WO2021059338A1

WO2021059338A1 - 求解システム、求解方法および求解プログラム

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Publication number: WO2021059338A1
Application number: PCT/JP2019/037332
Authority: WO
Inventors: 芙美代鷹野; 千嶋　博
Original assignee: 日本電気株式会社
Priority date: 2019-09-24
Filing date: 2019-09-24
Publication date: 2021-04-01
Also published as: JP7251645B2; US20220335323A1; JPWO2021059338A1

Abstract

個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用することによって組合せ最適化問題を解く場合の計算量を少なくすることができる求解システムを提供する。入力部２は、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける。シミュレーテッドアニーリング部３は、シミュレーテッドアニーリングの過程で、スピンを選択し、そのスピンが属する組を選択し、その組が予め定めされた制約を満たし、かつ、そのスピンの状態を変化させると決定した場合に、その組がその制約を満たした状態を維持するように、そのスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる。

Description

求解システム、求解方法および求解プログラム

　本発明は、求解システム、求解方法および求解プログラムに関し、特に、組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態（所定モデルの各スピンの状態）を求める求解システム、求解方法および求解プログラムに関する。

　組合せ最適化問題を解く量子コンピュータの研究が進められている。量子コンピュータは、イジングモデルにおけるエネルギー関数を入力として、組合せ最適化問題を解く。なお、組合せ最適化問題の例として、巡回セールスマン問題、ナップサック問題、グラフ分割問題等が挙げられる。ただし、組合せ最適化問題は、これらの問題に限らない。

　イジングモデルは、個々のスピンによって磁性体の振る舞いを表わす統計力学上のモデルであるが、組合せ最適化問題の求解にも適用可能である。イジングモデルでは、個々のスピンの状態は、“１”または“－１”で表される。

　また、個々のスピンの状態を“１”または“０”で表すモデルとして、ＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization ）も知られている。

　なお、イジングモデルにおける“１”やＱＵＢＯにおける“１”を第１の値と称することができる。そして、イジングモデルにおける“－１”やＱＵＢＯにおける“０”を第２の値と称することができる。

　イジングモデルにおけるエネルギー関数と、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数とは、相互に変換可能である。

　現状では、現実世界における組合せ最適化問題を解くのに十分な規模の量子コンピュータは実現されていない。

　種々の組合せ最適化問題の解を汎用的に求められるようにする場合、現状では、イジングモデルやＱＵＢＯにおけるエネルギー関数を入力として、一般的なコンピュータを用いて、シミュレーテッドアニーリングで組合せ最適化問題の解が求められている。この手法の例を説明する。ここでは、巡回セールスマン問題の解を求める場合を例にして説明する。

　まず、巡回セールスマン問題におけるエネルギーを表わす式を作成する。組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式の作成を、定式化と称する場合がある。巡回セールスマン問題の定式化によって得られる式の例として、以下に示す式（１）が挙げられる。

　式（１）において、ｊは時刻を表わし、ｖ，ｕは都市を表わす。また、ｘ_ｖ，ｊは、時刻ｊにセールスマンが都市ｖにいるか否かを表わす変数であり、スピンに該当する。ｘ_ｖ，ｊ＝１ならば、時刻ｊにセールスマンが都市ｖにいることを表わし、ｘ_ｖ，ｊ＝０ならば、時刻ｊにセールスマンが都市ｖにいないことを表わす。図１０は、巡回セールスマン問題での各スピンの状態の表現例を示す模式図である。また、式（１）において、Ｗ_ｕｖは、都市ｕと都市ｖの距離であり、都市の組毎に予め定数として定められている。αおよびβは、予め定数として定められている。

　式（１）における右辺の第１項は、セールスマンは同じ都市を２回以上通過することはないという制約を表わす。

　式（１）における右辺の第２項は、１つの時刻において、セールスマンが１つの都市にしか存在しないという制約を表わす。

　式（１）における右辺の第３項は、セールスマンが通過する都市間の距離を表わす。

　式（１）に例示するような組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式を作成したならば、その式を、イジングモデルにおけるエネルギー関数、または、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数に変換する。この変換方法は、公知である。

　イジングモデルにおけるエネルギー関数は、以下の式（２）のように表される。

　式（２）におけるｓ_ｉ，ｓ_ｊは、スピンの状態を表わす変数である。Ｊ_ｉｊは、ｉ，ｊに応じた定数であり、ｈ_ｉは、ｉに応じた定数である。

　また、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数は、以下の式（３）のように表される。

　式（３）におけるｘ_ｉ，ｘ_ｊは、スピンの状態を表わす変数である。Ｑ_ｉｊは、ｉ，ｊに応じた定数である。

　式（２）および式（３）は、スピンの状態を表わす変数の２次式である。また、式（１）も、スピンの状態を表わす変数の２次式である。従って、式（１）を、式（２）または式（３）に変換することができる。

　定式化によって得た式において、スピンの状態を表わす変数の次数が３次以上であったとしても、スピンの状態を表わす複数の変数を１つの変数に置き換えることによって、スピンの状態を表わす変数の次数を２次まで下げることができる。従って、定式化によって得た式において、スピンの状態を表わす変数の次数が３次以上であったとしても、その式に基づいて、イジングモデルにおけるエネルギー関数（式（２））、または、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数（式（３））を得ることができる。また、スピンの状態を表わす複数の変数を１つの変数に置き換える場合における、置き換え後の変数が表わすスピンを補助スピンと称する。

　イジングモデルまたはＱＵＢＯにおけるエネルギー関数が得られたならば、そのエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用し、エネルギーが最小になるときの各スピンの状態を特定する。そして、その各スピンの状態を、組合せ最適化問題（本例では、巡回セールスマン問題）に応じて解釈することで、最適解が得られる。

