WO2020029417A1 - 一种二进制mds阵列编码的编码框架方法 - Google Patents
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- G06F11/07—Responding to the occurrence of a fault, e.g. fault tolerance
- G06F11/08—Error detection or correction by redundancy in data representation, e.g. by using checking codes
- G06F11/10—Adding special bits or symbols to the coded information, e.g. parity check, casting out 9's or 11's
- G06F11/1076—Parity data used in redundant arrays of independent storages, e.g. in RAID systems
Definitions
- the invention belongs to the field of machine language coding technology improvement, and particularly relates to a coding framework method for binary MDS array coding.
- Binary Maximum Distance Separable (MDS) array coding is a special erasure code that can achieve minimal storage redundancy and low computation Complexity tolerance.
- the binary array code consists of k + r columns, each of which has L bits.
- k information columns store information bits r parity columns store redundant bits.
- Each The L bits in the columns are all stored in the same storage node. We use the disk as a column or a storage node and an entry in the array as a bit. When a node fails, the corresponding column of the array code is considered Is an erasure.
- MDS code k-code [2]
- RDP codes [3] and EVENODD codes [4] triple fault-tolerant codes
- TIP code STAR code [5]
- a traditional method is to download all the bits from any surviving column to regenerate the bits in the faulty column. Therefore, the total number of bits used to repair the faulty column is k times the number of faulty bits.
- the object of the present invention is to provide a coding framework method of binary MDS array coding, which aims to solve the above technical problems.
- the present invention is implemented as such, a coding framework method for binary MDS array coding, the coding framework method includes: when a file with a size of k (p-1) ⁇ is calculated,
- a further technical solution of the present invention is: use R p ⁇ to represent the ring
- addition is the usual item-by-item addition.
- Multiplication is performed by the module x p ⁇ +1.
- multiplying by x can be interpreted as a cyclic shift.
- a further technical solution of the present invention is that the encoding method does not need to store extra bits on a hard disk, and is only used for the convenience of marking.
- a further aspect of the present invention is: R p ⁇ having a sub-ring C p ⁇ R p ⁇ factor x ⁇ +1 polynomial configuration, which is calculated as
- a further technical solution of the present invention is: when the coefficient s i (x) of the polynomial is a calculation formula in C p ⁇ Established.
- the beneficial effect of the present invention is that it is beneficial to maintaining data availability in a distributed storage system prone to failure.
- s l (x) s 0, l + s 1, l x + s 2, l x 2 + ... + s p ⁇ -1, l x p ⁇ -1 (3)
- k information polynomials and r coded polynomials as row vectors as follows
- the proposed coding can be described as a check matrix H (k + r) ⁇ r .
- H (k + r) ⁇ r 0 (7)
- R p ⁇ represent the ring
- h (x) is called a check polynomial in C p ⁇ .
- Theorem 1 satisfies (2) if and only if the coefficient si (x) of the polynomial is in C p ⁇ .
- Lemma 2 Rings R p ⁇ and Are isomorphic.
- mapping ⁇ is a ring homomorphism and bijection because it has an inverse function ⁇ ( ⁇ (x), b (x)), where
- ⁇ ⁇ ⁇ is an identity map of the ring R p ⁇ .
- ⁇ ⁇ ⁇ is the identity mapping of the ring R p ⁇ , and the proof of the lemma is completed.
- Lemma 3 Ring C p ⁇ and Are isomorphic.
- the encoding process can be described by the following polynomial operation. Given k (p-1) ⁇ information bits, by (3), add ⁇ extra bits for each (p-1) ⁇ information bits and form C p ⁇ K data polynomials. After obtaining a vector (4) by selecting a specific encoding matrix or check matrix, store the coefficients in the polynomial from 0 to (p-1) ⁇ -1 and store the rest The target coefficients are discarded.
- the proposed array code can be regarded as a systematic linear code on C p ⁇ .
