WO2022064577A1 - 暗号システム、暗号化装置、復号装置及び鍵生成装置 - Google Patents

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克幸 高島
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    • H04L9/0861—Generation of secret information including derivation or calculation of cryptographic keys or passwords

Definitions

  • This disclosure relates to the same type of mapping code.
  • homologous mapping ciphers such as SIDH (Supersingular Isogeny Diffie-Hellman key exchange) and SIKE (Supersingular Isogeny Key Encapsulation).
  • SIDH Supersingular Isogeny Diffie-Hellman key exchange
  • SIKE Supersingular Isogeny Key Encapsulation
  • Non-Patent Document 1 describes a SIDH-type homologous isogeny encryption method, which is based on the difficulty of the basic homologous isogeny problem without auxiliary information.
  • the decryption method of the code described in Non-Patent Document 2 is used for the decryption algorithm. Therefore, it takes a lot of time to decrypt. It is an object of the present disclosure to make it possible to reduce the time required for decryption in the SETA encryption method.
  • the encryption system related to this disclosure is It is a cryptographic system that performs cryptographic processing using the abelian surface A 0 as the starting point and the abelian surface As as the public key, with the Richello homologous mapping sequence ⁇ s as the secret key. Encryption that transfers the abelian surface As, which is a public key, to calculate the abelian surface Am, and sets the abelian surface Am as a ciphertext, using the Richello homologous mapping sequence ⁇ m generated by encoding the plaintext m .
  • the secret key is the Richello homologous mapping sequence ⁇ s with the abelian surface A 0 as the starting point and the abelian surface As as the ending point, and the abelian surface As is the public key.
  • FIG. 1 The block diagram of the encryption system 1 which concerns on Embodiment 1.
  • FIG. The block diagram of the key generation apparatus 10 which concerns on Embodiment 1.
  • FIG. The block diagram of the encryption apparatus 20 which concerns on Embodiment 1.
  • FIG. The block diagram of the decoding apparatus 30 which concerns on Embodiment 1.
  • Explanatory drawing of the SETA encryption method An explanatory diagram of a species number 2 SETA encryption method according to the first embodiment.
  • the flowchart which shows the operation of the key generation apparatus 10 which concerns on Embodiment 1.
  • the flowchart which shows the operation of the encryption apparatus 20 which concerns on Embodiment 1.
  • FIG. 1 The flowchart which shows the operation of the decoding apparatus 30 which concerns on Embodiment 1.
  • the block diagram of the key generation apparatus 10 which concerns on modification 1.
  • FIG. The block diagram of the encryption apparatus 20 which concerns on modification 1.
  • FIG. The block diagram of the decoding apparatus 30 which concerns on modification 1.
  • the encryption system 1 includes a key generation device 10, an encryption device 20, and a decryption device 30.
  • the key generation device 10, the encryption device 20, and the decryption device 30 are connected to each other via a communication path 40 such as a LAN (Local Area Network) and the Internet.
  • a communication path 40 such as a LAN (Local Area Network) and the Internet.
  • the configuration of the key generation device 10 according to the first embodiment will be described with reference to FIG.
  • the key generator 10 is a computer.
  • the key generation device 10 includes hardware for a processor 11, a memory 12, a storage 13, and a communication interface 14.
  • the processor 11 is connected to other hardware via a signal line and controls these other hardware.
  • the key generation device 10 includes an acquisition unit 111, a mapping calculation unit 112, and a key setting unit 113 as functional components.
  • the functions of each functional component of the key generator 10 are realized by software.
  • the storage 13 stores a program that realizes the functions of each functional component of the key generation device 10. This program is read into the memory 12 by the processor 11 and executed by the processor 11. As a result, the functions of each functional component of the key generation device 10 are realized.
  • the configuration of the encryption device 20 according to the first embodiment will be described with reference to FIG.
  • the encryption device 20 is a computer.
  • the encryption device 20 includes hardware of a processor 21, a memory 22, a storage 23, and a communication interface 24.
  • the processor 21 is connected to other hardware via a signal line and controls these other hardware.
  • the encryption device 20 includes an acquisition unit 211 and an encryption unit 212 as functional components.
  • the functions of each functional component of the encryption device 20 are realized by software.
  • the storage 23 stores a program that realizes the functions of each functional component of the encryption device 20. This program is read into the memory 22 by the processor 21 and executed by the processor 21. As a result, the functions of each functional component of the encryption device 20 are realized.
  • the decoding device 30 is a computer.
  • the decoding device 30 includes hardware such as a processor 31, a memory 32, a storage 33, and a communication interface 34.
  • the processor 31 is connected to other hardware via a signal line and controls these other hardware.
  • the decoding device 30 includes an acquisition unit 311 and a decoding unit 312 as functional components.
  • the functions of each functional component of the decoding device 30 are realized by software.
  • the storage 33 stores a program that realizes the functions of each functional component of the decoding device 30. This program is read into the memory 32 by the processor 31 and executed by the processor 31. As a result, the functions of each functional component of the decoding device 30 are realized.
  • Processors 11, 21, and 31 are ICs (Integrated Circuits) that perform processing. Specific examples of the processors 11, 21, and 31 are a CPU (Central Processing Unit), a DSP (Digital Signal Processor), and a GPU (Graphics Processing Unit).
  • CPU Central Processing Unit
  • DSP Digital Signal Processor
  • GPU Graphics Processing Unit
  • the memories 12, 22, and 32 are storage devices that temporarily store data. Specific examples of the memories 12, 22, and 32 are SRAM (Static Random Access Memory) and DRAM (Dynamic Random Access Memory).
  • Storages 13, 23, 33 are storage devices for storing data.
  • the storages 13, 23, and 33 are, as a specific example, an HDD (Hard Disk Drive).
  • the storages 13, 23, and 33 include SD (registered trademark, Secure Digital) memory card, CF (CompactFlash, registered trademark), NAND flash, flexible disk, optical disk, compact disk, Blu-ray (registered trademark) disk, and DVD (Digital). It may be a portable recording medium such as Versail Disc).
  • Communication interfaces 14, 24, 34 are interfaces for communicating with an external device. Specific examples of the communication interfaces 14, 24, and 34 are Ethernet (registered trademark), USB (Universal Serial Bus), and HDMI (registered trademark, High-Definition Multimedia Interface) ports.