　この手法によれば、種々の組合せ最適化問題の解を汎用的に求めることができる。

　また、特許文献１には、複数のスピンの値を同時に変更することが記載されている。

特開２０１８－２０６１２７号公報

　上記のように、イジングモデルやＱＵＢＯにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用すれば、種々の組合せ最適化問題の解を汎用的に求めることができる。

　しかし、この場合、問題空間内の探索候補が、個別の組合せ最適化問題に特化した解法における問題空間内の探索候補に比べて、極めて多くなる。

　以下、都市が４つの場合の巡回セールスマン問題を例にして、探索候補の数を比較する。４つの都市を、符号Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄで表す。図１１は、巡回セールスマン問題に特化した解法における探索候補を示す模式図である。図１１から分かるように、本例における探索候補の数は、６である。

　図１２は、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用する手法における探索候補を示す模式図である。都市が４つである場合、スピンの数は、４^２＝１６である。そして、個々のスピンは、１または０のいずれかの値をとる。従って、本例における探索候補の数は、２^１６となる。なお、イジングモデルの場合、個々のスピンは１または－１のいずれかの値をとるが、探索候補の数は、ＱＵＢＯの場合と同様に、２^１６である。

　このように、エネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用する手法では、探索候補の数が、個別の組合せ最適化問題に特化した解法における探索候補の数に比べて、極めて大きくなる。そして、巡回セールスマン問題における都市の数を増やす場合のように、組合せ最適化問題が複雑になれば、この傾向はより顕著になる。

　そして、エネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用する手法では、探索候補が極めて多いため、計算量が多くなる。その結果、解を得るまでの時間も長くなる。

　そこで、本発明は、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用することによって組合せ最適化問題を解く場合の計算量を少なくすることができる求解システム、求解方法および求解プログラムを提供することを目的とする。

　本発明による求解システムは、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける入力部と、エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、その組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求めるシミュレーテッドアニーリング部とを備え、シミュレーテッドアニーリング部が、シミュレーテッドアニーリングの過程で、スピンを選択し、そのスピンが属する組を選択し、その組が予め定めされた制約を満たし、かつ、そのスピンの状態を変化させると決定した場合に、その組がその制約を満たした状態を維持するように、そのスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させることを特徴とする。

　本発明による求解方法は、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付け、エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、その組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求め、シミュレーテッドアニーリングの過程で、スピンを選択し、そのスピンが属する組を選択し、その組が予め定めされた制約を満たし、かつ、そのスピンの状態を変化させると決定した場合に、その組がその制約を満たした状態を維持するように、そのスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させることを特徴とする。

　本発明による求解プログラムは、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける入力部を備えるコンピュータに搭載される求解プログラムであって、コンピュータに、エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、その組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求めるシミュレーテッドアニーリング処理を実行させ、コンピュータに、シミュレーテッドアニーリングの過程で、スピンを選択し、そのスピンが属する組を選択し、その組が予め定めされた制約を満たし、かつ、そのスピンの状態を変化させると決定した場合に、その組がその制約を満たした状態を維持するように、そのスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる処理を実行させることを特徴とする。

　本発明によれば、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用することによって組合せ最適化問題を解く場合の計算量を少なくすることができる。

本発明の実施形態の求解システムの構成例を示すブロック図である。複数の基本スピンと１つの補助スピンとを含む組の例を示す模式図である。具体例１における各スピンの状態の一例を示す模式図である。図３に示すスピン６１，６２をフリップした結果を示す模式図である。具体例２における各基本スピンの状態を表わす２次元マトリクス、および、各補助スピンの状態を表わす２次元マトリクスの一例を示す模式図である。本発明の実施形態の求解システムの処理経過の例を示すフローチャートである。本発明の実施形態の求解システムの処理経過の例を示すフローチャートである。本発明の実施形態の求解システムに係るコンピュータの構成例を示す概略ブロック図である。本発明の求解システムの概要を示すブロック図である。巡回セールスマン問題での各スピンの状態の表現例を示す模式図である。巡回セールスマン問題に特化した解法における探索候補を示す模式図である。ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用する手法における探索候補を示す模式図である。

　以下、本発明の実施形態を図面を参照して説明する。

　前述のように、イジングモデルにおける“１”やＱＵＢＯにおける“１”を第１の値と称することができる。そして、イジングモデルにおける“－１”やＱＵＢＯにおける“０”を第２の値と称することができる。イジングモデルおよびＱＵＢＯはいずれも、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルである。

　実施形態では、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数が本発明の求解システムに入力される場合を例にして説明するが、イジングモデルにおけるエネルギー関数が入力される場合も同様に説明できる。ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数の代わりに、イジングモデルにおけるエネルギー関数が本発明の求解システムに入力されてもよい。

　図１は、本発明の実施形態の求解システムの構成例を示すブロック図である。本実施形態の求解システム１は、入力部２と、シミュレーテッドアニーリング部３と、出力部４とを備える。以下、シミュレーテッドアニーリング部３を、ＳＡ部３と記す。

　入力部２は、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける。このエネルギー関数は、組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式を変換することによって得られる。

　入力部２は、例えば、エネルギー関数が入力される入力デバイスである。入力部２は、記録媒体に記録されたエネルギー関数を読み込むデータ読み込み装置等の入力デバイスであってもよい。

　入力部２に入力されるエネルギー関数から、各スピンの状態の表現形式が定まる。以下では、説明を簡単にするために、各スピンの状態が２次元マトリクスで表現される場合を例にして説明する。ただし、各スピンの状態の表現形式は、２次元マトリクスとは限らず、組合せ最適化問題によっては、各スピンの状態の表現形式が、３次元マトリクスになったり、個々のスピンの状態が個別に表現される形式になったりする場合もある。