Landscapes
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Abstract
本发明适用于数字处理技术改进领域，提供了一种二进制MDS阵列编码的编码方法，所述编码方法包括以下步骤：给定k(p-1)τ个信息位,通过(3),为每(p-1)τ个信息位附加τ个额外位,并形成属于C pτ的k个数据多项式.在通过选择某种特定的编码矩阵或检查矩阵得到向量(4)后,将多项式中下标在0到(p-1)τ-1的系数存储起来,并将其余下标的系数丢掉。提出的阵列码可以被看作C pτ上的一种系统线性码。有利于在故障易发的分布式存储系统中维护数据可用性。
Description
本发明属于机器语言编码技术改进领域，尤其涉及一种二进制MDS阵列编码的编码框架方法。
现代分布式存储系统部署擦除代码来维护数据可用性，以防止存储节点的故障.二进制最大距离可分(MDS)阵列编码是一种特殊的擦除码，它可以实现最小存储冗余和低计算复杂度的容错.特别地，二进制数组代码由k+r列组成，每个列中都有L位.在k+r列中，k信息列存储信息位r奇偶列存储冗余位.每个列中的L位都存储在相同的存储节点中.我们将磁盘作为一个列或一个存储节点，并将数组中的一个条目作为一个比特.当一个节点发生故障时，数组代码的相应列被认为是一个擦除.如果k+r列中的任何k都可以重构所有k信息列(即：它可以容忍任何r失败的列)，这样的编码称作MDS码.二进制MDS阵列码的示例包括双容错代码(即r＝2)如x-code[2]，RDP码[3]和EVENODD码[4]，以及三重容错码(即r＝3)如：STAR码[5]，广义RDP码[6]，和TIP码[7]。
当一个节点在分布式存储系统中出现故障时，应该通过从d健康节点中下载片段来修复故障节点，其中k≤d≤k+r-1.最小化修复带宽，定义为在修复过程中下载的比特数量，对于加快修复操作和最小化漏洞的窗口是至关重要的，特别是在分布式存储中，网络传输是瓶颈.修复问题是由Dimakis等人[8]基于信息流动图的概念制定的.最小存储冗余的最小修复带宽在[8]中 进行了陈述，也称为最小存储再生(MSR)点，是由下式表示：
虽然最小的修复带宽是可以达到的，在一个足够大的有限域上，但是如何构造二进制的MDS阵列码来实现最小的修复带宽仍然是一个挑战。
一种传统的方法是从任何k幸存的列中下载所有的位元来重新生成故障列中的位元.因此，用于修复故障列的比特数的总数是故障位的k倍.在二进制MDS阵列代码中，有研究减少了单个失败列的修复带宽.一些方法最小化了RDP代码[10]的磁盘读取和d＝k+1的x-code[11]，但是它们的修复带宽是次优的，比d＝k+1时(1)的最小值大50％.MDR码[12]，[13]和ButterFly码[14]，[15]是二进制的MDS阵列编码，达到最优修复；然而，它们只提供了双重容错(即r＝2).如何用最优修复和更好的容错(即r＞2)来构造二进制MDS阵列码仍然是一个开放的问题.这样的结构将有利于在故障易发的分布式存储系统中维护数据可用性。
发明内容
本发明的目的在于提供一种二进制MDS阵列编码的编码框架方法，旨在解决上述的技术问题。
本发明是这样实现的，一种二进制MDS阵列编码的编码框架方法，所述编码框架方法包括：当一个大小为k(p-1)τ的文件，通过计算公式
s
l(x)＝s
0，l+s
1，lx+s
2，lx
2+...+s
pτ-1，lx
pτ-1 将对于l＝1，2，...，k+r，用一个在环
上的多项式s
l(x)来表示第l列中的比特s
0，l，s
1，l，...，s
(p-1)τ-1，l和τ个额外比特s
(p-1)τ，l，s
(p-1)τ+1，l，...，s
