WO2018139750A1

WO2018139750A1 - 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법

Info

Publication number: WO2018139750A1
Application number: PCT/KR2017/013417
Authority: WO
Inventors: 홍도원; 서창호; 박선미
Original assignee: 공주대학교 산학협력단
Priority date: 2017-01-25
Filing date: 2017-11-23
Publication date: 2018-08-02
Also published as: KR101837750B1

Abstract

유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법이 개시된다. 본 발명의 유한체 병렬 곱셈 장치는 차수 n— 1인 두 다항식 A=A ₀+XA ₁와 B=B ₀+XB ₁으로부터 각 성분의 개수가 n^log²³/3인 벡터를 생성하는 제 1 벡터 연산부; 상기 제 1 벡터 연산부에서 생성된 벡터들을 이용하여 각 성분의 개수가 n^log²³/3인 벡터를 생성하는 제 2 벡터 연산부; 상기 제 2 벡터 연산부에서 생성된 벡터들을 이용하여 다항식 (A ₀ B ₁+A ₁ B ₀)Χ를 연산 하는 제 1 다항식 연산부; 상기 제 2 벡터 연산부에서 생성된 벡터들을 이용하여 다항식 A ₀ B ₀+A ₁ B ₁ X ²를 연산하는 제 2 다항식 연산부 및; 상기 제 1 다항식 연산부와 상기 제 2 다항식 연산부에 의해 각각 연산된 다항식 (A ₀ B ₀+A ₁ B ₀)Χ 및 다항식 A ₀ B ₀+A ₁ B ₁ X ²으로부터 두 다항식 A와 B의 곱 C를 출력하는 출력부를 포함하는 것을 특징으로 한다.

Description

【명세세

【발명의 명칭】

유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법

【기술분야】

본 발명은 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법에 관한 것으로서， 보다 상세하게 는 이차 미만의 공간 복잡도 (subquadratic space complexity)를 갖는 다항식의 곱셈 연산 기법에 기반한 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법에 관한 것이다.

【배경기슬】

유한체상에서의 연산 (arithmetic operation)은 코딩 이론 (coding theory)과 타 원 곡선 암호 (elliptic curve cryptography) 등 여러 웅용분야에 필요하다. 그 증 곱 셈 연산 (field multiplication)은 가장 증요하고 핵심이 되는 연산이지만， 연산 수행이 복잡하고 비용이 비싸기 때문에 효을적인 곱셈 연산 기법이 요구되어 왔다.

/(X)를 차수 (degree) n인 GF(2)[ ]에 있는 기약 다항식 (irreducible polynomial)이라 하자. 유한체 6 (²")은 G (²)W/(/( ))와 동형 (isomorphism)이므 로， 다시 말해 (2기 <^(2)[ ]/(/(Χ))이므로， 유한체 ⁽7F(2ⁿ)의 임의의 원소 ^는 다음과 같이 차수가 n보다 작은 다항식 (polynomial) 형태 A = a_Q + _aiX+ … + ₁_₁^"^_1로 표현이 가능하다. 여기서 0^0^(2)이다. 이때, 집합

{ΐ,Χ,···,Χ^η 을 G (2)상에서 G (2")의 다항식 기저 (polynomial basis)라고 한다. 다항식 기저는 유한체의 원소를 표현할 때 가장 널리 쓰이는 기저 증 하나이다. 다 항식 기저에 의해 ^(2 )의 두 원소 ^4 = ]_α，^와 5= ^가 주어졌을 때 (여기 서， , ^ ^(2)이다)， 두 원소의 곱 D=AB는 다음 두 단계에 의하여 계산 가능하 다. 제 1단계에서는 ^4와 B를 다항식으로 간주하고 다항식의 곱셈 수행하여 c를 얻는다.

제 2단계에서는 상기 생성된 다항식 C에 대해 기약 다항식 / 에 의한 모 들러 (modular) 감산 연산을 하여， 두 원소의 곱 Z?= C mod 를 얻는다. 따라서 유한체의 곱셈 연산의 복잡도는 위의 두 단계의 복잡도에 의하여 결 정된다. 제 1단계를 수행할 때 필요한 공간 복잡도 (space complexity), 즉 GF(2)상 의 필요한 XOR 게이트 (gate) 또는 AND 게이트 수는 C n³) (1 < < 2)으로 알려져 있다. 제 2단계에 대한 비용은 기약 다항식 /(X)의 항의 개수에 의해 영향을 받는 다. 비특허문헌 1 [G. Seroussi, "Table of low- weight binary irreducible polynomials" HP Labs, Technical Reports HPL— 98 135， 1998]에 의하면, 우리가 실 제 다루는 유한체의 경우 유한체 GF(2ⁿ)을 정의하는 기약 다항식 /( )으로 삼항 다항식 (trinomial)이나 오항 다항식 (pentanomial)을 선택할 수 있다. 이러한 삼항 또 는 오항 다항식에 의한 모들러 감산 연산은 G (2)상에서 필요한 게이트의 수가 단 지 O(n)으로 제 1 단계와 비교하여 매우 적다. 따라서 효을적인 유한체의 곱셈기를 얻기 위해 제 1 단계, 즉 두 다항식의 곱셈 연산에 대한 복잡도 (complexity)를 줄이고 자 하는 연구가 많이 이루어지고 있다. 실제 웅용에 쓰이는 유한체 (^(2")의 크기， 즉 n의 크기는 매우 크므로， 곱 셈 연산을 수행할 때 필요한 공간 복잡도가 O(^) (l < 5< 2)이 되는 이차 미만의 공간 복잡도 (subquadratic space complexity)를 가진 병렬 곱셈기의 연구가 특히 관 심을 받아왔다.