　また、本実施形態では、スピンの組、および、各組が満たすべき制約が、予め定められる。スピンの組は、複数定められ、各組に対して制約が定められる。

　スピンの各組、および、各組に対して定められる制約は、例えば、求解システム１のユーザによって定められてもよい。ユーザによって定められた各組、および、各組に対する制約は、例えば、入力部２を介して入力されてもよい。ただし、スピンの各組、および、各組に対して定められる制約の設定態様は、上記の例に限定されない。例えば、本実施形態の動作を実現するための求解プログラムに、各組、および、各組に対する制約が記述されていてもよい。

　また、１つのスピンが複数の組に属していてもよい。

　スピンの組に対して定められる制約の種々の例を説明する。

（１）スピンの組に対する制約の例として、組に属する複数のスピンのうち、１つのスピンのみを“１”とし、その組に属する他の全てのスピンを“０”とするという制約が挙げられる。以下、この制約を「第１の制約」と記す。

（２）スピンの組に対する制約の他の例として、組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンを“０”とするという制約が挙げられる。以下、この制約を「第２の制約」と記す。

（３）スピンの組に対する制約の他の例として、組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンを“１”とするという制約が挙げられる。以下、この制約を「第３の制約」と記す。

（４）スピンの組に対する制約の他の例を説明する。以下に説明する制約を「第４の制約」と記す。第４の制約は、組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式（定式化によって得られる式）でスピンの状態を表わす変数の次数が３次以上であるため、スピンの状態を表わす複数の変数を１つの変数に置き換えることによって、スピンの状態を表わす変数の次数を２次まで下げ、さらに、スピンの状態を表わす変数の次数が２次まで下げられたエネルギーを表わす式をエネルギー関数に変換した場合に、適用される。

　この場合、置き換え前の変数が表わすスピンの状態と、置き換え後の変数が表わすスピン（補助スピン）の状態とは、別々に表現される。以下、置き換え前の変数が表わすスピンを基本スピンと記す場合がある。置き換え前の複数の変数に対応する複数の基本スピンと、置き換え後の変数に対応する補助スピンとが組をなすように、スピンの組が定められる。第４の制約は、組に属する基本スピンの状態が変化したらならば、その変化の結果に応じて補助スピンの状態を変化させるという制約である。

　以下、第４の制約をより具体的に示す。各基本スピンの状態が２次元マトリクスで表されるものとする。この２次元マトリクスの行を変数ｍで表し、列を変数ｄで表し、行および列に応じた基本スピンの状態を表わす変数をｘ_ｍ，ｄとする。そして、基本スピンの状態を表わす複数の変数ｘ_ｍ，ｄ，ｘ_{ｍ，ｄ＋１}を、以下に示す式（４）によって、補助スピンの状態を表わす１つの変数ｙ_{ｍ，（ｄ，ｄ＋１）}に置き換えるものとする。

　ｙ_{ｍ，（ｄ，ｄ＋１）}＝ｘ_ｍ，ｄ×ｘ_{ｍ，ｄ＋１}　　　　　・・・（４）

　図２は、本例における、複数の基本スピンと１つの補助スピンとを含む組の例を示す模式図である。図２に示すように、各基本スピンの状態を示す２次元マトリクスと、各補助スピンの状態を示す２次元マトリクスは、別々のマトリクスになる。図２では、基本スピンｘ_Ｃ，２と、基本スピンｘ_Ｃ，３と、補助スピンｙ_{Ｃ，（２，３）}とが１つの組になることを示している。ただし、本例における組は、この１つに限られず、多数存在する。そして、それらの各組に対して、第４の制約が定められているとする。

　図２に示す例では、ｘ_Ｃ，２＝１，ｘ_Ｃ，３＝０，ｙ_{Ｃ，（２，３）}＝０となっている。基本スピンｘ_Ｃ，３を“０”から“１”に変化させた場合、第４の制約に基づいて、ｙ_{Ｃ，（２，３）}も、“０”から“１”に変化させることになる。

　なお、本例では、基本スピンｘ_Ｃ，３と、基本スピンｘ_Ｃ，４と、補助スピンｙ_{Ｃ，（３，４）}も１つの組になるので、上記の例において、補助スピンｙ_{Ｃ，（３，４）}も、“０”から“１”に変化させることになる。

　上記の第１の制約から第４の制約までの各制約は、スピンの組に対する制約である。本実施形態では、スピンの組に対する制約だけでなく、スピンに対する制約が定められていてもよい。以下、スピンに対する制約の例を説明する。

　スピンに対する制約の例として、所定のスピンは、第１の値（ＱＵＢＯでは“１”）と第２の値（ＱＵＢＯでは“０”）のうちの一方の値のみを取り、その所定のスピンの値は変化しないという制約である。すなわち、この制約は、所定のスピンに対しては、第１の値または第２の値が固定値として定められるという制約である。以下、この制約を「第５の制約」と記す。第５の制約が定められるスピン、および、そのスピンがとる固定値は、予め定められる。第５の制約が定められるスピン、および、そのスピンがとる固定値は、例えば、ユーザによって定められ、入力部２を介して入力されてもよい。第５の制約が定められるスピン、および、そのスピンがとる固定値の設定態様は、上記の例に限定されない。例えば、求解プログラムに、第５の制約が定められるスピン、および、そのスピンがとる固定値が記述されていてもよい。

　また、第５の制約が定められるスピンの数は、１つであっても２つ以上であってもよい。ただし、全てのスピンに第５の制約が定められることはない。以下、第５の制約が定められたスピンを固定スピンと記す。

　第１の制約から第５の制約のうち、１種類の制約が設定されてもよく、また、複数種類の制約が設定されてもよい。また、第１の制約から第５の制約以外の制約が設定されてもよい。

　ＳＡ部３（シミュレーテッドアニーリング部３）は、エネルギー関数が入力されると、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求める。ＳＡ部３について、より具体的に説明する。

