases.
  • interferometers in the same layer may have the same delay time and the same relative phase. Therefore, if one interferometer can be shared as an interferometer of the same layer in some way, the number of interferometers can be reduced.
  • FIG. 10 shows a Hadamard transform state measurement unit of configuration example 2 using a delay line.
  • the Hadamard transform unit 90 of configuration example 2 receives a continuous pulse train 96 based on a four-dimensional time-bin quantum state, like the four-dimensional Hadamard transform unit shown in FIG. 8, but the overall configuration is much smaller.
  • the first layer MZI 91-1 and the second layer MZI 91-2 are connected in cascade, and the two output ports of MZI 91-2 are provided with corresponding photon detectors 95-1 and 95-2. .
  • the delay time difference between the arm waveguides is set to 2 ⁇ and the relative phase is set to zero.
  • the delay time difference between the arm waveguides is set to ⁇ and the relative phase is set to zero. Therefore, the configuration of the MZIs in each layer is similar to the configuration of the MZIs in the tree-like arrangement of FIG. The difference from the configuration of FIG. Another difference is that the delay line 92 is connected to another port.
  • the delay line 92 is set to a delay time ⁇ ' shorter than the delay ⁇ of the second layer MZI. Therefore, compared to the pulse from one output of the first layer MZI 91-1 through the cascaded path, the pulse from the other output port of the output coupler of the MZI 91-1 through the delay line 92 is delayed by time ⁇ '. It is input to the MZI 91-2 on the second layer with a delay.
  • the delay time ⁇ ′ of the delay line 92 is appropriately set, by using one MZI 91-2 at another time, the two MZIs arranged in parallel on the second layer in FIG. function.
  • the delay time ⁇ ′ of the delay line 92 is shorter than the delay ⁇ .
  • I wish I could. Any value may be set for the delay time of the delay line as long as the inputs at different times are staggered so as not to interfere with each other.
  • FIG. 10 is a diagram showing the state of an output pulse 99 observed by the Hadamard transform unit 90 of (a).
  • Output pulse 99 corresponds to output pulse 88 in the tree configuration of FIG. 9, and the operation of delay line 92 can be understood by comparing the two.
  • the triangular pulse 96-1 is the pulse output by the two-layer MZI through the directly connected cascade paths.
  • the superimposed state of the four input continuous pulses 96 is observed.
  • the single MZI in the second layer is repeatedly used with a time shift, and the single MZI is reproduced multiple times in a time-division manner. You can assume that you are using it.
  • Such repeated use of a single interferometer can be performed independently in each layer, except for the first layer, even if the number of layers increases. This multiple use (reuse) of interferometers greatly simplifies the number of required interferometers to logd and the number of photon detectors to two.
  • Four layers of MZI 91-1 to 91-4 are cascaded.
  • the delay time differences between the arm waveguides of the MZI of each layer are set to 8 ⁇ , 4 ⁇ , 2 ⁇ , ⁇ in order, and the phase difference between the arm waveguides is set to zero.
  • the first layer MZI and the second layer MZI are connected in parallel with the cascade connection by a delay line 92-1 having a delay time ⁇ ′.
  • the second layer MZI and the third layer MZI are connected in parallel by a delay line 92-2 having a delay time ⁇ ′′.
  • the third-layer MZI and the fourth-layer MZI are connected in parallel by a delay line 92-3 having a delay time of ⁇ ′′′.
  • the delay time of each delay line should be set to a timing at which the adjacent superimposed multiple pulses (solid line triangle and dotted line triangle) in FIG. 10(b) do not collide at the output port.
  • ⁇ ′ of the delay line connecting the interferometers of adjacent layers in parallel is set to the middle of the original detection times (t 0 , t 1 , t 2 . . . ) at the photodetector.
  • the delayed photon is set to be detected at the time of
  • interferometer iterations can be made partially for some layers throughout the Hadamard transform unit. That is, it is also possible to combine the tree configuration example 1 of FIG. 8 and the configuration example 2 of FIG. 10 to adopt a hybrid configuration in which interferometers using delay lines are repeatedly used in some layers.
  • FIG. 11 is a diagram for explaining the configuration of a Hadamard transform state measuring unit using an optical switch (optical SW). Compared to the Hadamard transform state measurement unit 90 of FIG. 10, it is similar in that the interference structure including two arm waveguides is cascade-connected and the delay lines between the interference structures (interlayers) are connected in parallel. There is The Hadamard transform unit 100 in FIG. 11 adds one layer to the configuration example 2 in FIG. It has a configuration in which the input side coupler of the MZI is replaced with an optical SW.
  • MZI Mach-Zehnder interferometers
  • Another difference between Hadamard transform unit 100 of FIG. is set to the same value as the delay time of each preceding-stage MZI section.
  • the delay time of the delay line 103-1 connecting the first layer and the second layer in parallel is set to 4 ⁇ , which is the same as the delay time of the MZI section 101-1 on the front side.
  • the delay time of the delay line 103-2 that connects the second layer and the third layer in parallel is set to 2 ⁇ , which is the same as the delay time of the MZI section 101-2 on the front side.
  • the delay time of the delay line 103-3 connecting in parallel between the third layer and the optical SW 104 is set to ⁇ , which is the same as the delay time of the MZI section 101-3 on the front side.
  • a photon detector 106 detects photons at the output of the final-stage light SW 104 .
  • the optical SW replaced from the input coupler of the regular MZI operates to switch one or more inputs to one or more outputs.
  • the optical SW 102-1 outputs the input continuous pulse 105 to one of the two arm waveguides of the MZI section 101-1 in synchronization with the time interval ⁇ .
  • the optical SW 102-2 transmits the pulses from the two arm waveguides of the MZI section 101-1 to either the MZI section 101-2 or the delay line 103-1 in the next layer in synchronization with the time interval ⁇ . and output.
  • the light SWs 102-3 and 104 switch the relationship between the input and the output in synchronization with the time interval ⁇ .
  • the high-dimensional quantum state corresponds to the equivalent two-dimensional quantum state
  • the light SW make it work.
  • the delay time of the delay line in configuration example 3 is set to the same value as the delay time of each MZI section on the preceding stage, and the delay time is an integral multiple of the time interval ⁇ between the input successive pulses. Therefore, at the output point of the MZI section of each layer, the timing is such that pulses propagated through different paths can appear simultaneously and collide. However, no collision occurs due to switching operation of the input-output relationship of each light SW. As a result, at the output point of the optical SW 104 at the final stage, a superimposed state of different interference patterns of the input continuous pulses 105 interfering with the output coupler of each MZI unit is realized at different times.
  • the Hadamard transform unit 100 in FIG. 11 switches the light SW of each layer while synchronizing with the time interval ⁇ of the input continuous pulse 105, so that at the output point of the light SW 104, all the measurement times (t 0 to t 7 ), the superimposed state of the input train 105 is realized.
  • the first measurement time t0 is after all of the eight continuous input pulses 105 have been input to the Hadamard transform unit 100, so at least 8 ⁇ has elapsed since the first pulse input.
  • the eight input pulses are superimposed and interfered, and the interference pattern can be made to correspond to the high-dimensional Hadamard transform.
  • FIG. 11 shows the pulse 107 observed at each time at the output point of the Hadamard transform unit 100 of Configuration Example 3.
  • FIG. At any detection time from earliest t0 to t7 , eight pulses of input train 105 appear simultaneously. Therefore, if the 8-dimensional quantum state is converted into a qubit representation of an equivalent 3-particle 2-dimensional quantum state according to the information on which detection time the photon was detected, then the 2-dimensional quantum state on the equivalent qubit
  • the structural configuration of the Hadamard transform unit 100 in FIG. 11 is also disclosed in Non-Patent Document 3, for example.
  • the relative phase in each delay line can be set separately and to an arbitrary value, which is greatly different from the configuration of Non-Patent Document 3.
  • the relative phases caused by the delays of delay lines 103-1 to 103-3 are the pulse within dotted line 108 at time t1 and the pulse within dotted line 109 at time t0 in FIG. 11(b). , as the relative phase between the output pulses at different detection times.
  • the relative phase produced by the delay line has nothing to do with the phase between pulses (eight pulses in dotted line area 108) appearing as superposition of successive input pulses within the same detection time.
  • phase of the delay line described above can be arbitrary can be explained as follows.
  • photons are detected by a photon detector 106 immediately following a series of cascaded MZI sections (interferometers).
  • the photon detector 106 measurement is not affected by the relative phase between superimposed pulses (between regions 108 and 109) corresponding to different detection times.
  • FIG. 11(b) the relationship between the phase of the pulse in region 109 at time t0 and the phase of the pulse in region 108 at time t1 is the measurement of photon detector 106. does not affect the results.
  • the phases generated by the delay lines 103-1 to 103-3 can be set arbitrarily.
  • the value of this phase difference may vary among the three delay lines, and may be any value other than 0.
  • the fact that the phases in the delay lines can be set arbitrarily means that the phases of these delay lines need not be stabilized unlike the MZI sections 101-1 to 101-3.
  • MZI sections 101-1 to 101-3 must not apply phase modulation to each of the input continuous pulses. Therefore, the relative phases between the arm waveguides in the MZI sections 101-1 to 101-3 must be set to 0 with high accuracy.
  • the delay line design conditions in an actual device can be greatly relaxed.
  • each of the Hadamard transform units of configuration example 1 in FIG. 8 and configuration example 2 in FIG. 10 only the measurement results of some detection times at which all input pulses interfere can be used in the output of the interferometer. . For this reason, a decrease in detection efficiency becomes a problem.
  • the photon detection results at all the detection times correspond to any projection measurement of the Hadamard transform ground state. Therefore, in principle, it is possible to realize an MUB state measuring device using a finite field without lowering the detection efficiency. Furthermore, in configuration example 3, the number of photon detectors can be reduced to one.
  • FIG. 12 is a diagram illustrating the configuration of a Hadamard transform state measurement unit that uses a loop-like structure.
  • the Hadamard transform state measurement unit 110 of FIG. 12 of configuration example 4 is configured by modifying the configuration of configuration example 3 into a loop shape, and repeatedly using the MZI section as in configuration example 2, so that the Hadamard transform state measurement unit 110 can be further compactly configured.
  • the MZI section 111 includes an optical SW 112, two arm waveguides 113 with different lengths, and an output coupler 114, as in the configuration example 3.
  • One output port of output coupler 114 is further connected to the input port of optical SW 116 .
  • the other output port of output coupler 114 is connected to another input port of optical SW 116 via delay line 115 .
  • One output of optical SW 116 is input to optical SW 112 in order to repeatedly use MZI section 111 .
  • the other output of the optical SW 116 is given to the photon detector 117 as the final output after the MZI section 111 has been repeatedly used a certain number of times. In this way, the MZI section 111, the delay line 115 and the optical SW 116 are configured in a loop so as to be used repeatedly.
  • the delay time of the MZI unit 111 is set to ⁇ (t), and takes values such as ⁇ , 2 ⁇ , 4 ⁇ .
  • the delay time ⁇ (t) varies temporally in synchronization with the time interval ⁇ of the input successive pulses 118 so that the MZI section 111 can be repeatedly used in different configurations.
  • the delay time of the delay line 115 is set to ⁇ (t), which is the same as that of the MZI section 111 , and changes temporally in synchronization with the time interval ⁇ of the input continuous pulses 118 .
  • the same MZI section 111 can be repeatedly used to enable the same operation as in Configuration Example 3.
  • the final output is obtained by superimposing eight input pulses at all detection times and interfering with each other, as shown in FIG. 11(b). According to the information of the time when the photon was observed, it is possible to determine which state has been subjected to the projection measurement when the eight-dimensional quantum state is decomposed into the three-particle two-dimensional quantum state.
  • the configuration of Hadamard transform state measurement unit 110 in FIG. It can be understood that it is used repeatedly as different layers.
  • the same argument as in configuration example 3 in FIG. 11 holds true for the phase difference in the delay line 115. Therefore, the phase difference given to the delay line 115 may be any value, and there is no need to stabilize the phase difference with respect to the optical path of the delay line.
  • the same waveguide is used as the feedback path between the light SW 116 and the light SW 112 and the single MZI section is repeatedly used, there is no need to match the phase values in this feedback path.
  • the Hadamard transform state measurement unit in the time-bin quantum state is a plurality of optical interferometers arranged in a tree in N layers, and for each layer of the N layers A first configuration (configuration example 1) including a plurality of optical interferometers with delay times corresponding to positions, and a plurality of optical interferometers cascaded in N layers, wherein for each A plurality of optical interferometers provided with a delay time corresponding to the layer position of the N layers, and a delay corresponding to the delay time of the optical interferometer of the previous layer in parallel with the connection between two adjacent layers.
  • a second configuration (configuration example 2, configuration example 3) including one or more delay lines with set times, or an optical interferometer connected in a loop, with a variable delay corresponding to the number of laps It can be implemented as including any of the third configuration (configuration example 4) that includes a timed optical interferometer.
  • Configuration example 1 in FIG. 8 configuration example 2 in FIG. 10, configuration example 3 in FIG. 11, and configuration example 4 in FIG. Fig. 3 is an example of a Hadamard transform state measurement unit with projection measurement onto a basis; Here, the specific overall configuration of the state measuring device including state measurement based on computation is shown.
  • FIG. 13 is a diagram showing a configuration example of a MUB state measuring device including a calculation basis.
  • the MUB state measuring device 120 using a finite field has the same configuration as the measuring device 50-2 combining two units shown in FIG. 6(b). It has a phase modulation section 51 as a first unit and a Hadamard transform state measurement unit 90 corresponding to B mn (0) on the right side of the right side of Equation (6) as a second unit.
  • the Hadamard transform state measuring unit 90 of FIG. 13 is the same as the Hadamard transform state measuring unit 90 of configuration example 2 using the delay line shown in FIG. 10(a).
  • the state measuring device 120 of FIG. 13 can measure not only d MUB states but also calculation bases, and implements (d+1) MUB measurements as a whole. Since the projection measurement onto the calculation basis is a measurement of the time at which the photon is, it can be directly measured by a photon detector without using an interferometer.
  • the state measuring device of FIG. 13 is provided with the light SW 122 on the input side, and when the photon is sent to the photon detector 123-3, the projection measurement onto the calculation basis is performed. If photons (input continuous pulse 121) are sent to the phase modulation unit 51 side by the light SW 122, the MUB of the label r described by the equations (3) and (4) according to the modulation in the phase modulator 54 A projection measurement onto the state is made. Therefore, in the state measuring device 120 of FIG. 13, the optical SW 122 and the phase modulator 54 are responsible for switching and selecting different (d+1) MUBs.
  • the Hadamard transform state measuring unit 90 of the second unit can be replaced with another configuration.
  • the Hadamard transform state measuring unit 90 of the unit of the state measuring device of FIG. 13 can be replaced by any one of configuration examples 1 to 4 described with reference to FIGS.
  • the light SW can be replaced with an optical beam splitter having an appropriate branching ratio.
  • FIG. 14 is a diagram showing another configuration example of the MUB state measuring device using a finite field.
  • the state measuring device 130 of FIG. 14 also has the same configuration as the measuring device 50-2 shown in (b) of FIG . 0) has a Hadamard transform state measurement unit 131 corresponding to .
  • a Hadamard transform state measuring unit 131 of FIG. 14 is obtained by partially changing the Hadamard transform state measuring unit 100 of configuration example 3 shown in FIG.
  • the light SW used in the Hadamard transform state measurement units of configuration examples 3 and 4 not only switches the relationship between input and output, but also plays the same role as a beam splitter by adjusting the control conditions. There is something that can be done.
  • Such a light SW has three output states including transmission, blocking (reflection), and distribution (half-mirror state).
  • the Hadamard transform state measurement unit 131 in the state measurement device 130 of FIG. It has the same configuration as However, the output-side couplers of the MZI section of each layer are replaced with light SWs 133-1 to 133-3 each including the state of output light distribution.
  • the replaced light SW performs substantially the same operation as the output coupler of the MZI with the phase difference set to 0 in the state of distribution (half mirror). Therefore, the Hadamard transform state measuring unit 131 of FIG. 14 and the Hadamard transform state measuring unit 100 of FIG. 11 can perform the same operation. Furthermore, considering the state in which the state measuring device in FIG. I know it works. In such a state, no interference occurs in the input train 135, so the measurement by the state-measuring device of FIG.
  • the configuration of the state measuring device 130 of FIG. 14 it is possible to measure (d+1) MUBs including the calculation basis.
  • only one photon detector 134 can measure the state of all MUBs including the computational basis.
  • the value of the phase difference can be arbitrary, and the advantages such as no need to stabilize the phase difference in the delay line are the same as those of the Hadamard transform state measurement unit of configuration example 3 in FIG. is.
  • the number of states that each light SW should take is binary (transmission/reflection state) on the input side of the MZI section of each layer, and ternary (transmission/reflection/half mirror state) on the output side. Only one is fine.
  • FIG. 15 is a diagram explaining MUB state generation of a two-dimensional time bin qubit.
  • FIG. 15(a) shows the configuration of a generator that is currently used to generate MUB states of two-dimensional time-bin qubits. Comparing the configuration of the state generation device 30 shown in FIG. 4 with the configuration of FIG. 15(a), in FIG. 15(a), the intensity modulator 31 in FIG. It has become.
  • This interferometer is an MZI and is composed of an input side coupler 141, two arm waveguides with a delay time set to ⁇ , and an output side coupler 142. FIG. Using this interferometer 140-1, a superimposed state of two consecutive pulses is realized with a time interval ⁇ .
  • the state generation device 30 shown in FIG. 4 can be used for state generation with quasi-single photons using weak coherent light allowed in QKD or the like. However, if a true single-photon source is used in the state generator 30 shown in FIG. 4, a separate device is required to create a superposition state with respect to the time position.
  • the technique using the interferometer 140-1 in FIG. 15(a) has the advantage that it can also be used for true single-photon sources, since the interferometer itself creates a superposition state with respect to the time position.
  • each configuration in FIG. 15 corresponds to the state for the high-dimensional MUB of the present disclosure previously described in FIGS. 6 to 14 .
  • the difference is that the arrangement order of the components of the measurement device is reversed in a similar configuration in the two-dimensional case.
  • FIG. 16 is a diagram explaining an MUB state generator for an 8-dimensional time-bin qubit.
  • the MUB state generator 200 using a finite field is obtained by extending the MUB state generator for two-dimensional time-bin qubits in FIG. 15(c) to eight-dimensional time-bin quantum states.
  • the components of the condition measuring device described so far are arranged in reverse order. That is, the state generating device 200 of FIG. 16 has the constituent elements of the state measuring device 130 of FIG. 14 arranged in reverse order. Specifically, delay processing section 201 including MZI section 203-1 with delay time ⁇ , MZI section 203-2 with delay time 2 ⁇ , MZI section 203-3 with delay time 4 ⁇ , and phase modulation section 202 are arranged in this order. ing.
  • the state measuring device 200 of FIG. 16 can generate the states of all nine MUBs, including the computational basis for the eight-dimensional case, for a single photon 206 input.
  • the state generating device 200 of FIG. 16 does not include the delay line of the state measuring device 130 of FIG. This is because even if there is a delay line, the switching operation of the light SW will bring about the same state as if the delay line did not exist. Therefore, the constituent elements of the measuring apparatus in FIG. 14 may be arranged in reverse order and used as they are in the generating apparatus, or unnecessary delay lines may be deleted. Similarly, by reversing the order of arranging the components of the state measuring devices of FIGS. It can be diverted to a device.
  • the arrangement of the Hadamard transform state measurement units 80 of the tree-shaped configuration example 1 shown in FIG. 16 can be replaced with the following configuration. At this time, the light should be input to one port of the interferometer closest to the input side.
  • the delay processing part 201 in FIG. 16 may be replaced with a configuration in which the arrangement of the Hadamard transform state measurement unit 100 of the configuration example 3 consisting of a plurality of cascaded interferometers shown in FIG. 11 is reversed. At this time, there may be no delay line between the layers of the interferometer.
  • the Hadamard transform state measurement unit 110 of configuration example 4 shown in FIG. 12 also has a configuration in which the input/output relationship is reversed, and similarly the delay processing part 201 of FIG. 16 can be replaced.
  • the delay line must be removed. This is because the number of pulses larger than the expected dimension is generated due to the influence of the delay line. As already mentioned, the effect of the delay line can be eliminated when using the optical SW, so the delay line can be left and the same device can be used completely. In the case of the tree configuration example 1, no delay line exists in the first place, so there is no problem.
  • optical interferometers in the above-described configuration consisting of a plurality of optical interferometers arranged in the form of an inverted tree in the N layers, there are unused optical interferometers in the layers below the tree.
  • a tree-shaped optical interferometer can also be used for both the generating device and the measuring device to achieve compactness as a whole.
  • the orthogonal optical states are time-binned quantum states that make each pulse of the d continuous pulse train correspond to a computational basis state, exploiting the orthogonal modes of time, and input
  • a first configuration including interferometers (reverse arrangement of Hadamard transform state measurement unit configuration example 1), a plurality of optical interferometers cascaded in N layers, each corresponding to a layer position of said N layers
  • a second configuration including a plurality of optical interferometers (reverse arrangement of the same configuration example 3) in which a delay time is given, or an optical interferometer connected in a loop, variable corresponding to the number of rounds
  • One of the third configurations (reverse arrangement of the same configuration example 4) including an optical interferometer given a delay time of , and connected to the last
  • FIG. 17 is a diagram showing a quantum key distribution system based on MUB quantum states using finite fields.
  • a high-dimensional quantum key distribution system 300 comprises a sender-side block 301, a receiver-side block 302, and a classical channel 303 and a quantum channel 304 connecting the two.
  • the sender-side block 301 includes a high-dimensional MUB state generator 305 and an error correction/confidentiality enhancement processor 306 .
  • the receiver-side block 302 includes a high-dimensional MUB state measuring device 307 and an error correction/confidentiality enhancement processor 308 .
  • quantum key distribution is performed in the following procedure.
  • Step 2 Input the set of information (r a , n a ) to the MUB state generator 305 using a finite field, and transmit the generated state to the receiver Bob 302 through the quantum channel 304 .
  • Step 4 Steps 1 to 3 from state generation to state measurement are repeated, and among the obtained state n sequences, Alice and Bob disclose base r information to each other via the classical communication channel 303 and agree By leaving only the n of the hour, we obtain the shift key.
  • Step 5 Alice and Bob disclose the results of a few test bits of the shift key to estimate each other's n a , n b distributions, or simplified non-match probabilities (error rates).
  • Step 6 Based on the estimated distribution or non-match probability, perform bit error correction and confidentiality enhancement on the remaining shift key, which is used to obtain a secure and matched key, and select the secret key to be used for cryptographic communication. Generate.
  • this quantum key distribution system 300 over prior art high-dimensional quantum key distribution systems is that all of the MUBs are available in arbitrary 2n dimensions. Compared to a quantum key distribution system that uses only two types of MUBs (for example, Non-Patent Document 4), the quantum key distribution system 300 has an effect of improving error rate resistance.
  • the quantum key distribution protocol in steps 1 to 6 above is the most basic, but as long as the MUB state generator and measurement device using the finite field of the present disclosure are used, two-dimensional quantum key distribution An extension of the widely used decoy method or the like can be applied, and the effect of improving the error rate resilience described above can be obtained.
  • the number of base selection options in steps 1 to 6 described above can be reduced from the maximum (d+1) to a minimum of 2. In this case, the effect of improving the error rate resilience due to the number of base options is reduced.
  • the photon detector 123-3 in the state measuring device 120 shown in FIG. 13 can be made unnecessary, and the quantum key generation system can be further simplified. Even in this case, an advantage can be obtained compared to a quantum key distribution system that uses only two-dimensional MUBs by increasing the dimension d.
  • FIG. 18 is a diagram showing another example of a quantum key distribution system based on MUB quantum states using finite fields.
  • a QKD technique a technique is known in which a third party Charlie shares the maximum quantum entanglement state with Alice and Bob, and both of them perform measurements to share a secret key.