그러나 유한체 G^(2'¹)의 크기는 계속 커지는 추세인 반면， 스마트 기기의 확 산으로 인해 연산의 경량화가 요구되는 바， 더욱 효율적인 이차 미만의 공간 복잡도 를 갖는 병렬 곱셈기의 개발이 요구되고 있다.

본 발명의 배경기술은 대한민국 공개특허공보 10—2011— 0027176호 (2011.03.16) 의 '유한체의 원소간 비트—병렬 곱셈방법 및 장치'에 개시되어 있다.

【발명의 상세한 설명】

【기술적 과제】

본 발명은 전술한 문제점을 개선하기 위해 창안된 것으로서， 본 발명의 일 측면에 따른 목적은 임의의 유한체 GF(2")상에서 보다 효율적인 이차 미만의 공간 복잡도를 갖는 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법을 제공하는 것이다.

【기술적 해결방법】

본 발명의 일 측면에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치는 차수 n _ l인 두 다항식 ^ ^ + 와 5= ₀ + 솨으로부터 각 성분의 개수가 rz'^0¾3/3인 백터를 생성하는 제 1 백터 연산부; 상기 제 1 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 각 성분의 개수가 ^η1ο¾3/3인 백터를 생성하는 제 2 백터 연산부; 상기 제 2 백터 연산부에서 생성 된 백터들을 이용하여 다항식 + 를 연산하는 제 1 다항식 연산부; 상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 다항식 Λ + Α ²를 연산하는 제 2 다항식 연산부 및; 상기 제 1 다항식 연산부와 상기 제 2 다항식 연산부에 의해 각각 연산된 다항식 (ΛΗ + ^^ 및 다항식 Λ훼 4^ ^으로부터 두 다항식 와 H의 곱 C를 출력하는 출력부를 포함하는 것을 특징으로 한다. 본 발명의 상기 게 1 백터 연산부는 다항식 ^ ^ + ^ 와 ^ ^ + 으로 부터 차수가 — 1인 네 개의 다항식 을 입력받아 각 성분의 개수가 각 n^l0¾3/3개의 성분 (component)을 갖는 백터 CPF^(A₀), CPF A,), CPF B₀)_:

2^" 2^" 2^"

CPF^B^ 생성하는 것을 특징으로 한다.

2 본 발명의 상기 제 2 백터 연산부는 상기 제 1 백터 연산부에서 연산된 백터돌 을 입력받아 성분끼리의 곱 연산을 통해 0≤ i,j≤ l인 i,j에 대해 백터들

C_j：= CM(A_V B₃) = CPF, (A^CPF, (B^ 생성하는 것을 특징으로 한다.

^"2 ^~2 본 발명의 상기 제 1 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 백터들 증 ^과 을 이용하여 다항식 o +^^)^를 계산하는 것을 특징으로 한다. 본 발명의 상기 제 1 다항식 연산부는 과 ，₀의 합 u + ,。을 계산하 고， ¾u + ₀ 백터를 이용하여 다항식 ^( u + ¾,₀)을 계산한 후， 다항식 ^^ + ^,ο)를 쉬프트 (shift)하여 다항식 를 출력하는 것을 특징으 로 한다.

본 발명의 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 백터들 증 。과 이용하여 다항식 ^H₀ + ^H Y²를 연산하는 것을 특징으로 한다.

본 발명의 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된

¾o과 ¾,ι을 입력받아 )' + ¾ + ¾ + )', ¾ + ' + 0； + Cᅳ;, 0；를 계산하고， 계 산된 C₀, ¾ + ¾ + ¾ + + + ' + ¾', C/을 이용하여 다항식 E₀,E_VE_VE₃ 을 계산하며， 계산된 변수 Z:= ²에 대한 다항식 E₀,E_VE₂,E^ 입력받아 다항식의 덧셈을 수행하여 E₀ + E₂Z와 E^+E; ^를 생성한 후， 다항식 E₀ + E^와 十 ^의 계수를 상호 배치 (interleaving)함으로써 다항식 A₀B₀ + Α_λΒΧ² = A_c^₀ + Α_λΒ_χ Υ 출 력하는 것을 특징으로 한다.

본 발명은 상기 출력부에 의해 연산된 다항식 C에 대해 다항식 /( )에 의한 모들러 (modular) 감산 연산을 하여 두 원소의 곱 Z?= C mod/(X)를 얻는 모들러 감 산부를 더 포함하는 것을 특징으로 한다.