　ＳＡ部３は、エネルギー関数が入力されると、スピンの状態の表現形式の下で、個々のスピンの値をランダムに定める。前述のように、説明を簡単にするため、スピンの状態の表現形式が２次元マトリクスである場合を例にする。この場合、ＳＡ部３は、２次元マトリクスにおいて、個々のスピンの値をランダムに定める。また、補助スピンが存在する場合には、個々の補助スピンの値もランダムに定める。ただし、ＳＡ部３は、固定スピン（第５の制約が定められたスピン）関しては、その固定スピンに定められた固定値（“１”または“０”）を定める。この時点では、各組に定められた制約が満たされているとは限らない。

　ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングを実行する際、まず、１つのスピンを選択し、そのスピンが属する組を１つ選択する。

　ＳＡ部３は、選択した組が、その組に定められた制約を満たし、かつ、選択したスピンの状態を変化させると決定した場合には、その組がその制約を満たした状態を維持するように、選択したスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる。このとき、選択したスピンの状態のみを変化させることもあり得る。

　また、選択した組が、その組に定められた制約を満たしていない場合、ＳＡ部３は、選択したスピンの状態を変化させるか否かを決定する。選択したスピンの状態を変化させると決定した場合には、ＳＡ部３は、選択したスピンの状態を変化させる。前述のように最初にランダムに各スピンの値を定めた時点では、各組に定められた制約が満たされているとは限らない。しかし、この動作が行われることで、制約を満たす組が増加していく。

　ＳＡ部３は、１つのスピンを選択する動作以降の動作を繰り返す。そして、例えば、スピンの状態を変化させないと決定することが所定回数、連続して生じた場合に、ＳＡ部３は、その時点における各スピンの状態を、組合せ最適化問題の解に相当する状態であると決定する。

　なお、ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングにおける遷移確率に基づいて、スピンの状態を変化させるか否かを決定する。

　また、スピンの状態を変化させることを、「スピンをフリップする」と記す場合がある。

　出力部４は、ＳＡ部３によって決定された、組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を出力する。例えば、出力部４は、求解システム１が備えるディスプレイ装置（図示略）に、組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を表示させてもよい。ただし、組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態の出力態様は、特に限定されない。

　ＳＡ部３および出力部４は、例えば、求解プログラムに従って動作するコンピュータのＣＰＵ（Central Processing Unit ）によって実現される。この場合、ＣＰＵは、コンピュータのプログラム記憶装置等のプログラム記録媒体から求解プログラムを読み込み、その求解プログラムに従って、ＳＡ部３および出力部４として動作すればよい。

　次に、ＳＡ部３が、制約が定められた状態でスピンをフリップする具体例を示す。

［具体例１］
　具体例１では、第１の制約および第５の制約が定められた場合を例にする。また、具体例１では、都市の数が４つである場合の巡回セールスマン問題を例にして説明する。図３は、具体例１における各スピンの状態の一例を示す模式図である。具体例１では、各スピンの状態は、都市および時刻を軸とする４行４列の２次元マトリクスで表される。

　本例では、図３に示すマトリクスにおいて、横方向に並ぶ４つのスピンが１つの組として定められているものとする。図３に示すように、スピンの行が４行存在するので、４つの組が定められている。そして、その４つの組それぞれに、第１の制約が定められているものとする。このことは、１つの時刻において、セールスマンが１つの都市にしか存在しないことを意味する。

　図３に示す例では、既に、４つの組がそれぞれ、第１の制約を満たした状態になっている。

　また、図３に示す太枠で示したスピンにはそれぞれ固定値が定められているものとする（第５の制約）。第１行第１列のスピンの値は“１”に定められている。また、第１行の各スピンおよび第１列の各スピンのうち、第１行第１列のスピン以外のスピンの値は、“０”に定められている（図３参照）。図３に示すように定められた固定スピンの値は、最初の時刻にセールスマンが都市Ａにいることを意味している。

　各スピンの状態が図３に示す状態であるときに、ＳＡ部３が、スピン６１を選択したとする。この場合、ＳＡ部３は、スピン６１が属する組を１つ選択する。本例では、ＳＡ部３は、図３に示す第３行の４つのスピンからなる組を選択する。この組は、既に第１の制約を満たしている。スピン６１をフリップしただけでは、第１の制約を満たした状態を維持できないので、ＳＡ部３は、第１の制約を満たした状態を維持するように、スピン６１とともにフリップする他のスピンを、固定スピン以外のスピンを選択する。ここでは、ＳＡ部３は、値が“１”であるスピン６２を選択する。

　そして、ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングにおける遷移確率に基づいて、スピン６１，６２をフリップするか否かを決定する。スピン６１，６２をフリップすると決定した場合には、ＳＡ部３は、スピン６１，６２をフリップする。この状態を図４に示す。フリップ後においても、第３行に該当する組は、第１の制約を満たしている。

　なお、具体例１では、横方向に並ぶ４つのスピンが１つの組として定められた場合を示した。縦方向に並ぶ４つのスピンが１つの組として定められてもよい。この場合にも、４つの組が存在する。その４つの組（４つの列）に、それぞれ、第１の制約を定めたとする。このことは、セールスマンは同じ都市を２回以上通過することはないということを意味する。

［具体例２］
　具体例２では、第２の制約、第３の制約、および、第４の制約が定められた場合を例にする。また、具体例２では、５日間における最適な勤務シフト表を作成するという組合せ最適化問題を例にして説明する。日付を変数ｄで表し、人員を変数ｍで表すこととする。また、人員は、Ａ，Ｂ，Ｃの３人であるものとする。

　人員ｍが日付ｄに勤務するか否かを変数ｘ_ｍ，ｄで表すこととする。ｘ_ｍ，ｄ＝１は、人員ｍが日付ｄに勤務することを表わす。ｘ_ｍ，ｄ＝０は、人員ｍが日付ｄに勤務しないことを表わす。ｘ_ｍ，ｄは、スピンに該当する。