  • the high-dimensional MUB state measuring device described so far can also be used as a high-dimensional quantum key distribution system 400 as follows.
  • the quantum key distribution system 400 comprises a sender block 401, a receiver block 402, a third party block 403, and a classical channel 407 and quantum channels 406a and 406b connecting the three.
  • the sender-side block 401 includes a high-dimensional MUB state measuring unit 404 and an error correction/confidentiality enhancement processing unit 405 .
  • the receiver side block 402 also includes a high-dimensional MUB state measuring unit 408 and an error correction/confidentiality enhancement processor 409 .
  • the MUB state measuring device using the finite field described so far can be used in the following procedure.
  • Step 1 Alice and Bob prepare high-dimensional MUB state measurers 404, 408 respectively. However, one of them (Alice) uses D mm (r)* as the modulation signal to the phase modulator, and the other (Bob) uses D mm (r) as the modulation signal to the phase modulator.
  • Step 2 Charlie generates a d-dimensional maximally entangled state according to the following equation and sends one photon to Alice and the other photon to Bob through quantum channels 406a, 406b.
  • the selected basis information and the photons received from Charlie are input to high-dimensional MUB state measuring devices 404, 408 to obtain measurement results n a and n b , respectively.
  • Step 4 Repeat steps 2 and 3 from state generation to measurement, and among the obtained state n sequences, Alice and Bob disclose base r information to each other via the classical communication channel, and when they match n You get the shift key by leaving only
  • Step 5 Alice and Bob disclose the results of a few test bits of the shift key to estimate each other's n a , n b distributions, or simplified non-match probabilities (error rates).
  • Step 6 Based on the estimated distribution or error rate, perform bit error correction and confidentiality enhancement on the remaining shift key, which are used to obtain a secure and consistent key, to generate a secret key for use in cryptographic communication .
  • Non-Patent Document 5 In conventional high-dimensional quantum key distribution devices, in the case of prime dimensions, QKD using all MUBs and entanglement is implemented using the orbital angular momentum of light (eg, Non-Patent Document 5).
  • the advantage of the high-dimensional quantum key distribution system 400 over this prior art quantum key distribution system is that, like the quantum key distribution system 300 of FIG . A high effect of improving error rate resistance can be expected.
  • n label that defines the state of the computational basis
  • n label that defines the state of the mutually unbiased basis (MUB)
  • r label of the MUB
  • r, m, and n are , integers r, m, and n are expressed in p-adic representation so that each element is an element of a finite field of order p.
  • r j is a scalar quantity indicating the j-th element when r is vectorized in p-adic representation.
  • m T (bold) is a horizontal vector
  • a (j) is a square matrix
  • m (bold) is a vertical vector.
  • Equation (2) a matrix that satisfies Equation (2).
  • the prior art MUB based on the Fourier transform basis represented by the equation (1) the problem that an extremely high phase resolution is required as the dimension d increases can be largely resolved.
  • the probability amplitude B mn (r) according to equation (13) also has two elements as shown in equation (6), namely D mm (r) on the left side of the right side of equation (6) and B mn (0) .
  • the first unit D mm (r) is p types of phase modulation units.
  • f p ⁇ 1 > by any N tensor product, the same argument holds for the state measurement of MUBs of dimension d 2 N .
  • the quantum states of the 9-dimensional computation basis are
  • an equivalent two-particle three-dimensional quantum state N-particle p-dimensional state
  • the nine quantum states of the computation basis are replaced by the quantum states of the two-particle qudit
  • the case of handling a quantum state that is a p-adic number of three or more dimensions is called a qudit.
  • the required projections of the 3D Fourier transform basis are the following three states
  • the basis state represented by Equation (14) is represented by the tensor product of the above three states
  • FIG. 19 is a diagram explaining the configuration of the p-dimensional Fourier transform state measurement unit.
  • FIG. 19(a) shows the configuration of a three-dimensional Fourier transform state measurement unit using a multi-arm delay interferometer (multi-arm delay interferometer). It is known that Fourier transform measurements on p-dimensional time-binned quantum states can be constructed using a p-armed multi-arm delay interferometer [6].
  • the Fourier transform state measurement unit 500 is a multi-arm delay interferometer with three arms: three input waveguides 501, an input coupler 502, three arm waveguides 503 with different lengths, an output coupler 504, It contains three output waveguides 505 .
  • the three arm waveguides 503 have delay times 0, ⁇ , and 2 ⁇ .
  • a Fourier transform state measuring unit 500 receives an input continuous pulse 506 with a time interval ⁇ . An output pulse 507 is obtained. In the dotted area 508 all the input pulses of the input train 506 appear, resulting in the superposition of three input pulses. That is, the input photon is projectively measured to the state of the following equation in which the time position states
  • a plurality of multi-arm delay Interferometers may be arranged and connected in a two-layer (N-layer) tree.
  • FIG. 19 shows a two-particle three-dimensional Fourier transform state measurement unit using a multi-arm delay interferometer with a tree configuration.
  • a two-particle three-dimensional Fourier transform state measurement unit 510 is composed of a first-layer multi-arm delay interferometer 511 and a second-layer multi-arm delay interferometer 512 .
  • the first-layer multi-arm delay interferometer 511 includes three arm waveguides with relative delays of 6 ⁇ , 3 ⁇ , and 0.
  • a multi-arm delay interferometer 512 composed of three arm waveguides having relative delays of 2 ⁇ , ⁇ , and 0 is connected to each of the three output ports of the multi-arm delay interferometer 511 .
  • This structure corresponds to configuration example 1 of the Hadamard transform state measuring unit.
  • the Hadamard transform state measurement unit FIGS. 8, 10, 11 and 12
  • the Fourier transform state measurement of the MUB by a (p odd prime) finite field of dimension d p N Applicable to units.
  • FIG. 20 is a diagram showing the configuration of a two-particle p-dimensional Fourier transform state measurement unit using a delay line.
  • the Fourier transform state measurement unit 520 has two multi-arm delay interferometers 521, 523 cascaded. That is, a multi-arm delay interferometer 521 including p arm waveguides in the first layer and a multi-arm delay interferometer 523 including p arm waveguides in the second layer are cascade-connected via a delay line section 522.
  • a first-layer multi-arm delay interferometer 521 is composed of an input-side coupler 525 with p inputs and p outputs, p arm waveguides 526 with different lengths, and an output-side coupler 527 with p inputs and p outputs.
  • the second-layer multi-arm delay interferometer 530 has the same configuration as the first layer, and includes p-input/p-output input side couplers 529, p arm waveguides 530 with different lengths, and p-input/p-output outputs. It is composed of a side coupler 531 .
  • the p arm waveguides of the multi-arm delay interferometer 521 of the first layer have delay times of (p ⁇ 1)p ⁇ 2p ⁇ ,p ⁇ ,0.
  • the p arm waveguides of the second-layer multi-arm delay interferometer 530 have delay times of (p ⁇ 1) ⁇ 2 ⁇ , ⁇ ,0.
  • the two layers of multi-arm delay interferometers are connected by a delay line section 522 including p delay lines having different delay times. Delay times of ⁇ ′, ⁇ ′′ .
  • a state measuring device having the same configuration as described with reference to FIG. 6B can be realized. That is, similarly to the measuring device 50-2 in FIG. 6B, the phase modulating section 51, which is the first unit on the front side, and the measuring unit 52 corresponding to B mn (0) , which is the second unit. It can be realized with where the measurement unit 52 corresponding to B mn (0) corresponds to equation (14) and for a received d-dimensional quantum state, p states
  • the ground state of the received d-dimensional quantum state is represented by N tensor products among p states
  • Equation (1) In the state generation and measurement of a high-dimensional MUB using the conventional Fourier transform basis
  • Equation (1) As a conventional technique, in a high-dimensional MUB using the Fourier transform basis
  • the state generation of MUBs requires phase modulation with very high resolution as the dimension d increases, and so does the state measuring device.
  • the state measurement apparatus of the present disclosure decomposes into units (subsystems) corresponding to each of the two matrices, and the measurement unit 52 corresponds to the probability amplitude of equation (14), and has p dimension smaller than d dimension It implements a projection measurement of the Fourier transform onto the tensor product.
  • the three states of the three-dimensional Fourier transform basis used for the projective measurement are
  • f n > shown in equation (1) requires a phase resolution of 1/25 of 2 ⁇ .
  • the required phase resolution is an extreme difference between 1/11 and 1/121 of 2 ⁇ , making state measurements using prior art state measurement devices and the Fourier transform state measurement unit of the present disclosure difficult. There is a large difference in the required phase resolution between instruments.
  • the ground state of the d-dimensional quantum state is represented by N tensor products of p states
  • the advantages of the state-measuring apparatus utilizing the Hadamard transform state-measuring unit of the present disclosure discussed above also benefit from the two-dimensional ground state (
  • the ground state of the d-dimensional quantum state received here is represented by a tensor product between two ground states (
  • the measurement unit can be used to implement the MUB's condition measurement device.
  • mode of light refers to a state of light that is physically orthogonal regardless of the type of degrees of freedom such as time, frequency, or space.
  • modes of light according to the following states.
  • (c) Use of spatial mode Quantum States Using the Quantum State Using the Spatial Modes of (c) above include, for example, the following.
  • - Polarization state of light based on two orthogonal polarization states such as vertical/transverse polarization - Orbital angular momentum: state that can be orthogonally identified by intensity distribution/phase distribution across the beam cross-section -
  • Propagation mode in fiber State using orthogonal propagation mode in fiber such as TE/TM mode -
  • optical path information Which core of multi-core fiber is propagated, which optical path of optical circuit is used state of light distinguishable by information such as whether it propagates, etc.
  • the state generator and state measurer of the present disclosure provide physical It is not limited to the type of light mode that is an important factor.
  • Equations (2)-(4) and (13) defining the MUB do not describe physical entities such as electric and magnetic fields. 4 to 20 describe quantum states such as
  • the state of a high-dimensional MUB using a finite field is shown below using the frequency-bin quantum state.
  • Non-Patent Documents 7 and 8 Another light mode different from the time-bin quantum state as a calculation basis is a frequency-bin quantum state that uses the orthogonal mode of the optical frequency as a calculation basis.
  • a frequency-binned quantum state utilizes multiple lights of different frequencies present within a given time period as a computational basis. Therefore, in the d-dimensional frequency-bin quantum state light, the d-number of frequency positions along the frequency axis are not the d-number of pulse positions along the time axis obtained by the time-bin quantum state generator of FIG. The light in either is treated as a calculation basis.
  • the d lights can be distinguished, so the plurality of lights need not have equal frequency intervals.
  • the light of the computational basis is at one of the positions of equal frequency intervals, and the high-dimensional quantum state generated by the equations (2) to (5) is the superposition of the states of the computational basis. represented as a match.
  • FIG. 21 is a diagram showing the configuration of a state generation device based on frequency bin quantum states of an MUB using a finite field of the present disclosure.
  • the state generator 30 Compared to the state generator 30 based on the time-bin quantum state shown in FIG. 4, it also has a phase modulator 602 in common. The difference from the time-bin quantum state generator shown in FIG. is.
  • the second point is that a variable frequency filter 601 is provided in place of the intensity modulator 31 in FIG. 4 in order to generate the state of the calculation basis of equation (5) in the frequency bin quantum state.
  • a plurality of frequencies of light 604 including at least all the light frequencies of the calculation basis are input to the state generation device 600 .
  • Input light 604 can be continuous light, and variable frequency filter 601 or phase modulator 602 can be controlled to output only for a certain period of time.
  • the input light 604 may be input only for a certain time period corresponding to the frequency bin state, and the variable frequency filter 601 and the phase modulator 602 may be operated synchronously.
  • a predetermined MUB quantum state 607 is obtained by applying a different phase modulation for each frequency by a phase modulator 602 to an input light 604 containing d different frequencies.
  • the modulation signal generator 603 generates the probability amplitude of the formula (4) for the input light 605 containing d different frequencies based on the information r of the basis and the information of the label n of the state in the basis.
  • a modulation signal (control signal) 606 for applying phase modulation is generated.
  • variable frequency filter 601 is used to select only light of a desired frequency from the input light 605 to generate the state of the computation basis. If the phase modulator 602 also has an amplitude modulation function, the variable frequency filter 601 can be omitted.
  • the state generating device 600 can be realized only by an optical modulator capable of independently modulating the phase and amplitude of a plurality of lights having different frequencies.
  • the optical IQ modulator 41 in FIG. 5 in the time-bin quantum state may be replaced with such an optical modulator capable of independently modulating the phase and amplitude for each frequency.
  • the optical modulator capable of modulating the phase and amplitude described above can be realized by combining a spatial optical component and LCOS (Liquid crystal on silicon) as described in Non-Patent Document 9, for example. That is, the input light from the input fiber is separated in the x-direction by the diffraction grating, further input to the LCOS element configuration surface, phase-modulated in the x-direction, and returned to the output fiber to perform phase modulation for each frequency. give.
  • Amplitude modulation can be realized, for example, by changing the coupling rate of the modulated light and the output fiber by some means. In the MUB state generation device using the frequency bin state of the present disclosure, as long as the phase and amplitude can be modulated independently for each frequency, the implementation method and configuration of the optical modulator do not matter.
  • a MUB state measuring device using a finite field in the frequency bin state can also be realized by replacing some of the components of the configuration of the time bin quantum state described in FIGS. Also, the various configuration variations for the time-bind quantum states shown in FIGS. 8-14 are equally applicable.
  • the frequency bin state state measuring device also shares the equation (4) expressing the probability amplitude B mn (r) of the MUB using a finite field. Therefore, D mm (r) in equation (6) becomes a diagonal unitary matrix, and in the case of frequency-bin quantum states, D mm (r) corresponds to the phase modulation onto each of multiple lights of different frequencies.
  • a first unit that performs the equivalent operation to the diagonal unitary matrix of D mm (r) in equation (6) can be implemented as a phase modulator for the frequency bin state basis.
  • the operation corresponding to B mn (0) in equation (6) can be implemented as a second unit that performs a projection measurement onto the Hadamard transform basis.
  • the MUB state measuring apparatus in the frequency bin state has a configuration in which a unit for performing phase modulation according to equation (7) is provided on the front stage side of the measurement unit for operating the Hadamard transform matrix.
  • a unit corresponding to the two matrices decomposed from the probability amplitude B mn (r) of the MUB allows the measurement to the basis (MUB of label r) with the probability amplitude B mn (r) of Eq. (4).
  • the operation of the Hadamard transform unit in the frequency bin state will now be explained in contrast to the operation in the time bin quantum state of FIG.
  • FIG. 22 is a diagram conceptually explaining the operation of the Hadamard transform unit in frequency bin quantum states.
  • FIG. 22(a) illustrates the replacement of a d-dimensional quantum state with an equivalent multi-particle state for a frequency bin quantum state.
  • a four-dimensional quantum state 611 of dimension d 4.
  • Each position of the light arranged on the frequency axis with a frequency interval ⁇ f corresponds to four quantum states
  • this four-dimensional quantum state is considered as an N-particle two-dimensional quantum state with equivalent dimensions.
  • FIG. 22(b) illustrates the operation of decomposing the N-particle two-dimensional quantum state for each bit as the next step.
  • the four quantum states 612 which are two-particle two-dimensional states, are divided into two blocks having different frequency differences ⁇ f when each digit is decomposed into two states by focusing on the bits of each digit. Focusing on the first digit of the quantum state 612, it is divided into a state
  • the transformation of B mn (0) of the second unit in the frequency bin quantum state is a bitwise decomposition of the N-particle two-dimensional quantum state equivalent to the quantum state of interest shown in FIG. This is an operation that performs a two-dimensional Hadamard transform on all equivalent qubits. Again, there is no difference between the time-bin quantum state and the frequency-bin quantum state. The difference from the time-bin quantum state lies in the configuration of the interference structure to realize the superposition state of all states of multiple light with different frequencies.
  • the Hadamard transform unit in the frequency-bin quantum state is realized with a configuration adapted to the frequency-bin quantum state, corresponding to the positions (photon detection positions) outputting different interference states and the projection measurements to the corresponding superposition states. You should add it.
  • the structure of the Hadamard transform unit can be easily realized by replacing part of the structure in the time-bin quantum state with a structure adapted to the frequency-bin quantum state. In order to superimpose multiple lights with different frequencies, the structure for producing a time delay in the time-bin quantum state can be replaced with a structure for producing a frequency shift.
  • the arrangement variations of the interference structures in Configuration Examples 1 to 4 described for the time-bin quantum state can be applied as they are to the configurations for generating different interference states.
  • FIG. 23 is a diagram showing the configuration of the MUB state measuring device in the frequency bin quantum state.
  • the state measuring device 700-1 in (a) of FIG. 23 has the same configuration as the state measuring device 50-1 of the time-bin quantum state shown in (a) of FIG. It measures the probability amplitude B mn (r) , and is different only in that the input light to be measured is the light 705 arranged at the frequency interval ⁇ f on the frequency axis.
  • Quantum state measurement device 700-1 detects a quantum state
  • a state measuring device 700-2 in FIG. 23(b) shows a state measuring device 700-2 configured by combining the two units described above.
  • the measurement apparatus 700-2 includes an optical modulation section 701 corresponding to D mm (r) , which is the first unit on the front side, and a measurement unit 702 corresponding to B mn (0) , which is the second unit.
  • the frequency bin quantum state measurement device 700-2 consists of two units corresponding to the diagonal unitary matrix and the Hadamard transform matrix of Eq. Common with equipment.
  • the optical modulator 704 of the state measuring device 700-2 can be the same as the phase modulator 602 in the MUB state generating device 600 of the frequency bin quantum state.
  • Modulation signal generator 703 provides a modulation signal to phase modulator 704 .
  • the optical modulation unit 704 performs conversion from the r-th basis to the 0-th basis instead of the conversion from the 0-th basis (label 0) to the r-th basis (label r). Is required. For this reason, the measuring device performs the inverse transformation of the transformation expressed by Equation (6), that is, phase modulation that is the complex conjugate of D mm (r) in Equation (6).
  • FIG. 24 is a diagram showing the configuration of a Hadamard transform state measurement unit in a frequency bin quantum state.
  • a Hadamard transform state measurement unit 800 in FIG. 24 corresponds to the Hadamard transform state measurement unit 100 of configuration example 3 in the time-bin quantum state.
  • the "interference structures" in the following description correspond to interferometers in time-bind quantum states (MZIs), all of which contain optical couplers, and by appropriately manipulating the split input light, interference is can be generated.
  • MZIs time-bind quantum states
  • a first-layer interference structure 801-1 includes a wavelength separation filter 802-1, two branch paths a and b, and an optical coupler 804-1, and one branch path a has a frequency shifter 803-1. It is The wavelength separation filter 802-1 splits the four lights on the low frequency side into the branch path a and the four lights on the high frequency side with respect to the light 806 of eight different frequencies arranged at the frequency interval ⁇ f in the frequency bin state. is separated into a branch path b. The frequency shifter 803-1 of the branch path a gives a frequency shift of 4 ⁇ f to the four lights on the low frequency side. At this time, at the output of the optical coupler 804-1, the phase difference between the multiple lights propagated through the branch path a and the multiple lights propagated through the branch path b is set to zero.
  • Adjacent layers of the interference structure are connected by two paths with different frequency shift amounts.
  • the interference structure 801-1 on the first layer is connected to the interference structure 801-2 on the second layer by a branch path c and a branch path d connecting the layers.
  • the frequency shifter 805-1 gives a frequency shift of 4 ⁇ f, which is the same as the frequency shift amount on the front layer side.
  • the same frequency shifts 2 ⁇ f and ⁇ f as those on the front layer side are given in one branch path, respectively.
  • the Hadamard transform state measurement unit 800 in FIG. 24(a) is drawn so that the configuration in the case of the time-bin quantum state in FIG.
  • the eight input lights are such that the light with the frequency corresponding to
  • Light passing through upper branch path a is given a frequency shift of 4 ⁇ f relative to branch path b by frequency shifter 803-1.
  • optical coupler 804-1 determines whether the coupler output is output on branch path c or branch path d depends on the measurement of
  • the second and third interference structures repeat path separation, frequency shift, and interference. Depending on whether it is observed as light, it can be determined to which superposition state of the high-dimensional Hadamard transform basis it is projected.
  • FIG. 24(b) is a diagram showing the correspondence relationship between the superimposed light frequencies observed at the interferometer output point 810 and the detected three-particle two-dimensional quantum states. Similar to the correspondence relationship in the configuration example 3 in the time-bin quantum state shown in FIG. The difference from the case of the time - bin quantum state is whether the fact of photon observation is identified by the detection time ( t 0 , t 1 , . ⁇ It is only the point of whether to identify by f 7 ). For example, if a photon is observed at frequency f 0 of the eight superposition states of light represented by the dashed area 812, it can be determined that a projection measurement to the
  • Photon detectors generally do not have frequency discrimination ability, but by converting frequency information into time information using, for example, a high-dispersion fiber 807, photon-detected frequencies can be measured. Also, by further using a wavelength separation filter at the interferometer output point 810 to discriminate between frequencies and having a corresponding photon detector for each frequency, the final projection measurement can be easily implemented.
  • the Hadamard transform state measurement unit in the frequency bin quantum state is a plurality of optical interference structures arranged in a tree in N layers, each of which is given a frequency shift corresponding to the layer position of the N layers.
  • a first configuration including a plurality of optical interference structures (corresponding to configuration example 1 in FIG. 8), a plurality of optical interference structures cascaded in N layers, each corresponding to a layer position of the N layers a plurality of optical interference structures provided with a corresponding frequency shift and, in parallel with the connection between two adjacent layers, one or more provided with a frequency shift corresponding to the frequency shift of the optical interference structure of the previous layer.
  • a second configuration (corresponding to configuration examples 2 and 3 in FIGS. 10 and 11) including a path, or an optical interference structure connected in a loop, and light given a variable frequency shift corresponding to the number of rounds It can be implemented as including any of the third configuration 800 (corresponding to configuration example 4 in FIG. 12) including an interference structure.
  • the operation of superimposing a plurality of lights having different frequencies into one frequency is performed by repeatedly performing path separation, frequency shift, and interference in the interference structure of each layer.
  • the interference output from one interference structure is associated with
  • the operation of the Hadamard transform state measurement unit is common between time bin quantum states and frequency bin quantum states.
  • the interference structure consists of an element that splits the input light into two or more paths, an element that converts or shifts the orthogonal mode of the light of at least one path, and an element that combines and interferes the split lights.
  • the specific configuration of these elements may be adapted according to the mode of light, such as time-bin quantum states or frequency-bin quantum states, as shown in Table 1 below. Table 1: Comparison of interference structure elements
  • the above interference structure can be used in multiple layers to form a tree structure (configuration example 1), one interference structure can be reused (configuration example 2), connected in cascade (configuration example 3), or looped. (configuration example 4) is also possible in common regardless of the light mode.
  • the finite field MUB state-measuring device using frequency-bin quantum states consists of a first unit corresponding to the diagonal unitary matrix of D mm (r) in Eq. (6), and can be implemented as a second unit that performs a projection measurement onto the Hadamard transform basis corresponding to B mn (0) of .
  • a common configuration regardless of the light mode in that the stochastic amplitude of the quantum state to be measured is decomposed into a diagonal unitary transform and a high-dimensional Hadamard transform, and each subsystem unit is decomposed and implemented. have the above characteristics.
  • the present invention can be used for quantum information processing and quantum communication such as quantum key distribution and quantum state tomography.