본 발명의 일 측면에 따른 유한체 병렬 곱셈 방법은 제 1 백터 연산부가 차수 n— 1인 다항식 ^ ^ + 와 5= ₀ + 솨으로부터 차수가 _1인 네 개의 다항 식 ,Λ, ι,^을 입력받아 각 성분의 개수가 ^η1ο¾3/3인 백터 CPF^A

2

CPF A,), CPF B₀) CPF B 를 생성하는 단계; 제 2 벡터 연산부가 상기 제 1

^~2 2^{" ~}2 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 각 성분의 개수가 n^l0¾3/3인 백터를 생 성하는 단계; 제 1 다항식 연산부가 상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터 증 d_ai 과 ₀을 이용하여 다항식 (Λ +^^) 를 연산하는 단계; 제 2 다항식 연산부가 상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터 증 ₀과 ^을 이용하여 다항식 ^Ho + ^H ²를 연산하는 단계; 및 출력부가 상기 제 1 다항식 연산부와 상기 제 2 다항식 연산부에 의해 각각 연산된 다항식 (A +^H 및 다항식 ΛΛ + Α^ ² 으로부터 두 다항식 Α와 B의 곱 C를 출력하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한 다.

본 발명의 상기 제 2 백터 연산부는 상기 제 1 백터 연산부에서 연산된 백터들 을 입력받아 성분끼리의 곱 연산을 통해 0≤i,j≤ l인 에 대해 백터들

C_j：= CM{A_t = CPF, (A_t)^CPF„ (H.) 생성하는 것을 특징으로 한다.

1 Ί 본 발명의 상기 제 1 다항식 연산부는 과 。의 합 + ,₀을 계산하 고, a + ,o 백터를 입력받아 다항식 ^( ^ + ^ᅳ。)을 계산한 후， 다항식

+ 를 쉬프트 (shift)하여 다항식 ₀^ + H₀) 를 출력하는 것을 특징으 로 한다.

본 발명의 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 ),o과 ¾ᅳ1을 입력받아 c₀, ¾ + + ¾ + ¾ + Q' + c; + ', c;를 계산하고， 계 산된 ¾), ¾ + ¾ + ¾ + + + ¾' + ¾', '을 이용하여 다항식 E₀,E_VE₂,E₃ 을 계산하며， 계산된 변수 Z:= ²에 대한 다항식 EwE E₂,E 입력받아 다항식의 덧셈을 수행하여 E₀ + ^Z와 ^+E₃Z를 생성한 후， 다항식 E^ + E^와 + ^의 계수를 상호 배치 (interleaving)하여 다항식 A₀B₀ + A_XB_XX² = A₀B₀ + Α_λΒ_λ Υ 출력하 는 것을 특징으로 한다.

본 발명은 모들러 감산부가 상기 출력부에 의해 연산된 다항식 C에 대해 다 항식 /( ^에 의한 모들러 (modular) 감산 연산을 하여 두 원소의 곱 _D= C mod /(Ji)를 얻는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 한다.

【발명의 효과】

본 발명의 일 측면에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법은 차수가 n-1인 두 다항식의 곱셈 연산을 복잡도면에서 보다 효을적으로 수행할 수 있도록 한다. 또한， 본 발명의 일 측면에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법은 차수가 n-1인 두 다항식의 곱셈 연산을 기반으로 하는 모든 하드웨어 설계에 적용될 수 있 으며， 유한체 6^(2")상의 곱셈 연산을 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.

【도면의 간단한 설명】

도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치의 블럭 구성도이 다.

도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 두 다항식의 한체 병렬 곱셈 방법의 순 서도이다.

도 3은 도 2의 단계 S400을 보다 상세하게 도시한 도면이다.

도 4는 상기 세 개의 블록들을 이용한 다항식 곱셈연산의 수행과정을 도시한 도면이다.

【발명의 실시를 위한 형태】

이하에서는 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법을 첨부된 도면들을 참조하여 상세하게 설명한다. 이러한 과정에서 도면에 도시된 선들 의 두께나 구성요소의 크기 등은 설명의 명료성과 편의상 과장되게 도시되어 있을 수 있다. 또한 후술되는 용어들은 본 발명에서의 기능을 고려하여 정의된 용어들로 서， 이는 이용자, 운용자의 의도 또는 관례에 따라 달라질 수 있다. 그러므로 이러한 용어들에 대한 정의는 본 명세서 전반에 걸친 내용을 토대로 내려져야할 것이다. 유한체 6 2")이 기약 다항식 /( )에 의해 정의된다고 하면ᅳ (^(²") G^(2)[ ]/(/ )이고， 유한체 <가(2")의 임의의 두 원소 ^와 B는 다항식 기저 {Ι,Χ,…， ¹¹ᅳ ^를 이용하여 다음과 같이 표현된다. 여기서 eG^(2)이다.

Α = α₀ + _αιΧ+ ···

+ b_yX+ ··· +b_n__lX^n~l 두 원소들 ^와 5의 곱 ∑>=AB는 다음 두 단계에 의하여 계산된다. 첫 번째 단계에서는 ^와 H를 다항식으로 간주하고 다항식의 곱셈 수행하여 c를 얻는다.

두 번째 단계에서는 첫 번째 단계에서 생성된 다항식 c를 다항식 /( )에 의한 모들러 (modular) 감산 연산을 하여, 두 원소의 곱 C mod/( )를 얻는다. 먼저, 두 번째 단계의 모들러 감산 연산의 비용을 고려한다. 여기서, 유한체 (? (2")을 정의하는 기약 다항식 으로 삼항 다항식 또는 오항 다항식이 선택될 수 있다. 예를 들어, 가 삼항 다항식 = 이라고 가정하자.