　さらに、この組合せ最適化問題で、「３日連続の勤務は禁止である」という制約と、「３日連続の休みは禁止である」という制約が存在するものとする。

　この組合せ最適化問題では、エネルギーを表わす式は、以下に示す式（５）で表される。

　式（５）の右辺の第１項は、「３日連続の勤務は禁止である」という制約を表わしている。

　式（５）の右辺の第２項は、「３日連続の休みは禁止である」という制約を表わしている。

　式（５）の右辺の第３項は、各日における勤務人数と必要人数の差を表わしている。ｗ_ｄは、日付ｄにおける必要人数であり、ｄに応じた定数として定められている。本例における組合せ最適化問題では、勤務人数と必要人数の差が少なくなることが好ましい。

　式（５）では、スピンの状態を表わす変数の次数は３次である。従って、基本スピンの状態を表わす複数の変数ｘ_ｍ，ｄ，ｘ_{ｍ，ｄ＋１}を、以下に示す式（６）によって、補助スピンの状態を表わす１つの変数ｙ_{ｍ，（ｄ，ｄ＋１）}に置き換えるものとする。なお、式（６）は、前述の式（４）と同じ式である。

　ｙ_{ｍ，（ｄ，ｄ＋１）}＝ｘ_ｍ，ｄ×ｘ_{ｍ，ｄ＋１}　　　　　・・・（６）

　このような置き換えによって、スピンの状態を表わす変数の次数を２次まで下げることができる。例えば、式（５）の右辺の第１項におけるｘ_ｍ，ｄｘ_{ｍ，ｄ＋１}ｘ_{ｍ，ｄ＋２}は、以下に示す式（７）のような２次の式に変換できる。

　ｙ_ｍ，ｄｘ_{ｍ，ｄ＋２}＋ｘ_ｍ，ｄｘ_{ｍ，ｄ＋１}－２ｘ_ｍ，ｄｙ_ｍ，ｄ－２ｘ_{ｍ，ｄ＋１}ｙ_ｍ，ｄ
　＋３ｙ_ｍ，ｄ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（７）

　同様に、式（５）の右辺の第２項も、２次に変換できる。式（５）の右辺の第３項は、元々、２次である。

　スピンの状態を表わす変数の次数が２次まで下げられたエネルギーを表わす式は、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数に変換することができる。

　図５は、具体例２における各基本スピンの状態を表わす２次元マトリクス、および、各補助スピンの状態を表わす２次元マトリクスの一例を示す模式図である。なお、初期状態では、各基本スピンおよび各補助スピンの値は、ランダムに１または０に定められる。

　本例では、横方向に並ぶ３つの基本スピンが１つの組になるように、基本スピンの各組が定められているものとする。例えば、ｘ_Ａ，１，ｘ_Ａ，２，Ｘ_Ａ，３が１つの組として定められ、ｘ_Ａ，２，ｘ_Ａ，３，Ｘ_Ａ，４が１つの組として定められる。同様に、他の組も定められる。１つの基本スピンが複数の組に属する場合がある。上記のように定められた基本スピンの各組に、第２の制約および第３の制約が定められているものとする。

　また、式（６）によって、補助スピンが定められているので、例えば、基本スピンｘ_Ａ，１と、基本スピンｘ_Ａ，２と、補助スピンｙ_{Ａ，（１，２）}との組が定められる。同様に、基本スピンｘ_Ａ，２と、基本スピンｘ_Ａ，３と、補助スピンｙ_{Ａ，（２，３）}との組が定められる。このように、補助スピンを含む組も複数個定められる。そして、補助スピンを含む各組に、第４の制約が定められているもとする。

　具体例２において、第２の制約を満たした状態を維持するように、スピンをフリップする場合を説明する。スピンの状態は、図５に示す状態であるものとする。ＳＡ部３が、スピンｘ_Ｃ，３を選択したとする。この場合、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，３が属する組（基本スピンのみからなる組）を１つ選択する。本例では、ＳＡ部３が、組２１（図５参照）を選択したものとする。組２１は、第２の制約を満たしている。スピンｘ_Ｃ，３をフリップしただけでは、組２１に属する３つのスピンの値が全て“１”になり、第２の制約を満たさなくなる。そのため、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，３とともにフリップする他のスピンを、組２１の中から選択する。本例では、スピンｘ_Ｃ，１およびスピンｘ_Ｃ，２のいずれか一方を任意に選択すればよい。ここでは、スピンｘ_Ｃ，１を選択する場合を例にして説明する。

　ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングにおける遷移確率に基づいて、スピンｘ_Ｃ，３およびスピンｘ_Ｃ，１をフリップするか否かを決定する。スピンｘ_Ｃ，３およびスピンｘ_Ｃ，１をフリップすると決定した場合、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，３およびスピンｘ_Ｃ，１をフリップする。この結果、スピンｘ_Ｃ，１＝０、スピンｘ_Ｃ，３＝１となる。すなわち、組２１に属する３つのスピンの値は、“０”，“１”，“１”となり、第２の制約を満たす状態は維持されている。

　具体例２において、第３の制約を満たした状態を維持するように、スピンをフリップする場合を説明する。スピンの状態は、図５に示す状態であるものとする。ＳＡ部３が、スピンｘ_Ｃ，４を選択したとする。この場合、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，４が属する組（基本スピンのみからなる組）を１つ選択する。本例では、ＳＡ部３が、組２２（図５参照）を選択したものとする。組２２は、第３の制約を満たしている。スピンｘ_Ｃ，４をフリップしただけでは、組２２に属する３つのスピンの値が全て“０”になり、第３の制約を満たさなくなる。そのため、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，４とともにフリップする他のスピンを、組２２の中から選択する。本例では、スピンｘ_Ｃ，３およびスピンｘ_Ｃ，５のいずれか一方を任意に選択すればよい。ここでは、スピンｘ_Ｃ，５を選択する場合を例にして説明する。

　ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングにおける遷移確率に基づいて、スピンｘ_Ｃ，４およびスピンｘ_Ｃ，５をフリップするか否かを決定する。スピンｘ_Ｃ，４およびスピンｘ_Ｃ，５をフリップすると決定した場合、ＳＡ部３は、スピンｘ_Ｃ，４およびスピンｘ_Ｃ，５をフリップする。この結果、スピンｘ_Ｃ，４＝０となり、スピンｘ_Ｃ，５＝１となる。すなわち、組２２に属する２つのスピンの値は、“０”，“０”，“１”となり、第３の制約を満たす状態は維持されている。

　具体例２において、第４の制約を満たすように、スピンをフリップする場合を説明する。スピンの状態は、図５に示す状態であるものとする。

　基本スピンｘ_Ａ，１と、基本スピンｘ_Ａ，２と、補助スピンｙ_{Ａ，（１，２）}との組が定められている。同様に、基本スピンｘ_Ａ，２と、基本スピンｘ_Ａ，３と、補助スピンｙ_{Ａ，（２，３）}との組が定められている。これらの組に、第４の制約が定められている。従って、基本スピンｘ_Ａ，２をフリップする場合、それに合わせてフリップする可能性がある補助スピンは、補助スピンｙ_{Ａ，（１，２）}および補助スピンｙ_{Ａ，（２，３）}である。

　ＳＡ部３が基本スピンｘ_Ａ，２を選択したとする。そして、ＳＡ部３が、基本スピンｘ_Ａ，２をフリップすると決定し、基本スピンｘ_Ａ，２をフリップしたとする。この場合、ｘ_Ａ，２＝１となる。

　すると、ｘ_Ａ，１＝１，ｘ_Ａ，２＝１であるので、補助スピンｙ_{Ａ，（１，２）}の値は、１×１＝１となる。従って、ＳＡ部３は、補助スピンｙ_{Ａ，（１，２）}を“０”から“１”にフリップする。

　また、ｘ_Ａ，２＝１，ｘ_Ａ，３＝０であるので、補助スピンｙ_{Ａ，（２，３）}の値は、１×０＝０となる。既に、ｙ_{Ａ，（２，３）}＝０であるので（図５参照）、ＳＡ部３は、補助スピンｙ_{Ａ，（２，３）}をフリップしない。

　次に、処理経過について説明する。図６および図７は、本実施形態の求解システム１の処理経過の例を示すフローチャートである。スピンの各組、および、各組に対する制約は、予め定められているものとする。また、第５の制約が定められるスピンがあれば、そのスピン、および、そのスピンの値（固定値）も、予め定められているものとする。

　また、シミュレーテッドアニーリングにおける温度は初期値に設定されているものとする。

　ＳＡ部３は、入力部２を介してエネルギー関数が入力されると、スピンの状態の表現形式（例えば、２次元マトリクス等）の下で、各スピンの値を“１”または“０”にランダムに定める（ステップＳ１）。

　ただし、ＳＡ部３は、固定スピンに対しては、予め定められた固定値を定める。

　また、補助スピンがある場合には、ＳＡ部３は、各補助スピンの値も“１”または“０”にランダムに定める。

　ステップＳ１が完了した時点では、スピンの各組に定められた制約が満たされているとは限らない。

　次に、ＳＡ部３は、フリップする候補となるスピンを１つ選択する（ステップＳ２）。以下、ステップＳ２で選択されたスピンを選択スピンと記す。

　次に、ＳＡ部３は、選択スピンが固定スピンまたは補助スピンであるか否かを判定する（ステップＳ３）。選択スピンが固定スピンまたは補助スピンであるならば（ステップＳ３のＹｅｓ）、ＳＡ部３は、ステップＳ２以降の動作を繰り返す。

　選択スピンが固定スピンでも補助スピンでもないならば（ステップＳ３のＮｏ）、ＳＡ部３は、選択スピンが属する組を１つ選択する（ステップＳ４）。選択スピンが属する組が複数個ある場合であっても、ＳＡ部３は、選択スピンが属する組を１つ選択する。

　ただし、ステップＳ４において、ＳＡ部３は、選択スピンとともに補助スピンが属している組は選択しない。すなわち、ＳＡ部３は、選択スピンが属しているが補助スピンは属していない組を選択する。

　次に、ＳＡ部３は、ステップＳ４で選択した組がその組に定められた制約を既に満たしているか否かを判定する（ステップＳ５）。

　ステップＳ４で選択した組がその組に定められた制約を満たしていないならば（ステップＳ５のＮｏ）、ＳＡ部３は、選択スピンをフリップした場合のエネルギー変化を計算する（ステップＳ６）。

　次に、ＳＡ部３は、ステップＳ６で計算したエネルギー変化と、シミュレーテッドアニーリングにおける温度とに基づいて、遷移確率を計算する（ステップＳ７、図７を参照。）。

　次に、ＳＡ部３は、ステップＳ７で計算した遷移確率に基づいて、状態遷移を受理するか否かを判定する（ステップＳ８）。

　状態遷移を受理する場合（ステップＳ８のＹｅｓ）、ＳＡ部３は、選択スピンをフリップする（ステップＳ９）。

　次に、ＳＡ部３は、シミュレーテッドアニーリングにおける温度を減少させる（ステップＳ１５）。ステップＳ１５の後、ＳＡ部３は、ステップＳ２以降の動作を繰り返す。

　また、ステップＳ８において、状態遷移を受理しない場合（ステップＳ８のＮｏ）、ＳＡ部３は、ステップＳ９を行うことなく、ステップＳ１５に移行する。

　前述のように、ステップＳ１が完了した時点では、スピンの各組に定められた制約が満たされているとは限らない。しかし、ＳＡ部３が、ステップＳ６～Ｓ９の処理を繰り返し実行し、選択スピンをフリップする回数が増えるにつれて、制約を満たす組が増加していく。