  • processors 11 In FIG. 2, only one processor 11 was shown. However, the number of processors 11 may be plural, and the plurality of processors 11 may execute programs that realize each function in cooperation with each other. Similarly, the number of processors 21 and 31 may be plural.
  • the operation of the encryption system 1 according to the first embodiment will be described with reference to FIGS. 5 to 10.
  • the operation procedure of the encryption system 1 according to the first embodiment corresponds to the encryption method according to the first embodiment.
  • the program that realizes the operation of the encryption system 1 according to the first embodiment corresponds to the encryption program according to the first embodiment.
  • Non-Patent Document 1 an elliptic curve is used.
  • the cryptosystem 1 uses a genus 2 curve instead of an elliptic curve.
  • the genus 2 curve used by the cryptosystem 1 is the algebraic curve shown in Equation 11. Here, the order deg (f (X)) is 5 or 6.
  • Equation 12 it is assumed that the genus 2 curve is transferred by repeating the Richello homogeneous mapping ⁇ times from the genus 2 curve C 0 as the starting point to the genus 2 curve C ⁇ which is the ending point.
  • ⁇ is an integer of 2 or more.
  • the cryptosystem 1 is a sequence of Richello homologous maps interpolating the genus 2 curves C 0 , C ⁇ given the genus 2 curves C 0 , C ⁇ , given the genus 2 curves C 0 , ⁇ 1 . ,. .. .. , ⁇ Finding (calculating) ⁇ -1 is used as a basic problem related to cryptographic security. Then, the cryptosystem 1 constitutes a genus 2SETA cipher based on the difficulty of this basic problem.
  • the various number 2 curves are represented by the number 13 using three polynomials G j (X) such that deg (G j (X)) ⁇ 2.
  • deg (G j (X)) is the degree of the polynomial G j (X).
  • the three new polynomials G to j (X) are defined as shown in Equation 14.
  • ⁇ j is the highest-order coefficient of [G j + 1 (X), G j + 2 (X)]. Therefore, G to j (X) are polynomials having the highest order coefficient of 1.
  • G'j + 1 (X) is a derivative of G j + 1 (X)
  • G'j + 2 (X) is a derivative of G j + 2 (X).
  • G j + 1 (X) is G 2 (X)
  • G in the case of j 2.
  • j + 2 (X) is G 1 (X).
  • a new genus 2 curve C ⁇ is defined as shown in Equation 15.
  • the correspondence (mapping) from the genus 2 curve C to the genus 2 curve C ... is called a Richello homologous mapping.
  • the genus 2 curve C is determined by the division of f (X) (G 0 (X), G 1 (X), G 2 (X)). This corresponds to dividing the zero of f (X) into three pairs (a 0 , a 1 ), (a 2 , a 3 ), (a 4 , a 5 ).
  • g will be described later.
  • the genus 2 curve sequence C 0 according to the first embodiment. .. .. , C ⁇ calculation process will be explained.
  • the genus 2 curve Ci is defined as shown in the equation 16.
  • step S12 as shown in Equation 17, three polynomials G to 1, j are calculated, and the Richello homologous map ⁇ 0 is calculated.
  • ⁇ 0, j is the highest-order coefficient of [G 0, j + 1 (X), G 0, j + 2 (X)].
  • the genus 2 curve Ci + 1 is calculated.
  • step S14 as shown in Equation 18, three polynomials G to i + 1, j are calculated, and the Richello homologous map ⁇ i is calculated.
  • ⁇ i and j are the highest-order coefficients of [G i, j + 1 (X), Gi , j + 2 (X)].
  • the SETA encryption method described in Non-Patent Document 1 will be described with reference to FIG.
  • elliptic curves E 0 , E s , and Em are used.
  • the elliptic curve E 0 is a public parameter.
  • the elliptic curve E 0 is a special curve with a simple endomorphic ring.
  • ⁇ Key generation process First, the same kind of mapping sequence ⁇ s , which is a secret key, is generated. Then, the elliptic curve E 0 is transferred by the homologous mapping sequence ⁇ s , the elliptic curve E s is calculated, and the elliptic curve E s is set as the public key.
  • ⁇ Encryption processing> First, the plaintext m is appropriately encoded and converted into the same kind of mapping sequence ⁇ m . Then, the elliptic curve E s , which is the public key, is transferred by the same kind of mapping sequence ⁇ m , and the elliptic curve E m is calculated. The elliptic curve Em is set in the ciphertext.
  • the homomorphic mapping sequence ⁇ s the endomorphism ring calculation of the elliptic curve E s can be performed through the endomorphism ring calculation of the elliptic curve E 0 . Therefore, the isogeny mapping problem with the elliptic curve Es as the starting point and the elliptic curve Em as the ending point can be solved in polynomial time, and the isogeny mapping sequence ⁇ m can be obtained.
  • the plaintext m is calculated from the same kind of mapping sequence ⁇ m by performing the decoding operation, which is the inverse operation of the encoding operation at the time of encryption.
  • a user who knows the secret key, the homomorphic map sequence ⁇ s can reduce the endomorphic ring calculation of the elliptic curve E s to the endomorphic ring calculation of the elliptic curve E 0 through the homomorphic map sequence ⁇ s . , The point of decryption.
  • the operation of the key generation device 10 according to the first embodiment will be described with reference to FIG.
  • the operation procedure of the key generation device 10 according to the first embodiment corresponds to the key generation method according to the first embodiment.
  • the program that realizes the operation of the key generation device 10 according to the first embodiment corresponds to the key generation program according to the first embodiment.
  • Step S111 Acquisition process
  • the acquisition unit 111 acquires the genus 2 curve C 0 , which is a public parameter.
  • the acquisition unit 111 writes the genus 2 curve C 0 to the memory 12.
  • Step S112 Map calculation process
  • the map calculation unit 112 has a genus 2 curve sequence C 0 ,. .. .. , C ⁇ and Richello homologous mapping sequence ⁇ 0 ,. .. .. , ⁇ ⁇ -1 and are written to the memory 12.
  • Step S113 Key setting process
  • the key setting unit 113 transmits the public key to the encryption device 20 and the decryption device 30 via the communication interface 14. Further, the key setting unit 113 secretly transmits the private key to the decryption device 30 via the communication interface 14. Confidential transmission means, for example, transmission after being encrypted using an existing encryption method.
  • the secret key is the Richello homologous mapping sequence ⁇ s .