pτ-1，l；把对应于第i(i＝1，2，...，k)个信息列的多项式s
i(x)叫做信息多项式；把对应于第j-k个校验列的多项式s
j(x)(j＝k+1，k+2，...，k+r)叫做编码多项式，将把k个信息多项式和r个编码多项式写成如下的行向量；计算公式为：
[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k+r(x)]＝[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k(x)]·G
k×(k+r)，其中k×(k+r)的生成矩阵G由k×k的单位矩阵I和k×r的编码矩阵P构成，计算如下：G
k×(k+r)＝[I
k×k P
k×r]；编码可以描述为一个校验矩阵H
(k+r)×r，计算式为
[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k(x)]·H
(k+r)×r＝0。
本发明的进一步技术方案是：用R
pτ表示环
R
pτ中的一个元素a(x)可以表示成a(x)＝a
pτ-1x
pτ-1+...+a
1x+a
0， 其系数是有限域
中的元素，加法是通常的逐项加法，乘法是用通过模x
pτ+1来执行的，在R
pτ中，乘以x可以被解释为循环移位。
本发明的进一步技术方案是：所述编码方法不需要将额外的位存储在硬盘上，只用于标记的方便性。
本发明的进一步技术方案是：R
pτ中具有因子x
τ+1的多项式构成的R
pτ的子环C
pτ，其计算式为
C
pτ＝{a(x)(1+x
τ)mod(1+x
(pτ)[a(x)∈R
pτ}。
本发明的进一步技术方案是：当多项式的系数s
i(x)在C
pτ中是计算式
成立。
本发明的有益效果是：有利于在故障易发的分布式存储系统中维护数据可用性。
考虑一个具有k≥2个信息列和r≥3个校验列的二进制MDS阵列码。该阵列码的每一列都存储L＝(p-1)τ位元，其中p是一个素数，这样2是有限域
中的一个原始元素，τ的值稍后将指定。考虑一个大小为k(p-1)τ的文件，用信息比特s
0，i，s
1，i，...，
来表示。这些信息比特可以用来生成r(p-1)τ个校验比特
位元s
0，i，s
1，i，...，s
(p-1)τ-1，i(i＝1，2，...，k)存储在第i个信息列中，(p-1)τ个位元s
0，j，s
1，j，...，s
(p-1)τ-1，j(j＝k+1，k+2，...，k+r)存储在第j-k个校验列中。
对i＝1，2，...，k和μ＝0，1，...，τ-1，我们定义下面的简短表示法：
我们把s
(p-1)τ+μ，i称为s
μ，i，s
τ+μ，i，...，s
(p-2)τ+μ，i的额外比特。例如，当p＝3，k＝4，和τ＝4，时，s
0+μ，i，s
4+μ，i的额外比特是s
8+μ，i＝s
0+μ，i+s
4+μ，i。对于j＝k+1，k+2，...，k+r，τ个额外比特s
(p-1)τ，j，s
(p-1)τ+1，j，...，s
pτ-1，j将加在第j-k个校验列后。后 面将会很明显，第j-k个校验列的冗余位元s
(p-1)τ+μ，j将满足(2)对j＝k+1，k+2，...，k+r和μ＝0，1，...，τ-1。
对于l＝1，2，...，k+r，我们用一个在环
上的多项式s
l(x)来表示第l列中的比特s
0，l，s
1，l，...，s
(p-1)τ-1，l和τ个额外比特s
(p-1)τ，l，s
(p-1)τ+1，l，...，s
pτ-1，l。例如
s
l(x)＝s
0，l+s
1，lx+s
2，lx
2+...+s
pτ-1，lx
pτ-1 (3)
把对应于第i(i＝1，2，...，k)个信息列的多项式s
i(x)叫做信息多项式；把对应于第j-k个校验列的多项式s