　ステップＳ４で選択した組がその組に定められた制約を満たしているならば（ステップＳ５のＹｅｓ）、ＳＡ部３は、ステップＳ４で選択した組が制約を満たした状態を維持するように、選択スピンとともにフリップするスピンを特定する（ステップＳ１０）。選択スピンのみをフリップしても、組が制約を満たした状態が維持できるならば、ステップＳ１０において、ＳＡ部３は、選択スピン以外のスピンを特定しなくてもよい。すなわち、ステップＳ１０において、選択スピン以外のスピンが特定されないことがあってもよい。

　また、第５の制約が定められている場合、ステップＳ１０において、ＳＡ部３は、選択スピン、および、選択スピンとともにフリップするスピンのフリップに応じて値が変化することになる補助スピンも特定する。

　また、基本スピンと補助スピンとが存在し、基本スピンからなる組に第１の制約、第２の制約および第３の制約がいずれも定められず、基本スピンと補助スピンとを含む組に第５の制約が定められる場合もあり得る。この場合には、選択スピンが固定スピンでも補助スピンでもないと判定したならば（ステップＳ３のＮｏ）、直ちにステップＳ１０に移行してよい。そして、ＳＡ部３は、ステップＳ１０で、基本スピンをフリップした場合に、そのフリップ結果に応じて値が変化することになる補助スピンを特定すればよい。

　ステップＳ１０の次に、ＳＡ部３は、選択スピン、および、ステップＳ１０で特定したスピンをフリップした場合のエネルギー変化を計算する（ステップＳ１１）。なお、前述のように、ステップＳ１０において、選択スピン以外のスピンが特定されないことがあり得る。その場合には、ＳＡ部３は、ステップＳ１１において、選択スピンをフリップした場合のエネルギー変化を計算すればよい。

　次に、ＳＡ部３は、ステップＳ１１で計算したエネルギー変化と、シミュレーテッドアニーリングにおける温度とに基づいて、遷移確率を計算する（ステップＳ１２、図７を参照）。

　次に、ＳＡ部３は、ステップＳ１２で計算した遷移確率に基づいて、状態遷移を受理するか否かを判定する（ステップＳ１３）。

　状態遷移を受理する場合（ステップＳ１３のＹｅｓ）、ＳＡ部３は、選択スピン、および、ステップＳ１０で特定したスピンをフリップする（ステップＳ１４）。

　また、ステップＳ１３において、状態遷移を受理しない場合（ステップＳ１３のＮｏ）、ＳＡ部３は、ステップＳ１４を行うことなく、ステップＳ１５に移行する。

　上記のように、ＳＡ部３は、ステップＳ２～Ｓ１５の処理を繰り返す。そして、例えば、繰り返し処理で、毎回ステップＳ１３に移行し、ステップＳ１３で状態遷移を受理しないという判定結果が連続して所定回数続いた場合には、ＳＡ部３は、その時点における各スピンの状態が、組合せ最適化問題の解に相当する状態であると判定してよい。換言すれば、エネルギーが最小となるときの各スピンの状態が得られたと判定してよい。その場合、出力部４は、その各スピンの状態を出力する。例えば、求解システム１のユーザは、その各スピンの状態を参照し、組合せ最適化問題の解を解釈すればよい。

　本実施形態によれば、ＳＡ部３は、選択スピンが属する組がその組に定められた制約を満たしていて、スピンをフリップすると決定した場合、その組が制約を満たした状態を維持するように、選択スピンを含む１つ以上のスピンをフリップする。ここで、組が制約を満たした状態から制約を満たさない状態に変化させるということは、そもそも、組合せ最適化問題における制約を満たしていないような探索候補を探索していることを意味する。本実施形態では、ＳＡ部３が、組が制約を満たした状態を維持するように、選択スピンを含む１つ以上のスピンをフリップするので、そのような無駄な探索候補の探索を抑止できる。従って、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用することによって組合せ最適化問題を解く場合の計算量を少なくすることができる。

　また、既に説明したように、ＱＵＢＯにおけるエネルギー関数の代わりに、イジングモデルにおけるエネルギー関数が求解システム１に入力されてもよい。この場合、スピンの状態を表わす第２の値が“０”から“－１”に変わる点以外、ＳＡ部３の動作は、第１の実施形態で説明した動作と同様である。

　図８は、本発明の実施形態の求解システム１に係るコンピュータの構成例を示す概略ブロック図である。コンピュータ１０００は、ＣＰＵ１００１と、主記憶装置１００２と、補助記憶装置１００３と、インタフェース１００４と、入力デバイス１００５とを備える。

　本発明の実施形態の求解システム１は、コンピュータ１０００によって実現される。求解システム１の動作は、求解プログラムの形式で補助記憶装置１００３に記憶されている。ＣＰＵ１００１は、その求解プログラムを補助記憶装置１００３から読み出して主記憶装置１００２に展開し、その求解プログラムに従って、上記の実施形態で説明した処理を実行する。

　補助記憶装置１００３は、一時的でない有形の媒体の例である。一時的でない有形の媒体の他の例として、インタフェース１００４を介して接続される磁気ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memory ）、ＤＶＤ－ＲＯＭ（Digital Versatile Disk Read Only Memory ）、半導体メモリ等が挙げられる。また、プログラムが通信回線によってコンピュータ１０００に配信される場合、配信を受けたコンピュータ１０００がそのプログラムを主記憶装置１００２に展開し、そのプログラムに従って上記の実施形態で説明した処理を実行してもよい。

　また、各構成要素の一部または全部は、汎用または専用の回路（circuitry ）、プロセッサ等やこれらの組合せによって実現されてもよい。これらは、単一のチップによって構成されてもよいし、バスを介して接続される複数のチップによって構成されてもよい。各構成要素の一部または全部は、上述した回路等とプログラムとの組合せによって実現されてもよい。