  • This is essentially a genus 2 curve sequence C 0 ,. .. .. , C ⁇ Permutation method ⁇ 0 ,. How to rearrange each root in the process of step S13 of the calculation process. .. .. , ⁇ ⁇ -1 corresponds to the private key.
  • the operation of the encryption device 20 according to the first embodiment will be described with reference to FIG. 9.
  • the operation procedure of the encryption device 20 according to the first embodiment corresponds to the encryption method according to the first embodiment.
  • the program that realizes the operation of the encryption device 20 according to the first embodiment corresponds to the encryption program according to the first embodiment.
  • Step S211 Acquisition process
  • the acquisition unit 211 acquires the genus 2 curve Cs , which is the public key generated by the key generation device 10. Further, the acquisition unit 211 acquires the plaintext m. The plaintext m is input by the user of the encryption device 20. The acquisition unit 211 writes the genus 2 curve C s and the plaintext m into the memory 22.
  • Step S212 Encryption process
  • the encryption unit 212 encodes the plaintext m acquired in step S211 and converts the plaintext m into the Richello homologous mapping sequence ⁇ m .
  • the encryption unit 212 calculates the genus 2 curve C m by transferring the genus 2 curve C s , which is the public key acquired in step S211, by the Richello isogeny mapping sequence ⁇ m .
  • the encryption unit 212 sets the genus 2 curve Cm in the ciphertext.
  • the encryption unit 212 transmits the ciphertext to the decryption device 30 via the communication interface 24.
  • the operation of the decoding device 30 according to the first embodiment will be described with reference to FIG.
  • the operation procedure of the decoding device 30 according to the first embodiment corresponds to the decoding method according to the first embodiment.
  • the program that realizes the operation of the decoding device 30 according to the first embodiment corresponds to the decoding program according to the first embodiment.
  • Step S311 Acquisition process
  • the acquisition unit 311 acquires the public parameter and the public key and the private key generated by the key generation device 10. Further, the acquisition unit 311 acquires the ciphertext generated by the encryption device 20. The acquisition unit 311 writes the public parameter, the public key, the private key, and the ciphertext to the memory 32.
  • Step S312 Decoding process
  • the decryption unit 312 is a public key acquired in step S311 with a species number 2 based on the Richello homologous mapping sequence ⁇ s , which is the secret key acquired in step S311 and the species number 2 curve C 0 , which is a public parameter.
  • a Richello homologous map ⁇ m is calculated starting from the curve C s and ending at the genus 2 curve C m , which is the ciphertext acquired in step S311.
  • the decoding is the inverse operation of the encoding performed in step S212.
  • the decoding unit 312 outputs the plaintext m'via the communication interface 14.
  • the genus 2 curve is decomposed into the direct product of the elliptic curve E 0 among the portions of the abel curved surface that are not decomposed into the direct product of the elliptic curve E 0 . It is desirable that the genus 2 curve corresponds to the portion adjacent to the portion.
  • E 0 / F p : y 2 x 3 + c when the remainder obtained by dividing by 4 is 1, where c is a constant.
  • F p is a field modulo the prime number p.
  • each functional component is realized by software.
  • each functional component may be realized by hardware. The difference between the second modification and the first embodiment will be described.
  • the key generator 10 includes an electronic circuit 15 instead of the processor 11, the memory 12, and the storage 13.
  • the electronic circuit 15 is a dedicated circuit that realizes the functions of each functional component, the memory 12, and the storage 13.
  • the encryption device 20 includes an electronic circuit 25 instead of the processor 21, the memory 22, and the storage 23.
  • the electronic circuit 25 is a dedicated circuit that realizes the functions of each functional component, the memory 22, and the storage 23.
  • the decoding device 30 includes an electronic circuit 35 instead of the processor 31, the memory 32, and the storage 33.
  • the electronic circuit 35 is a dedicated circuit that realizes the functions of each functional component, the memory 32, and the storage 33.
  • the electronic circuits 15, 25, and 35 include a single circuit, a composite circuit, a programmed processor, a parallel programmed processor, a logic IC, a GA (Gate Array), an ASIC (Application Specific Integrated Circuit), and an FPGA (Field-Programmable). Gate Array) is assumed. Each functional component may be realized by one electronic circuit 15, 25, 35, or each functional component may be distributed and realized by a plurality of electronic circuits 15, 25, 35.
  • Modification 3 As a modification 3, some functional components may be realized by hardware, and other functional components may be realized by software.
  • Processors 11,21,31, memories 12,22,32, storages 13,23,33, and electronic circuits 15,25,35 are called processing circuits. That is, the function of each functional component is realized by the processing circuit.
  • 1 encryption system 10 key generator, 11 processor, 12 memory, 13 storage, 14 communication interface, 15 electronic circuit, 111 acquisition unit, 112 mapping calculation unit, 113 key setting unit, 20 encryption device, 21 processor, 22 memory. , 23 storage, 24 communication interface, 25 electronic circuit, 211 acquisition unit, 212 encryption unit, 30 decryption device, 31 processor, 32 memory, 33 storage, 34 communication interface, 35 electronic circuit, 311 acquisition unit, 312 decryption unit.