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Abstract

有限体を利用した相互不偏基底を用いた高次元量子状態の状態生成装置および状態測定装置が開示される。高次元量子状態における相互不偏基底が、有限体を利用した計算手法によって実現される。有限体を利用した高次元量子状態として、光のタイムビン量子状態、周波数ビン量子状態および他の光のモードにおける相互不偏基底を利用した装置が開示される。生成装置および測定装置は、それぞれ位相変調器および行列変換操作と等価なユニットによって実現する。測定装置は、前段側の第１のユニットである計算基底への対角ユニタリ変換に相当する位相変調部と、第２のユニットである高次元アダマール変換測定ユニットまたはフーリエ変換測定ユニットとから成る。

Description

量子状態生成装置、量子状態測定装置および量子鍵配送装置
　本発明は、高次元量子状態の生成、測定および応用通信に関する。
　量子通信は、光子を情報の担い手として使用して、従来の通信技術では実現不可能だった高い秘匿性を有する通信や、高い伝送レートの通信などを実現することができる。量子状態への測定は不可避的にその状態の変化を引き起こすことを利用して、原理的に第三者への漏洩が起こり得ない暗号鍵を共有する、量子鍵配送（ＱＫＤ：Quantum Key Distribution）も実現されている。
　量子通信や量子情報処理をより高度化するために、用いられる量子状態の高次元化の研究が近年活発に行われている。高次元量子状態は、互いに直交する状態を複数取ることができるため、１つの粒子が伝達できる情報量を増加させることが可能となる。光子のタイムビン（Time-bin）量子状態は、ファイバ伝送上の擾乱の影響を受けにくい安定した量子状態であり、伝送中の状態劣化が小さいため量子通信で広く用いられている。タイムビン量子状態は、量子状態を構成する時間スロットを増やすだけで容易に高次元化ができる利点も有する。
N. Islam, et al., Provably secure and high-rate quantum key distribution with time-bin qudits, Sci. Adv., 11 e1701491 (2017) W. K. Wootters and B. D. Fields, Optimal state-determination by mutually unbiased measurements, Ann. of Phys., 191 363-381 (1989) M. Rambo, "Low-Loss, All-Optical, Quantum Switching For Interferometric Processing of Weak Signals", 2016. (Ph. D thesis) L. Sheridan and V. Scarani, "Security proof for quantum key distribution using qudit systems" Phys. Rev. A 82, 030301 (2010) M. Mafu, et al.,"Higher-dimensional orbital-angular-momentum-based quantum key distribution with mutually unbiased bases"Phys. Rev. A 88, 032305 (2013) R. T. Thew, A. Acin, H. Zbinden, and N. Gisin,"Bell-Type Test of Energy-Time Entangled Qutrits"Phys. Rev. Lett. 93, 010503 (2004) P. Imany, et al.,"50-GHz-spaced comb of high-dimensional frequency-bin entangled photons from an on-chip silicon nitride microresonator"Opt. Express 26, 1825 (2018) M. Kues, et al.,"On-chip generation of high-dimensional entangled quantum states and their coherent control"Nature 546, 622 (2017) M. Roelens, et al., "Applications of LCoS-based programmable optical processors," Optical Fiber Communication Conference 2014, W4F.3 (2014)
　タイムビン量子状態を利用した量子鍵配送や、量子状態を詳細に測定する量子状態トモグラフィーなどの量子情報処理技術では、計算基底に加えて、相互不偏基底（ＭＵＢ：Mutually Unbiased Bases）を利用する必要がある。計算基底は、基準となる光の物理的な直交状態から構成され、ＭＵＢは計算基底に対して非直交な基底である。このＭＵＢの実装手法として、フーリエ変換基底を用いたものが知られている。しかしながらフーリエ変換基底は、次元ｄの増加に伴い非常に高い分解能、高い精度での位相変調が要求される。フーリエ変換基底によるＭＵＢの状態における、高い位相分解能の要請は、状態測定の精度および効率を低下させる問題があった。また、量子状態の測定装置は多数の干渉計および光子検出器を必要とするため、測定装置の規模も次元ｄの増加に伴い大型化する問題もあった。
　本発明の１つの実施態様は、直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態への射影測定を行う測定装置であって、ｄ＝２Ｎ（Ｎは２以上の自然数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000013
確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を、対角ユニタリ行列およびアダマール変換行列へ分解した場合に、前記対角ユニタリ行列に対応し、受信されたｄ次元量子状態の前記計算基底の状態にそれぞれ位相変調を与える位相変調ユニットと、前記アダマール変換行列に対応し、前記ｄ次元量子状態の前記ラベルｎを決定する測定ユニットとを備えた高次元量子状態の測定装置である。
　本発明の別の実施態様は、直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態への射影測定を行う測定装置であって、ｐを奇素数として、ｄ＝ｐＮ（Ｎは自然数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000014
確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を、対角ユニタリ行列およびフーリエ変換行列のテンソル積へ分解した場合に、前記対角ユニタリ行列に対応し、受信されたｄ次元量子状態の前記計算基底の状態にそれぞれ位相変調を与える位相変調ユニットと、前記フーリエ変換行列に対応し、前記ｄ次元量子状態の前記ラベルｎを決定する測定ユニットとを備えた高次元量子状態の測定装置である。
　本発明のさらなる実施態様は、直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態の生成装置であって、
ｄ＝２Ｎ（Ｎは２以上の自然数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000015
　位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000016
　確率振幅は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000017
によって表され、４つの位相状態のみを取る状態生成装置である。
　本発明のさらなる別の実施態様は、直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態の生成装置であって、ｄ＝ｐＮ（Ｎは自然数、ｐは奇素数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000018
　位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000019
　確率振幅は、
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000020
によって表され、ｐ個の位相状態のみを取る状態生成装置である。
　位相分解能の要請を緩和し、簡素化した高次元の状態生成／状態測定装置を提供する。
タイムビン量子状態における計算基底を説明する概念図である。 量子通信による情報伝送の簡略化したシステムを示した概念図である。 ＭＵＢおよび計算基底の関係を概念的に示した図である。 本開示の有限体を利用したＭＵＢ状態生成装置の構成を示した図である。 有限体を利用したＭＵＢ状態生成装置の別の構成を示した図である。 本開示の有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置の構成を示した図である。 量子状態に対する高次元アダマール変換操作を概念的に説明する図である。 ツリー構造のアダマール変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。 各ＭＺＩの遅延と出力ポートでの測定パルスの関係を説明する図である。 遅延線を利用したアダマール変換状態測定ユニットを説明する図である。 光ＳＷを利用したアダマール変換状態測定ユニットを説明する図である。 ループ状構成のアダマール変換状態測定ユニットを説明する図である。 計算基底を含むＭＵＢの状態測定装置の構成例を示した図である。 有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置の別の構成例を示した図である。 ２次元タイムビン量子ビットのＭＵＢの状態生成を説明する図である。 ８次元タイムビン量子ビットのＭＵＢ状態生成装置を説明する図である。 有限体利用のＭＵＢ量子状態による量子鍵配送システムの図である。 有限体利用のＭＵＢ量子状態による別の量子鍵配送システムの図である。 ｐ次元フーリエ変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。 遅延線を利用したフーリエ変換状態測定ユニット説明する図である。 周波数ビン量子状態による状態生成装置の構成を説明する図である。 周波数ビン量子状態における高次元アダマール変換を説明する図である。 周波数ビン量子状態におけるＭＵＢ状態測定装置を説明する図である。 周波数ビン量子状態におけるアダマール変換状態測定ユニットを説明する図である。
　以下の開示では、有限体を利用した相互不偏基底（ＭＵＢ）に基づいた量子状態生成装置および量子状態測定装置が提示される。また、量子状態生成装置および量子状態測定装置を応用した高次元量子鍵配送についても、提示される。まず、フーリエ変換基底を用いた従来技術の量子状態生成装置および量子状態測定装置における問題点について述べる。続いて、本開示の有限体を利用したＭＵＢを用いた量子状態生成装置および量子状態測定装置の特徴および様々な実装形態について述べる。さらに、量子状態生成装置および量子状態測定装置を利用した量子鍵配送システムについても述べる。簡単のため以下の説明では、単に「生成装置」および「測定装置」と言及する場合は、それぞれ量子状態生成装置および量子状態測定装置を意味するものとする。
　高次元ＭＵＢが、有限体を利用した計算手法によって実現される。以下の開示では、有限体を利用した高次元量子状態として、計算基底に時間の直交モードを用いる光のタイムビン量子状態における相互不偏基底を例として説明する。後述するように、本開示の生成装置および測定装置は、それぞれ位相変調器ユニットおよび行列変換操作と等価的なユニットによって実現できる。この点において、以下のタイムビン量子状態についての開示は、他の光のモードによる高次元量子状態の各装置に対しても同様に適用できる。時間の直交モードを用いるタイムビン量子状態以外の、他の光のモードを利用した測定装置および生成装置の例は、最後に述べる。
[タイムビン量子状態、相互不偏基底（ＭＵＢ）]
　前述のように、タイムビン量子状態はファイバ伝送上の擾乱の影響を受けにくい安定した量子状態である。タイムビン量子状態に対するＭＵＢを説明するにあたって、まず計算基底について述べる。
　図１は、タイムビン量子状態における計算基底を説明する概念図である。図１の（ａ）に示したように時間軸上で連続する光パルス１のいくつかの時間位置（ｄ個：ｔ０、ｔ２，・・ｔｄ－１）を考える。これらの時間位置の内のどこか１つの時刻に、単一光子が存在する状態を考える。図１の（ｂ）では、時間位置ｔ０の光パルス２においてのみ、単一光子が存在する状態を表している。点線で示した三角形３のように、ｔ０を除いた他の時間位置においては、光パルスは存在していない。同様に図１の（ｃ）では、時間位置ｔｄ－１の光パルス４においてのみ単一光子が存在する状態を表している。図１の（ｂ）、（ｃ）に示したように、|ｉ>（ |０>、|１>、・・、|ｄ－１> ）は、光子が時刻ｔｉのみに存在する状態、すなわち次元ｄの計算基底の状態である。
　量子鍵配送では、図１に示したような特定の時刻に光子が確定的に存在する計算基底の状態だけではなく、計算基底の状態と非直交であって、重ね合わせの状態であるＭＵＢの状態を生成したり（生成装置）、ＭＵＢの状態に射影測定したり（測定装置）することが必要である。
　図２は、量子通信による情報伝送の簡略化したシステムを示した概念図である。量子通信システム１０は、生成装置１１、量子状態を伝送する光伝送路１２および測定装置１３を含む。生成装置１０では、連続光またはパルス光１４が入力され、計算基底およびＭＵＢ１６に基づいて、光パルス列１７に対して強度および位相変調を加えて、必要な量子状態を生成する。測定装置１３では、受信した光パルス列１８に対して、例えば射影測定を行い、量子状態を測定する。
　ＭＵＢは、上述の量子通信や、量子鍵配送、状態密度演算子を測定する技術である量子状態トモグラフィー、その他量子情報処理の様々な場面で現れる基本的な構成要素である。近年、量子鍵配送での秘密鍵生成率を向上するため、高次元量子状態におけるＭＵＢを利用する手法が報告されている。
[フーリエ変換基底によるＭＵＢ]
　計算基底に対するＭＵＢは、すべての基底状態が計算基底の基底状態に対して非直交であって、計算基底の基底状態の重ね合わせ状態として定義される基底であり、そのＭＵＢ内に含まれる任意の基底状態と計算基底の任意の基底状態の２つの状態の間の内積の絶対値の二乗が、次元ｄに対し１／ｄになるような正規直交基底のことを言う。また別の定義によれば、ＭＵＢは、２つの正規直交基底において、一方の基底に含まれる基底状態が他方の基底に含まれるすべての基底状態の重ね合わせ状態である非直交な量子状態であって、２つの基底それぞれから１つずつ基底状態を取り出す任意の組み合わせにおいて、その２つの量子状態間の内積の絶対値二乗が、次元ｄに対し１／ｄになるような２つの基底のこととも言える。
　高次元量子鍵配送で必要とされるＭＵＢの実装手法としては、次式によって表されるフーリエ変換基底 |ｆｎ> が主に用いられてきた。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000021
上式において、ｍは計算基底の状態を規定するラベル（整数）、ｎはフーリエ変換基底の状態を示すラベル（整数）、ｄは計算基底およびフーリエ変換基底の次元である。
　このフーリエ変換基底|ｆｎ> は、式（１）内のｅの項を見れば明らかなように、次元ｄに対して１／ｄに比例した位相を持つ。このため、式（１）のフーリエ変換基底によるＭＵＢの状態生成には、次元ｄの増加に伴い非常に高い分解能での位相変調が要求される。非特許文献１にも開示されている、フーリエ変換基底によるタイムビン量子状態においては、高い位相分解能が必要であり、状態測定の精度および効率を低下させる。測定装置の実装においても、ｄ－１個の干渉計およびｄ個の光子検出器が必要となり、測定装置の規模は次元ｄの増加に伴い大型化してしまう。
　発明者らは、次元ｄの増加とともに高い位相分解能が要求される上述の問題を解消するために、有限体を利用した別のＭＵＢを、高次元量子状態を取り扱う装置に導入した。有限体を利用したＭＵＢを利用することで、位相分解能の所要条件を大幅に緩和し、装置構成を簡略化し、スケーラブルに生成装置および測定装置を実装可能とする。
[有限体によるＭＵＢ]
　位数ｄ＝２Ｎの有限体であって、その有限体の元をビット列表現した際に、加算が各成分の排他的論理和となるもの（条件１）を考える。さらに、上述のビット列表現においてｉ番目のビットのみが１となるような有限体の元をｆｉとし、次式を満たす対称行列Ａ（ｊ）を定義する（条件２）。尚、次式左辺の演算子は有限体上の積の二項演算を表す。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000022
上述の条件１および条件２を満たし、次元をｄ＝２Ｎとするとき、次式で定義されるような基底を考える。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000023

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000024
上の式（３）は有限体を利用した基底であって、後述するように相互不偏基底（ＭＵＢ）を示しており、式（４）はこの基底の確率振幅を示している。また、計算基底 |ｍ> は次式によって表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000025
さらに、ｍ、ｎ、ｒは、次のようにも定義される。
ｍ：　計算基底の状態を規定するラベル
ｎ：　相互不偏基底（ＭＵＢ）の状態を規定するラベル
ｒ：　ＭＵＢのラベル
　式（４）のΣを含むカッコ内において、ｒ、ｍ、ｎ（太字）は、ｒ、ｍ、ｎをそれぞれビット列表現としたときのベクトルを表す。またｒｊ（太字）は、ｒをビット列表現したときのｊ番目のビットを示すスカラ量である。ｍＴ(太字)は横ベクトルであり、Ａ（ｊ）は正方行列であり、ｍ（太字）は縦ベクトルとなる。
　上述の式（２）から式（４）によって定義される基底は、計算基底 |ｍ> との間で相互不偏である。また、異なるｒの基底同士の間でも、相互不偏である。すなわち、式（２）から式（４）によって定義される基底は、相互不偏基底を成す（非特許文献２）。また、このようにして生成したＭＵＢの状態すべての確率振幅に対して同時に複素共役をとって得られる新しい（ｄ＋１）個の基底についても、（ｄ＋１）個のＭＵＢを成す。このため、以下の記述において式（３）～式（４）の複素共役をとって得られる式に基づく手法についても、同様の議論が成り立つ。
　上述の定義においては、ビット列表現においてｉ番目のビットのみが１となるような有限体の元をｆｉとした。有限体自体の構成方法は他に複数の手法が存在しており、同じ位数の有限体はその元を表すラベルの並べ替えによって、ただ１つの有限体と同値であることを示すことができる。したがって、ラベルの並べ替えによって式（４）と全く同じ確率振幅を持つ状態が複数存在することが直ちに分かる。加えて、単純にｍ、ｎ、ｒをそれぞれ独立に並べ替えて得たＭＵＢも、再度並び替える逆変換によって対応付ければ同値であることは明らかである。このようなラベルの並べ替えによる同値なＭＵＢによっても、以下に述べるＭＵＢの例がそのまま妥当し、同様な議論が成り立つ。
　図３は、ＭＵＢおよび計算基底の関係を概念的に示した図である。ｄ個のＭＵＢ２１－０～２１－（ｄ－１）が、計算基底２０から生成される。図３のすべての基底は、お互いに非直交となっている。例えば、ＭＵＢ２１－０（ラベルｒ＝０）は、他の（ｄ－１）個のＭＵＢと非直交であり、かつ、ＭＵＢ２１－０は計算基底２０とも非直交となる。図３では図を見やすくするために、非直交の表示をＭＵＢ２１－０に対してのみ示しているが、上述のＭＵＢ２１－０と他のＭＵＢとの関係が、他のすべてのＭＵＢについても、それぞれ成り立つ。
　式（２）から式（４）によって定義されるＭＵＢでは、任意の次元ｄ＝２Ｎにおいて、各確率振幅の位相が、高々４種しか現れない。これは、式（４）におけるｅの項のΣを含むカッコ内が必ず整数となり、確率振幅の取り得る位相がπ／２の整数倍となることから容易にわかる。従って式（２）から式（４）よって定義されるＭＵＢは、式（１）によるフーリエ変換基底で、次元ｄの増加に伴ってより高い位相分解能が必要とされる問題を回避することができる。
　式（２）から式（４）によって定義されるＭＵＢにおいては、最大で（ｄ＋１）個のお互いに相互不偏である基底を生成可能である。すなわち式（４）においてＭＵＢのラベルはｒ＝０、１、・・ｄ－１であって、式（３）によってｄ個のＭＵＢが生成され、これにさらに１個の計算基底｛ |ｍ> ｝を加え、（ｄ＋１）個の基底のすべてが、互いに相互不偏であるような基底となっている。
　以下の説明では、上述の式（２）から式（４）によって定義されるＭＵＢを利用した量子状態の生成装置および測定装置の構成が開示される。
[有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置]
　図４は、本開示の有限体を利用したＭＵＢ状態生成装置の構成を示した図である。生成装置３０は、式（３）および式（４）に基づくＭＵＢの状態を生成するとともに、計算基底の状態も生成可能なように構成されている。強度変調器３１および位相変調器３２が縦続（カスケード）接続されている。位相変調器３２に対して変調信号３６を供給する変調信号生成器３３も備える。強度変調器３１には、連続光または連続パルス光３４が入力されて、ＭＵＢの状態を生成する場合においてはｄ個の連続パルス３５が出力される。連続パルス３５は未だ位相変調されておらず、パルス間の相対位相はいずれの時刻でも０である。
　変調信号生成器３３は、基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報を元に、連続パルス３５の各パルスに対して、式（４）の確率振幅に従った位相変調を加えるための変調信号（制御信号）３６を生成する。変調信号３６によって、位相変調器３２へ入力された連続パルス３５の各パルスに位相変調が与えられ、出力パルス列３７が得られる。
　強度変調器３１は、式（５）によって表される計算基底 |ｍ> を生成するためにも用いられる。すなわち強度変調器３１は、ＭＵＢの状態生成のためのｄ個の連続パルス３５に代えて、ｄ個のパルスの内のｍ番目のパルスのみを位相変調器３２へ透過させ、その他のパルスを抑圧するよう動作する。強度変調器３１への入力光３４は、連続光でも良いし、所定の間隔で繰り返し生成されるパルス光であっても良い。図４の構成の生成装置によって、ｄ連続パルスにおける先頭のパルスを基準とした相対位相が４つの値のみを有する、有限体を利用したＭＵＢの高次元量子状態を生成できる。
　図５は、本開示の有限体を利用したＭＵＢを用いた状態生成装置の別の構成を示した図である。生成装置４０も、図４の生成装置３０と同様に、式（３）および式（４）に基づくＭＵＢの状態を生成するとともに、計算基底の状態も生成可能なように構成されている。生成装置４０は、光ＩＱ変調器４１および変調信号生成器４２を備える。変調信号生成器４２は、基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報を元に、連続パルス４４の各パルスに対して、式（４）に従った位相変調を加えるための２つの変調信号（Ｉ信号、Ｑ信号）４５を生成する。光ＩＱ変調器４１は、Ｉ信号およびＱ信号４５によって、連続パルス４４の各パルスに位相変調を与え、出力パルス列４６が得られる。
　図５の構成のように光ＩＱ変調器４１を用いれば、単一の変調器のみで、図４に示した生成装置と同じ動作が可能である。光ＩＱ変調器は単一の変調器としてコンパクトに実装可能なため、生成装置の構成をより簡略化できる。図５では、入力光４３としてｄ連続パルスの例を示したが、連続光を入力しても、計算基底およびＭＵＢのいずれの状態も生成することができる。
　上述の図４および図５は、式（２）から式（４）によって定義されるＭＵＢおよび式（５）による計算基底の状態を、直接生成するものである。このような生成装置に加えて、測定装置の構成を反転させた構成も考えられる。これらの別の構成については、次の測定装置の構成および動作を詳述した後で、再び触れる。
[有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置]
　ここでは、有限体を利用したＭＵＢを用いた状態測定装置の構成・動作を説明する。以下の開示では、式（２）～式（５）で表されるＭＵＢの状態測定を、タイムビン量子状態を例として説明を行う。しかしながら、測定装置を２つのユニットに分けて実現する点においては、以下の開示は、時間的に直交するモードであるタイムビン量子状態だけでなく、他の光モードの量子状態にも適用できる。後述するように、本開示の有限体を利用したＭＵＢの測定装置は、計算基底に対する対角ユニタリ変換に相当する第１のユニットと、受信した高次元量子状態に等価なより低次元の量子状態へ分解して射影測定を行うアダマール変換状態測定に相当する第２のユニットとを備える。このようなＭＵＢの確率振幅を２つの行列の部分系に分解する構成は、周波数的に直交した周波数モード、光の軌道角運動量や光路等を利用する空間モード等、他の光モードを計算基底とした場合の状態測定にも適用できる。
　以下、タイムビン量子状態を例として、有限体を利用したＭＵＢを用いた測定装置の基本的な原理および具体的な構成例を説明する。
[２つのユニットによる測定装置の基本構成]
　図６は、本開示の有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置の基本構成を説明する図である。図６の（ａ）は、最も概念的な測定装置を示している。量子状態の測定装置は、例えばタイムビン量子状態による対象となる入力パルス列５５に対して、式（４）で表される確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を持った量子状態 |ψｎ （ｒ）> のラベルｎを識別する測定装置５０－１と理解することができる。
　有限体を利用したＭＵＢの確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を表す式（４）は、下の式のように２つの行列に分解することができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000026