　各構成要素の一部または全部が複数の情報処理装置や回路等により実現される場合には、複数の情報処理装置や回路等は集中配置されてもよいし、分散配置されてもよい。例えば、情報処理装置や回路等は、クライアントアンドサーバシステム、クラウドコンピューティングシステム等、各々が通信ネットワークを介して接続される形態として実現されてもよい。

　次に、本発明の概要について説明する。図９は、本発明の求解システムの概要を示すブロック図である。本発明の求解システムは、入力部２と、シミュレーテッドアニーリング部３とを備える。

　入力部２は、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデル（例えば、ＱＵＢＯ、イジングモデル）におけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける。

　シミュレーテッドアニーリング部３は、エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、その組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求める。

　シミュレーテッドアニーリング部３は、シミュレーテッドアニーリングの過程で、スピンを選択し、そのスピンが属する組を選択し、その組が予め定めされた制約を満たし、かつ、そのスピンの状態を変化させると決定した場合に、その組がその制約を満たした状態を維持するように、そのスピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる。

　そのような構成によって、個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数をシミュレーテッドアニーリングに適用することによって組合せ最適化問題を解く場合の計算量を少なくすることができる。

　組が満たすべき制約として、組に属する複数のスピンのうち、１つのスピンのみが第１の値をとるという制約が定められてもよい。

　組が満たすべき制約として、組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンは第２の値をとるという制約が定められてもよい。

　組が満たすべき制約として、組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンは第１の値をとるという制約が定められてもよい。

　組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式において、スピンの状態を表わす変数の次数が３次以上である場合に、スピンの状態を表わす複数の変数を、１つの変数に置き換えることによって、スピンの状態を表わす変数の次数を２次まで下げ、スピンの状態を表わす変数の次数が２次まで下げられたエネルギーを表わす式を変換することによって得られたエネルギー関数が入力される場合、置き換え後の変数に対応するスピンである補助スピンと、置き換え前の複数の変数に対応する複数のスピンとの組に対して、当該複数のスピンのうちのいずれかのスピンの状態の変化に応じて補助スピンの状態を変化させるという制約が定められてもよい。

　所定のスピンに対して、第１の値または第２の値が固定値として定められてもよい。

　以上、実施形態を参照して本願発明を説明したが、本願発明は上記の実施形態に限定されるものではない。本願発明の構成や詳細には、本願発明のスコープ内で当業者が理解し得る様々な変更をすることができる。

産業上の利用の可能性

　本発明は、組合せ最適化問題の求解に好適に適用可能である。

　１　求解システム
　２　入力部
　３　シミュレーテッドアニーリング部（ＳＡ部）
　４　出力部

Claims

　個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける入力部と、
　前記エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、前記組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求めるシミュレーテッドアニーリング部とを備え、
　前記シミュレーテッドアニーリング部は、
　前記シミュレーテッドアニーリングの過程で、
　スピンを選択し、前記スピンが属する組を選択し、
　前記組が予め定めされた制約を満たし、かつ、前記スピンの状態を変化させると決定した場合に、前記組が前記制約を満たした状態を維持するように、前記スピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる
　ことを特徴とする求解システム。
　組が満たすべき制約として、
　前記組に属する複数のスピンのうち、１つのスピンのみが第１の値をとるという制約が定められる
　請求項１に記載の求解システム。
　組が満たすべき制約として、
　前記組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンは第２の値をとるという制約が定められる
　請求項１または請求項２に記載の求解システム。
　組が満たすべき制約として、
　前記組に属する複数のスピンのうち、少なくとも１つのスピンは第１の値をとるという制約が定められる
　請求項１から請求項３のうちのいずれか１項に記載の求解システム。
　組合せ最適化問題におけるエネルギーを表わす式において、スピンの状態を表わす変数の次数が３次以上である場合に、スピンの状態を表わす複数の変数を、１つの変数に置き換えることによって、スピンの状態を表わす変数の次数を２次まで下げ、スピンの状態を表わす変数の次数が２次まで下げられたエネルギーを表わす式を変換することによって得られたエネルギー関数が入力される場合、
　置き換え後の変数に対応するスピンである補助スピンと、置き換え前の前記複数の変数に対応する複数のスピンとの組に対して、当該複数のスピンのうちのいずれかのスピンの状態の変化に応じて前記補助スピンの状態を変化させるという制約が定められる
　請求項１から請求項４のうちのいずれか１項に記載の求解システム。
　所定のスピンに対して、第１の値または第２の値が固定値として定められる
　請求項１から請求項５のうちのいずれか１項に記載の求解システム。
　個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付け、
　前記エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、前記組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求め、
　前記シミュレーテッドアニーリングの過程で、
　スピンを選択し、前記スピンが属する組を選択し、
　前記組が予め定めされた制約を満たし、かつ、前記スピンの状態を変化させると決定した場合に、前記組が前記制約を満たした状態を維持するように、前記スピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる
　ことを特徴とする求解方法。
　個々のスピンの状態を第１の値または第２の値で表すモデルにおけるエネルギー関数であって、解を求めるべき組合せ最適化問題に応じたエネルギー関数の入力を受け付ける入力部を備えるコンピュータに搭載される求解プログラムであって、
　前記コンピュータに、
　前記エネルギー関数が入力されたときに、シミュレーテッドアニーリングを実行することによって、前記組合せ最適化問題の解に相当する各スピンの状態を求めるシミュレーテッドアニーリング処理を実行させ、
　前記コンピュータに、
　前記シミュレーテッドアニーリングの過程で、
　スピンを選択し、前記スピンが属する組を選択し、
　前記組が予め定めされた制約を満たし、かつ、前記スピンの状態を変化させると決定した場合に、前記組が前記制約を満たした状態を維持するように、前記スピンを含む１つ以上のスピンの状態を変化させる処理を実行させる
　ための求解プログラム。