= 가 기약이면 다항식 j +r^+i도 기약이 되므로， A:의 값이

1 < < "을 만족한다고 가정할 수 있다. 이 경우， /( ) = "+^^λ ι에 의한 모들 러 감산 연산은 다음과 같이 수행된다.

상기한 모들러 감산 연산은 (n_l) + (n_l) + (fc_l) = 2ri + fcᅳ 3 XOR 게이트 수와 2 시간 지연이 필요하다. XOR와 AND 게이트의 시간지연은 각각 _Β^ Ρ_® 로 표기된다.

상기와 같이 두 번째 단계는 간단하게 수행되며， 두 번째 단계의 복잡도는 첫 번째 단계와 비교할 때 매우 낮다. 따라서 곱셈 연산의 효을성은 첫 번째 단계를 얼마나 효율적으로 수행할 수 있는지에 의존한다. 그러므로 첫 번째 단계에 초점을 맞추어 그의 효율적인 수행방법을 제안하고자 한다.

이를 위해， 앞으로는 두 원소 ^와 다항식으로 간주한다.

도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치의 블력 구성도이 다.

도 1을 참조하면， 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치는 제 1 백터 연산부 (10)， 제 2 백터 연산부 (20)， 제 1 다항식 연산부 (30)， 제 2 다항식 연산부 (40), 출력부 (50)， 및 모들러 감산부 (60)를 포함한다.

상기한 첫 번째 단계는 제 1 백터 연산부 (10), 게 2 백터 연산부 (20), 제 1 다항 식 연산부 (30)， 제 2 다항식 연산부 (40) 및 출력부 (50)에서 수행되며， 두 번째 단계는 모들러 감산부 (60)에서 수행된다.

제 1 백터 연산부 (10)는 차수 n-1인 두 다항식 71 = ₀ + ^^와 B=W 으로부터 차수가 그 1인 네 개의 다항식 Λ,,Λ, , ^을 입력받아 각 성분의 개수 가 n^l0¾3/3인 네 개의 백터를 생성한다.

제 2 백터 연산부 (20)는 제 1 백터 연산부 (10)에서 생성된 네 개의 백터들을 입 력받아 성분끼리의 곱 연산을 통해 각 성분의 개수가 _n ^{l0 3}/3인 네 개의 새로운 백 터를 생성한다.

제 1 다항식 연산부 (30)는 제 2 백터 연산부 (20)의 백터들을 입력받아, 이들 백 터를 이용하여 다항식 ₀¾+^ ) 를 계산한다.

제 2 다항식 연산부 (40)는 제 2 백터 연산부 (20)의 백터들을 입력받아, 이들 백 터를 이용하여 다항식 + ²를 계산한다.

출력부 (50)는 제 1 다항식 연산부 (30)와 제 2 다항식 연산부 (40)에 의해 각각 계산된 다항식들 (Λ쒜 4^₀) 와 ^ ₀H₀ + 쒜 ²를 입력받아 두 다항식 A와 B의 곱 C를 출력한다.

이하 도 2 내지 도 3 을 참조하여 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 방법을 상세하게 설명한다. ^■

도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 두 다항식의 유한체 병렬 곱셈 방법의 순서도이고， 도 3은 도 2의 단계 S400을 보다 상세하게 도시한 도면이다.

유한체 (^( ¹)의 두 원소 ^와 5는 차수 ri— l인 다항식으로 간주되고, 각각 다음과 같이 두 부분으로 분리된다.

A = A₀ + A₁X, B=W 여기서， 다항식 A) , ^은 변수 (variable) ； (=^)에 관해 차수가 등 -1 인 다항식이다. 도 2 를 참조하면， 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 방법은 제 1 백터 연산부 (10)가 차수 n_l인 두 다항식 yl = /l₀ + ^와 5= ₀ + ^ ^로부터 차 수 -1인 다항식 Λ,Α^ο,^을 입력받아 각각 ^{η1ο 3}/3개의 성분을 갖는 백터들 CPF A₀), CPF A,), CPF B₀), CPF B,)^ 생성하는 단계 (S100), 제 2 백터 연 산부 (20)가 상기 생성된 백터들 (7 ₀), CPF A,), CPF B₀), CPF B,)^ 입

2^{" "}2 2^" 력받아 각 성분끼리의 곱을 수행하여, 0≤i,j≤ l인 i,j 대해 백터들 C_] ΟΜ{Α Β₃) = CPF_±1 {A^CPF^ {Β_}) 생성하는 단계 (S200), 제 1 다항식 연산

2 2 부 (30)가 상기 생성된 백터들 증 ^과 _,0을 입력받고 ^과 。을 이용하여 다 항식 ^ + ^H 를 연산 및 출력하는 단계 (S300), 제 2 다항식 연산부 (40)가 상기 생성된 백터들 중 ₀과 을 입력받고 。과 을 이용하여 다항식 ^ + ^ ²을 연산 및 출력하는 단계 (S400), 및 출력부 (50)가 제 1 다항식 연산부 (30)와 제 2 다항식 연산부 (40)에 의해 각각 계산된 다항식들 0₀ + ₀) 와

+ ^을 입력받고 다항식들 o^+AHo) 와 Λ훼 4 ^을 이용하여 다 항식 A와 B의 곱 C를 출력하는 단계 (S500)를 포함한다.