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000027
　式（６）において、右辺左側のＤｍｍ （ｒ）は、対角なユニタリ行列となっている。そして式（７）を参照すれば、Ｄｍｍ （ｒ）はｅｘｐ項のみから成っており、タイムビン量子状態の場合、Ｄｍｍ （ｒ）は各パルスへの位相変調に対応することがわかる。したがって式（６）の右辺左側の対角ユニタリ行列に相当するユニットを、計算基底に対する位相変調器として実現できる。
　式（６）の両辺を参照すれば、式（６）で規定される関係は、異なる基底間の変換、すなわち特定のラベルｒ＝０のＭＵＢから任意のラベルｒのＭＵＢへの、基底間の変換を表している。したがって、式（６）の右辺右側のＢｍｎ （０）に相当する測定ユニットを実現できれば対角ユニタリ行列に相当するユニットと組み合わせることで、任意のラベルｒのＭＵＢにおける状態測定が実現できる。式（６）の右辺右側のＢｍｎ （０）による操作は、後述するように、アダマール変換基底への射影測定に相当する。したがって状態測定装置は、アダマール変換行列の操作を行う測定ユニットの前段側に、式（７）に従った位相変調を実施するユニットを備えた構成とできる。ＭＵＢの確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）から分解された２つの行列に対応したユニットによって、式（４）の確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を持つ基底（ラベルｒのＭＵＢ）への測定が実現できる。
　図６の（ｂ）は、上述の２つのユニットを組み合わせた構成の測定装置５０－２を示している。測定装置５０－２は、前段側の第１のユニットであるＤｍｍ （ｒ）に相当する位相変調部５１と、第２のユニットであるＢｍｎ （０）に相当する測定ユニット５２を備えている。変調信号生成器５３は、位相変調器５４へ変調信号を与える。ただし位相変調部５１では、０番目の基底（ラベル０）からｒ番目の基底（ラベルｒ）への変換ではなく、ｒ番目の基底から０番目の基底への変換が必要となる。式（６）は、ＭＵＢの生成における確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を分解したものである。このため測定装置では、式（６）で表される変換の逆変換、すなわち式（６）の右辺左側のＤｍｍ （ｒ）の複素共役となる位相変調を行うことになる。原理的には、図６の（ｂ）の位相変調器５４を、図５におけるように光ＩＱ変調器に置き換えることもできる。
　上述の測定装置の第１のユニットである位相変調部５１に続く、第２のユニットであるＢｍｎ （０）に相当する測定ユニット５２の具体的な実装方法が、測定装置の実現のための鍵となる。次に、Ｂｍｎ （０）のためのアダマール変換の原理および具体的な実装例を図面とともに詳細に説明する。
[高次元のアダマール変換]
　図６の（ｂ）に示した第２のユニットである行列Ｂｍｎ （０）に相当する測定は、測定対象とする状態を、等価なより低次元の２次元量子状態（qubit）に分解して、これらの状態それぞれに対し２次元のアダマール変換を行った状態への射影測定として実施できる。分解して得られる各２次元量子状態は、物理的な粒子が対応するわけではないが、数式上は仮想の等価な粒子として取り扱うことが可能であるため、以下では簡単に「粒子」と呼び、Ｎ個の状態に分解できる時には「Ｎ粒子」と呼ぶものとする。ここで、まず高次元のアダマール変換について説明する。
　図７は、有限体を利用した量子状態に対する高次アダマール変換操作を概念的に説明する図である。図７の（ａ）は、ｄ次元量子状態から等価な複数粒子の状態への置き換えを説明している。次元ｄ＝４、すなわち４次元量子状態７１について考える。時間間隔τで並んだパルス列の各位置は、計算基底の４つの量子状態に対応し、計算基底の状態 |０>、|１>、|２>、|３> に対応する。ここで、この４次元量子状態を等価な次元を持つＮ粒子２次元量子状態として考える。すなわち４つの量子状態７１を、２ビット（Ｎ＝２）のビット列表現として、|００>、|０１>、|１０>、|１１> の４つの量子状態７２のように置き換えて考えることである。
　図７の（ｂ）は、次の段階として、Ｎ粒子２次元量子状態をビット毎に分解する操作を説明している。２粒子２次元状態である４つの量子状態７２は、各桁のビットに着目して桁毎に２つの状態に分解すると、異なる遅延時間を持つ２つのブロックに分けられる。量子状態７２ｂの１桁目に着目すれば、状態 |０> のブロック７３－１と状態 |１> のブロック７３－２に分けられ、２つのブロックの時間差はτである。また量子状態７２ｂの２桁目に着目すれば、状態 |０> のブロック７４－１と状態 |１> のブロック７４－２に分けられ、２つのブロックの時間差は２τである。図６の第２ユニットのＢｍｎ （０）の変換は、図７の（ｂ）に示した測定対象の量子状態に等価なＮ粒子２次元量子状態をビット毎に分解したもの、すなわち等価なqubitのすべてに対して、２次元のアダマール変換を行う操作である。
　２次元の場合のアダマール変換Ｈは次の行列で定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000028
ここで式（８）を、ＭＵＢを示す式（３）の確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）とみなせば、２次元の場合の必要な射影測定は、下の２つの状態 |＋>、|－> である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000029

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000030
高次元のアダマール変換の場合は、ＭＵＢを示している式（３）の基底状態が、次式のように２つの状態 |＋>、|－> のテンソル積で表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000031