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Abstract

暗号システム（１）は、アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする暗号処理を行う。暗号化装置（２０）は、平文ｍをエンコードして生成されたリシェロー同種写像列φｍによって、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを移してアーベル曲面Ａｍを計算し、アーベル曲面Ａｍを暗号文として設定する。復号装置（３０）は、秘密鍵であるリシェロー同種写像列φｓに基づき、公開鍵であるアーベル曲面Ａｓを始点として、暗号文であるアーベル曲面Ａｍを終点とするリシェロー同種写像φｍを計算する。

Description

暗号システム、暗号化装置、復号装置及び鍵生成装置
　本開示は、同種写像暗号に関する。
　ＳＩＤＨ（Ｓｕｐｅｒｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｉｓｏｇｅｎｙ　Ｄｉｆｆｉｅ－Ｈｅｌｌｍａｎ　ｋｅｙ　ｅｘｃｈａｎｇｅ）及びＳＩＫＥ（Ｓｕｐｅｒｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｉｓｏｇｅｎｙ　Ｋｅｙ　Ｅｎｃａｐｓｕｌａｔｉｏｎ）といった同種写像暗号がある。
　ＳＩＤＨ及びＳＩＫＥといった同種写像暗号では、基本となる同種写像問題の困難性に安全性の根拠を置くことができず、楕円曲線の点によって与えられる補助情報まで攻撃者（解読者）に与える必要があるＳＩＤＨ型の同種写像問題の困難性に安全性の根拠を置く必要があった。そのため、ＳＩＤＨ型の同種写像暗号で、補助情報なしの基本となる同種写像問題の困難性に安全性の根拠を置く方式を構成することが、待ち望まれていた。
　非特許文献１には、補助情報なしの基本となる同種写像問題の困難性に安全性の根拠を置くＳＩＤＨ型の同種写像暗号であるＳＥＴＡ暗号化方式が記載されている。
Ｃ．Ｄ．Ｓ．　Ｇｕｉｌｈｅｍ，　Ｐ．　Ｋｕｔａｓ，　Ｃ．　Ｐｅｔｉｔ，　Ｊ．　Ｓｉｌｖａ，　ＳＥＴＡ：　Ｓｕｐｅｒｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　Ｔｏｒｓｉｏｎ　Ａｔｔａｃｋｓ． Ｃ．　Ｐｅｔｉｔ，　Ｆａｓｔｅｒ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　Ｉｓｏｇｅｎｙ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　Ｔｏｒｓｉｏｎ　Ｐｏｉｎｔ　Ｉｍａｇｅｓ．
　ＳＥＴＡ暗号化方式では、非特許文献２に記載された暗号の解読法が復号アルゴリズムに用いられている。そのため、復号には大変多くの時間が必要になる。
　本開示は、ＳＥＴＡ暗号化方式における復号にかかる時間を削減可能にすることを目的とする。
　本開示に係る暗号システムは、
　アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、前記アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする暗号処理を行う暗号システムであり、
　平文ｍをエンコードして生成されたリシェロー同種写像列φｍによって、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを移してアーベル曲面Ａｍを計算し、前記アーベル曲面Ａｍを暗号文として設定する暗号化装置と、
　秘密鍵である前記リシェロー同種写像列φｓに基づき、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを始点として、前記暗号文である前記アーベル曲面Ａｍを終点とするリシェロー同種写像φｍを計算する復号装置と
を備える。
　本開示では、アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする。これにより、ＳＥＴＡ暗号化方式における素数ｐの長さを１／３にすることが可能になる。その結果、ＳＥＴＡ暗号化方式における復号にかかる時間を削減可能である。
実施の形態１に係る暗号システム１の構成図。 実施の形態１に係る鍵生成装置１０の構成図。 実施の形態１に係る暗号化装置２０の構成図。 実施の形態１に係る復号装置３０の構成図。 実施の形態１に係る種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκの計算処理のフローチャート。 ＳＥＴＡ暗号化方式の説明図。 実施の形態１に係る種数２ＳＥＴＡ暗号方式の説明図。 実施の形態１に係る鍵生成装置１０の動作を示すフローチャート。 実施の形態１に係る暗号化装置２０の動作を示すフローチャート。 実施の形態１に係る復号装置３０の動作を示すフローチャート。 変形例１に係る鍵生成装置１０の構成図。 変形例１に係る暗号化装置２０の構成図。 変形例１に係る復号装置３０の構成図。
　実施の形態１．
　＊＊＊構成の説明＊＊＊
　図１を参照して、実施の形態１に係る暗号システム１の構成を説明する。
　暗号システム１は、鍵生成装置１０と、暗号化装置２０と、復号装置３０とを備える。鍵生成装置１０と、暗号化装置２０と、復号装置３０とは、ＬＡＮ（Ｌｏｃａｌ　Ａｒｅａ　Ｎｅｔｗｏｒｋ）及びインターネットといった通信路４０を介して接続されている。
　図２を参照して、実施の形態１に係る鍵生成装置１０の構成を説明する。
　鍵生成装置１０は、コンピュータである。
　鍵生成装置１０は、プロセッサ１１と、メモリ１２と、ストレージ１３と、通信インタフェース１４とのハードウェアを備える。プロセッサ１１は、信号線を介して他のハードウェアと接続され、これら他のハードウェアを制御する。
　鍵生成装置１０は、機能構成要素として、取得部１１１と、写像計算部１１２と、鍵設定部１１３とを備える。鍵生成装置１０の各機能構成要素の機能はソフトウェアにより実現される。
　ストレージ１３には、鍵生成装置１０の各機能構成要素の機能を実現するプログラムが格納されている。このプログラムは、プロセッサ１１によりメモリ１２に読み込まれ、プロセッサ１１によって実行される。これにより、鍵生成装置１０の各機能構成要素の機能が実現される。
　図３を参照して、実施の形態１に係る暗号化装置２０の構成を説明する。
　暗号化装置２０は、コンピュータである。
　暗号化装置２０は、プロセッサ２１と、メモリ２２と、ストレージ２３と、通信インタフェース２４とのハードウェアを備える。プロセッサ２１は、信号線を介して他のハードウェアと接続され、これら他のハードウェアを制御する。