도 2의 각 단계를 상세히 설명하면 다음과 같다.

먼저， = 2^m이라 가정한다 (m>l). n이 2의 거듭제곱이 아닌 경우는 계수 를 0으로 간주하여 다항식의 차수가 2^m l이라고 가정할 수 있다. Two-way split overlap 방법에 따라， 두 다항식 Α = α₀+_αιΧ+ ···

B=b₀ + b_lX+ ··^■ +b_n__lX^n~1 (α_ϋ b_t≡ GF(2)) 를 다음과 같이 두 부분으로 분리한다.

A = A₀ + A_XX, B= W 다항식 _^W ,H^ 변수 (variable) r(= Y²)에 관해 차수가 등— 1인 다항식 으로 다음과 같이 정의된다. ,

그러면, 두 다항식의 곱 C는 다음과 같은 수식을 통해 얻을 수 있다.

C=P₀ + Ρ_λΧ²+ (Ρ₀ + ^ + Ρ₂ ) 여기서， P₀,P_VP₂는 상기 다항식 을 이용하여 다음과 같이 정의된 다.

^■Ρ₀(Υ) = Α₀(Υ)Β₀(Υ),

[Ρ₂(Υ) = (Α₀(Υ) + Α₁(Υ))(Β₀(Υ)+Β₁ ( Υ)). 상기 세 개의 곱 P₀,P_VP₂는 C를 계산한 위의 방법을 재귀적으로 (recursively) 사용하여 계산된다. 상기한 two-way split overlap 방법을 이용한 다항 식 곱셈 연산 수행방법은 다음과 같이 세 개의 독립된 블록들 CPF(Component polynomial formation), CM(Component multiplication), R(Reconstruction)으로 나누 어 수행될 수 있다. 상기 세 블록들의 상세한 정의는 다음과 같다.

[정의 1] n=l이면，

CPF_{n 0} ), CPF_n (A, ), CPF_n (A₀ + A, )] n> 1이고， A + A^'이면,

CM(A B)：= CPF_n {A ) ® CPF_n (B) c n = l이면

R_n{C₍₎) + X²R_n{C_l)

RAC)

+ X(R_n(C₀)+R_n(C_l) + R_n(C₂)) C C， G^LOici/s이면 여기서， 두 백터에 대한 연산 ¾는 두 백터의 성분끼리 곱하여 새로운 백터 를 생성하는 연산이다. 그리고 C는 성분의 개수가 η^1ο¾3인 백터이다. 도 4에서는 상기 세 개의 블록들을 이용한 다항식 곱셈연산의 수행과정이 도 시화된다. 두 다항식의 곱 C를 상기 블록들을 이용하여 표현하면 다음과 같다. [정리 1] 차수 η一 1인 두 다항식 와 H의 곱을 C라 하자. 그러면, 곱 C는 다음과 같 이 계산된다.

C=R_n{ CPF_n (A ) ® CPF_n (B)) 각 블록들을 수행하는데 필요한 복잡도는 아래의 표 1에서 주어진다. 여기서， 5 "귀과 /(n)은 차수가 r?_l인 두 다항식의 곱셈 연산 시 수행되는 블록 *에 대한 복잡도, 즉 블록 *을 실행하는데 필요한 게이트 수와 시간지연을 각 각 의미한다. X0R와 AND 게이트의 시간지연은 각각 와/ 로 표기된다. 또한， CA(Component addition)블록에 대한 복잡도를 추가한다. 4„블록에서는 성분의 개 수가 ^{0 3}인 두 백터 C와 C'의 더하기 (addition) 연산 C + 을 수행한다. 【표 11

다항식 곱셈 연산의 상기 블록들을 재조합하여 공간 복잡도를 줄이기 위해 다음 정리를 이용한다.

[정리 2] 성분의 개수가 ^0¾3인 임의의 두 백터 c와 · '에 대해 다음이 성립한다.

R_n(C+ C') = R_n(C) + R_n{C') 위의 [정리 2]와 [정의 1]에 있는 블록들의 정의를 이용하여 다항식의 곱셈 연산 수행을 위한 블록들을 새롭게 재조합한다.

먼저， 두 다항식 ^ = Λ) + ^ , =^ + ^ 의 곱 C를 다음과 같이 전개 후 재배열한다.