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000032


Figure JPOXMLDOC01-appb-I000033


Figure JPOXMLDOC01-appb-I000034
上述の式（９）から式（１１－４）までの関係に基づいて、図６の（ｂ）に示した第２ユニットのＢｍｎ （０）の変換を実現する、高次元のアダマール変換基底への射影測定装置のいくつかの実装の構成例を説明する。以下の説明では、図６の（ｂ）に示した第２ユニットであるＢｍｎ （０）の変換を実現する、高次元のアダマール変換基底への射影測定装置を、アダマール変換状態測定ユニットまたは、簡略化してアダマール変換ユニットと呼ぶ。
[高次元のアダマール変換の実装：構成例１]
　図８は、ツリー構造のアダマール変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。アダマール変換ユニット８０は、２層構成の干渉計および４つの光検出器８３－１～８３－４から構成されている。具体的には、各層の干渉計としてマッハツェンダー干渉計（ＭＺＩ：Mach-Zehnder Interferometer）が使用され、層毎にＭＺＩに異なる遅延時間が設定されている。ＭＺＩは、入力カプラ８４、長さの異なる２本のアーム導波路８６－１、８６－２、出力カプラ８５から構成されている。１層目のＭＺＩ８１では、長いアーム導波路８６－１と短いアーム導波路８６－２との間の遅延時間差は２τに、相対位相差は０に設定されている。２層目のＭＺＩ８２－１、８２－２では、それぞれ、長いアーム導波路と短いアーム導波路との間の遅延時間差はτに、相対位相差は０に設定されている。
　以下のすべての説明では、長さの異なる導波路を含む干渉計相当の部分において、２τ, ０と表示をしているが、コンマの左側にアーム導波路間の遅延時間差を、コンマの右側にアーム導波路間の相対位相を示すものとする。
　アダマール変換ユニット８０の１層目のＭＺＩ８１へ、タイムビン量子状態による対象となる時間間隔τの４つの連続パルス８７が入力される。図８の２層のツリー構造に配置されたＭＺＩにおいて、２層目のＭＺＩの出力ポートをポートａ、ポートｂ、ポートｃ、ポートｄとして、それぞれのポートからの光子を、対応する光検出器８３－１～８３－４によって検出する。上記の４つのポートからは、後述するように特定の時刻８９において、全ての入力パルスの重ね合わせ状態への射影測定が実現される。ある出力ポートにおける光子の検出は、そのポートに対応する等価なqubit上の２つの状態 |＋>、|－> の内のいずれかの状態への射影測定が行われていることになる。例えば、１層目の遅延時間２τの干渉計８１のポートａ´、ポートｂ´のどちらに出力されるかという情報が、図７の（ｂ）の２粒子２次元状態に分解した２桁目（|ｑ１、ｑ０> のｑ１）における遅延時間２τの等価なqubitへの |＋>、|－> いずれかの状態の射影測定に対応する。さらに、全ての入力状態の重ね合わせ状態について、ツリー構造に配置された各ＭＺＩによる出力点に至るまでの遅延動作とともに説明する。
　図９は、各ＭＺＩの遅延と出力ポートでの測定パルスの関係を説明する図である。図９に示したアダマール変換ユニット８０は、図８に示したものと同一である。図９では、アダマール変換ユニット８０へ入力される測定対象の４次元の連続パルス列８７が、２層構成のＭＺＩの遅延を受けて、４つの出力ポートの各々からどのように出力されるかに注目する。パルス列８７は、時間的に最先で到着するパルス８７－１から最後に到着するパルス８７－４まで、順次、１層目のＭＺＩに入力される。ここで、ポートａで、各時刻において観測されるパルス８８を考える。図９に示した複数のパルス８８において、一番下に時間軸に沿って並んだ４つのパルスは、遅延時間０の経路を通って各時刻で観測されるパルスを示している。同様に、下から２番目に時間軸に沿って並んだ４つのパルスは遅延時間τの経路を通って各時刻で観測されるパルスを示している。同様に、下から３番目、４番目に時間軸に沿って並んだ４つのパルスは、それぞれ、遅延時間２τ、３τの経路を通って各時刻で観測されるパルスを示している。
　最初のパルス８７－１は、多段（多層）構成のＭＺＩに入力されると２つの層の各ＭＺＩの短いアーム８６－２、８６－４の最短経路を伝搬して、一定の初期遅延時間を経た時刻ｔ０において、出力パルス８８－１として観測される。同じポートａでは、時刻ｔ０から遅延時間τを経過した時刻ｔ１において、２番目のパルス８７－２が上述の最短経路を伝搬して出力パルス８８－２として現れる。同時に最初のパルス８７－１が、２層目のＭＺＩの長いアーム導波路８６－３を伝搬し時間τだけ遅延したパルス８８－１（＋τ）として現れる。このように時刻ｔ１では、２つのパルスがポートａに現れ、２つの入力パルスを重ね合わせた状態となる。
　時刻ｔ０から遅延時間２τを経過した時刻ｔ２において、３番目のパルス８７－３が上述の最短経路を伝搬して出力パルス８８－３として現れる。同時に、２番目のパルス８７－２が２層目のＭＺＩの長いアーム導波路８６－３を伝搬し時間τだけ遅延したパルス８８－２（＋τ）として、さらに最初のパルス８７－１が１層目のＭＺＩの長いアーム導波路８６－１を伝搬し時間２τだけ遅延したパルス８８－１（＋２τ）として現れる。このように時刻ｔ２では、３つのパルスがポートａに現れ、３つの入力パルスを重ね合わせた状態となる。
　さらに時刻ｔ０から遅延時間３τを経過した時刻ｔ３において、最後のパルス８７－４が上述の最短経路を伝搬して出力パルス８８－４として現れる。同時に、３番目のパルス８７－２が２層目のＭＺＩの長いアーム導波路８６－３を伝搬し時間τだけ遅延したパルス８８－３（＋τ）として、２番目のパルス８７－２が１層目のＭＺＩの長いアーム導波路８６－１を伝搬し時間２τだけ遅延したパルス８８－２（＋２τ）として、さらに最初のパルス８７－１が２つの層のＭＺＩの長いアーム導波路８６－１、８６－３を伝搬し時間３τだけ遅延したパルス８８－１（＋３τ）として現れる。この時刻ｔ３では、点線領域８９で示した４つのパルスが同時にポートａに現れ、４つの入力パルスを重ね合わせた状態となる。
　上述のように、各時刻において、２層目のＭＺＩのポートａには、重ね合わせた状態の複数のパルスが現れ、特定の時刻ｔ３においては、４つのすべての入力パルス８７－１～８７－４の重ね合わせた状態が得られる。また各ＭＺＩにおいては、２つの出力ポートからの出力光の相対位相は０に設定されている。ＭＺＩから出力されるパルスに対して、遅延の有無に関係なく位相変化は与えられない。したがって、時刻ｔ３で出力ポートａに現れる４つの出力パルスに対しても位相変動は与えられておらず、すべての入力連続パルス８７がそのままの位相関係で重ね合わせられた状態が観測されることになる。
　時刻ｔ３では、上述の４つの入力パルスの重ね合わせ状態が、ポートｂ、ポートｃおよびポートｄにおいても同様に観測される。光子検出器ではこれら２層構成に配置されたＭＺＩによる遅延の結果、点線領域８９において、全ての入力状態の重ね合わせ状態への射影測定が実現される。干渉計であるＭＺＩを経由した干渉光は、ＭＺＩ光路で決まる位相関係で重ね合わせられ、その干渉パターンに応じて入力側での異なる時刻の光子の確率振幅が重ね合わされる。ＭＺＩにおける干渉時の位相を考えると、各ＭＺＩのどちらの出力ポートで光子が観測されたかに応じて、等価なqubit上への２つの状態 |＋>、|－> のいずれかの状態への射影測定が行われているかが分かる。
　図８に示したＭＺＩにおける各出力カプラでは、ポートａ、ポートａ´、ポートｃでは相対位相が０（同相）の状態の干渉状態が得られる。一方、ポートｂ、ポートｂ´、ポートｄでは相対位相がπ（逆相）の状態の干渉状態が得られる。したがって、ＭＺＩの出力カプラのいずれの出力ポートから出力されるかによって、干渉状態、干渉パターンが異なっていることが理解できる。干渉計の入力において、入力ポートが入れ替われば、上述の同相、逆相の関係が反転する点にも留意されたい。
　再び図８を参照すれば、遅延時間２τのＭＺＩ８１のポートａ´、 ポートｂ´のどちらに光子が出力されるかという情報が、図７の等価なqubitの２桁目の |＋>、|－> のいずれかの状態の測定であるのかに対応する。したがって、時刻ｔ３において、いずれのポートにおいて光子検出器によって光子が検出されたかで、いずれの状態の射影測定がされたのかを決定できる。図８の４次元の量子状態に対する２層の干渉計のツリー構造の場合、光子検出と測定される状態の関係は、以下のようになる。
　＊光検出器８３－１で光子検出　-> 　式（１１－１）の|＋,＋>　状態
　＊光検出器８３－２で光子検出　-> 　式（１１－２）の|＋,－>　状態
　＊光検出器８３－３で光子検出　-> 　式（１１－３）の|－,＋>　状態
　＊光検出器８３－４で光子検出　-> 　式（１１－４）の|－,－>　状態
　図８のツリー状に配置した干渉計によるアダマール変換ユニットの構成は、測定対象の高次元タイムビン量子状態を等価なqubitに分解し、等価なqubitを特定するための遅延時間に等しい遅延時間を、ツリー構造における各層の干渉計に設定することで実現される。したがって、８連続パルスを有する８次元（ｄ＝２３＝８）のタイムビン量子状態であれば、図８の構成に対し、４τの遅延時間の干渉計を０層目としてさらに追加し、１層目および２層目のＭＺＩの数を倍にすれば良い。結果として、８次元のタイムビン量子状態に対するアダマール変換ユニットは３層で７つのＭＺＩによって構成されることになる。同様にＭＺＩ（干渉計）を追加することで、任意の２Ｎ次元のタイムビン量子状態に対する測定装置の実装が可能である。
　図８のツリー状に配置した干渉計による構成では、１つの層内にある干渉計に同じ遅延時間を持たせれば良い。したがって上層から順に遅延時間を減らすのではなく、層間で遅延時間を（例えば、２τ、４τ、τの順に）入れ替えたとしても同等の状態測定が可能である。しかしながら、一般に遅延時間の長い干渉計の方が製造の難しさや安定性の問題がある。このため、遅延時間を降順（８次元なら、４τ、２τ、τの順）とすることで不安定な干渉計の数が減り、測定装置の全体として安定な構成となる。
　さらに図８のツリー状のアダマール変換ユニットの構成は、全ての干渉計の相対位相を０とすることができる。従来技術のフーリエ変換基底を用いたＭＵＢをＭＺＩによる構成で測定するためには、アーム導波路間の位相差を例えば、π／２などに設計したものを、ツリー状の構成の一部に組み込む必要がある。またこの干渉計の位相値の設定値の種類は、次元ｄとともに増加する。この位相差を０に設定できれば、ＭＺＩに対して何らかの測定量、例えば消光比が最大または最小になるようにして調整するだけで、すべての干渉計の調整が可能となる。各層の干渉計の調整が位相差０の一律のもので済み、簡略化できるため、次元ｄが大きくなった場合でも干渉計の調整が容易であるという利点がある。
[高次元のアダマール変換の実装：構成例２]
　図１０は、遅延線を利用したアダマール変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。図８で説明したツリー状の干渉計によるアダマール変換状態測定ユニットでは、次元が大きくなり層の数が増えるに従って、多数の干渉計が必要となる。しかしながら、同じ層にある干渉計は同一の遅延時間と、同一の相対位相を持つものであれば良い。したがって、何らかの方法で１つの干渉計を同じ層の干渉計として共用することができれば、干渉計の数を減らすことができる。
　図１０の（ａ）は、遅延線を利用した構成例２のアダマール変換状態測定ユニットを示している。構成例２のアダマール変換ユニット９０は、図８に示した４次元のアダマール変換ユニットと同じく、４次元のタイムビン量子状態による連続パルス列９６が入力されるが、全体構成は遥かに小型化されている。１層目のＭＺＩ９１－１および２層目のＭＺＩ９１－２がカスケードに接続されており、ＭＺＩ９１－２の２つの出力ポートには、対応する光子検出器９５－１、９５－２を備えている。１層目のＭＺＩ９１－１は、アーム導波路間の遅延時間差が２τ、相対位相が０に設定されている。２層目のＭＺＩ９１－２は、アーム導波路間の遅延時間差がτ、相対位相が０に設定されている。したがって、各層のＭＺＩの構成は、図８のツリー状の配置の場合のＭＺＩの構成と同様である。図８の構成との相違点は、２層のＭＺＩのカスケード接続に使用されていないポート間、すなわち１層目のＭＺＩの出力側カプラの別のポートから２層目のＭＺＩの入力側カプラの別のポートへ、遅延線９２が接続されていることである。
　遅延線９２は、２層目ＭＺＩの遅延τよりは短い遅延時間τ´に設定されている。したがって、１層目のＭＺＩ９１－１の一方の出力からカスケードに接続された経路を経たパルスと比べ、ＭＺＩ９１－１の出力カプラの他方の出力ポートから遅延線９２を経たパルスは、時間τ´だけ遅れて２層目のＭＺＩ９１－２へ入力される。
　ここで遅延線９２の遅延時間τ´を適切に設定すれば、１つのＭＺＩ９１－２を別の時間に利用することで、図８の２層目で並列に配置された２つ分のＭＺＩの機能を果たすことができる。図１０の（ａ）の構成では遅延線９２の遅延時間τ´を遅延τよりは短い時間としたが、１つの干渉計９１－２への異なる時刻の入力同士が干渉しないようにすることができれば良い。異なる時刻の入力同士が干渉しないようにずらして設定されれば、遅延線の遅延時間の設定は任意の値で良い。
　図１０の（ｂ）は、（ａ）のアダマール変換ユニット９０で観測される出力パルス９９の様子を示した図である。出力パルス９９は、図９のツリー状の構成における出力パルス８８に対応するものであって、２つを対比することで、遅延線９２の動作が理解できる。図１０の（ｂ）の出力パルス９９において、三角のパルス９６－１は、カスケードに直接接続された経路により２層のＭＺＩによって出力されるパルスである。図８のツリー状の構成例１の場合と同様に、点線領域９８内の時刻ｔ３において、４つの入力連続パルス９６の重ね合わせ状態で観測される。
　遅延線９２を経由して２層目のＭＺＩ９１－２に遅延して入力される４つの連続パルス９６は、図１０の（ｂ）で点線の三角のパルス９６－２に対応する。パルス９６－１と比べて、遅延時間τ´だけ遅れていることを除き、カスケードに直接接続された経路の出力パルスと同様である。したがって、例えばτ´を入力パルス９６の時間間隔τの半分に選べば、いずれの光子検出器でも、τ／２間隔で並んだ出力パルスが得られる。２層目のＭＺＩの２つの出力ポートのいずれであるかの情報と、２つの測定時刻ｔ３およびｔ３＋τ´の組み合わせによって、４種類の干渉パターンが得られる。これらの組み合わせを、図８の構成例１と同様に|＋,＋> 、|－,＋> 、|＋,－> 、|－,－> の４つの状態に対応付けることができる。
　上述のように、図１０の構成例２のアダマール変換ユニット９０では、２層目の単一のＭＺＩを、時間をずらして繰り返し利用しており、単一のＭＺＩを時分割方式で複数回再利用していると捉えることができる。このような単一の干渉計の繰り返しの利用は、層の数が多くなっても、第１層を除いて、それぞれの層において独立して行うことができる。この干渉計の複数回利用（再利用）によって、必要となる干渉計の個数をｌｏｇｄ個に、光子検出器の個数を２個に大幅に簡略化できる。
　図１０の（ｃ）は、１６次元（ｄ＝２４）の場合の構成例２のアダマール変換ユニットの構成例を示している。４層のＭＺＩ９１－１～９１－４が、カスケード接続されている。各層のＭＺＩのアーム導波路間の遅延時間差は、順に８τ、４τ、２τ、τに設定されており、アーム導波路間の位相差は０に設定されている。１層目のＭＺＩと２層目のＭＺＩの間は、遅延時間τ´の遅延線９２－１で、カスケード接続と並行して接続されている。２層目のＭＺＩと３層目のＭＺＩの間は、遅延時間τ´´の遅延線９２－２で、同様に並行して接続されている。３層目のＭＺＩと４層目のＭＺＩの間も、遅延時間τ´´´の遅延線９２－３で同様に並行して接続されている。
　それぞれの遅延線の遅延時間は、出力ポートにおいて、図１０の（ｂ）の隣接する重ね合わせ状態の複数のパルス（実線三角と点線三角）が衝突しないタイミングに設定すれば良い。
　図１０（ｂ）のように隣接する層の干渉計を並行して接続する遅延線のτ´を、光検出器での元々の検出時刻（ｔ０、ｔ１、ｔ２・・）の中間の時刻に遅延させた光子が検出されるように設定する時、１つの干渉計を時分割方式で繰り返し利用できる回数に制限が生じる場合がある。光子検出器やその後の解析装置などのタイミングジッターの影響などによって、測定の時間間隔を狭めるためには一定の制限が生じるからである。このような場合、アダマール変換ユニット全体で一部の層に部分的に干渉計の繰り返し利用を行うことができる。すなわち、図８のツリー状の構成例１と、図１０の構成例２を組み合わせ、一部の層で遅延線を使用した干渉計の繰り返し利用を行うハイブリッド構成を取ることもできる。
　例えば８次元（ｄ＝２３）の場合は、構成例１のツリー状の構成で実現すれば、３層で７個のＭＺＩおよび８個の光子検出器が必要となる。同じ８次元で構成例１と構成例２のハイブリッド構成とする場合、１層目と２層目を再利用する構成として、３層目をのみを２つのＭＺＩを含むツリー状として、４個の光子検出器を用いる構成などが考えられる。このハイブリッド構成の場合も、２つの測定タイミングと４つの光子検出器の組み合わせ（２×４）によって、８つの状態への射影測定を実現できる。　
　図１０に示した各構成において、遅延線は、入力される連続パルスに対して干渉を起こすためではなく、単に遅延を生じさせるためだけのものとして機能していることに留意されたい。したがって、各層の干渉計中の長いアーム導波路の相対位相とは異なり、遅延線で生じる相対位相の変化については無視することができる。
[高次元のアダマール変換の実装：構成例３]
　図１１は、光スイッチ（光ＳＷ）を利用したアダマール変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。図１０のアダマール変換状態測定ユニット９０と比較すると、２本のアーム導波路を含む干渉構造がカスケード接続され、干渉構造の間（層間）が並列に遅延線で接続されている点で類似している。図１１のアダマール変換ユニット１００は、異なる層の隣接するＭＺＩ間を遅延線で並列に接続した図１０の構成例２に対し、次元をｄ＝８とするために１層を追加し、干渉計であるＭＺＩの入力側カプラを光ＳＷに置き換えた構成を持っている。
　具体的に、図１１の構成例３のアダマール変換ユニット１００は、次元をｄ＝８とした構成例２において各層のＭＺＩ部１０１－１～１０１－３の入力カプラを、光ＳＷ１０２－１～１０２－３に置き換え、さらに最終段に光ＳＷ１０４を追加している。入力側カプラが光ＳＷに置き換えられれば、図１１のＭＺＩ部１０１－１～１０１－３は厳密にはマッハツェンダー干渉計（ＭＺＩ）とは言えない。しかしながら、遅延時間と位相が所定の値に設定され干渉を引き起こし得る２本のアーム導波路を含むため「ＭＺＩ部」と呼ぶ。
　図１１のアダマール変換ユニット１００と構成例２とのもう１つの相違点は、各層間のＭＺＩ部をカスケード接続する経路に対して並列に接続された遅延線１０３－１～１０３－３の遅延が、各々の前段側ＭＺＩ部の遅延時間と同じ値に設定されていることにある。具体的には、１層目と２層目の間を並列に接続する遅延線１０３－１の遅延時間は、前段側のＭＺＩ部１０１－１の遅延時間と同じ４τに設定される。２層目と３層目の間を並列に接続する遅延線１０３－２の遅延時間は、前段側のＭＺＩ部１０１－２の遅延時間と同じ２τに設定される。同様に、３層目と光ＳＷ１０４の間を並列に接続する遅延線１０３－３の遅延時間は、前段側のＭＺＩ部１０１－３の遅延時間と同じτに設定される。光子検出器１０６は、最終段の光ＳＷ１０４の出力で、光子を検出する。
　各層において、通常のＭＺＩの入力カプラから置き換えられた光ＳＷは、１つ以上の入力を１つ以上の出力へ切り替えるよう動作する。例えば、光ＳＷ１０２－１は、入力連続パルス１０５を、ＭＺＩ部１０１－１の２本のアーム導波路のいずれかに、時間間隔τに同期して出力する。また、光ＳＷ１０２－２は、ＭＺＩ部１０１－１の２本のアーム導波路からのパルスを、次の層のＭＺＩ部１０１－２または遅延線１０３－１のいずれかに、時間間隔τに同期して出力する。光ＳＷ１０２－３、１０４についても、同様に、時間間隔τに同期して入力および出力の関係の切り替え動作を行う。この時、高次元量子状態を等価な２次元量子状態に対応させたときの、各qubitの |０>、|１> に合わせて各層の光ＳＷの出力先が決定されるように、光ＳＷ動作させる。
　構成例３における遅延線の遅延時間は、前段側の各ＭＺＩ部の遅延時間と同じ値に設定されており、かつ、その遅延時間は入力連続パルスの時間間隔τの整数倍である。したがって、各層のＭＺＩ部の出力点で、異なる経路を伝搬したパルスが同時に現れ、衝突し得るタイミングになっている。しかしながら、各光ＳＷの入力－出力関係の切り替え動作によって、衝突は起こさない。この結果、最終段の光ＳＷ１０４の出力点において、各ＭＺＩ部の出力カプラで干渉した入力連続パルス１０５の異なる干渉パターンによる重ね合わせ状態が、異なる時刻において実現される。
　図１１のアダマール変換ユニット１００は、上述の各層の光ＳＷを、入力連続パルス１０５の時間間隔τに同期しながら切り替えることで、光ＳＷ１０４の出力点で、すべての測定時刻（ｔ０～ｔ７）において、入力連続パルス１０５の、重ね合わせ状態が実現される。尚、最初の測定時刻ｔ０は、８つの入力連続パルス１０５のすべてがアダマール変換ユニット１００に入力された後となるので、最初のパルス入力から少なくとも８τの時間経過後となる。いずれの検出時刻（ｔ０、ｔ１，・・ｔ７）においても、８つの入力パルスが重ね合わせられて干渉した状態となり、その干渉パターンを高次元アダマール変換に対応させることができる。
　図１１の（ｂ）は、構成例３のアダマール変換ユニット１００の出力点で、各時刻に観察されるパルス１０７を示している。最先のｔ０からｔ７までのいずれの検出時刻でも、入力連続パルス１０５の８つのパルスが同時に現れる。したがって、いずれの検出時刻において光子が検出されたかの情報にしたがって、８次元量子状態を等価な３粒子２次元量子状態のqubit表現にした場合、等価なqubit上への２次元量子状態 |＋>、|－> の組み合わせのいずれの状態への射影測定が実施されたのかを決定できる。
　＊時刻ｔ０での光子検出　->  |＋,＋,＋> 状態
　＊時刻ｔ１での光子検出　->  |＋,＋,－> 状態
　＊時刻ｔ２での光子検出　->  |＋,－,－> 状態
　＊時刻ｔ３での光子検出　->  |＋,－,＋> 状態
　＊時刻ｔ４での光子検出　->  |－,－,＋> 状態
　＊時刻ｔ５での光子検出　->  |－,－,－> 状態
　＊時刻ｔ６での光子検出　->  |－,＋,－> 状態
　＊時刻ｔ７での光子検出　->  |－,＋,＋> 状態
　図１１のアダマール変換ユニット１００では、隣接する層のＭＺＩ部を接続する導波路および遅延線を干渉回路とみなすこともできるので、図８以降で示したＭＺＩと同じように、アーム導波路間の遅延時間差、アーム導波路間の相対位相を示している。
　図１１のアダマール変換ユニット１００の構造的な構成は例えば非特許文献３にも開示されているものである。しかしながら、有限体を利用したＭＵＢの量子状態測定のためには、各遅延線における相対位相を、別々にかつ任意の値に設定可能な点で、非特許文献３の構成と大きく相違している。図１１の構成において、遅延線１０３－１～１０３－３の遅延によって生じる相対位相は、図１１の（ｂ）で時刻ｔ１における点線１０８内のパルスと、時刻ｔ０における点線１０９内のパルスとの間のように、異なる検出時刻における出力パルス間の相対位相として表れる。言い換えると、遅延線によって生じる相対位相は、同一の検出時刻の中で入力連続パルスの重ね合わせ状態として現れるパルス間（点線領域１０８内の８つのパルス間）の位相には関係が無い。
　上述の遅延線の位相が任意で良いことは、次のように説明できる。アダマール変換ユニット１００においては、一連のカスケード接続されたＭＺＩ部（干渉計）の直後の光子検出器１０６によって光子が検出される。しかしながら、光子検出器１０６の測定結果は、異なる検出時刻に対応する重ね合わせ状態のパルス間（領域１０８と領域１０９の間）の相対位相には影響を受けない。具体的には、図１１の（ｂ）において、時刻ｔ０の領域１０９内のパルスの位相と、時刻ｔ１の領域１０８内のパルスの位相との間の関係は、光子検出器１０６の測定結果に影響を与えない。
　したがって、遅延線１０３－１～１０３－３によって生じる位相は任意に設定できる。図１１のアダマール変換ユニット１００では、この位相差の値は３つの遅延線の間でバラバラでも良いし、０に限らずに任意の値で良い。
　図１１のアダマール変換ユニット１００において、遅延線での位相を任意に設定可能なことは、これらの遅延線の位相を、ＭＺＩ部１０１－１～１０１－３のように安定化する必要がないことを意味する。ＭＺＩ部１０１－１～１０１－３では、入力連続パルスの各々に対して位相変調を加えてはならない。したがって、ＭＺＩ部１０１－１～１０１－３におけるアーム導波路間の相対位相は、精度良く０に設定されなければならない。一方、図１１のアダマール変換ユニット１００の遅延線１０３－１～１０３－３については、実際の装置における遅延線設計の条件を大きく緩和することができる。
　また、上述の図８の構成例１および図１０の構成例２の各アダマール変換ユニットでは、干渉計の出力において、全ての入力パルスが干渉するような一部の検出時刻の測定結果しか利用できない。このために、検出効率の低下が問題となる。一方、図１１の構成例３では、すべての検出時刻の光子の検出結果が、アダマール変換基底状態のいずれかの射影測定に対応する。このため、原理的には検出効率の低下の無い、有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置の実現が可能となる。さらに構成例３では、光子検出器の数を１つまで減らすこともできる。
[高次元のアダマール変換の実装：構成例４]
　図１２は、ループ状構造を利用するアダマール変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。構成例４の図１２のアダマール変換状態測定ユニット１１０は、構成例３の構成をループ状に変形して、構成例２のようにＭＺＩ部を繰り返し利用することで、さらにコンパクトな構成でアダマール変換を実現する。
　アダマール変換状態測定ユニット１１０では、構成例３と同様にＭＺＩ部１１１は、光ＳＷ１１２、長さの異なる２本のアーム導波路１１３、出力カプラ１１４を含む。出力カプラ１１４の一方の出力ポートは、さらに光ＳＷ１１６の入力ポートに接続される。出力カプラ１１４の他方の出力ポートは、遅延線１１５を経由して、光ＳＷ１１６の別の入力ポートに接続される。光ＳＷ１１６の一方の出力は、繰り返してＭＺＩ部１１１を利用するために、光ＳＷ１１２へ入力される。光ＳＷ１１６の他方の出力は、一定の回数のＭＺＩ部１１１の繰り返し利用が終わった後で、最終出力として光子検出器１１７へ与えられる。このように、ＭＺＩ部１１１、遅延線１１５および光ＳＷ１１６が繰り返し利用されるように、ループ状に構成されている。
　ＭＺＩ部１１１の遅延時間はΔ（ｔ）に設定され、構成例３と同じくτ、２τ、４τ・・のような値を取る。ＭＺＩ部１１１を異なる構成で繰り返し利用できるよう、遅延時間Δ（ｔ）は入力連続パルス１１８の時間間隔τに同期して、時間的に変化する。同様に、遅延線１１５の遅延時間は、ＭＺＩ部１１１と同じΔ（ｔ）に設定され、入力連続パルス１１８の時間間隔τに同期して、時間的に変化する。２つの光ＳＷ１１２、１１６における入力および出力の間の関係を構成例３と同様に切り替えることで、同じＭＺＩ部１１１を繰り返し利用して、構成例と３同じ動作が可能となる。最終出力は、８次元の場合であれば、図１１の（ｂ）に示したのと同じように、すべての検出時刻において、８つの入力パルスが重ね合わせられ、干渉した状態が得られる。光子が観測された時刻の情報にしたがって、８次元量子状態を３粒子２次元量子状態に分解した場合の、いずれの状態の射影測定が実施されたのかを決定できる。