j(x)(j＝k+1，k+2，...，k+r)叫做编码多项式。我们把k个信息多项式和r个编码多项式写成如下的行向量
[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k+r(x)] (4)
该向量可以通过在环
上的运算得到，计算公式如下：
[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k+r(x)]＝[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k(x)]·G
k×(k+r) (5)
其中k×(k+r)的生成矩阵G由k×k的单位矩阵I和k×r的 编码矩阵P构成，计算如下：G
k×(k+r)＝[I
k×k P
k×r] (6)
所提出的编码可以描述为一个校验矩阵H
(k+r)×r。考虑(4)，我们有[s
1(x)，s
2(x)，...，s
k(x)]·H(
k+r)×r＝0 (7)
用R
pτ表示环
R
pτ中的一个元素a(x)可以表示成a(x)＝a
pτ-1x
pτ-1+...+a
1x+a
0，其系数是有限域
中的元素。加法是通常的逐项加法，乘法是用通过模x
pτ+1来执行的。在R
pτ中，乘以x可以被解释为循环移位.这对于减少一个列故障的修复带宽是至关重要的。请注意，我们不需要将额外的位存储在磁盘上，它们只用于标记的方便性。
考虑由R
pτ中具有因子x
τ+1的多项式构成的R
pτ的子环C
pτ，C
pτ＝{a(x)(1+x
τ)mod(1+x
(pτ)|a(x)∈R
pτ} (8)
事实上，C
pτ是理想的，因为
我们可以验证h(x)＝x
(p-1)τ+x
(p-2)τ+...+x
τ+1和C
pτ中任意多项式的乘积为0。h(x)被成为C
pτ中的校验多项式。C
pτ中的乘法性质是e(x)＝1+h(x)＝x
(p-1)τ+x
(p-2)τ+...+x
τ＝(1+x
τ)(x
(p-2)τ+...+x
3τ+x
r)，
由于
e(x)b(x)＝(1+h(x))b(x)＝b(x)mod(1+x
pτ) (9)
定理1当且仅当多项式的系数s
i(x)在C
pτ中时才满足(2)。
证明：假设多项式的系数s
i(x)满足(2)，通过调整s
i(x)得，
这种化简是为了证明对于i＝0，1，...，p-2和j＝0，1，...，τ-1，x
iτ+j+x
(p-1)τ+j是x
τ+1的倍数。这是由于
x
iτ+j+x
(p-1)τ+j＝x
iτ+j(1+x
(p-i-1)τ)＝x
iτ+j(1+x
τ)(1+x
τ+x
2τ+...+x
(p-i-2)τ)。这便证明了多项式系数s
i(x)是在环C
pτ中的。
相反，假设
在环C
pτ中。根据(8)，s
i(x)可以被写成
s
i(x)＝a(x)(1+x
τ)mod(1+x
τp)
＝(a
0+a
(p-
1)τ)+(a
1+a
(p-1)τ+1)x+...+(a
pτ-1+a
(p-1)τ-1)x
pτ-1。
因此，对于μ＝0，1，...，τ-1，可以得到
s
μ，i＝α
μ+α
(p-1)τ+μ，s
τ+μ，i＝α
τ+μ+α
μ，...，s
(p-1)τ+μ，i＝α
(p-1)τ+μ+α
(p-2)τ+μ，我们可以验证
s
μ，i+s
τ+μ，i+...+s
(p-2)τ+μ，i＝(α
μ+α
(p-1)τ+μ)+(α
τ+μ+α
μ)+...+(α
(p-2)τ+μ+α
(p-3)τ+μ)
＝α
(p-1)τ+μ+α
(p-2)τ+μ＝s
(p-1)τ+μ，i，
因此，多项式的系数s
i(x)满足(2)。
由于存在两个多项式1和x
τ+x
3τ+...+x
(p-2)τ，因此等式
(1+x
τ)(x