= (Α₀Β₀ + Α,Β,Χ²) + (ᅳ Α₍Α + Α,Β₀)Χ

= (Α₀β₀ + Α_ΧΒ_Χ Ϋ) + ₀H + A,B_Q)X 다항식 , , ，^은 변수 = Y²에 관한 다항식이기 때문에 다항식 C의 계 수는 두 다항식 (Λ)쒜 4훼) 와 ΛΛ + ^ 계수를 상호 배치 ⁽interleaving)하 여 얻어진다. 이에， 두 다항식 (ΛΑ + ^ ) 와 ₀H₀+A^y를 구하고자 한다. 도 2에서， 제 1 백터 연산부 (10)는 다항식 ₀，， H₀,H 입력받아 각 n^l0¾3/3 의 성분을 갖는 백터들 C ^ 4₀), CPF A,), CPF„(B₀), CPF^B^올 생성한다

^"2 ^"2 ^"2 ^"2

(S100). 도 2에서， 제 2 백터 연산부 (20)는 상기 계산된 백터들 C ^C₀),

^"2

CPF A,), CPF B_Q), CPF B,)^ 입력받아 각 성분끼리의 곱을 수행하여

^"2 ^"2 Y

0<i,j< l인 기에 대해 백터들 C_lJ := CM^^ = CPF A ® CPF^B^^ 생성 한다 (S200). 다음으로ᅳ 도 2에서， 제 1 다항식 연산부 (30)는 상기 생성된 백터들 중 과 ,₀을 입력받아 다항식 (ΛΑ+Α^) 를 연산한다 (S300). [정리 1]에 의해， Λ^^ ^ ^)이고 = (¾_,0)이므로， [정리 2]를 이용하면 다음이 성립한다.

(A₀B₁+AB₀)X=(R C_0: +R C_Q )X=R C_O + C_Q )X

2 Ί ~2 도 2에서， 단계 (S300)은 4프블록에서 두 백터의 합 + ₀을 계산하는

1 과정, 블록에서 상기 계산된 + ¾,₀ 백터를 입력받아 다항식 ^(d_ai + ¾,₀) 을 계산하는 과정， 계산된 다항식 ^( _j + ^C))를 쉬프트 (shift)함으로써 다항식 _oJ +^H₀)^를 출력하는 과정으로 이루어진다. 도 2에서， 제 2 다항식 연산부 (40)는 상기에서 생성된 백터들 증 ₀,₀과 ^^을 입력받아 다항식 ΛΛ + ^^ ²⁼ΛΛ + ^^ 를 출력한다 (S400). [정리 1]에 의하 면， Λ = (¾_,0)， ^⁵^ ? ^_!)이다. 먼저， 백터들 ^ 과 을 다음과 같이 표현한다.

앞의 [정의 1]에 있는 R_n블록의 정의에 의해 다음과 같은 식을 얻는다.

Α_λΒ_λ = R C _l) = R C^ ) + R_l(C₁')Y²+ (R, (C₀') + R (¾' ) + ( ')) Y 상기 식과 [정리 2]를 사용하여 다음 식을 얻는다.

+ A_lB₁Y=R_L(C₀)+R_L(C₀ + C₁ + C₂ + C₀')Y

+ R {C₁ + C₀' + C/ + C₂')Y²+R„ (¾' ) Ϋ

~

= + E₂Y²+ Ε_ΆΥ^Ζ

= (Eo + E₂Y ^ + (E + E₃ Y²) Y

= (Eo + E₂Z) + (E_} + E₃Z) Y 여기서 + +

이다. 그리고 E,E_VE₂,E^ 변수 ^에 대해 차수 2(^-1)인 다항식이다. 따라서 다다항식 _{0 0} H 의 변수 에 대한 계수는 다항식 E₀ + E₂Z와 +E ^의 계 수를 상호 배치함으로써 얻을 수 있다.. 도 2의 단계 (S400)은 다음과 같이 수행된다. 도 2에서 단계 (S400)는 4„Blocks에서 백터들 ,,₀과 을 입력받아 상기 수식에 있는 백터돌 c₀, Co + ^ + ^ + c^^ + z + c + ^', 를 계산하는 과정,

Λ으 Blocks에서 상기 계산된 백터들 C₀,

C 을 입력받아 4개의 _Λ블록을 수행하여 다항식 Ε_Ϋ, Ε_Ν Ε₂, 을 계산하는 과정 , Addition

Blocks에서는 상기 계산된 변수 Z:=y²에 대한 다항식 E₀,E_VE₂,E^ 입력받아 다 항식의 덧셈을 수행하여 ^ + E₂ 와 ^+E₃Z를 생성하는 과정， 마지막으로 interleaving블록에서는 다항식 ₀ + ₂ 와 ^+E ^의 계수를 상호 배치 (interleaving)함으로써 다항식 + ^Ho + ^H 를 출력하는 과정을 포 함한다.

도 3에서는 앞서 설명한 도 2의 단계 (S400)에 있는 ^Blocks, Blocks,

ψ ^~¥ Addition Blocks이 보다 상세하게 도시되었다. 도 2의 출력부 (50)는 제 1 다항식 연산부 (30)와 제 2 다항식 연산부 (40)에서 각 각 계산된 두 다항식 (Λ + ^ ₀) 와 Λ훼 4셰 ²를 입력받아 두 다항식의 계수 를 상호 배치하여 다항식의 곱 C를 출력한다 (S500). 다음으로， 도 2에 따라 수행된 첫 번째 단계， 즉 두 다항식의 곱셈 연산에 대 한 복잡도 (complexity)를 설명한다. 도 2의 단계 (S100)는 4개의 CJT^블록들을 병렬적으로 수행하므로

^"2 시간지연의 복잡도가 필요하다.

도 2의 단계 (S200)는 4개의 ( 씨블록들을 병렬적으로 수행하므로 S^ai; ")

1

AND 게이트 수, 시간지연의 복잡도가 요구된다.