　上述の説明から、図１２のアダマール変換状態測定ユニット１１０の構成は、図１１の直線状に展開された１層分のＭＺＩ部および遅延線の構成を、帰還経路によってループ状の構造とすることで、異なる層としてくり返し利用するものということが理解できる。図１２のループ状の構造を利用するアダマール変換状態測定ユニットにおいても、遅延線１１５における位相差について、図１１の構成例３と同じ議論が成り立つ。このため、遅延線１１５に与える位相差は任意の値で良く、遅延線の光路に対して位相差を安定化させる必要が無い。さらに、光ＳＷ１１６と光ＳＷ１１２との間を同一の導波路によって帰還経路して、単一のＭＺＩ部を繰り返して利用するため、この帰還経路において位相値を揃える必要性が無い。したがって、構成例４のアダマール変換ユニット１１０を使用してＭＵＢの状態測定装置を構成する上では、ＭＺＩ部１１１の２つのアーム導波路間の位相差の精度のみを安定化させれば良い。単一のＭＺＩ部に帰還経路を形成して、ループ状の構造とすることで、状態測定装置の設計・製造条件を大幅に緩和できる。
　上述の４つの構成例で説明したように、タイムビン量子状態におけるアダマール変換状態測定ユニットは、Ｎ層にツリー状に配置された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている、複数の光干渉計を含む第１の構成（構成例１）、Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている複数の光干渉計と、隣接する２つの層の間の接続に並列に、前層の前記光干渉計の前記遅延時間に対応する遅延時間が設定された１つ以上の遅延線とを含む第２の構成（構成例２、構成例３）、またはループ状に接続された光干渉計であって、周回数に対応した可変の遅延時間が与えられている光干渉計を含む第３の構成（構成例４）のいずれかを含むものとして実施できる。
[有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置：具体構成１]
　図８の構成例１、図１０の構成例２、図１１の構成例３、図１２の構成例４は、有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置を２ユニットに分解した時の、アダマール変換基底への射影測定を行うアダマール変換状態測定ユニットの例である。ここでは、計算基底の状態測定も含めた、状態測定装置の具体的な全体構成を示す。
　図１３は、計算基底を含むＭＵＢの状態測定装置の構成例を示した図である。有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置１２０は、図６の（ｂ）に示した２つのユニットを組み合わせた測定装置５０－２と同じ構成を持つ。第１のユニットである位相変調部５１と、第２のユニットである式（６）の右辺右側のＢｍｎ （０）に相当するアダマール変換状態測定ユニット９０を備えている。図１３のアダマール変換状態測定ユニット９０は、図１０の（ａ）に示した遅延線を利用した構成例２のアダマール変換状態測定ユニット９０と同一である。
　図６の（ｂ）に示した測定装置５０－２は、式（３）および式（４）で定義される最大ｄ個（ｒ＝０、１、・・, ｄ－１）のＭＵＢの量子状態への射影測定装置である。図１３の状態測定装置１２０は、ｄ個のＭＵＢ状態に加え、計算基底も測定可能として、全体として（ｄ＋１）個のＭＵＢ測定を実現する。計算基底への射影測定は、光子がどの時刻にいるかの測定であるため、干渉計を用いずに光子検出器によって直接測定すれば良い。
　計算基底への射影測定のために、図１３の状態測定装置では、入力側に光ＳＷ１２２を設けて、光子が光子検出器１２３－３へ送られれば計算基底への射影測定が行われる。光ＳＷ１２２により、位相変調部５１側に光子（入力連続パルス１２１）が送られれば、位相変調器５４での変調に応じて式（３）および式（４）によって記述されるラベルｒのＭＵＢの状態への射影測定が行われる。したがって、図１３の状態測定装置１２０では、光ＳＷ１２２および位相変調器５４が、異なる（ｄ＋１）個のＭＵＢの切り替え選択の役目を担うことになる。
　図１３の状態測定装置の構成で、第２のユニットのアダマール変換状態測定ユニット９０を他の構成に置き換えることができるのは言うまでもない。図１３の状態測定装置のユニットのアダマール変換状態測定ユニット９０を、図８～図１２で説明した構成例１～４のいずれによっても、置き換えることができる。また、ＱＫＤへの応用などのように計算基底とそれ以外の基底の切り替えがランダムで良いならば、光ＳＷを適当な分岐比の光ビームスプリッタに置き換えることもできる。
[有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置：具体構成２]
　図１４は、有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置の別の構成例を示した図である。図１４の状態測定装置１３０も、図６の（ｂ）に示した測定装置５０－２と同じ構成を持ち、第１のユニットである位相変調部５１と、第２のユニットであるＢｍｎ （０）に相当するアダマール変換状態測定ユニット１３１を備えている。図１４のアダマール変換状態測定ユニット１３１は、図１１に示した構成例３のアダマール変換状態測定ユニット１００の一部を変更したものである。
　構成例３、構成例４のアダマール変換状態測定ユニットで使用されている光ＳＷには、単に入力および出力の関係を切り替えるだけでなく、制御条件を調整することでビームスプリッタと同じ役割を担うことができるものが存在する。このような光ＳＷは、出力状態として、透過および遮断（反射）に加えて、分配（ハーフミラーの状態）の状態を含め３状態を有することになる。
　図１４の状態測定装置１３０におけるアダマール変換状態測定ユニット１３１は、３層のＭＺＩ部１３２－１～１３２－３がカスケード接続され、各層の間を並列に遅延線で接続されており、構成例３と同じ構成である。しかしながら、各層のＭＺＩ部の出力側カプラを、それぞれ出力光分配の状態を含む光ＳＷ１３３－１～１３３－３に置き換えている。置き換えた光ＳＷは、分配（ハーフミラー）の状態で、位相差が０に設定されたＭＺＩの出力カプラと実質的に同じ動作を行う。したがって、図１４のアダマール変換状態測定ユニット１３１と図１１のアダマール変換状態測定ユニット１００は、同一の動作が可能である。　
　さらに図１４の状態測定装置ですべての光ＳＷの時間的な切り替え動作を行わず、いずれか１つの固定した経路のみにパルスを送る状態を考えれば、この状態におけるＭＺＩ部はただの遅延線として機能することが分かる。このような状態では、入力連続パルス１３５には一切の干渉が生じないため、図１４の状態測定装置による測定は計算基底への射影測定にあたる。したがって、図１４の状態測定装置１３０の構成でも計算基底を含めた（ｄ＋１）個のＭＵＢの測定が可能となる。また、状態測定装置１３０の構成によれば、ただ１つの光子検出器１３４で、計算基底を含めすべてのＭＵＢの状態測定が可能となる。点線で示した遅延線に対して、位相差の値が任意で良く、遅延線における位相差の安定化が不要である等の利点は、図１１の構成例３のアダマール変換状態測定ユニットと同様である。図１４に示したように、各光ＳＷがとるべき状態の数は、各層のＭＺＩ部の入力側で２値(透過／反射状態)、出力側で３値(透過／反射／ハーフミラー状態)のみで良い。
　上述のようにＭＺＩ部における出力カプラを、分配の状態を実現する光ＳＷに置き換えることは、図１２に示したループ状の構造による構成例４によるアダマール変換状態測定ユニット１１０にも適用できることは言うまでもない。
[有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置　別の構成]
　図６～図１４では、有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置について様々な構成例を提示してきた。ここで再びＭＵＢの状態生成装置について、状態測定装置の構成からのアプローチを提示する。最も基本的な２次元のタイムビン量子ビットの場合、干渉計および位相変調器により実現する構成が、ＭＵＢの状態生成手法として広く使われている。
　図１５は、２次元タイムビン量子ビットのＭＵＢ状態生成を説明する図である。図１５の（ａ）は、現在２次元タイムビン量子ビットのＭＵＢ状態生成に利用されている生成装置の構成である。図４に示した状態生成装置３０の構成と図１５の（ａ）の構成とを比較すると、図１５の（ａ）では、図４における強度変調器３１を干渉計１４０－１に置き換えたものとなっている。この干渉計はＭＺＩであり、入力側カプラ１４１、遅延時間がτに設定された２本のアーム導波路および出力側カプラ１４２で構成される。この干渉計１４０－１を使って、時間間隔τで２連続パルスの重ね合わせ状態が実現される。
　図４に示した状態生成装置３０は、ＱＫＤなどで許容される微弱コヒーレント光を用いた疑似単一光子での状態生成に利用できる。しかしながら図４に示した状態生成装置３０で、真の単一光子源を使う場合には、時間位置についての重ね合わせ状態を作るための装置が別途必要となる。図１５の（ａ）の干渉計１４０－１を使った手法は、干渉計によって時間位置についての重ね合わせ状態そのものが作られるため、真の単一光子源に対しても利用できる利点がある。
　図１５の（ａ）の構成では、ポートｂ´に出力された光子は失われてしまうため、理想的な装置を用いても確率１／２で状態生成に失敗する。そこで図１５の（ｂ）のように、後段の出力側カプラ（ビームスプリッタ）１４２を光ＳＷ１４３に置き換え、ポートｂ´に出力させないことで、原理的には確率１で状態生成が可能である。
　さらに図１５の（ｃ）に示したように、入力側カプラも光ＳＷ１４４に置き換え、干渉計１４０－３の全カプラを光ＳＷに置き換えると、時間位置についての重ね合わせ状態だけでなく、時間位置状態 |０>、|１> も含めたすべてのＭＵＢを生成することができる。
　上述の２次元のＭＵＢの状態生成のための装置の構成で注目すべき点は、図１５の各構成が、先に図６～図１４で述べた本開示の高次元のＭＵＢのための状態測定装置の構成要素の配置順序を、２次元の場合における類似の構成で逆にしたものとなっている点である。
　図１６は、８次元タイムビン量子ビットのＭＵＢ状態生成装置を説明する図である。有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置２００は、図１５の（ｃ）の２次元タイムビン量子ビットのＭＵＢ状態生成装置を８次元のタイムビン量子状態に拡張したものである。同時に、これまで説明してきた状態測定装置の構成要素を逆順に配置したものとなっている。すなわち、図１６の状態生成装置２００は、図１４の状態測定装置１３０の構成要素を逆順に配置している。具体的には、遅延時間τのＭＺＩ部２０３－１、遅延時間２τのＭＺＩ部２０３－２、遅延時間４τのＭＺＩ部２０３－３を含む遅延処理部分２０１と、位相変調部２０２の順に配置されている。図１６の状態測定装置２００は、単一光子２０６の入力に対し、８次元の場合の計算基底を含む９つのＭＵＢすべての状態を生成することができる。
　図１６の状態生成装置２００では、図１４の状態測定装置１３０の遅延線は含まれていない。遅延線があったとしても、光ＳＷの切り替え動作により、遅延線が存在しないのと同じ状態になるからである。したがって図１４の測定装置の構成要素を逆順に配置してそのまま生成装置に転用しても良いし、不要な遅延線は削除しても良い。同様に、図６～図１３の状態測定装置を、そのままの構成として、または遅延線を取り除いた構成として、構成要素の配置の順序を逆にすることで、図１４の場合と同様に状態生成装置に転用することができる。
　例えば、図８に示したツリー状の構成例１のアダマール変換状態測定ユニット８０の配置を逆順として、入力側から出力側に向かってＮ層に逆ツリー状に配置された複数の光干渉計からなる構成で、図１６の遅延処理部分２０１を置き換えれば良い。このとき、最も入力側にある干渉計の１つのポートに光を入力すれば良い。同様に、図１１に示したカスケード接続された複数の干渉計からなる構成例３のアダマール変換状態測定ユニット１００の配置を逆順とした構成で、図１６の遅延処理部分２０１を置き換えても良い。この時、干渉計の層間の遅延線は無くても良い。図１２に示した構成例４のアダマール変換状態測定ユニット１１０についても、入出力関係を逆にした構成で、同様に図１６の遅延処理部分２０１を置き換えられる。
　ただし図１０の光ＳＷを使わずカスケード接続した干渉計による構成例２のアダマール変換状態測定ユニット９０の場合については、必ず遅延線を除かなければならない。これは遅延線の影響により、想定する次元以上の個数のパルスが生成されてしまうためである。すでに述べたとおり、光ＳＷを利用する場合には遅延線の効果を除くことができるため、遅延線は残し、完全に同じ装置を利用することができる。ツリー状の構成例１の場合は、そもそも遅延線が存在していないため、問題とはならない。
　尚、上述のＮ層に逆ツリー状に配置された複数の光干渉計からなる構成では、ツリーの下の層にある使用されない光干渉計があるが、例えば光サーキュレータなどと併用し、１つのツリー状の光干渉計を生成装置および測定装置のために兼ねて利用して、全体としてのコンパクト化を図ることもできる。
　したがって本開示の別の状態生成装置は、直交する光の状態が、ｄ個の連続パルス列の各々のパルスを計算基底の状態に対応させ、時間の直交モードを利用するタイムビン量子状態であり、入力側から出力側に向かってＮ層に逆ツリー状に配置された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている、複数の光干渉計を含む第１の構成（アダマール変換状態測定ユニット構成例１の逆配置）、Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている複数の光干渉計を含む第２の構成（同構成例３の逆配置）、または、ループ状に接続された光干渉計であって、周回数に対応した可変の遅延時間が与えられている光干渉計を含む第３の構成（同構成例４の逆配置）の内のいずれかの構成２０１と、前記いずれかの構成の最後段に接続され、基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報に基づいて、前記各々のパルスに対して、位相変調を加える位相変調器２０２とを備えたものとして実施できる。
[有限体を利用したＭＵＢ状態生成／測定装置による量子鍵生成システム]
　図１７は、有限体を利用したＭＵＢ量子状態による量子鍵配送システムを示した図である。ここまでに述べてきた高次元ＭＵＢの状態生成装置および測定装置は、いずれも、次のように高次元量子鍵配送システム３００として利用できる。高次元量子鍵配送システム３００は、送信者側ブロック３０１、受信者側ブロック３０２、および両者を接続する古典通信路３０３および量子通信路３０４を備える。送信者側ブロック３０１は、高次元ＭＵＢ状態生成装置３０５および誤り訂正／秘匿性増強処理部３０６を含む。受信者側ブロック３０２は、高次元ＭＵＢ状態測定装置３０７および誤り訂正／秘匿性増強処理部３０８を含む。この高次元量子鍵配送システム３００では、以下の手順で量子鍵配送が実施される。
　ステップ１：　送信者Ａｌｉｃｅ３０１は、（ｄ＋１）個のＭＵＢから基底ｒ＝ｒａをランダムに選択し、さらにその中から状態ｎ＝ｎａをランダムに選択する。
　ステップ２：　有限体を利用したＭＵＢ状態生成装置３０５に(ｒａ, ｎａ)の組の情報を入力し、生成した状態を、量子通信路３０４を通して受信者Ｂｏｂ３０２に送信する。
　ステップ３：　受信者Ｂｏｂ３０２は、Ａｌｉｃｅと同様に基底ｒ＝ｒｂをランダムに選択し、有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置３０７にＡｌｉｃｅから送られた状態とともに入力することで、測定結果ｎ＝ｎｂを得る。
　ステップ４：　ステップ１～３の状態生成から状態測定までを繰り返し、得られた状態ｎの列のうち、ＡｌｉｃｅとＢｏｂは、古典通信路３０３を介して互いに基底ｒの情報を開示し、一致した時のｎのみを残すことで、シフト鍵を得る。
　ステップ５：　ＡｌｉｃｅとＢｏｂは、シフト鍵のうち少数のテストビットの結果を開示して、互いのｎａ, ｎｂの分布、または、単純化した非一致確率（誤り率）を推定する。
　ステップ６：　推定された分布または非一致確率に基づいて、安全で一致した鍵を得るために使われるビット誤り訂正および秘匿性増強を残りのシフト鍵に対して行い、暗号通信に使う秘密鍵を生成する。
　従来技術の高次元量子鍵配送システムに対するこの量子鍵配送システム３００の利点は、任意の２ｎ次元においてＭＵＢのすべてを利用できることにある。２種類のＭＵＢしか使わない量子鍵配送システムと比べて（例えば非特許文献４）、量子鍵配送システム３００では誤り率耐性の向上効果が得られる。
　上述のステップ１～６の量子鍵配送のプロトコルはもっとも基本的なものであるが、本開示の有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置および測定装置を利用する限り、２次元の量子鍵配送で広く用いられているデコイ法等の拡張を適用することができ、上述の誤り率耐性の向上効果が得られる。
　また、上述のステップ１～６における基底選択の選択肢を最大の（ｄ＋１）個から最小で２個まで減らすことができる。この場合は、基底の選択肢の数に起因する誤り率耐性の向上効果は低下する。その代わり、例えば時間基底を使わないようにすることで、図１３に示した状態測定装置１２０における光子検出器１２３－３を不要とし、量子鍵生成システムをさらに簡便化できる。この場合においても、次元ｄが増加することにより２次元のＭＵＢしか使わない量子鍵配送システムと比べた利点を得ることができる。
[もつれ状態と有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置による量子鍵配送システム]
　図１８は、有限体を利用したＭＵＢ量子状態による量子鍵配送システムの別の例を示した図である。ＱＫＤの手法として、第三者Ｃｈａｒｌｉｅが最大量子もつれ状態をＡｌｉｃｅとＢｏｂに共有し、両者が測定を行うことで秘密鍵を共有する手法が知られている。ここまでに述べてきた高次元ＭＵＢの状態測定装置は、次のような高次元量子鍵配送システム４００としても利用できる。量子鍵配送システム４００は、送信者側ブロック４０１、受信者側ブロック４０２、第三者ブロック４０３、および三者を接続する古典通信路４０７および量子通信路４０６ａ、４０６ｂを備える。送信者側ブロック４０１は、高次元ＭＵＢ状態測定装置４０４および誤り訂正／秘匿性増強処理部４０５を含む。受信者側ブロック４０２も、高次元ＭＵＢ状態測定装置４０８および誤り訂正／秘匿性増強処理部４０９を含む。
　この高次元量子鍵配送システム４００では、これまで説明してきた有限体を利用したＭＵＢ状態測定装置を、以下の手順で利用できる。
　ステップ１：　Ａｌｉｃｅおよび Ｂｏｂは、高次元ＭＵＢ状態測定装置４０４、４０８を各々準備する。ただし、どちらか片方（Ａｌｉｃｅ）はＤｍｍ （ｒ）＊を位相変調器への変調信号とし、他方（Ｂｏｂ）はＤｍｍ （ｒ）を位相変調器への変調信号とする。
　ステップ２：　Ｃｈａｒｌｉｅは、次式によるｄ次元最大もつれ状態を生成し、片方の光子をＡｌｉｃｅへ、もう片方の光子をＢｏｂへ量子通信路４０６ａ、４０６ｂを通して送信する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000035
　ステップ３：　ＡｌｉｃｅおよびＢｏｂは、各々（ｄ＋１）個のＭＵＢから基底ｒ＝ｒａ, ｒ＝ｒｂをランダムに選択する。選んだ基底情報およびＣｈａｒｌｉｅから受け取った光子を、高次元ＭＵＢ状態測定装置４０４、４０８に入力することで、各々測定結果ｎａ, ｎｂを得る。
　ステップ４：　ステップ２～３の状態生成から測定までを繰り返し、得られた状態ｎの列のうち、ＡｌｉｃｅとＢｏｂは古典通信路を介して互いに基底ｒの情報を開示し、一致した時のｎのみを残すことで、シフト鍵を得る。
　ステップ５：　ＡｌｉｃｅおよびＢｏｂは、シフト鍵のうち少数のテストビットの結果を開示して、互いのｎａ, ｎｂの分布、または、単純化した非一致確率(誤り率)を推定する。
　ステップ６：　推定した分布または誤り率に基づいて、安全で一致した鍵を得るために使われるビット誤り訂正および秘匿性増強を残りのシフト鍵に対して行い、暗号通信に使う秘密鍵を生成する。
　従来技術の高次元量子鍵配送装置では、素数次元の場合、すべてのＭＵＢともつれを利用したＱＫＤが光の軌道角運動量を利用して実装されている（例えば非特許文献５） 。この従来技術の量子鍵配送システムに対する、高次元量子鍵配送システム４００の利点は、図１７の量子鍵配送システム３００と同様に、任意の２ｎ次元においてＭＵＢすべてを利用することができることにあり、誤り率耐性の向上の高い効果が期待できる。
　また、もつれを利用することにより、量子鍵配送システムを動作させるために必要な乱数の数を減らすことができたり、光源を信頼しない第三者に準備させることができたりする等、２次元の場合の量子もつれを利用したＱＫＤと同様の利点を得ることができる。
[奇素数pの累乗次元の有限体を利用したＭＵＢによる高次元量子状態]
　これまでの有限体を利用したＭＵＢによる状態生成装置および状態測定装置は、次元ｄ＝２Ｎの場合について説明された。ここでｐを奇素数とし、次元ｄ＝ｐＮの場合を考えると、確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）は、次式で与えられる（非特許文献２）。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000036
式（４）と同様に、ｍ、ｎ、ｒは、次のように定義される。
ｍ：　計算基底の状態を規定するラベル
ｎ：　相互不偏基底（ＭＵＢ）の状態を規定するラベル
ｒ：　ＭＵＢのラベル
　式（１３）のΣを含むカッコ内において、ｒ、ｍ、ｎ（太字）は、整数ｒ、ｍ、ｎをそれぞれ各要素が位数pの有限体の元となるようにｐ進数表現としたときのベクトルを表す。またｒｊ（太字）は、ｒをｐ進数表現でベクトル化表現したときのｊ番目の要素を示すスカラ量である。ｍＴ(太字)は横ベクトルであり、Ａ（ｊ）は正方行列であり、ｍ（太字）は縦ベクトルとなる。
　また、同様にｉ番目の要素のみが１となるような位数ｐＮの有限体の基底である元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）は、位数２Ｎの有限体の場合と同様に式（２）を満たす行列として定義する。ここで式（１３）にｐ＝２を代入しても、位数２Ｎの有限体の場合の式（４）と同じにはならず、ｐが奇素数の場合には別の取り扱いが必要となる。式（１３）の内側のカッコ内の計算は位数ｐの有限体の計算であるため、単に整数の積と和を行い、ｍｏｄｐを計算すれば良い。さらにこの指数関数の位相は２π／ｐの整数倍であることから、ｍｏｄｐの計算も省略でき、単に整数の積和計算で十分である。
　式（１３）によれば、ｐを奇素数としたｄ＝ｐＮの場合の確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）の位相は、２π／ｐの整数倍の値を取る。例えば次元ｐが３１＝３では０、２π／３、４π／３の３つの値のみを取ることが分かる。さらに次元ｐが増えて、３２＝９、３３＝２７であっても３値のみを取るのは同じで、位相の分解能は２πの１／３で済む。従来技術である、式（１）で表されたフーリエ変換基底によるＭＵＢにおいて、次元ｄの増加に伴い非常に高い位相分解能が要求された問題を大幅に解消できる。また、確率振幅が式（４）で表され、位相値として４値を取る（分解能１／４）次元ｄ＝２Ｎの場合よりも、位相分解能がさらに緩和される点で、奇素数のｐ＝３とした次元ｄ＝３ＮによるＭＵＢの状態生成が優れている。後述するように、一般に奇素数ｐとした次元ｄ＝ｐＮによるＭＵＢの状態生成についても、式（１）で表されたフーリエ変換基底によるＭＵＢの状態生成の場合より優れている。
[奇素数pの累乗次元の有限体を利用したＭＵＢによる状態生成装置]
　確率振幅が式（１３）で表され、次元ｄ＝ｐＮ（ｐ：奇素数）の有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置の構成は、図４の状態生成装置３０、図５の状態生成装置４０と同一で良い。図４および図５において、位相変調器３２、４１への設定位相が異なるため、変調信号生成器３３、４２からに加える変調信号３６、４５が異なるだけである。したがって、状態生成装置の構成は、式（２）から式（４）によって定義されるＭＵＢを利用した量子状態の生成装置をそのまま利用できる。
[奇素数pの累乗次元の有限体を利用したＭＵＢによる状態測定装置]
　次に、状態測定装置について考える。式（１３）で表される次元ｄ＝ｐＮの（ｐ奇素数）の有限体によるＭＵＢでも、式（６）で検討したのと同様に、確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を２つの行列成分に分解して、それぞれの行列を対応するユニットに分けて、状態測定装置を実現できる。
　具体的には式（１３）による確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）も、式（６）に示したように２つの要素、すなわち式（６）の右辺左側のＤｍｍ （ｒ）および右辺右側のＢｍｎ （０）に分解できる。ｐ＝２としてｄ＝２Ｎの場合と同様に考えれば、第１のユニットとなるＤｍｍ （ｒ）はｐ種類の位相変調ユニットとなる。
　一方、式（１３）による確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）において、第２のユニットとなるＢｍｎ （０）については、任意のｐＮ次元で整数ｒの０に対応するｐ進数表現は、０がＮ個並んだベクトルになる。したがって、式（１３）のカッコ内のΣ項のｒｊが０となるため、Σの項が消え、Ｂｍｎ （０）は次式となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000037
　式（１４）は、次元ｄ＝２Ｎの場合のＢｍｎ （０）に対応するものであるが、これはｐＮの次元の量子状態を、等価なｐ次元量子状態（qudit）によるＮ粒子ｐ次元量子状態を考え、各ｐ次元量子状態に対して、フーリエ変換を行う操作と等価である。従って、ｄ＝２Ｎの場合の２次元アダマール変換をｐ次元フーリエ変換に置き換え、射影測定における |＋> 、|－> 状態のテンソル積をｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> の内のいずれかＮ個のテンソル積で置き換えれば、次元ｄ＝２ＮのＭＵＢの状態測定と同様の議論が成り立つ。
　一例として９次元の場合（ｄ＝３２で、Ｎ＝２、ｐ＝３）を考える。このときの、９次元の計算基底の量子状態は、|０>、|１>、|２>、|３>、|４>、|５>、|６>、|７>、|８> の９つである。これらの量子状態に対して、等価な２粒子３次元量子状態（Ｎ粒子ｐ次元状態）を考える。すなわち、等価な２粒子のｐ進数表現を利用して、計算基底の９つの量子状態に、２粒子のquditの量子状態の|００>、|０１>、|０２>、|１０>、|１１>、|１２>、|２０>、|２１>、|２２> の各状態を対応付ける。尚、次元ｄ＝２ＮのＭＵＢの場合で説明をした２次元で２進数であるqubitに対して、３次元以上のｐ進数である量子状態を扱う場合にはquditと言う。
　式（１３）で表される次元ｄ＝ｐＮの（ｐ奇素数）の有限体によるＭＵＢにおいて、ｐ＝３の場合の必要な射影測定は、３次元フーリエ変換基底のテンソル積状態となる。具体的には、３次元フーリエ変換基底の必要な射影は、下の３つの状態|ｆ０>、|ｆ１>、|ｆ２> である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000038