　暗号化装置２０は、機能構成要素として、取得部２１１と、暗号化部２１２とを備える。暗号化装置２０の各機能構成要素の機能はソフトウェアにより実現される。
　ストレージ２３には、暗号化装置２０の各機能構成要素の機能を実現するプログラムが格納されている。このプログラムは、プロセッサ２１によりメモリ２２に読み込まれ、プロセッサ２１によって実行される。これにより、暗号化装置２０の各機能構成要素の機能が実現される。
　図４を参照して、実施の形態１に係る復号装置３０の構成を説明する。
　復号装置３０は、コンピュータである。
　復号装置３０は、プロセッサ３１と、メモリ３２と、ストレージ３３と、通信インタフェース３４とのハードウェアを備える。プロセッサ３１は、信号線を介して他のハードウェアと接続され、これら他のハードウェアを制御する。
　復号装置３０は、機能構成要素として、取得部３１１と、復号部３１２とを備える。復号装置３０の各機能構成要素の機能はソフトウェアにより実現される。
　ストレージ３３には、復号装置３０の各機能構成要素の機能を実現するプログラムが格納されている。このプログラムは、プロセッサ３１によりメモリ３２に読み込まれ、プロセッサ３１によって実行される。これにより、復号装置３０の各機能構成要素の機能が実現される。
　プロセッサ１１，２１，３１は、プロセッシングを行うＩＣ（Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｃｉｒｃｕｉｔ）である。プロセッサ１１，２１，３１は、具体例としては、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｕｎｉｔ）、ＤＳＰ（Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ）、ＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　Ｕｎｉｔ）である。
　メモリ１２，２２，３２は、データを一時的に記憶する記憶装置である。メモリ１２，２２，３２は、具体例としては、ＳＲＡＭ（Ｓｔａｔｉｃ　Ｒａｎｄｏｍ　Ａｃｃｅｓｓ　Ｍｅｍｏｒｙ）、ＤＲＡＭ（Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｒａｎｄｏｍ　Ａｃｃｅｓｓ　Ｍｅｍｏｒｙ）である。
　ストレージ１３，２３，３３は、データを保管する記憶装置である。ストレージ１３，２３，３３は、具体例としては、ＨＤＤ（Ｈａｒｄ　Ｄｉｓｋ　Ｄｒｉｖｅ）である。また、ストレージ１３，２３，３３は、ＳＤ（登録商標，Ｓｅｃｕｒｅ　Ｄｉｇｉｔａｌ）メモリカード、ＣＦ（ＣｏｍｐａｃｔＦｌａｓｈ，登録商標）、ＮＡＮＤフラッシュ、フレキシブルディスク、光ディスク、コンパクトディスク、ブルーレイ（登録商標）ディスク、ＤＶＤ（Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ　Ｄｉｓｋ）といった可搬記録媒体であってもよい。
　通信インタフェース１４，２４，３４は、外部の装置と通信するためのインタフェースである。通信インタフェース１４，２４，３４は、具体例としては、Ｅｔｈｅｒｎｅｔ（登録商標）、ＵＳＢ（Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ　Ｓｅｒｉａｌ　Ｂｕｓ）、ＨＤＭＩ（登録商標，Ｈｉｇｈ－Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ　Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）のポートである。
　図２では、プロセッサ１１は、１つだけ示されていた。しかし、プロセッサ１１は、複数であってもよく、複数のプロセッサ１１が、各機能を実現するプログラムを連携して実行してもよい。同様に、プロセッサ２１，３１は、複数であってもよい。
　＊＊＊動作の説明＊＊＊
　図５から図１０を参照して、実施の形態１に係る暗号システム１の動作を説明する。
　実施の形態１に係る暗号システム１の動作手順は、実施の形態１に係る暗号方法に相当する。また、実施の形態１に係る暗号システム１の動作を実現するプログラムは、実施の形態１に係る暗号プログラムに相当する。
　＊＊概念の説明＊＊
　実施の形態１に係る暗号システム１によって実現される暗号方式の基礎となる概念を説明する。
　非特許文献１では、楕円曲線が用いられる。暗号システム１は、楕円曲線に代えて種数２曲線を用いる。
　暗号システム１が用いる種数２曲線は、数１１に示す代数曲線である。ここで、次数ｄｅｇ（ｆ（Ｘ））は、５又は６である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
　数１２に示すように、ある種数２曲線Ｃ０を始点とし、終点である種数２曲線Ｃκまで、リシェロー同種写像をκ回繰り返して種数２曲線を移していくとする。ここで、κは、２以上の整数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
 　暗号システム１は、種数２曲線Ｃ０，Ｃκの２つの種数２曲線が与えられた場合に、種数２曲線Ｃ０，Ｃκを補間するリシェロー同種写像の列ψ０，ψ１，．．．，ψκ－１を見つける（計算する）ことを暗号の安全性に関わる基本問題として用いる。そして、暗号システム１は、この基本問題の困難性に根拠をおいた種数２ＳＥＴＡ暗号を構成する。
　各種数２曲線は、ｄｅｇ（Ｇｊ（Ｘ））≦２となる３つの多項式Ｇｊ（Ｘ）を用いて、数１３に示すように表される。ｄｅｇ（Ｇｊ（Ｘ））は、多項式Ｇｊ（Ｘ）の次数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
　新しい３つの多項式Ｇ～ ｊ（Ｘ）を数１４に示すように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
 　ここで、τｊは、［Ｇｊ＋１（Ｘ），Ｇｊ＋２（Ｘ）］の最高次の係数である。したがって、Ｇ～ ｊ（Ｘ）は、最高次の係数が１の多項式である。また、Ｇ’ｊ＋１（Ｘ）は、Ｇｊ＋１（Ｘ）の微分であり、Ｇ’ｊ＋２（Ｘ）は、Ｇｊ＋２（Ｘ）の微分である。また、添え字は３つの多項式Ｇｊを順列として扱うことを想定して割り当てられており、ｊ＝０の場合におけるＧｊ＋１（Ｘ）はＧ１（Ｘ）であり、ｊ＝１の場合におけるＧｊ＋１（Ｘ）はＧ２（Ｘ）であり、ｊ＝２の場合におけるＧｊ＋１（Ｘ）はＧ０（Ｘ）である。同様に、ｊ＝０の場合におけるＧｊ＋２（Ｘ）はＧ２（Ｘ）であり、ｊ＝１の場合におけるＧｊ＋２（Ｘ）はＧ０（Ｘ）であり、ｊ＝２の場合におけるＧｊ＋２（Ｘ）はＧ１（Ｘ）である。