τ+x
3τ+...+x
(p-2)τ)+1·h(x)＝1
在限域
中是成立的，1+x
pτ可被分解成两个互素因子1+x
τ和h(x)的乘积。在下一个引理中将说明环R
pτ和
是同构的。
引理2：环R
pτ和
是同构的。
证明我们需要在R
pτ和
中找到一种同构。甚至，我们可以通过定义θ(f(x))：＝(f(x)modx
τ+1，f(x)modh(x))设置一种同构：
映射θ是一个环同态和双射，因为它有一个逆函数φ(α(x)，b(x))，其中
φ(a(x)，b(x))＝[a(x)h(x)+b(x)e(x)]mod x
pτ+1。
下面将说明φ○θ是环R
pτ的恒等映射。
对于任意多项式f(x)∈R
pτ，存在两个多项式g
1(x)，g
2(x)∈R
pτ，因此
f(x)＝g
1(x)(1+x
τ)+f(x)mod(1+x
τ)，f(x)＝g
2(x)h(x)+f(x)modh(x).那么我们可以有
φ(θ(f(x)))＝[h(x)(f(x)mod(1+x
τ))+e(x)(f(x)modh(x))]mod x
pτ+1
＝[h(x)(f(x)-g
1(x)(1+x
τ))+(1+h(x))(f(x)-g
2(x)h(x))]mod x
pτ+1
＝[h(x)(f(x)-h(x)g
1(x)(1+x
τ))+f(x)+f(x)h(x)-e(x)g
2(x)h(x)]mod x
pτ+1
＝[f(x)-h(x)g
1(x)(1+x
τ)-e(x)g
2(x)h(x)]mod x
pτ+1
＝[f(x)-(1+x
τ)(x
τ+x
3τ+...+x
(p2)τ)g
2(x)h(x)]mod x
pτ+1
＝f(x).
这样φ○θ便是环R
pτ的恒等映射，并且引理证明完毕。
通过引理2，我们有环C
pτ和
是同构的，这将在下一个引理中给出。
引理3：环C
pτ和
是同构的。
例如，当p＝5和τ＝2时，C
10和
是同构的，并且1+x
8在环C
10中可以映射为：
1+x
8mod(1+x
2+x
4+x
6+x
8)＝x
2+x
4+x
6。
如果我们将函数φ应用在x
2+x
4+x
6上，我们可以恢复；
φ(0，x
2+x
4+x
6)＝(x
2+x
4+x
6)(x
2+x
4+x
6+x
8)＝1+x
8mod(1+x
10)。
当τ＝1时，C
p在[16][17]中进行了讨论，并应用到一种具有低复杂度的再生码中。注意，当且仅当2是
中的素元及τ＝p
i(i为非负整数)时[25]，C
pτ和有限域
同构。
在引入所提出的阵列码的显式构造结构前，我们需要对e(x)-逆进行定义。
定义1：如果多项式f(x)∈R
pτ有一个多项式
使得
那么多项式
便称为多项式f(x)的e(x)-逆.在下一个引理中我们将说明1+x
b在环R
pτ中是可以e(x)-逆的。
引理4：让b(1≤b≤pτ)为一个整数，b和p的最大公约数为gcd(b，p)＝1，gcd(b，τ)＝α。1+x
b在环R
pτ中的e(x)-逆是
证明：在环R
pτ中，我们可以验证
它被简化是为了证明上面的方程等于e(x)，例如，
考虑一种整数模pτ的环，将其表示为
在
中，有一个集合
现在对于i∈{1，2，...，p-1}，我们考虑
因此，
接下来对于i≠j∈{1，2，...，p-1}，我们想要证明
τib/a≠jτb/a modpτ.
假设iτb/a modpτ＝jτb/a modpτ，这样便存在一个整数l便得τib/a＝lpτ+jτb/a.
上面的式子可以进一步被化简为
(i-j)b/a＝lp.
因为gcd(b，p)＝1，gcd(b/a，p)＝1，因此我们有p|(i-j)。然而由于1≤j≤i≤p-1，这是不可能的。同样，我们证明当1≤i≤p-1时iτb/a modpτ≠0.