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000039

Figure JPOXMLDOC01-appb-I000040
　フーリエ変換基底の場合、式（１４）で表される基底状態が、上記３つの状態 |ｆ０>、|ｆ１>、|ｆ２> のテンソル積で表されることになる。したがって、次元ｄ＝ｐＮの（ｐ奇素数）の有限体によるＭＵＢの場合、図６の第２ユニットのＢｍｎ （０）の変換は、測定対象の量子状態に等価なＮ粒子ｐ次元量子状態をｐ進数表現での各桁に分解したもの、すなわち等価なquditのすべてに対して、ｐ次元のフーリエ変換を行う操作である。したがって、次元ｄ＝ｐＮの（ｐ奇素数）の有限体によるＭＵＢの状態測定装置では、図６の（ｂ）における第２のユニット５２が、ｐ次元のフーリエ変換状態測定ユニットとなる。
　図１９は、ｐ次元フーリエ変換状態測定ユニットの構成を説明する図である。図１９の（ａ）は、多腕遅延干渉計（マルチアーム遅延干渉計）による３次元フーリエ変換状態測定ユニットの構成を示している。ｐ次元タイムビン量子状態に対するフーリエ変換測定が、ｐ本の腕を持つ多腕遅延干渉計を用いて構成できることが知られている（非特許文献６）。フーリエ変換状態測定ユニット５００は、３本の腕を持つ多腕遅延干渉計であり、３本の入力導波路５０１、入力カプラ５０２、長さの異なる３本のアーム導波路５０３、出力カプラ５０４、３本の出力導波路５０５を含む。３本のアーム導波路５０３は、遅延時間０、τ、２τを持っている。
　フーリエ変換状態測定ユニット５００には、時間間隔τの入力連続パルス５０６が入力され、いずれの出力ポートからも、アーム導波路５０３の遅延時間に対応して、τの時間間隔で、重なり合った状態の出力パルス５０７が得られる。点線領域５０８において、入力連続パルス５０６のすべての入力パルスが現れ、３つの入力パルスの重ね合わせ状態となる。すなわち、入力光子は入力パルスの時間位置状態 |０>、|１>、|２> が相対位相０で等しく重ね合わさった、次式の状態に射影測定される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000041
　上の式（１６）の状態は、上述の３次元フーリエ変換基底の３つの状態の内の、式（１５－１）の基底状態 |ｆ０> と同一である。このとき、３入力３出力干渉計５００の入力ポート出力ポート間の位相関係にしたがって、残りのフーリエ変換基底の基底状態への射影測定が他の２つの出力ポートにおいて実現される。したがって、点線領域５０８の時刻において、いずれの出力ポートにおいて光子検出器で光子が検出されたかの情報によって、式（１５－１）～（１５－３）の３つの状態の内のどの状態の射影測定がされたのかを決定できる。
　上述の多腕遅延干渉計によるｐ次元フーリエ変換測定を、ｐＮ次元に拡張するには、例えば９次元であれば、図８でアダマール変換ユニットの構成で説明したように、複数の多腕遅延干渉計を２層（Ｎ層）のツリー状に配置して接続すれば良い。
　図１９の（ｂ）は、ツリー状の構成による多腕遅延干渉計による２粒子３次元フーリエ変換状態測定ユニットを示している。２粒子３次元フーリエ変換状態測定ユニット５１０は、１層目の多腕遅延干渉計５１１および２層目の多腕遅延干渉計５１２から構成される。１層目の多腕遅延干渉計５１１は、６τ、３τ、０の相対遅延を持った３本のアーム導波路を含む。多腕遅延干渉計５１１の３つの出力ポートのそれぞれに、２τ、τ、０の相対遅延を持った３本のアーム導波路からなる多腕遅延干渉計５１２が接続される。
　図１９の（ｂ）の３入力の多腕遅延ＭＺＩを２層構成で実現した次元ｄ＝９（３２）の構成の場合、２層目の３つのＭＺＩ５１２の出力ポートには、図示しない９つの光子検出器１～９が備えられる。各光子検出器での光子検出と射影される状態との関係は下の通りとなる。
　いずれの光子検出器において光子が検出されたかの情報にしたがって、９次元量子状態を等価な２粒子３次元量子状態としてquditで表現した場合に、等価なqudit上への式（１５－１）～（１５－３）で示される３次元量子状態のテンソル積のいずれの状態の射影測定が実施されたのかを決定できる。
　＊光検出器０で光子検出　-> 　 |ｆ０, ｆ０> 状態
　＊光検出器１で光子検出　-> 　 |ｆ０, ｆ１> 状態
　＊光検出器２で光子検出　-> 　 |ｆ０, ｆ２> 状態
　＊光検出器３で光子検出　-> 　 |ｆ１, ｆ０> 状態
　＊光検出器４で光子検出　-> 　 |ｆ１, ｆ１> 状態
　＊光検出器５で光子検出　-> 　 |ｆ１, ｆ２> 状態
　＊光検出器６で光子検出　-> 　 |ｆ２, ｆ０> 状態
　＊光検出器７で光子検出　-> 　 |ｆ２, ｆ１> 状態
　＊光検出器８で光子検出　-> 　 |ｆ２, ｆ２> 状態
　上述のように、図１９の（ｂ）の２粒子３次元フーリエ変換状態測定ユニットは、次元ｄ＝２Ｎの有限体によるＭＵＢの状態測定におけるツリー構造のアダマール変換状態測定ユニットの構成例１に対応するものである。アダマール変換状態測定ユニットの他の構成例（図８、図１０、図１１、図１２）についても、次元ｄ＝ｐＮの（ｐ奇素数）の有限体によるＭＵＢの状態測定のフーリエ変換状態測定ユニットに適用できる。
　図２０は、遅延線を利用した２粒子ｐ次元フーリエ変換状態測定ユニットの構成を示した図である。図２０のフーリエ変換状態測定ユニット５２０は、図１０の次元ｄ＝２Ｎの有限体によるＭＵＢの状態測定における遅延線を利用したアダマール変換状態測定ユニット９０の構成例２に対応するものである。フーリエ変換状態測定ユニット５２０は、２つの多腕遅延干渉計５２１、５２３がカスケード接続されている。すなわち１層目のｐ本のアーム導波路を含む多腕遅延干渉計５２１と、２層目のｐ本のアーム導波路を含む多腕遅延干渉計５２３が、遅延線部５２２を介してカスケード接続されている。１層目の多腕遅延干渉計５２１は、ｐ入力ｐ出力の入力側カプラ５２５、ｐ本の長さの異なるアーム導波路５２６、ｐ入力ｐ出力の出力側カプラ５２７で構成される。２層目の多腕遅延干渉計５３０についても、１層目と同様の構成で、ｐ入力ｐ出力の入力側カプラ５２９、ｐ本の長さの異なるアーム導波路５３０、ｐ入力ｐ出力の出力側カプラ５３１で構成される。１層目の多腕遅延干渉計５２１のｐ本のアーム導波路は、（ｐ－１）ｐτ・・２ｐτ、ｐτ、０の遅延時間を有する。２層目の多腕遅延干渉計５３０のｐ本のアーム導波路は、（ｐ－１）τ・・２τ、τ、０の遅延時間を有する。
　２つの層の多腕遅延干渉計の間は、異なる遅延時間を有するｐ本の遅延線を含む遅延線部５２２で接続されている。ｐ－１本の遅延線には、入力連続パルスの時間間隔τとは異なるτ´、τ´´・・τ´´´の遅延時間が設定される。
　図２０のフーリエ変換状態測定ユニット５２０では、上述の遅延線を含む構成によって、所定の観測時刻で、次元ｄ＝ｐ２個の入力連続パルスの重ね合わせ状態を生じる。図１０の（ｂ）での説明と同様、ｐ個の内いずれの光子検出器で光子が検出されたかの情報と、ｐ個の内の観測タイミングとの組み合わせによって、ｐ２次元量子状態の内のどの状態の射影測定が実施されたのかを決定できる。例えば図２０においてｐ＝３とすれば、２層目の多腕遅延干渉計の３つの出力に３つの光子検出器が備えられ、ｄ＝９（＝３２）個の入力連続パルスの重ね合わせ状態が生じる３つのタイミングの内のいずれかで、光子が検出されることになる。
　図１９および図２０で説明したフーリエ変換状態測定ユニットを、前段側に配置した位相変調部と組み合わせることで、図６の（ｂ）で説明したのと同じ構成の状態測定装置を実現できる。すなわち、図６の（ｂ）の測定装置５０－２と同様に、前段側の第１のユニットである位相変調部５１と、第２のユニットであるＢｍｎ （０）に相当する測定ユニット５２とで実現できる。ただしＢｍｎ （０）に相当する測定ユニット５２は、式（１４）に対応するものであって、受信されたｄ次元量子状態に対して、ｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> のＮ粒子分のテンソル積への射影測定を実施する。ここでは、受信されたｄ次元量子状態の基底状態が、ｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> の内のいずれかＮ個のテンソル積で表されている。図６の（ｂ）の第２のユニットが、計算基底に対しｄ＝２Ｎ次元のアダマール変換を行った状態への射影測定を行うのに対し、図１９、図２０のフーリエ変換状態測定ユニットを用いて、ｄ＝ｐＮ次元（ｐ奇素数）におけるｐ次元フーリエ変換基底のＮ粒子テンソル積状態への射影測定を行う。
　式（１）で示した従来技術のフーリエ変換基底 |ｆｎ> を用いた高次元のＭＵＢの状態生成および測定では、次元ｄの増加とともに高い位相分解能を必要とした点が問題であった。したがって、上述のｄ＝ｐＮ次元（ｐ奇素数）の有限体を利用したＭＵＢの状態測定において、図１９、図２０のフーリエ変換状態測定ユニットが利用される点で、奇異に感じられるかもしれない。しかしながら次の点に着目すれば、状態測定装置の第２のユニットとしてフーリエ変換状態測定ユニットを利用する利点が理解される。
　従来技術として、式（１）で示したフーリエ変換基底 |ｆｎ> を用いた高次元のＭＵＢでは、式（１）のｅの項を見れば明らかなように、次元ｄに対して１／ｄに比例した位相を持つ。ＭＵＢの状態生成には、次元ｄの増加に伴い非常に高い分解能での位相変調が要求され、状態測定装置についても同様である。
　一方で本開示の状態測定装置は、２つの行列のそれぞれに対応するユニット（部分系）に分解するとともに、測定ユニット５２は式（１４）の確率振幅に対応し、ｄ次元よりも小さなｐ次元フーリエ変換のテンソル積への射影測定を実施するものである。ｐ＝３の例では、射影測定に用いられる３次元フーリエ変換基底の３つの状態は、式（１４）から求められる式（１５－１）～（１５－３）による|ｆ０>、|ｆ１>、|ｆ２> からなる。式（１４）のｅの項を見れば明らかなように、次元ｄ＝ｐＮが増加していっても、次元ｄに依存するのではなく、その基数ｐにしたがって位相分解能が要求される。例えば本開示のフーリエ変換状態測定ユニットでは、基数ｐ＝５、次元ｄ＝５２＝２５の場合でも、必要な位相分解能は２πの１／５である。一方で、式（１）で示した従来技術のフーリエ変換基底 |ｆｎ> を用いた高次元のＭＵＢの状態測定では、必要な位相分解能は２πの１／２５である。ｐ＝１１の場合では、位相分解能が必要な位相分解能は２πの１／１１と１／１２１の極端な差となり、従来技術の状態測定装置と本開示のフーリエ変換状態測定ユニットを利用する状態測定装置との間には、必要な位相分解能に大きな差がある。
　本開示のフーリエ変換状態測定ユニットを利用する状態測定装置のこのような利点は、測定対象の次元ｄ＝ｐＮのｄ次元量子状態の測定方法として、ｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> のテンソル積状態への射影測定を実施することに帰着する。ここでｄ次元量子状態の基底状態が、ｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> の内のいずれかＮ個のテンソル積で表されている。
　同様に、先に述べた本開示のアダマール変換状態測定ユニットを利用する状態測定装置の利点も、測定対象の次元ｄ＝２Ｎのｄ次元量子状態の測定方法として、２次元の基底状態（ |＋>、|－> ）のテンソル積状態への射影測定を実施することに帰着する。ここで受信されたｄ次元量子状態の基底状態が、２つの基底状態（ |＋>、|－> ）同士のテンソル積で表されている。
　図４から図２０までの説明は、計算基底として時間の直交モードである光のタイムビン量子状態を利用して、有限体を利用したＭＵＢの状態生成および状態測定について述べてきた。しかしながら、タイムビン量子状態とは異なる光のモードを利用しても、式(２)～式（４）のｄ＝２Ｎ次元の状態および確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を式（１３）に置き換えたｄ＝ｐＮ次元（ｐ奇素数）のＭＵＢの状態を生成することができる。また異なる光のモードを利用しても、式（６）に示したように確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を２つの行列成分に分解して、図６の（ｂ）に示した対応する２つ測定ユニットでＭＵＢの状態測定装置を実現することができる。２つ測定ユニットは、位相変調部と、アダマール変換状態測定ユニット（ｄ＝２Ｎ次元）またはフーリエ変換状態測定ユニット（ｄ＝ｐＮ次元、ｐ奇素数）である。
　用語「光のモード」は、時間、周波数、空間等の自由度の種類を問わず、物理的に直交している光の状態のことをモードと言う。量子状態を物理的な要素へ実装するにあたっては、例えば次のような状態による光のモードがある。
（ａ）タイムビン（Time-bin）量子状態: パルスとして時間的に区別できる光の状態
（ｂ）周波数ビン（Frequency-bin）量子状態: 周波数的に区別できる光の状態
（ｃ）空間モードを利用した量子状態
　上の（ｃ）の空間モードを利用した量子状態については、例えば以下のものがある。
　- 偏波: 縦偏波／横偏波のように直交した２つの偏波状態を基にした光の状態
　- 軌道角運動量: ビーム断面での強度分布／位相分布により直交して識別可能な状態
　- ファイバ中の伝搬モード: ＴＥ／ＴＭモード等のようにファイバ中の直交した伝搬モードを利用した状態
　- 光路情報を利用したもの: マルチコアファイバのどのコアを伝搬するか、光学回路のどの光路を伝搬するか、などの情報で区別可能な光の状態
　本開示の状態生成装置および状態測定装置は、ＭＵＢを定義する式（２）～（５）、式（１３）を実装するための物理的な要素である光のモードの種類には限定されない。さらに測定装置において、２つに分解された行列を規定する式（６）、式（７）、式（１３）による２つの測定ユニットの実装は、物理的な要素である光のモードの種類に限定されない。ＭＵＢを定義している式（２）～（４）、式（１３）は、電場や磁場などの物理的な実体を記述するものではない。図４から図２０までの説明は、上の各式における|０>、|１>、|２>、・・・|ｄ－１> のような量子状態を、物理的な光のモードの１つであるタイムビン量子状態にマッピングした場合のものである。したがって、状態生成および状態測定に利用される上述の式は、光のモードの種類に関係なく完全に共通である。タイムビン量子状態以外の光のモードの利用例として、次に、有限体を利用した高次元ＭＵＢの状態を、周波数ビン量子状態を利用した例を示す。
[周波数ビン状態による状態生成装置の実装]
　これまでは、本開示の有限体を利用したＭＵＢの量子状態生成および測定装置では、計算基底として、時間の直交モードを用いるタイムビン量子状態の場合について説明してきた。上述のように、ＭＵＢを定義する式（２）～（５）、式（１３）の量子状態の生成を実装するための物理的な要素である光のモードの種類には限定がない。測定装置において、式（６）、式（７）、式（１３）に基づいた２つの測定ユニットによる実装についても、同様に光のモードに依らない。
　計算基底としてタイムビン量子状態とは異なる別の光のモードに、計算基底として光の周波数の直交モードを用いる周波数ビン量子状態がある（非特許文献７、８）。周波数ビン量子状態は、所定の時間期間内に存在する異なる周波数の複数の光を計算基底として利用する。したがって、ｄ次元の周波数ビン量子状態の光では、図４のタイムビン量子状態の生成装置で得られる時間軸上に並んだｄ個のパルス位置ではなく、周波数軸上に並んだｄ個の周波数位置のいずれかにある光を計算基底として扱う。各光の周波数幅が周波数間隔Δｆよりも十分に狭い限り、ｄ個の光を区別することができるので、複数の光は等周波数間隔である必要はない。簡単のため以下の説明では、計算基底の光は、等周波数間隔のいずれかの位置であって、式（２）～（５）で生成される高次元量子状態は、計算基底の状態の重ね合わせとして表される。
　図２１は、本開示の有限体を利用したＭＵＢの周波数ビン量子状態による状態生成装置の構成を示した図である。状態生成装置６００は、位数ｄ＝２Ｎの有限体を用いたＭＵＢであって、式（３）～（５）で規定される状態を生成する。図４に示したタイムビン量子状態による状態生成装置３０と比較すると、位相変調器６０２を備える点でも共通する。図４に示したタイムビン量子状態の状態生成装置の場合との相違は、第１に、位相変調器６０２が異なる時刻ではなく異なる周波数の光に対して独立に変調を加える能力を持っている点である。第２に、式（５）の計算基底の状態を周波数ビン量子状態で生成するために、図４における強度変調器３１に代えて、可変周波数フィルタ６０１を備える点である。
　状態生成装置６００へは、少なくとも計算基底の光の周波数をすべて含む、複数の周波数の光６０４が入力される。入力光６０４を連続光として、可変周波数フィルタ６０１または位相変調器６０２を一定の時間期間のみ出力するように制御することができる。また、入力光６０４が周波数ビン状態に対応する一定の時間期間のみ入力され、これに同期して、可変周波数フィルタ６０１および位相変調器６０２を同期して動作させても良い。ｄ個の異なる周波数を含む入力光６０４に対して、位相変調器６０２によって周波数毎に異なる位相変調を与えることで、所定のＭＵＢの量子状態６０７が得られる。変調信号生成器６０３は、基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報を元に、ｄ個の異なる周波数を含む入力光６０５に対して、式（４）の確率振幅に従った位相変調を加えるための変調信号（制御信号）６０６を生成する。
　図２１の構成の生成装置６００によって、ｄ個の異なる周波数の複数の光における周波数軸上の一端に位置する光を基準とした相対位相が４つの値のみを有する、有限体を利用したＭＵＢの高次元量子状態を生成できる。次元ｄ＝２Ｎが増加する場合でも、各光は高々４つの位相しか取り得ないため、タイムビン量子状態と全く同様に、位相分解能の所要条件を大幅に緩和できる。
　図２１の状態生成装置６００では、可変周波数フィルタ６０１は、入力光６０５の内の所望の１つの周波数の光のみを選択して計算基底の状態を生成するのに利用される。ここで、位相変調器６０２が振幅変調機能も併せ持ったものにすれば、可変周波数フィルタ６０１を省略することもできる。すなわち、異なる周波数を有する複数の光に対して、周波数毎に独立に位相および振幅を変調できる光変調器のみによって、状態生成装置６００が実現できる。この場合、タイムビン量子状態における図５の光ＩＱ変調器４１を、このような周波数毎に独立に位相および振幅を変調できる光変調器に置き換えれば良い。
　上述の位相および振幅を変調できる光変調器は、例えば非特許文献９にあるような空間光学部品およびＬＣＯＳ（Liquid crystal on silicon）を組み合わせたもので実現できる。すなわち、入力ファイバからの入力光を回折格子でｘ方向に分離し、さらにＬＣＯＳの素子構成面に入力して、ｘ方向に位相変調を加えて、出力ファイバに戻すことで周波数毎に位相変調を与える。振幅変調は、例えば変調光と出力ファイバへの結合率を何らかの手段で変えることで実現できる。本開示の周波数ビン状態を利用したＭＵＢの状態生成装置では、周波数毎に独立に位相および振幅を変調できる限り、光変調器の実現方法・構成は問わない。
　次元ｄ＝ｐＮ（ｐ：奇素数）の有限体を利用したＭＵＢの状態生成装置の場合でも、上述の状態生成装置６００の構成を全く同様に適用できる。位相変調器６０２への設定位相が異なるため、変調信号生成器６０３からに加える変調信号６０６が、次元ｄ＝２Ｎの場合と異なるだけである。
[周波数ビン状態による状態測定装置の実装]
　周波数ビン状態における有限体を利用したＭＵＢの状態測定装置も、図６～図７で述べたタイムビン量子状態の構成の一部の構成要素を置き換えることで実現できる。また、図８～図１４で示したタイムビン量子状態の場合の様々な構成のバリエーションも同様に適用できる。
　タイムビン量子状態の状態測定装置で述べたのと同様、周波数ビン状態の状態測定装置でも、有限体を利用したＭＵＢの確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を表す式（４）は共通している。したがって、式（６）におけるＤｍｍ （ｒ）が対角なユニタリ行列となり、周波数ビン量子状態の場合、Ｄｍｍ （ｒ）は異なる周波数の複数の光のそれぞれへの位相変調に対応する。式（６）のＤｍｍ （ｒ）の対角ユニタリ行列に相当する操作を行う第１のユニットを、周波数ビン状態の計算基底に対する位相変調器として実現できる。
　さらに、式（６）のＢｍｎ （０）に相当する操作は、アダマール変換基底への射影測定を行う第２のユニットとして実現できる。周波数ビン状態におけるＭＵＢの状態測定装置は、アダマール変換行列の操作を行う測定ユニットの前段側に、式（７）に従った位相変調を実施するユニットを備えた構成となる。ＭＵＢの確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）から分解された２つの行列に対応したユニットによって、式（４）の確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を持つ基底（ラベルｒのＭＵＢ）への測定が実現できる。ここで、周波数ビン状態におけるアダマール変換ユニットの操作を図７のタイムビン量子状態における操作と対比して説明する。
　図２２は、周波数ビン量子状態におけるアダマール変換ユニットの操作を概念的に説明する図である。図２２の（ａ）は、周波数ビン量子状態について、ｄ次元量子状態から等価な複数粒子の状態への置き換えを説明している。次元ｄ＝４、すなわち４次元量子状態６１１について考える。周波数軸上に周波数間隔Δｆで並んだ光の各位置は、計算基底の４つの量子状態|０>、|１>、|２>、|３> に対応する。ここで、この４次元量子状態を等価な次元を持つＮ粒子２次元量子状態として考える。タイムビン量子状態の場合と同様に、４つの量子状態６１１を、２ビット（Ｎ＝２）のビット列表現として、|００>、|０１>、|１０>、|１１> の４つの量子状態６１２のように置き換えて考えることができる。
　図２２の（ｂ）は、次の段階としてＮ粒子２次元量子状態をビット毎に分解する操作を説明している。２粒子２次元状態である４つの量子状態６１２は、各桁のビットに着目して桁毎に２つの状態に分解すると、異なる周波数差Δｆを持つ２つのブロックに分けられる。量子状態６１２の１桁目に着目すれば、状態 |０> のブロック６１３－１と状態 |１> のブロック６１３－２に分けられ、２つのブロックの周波数差はΔｆである。また量子状態６１２の２桁目に着目すれば、状態 |０> のブロック６１４－１と状態 |１> のブロック６１４－２に分けられ、２つのブロックの周波数差は２Δｆである。周波数ビン量子状態における第２ユニットのＢｍｎ （０）の変換は、図２２の（ｂ）に示した測定対象の量子状態に等価なＮ粒子２次元量子状態をビット毎に分解したもの、すなわち等価なqubitのすべてに対して、２次元のアダマール変換を行う操作となる。これについても、タイムビン量子状態の場合と、周波数ビン量子状態の場合とで何ら差異がない。タイムビン量子状態との相違点は、異なる周波数を持つ複数の光のすべての状態の重ね合わせ状態を実現するための干渉構造の構成にある。
　したがって、周波数ビン量子状態におけるアダマール変換ユニットは、周波数ビン量子状態に適合した構成で実現し、異なる干渉状態を出力する位置（光子検出位置）と、対応する重ね合わせ状態への射影測定とを対応付ければ良い。アダマール変換ユニットの構成は、タイムビン量子状態における構成の一部を周波数ビン量子状態に適合した構成に置き換えれば簡単に実現できる。異なる周波数を持つ複数の光を重ね合わせるためには、タイムビン量子状態における時間遅延を生じさせるための構成を、周波数シフトを生じさせる構成に置き換えれば良い。また、異なる干渉状態を起こすための構成は、タイムビン量子状態で説明した構成例１～４における干渉構造の配置バリエーションをそのまま適用できる。
　図２３は、周波数ビン量子状態におけるＭＵＢ状態測定装置の構成を示した図である。図２３の（ａ）の状態測定装置７００－１は、図６の（ａ）に示したタイムビン量子状態の状態測定装置５０－１と同一の構成であって、式（４）で表される確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を測定するものであり、入力される測定対象の光が、周波数軸上に周波数間隔Δｆで並んだ光７０５である点のみ異なっている。量子状態の測定装置７００－１は、例えば周波数ビン量子状態による対象となる入力光７０５に対して、式（４）で表される確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を持った量子状態 |ψｎ （ｒ）> のラベルｎを識別する測定装置５０－１と理解することができる。
　図２３の（ｂ）の状態測定装置７００－２は、上述の２つのユニットを組み合わせた構成の状態測定装置７００－２を示している。測定装置７００－２は、前段側の第１のユニットであるＤｍｍ （ｒ）に相当する光変調部７０１と、第２のユニットであるＢｍｎ （０）に相当する測定ユニット７０２を備えている。周波数ビン量子状態の測定装置７００－２が、式（６）の対角なユニタリ行列およびアダマール変換行列に対応する２つのユニットから成る点で、図６の（ｂ）のタイムビン量子状態の状態測定装置と共通する。
　状態測定装置７００－２を図６の（ｂ）に示したタイムビン量子状態による状態測定装置５０－２と比較すると、第１のユニット７０１である光変調器７０４が異なる周波数の光に対して独立に変調を加える能力を持っている点で相違する。したがって、状態測定装置７００－２の光変調器７０４は、周波数ビン量子状態のＭＵＢの状態生成装置６００における位相変調器６０２と同一のものを利用できる。変調信号生成器７０３は、位相変調器７０４へ変調信号を与える。タイムビン量子状態の場合と同様に、光変調部７０４では、０番目の基底（ラベル０）からｒ番目の基底（ラベルｒ）への変換ではなく、ｒ番目の基底から０番目の基底への変換が必要となる。このため測定装置では、式（６）で表される変換の逆変換、すなわち式（６）のＤｍｍ （ｒ）の複素共役となる位相変調を行う。
　状態測定装置７００－２の第２のユニットである行列Ｂｍｎ （０）に相当する測定は、測定対象とする周波数ビン量子状態を、等価なより低次元の２次元量子状態（qubit）に分解して、これらの状態に対し２次元のアダマール変換を行った状態への射影測定として実施できる。
　図２４は、周波数ビン量子状態におけるアダマール変換状態測定ユニットの構成を示した図である。図２４のアダマール変換状態測定ユニット８００は、タイムビン量子状態における構成例３のアダマール変換状態測定ユニット１００に対応するものである。アダマール変換状態測定ユニット８００は、３つの干渉構造８０１－１～８０１－３がカスケード接続され、干渉構造の間（層間）を並列に接続する経路から構成されている点で、構成例３のアダマール変換状態測定ユニット１００と類似している。しかしながら、対象となる周波数ビン量子状態の異なる周波数を有する複数の光８０６（ｄ＝８）に対して、複数の光の重ね合わせ状態を実現するために、タイムビン量子状態の場合とは異なる以下述べる構成を持つ。以下の説明の「干渉構造」はタイムビン量子状態における干渉計（ＭＺＩ）に対応するものであって、いずれも光カプラを含んでおり、分岐された入力光を適切に操作することで、干渉を生じさせることができる。
　１層目の干渉構造８０１－１は、波長分離フィルタ８０２－１と、２つの分岐経路ａ、ｂと、光カプラ８０４－１を含み、一方の分岐経路ａには周波数シフタ８０３－１が備えられている。波長分離フィルタ８０２－１は、周波数ビン状態にある周波数間隔Δｆで配置された８つの異なる周波数の光８０６に対して、低周波側の４つの光を分岐経路ａに、高周波側の４つの光を分岐経路ｂに分離する。分岐経路ａの周波数シフタ８０３－１は、低周波側の４つの光に対して、４Δｆの周波数シフトを与える。このとき光カプラ８０４－１の出力において、分岐経路ａを伝搬した複数の光と、分岐経路ｂを伝搬した複数の光との間の位相差は０に設定される。
　干渉構造の隣り合う層間は、異なる周波数シフト量を持つ２つの経路によって接続される。例えば１層目の干渉構造８０１－１は、層間を接続する分岐経路ｃと分岐経路ｄによって、２層目の干渉構造８０１－２と接続される。分岐経路ｄでは、周波数シフタ８０５－１によって前層側の周波数シフト量と同じ４Δｆの周波数シフトが与えられる。２層目および３層目間、３層目および最終段の波長分離フィルタ８０２－４間においても、それぞれ、一方の分岐経路において前層側と同じの周波数シフト２Δｆ、Δｆが与えられる。尚、図２４の（ａ）のアダマール変換状態測定ユニット８００は、図１１の（ａ）のタイムビン量子状態の場合の構成と、構成要素およびその接続の対応関係がわかるように描いている。３つの干渉構造における分岐経路を含む構成は、あたかも長さの異なる導波路のように描かれているが、２つの分岐経路ａ、ｂには時間遅延差は存在しないことに留意されたい。２つの干渉構造間を接続する分岐経路ｃ、ｄについても、同様に時間遅延差は存在しない。上述の波長分離フィルタは、例えばＷＤＭフィルタを利用することができる。
　上述の３層の周波数シフト要素を含む干渉構造によって、周波数の異なる８つの入力光は、計算基底の８つの状態（次元ｄ＝２３）を等価な３粒子２次元量子状態（ｑ２, ｑ１, ｑ０）に対応させたときの、各qubitの |０>、|１> に合わせて、各層の波長分離フィルタの経路が決定されている。まず波長分離フィルタ８０２－１において、８つの入力光は、等価なｑ２ が|０> に対応する周波数の光が分岐経路ａを通り、|１> に対応する周波数の光が分岐経路ｂを通るように分離される。上側の分岐経路ａを通る光は、周波数シフタ８０３－１によって、分岐経路ｂに対して相対的に４Δｆの周波数シフトを与えられる。２つの分岐経路へ分離された２組の光は、光カプラ８０４－１を用いて相対位相０で干渉する。光カプラ８０４－１におけるこの干渉の結果、カプラ出力の分岐経路ｃに出力されるか、分岐経路ｄに出力されるかが、等価なqubitすなわちｑ２に対する|０>、|１> の測定の情報を与える。
　１層目と同様に２層目、３層目の各干渉構造でも、経路分離、周波数シフト、干渉を繰り返し行い、最終的な干渉計出力点８１０において、８つの入力光８０６がいずれの周波数の光として観測されるかにより、高次元アダマール変換基底のどの重ね合わせ状態に射影されるのかを決定できる。
　図２４の（ｂ）は、干渉計出力点８１０において観測される重ね合わされた光の周波数と、検出される３粒子２次元量子状態との対応関係を示す図である。図１１の（ｂ）で示したタイムビン量子状態における構成例３の場合の対応関係と同様であって、複数の光が１つの周波数に重ね合わせられ、干渉した状態の光８１１を示している。タイムビン量子状態の場合との相違点は、光子の観測の事実を、光子検出の検出時刻（ｔ０、ｔ１，・・ｔ７）で識別するのか、検出周波数（ｆ０、ｆ１，・・ｆ７）で識別するのかの点だけにある。例えば、点線領域８１２で表された８つの光の重ね合わせ状態の周波数ｆ０で、光子が観測されれば、|＋,＋,＋> 状態への射影測定がされたと決定できる。同様に、点線領域８１３で表された周波数ｆ１で、光子が観測されれば、|＋,＋,－> 状態への射影測定がされたと決定できる。
　８次元量子状態を等価な３粒子２次元量子状態にqubit表現した場合、等価なqubit上への２次元量子状態 |＋>、|－> の組み合わせのいずれの状態への射影測定が実施されたのかを、以下のように決定できる。
　＊周波数ｆ０での光子検出　->  |＋,＋,＋> 状態
　＊周波数ｆ１での光子検出　->  |＋,＋,－> 状態
　＊周波数ｆ２での光子検出　->  |＋,－,－> 状態
　＊周波数ｆ３での光子検出　->  |＋,－,＋> 状態
　＊周波数ｆ４での光子検出　->  |＋,－,＋> 状態
　＊周波数ｆ５での光子検出　->  |－,－,－> 状態
　＊周波数ｆ６での光子検出　->  |－,＋,－> 状態
　＊周波数ｆ７での光子検出　->  |－,＋,＋> 状態
　図２４のアダマール変換状態測定ユニット８００では、光子検出器８０８において光子検出がされる周波数を特定できなければならない。一般に光子検出器は周波数識別能力を持たないが、例えば高分散ファイバ８０７を用いて周波数情報を時間情報に変換することで、光子検出された周波数を測定できる。また、干渉計出力点８１０でさらに波長分離フィルタを用いて周波数の識別を行い、各周波数に対して対応する光子検出器を備えることで、簡単に最終的な射影測定を実装できる。
　したがって周波数ビン量子状態におけるアダマール変換状態測定ユニットは、Ｎ層にツリー状に配置された複数の光干渉構造であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した周波数シフトが与えられる、複数の光干渉構造を含む第１の構成（図８の構成例１に相当）、Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉構造であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した周波数シフトが与えられる複数の光干渉構造と、隣接する２つの層の間の接続に並列に、前層の前記光干渉構造の前記周波数シフトに対応する周波数シフトが設定された１つ以上の経路とを含む第２の構成（図１０、１１の構成例２、３に相当）、またはループ状に接続された光干渉構造であって、周回数に対応した可変の周波数シフトが与えられる光干渉構造を含む第３の構成８００（図１２の構成例４に相当）のいずれかを含むものとして実施できる。
　上述の図２４の構成では、各層の干渉構造において経路分離、周波数シフト、干渉を繰り返し行うことにより、異なる周波数にあった複数の光を１つの周波数に重ね合わせる操作を実施していることが理解されるだろう。そして、１つの干渉構造からの干渉出力を、測定対象の高次元量子状態と等価なqubitの各々に対する|＋>、|－>射影測定に対応付けている。この点でも、アダマール変換状態測定ユニットの動作は、タイムビン量子状態と周波数ビン量子状態の間で共通している。さらに干渉構造は、入力光を２以上の経路に分離する要素と、少なくとも一方の経路の光に対して直交モードを変換またはシフトする要素と、分離した光を合波し干渉させる要素からなる。これらの要素の具体構成は、タイムビン量子状態または周波数ビン量子状態などの光のモードに応じて適合させれば良く、下の表１となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-I000042