　新しい種数２曲線Ｃ～を数１５に示すように定義する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
 　種数２曲線Ｃから種数２曲線Ｃ～への対応（写像）をリシェロー同種写像と呼ぶ。種数２曲線Ｃからのリシェロー同種写像は、ｆ（Ｘ）の分割（Ｇ０（Ｘ），Ｇ１（Ｘ），Ｇ２（Ｘ））から決まる。これは、ｆ（Ｘ）の零点を３つの対（ａ０，ａ１），（ａ２，ａ３），（ａ４，ａ５）に分割することに対応している。なお、ｇについては後述する。
　＊＊種数２曲線列の計算方法の説明＊＊
　暗号システム１は、種数２曲線Ｃ０からリシェロー同種写像を繰り返し、種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκを計算する。しかし、３つの多項式Ｇ～ ｊ（Ｘ）を基にして、リシェロー同種写像を計算すると種数２曲線Ｃに戻ってしまう。そのため、暗号システム１は、一度リシェロー同種写像を計算した後に、各多項式Ｇ～ ｊ（Ｘ）の各根（零点）を組み替えて、新しい３つの多項式に変更してから、リシェロー同種写像を計算する。
　図５を参照して、実施の形態１に係る種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκの計算処理を説明する。
　ここで、種数２曲線Ｃｉは、数１６に示すように定義される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
　ステップＳ１１では、数１４に従い、種数２曲線Ｃ０から新しい３つの多項式（Ｇｉ，ｊ（Ｘ））ｊ＝０，１，２が生成される。これにより、種数２曲線Ｃ１が計算される。
　ステップＳ１２では、数１７に示すように、３つの多項式Ｇ～ １，ｊが計算され、リシェロー同種写像φ０が計算される。τ０，ｊは、［Ｇ０，ｊ＋１（Ｘ），Ｇ０，ｊ＋２（Ｘ）］の最高次の係数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
　次に、ｉ＝１，．．．，κ－１まで各整数ｉについて昇順に、ステップＳ１３及びステップＳ１４の処理が実行される。
　ステップＳ１３では、ｆｉ（Ｘ）の零点（ａｉ，ｍ）ｍ＝０，．．．，５の組み替えが行われる。そして、数１４に従い、新しい３つの多項式（Ｇｉ，ｊ（Ｘ））ｊ＝０，１，２が生成される。これにより、種数２曲線Ｃｉ＋１が計算される。
　ステップＳ１４では、数１８に示すように、３つの多項式Ｇ～ ｉ＋１，ｊが計算され、リシェロー同種写像φｉが計算される。τｉ，ｊは、［Ｇｉ，ｊ＋１（Ｘ），Ｇｉ，ｊ＋２（Ｘ）］の最高次の係数である。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
　＊＊ＳＥＴＡ暗号化方式＊＊
　図６を参照して、非特許文献１に記載されたＳＥＴＡ暗号化方式について説明する。
　ＳＥＴＡ暗号化方式では、楕円曲線Ｅ０，Ｅｓ，Ｅｍが用いられる。楕円曲線Ｅ０は、公開パラメータである。楕円曲線Ｅ０は、自己準同型環が簡単な特別な曲線である。
　＜鍵生成処理＞
　まず、秘密鍵である同種写像列φｓが生成される。そして、楕円曲線Ｅ０を同種写像列φｓで移して楕円曲線Ｅｓが計算され、楕円曲線Ｅｓが公開鍵に設定される。
　＜暗号化処理＞
　まず、平文ｍが適切にエンコードされ、同種写像列φｍに変換される。そして、公開鍵である楕円曲線Ｅｓが同種写像列φｍで移され、楕円曲線Ｅｍが計算される。楕円曲線Ｅｍが暗号文に設定される。
　＜復号処理＞
　秘密鍵である同種写像列φｓを使って、楕円曲線Ｅ０の自己準同型環計算を通して、楕円曲線Ｅｓの自己準同型環計算を行うことができる。そのため、楕円曲線Ｅｓを始点として、楕円曲線Ｅｍを終点とする同種写像問題を多項式時間で解くことができ、同種写像列φｍを得ることができる。暗号化時のエンコード演算の逆演算であるデコード演算を行って、同種写像列φｍから平文ｍが計算される。
　秘密鍵である同種写像列φｓを知っているユーザは、同種写像列φｓを通して、楕円曲線Ｅｓの自己準同型環計算を、楕円曲線Ｅ０の自己準同型環計算に帰着できるのが、復号のポイントである。
　＊＊種数２ＳＥＴＡ暗号方式＊＊
　図７から図１０を参照して、実施の形態１に係る暗号システム１によって実現される種数２ＳＥＴＡ暗号方式を説明する。
　図７に示すように、種数２ＳＥＴＡ暗号方式は、ＳＥＴＡ暗号方式における楕円曲線Ｅ０，Ｅｓ，Ｅｍをそれぞれ、種数２曲線Ｃ０，Ｃｓ，Ｃｍに置き換え、同種写像列φｓ，φｍを、それぞれリシェロー同種写像列φｓ，φｍに置き換えることによって実現される。
　図８を参照して、実施の形態１に係る鍵生成装置１０の動作を説明する。
　実施の形態１に係る鍵生成装置１０の動作手順は、実施の形態１に係る鍵生成方法に相当する。また、実施の形態１に係る鍵生成装置１０の動作を実現するプログラムは、実施の形態１に係る鍵生成プログラムに相当する。
　（ステップＳ１１１：取得処理）
　取得部１１１は、公開パラメータである種数２曲線Ｃ０を取得する。
　取得部１１１は、種数２曲線Ｃ０をメモリ１２に書き込む。
　（ステップＳ１１２：写像計算処理）
　写像計算部１１２は、ステップＳ１１１で取得された種数２曲線Ｃ０のリシェロー同種写像φ０を計算して種数２曲線Ｃ１を計算する。また、写像計算部１１２は、２以上の整数κを用いて、ｉ＝１，．．．，κ－１の各整数ｉについて昇順に、種数２曲線Ｃｉの零点を組み替えて、リシェロー同種写像φｉを計算して種数２曲線Ｃｉ＋１を計算する。
　具体的には、写像計算部１１２は、図５を参照して説明した種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκの計算処理を実行して、種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκとリシェロー同種写像列φ０，．．．，φκ－１とを計算する。
　写像計算部１１２は、種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκとリシェロー同種写像列φ０，．．．，φκ－１とをメモリ１２に書き込む。
　（ステップＳ１１３：鍵設定処理）
　鍵設定部１１３は、ステップＳ１１２で計算された種数２曲線Ｃκを種数２曲線Ｃｓとして公開鍵に設定する。また、鍵設定部１１３は、ステップＳ１１２で計算されたリシェロー同種写像列φｓ：＝｛φ０，．．．，φκ－１｝を秘密鍵に設定する。つまり、種数２曲線Ｃ０を始点として種数２曲線Ｃｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓが秘密鍵に設定される。