도 2의 단계 (S300)는 4 블록 수행 후 Λ 블록을 수행한다. 이는

"2

S^CA{^) + S ^) XOR 게이트 수， + ) 시간지연이 필요하다. 마지막 쉬프 트 블록은 하드웨어에서 비용없이 수행될 수 있다. 도 2의 단계 (S400)에 대한 복잡도는 그 과정을 상세하게 도시화한 도 3을 통 해 더욱 쉽게 알 수 있다. 도 3의 C^^Blocks은 XOR 게이트 수， 2D₉ 시간지연이 필요하다.

다음 _^R^Blocks에서는 4개의 블록들이 병렬적으로 수행되므로 그의 복잡도는 45^—) XOR 게이트 수， iAᅳ^ 시간지연이다. Addition Blocks에서는 변수

= r²에 대해 차수가 2( — 1)인 다항식들의 두 덧셈 ^ + ^ 와 ^+^ ^를 병렬 ᄌ으로 수행되므로 4(^—1) XOR 게이트 수， 1 시간지연이 필요하다. 도 3에 있 는 쉬프트 블록과 상호 배치 블록의 수행은 하드웨어에서 비용을 발생하지 않는다. 그러므로 도 2의 단계 (S400)의 복잡도는 ^ (^ ^ ) + 4(4-1) XOR 게이 트 수， Σ^)+3Σ>_ω 시간지연이라는 것을 알 수 있다. 마지막으로 도 2의 (S500)의 상호 배치 블록은 비용없이 수행된다.

따라서 도 2에 따라 수행된 첫 번째 단계， 즉 다항식의 곱셈 C "를 계산하는데 필요한 복잡도는 앞의 [표 1]를 이용하면 다음과 같다.

XOR 게이트 수

AND 게이트 수 = 45^¾ = 1

.총 시간복잡도 = )+³/¾

Z⁾ _¾+21og₂3D_t

다음의 [표 2]는 첫 번째 단계， 즉 차수 n_l인 두 다항식의 기존 곱셈 연산 방법들과 본 발명의 도 2의 실시 예에 따른 연산 방법의 복잡도들을 비교한다. [표 2]에서 알 수 있듯이 본 발명의 실시 예에 따른 연산 방법은 비교예 2([H. Fan, J. Sun, M. Gu, and K.-Y. Lam, " Karatsuba -Of man polynomial multiplication algorithms," IET Information Security, vol. 4, pp. 8-14, 2010]), 및 비교여 13([M. Cenk, M.A. Hasan, and C. Negre, "subquadratic space complexity binary polynomial multipliers based on block recombination," IEEE Trans. Computers, vol. 63， no. 9， pp. 2273-2287, 2014])에 비해 낮은 공간 복잡도를 가진다.

【표 2]

이와 같이 본 발명의 일 실시예에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법은 차 수가 n _ l인 두 다항식의 곱셈 연산을 복잡도면에서 보다 효율적으로 수행할 수 있 도록 한다.

또한, 본 발명의 일 측면에 따른 유한체 병렬 곱셈 장치 및 방법은 이를 기 반으로 하는 모든 하드웨어 설계에 적용될 수 있으며 특히， 이를 이용한 유한체 (?F(2ⁿ)상의 곱셈 연산을 효을적으로 수행할 수 있도록 한다.

본 발명은 도면에 도시된 실시예를 참고로 하여 설명되었으나， 이는 예시적 인 것에 불과하며 당해 기술이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 이 로부터 다양한 변형 및 균등한 타 실시예가 가능하다는 점을 이해할 것이다. 따라 서, 본 발명의 진정한 기술적 보호범위는 아래의 특허청구범위에 의하여 정해져야할 것이다.

Claims

【청구의 범위】

【청구항 11

차수 n-1인 두 다항식 ^ ^ + 와 5= ₀ + 으로부터 각 성분의 개수가 η^1ο¾3/3인 백터를 생성하는 제 1 백터 연산부;

상기 제 1 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 각 성분의 개수가 n^l0¾3/3인 백터를 생성하는 제 2 백터 연산부;

상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 다항식 +^ι^) 를 연산하는 제 1 다항식 연산부;

상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 다항식

를 연산하는 제 2 다항식 연산부 및;

상기 제 1 다항식 연산부와 상기 제 2 다항식 연산부에 의해 각각 연산된 다항 식 (쒜^ + ^) 및 다항식 ^Ho + AH^r²으로부터 두 다항식 ^와 5의 곱 C를 출 력하는 출력부를 포함하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

【청구항 2]

제 1 항에 있어서， 상기 제 1 백터 연산부는 다항식 ^ = ₀ +피와 5= ₀ + 솨으로부터 차수가 -1인 네 개의 다항식 ，， ,^을 입력받아 각 성분의 개수가 각 η'^0¾3/3개의 성분 (component)을 갖는 백터 CP^(^₀), CPF A,),

2 Ί

CPF B₀), CPF^ (훼을 생성하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

I 2

【청구항 3】

제 1 항에 있어서ᅳ 상기 제 2 백터 연산부는 상기 제 1 백터 연산부에서 연산된 백터들을 입력받아 성분끼리의 곱 연산을 통해 0≤ i,j≤ l인 에 대해 백터들 C_t .= CM B_j) = CPF A;}® CPF^B_j、을 생성하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