因此，我们可以得到(τb/a，2τb/a，...，(p-1)τb/a)≡(τ，2τ，...，(p-1)τ)modpτ.所以(11)成立。
通过引理1，对于i＝1，2，...k，我们有s
i(x)∈C
pτ。用f(x)表示生成矩阵或校验矩阵中的任何一项。如果
便可以用(f(x)e(x)mod(1+x
pτ))∈C
pτ来替代f(x)而不会改变结果。这是由于1≤i≤k时，s
i(x)e(x)＝s
i(x)mod(1+x
pτ)。因此，在用(f(x)e(x)mod(1+x
pτ))∈C
pτ替代了生成矩阵或校验矩阵中 的所有f(x)后，我们有了等效的生成矩阵或校验矩阵，这样(4)中的编码多项式可以通过(5)或(7)在环C
pτ上计算得到.
编码过程可以用如下多项式操作来描述.给定k(p-1)τ个信息位，通过(3)，为每(p-1)τ个信息位附加τ个额外位，并形成属于C
pτ的k个数据多项式.在通过选择某种特定的编码矩阵或检查矩阵得到向量(4)后，将多项式中下标在0到(p-1)τ-1的系数存储起来，并将其余下标的系数丢掉。提出的阵列码可以被看作C
pτ上的一种系统线性码。
寻找合适的编码矩阵P
k×r或检验矩阵H
(k+r)×r，使之对应的编码是MDS编码，而单次故障的修复带宽是渐近最优的，分别在专利【最优修复二进制阵列码生成矩阵构造方法及其修复算法】和专利【最优修复二进制阵列码校验矩阵构造方法及其修复算法】。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
- 一种二进制MDS阵列编码的编码方法，其特征在于，所述编码框架方法包括：当一个大小为k(p-1)τ的文件，通过计算公式s l(x)＝s 0，l+s 1，lx+s 2，lx 2+...+s pτ-1，lx pτ-1将对于l＝1，2，...，k+r，用一个在环上的多项式s l(x)来表示第l列中的比特s 0，l，s 1，l，...，s (p-1)τ-1，l和τ个额外比特s (p-1)τ，l，s (p-1)τ+1，l，...，s pτ-1，l；把对应于第i(i＝1，2，...，k)个信息列的多项式s i(x)叫做信息多项式；把对应于第j-k个校验列的多项式s j(x)(j＝k+1，k+2，…，k+r)叫做编码多项式，将把k个信息多项式和r个编码多项式写成如下的行向量；计算公式为：[s 1(x)，s 2(x)，…，s k+r(x)]＝[s 1(x)，s 2(x)，…，s k(x)]·G k×(k+r)，其中k×(k+r)的生成矩阵G由k×k的单位矩阵I和k×r的编码矩阵P构成，计算如下：G k×(k+r)＝[I k×k P k×r]；编码可以描述为一个校验矩阵H (k+r)×r，计算式为[s 1(x)，s 2(x)，…，s k(x)]·H (k+r)×r＝0。
- 根据权利要求1所述的编码方法，其特征在于，用R pτ表示环R pτ中的一个元素a(x)可以表示成a(x)＝a pτ-1x pτ-1+…+a 1x+a 0，其系数是有限域
中的元素，加法是通常的逐项加法，乘法是用通过模x pτ+1来执行的，在R pτ中，乘以x可以被解释为循环移位。
- 根据权利要求2所述的编码方法，其特征在于，所述编码方法不需要将额外的位存储在硬盘上，只用于标记的方便性。
- 根据权利要求3所述的编码方法，其特征在于，R pτ中具有因子x τ+1的多项式构成的R pτ的子环C pτ，其计算式为C pτ＝{a(x)(1+x τ)mod(1+x (pτ)|a(x)∈R pτ}。
- 根据权利要求4所述的编码方法，其特征在于，当多项式的系数s i(x)在C pτ中是计算式成立。
Applications Claiming Priority (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
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