　鍵設定部１１３は、通信インタフェース１４を介して、公開鍵を暗号化装置２０及び復号装置３０に送信する。また、鍵設定部１１３は、通信インタフェース１４を介して、秘密鍵を秘密裡に復号装置３０に送信する。秘密裡送信するとは、例えば、既存の暗号化方式を用いて暗号化した上で送信するといった意味である。
　秘密鍵は、リシェロー同種写像列φｓである。これは、実質的には、種数２曲線列Ｃ０，．．．，Ｃκの計算処理のステップＳ１３の処理において各根をどう組み替えるかという置換法σ０，．．．，σκ－１が秘密鍵に対応することになる。
　図９を参照して、実施の形態１に係る暗号化装置２０の動作を説明する。
　実施の形態１に係る暗号化装置２０の動作手順は、実施の形態１に係る暗号化方法に相当する。また、実施の形態１に係る暗号化装置２０の動作を実現するプログラムは、実施の形態１に係る暗号化プログラムに相当する。
　（ステップＳ２１１：取得処理）
　取得部２１１は、鍵生成装置１０によって生成された公開鍵である種数２曲線Ｃｓを取得する。また、取得部２１１は、平文ｍを取得する。平文ｍは、暗号化装置２０のユーザによって入力される。
　取得部２１１は、種数２曲線Ｃｓと平文ｍとをメモリ２２に書き込む。
　（ステップＳ２１２：暗号化処理）
　暗号化部２１２は、ステップＳ２１１で取得された平文ｍをエンコードして、平文ｍをリシェロー同種写像列φｍに変換する。暗号化部２１２は、リシェロー同種写像列φｍによって、ステップＳ２１１で取得された公開鍵である種数２曲線Ｃｓを移して種数２曲線Ｃｍを計算する。そして、暗号化部２１２は、種数２曲線Ｃｍを暗号文に設定する。
　暗号化部２１２は、通信インタフェース２４を介して、暗号文を復号装置３０に送信する。
　図１０を参照して、実施の形態１に係る復号装置３０の動作を説明する。
　実施の形態１に係る復号装置３０の動作手順は、実施の形態１に係る復号方法に相当する。また、実施の形態１に係る復号装置３０の動作を実現するプログラムは、実施の形態１に係る復号プログラムに相当する。
　（ステップＳ３１１：取得処理）
　取得部３１１は、公開パラメータと、鍵生成装置１０によって生成された公開鍵及び秘密鍵とを取得する。また、取得部３１１は、暗号化装置２０によって生成された暗号文を取得する。
　取得部３１１は、公開パラメータと、公開鍵及び秘密鍵と、暗号文とをメモリ３２に書き込む。
　（ステップＳ３１２：復号処理）
　復号部３１２は、ステップＳ３１１で取得された秘密鍵であるリシェロー同種写像列φｓと、公開パラメータである種数２曲線Ｃ０とに基づき、ステップＳ３１１で取得された公開鍵である種数２曲線Ｃｓを始点として、ステップＳ３１１で取得された暗号文である種数２曲線Ｃｍを終点とするリシェロー同種写像φｍを計算する。そして、復号部３１２は、リシェロー同種写像φｍをデコードして平文ｍ’＝ｍを計算する。ここで、デコードは、ステップＳ２１２で行われたエンコードの逆演算である。
　復号部３１２は、通信インタフェース１４を介して、平文ｍ’を出力する。
　＊＊＊実施の形態１の効果＊＊＊
　以上のように、実施の形態１に係る暗号システム１は、ＳＥＴＡ暗号方式における楕円曲線Ｅ０，Ｅｓ，Ｅｍをそれぞれ、種数２曲線Ｃ０，Ｃｓ，Ｃｍに置き換え、同種写像列φｓ，φｍを、それぞれリシェロー同種写像列φｓ，φｍに置き換えることによって、種数２ＳＥＴＡ暗号方式を実現する。
　種数２ＳＥＴＡ暗号方式では、ＳＥＴＡ暗号方式で用いられる素数ｐの値を１／３にすることが可能である。その結果、復号にかかる時間を削減可能である。
　＊＊＊他の構成＊＊＊
　＜変形例１＞
　実施の形態１では、種数２曲線Ｃ０，Ｃｓ，Ｃｍを用いた場合について説明した。しかし、実施の形態１に係る暗号システム１が用いる種数２曲線Ｃ０，Ｃｓ，Ｃｍをアーベル曲面Ａ０，Ａｓ，Ａｍと読み替えることも可能である。つまり、ＳＥＴＡ暗号方式における楕円曲線Ｅ０，Ｅｓ，Ｅｍをそれぞれ、アーベル曲面Ａ０，Ａｓ，Ａｍに置き換え、同種写像列φｓ，φｍを、それぞれリシェロー同種写像列φｓ，φｍに置き換えることによって、種数２ＳＥＴＡ暗号方式と同等の効果を奏する暗号方式を実現可能である。
　実施の形態１のように、種数２曲線を用いる場合には、種数２曲線は、アーベル曲面における楕円曲線Ｅ０の直積に分解していない部分のうち、楕円曲線Ｅ０の直積に分解した部分に隣接した部分に対応する種数２曲線であることが望ましい。
　また、種数２曲線を用いない場合には、楕円曲線の直積に分解した部分を用いることが望ましい。
　また、アーベル曲面を分解する楕円曲線の直積で用いられる楕円曲線Ｅ０は、素数ｐを４で割った余りが３の場合のＥ０／Ｆｐ：ｙ２＝ｘ３＋ｘ、又は、素数ｐを４で割った余りが１の場合のＥ０／Ｆｐ：ｙ２＝ｘ３＋ｃ、ここでｃは定数である。なお、Ｆｐは、素数ｐを法とする体である。
　＜変形例２＞
　実施の形態１では、各機能構成要素がソフトウェアで実現された。しかし、変形例２として、各機能構成要素はハードウェアで実現されてもよい。この変形例２について、実施の形態１と異なる点を説明する。
　図１１を参照して、変形例２に係る鍵生成装置１０の構成を説明する。
　各機能構成要素がハードウェアで実現される場合には、鍵生成装置１０は、プロセッサ１１とメモリ１２とストレージ１３とに代えて、電子回路１５を備える。電子回路１５は、各機能構成要素と、メモリ１２と、ストレージ１３との機能とを実現する専用の回路である。
　図１２を参照して、変形例２に係る暗号化装置２０の構成を説明する。
　各機能構成要素がハードウェアで実現される場合には、暗号化装置２０は、プロセッサ２１とメモリ２２とストレージ２３とに代えて、電子回路２５を備える。電子回路２５は、各機能構成要素と、メモリ２２と、ストレージ２３との機能とを実現する専用の回路である。
　図１３を参照して、変形例２に係る復号装置３０の構成を説明する。
　各機能構成要素がハードウェアで実現される場合には、復号装置３０は、プロセッサ３１とメモリ３２とストレージ３３とに代えて、電子回路３５を備える。電子回路３５は、各機能構成要素と、メモリ３２と、ストレージ３３との機能とを実現する専用の回路である。
　電子回路１５，２５，３５としては、単一回路、複合回路、プログラム化したプロセッサ、並列プログラム化したプロセッサ、ロジックＩＣ、ＧＡ（Ｇａｔｅ　Ａｒｒａｙ）、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｓｐｅｃｉｆｉｃ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｃｉｒｃｕｉｔ）、ＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ－Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ　Ｇａｔｅ　Ａｒｒａｙ）が想定される。