【청구항 4】

제 1 항에 있어서， 상기 제 1 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 백터들 증 ^ᅳ！과 ,₀을 이용하여 다항식 쒜 H₀) ^를 계산하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

【청구항^' 5】

제 4 항에 있어서， 상기 제 1 다항식 연산부는 ^과 _,0의 합 + _,0을 계산하고， ·_ι + ¾_,0 백터를 이용하여 다항식 + ,₀)을 계산한 후， 다항식

/^(δ^ + ή,ο)를 쉬프트 (shift)하여 다항식 (Λ +Α ₀) 를 출력하는 것을 특징으

^"2 로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

【청구항 6】

제 1 항에 있어서， 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 벡터들 증 ,₀과 을 이용하여 다항식 Λν + ^^^²를 연산하는 것을 특 징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치

【청구항 7】

제 6 항에 있어서, 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 ¾₀과 _a을 입력받아 C₀, ¾ + + ¾ + + + + '를 계산 하고， 계산된

； + ' + ¾', έ 을 이용하여 다항식

E_WE_VE₂,E 계산하며， 계산된 변수 Z:= ²에 대한 다항식 E₀,^E₂,E₃을 입력받 아 다항식의 덧셈을 수행하여 ₀ + ^Ζ와 ί + Ε_ΆΖ^ 생성한 후， 다항식 ¾ + ^ 와 E1+E₃Z의 계수를 상호 배치 (interleaving)함으로써 다항식

A₀B₀ + ΑΒ_λΧ² = Α₀Β₀ + Α_ΧΒ_Χ Υ 출력하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장 치.

【청구항 8】

제 1 항에 있어서， 상기 출력부에 의해 연산된 다항식 C에 대해 다항식 /( )에 의한 모들러 (modular) 감산 연산을 하여 두 원소의 곱 i5=Cmod/( )를 얻는 모들러 감산부를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 장치.

【청구항 9】

제 1 백터 연산부가 차수 n— l인 다항식 ^ ^ + 와 ^ ^ + 으로부 터 차수가 —i인 네 개의 다항식 ^을 입력받아 각 성분의 개수가 n^{l0 3}인 백터 C F^A₀), CPF A,), CPF^ {B₀), CPF^_ 를 생성하는 단계;

2^{" "}2 2^"

제 2 백터 연산부가 상기 제 1 백터 연산부에서 생성된 백터들을 이용하여 각 성분의 개수가 ^η1ο¾3/3인 백터를 생성하는 단계; 제 1 다항식 연산부가 상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터 증 ^_ᅵ 과 ,₀ 을 이용하여 다항식 (A^+AH^ 를 연산하는 단계; 제 2 다항식 연산부가 상기 제 2 백터 연산부에서 생성된 백터 중 ,₀과 d_u 을 이용하여 다항식 + ²를 연산하는 단계; 및

출력부가 상기 제 1 다항식 연산부와 상기 제 2 다항식 연산부에 의해 각각 연 산된 다항식 (ΛΗ +^ ₀) 및 다항식 Λ + ^^ ^으로부터 두 다항식 Α와 B의 곱 C를 출력하는 단계를 포함하는 유한체 병렬 곱셈 방법.

【청구항 10]

제 9 항에 있어서, 상기 제 2 백터 연산부는 상기 제 1 백터 연산부에서 연산 된 백터들을 입력받아 성분끼리의 곱 연산을 통해 0≤ i,j^'≤ l인 ？:, j에 대해 백터들 ¾：=€Μ(Α B_j) = CPF (^) ® CPF, (H,) ^ 생성하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 방법.

【청구항 111 제 9 항에 있어서， 상기 제 1 다항식 연산부는 과 _,0의 합 "_αι + _,0을 계산하고， + 백터를 입력받아 다항식 /^(^ + ^^을 계산한 후, 다항식

^^(^u + ^o)를 쉬프트 (shift)하여 다항식 (Λ>^+^ ₀) 를 출력하는 것을 특징으 로 하는 유한체 병렬 곱셈 방법.

【청구항 12】

제 9 항에 있어서， 상기 제 2 다항식 연산부는 상기 제 2 백터 연산부에 의해 연산된 Q。과 _a을 입력받아 C₀, Q + ¾ + ¾ + C₀', ¾ + C₀' + 0； + c;를 계산 하고, 계산된 Q, + ¾ + ¾ + + + + 을 이용하여 다항식

Ε_φΕ_νΕ₂,Ε^ 계산하며， 계산된 변수 Ζ:= ²에 대한 다항식 E_WE E E^ 입력받 아 다항식의 덧셈을 수행하여 E₀ + ₂Z와 ^+ ₃Ζ를 생성한 후, 다항식 ^ + _ 와 El+E₃^의 계수를 상호 배치 (interleaving)하여 다항식

ΛΑ + ^^ ^Λ^ο^^^ 를 출력하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 방 법.

【청구항 13]

제 9 항에 있어서, 모들러 감산부가 상기 출력부에 의해 연산된 다항식 ⁽7에 대해 다항식 /( ^에 의한 모들러 (modular) 감산 연산을 하여 두 원소의 곱 Z?=C mod/ )를 얻는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 유한체 병렬 곱셈 방법.