表１：干渉構造の要素の対比
　上述の干渉構造を複数の層で使用してツリー構造（構成例１）にしたり、１つの干渉構造を再利用したり（構成例２）、カスケードに接続したり（構成例３）、ループ状に構成したり（構成例４）することも、光のモードに関係なく共通に可能である。
　上述のように、周波数ビン量子状態を利用した有限体によるＭＵＢの状態測定装置は、式（６）のＤｍｍ （ｒ）の対角ユニタリ行列に相当する第１のユニットと、式（６）のＢｍｎ （０）に相当するアダマール変換基底への射影測定を行う第２のユニットとして実現できる。測定対象の量子状態の確率振幅を、対角ユニタリ変換と、高次元アダマール変換に分解し、それぞれの部分系のユニットに分解して実装している点で、光のモードに関わらず共通の構成上の特徴を持っている。対角ユニタリ変換に相当する操作を、次元ｄ＝２Ｎであれば利用する光の直交モードに対する高々４値の位相変調として実装する。従来技術の位相分解能の要請を緩和することができる。
　上述の論議は、次元ｄ＝ｐＮ（ｐ：奇素数）の場合でも同様に成り立ち、式（１３）による確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を、Ｄｍｍ （ｒ）の対角ユニタリ行列に相当する第１のユニットと、式（１４）のＢｍｎ （０）のフーリエ変換行列のテンソル積に対応する第２のユニットとして実現できる。図１９および図２０における多腕干渉計の構成は、時間遅延を周波数シフトに置き換えれば、周波数ビン量子状態に適用できることは明らかである。次元ｄ＝ｐＮであれば利用する光の直交モードに対する高々ｐ値の位相変調として実装可能であり、従来技術の位相分解能の要請を緩和する効果も同様である。
　上述の本開示の状態測定装置の構成の特徴は、その他の軌道角運動量、光路情報やマルチモードファイバ中の空間モードなどを利用した種々の高次元量子状態に対しても適用できるのは言うまでもない。
　本発明は、量子鍵配送や量子状態トモグラフィーなどの量子情報処理および量子通信に利用できる。

Claims (13)

  1. 　直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態への射影測定を行う測定装置であって、
    　ｄ＝２Ｎ（Ｎは２以上の自然数）であり、
    　前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000001
    　確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を、対角ユニタリ行列およびアダマール変換行列へ分解した場合に、
    　前記対角ユニタリ行列に対応し、受信されたｄ次元量子状態の前記計算基底の状態にそれぞれ位相変調を与える位相変調ユニットと、
    　前記アダマール変換行列に対応し、前記ｄ次元量子状態の前記ラベルｎを決定する測定ユニットと
    　を備えた高次元量子状態の測定装置。
  2. 　位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000002
    　前記確率振幅は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000003
    によって表され、４つの位相状態のみを取り、
    　前記測定ユニットは、前記ｄ次元量子状態と等価なＮ粒子２次元量子状態の各々に対する２つの状態 |＋＞、|－＞ を用いて、ｒ＝０の基底を構成する状態が前記２つの状態|＋＞、|－＞のテンソル積によって表され、前記テンソル積への射影測定を行う、請求項１に記載の測定装置。
  3. 　直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態への射影測定を行う測定装置であって、
    　ｐを奇素数として、ｄ＝ｐＮ（Ｎは自然数）であり、
    　前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000004
    　確率振幅Ｂｍｎ （ｒ）を、対角ユニタリ行列およびフーリエ変換行列のテンソル積へ分解した場合に、
    　前記対角ユニタリ行列に対応し、受信されたｄ次元量子状態の前記計算基底の状態にそれぞれ位相変調を与える位相変調ユニットと、
    　前記フーリエ変換行列に対応し、前記ｄ次元量子状態の前記ラベルｎを決定する測定ユニットと
    　を備えた高次元量子状態の測定装置。
  4. 位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000005
    　前記確率振幅は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000006
    によって表され、ｐ個の位相状態のみを取り、
    　前記測定ユニットは、前記ｄ次元量子状態と等価なＮ粒子ｐ次元量子状態の各々に対するｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> を用いて、ｒ＝０の基底を構成する状態が前記ｐ個の状態 |ｆ０>、|ｆ１>、・・|ｆｐ－１> の内のいずれかＮ個のテンソル積で表され、前記テンソル積への射影測定を行う請求項３に記載の測定装置。
  5. 　前記直交する光の状態は、
    　ｄ個の連続パルス列の各々のパルスを前記計算基底の状態に対応させ、時間の直交モードを利用するタイムビン量子状態、または
    　異なる周波数を有する光を前記計算基底の各状態に対応させ、周波数の直交モードを利用する周波数ビン量子状態
    　のいずれかである、請求項１乃至４いずれかに記載の測定装置。
  6. 　前記直交する光の状態はタイムビン量子状態であって、
    　前記測定ユニットは、
    　Ｎ層にツリー状に配置された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている、複数の光干渉計を含む第１の構成、
    　　Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている複数の光干渉計と、
    　　隣接する２つの層の間の接続に並列に、前層の前記光干渉計の前記遅延時間に対応する遅延時間が設定された１つ以上の遅延線とを含む第２の構成、または
    　ループ状に接続された光干渉計であって、周回数に対応した可変の遅延時間が与えられている光干渉計を含む第３の構成
    　のいずれかを含む請求項５に記載の測定装置。
  7. 　ｐが奇素数であって、次元がｄ＝ｐＮの場合、前記光干渉計は、ｐ個の異なる長さのアーム導波路を含む多腕干渉計で構成される請求項６に記載の測定装置。
  8. 　前記直交する光の状態は周波数ビン量子状態であって、
    　前記測定ユニットは、
    　　Ｎ層にツリー状に配置された複数の光干渉構造であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した周波数シフトが与えられる、複数の光干渉構造を含む第１の構成、
    　　Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉構造であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した周波数シフトが与えられる複数の光干渉構造と、
    　　隣接する２つの層の間の接続に並列に、前層の前記光干渉構造の前記周波数シフトに対応する周波数シフトが設定された１つ以上の経路とを含む第２の構成、または
    　ループ状に接続された光干渉構造であって、周回数に対応した可変の周波数シフトが与えられる光干渉構造を含む第３の構成
    　のいずれかを含む請求項５に記載の測定装置。
  9. 　直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態の生成装置であって、
    　ｄ＝２Ｎ（Ｎは２以上の自然数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000007
    　位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000008
    　確率振幅は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000009
    によって表され、４つの位相状態のみを取る状態生成装置。
  10. 　直交する光の状態からなるｄ次元量子状態の１つの計算基底｛｜ｍ>|ｍ∈{０，１，・・，ｄ－１}｝と、前記計算基底に対して非直交であってラベルｎ（０，１，・・，ｄ－１）の量子状態が規定されるラベルｒ（０以上の整数）の相互不偏基底とによって規定される高次元量子状態の生成装置であって、
    　ｄ＝ｐＮ（Ｎは自然数、ｐは奇素数）であり、前記ラベルｎの量子状態は、次式によって表され
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000010
    　位数ｄの有限体の基底となる元をｆｉとし、対称行列Ａ（ｊ）が次式を満たすものとするとき
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000011
    　確率振幅は、
    Figure JPOXMLDOC01-appb-I000012
    によって表され、ｐ個の位相状態のみを取る状態生成装置。
  11. 　前記直交する光の状態は、ｄ個の連続パルス列の各々のパルスを前記計算基底の状態に対応させ、時間の直交モードを利用するタイムビン量子状態であり、
    　前記計算基底に属する量子状態である単一パルスの状態と、前記計算基底と非直交な基底に属する量子状態であるｄ個のパルスからなる状態を切り替える振幅変調器と、
    　基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報に基づいて、前記ｄ個の連続パルス列の各パルスに対して、位相変調を加える位相変調器と
    　を備えた請求項９または１０に記載の状態生成装置。
  12. 　前記直交する光の状態は、周波数軸上で異なる周波数を有するｄ個の光を前記計算基底の各状態に対応させ、周波数の直交モードを利用する周波数ビン量子状態であり、
    　前記計算基底に属する量子状態である単一周波数の状態と、前記計算基底と非直交な基底に属する量子状態であるｄ個の周波数からなる状態を切り替える周波数選択フィルタと、
    　基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報に基づいて、前記異なる周波数を有するｄ個の光の各々に対して、位相変調を加える位相変調器と
    　を備えた請求項９または１０に記載の状態生成装置。
  13. 　前記直交する光の状態は、ｄ個の連続パルス列の各々のパルスを前記計算基底の状態に対応させ、時間の直交モードを利用するタイムビン量子状態であり、
    　入力側から出力側に向かってＮ層に逆ツリー状に配置された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている、複数の光干渉計を含む第１の構成、
    　Ｎ層にカスケード接続された複数の光干渉計であって、各々に対して前記Ｎ層の層位置に対応した遅延時間が与えられている複数の光干渉計を含む第２の構成、または、
    　ループ状に接続された光干渉計であって、周回数に対応した可変の遅延時間が与えられている光干渉計を含む第３の構成
    　の内のいずれかの構成と、
    　前記いずれかの構成の最後段に接続され、基底の情報ｒ、基底の中の状態のラベルｎの情報に基づいて、前記各々のパルスに対して、位相変調を加える位相変調器と
    　を備えた請求項９または１０に記載の状態生成装置。
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WO2011004836A1 (ja) * 2009-07-08 2011-01-13 株式会社フジクラ 光ファイバ通信システム
WO2018134799A1 (en) * 2017-01-23 2018-07-26 University Of The Witwatersrand, Johannesburg A method and system for hybrid classical-quantum communication

Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2011004836A1 (ja) * 2009-07-08 2011-01-13 株式会社フジクラ 光ファイバ通信システム
WO2018134799A1 (en) * 2017-01-23 2018-07-26 University Of The Witwatersrand, Johannesburg A method and system for hybrid classical-quantum communication

Non-Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
RIKAKO UCHIYAMA: "Ryoshi rikigaku no kiso to ryoshi ango ryoshi tsushin channel no shiten = [New Developments in Quantum Information Theory]", SURI KAGAKU - MATHEMATICAL SCIENCES, SAIENSUSHA, TOKYO, JP, vol. 34, no. 12, 1 December 1996 (1996-12-01), JP , pages 53 - 61, XP002974658, ISSN: 0386-2240 *

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