　各機能構成要素を１つの電子回路１５，２５，３５で実現してもよいし、各機能構成要素を複数の電子回路１５，２５，３５に分散させて実現してもよい。
　＜変形例３＞
　変形例３として、一部の各機能構成要素がハードウェアで実現され、他の各機能構成要素がソフトウェアで実現されてもよい。
　プロセッサ１１，２１，３１とメモリ１２，２２，３２とストレージ１３，２３，３３と電子回路１５，２５，３５とを処理回路という。つまり、各機能構成要素の機能は、処理回路により実現される。
　以上、本開示の実施の形態及び変形例について説明した。これらの実施の形態及び変形例のうち、いくつかを組み合わせて実施してもよい。また、いずれか１つ又はいくつかを部分的に実施してもよい。なお、本開示は、以上の実施の形態及び変形例に限定されるものではなく、必要に応じて種々の変更が可能である。
　１　暗号システム、１０　鍵生成装置、１１　プロセッサ、１２　メモリ、１３　ストレージ、１４　通信インタフェース、１５　電子回路、１１１　取得部、１１２　写像計算部、１１３　鍵設定部、２０　暗号化装置、２１　プロセッサ、２２　メモリ、２３　ストレージ、２４　通信インタフェース、２５　電子回路、２１１　取得部、２１２　暗号化部、３０　復号装置、３１　プロセッサ、３２　メモリ、３３　ストレージ、３４　通信インタフェース、３５　電子回路、３１１　取得部、３１２　復号部。

Claims (9)

  1. 　アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、前記アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする暗号処理を行う暗号システムであり、
    　平文ｍをエンコードして生成されたリシェロー同種写像列φｍによって、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを移してアーベル曲面Ａｍを計算し、前記アーベル曲面Ａｍを暗号文として設定する暗号化装置と、
    　秘密鍵である前記リシェロー同種写像列φｓに基づき、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを始点として、前記暗号文である前記アーベル曲面Ａｍを終点とするリシェロー同種写像φｍを計算する復号装置と
    を備える暗号システム。
  2. 　前記暗号システムは、さらに、
    　アーベル曲面Ａ０のリシェロー同種写像φ０を計算してアーベル曲面Ａ１を計算し、２以上の整数κを用いて、ｉ＝１，．．．，κ－１の各整数ｉについて昇順に、アーベル曲面Ａｉの零点を組み替えて、リシェロー同種写像φｉを計算してアーベル曲面Ａｉ＋１を計算して、アーベル曲面Ａκであるアーベル曲面Ａｓを公開鍵として設定するとともに、ｉ＝０，．．．，κ－１の各整数ｉについてのリシェロー同種写像φｉの組であるリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵として設定する鍵生成装置
    を備える請求項１に記載の暗号システム。
  3. 　前記暗号システムは、前記アーベル曲面Ａ０として、前記アーベル曲面Ａ０に対応する種数２曲線を用いる
    請求項１又は２に記載の暗号システム。
  4. 　前記種数２曲線は、前記アーベル曲面Ａ０における楕円曲線Ｅ０の直積に分解していない部分のうち、楕円曲線Ｅ０の直積に分解した部分に隣接した部分に対応する
    請求項３に記載の暗号システム。
  5. 　前記暗号システムは、前記アーベル曲面Ａ０として、前記アーベル曲面Ａ０における楕円曲線Ｅ０の直積に分解した部分を用いる
    請求項１又は２に記載の暗号システム。
  6. 　前記楕円曲線Ｅ０は、素数ｐを４で割った余りが３の場合のＥ０／Ｆｐ：ｙ２＝ｘ３＋ｘ、又は、素数ｐを４で割った余りが１の場合のＥ０／Ｆｐ：ｙ２＝ｘ３＋ｃ、ここでｃは定数である
    請求項４又は５に記載の暗号システム。
  7. 　アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、前記アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする暗号処理を行う暗号システムにおける暗号化装置であり、
    　平文ｍをエンコードして生成されたリシェロー同種写像列φｍによって、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを移してアーベル曲面Ａｍを計算し、前記アーベル曲面Ａｍを暗号文に設定する暗号化部
    を備える暗号化装置。
  8. 　アーベル曲面Ａ０を始点としてアーベル曲面Ａｓを終点とするリシェロー同種写像列φｓを秘密鍵とし、前記アーベル曲面Ａｓを公開鍵とする暗号処理を行う暗号システムにおける復号装置であり、
    　平文ｍをエンコードして生成されたリシェロー同種写像列φｍによって、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを移して計算されたアーベル曲面Ａｍである暗号文を取得する取得部と、
    　秘密鍵である前記リシェロー同種写像列φｓに基づき、公開鍵である前記アーベル曲面Ａｓを始点として、前記取得部によって取得された暗号文である前記アーベル曲面Ａｍを終点とするリシェロー同種写像φｍを計算する復号部と
    を備える復号装置。
  9. 　公開パラメータであるアーベル曲面Ａ０を取得する取得部と、
    　前記取得部によって取得されたアーベル曲面Ａ０のリシェロー同種写像φ０を計算してアーベル曲面Ａ１を計算するとともに、２以上の整数κを用いて、ｉ＝１，．．．，κ－１の各整数ｉについて昇順に、アーベル曲面Ａｉの零点を組み替えて、リシェロー同種写像φｉを計算してアーベル曲面Ａｉ＋１を計算する写像計算部と、
    　前記写像計算部によって計算されたアーベル曲面Ａκを公開鍵として設定するとともに、ｉ＝０，．．．，κ－１の各整数ｉについてのリシェロー同種写像φｉの組であるリシェロー同種写像列を秘密鍵として設定する鍵設定部と
    を備える鍵生成装置。
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